ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ H απλούστερη συεχής καταοµή πιαότητας είαι η οµοιόµορφη η οποία εκχωρεί ίσες (οµοιόµορφες) πιαότητες στα στοιχειώδη δυατά αποτελέσµατα εός τυχαίου (στοχαστικού) πειράµατος µε συεχή (µη απαριµητό) δειγµατικό χώρο Ω. Συγκεκριµέα ας εωρήσουµε µια συεχή τυχαία µεταβλητή Χ ορισµέη στο Ω µε πεδίο τιµώ το διάστηµα [ α β] όπου α < β πραγµατικοί αριµοί. Η οµοιόµορφη εκχώρηση πιαότητας εκφράζεται από τη σχέση P ( x x < x ) c( x ) α x < x β (.) όπου c προσδιοριστέα σταερή. Θέτοτας x α x β και χρησιµοποιώτας τη σχέση P ( α < β) P( α β) συµπεραίουµε ότι c. (.) β α Σηµειώουµε ότι στη περίπτωση αυτή στη οποια η τυχαία µεταβλητή Χ είαι συεχής οπότε P( x) για κάε x R η εκχώρηση πιαότητας δε γίεται σε σηµεία αλλά σε διαστήµατα και είαι αάλογη του µήκους τω. Τούτο είαι ισοδύαµο µε το ότι διαστήµατα του ιδίου µήκους είαι ισοπίαα. Η συάρτηση καταοµής της τυχαίας µεταβλητής Χ όπως προκύπτει από τις (.) και (.) δίδεται από τη < x < α x α F ( x) α x < β (.3) β α β x <. Η συάρτηση αυτή είαι συεχής και έτσι παραγωγίζοτάς τη συάγουµε τη συάρτηση πυκότητας της τυχαίας µεταβλητής Χ: α x β β α (.4) x < α ή x > β. Ορισµός.. Έστω Χ µια συεχής τυχαία µεταβλητή µε συάρτηση πυκότητας τη (.4). Η καταοµή της τ.µ. Χ συµβολίζεται µε U( α β) και καλείται οµοιόµορφη ή ορογώια στο διάστηµα [ α β]. Τα σηµεία α και β είαι παράµετροι της καταοµής.

8 Σχετικά µε τις ροπές της οµοιόµορφης καταοµής αποδεικύουµε το επόµεο εώρηµα. Θεώρηµα.. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη οµοιόµορφη καταοµή U( α β). Τότε η µέση τιµή και η διασπορά αυτής δίδοται από τις α + β µ E( ) ( β α) σ V ( ). (.5) Απόδειξη. Η µέση τιµή της τ.µ. Χ σύµφωα µε το ορισµό είαι x µ E( ) xdx β α ( β α) α και επειδή ( β α ) ( β α)( β + α) α + β µ E( ). Επίσης είαι β β α β α ( β α) E( ) β α 3 3 και επειδή β α ( β α)( β + αβ + α ) β α 3 x x dx 3( β α) β α 3 3 β α 3( β α) Η διασπορά της τ.µ. Χ είαι τότε σ V ( ) E( E( ) [ E( )] α + αβ + ). 3 β α α α + αβ + β 3 + αβ + β 4 ( β ) Παράδειγµα.. Ας εωρήσουµε έα όργαο µέτρησης µε ακρίβεια τριώ δεκαδικώ ψηφίω. Το παρεχόµεο από το όργαο αυτό τέταρτο δεκαδικό ψηφίο αποτελεί στρογγύλευση προς το πλησιέστερο ακέραιο. Τα σφάλµατα που προκύπτου από τη στρογγύλευση της µέτρησης δύαται α εωρηού ότι έχου τη οµοιόµορφη καταοµή U ( α β) µε α 4 / β 4 /. Να υπολογισού (α) η πιαότητα όπως το σφάλµα µέτρησης µιας ποσότητας είαι κατ απόλυτη τιµή µεγαλύτερο του 4 / 3 και (β) η µέση τιµή και η διασπορά του σφάλµατος µέτρησης. (α) Χρησιµοποιώτας τη (.3) µε α 4 / β 4 / παίρουµε 4 4 P ( > / 3) P( / 3) [ F( / 3) F( 4 4. 3 3 (β) Σύµφωα µε τις (.5) έχουµε µ E( ) σ V ( ) 8 /. / 3)].

83 Παράδειγµα.. Έστω ότι ο σειρµός φάει σε συγκεκριµέο σταµό του υπογείου σιδηροδρόµου κάε λεπτά αρχίζοτας τα δροµολόγιά του στις 5 π.µ. Α έας επιβάτης φάει στο σταµό σε χρόο ο οποίος καταέµεται οµοιόµορφα στο διάστηµα 7: ως 7:4 α υπολογισού οι πιαότητες α περιµέει το σειρµό (α) το πολύ 4 λεπτά και (β) τουλάχιστο 7 λεπτά. Έστω Χ ο χρόος άφιξης του επιβάτη στο σταµό µετρούµεος σε λεπτά µε αρχή τη χροική στιγµή 7:. Τότε η τ.µ. Χ έχει τη οµοιόµορφη καταοµή στο διάστηµα [] και έτσι x F ( x) x < x < x. (α) Το εδεχόµεο Α ο επιβάτης α περιµέει το πολύ 4 λεπτά είαι ισοδύαµο µε το εδεχόµεο α φάσει στο σταµό στο διάστηµα 7:6 ως 7:3 ή στο διάστηµα 7:36 ως 7:4. Εποµέως P( A) P(6 < ) + P(6 < ) { F() F(6)} + { F() F(6)} (β) Το εδεχόµεο Β ο επιβάτης α περιµέει τουλάχιστο 7 λεπτά είαι ισοδύαµο µε το εδεχόµεο α φάσει στο σταµό στο διάστηµα 7: ως 7:3 ή 7:3 ως 7:33. Εποµέως P( B) P( < 3) + P( < 3) { F(3) F()} + { F(3) F()}. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ERLANG.. Εκετική καταοµή Ορισµός.. Έστω Χ µια συεχής τυχαία µεταβλητή µε συάρτηση πυκότητας x x < < x < όπου < <. Η καταοµή της τ.µ. Χ καλείται εκετική µε παράµετρο. Σηµειώουµε ότι η συάρτηση (.) είαι µη αρητική και x [ ] x dx dx όπως απαιτείται από το ορισµό της συάρτησης πυκότητας. Η συάρτηση καταοµής της τ.µ. Χ σύµφωα µε τη (.) του Κεφ. είαι η F( x) 3 5.. (.) < x < (.) x x <. Θεώρηµα.. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη εκετική καταοµή µε συάρτηση πυκότητας τη (.). Τότε η µέση τιµή και η διασπορά αυτής δίδοται από τις µ E( ) σ V ( ). (.3)

84 Απόδειξη. Η µέση τιµή της τ.µ. Χ σύµφωα µε το ορισµό δίδεται από τη µ E ( ) x dx x x y dx y dy όπου χρησιµοποιήηκε ο µετασχηµατισµός y x. Εφαρµόζοτας τη ολοκλήρωση κατά παράγοτες το τελευταίο ολοκλήρωµα είαι και έτσι Οµοίως και επειδή y y y y y y y dy yd [ y ] + dy [ y + ] E µ E( ). x y ( ) x dx x dx y dy y y y y dy y d [ y ] + y παίρουµε Εποµέως y E ( ). dy [ y V ( ) E(. ) [ E( )] y + y y + Η ιδιότητα του αµήµοος είαι χαρακτηριστική της εκετικής καταοµής. Τη ιδιότητα αυτή αποδεικύουµε στο επόµεο εώρηµα. Θεώρηµα.. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη εκετική καταοµή µε συάρτηση πυκότητας τη (.). Τότε y ] P ( > x + y > x) P( > y) x y. (.4) Απόδειξη. Η δεσµευµέη πιαότητα του εδεχοµέου { > x + y} δεδοµέου του εδεχοµέου { > x} λαµβάοτας υπόψη ότι { > x + y} { > x} και χρησιµοποιώτας τη (.) είαι ίση µε P( > x + y > x) P( > x + y P( > x) > x) P( > x + y) P( > x) και επειδή έπεται η (.4). F( x + y) F( x) P( > y) F( y) ( x+ y) x y y

85 Παρατήρηση.. Ας εωρήσουµε µια αέλιξη Poisson t µε µέση τιµή E( t ) t (βλ. Παρατήρηση 5. του Κεφ. 3) και ας παραστήσουµε µε Τ το χρόο ααµοής µέχρι τη πραγµατοποίηση της πρώτης επιτυχίας (εµφάισης του εδεχοµέου Α). Επειδή το εδεχόµεο { T > t} όπως η πρώτη επιτυχία πραγµατοποιηεί µετά τη χροική στιγµή t είαι ισοδύαµο µε το εδεχόµεο { t } όπως ο αριµός τω επιτυχιώ µέχρι τη χροική στιγµή t είαι µηδέ χρησιµοποιώτας τη (5.6) του Κεφ. 3 συάγουµε τη σχέση P t ( T > t) P( t ) t και από αυτή τη συάρτηση καταοµής της τ.µ. Τ F( t) t < t < (.5) t t <. Εποµέως σύµφωα µε τη (.) ο χρόος ααµοής Τ µέχρι τη πραγµατοποίηση της πρώτης επιτυχίας σε µια αέλιξη Poisson έχει εκετική καταοµή. Γεικότερα δύαται α δειχεί ότι οι εδιάµεσοι χρόοι µεταξύ διαδοχικώ επιτυχιώ σε µια αέλιξη Poisson έχου εκετική καταοµή. Παράδειγµα.. Έστω ότι η διάρκεια σε λεπτά εός τηλεφωήµατος σ έα δηµόσιο τηλεφωικό άλαµο ακολουεί τη εκετική καταοµή µε µέση τιµή λεπτά. Επίσης έστω ότι τη στιγµή που κάποιος µπαίει στο τηλεφωικό αυτό άλαµο για έα τηλεφώηµα έας άλλος φάει εκεί και δε συατά καέα α περιµέει. Να υπολογισού οι πιαότητες ο δεύτερος α περιµέει (α) περισσότερο από λεπτά (β) µεταξύ και λεπτώ. Α Χ είαι η διάρκεια του τηλεφωήµατος του πρώτου ατόµου τότε F( x) x / x < x και οι ζητούµεες πιαότητες είαι (α) P ( > ) F() 3679 και (β) P( < ) F() F() 3679 353 36... Καταοµή Erlang Ορισµός.. Έστω Χ µια συεχής τυχαία µεταβλητή µε συάρτηση πυκότητας x ( )! x x < < x < (.6) όπου ετικός ακέραιος και < <. Η καταοµή της τ.µ. Χ καλείται καταοµή Erlang µε παραµέτρους και. Σηµειώουµε ότι η συάρτηση (.6) είαι µη αρητική και επειδή x I x dx ( )!... (.7)

86 συµπεραίουµε ότι x f x) dx x dx y ( y dy ( )! ( )! όπως απαιτείται από το ορισµό της συάρτησης πυκότητας. Το ολοκλήρωµα I... δύαται α υπολογισεί εφαρµόζοτας τη ολοκλήρωση κατά παράγοτες ως εξής: και έτσι x x x x + x dx x d [ x ] + x dx I I + I.... (.8) Εφαρµόζοτας διαδοχικά τη ααγωγική αυτή σχέση και επειδή συάγουµε τη (.7). I x dx Θεώρηµα.3. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη καταοµή Erlang µε συάρτηση πυκότητας τη (.6). Τότε η µέση τιµή και η διασπορά αυτής δίδοται από τις µ E( ) σ V ( ). (.9) Απόδειξη. Η µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής Χ δίδεται από τη µ E y ( ) y dy x xf ( x) dx x dx ( )! και χρησιµοποιώτας τη (.7) συάγουµε τη Οµοίως και E ( )!! E ( ). ( )! + x + y ( ) x dx x dx ( )! y dy ( )! E( Εποµέως η διασπορά της τ.µ. Χ είαι. ( )! ( + )! ( + ) ) ( + ) σ V ( ) E( ) [ E( )].

87 Παρατήρηση.. Ας εωρήσουµε µια αέλιξη Poisson t µε µέση τιµή E( t ) t (βλ. παρατήρηση 5. του Κεφ. 3) και ας παραστήσουµε µε T το χρόο ααµοής µέχρι τη πραγµατοποίηση της -οστής επιτυχίας (εµφάισης του εδεχοµέου Α). Επειδή το εδεχόµεο { T > t} όπως η -οστή επιτυχία πραγµατοποιηεί µετά τη χροική στιγµή t είαι ισοδύαµο µε το εδεχόµεο { t < } όπως ο αριµός τω επιτυχιώ µέχρι τη χροική στιγµή t είαι µικρότερος του χρησιµοποιώτας τη (5.6) του Κεφ. 3 συάγουµε τη σχέση ( t) P ( T > t) P( < ) P( κ) t. t κ Η συάρτηση καταοµής της τ.µ. T δίδεται τότε από τη κ t κ κ! t κ t κ κ! ( t) F ( t) t (.) µε F( t) t <. Παραγωγίζοτας αυτή ως προς t παίρουµε d dt F( t) ( t) και εποµέως η συάρτηση πυκότητας της τ.µ. f ( t) t ( )! ( t) κ κ t t κ κ! κ ( κ )! t T είαι η t <. Η καταοµή αυτή µελετήηκε από το αό µαηµατικό A. K. Erlang (878-99). Σηµειώουµε ότι η σχέση (.) επειδή F( t) t x ( )! συεπάγεται τη χρήσιµη στις εφαρµογές σχέση x dx t κ x t ( t) F ( t) x dx. (.) ( )! Παράδειγµα.. Η ηµερήσια καταάλωση ηλεκτρικής εέργειας σε εκατοµύρια κιλοβατόρες σε µια πόλη είαι µια τυχαία µεταβλητή Χ η οποία ακολουεί τη καταοµή Erlang µε µέση τιµή E ( ) εκατοµύρια κιλοβατόρες και διασπορά V ( ) 5 εκατοµύρια κιλοβατόρες. Η µέγιστη ποσότητα εέργειας που µπορεί α δοεί στη πόλη σε µια µέρα είαι 5 εκατοµύρια κιλοβατόρες. Να υπολογισεί η πιαότητα α µη ικαοποιηού οι ηµερήσιες αάγκες της πόλης σε ηλεκτρική εέργεια. Η τυχαία µεταβλητή Χ έχει συάρτηση πυκότητας όπου ετικός ακέραιος και µε τις (.9) είαι x ( )! x κ x < < <. Η µέση τιµή και διασπορά της Χ σύµφωα E ( ) V ( ) t κ!

88 και επειδή E ( ) V ( ) 5 παίρουµε Εποµέως 4 / 5. ( / 5) 3! 4 3 x / 5 x x < και η πιαότητα α µη ικαοποιηού οι ηµερήσιες αάγκες της πόλης σε ηλεκτρική εέργεια δίδεται από τη 4 ( / 5) 3 x / 5 P( > 5) x dx. 3! 5 Χρησιµοποιώτας τη (.) και το Πίακα της συάρτησης πιαότητας της καταοµής παίρουµε 3 κ 6 6 P ( > 5) 4. κ! κ Παράδειγµα.3. Έστω ότι ο αριµός τω τραυµατιώ σε αυτοκιητιστικά δυστυχήµατα µε σοβαρά κατάγµατα που εισάγοται σε οσοκοµεία τω Αηώ ακολουεί τη καταοµή Poisson µε µέση τιµή 8 άτοµα αά ηµέρα. Να υπολογισού (α) η πιαότητα όπως ο χρόος ααµοής µέχρι τη άφιξη του τρίτου τραυµατία µετρούµεος από τη αρχή της ηµέρας είαι τουλάχιστο ώρες και (β) ο µέσος χρόος ααµοής µέχρι τη άφιξη του τρίτου τραυµατία. (α) Ο αριµός τω τραυµατιώ σε χροικό διάστηµα t ωρώ ακολουεί τη t καταοµή Poisson µε µέση τιµή E( t ) t όπου 8 / 4 / 3. Ο χρόος ααµοής T ακολουεί τη καταοµή Erlang µε συάρτηση καταοµής 3 Εποµέως P ( T 3 κ t / 3 F ( t). κ ( t / 3) κ! > ) F() και χρησιµοποιώτας το Πίακα της συάρτησης πιαότητας της καταοµής Poisson παίρουµε 4 κ κ 4 κ! P ( T 3 > ) (83 + 733 + 465) 769. (β) Η µέση τιµή της T 3 σύµφωα µε τη πρώτη από τις (.9) είαι 3 E ( T 3 ) 9. 3. ΚANONIKH KATANOMH Η σηµατικότερη καταοµή πιαότητας τόσο από εωρητική άποψη όσο και από άποψη εφαρµογώ είαι η καοική καταοµή. Η καταοµή αυτή χρησιµοποιήηκε αρχικά από τους D Moivr και Laplac για τη προσέγγιση της διωυµικής καταοµής για µεγάλο. Ο Gauss ο οποίος διατύπωσε τη εωρία τω σφαλµάτω χρησιµοποίησε τη καοική καταοµή ως προσεγγιστική της καταοµής τω

89 τυχαίω σφαλµάτω. Η οοµασία καοική είαι σχετικά πρόσφατη και οφείλεται στο Karl Parson. Ορισµός 3.. Έστω Χ µια συεχής τυχαία µεταβλητή µε συάρτηση πυκότητας όπου x µ σ < x < (3.) σ π < µ < και < σ < είαι παράµετροι. Η καταοµή της τυχαίας µεταβλητής Χ συµβολίζεται µε N( µ σ ) και καλείται καοική καταοµή µε παραµέτρους µ και σ. Σηµειώουµε ότι η συάρτηση (3.) είαι µη αρητική και χρησιµοποιώτας διαδοχικά τους µετασχηµατισµούς z ( x µ ) / σ και u z / και το ολοκλήρωµα του Eulr συµπεραίουµε ότι π u du x µ σ / u dx dx dz du σ π π π όπως απαιτείται από το ορισµό της συάρτησης πυκότητας. Παρατήρηση 5.. Η εξέχουσα έση τη οποία κατέχει η καοική καταοµή στη Θεωρία Πιαοτήτω και Στατιστική οφείλεται και στη µεγάλη ποικιλία τω εφαρµογώ της. Συγκεκριµέα τα τυχαία σφάλµατα που εµφαίζοται σε διάφορες µετρήσεις έχου καοική καταοµή. Για το λόγο αυτό η καοική καταοµή ααφέρεται πολλές φορές και ως καταοµή σφαλµάτω. Επίσης πολλές καταοµές τόσο διακριτές όσο και συεχείς µπορού κάτω από ορισµέες συήκες α προσεγγισού από τη καοική καταοµή. Το άροισµα και ο µέσος όρος µεγάλου αριµού παρατηρήσεω ακολουεί κατά προσέγγιση καοική καταοµή αεξάρτητα από το ποιά καταοµή ακολουού οι αρχικές παρατηρήσεις. Ακόµη πολλά πληυσµιακά χαρακτηριστικά (π.χ. ύψος βάρος βαµολογία σε τεστ κλπ) ακολουού (περιγράφοται ικαοποιητικά από) τη καοική καταοµή Η µέση τιµή και η διασπορά της καοικής καταοµής συάγοται στο ακόλουο εώρηµα. Θεώρηµα 3.. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη καοική καταοµή µε συάρτηση πυκότητας τη (3.). Τότε η µέση τιµή και η διασπορά αυτής δίδοται από τις E ( ) µ V ( ) σ. (3.) Απόδειξη. Η µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής Χ δίδεται από τη Θέτοτας x µ σ E( ) x dx. σ π z ( x µ ) / σ οπότε x µ + σz παίρουµε

9 / [ ] µ / / E( ) µ dz + σ z dz µ + σ. π π π Η διασπορά της τυχαίας µεταβλητής Χ δίδεται από τη Θέτοτας z ( x µ ) / σ ( x µ σ V ( ) x µ ) dx. σ π και ολοκληρώοτας κατά παράγοτες παίρουµε V ( ) σ π z / dz σ π zd / / [ z ] + σ / σ dz σ π π και έτσι συµπληρώεται η απόδειξη του εωρήµατος. Το διάγραµµα της συάρτησης πυκότητας f (x) < x < της καοικής καταοµής είαι κωδωοειδούς µορφής. Η παράµετρος µ προσδιορίζει τη έση της καµπύλης ως προς το άξοα τω x και η παράµετρος σ το οξύ ή πεπλατισµέο του σχήµατός της. Συγκεκριµέα όσο πιο µικρό είαι το σ τόσο πιο οξεία είαι η καµπύλη και όσο πιο µεγάλο είαι το σ τόσο πιο πεπλατισµέη είαι αυτή (βλέπε Σχήµα 3.). Σχήµα 3.. Η συάρτηση πυκότητας f (x) της καοικής καταοµής Ιδιαίτερο εδιαφέρο παρουσιάζει η ειδική περίπτωση καοικής καταοµής µε µέση τιµή µ και διασπορά σ. Σχετικά σηµειώουµε ότι η τυποποιηµέη τυχαία µεταβλητή Z ( µ ) / σ έχει συάρτηση πυκότητας (βλέπε Παράδειγµα 3. του Κεφαλαίου 3) φ( z) / < < π z. Η καταοµή της τυχαίας µεταβλητής Ζ η οποία είαι N() καλείται τυποποιηµέη καοική καταοµή. Η γραφική παράσταση της συάρτησης πυκότητας της τυποποιηµέης καοικής καταοµής δίδεται στο Σχήµα 3.. Η χρησιµότητα της

9 τυποποιηµέης καοικής καταοµής οφείλεται στη πιακοποίηση της καταοµής της z t / Φ( z) dt < z <. π Ο συήης πίακας της τυποποιηµέης καοικής καταοµής δίδει της τιµές Φ (z) για z από µέχρι 3 µε βήµα. Για το προσδιορισµό τω τιµώ της Φ(z) για z από 3 µέχρι χρησιµοποιείται η ακόλουη ιδιότητα της τυποποιηµέης κακοικής καταοµής. Σχήµα 3.. Η συάρτηση πυκότητας της τυποποιηµέης καοικής καταοµής Θεώρηµα 3.. Η συάρτηση καταοµής της τυποποιηµέης καοικής καταοµής Φ(z) < z < ικαοποιεί τη σχέση Απόδειξη. Η συάρτηση Φ ( ) χρησιµοποιώτας το µετασχηµατισµό t Φ ( z) + Φ( ) < z <. t / Φ( ) dt π u παίρει τη µορφή Εποµέως t / u / Φ( ) dt du. π π z z ( ) + t / u / Φ z Φ( ) dt + du π π π και η απόδειξη ολοκληρώηκε. z t / dt. Η προσέγγιση της συάρτησης πιαότητας της διωυµικής καταοµής για µεγάλο (εωρητικά ) από τη συάρτηση πυκότητας της καοικής καταοµής η οποία αποδείχηκε αρχικά για p / από το D Moivr το 733 και για οποιοδήποτε p από το Laplac το 8 δίδεται χωρίς απόδειξη στο επόµεο εώρηµα. Θεώρηµα 3.3. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουεί τη διωυµική καταοµή µε συάρτηση πιαότητας

9 f x x x p q ( ) x... x όπου q p και < p <. Τότε για µεγάλο (εωρητικά ) ισχύει η προσέγγιση x p pq < x <. pq π Χρήσιµο στις εφαρµογές είαι το ακόλουο πόρισµα. Πόρισµα 3.. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουεί τη διωυµική καταοµή µε παραµέτρους και p. Τότε για µεγάλο (εωρητικά ) ισχύει η προσέγγιση β p α p P ( α β) Φ Φ α < β. pq pq Παρατήρηση 3.. ιόρωση συέχειας. Η προσέγγιση της διωυµικής καταοµής από τη καοική καταοµή δε είαι ικαοποιητική ότα το δε είαι αρκετά µεγάλο. Γεικά στις περιπτώσεις προσέγγισης µιας διακριτής καταοµής απο µια συεχή έχει αποδειχεί ότι οι προσεγγίσεις βελτιώοται σηµατικά µε τη χρησιµοποίηση της διόρωσης συέχειας. Σύµφωα µε αυτή η πιαότητα P( x) x... προσεγγίζεται από τη πιαότητα P ( x / x + / ) και έτσι στη περίπτωση καοικής προσέγγισης Γεικότερα P(α x p + / x p / P( x) Φ Φ. pq pq β p + / α p / β) Φ Φ pq pq α β. Παράδειγµα 3.. Ας υποέσουµε ότι η διάρκεια κύησης µιας γυαίκας ακολουεί τη καοική καταοµή µε µέση τιµή µ 7 ηµέρες και τυπική απόκλιση σ 3 ηµέρες. Να υπολογισεί η πιαότητα όπως η διάρκεια κύησης παιδιού είαι µικρότερη από επτά µήες. Εισάγοτας τη τυποποιηµέη τυχαία µεταβλητή Z ( µ ) / σ όπου µ 7 και σ 3 συάγουµε για τη ζητουµέη πιαότητα τη έκφραση 7 7 P( < ) P < P( Z < ) Φ( ) Φ(). 3 3 Από το πίακα της τυποποιηµέης καοικής καταοµής έχουµε έτσι P ( < ) 977 8 %. Φ( ) 977 Παράδειγµα 3.. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουεί τη καοική καταοµή N( µ σ ). Να υπολογισεί η πιαότητα όπως η Χ απέχει από το µέσο µ το πολύ κ τυπικές αποκλίσεις σ για κ 3. και

93 Εισάγοτας τη τυποποιηµέη τυχαία µεταβλητή τη ζητουµέη πιαότητα τη έκφραση Z ( µ ) / σ συάγουµε για P( µ κσ) P( Z κ) P( κ Z κ) Φ( κ) Φ( κ) Φ( κ). Από το πίακα της τυποποιηµέης καοικής καταοµής έχουµε Φ( ) 843 Φ( ) 977 Φ ( 3) 9987 και έτσι P ( µ σ µ + σ) P( µ σ) 686 68% P ( µ σ µ + σ) P( µ σ) 9544 95% P ( µ 3σ µ + 3σ) P( µ 3σ) 9974 997%. Συµπερασµατικά το 68% περίπου τω τιµώ εός καοικού πληυσµού βρίσκοται σε απόσταση το πολύ µιας τυπικής απόκλισης το 95% περίπου σε απόσταση δύο τυπικώ αποκλίσεω και το 99.7% περίπου σε απόσταση τριώ αποκλίσεω από το µέσο του πληυσµού. Παράδειγµα 3.3. Ας εωρήσουµε ότι ο χρόος εµφάισης εός φωτογραφικού φιλµ ακολουεί καοική καταοµή µε µέση τιµή µ 3 λεπτά και τυπική απόκλιση σ λεπτά. Να υπολογισού (α) η πιαότητα όπως ο χρόος εµφάισης εός φιλµ µη υπερβεί τα 8 λεπτά και (β) η πιαότητα όπως σε τουλάχιστο από φιλµ ο χρόος εµφάισης µη υπερβεί τα 8 λεπτά. (α) Εισάγοτας τη τυποποιηµέη τυχαία µεταβλητή Z ( µ ) / σ όπου µ 3 και σ η πιαότητα όπως ο χρόος εµφάισης εός φιλµ µη υπερβεί τα 8 λεπτά ισούται µε 3 8 3 P ( 8) P P( Z 67) Φ(67) 475 5% (β) Ο αριµός Υ τω φιλµ µε χρόο εµφάισης το πολύ 8 λεπτώ ακολουεί τη διωυµική καταοµή µε αριµό δοκιµώ και πιαότητα επιτυχίας p P( 8) 5 οπότε y y P( Y y) (5) (95) y.... y Εποµέως η πιαότητα όπως σε τουλάχιστο από φιλµ ο χρόος εµφάισης µη υπερβεί τα 8 λεπτά είαι P ( Y ) P( Y < ) P( Y ) P( Y ) (5) (95) (5) (95) 9 86. Παράδειγµα 3.4. Έστω ότι έα δείγµα ατόµω εκλέγεται τυχαία από έα πληυσµό για τη εκτίµηση του ποσοστού p τω ατόµω του πληυσµού που πάσχου από µια συγκεκριµέη ασέεια. (α) Να υπολογισεί το µέγεος του δείγµατος έτσι ώστε το ποσοστό τω ατόµω στο δείγµα που πάσχου από τη ασέεια α διαφέρει από το πραγµατικό ποσοστό p κατ απόλυτη τιµή λιγότερο από % µε πιαότητα τουλάχιστο 95%. (β) Α είαι γωστό ότι p 3 (δηλαδή ότι πρόκειται περί σπάιας ασέειας) ποιό πρέπει α είαι το µέγεος του δείγµατος;

94 (α) Α Χ είαι ο αριµός τω ατόµω του δείγµατος που πάσχου από τη ασέεια τότε η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουεί τη διωυµική καταοµή µε παραµέτρους και p. Το ποσοστό τω ατόµω του δείγµατος που πάσχου από τη ασέεια είαι ίσο µε / οπότε το ζητούµεο µπορεί α διατυπωεί ως εξής P p 95. Χρησιµοποιώτας τη προσέγγιση της διωυµικής καταοµής από τη καοική καταοµή το αριστερό µέλος της συήκης µετασχηµατίζεται στο P p P p P pq και η συήκη παίρει τη µορφή ή ισοδύαµα Φ Φ Φ pq pq pq Φ 95 pq Φ 975. pq p pq pq Από το Πίακα 3 της τυποποιηµέης καοικής καταοµής έχουµε Φ ( 96) 975 και οπότε. pq 96 και εποµέως 3846 p( q). Παρατηρούµε ότι η συάρτηση p 5 οπότε g( p) p( p) p p p ( p) 5( 5) 5 και έτσι το απαιτούµεο µέγεος του δείγµατος είαι (β) Α είαι γωστό ότι 3846 5 964. p 3 τότε p ( p) 3( 3) και έτσι το απαιτούµεο µέγεος του δείγµατος είαι 3846 8. µεγιστοποιείται για

95 6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη οµοιόµορφη καταοµή στο διάστηµα [ α β]. Α E( ) και V ( ) 3 (α) α υπολογισού οι σταερές α και β (β) α προσδιορισεί η συάρτηση πυκότητας της τυχαίας µεταβλητής Y και (γ) α βρεού οι E(Y ) και V ( Y ).. Έστω ότι η τυχαία µεταβλητή Χ έχει τη οµοιόµορφη καταοµή στο διάστηµα []. είξετε ότι η συάρτηση καταοµής της τυχαίας µεταβλητής δίδεται από τη F ( y) Y Y log y < y < y <. και συµπεράετε ότι ακολουεί τη εκετική καταοµή. z z+ 3. (Συέχεια). Έστω Z h( ) όπου h ( x) z για q < x q z... µε < q <. είξετε ότι η τυχαία µεταβλητή Ζ ακολουεί τη γεωµετρική καταοµή µε συάρτηση πιαότητας όπου p q. f z Z ( z) pq... z 4. Έστω t ο αριµός τω αάτω σε οσοκοµείο τω Αηώ από µια σπάια ασέεια σε χροικό διάστηµα t ωρώ. Α σε συγκεκριµέο χροικό διάστηµα [ s] συέβη έας άατος δείξετε ότι η χροική στιγµή Τ του αάτου ακολουεί τη οµοιόµορφη καταοµή στο διάστηµα [ s]. 5. Ο χρόος ζωής Χ σε ώρες µιας ορισµέης ηλεκτροικής λυχίας ακολουεί τη εκετική καταοµή µε µέση τιµή E ( ) ώρες. Το εργοστάσιο που κατασκευάζει τις λυχίες δίδει εγγύηση α ωρώ στους πελάτες του. Να υπολογισεί το α έτσι ώστε µε πιαότητα τουλάχιστο 95 οι λυχίες α επιζού του χρόου εγγύησης. 6. Ο χρόος ζωής Χ του ιού της γρίππης µέσα στο οργαισµό εός ατόµου ακολουεί τη εκετική καταοµή µε µέση τιµή 3 µέρες. Να υπολογισού (α) η πιαότητα όπως έα άτοµο που προσβλήηκε από το ιό γίει καλά στο χροικό διάστηµα από µέχρι 4 µέρες και (β) η δεσµευµέη πιαότητα όπως έα άτοµο που προσβλήηκε από το ιό γίει καλά σε λιγότερο από 5 συολικά µέρες δεδοµέου ότι έχει µέρες άρρωστος. (γ) Επίσης α υπολογισεί η πιαότητα όπως 3 τουλάχιστο από άτοµα που προσβλήηκα από το ιό γίου καλά στο χροικό διάστηµα από µέχρι 4 µέρες. 7. Έστω ότι η ποσότητα Χ σε χιλιάδες λίτρα που πωλεί έα πρατήριο βεζίης σε µια µέρα πέρα τω χιλίω λίτρω ακολουεί τη καταοµή Erlang µε µέση τιµή 5 χιλιάδες λίτρα και τυπική απόκλιση 5 χιλιάδες λίτρα. Α οι δεξαµεές του πρατηρίου µια συγκεκριµέη µέρα έχου 8 χιλιάδες λίτρα α υπολογισού η πιαότητα το πρατήριο α µη µπορέσει α αταποκριεί στη ζήτηση.

96 8. Το βάρος τω εογέητω παιδιώ σε µια συγκεκριµέη χώρα ακολουεί τη καοική καταοµή µε µέση τιµή 34 κιλά για τα αγόρια και 335 κιλά για τα κορίτσια και τυπική απόκλιση 4 κιλά για τα αγόρια και 35 κιλά για τα κορίτσια. Να υπολογισού οι πιαότητες (α) έα εογέητο αγόρι α έχει βάρος µεγαλύτερο τω 4 κιλώ και (β) έα εογέητο κορίτσι α έχει βάρος µεγαλύτερο τω 3 κιλώ και µικρότερο τω 37 κιλώ. 9. Το ύψος τω αδρώ εός πληυσµού ακολουεί τη καοική καταοµή µε µέση τιµή 75 εκατοστόµετρα και τυπική απόκλιση 5 εκατοστόµετρα. Να υπολογισού τα ποσοστά του πληυσµού τω αδρώ µε ύψος (α) µεγαλύτερο τω 75 (β) µεγαλύτερο τω 8 και (γ) µεταξύ τω 7 και τω 8. Να υπολογισού οι πιαότητες όπως σε τυχαίο δείγµα 6 αδρώ (δ) όλοι είαι ύψους άω τω 8 και (ε) οι δύο είαι υψηλότεροι του µέσου και τέσσερεις χαµηλότεροι του µέσου.. Μία αυτόµατη µηχαή κατασκευάζει βίδες τω οποίω το µήκος σε χιλιοστόµετρα ακολουεί τη καοική καταοµή µε µέση τιµή 4 και τυπική απόκλιση. Α το µήκος µιας βίδας είαι εκτός του διαστήµατος [39 4] η βίδα εωρείται ελαττωµατική. Να υπολογισού (α) το ποσοστό τω ελαττωµατικώ βίδω που παράγει η µηχαή (β) η πιαότητα όπως σε µια τυχαία επιλογή 5 βίδω µια το πολύ είαι ελαττωµατική και (γ) η πιαότητα όπως σε µια τυχαία επιλογή βίδω το πολύ είαι ελαττωµατικές.. Έστω ότι η ατοχή Χ εός υφάσµατος (χιλιόγραµµα δύαµης) ακολουεί τη καοική καταοµή µε µέση τιµή 5 και διασπορά 4. Έα τόπι 5 µέτρω του υφάσµατος µε > 47 αποφέρει κέρδος 5 ευρώ. Α 47 το ύφασµα πωλείται ως δεύτερης διαλογής και αποφέρει κέρδος 5 ευρώ. Να υπολογισεί το ααµεόµεο κέρδος αά τόπι.. (α) Α είαι µια καοική τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή µ και διασπορά σ και c έας πραγµατικός αριµός τέτοιος ώστε α δειχεί ότι P( > c) P( c) c + 43σ µ (β) Α οι τιµές του σιδήρου στο αίµα τω αδρώ εός πληυσµού ακολουού τη καοική καταοµή µε µέση τιµή mg/dl και διασπορά 5 mg/dl α βρεεί η τιµή c του σιδήρου για τη οποία το ποσοστό αδρώ που τη υπερβαίει είαι διπλάσιο του ποσοστού που δε τη υπερβαίει. 3. (α) Να υπολογισεί η πιαότητα όπως σε 4 ρίψεις εός συήους οµίσµατος εµφαιστού κεφαλές χρησιµοποιώτας καοική προσέγγιση µε διόρωση συέχειας. (β) Ποιά είαι η ακριβής τιµή της πιαότητας αυτής; 4. Σε µια δίκη που αφορούσε τη πατρότητα εός παιδιού ο κατηγορούµεος µπόρεσε α αποδείξει ότι βρισκότα εκτός της χώρας για το χροικό διάστηµα που άρχιζε 95 µέρες πρι τη γέηση του παιδιού και τελείωε 4 ηµέρες πρι τη γέηση. Α υποέσουµε ότι η διάρκεια κύησης ακολουεί καοική καταοµή µε µέση τιµή 9 µήες και τυπική απόκλιση ηµέρες ποιά είαι η πιαότητα ο κατηγορούµεος α είαι πράγµατι ο πατέρας του παιδιού; 5. Η τιµή Χ της χοληστερόλης στο αίµα τω ατόµω εός συγκεκριµέου πληυσµού ακολουεί κατά προσέγγιση τη καοική καταοµή µε µέση τιµή 5 και τυπική απόκλιση 5. (α) Να υπολογισεί το ποσοστό τω ατόµω του πληυσµού

97 τω οποίω η τιµή χοληστερίης είαι µεταξύ και 6. (β) Να βρεεί η τιµή της χοληστερόλης c τέτοια ώστε στο % τω ατόµω του πληυσµού η χοληστερόλη υπερβαίει το c. 6. Έστω ότι έα δείγµα ατόµω εκλέγεται τυχαία από έα πληυσµό για τη εκτίµηση του ποσοστού p τω καπιστώ. (α) Να υπολογισεί το ώστε το ποσοστό τω καπιστώ στο δείγµα α διαφέρει από το πραγµατικό ποσοστό p κατ απόλυτη τιµή λιγότερο του 5 µε πιαότητα τουλάχιστο 99. (β) Α είαι γωστό ότι το πραγµατικό ποσοστό τω καπιστώ είαι p 3 ποιό πρέπει α είαι το µέγεος του δείγµατος; 7. Έστω ότι η απόκλιση Χ της βολής εός σκοπευτή από το κέτρο στόχου είαι µια συεχής τυχαία µεταβλητή µε συάρτηση πυκότητας ( x) x. Ο σκοπευτής κερδίζει το στοίχηµα α η απόκλιση της βολής από το κέτρο του στόχου δε είαι µεγαλύτερη από το /. Να υπολογισεί ο αριµός τω βολώ που απαιτούται έτσι ώστε η πιαότητα α κερδίσει ο σκοπευτής το στοίχηµα α είαι τουλάχιστο 98.