Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Statisticum collegium I
Τι κάνει η Στατιςτική
Στατιςτικι (Statistics) Μετατρζπει αρικμθτικά δεδομζνα ςε χριςιμθ πλθροφορία. Εξάγει ςυμπεράςματα για ζναν πλθκυςμό. Τισ περιςςότερεσ φορζσ, με τθν χριςθ και τθν επεξεργαςία ενόσ μοναδικοφ δείγματοσ. 3
Στθ Διοίκθςθ των Επιχειριςεων Παρζχει μεκόδουσ για τθ ςυνοπτικι παρουςίαςθ των αρικμθτικϊν δεδομζνων. Βοθκά ςτθν εξαγωγι αξιόπιςτων ςυμπεραςμάτων. Οδθγεί ςε αςφαλείσ προβλζψεισ που αφοροφν τισ επιχειρθματικζσ δραςτθριότθτεσ. Συμβάλλει ςτθ λιψθ αποφάςεων για τθ βελτίωςθ των επιχειρθματικϊν διαδικαςιϊν. 4
Δφο κφριοι κλάδοι τθσ Στατιςτικισ Περιγραφικι (Descriptive) Το ςφνολο των μεκόδων που χρθςιμοποιοφμε για τθν οργάνωςθ, τθν παρουςίαςθ και τθν περιγραφι ενόσ ςυνόλου δεδομζνων. Επαγωγικι (Inferential) Το ςφνολο των μεκόδων που χρθςιμοποιοφμε ϊςτε από τα δεδομζνα ενόσ υποςυνόλου να εξάγουμε ςυμπεράςματα για τα χαρακτθριςτικά ολόκλθρου του ςυνόλου. 5
Το βαςικό λεξιλόγιο τησ Στατιςτικήσ
Μεταβλθτι (Variable) Κάκε χαρακτθριςτικό ενόσ αντικειμζνου ι ενόσ ατόμου. Δεδομζνα (Data) Οι τιμζσ που καταγράφονται για μία μεταβλθτι. Οι μεταβλθτζσ είναι τα χαρακτθριςτικά των ατόμων ι των αντικειμζνων τα οποία ενδιαφερόμαςτε να μελετιςουμε. Διαφοροποιοφνται από άτομο ςε άτομο, από αντικείμενο ςε αντικείμενο, από περιοχι ςε περιοχι ι αλλάηουν με το πζραςμα του χρόνου. Οι τιμζσ που ςυλλζγουμε όταν παρατθροφμε τα αντικείμενα αποτελοφν τα δεδομζνα τθσ μεταβλθτισ ι, με άλλα λόγια, τα δεδομζνα που πρόκειται να αναλυκοφν. 7
Πλθκυςμόσ (Population) Το ςφνολο όλων των οντοτιτων που επικυμοφμε να μελετιςουμε ωσ προσ ζνα ι περιςςότερα χαρακτθριςτικά του. Δείγμα (sample) Μζροσ του πλθκυςμοφ που επιλζγεται για τθν ανάλυςθ. Δείγμα Πλθκυςμόσ ςτόχοσ 8
Παράμετροσ πλθκυςμοφ (parameter) Μζτρο, που ςυνοψίηει κάποιο χαρακτθριςτικό του πλθκυςμοφ. Η αρικμθτικι του τιμι υπολογίηεται από το ςφνολο του πλθκυςμοφ και είναι μοναδικι. Στατιςτικό ι ςτατιςτικι δείγματοσ (statistic) Μζτρο, που ςυνοψίηει κάποιο χαρακτθριςτικό του δείγματοσ. Η αρικμθτικι του τιμι υπολογίηεται από το δείγμα. Διαφορετικά δείγματα αποδίδουν, κατά κανόνα, διαφορετικι τιμι ςε ζνα ςτατιςτικό. 9
Παράμετροσ vs. Στατιςτικό Πλθκυςμόσ Δείγμα 1 Σε ζνα κουτί υπάρχουν 100 χάρτινεσ καρδοφλεσ, 20 από τισ οποίεσ είναι καφζ. Επομζνωσ, ςτον πλθκυςμό, θ αναλογία για τισ καφζ καρδοφλεσ είναι 20 0,20 100 Η αναλογία λ ςτον πλθκυςμό είναι μία παράμετροσ του πλθκυςμοφ. Στο δείγμα, θ αναλογία για τισ καφζ καρδοφλεσ είναι 2 p1 0,18 11 Η αναλογία p ςτο δείγμα, είναι ζνα ςτατιςτικό του δείγματοσ. Η τιμι του ςτατιςτικοφ p1 = 0,18 που υπολογίηεται από το δείγμα, είναι μία εκτίμθςθ τθσ αντίςτοιχθσ παραμζτρου λ ςτον πλθκυςμό. 10
Παράμετροσ Στατιςτικό Εκτίμθςθ Ασ υποκζςουμε ότι από τον προθγοφμενο πλθκυςμό επιλζγουμε ζνα δεφτερο δείγμα. Πλθκυςμόσ Δείγμα 2 Η τιμι τθσ αναλογίασ λ ςτον πλθκυςμό, για τισ καφζ καρδοφλεσ, παραμζνει ίδια. Παρατθροφμε όμωσ, ότι θ τιμι τθσ αναλογίασ p ςτο δείγμα είναι διαφορετικι. 3 p2 0,21 14 Η τιμι p2 = 0,21 είναι επίςθσ μία εκτίμθςθ τθσ παραμζτρου λ. Η τιμι μιασ παραμζτρου είναι μοναδικι, αλλά ςυνικωσ άγνωςτθ. Η τιμι ενόσ ςτατιςτικοφ είναι διαφορετικι από δείγμα ςε δείγμα. Η τιμι από ζνα ςτατιςτικό είναι μια εκτίμηςη τθσ πραγματικισ, αλλά ςυνικωσ άγνωςτθσ τιμισ, τθσ αντίςτοιχθσ παραμζτρου ςτον πλθκυςμό. Διαφορετικά δείγματα δίνουν διαφορετικζσ εκτιμιςεισ για τθν ίδια παράμετρο. Η ςτατιςτικι εγγυάται ότι κάκε δείγμα που επιλζγεται ακολουκϊντασ τουσ κανόνεσ τθσ δειγματολθψίασ κα δϊςει μια βζλτιςτθ εκτίμθςθ τθσ παραμζτρου. 11
Είδη Μεταβλητών Κλίμακεσ Μζτρηςησ
Είδθ μεταβλθτϊν Ποςοτικζσ (Quantitative) ι Αρικμθτικζσ (Numerical) Αντιςτοιχοφν ςτα χαρακτθριςτικά που μποροφν να μετρθκοφν, με τθν κοινι ζννοια του όρου. Κατθγορικζσ (Categorical) ι Ποιοτικζσ (qualitative) Καταγράφουν κάποιο ποιοτικό (μθ μετριςιμο) χαρακτθριςτικό. Τιμι μεταβλθτισ Το αποτζλεςμα που προκφπτει από τθ μζτρθςθ ι τθν καταγραφι τθσ. 13
Ποςοτικζσ μεταβλθτζσ Διακριτζσ (discrete) Τιμζσ από αρικμιςιμο ςφνολο (πεπεραςμζνο ι άπειρο) Χ: Το πλήθοσ των μαθημάτων που μπορεί να δηλώςει ζνασ φοιτητήσ. Τιμζσ από το ςφνολο {1, 2,.,8} Υ: Το πλικοσ των αυτοκινιτων που παιρνοφν από μία διαςτάυρωςθ ςε μία θμζρα. Τιμζσ από το ςφνολο {0, 1, 2,.} Συνεχείσ (continuous) Τιμζσ από ζνα διάςτθμα πραγματικϊν αρικμϊν. T: Η διάρκεια λειτουργίασ ενόσ ηλεκτρικοφ λαμπτήρα ( ςε h) Τιμζσ ςτο διάςτθμα (0, 10.000) Η τιμι που καταγράφουμε όταν μετροφμε μία ςυνεχι μεταβλθτι είναι, τισ περιςςότερεσ φορζσ, μία προςζγγιςθ τθσ πραγματικισ τιμισ θ οποία εξαρτάται από τθν ακρίβεια του οργάνου μζτρθςθσ. 14
Ποιοτικζσ μεταβλθτζσ Ονομαςτικζσ (nominal) Οι τιμζσ τουσ είναι λζξεισ, δθλαδι «χαρακτθριςμοί» ι «ετικζτεσ», και μεταξφ τουσ δεν υπάρχει καμιά ςχζςθ ιεραρχίασ. W: Το χρϊμα των μαλλιϊν Τιμζσ από το ςφνολο {ξανθό, καςτανό, μαφρο} Διατακτικζσ (ordinal) Οι τιμζσ τουσ είναι και πάλι λζξεισ, αλλά μεταξφ τουσ υπάρχει ιεραρχία. Q: Ποιότθτα διαμονισ ςε ζνα τουριςτικό κζρετρο. Τιμζσ από το ςφνολο {κακή, μζτρια, καλή, εξαιρετική} και μεταξφ των χρωμάτων δεν ζχει νόθμα να κεωριςουμε κάποια ιεραρχία. και θ ιεραχία μεταξφ των χαρακτθριςμϊν ζχει νόθμα. 15
Οργάνωςη και παρουςίαςη ποςοτικών δεδομζνων (ομαδοποίηςη)
Τίποτα καλφτερο από ζνα παράδειγμα. Κάναμε μια ζρευνα, για να μελετιςουμε το φψοσ τθσ ατομικισ δαπάνθσ (ζξοδα μετακίνθςθσ, καφζδεσ, τςιγάρα, κ.λ.π.) των εργαηομζνων. Για το ςκοπό αυτό, ρωτιςαμε 45 εργαηόμενουσ και πιραμε τισ παρακάτω απαντιςεισ. 3,7 6,7 4,4 6,2 4,1 6,0 5,1 5,3 2,8 5,3 5,3 1,4 5,4 7,5 3,0 6,6 1,1 4,7 1,6 1,7 4,4 5,5 3,0 9,4 6,5 1,4 5,5 5,4 5,8 6,8 4,2 6,0 2,4 6,1 5,6 6,8 5,6 5,8 6,0 7,4 2,5 6,2 3,9 4,7 3,1 Μπορείτε, κοιτάηοντασ τα παραπάνω δεδομζνα, να πείτε κάτι για τθν ατομικι δαπάνθ των εργαηομζνων; Μάλλον, όχι. Χρειαηόμαςτε μια «οργανωμζνθ» παρουςίαςθ των δεδομζνων και αυτι, ςτθν περίπτωςθ των ποςοτικϊν δεδομζνων, λζγεται ομαδοποίθςθ. 17
Πίνακασ ςυχνοτιτων Ατομική Δαπάνη /ημζρα [ ) Κζντρο Συχνότητα Αθροιςτική xi fi Συχνότητα % Σχετική Συχνότητα % Σχετική Αθροιςτική Συχνότητα 1,0 2,5 1,75 6 6 13,33 13,33 2,5 4,0 3,25 7 13 15,56 28,89 4,0 5,5 4,75 12 25 26,67 55,56 5,5 7,0 6,25 17 42 37,78 93,33 7,0 8.5 7,75 2 44 4,44 97,78 8,5 10 9,25 1 45 2,22 100,00 ΣΥΝΟΛΑ n = 45 100,00 p i Fi 12 από τουσ 45 εργαηόμενουσ δαπανοφν 4 ζωσ 5,5 /θμζρα. 26,67% των εργαηομζνων που ρωτικθκαν, δαπανοφν 4 ζωσ 5,5 /θμζρα. 55,56% των εργαηομζνων που ρωτικθκαν, δαπανοφν λιγότερα από 5,5 /θμζρα. 100 55,56 = 44,44% των εργαηομζνων που ρωτικθκαν, δαπανοφν 5,5 ζωσ 10 /θμζρα. 18
Σχετική Συχνότητα % Ιςτόγραμμα Σχετικϊν Συχνοτιτων 40 35 37,78 30 25 26,67 20 15 10 13,33 15,56 5 4,44 2,22 0 1,0 2,5 2,5 4,0 4,0 5,5 5,5 7,0 7,0 8.5 8,5 10 Ατομική Δαπάνη ( /ημζρα) Καταςκευάηεται από τθ ςτιλθ των % ςχετικϊν ςυχνοτιτων του πίνακα ςυχνοτιτων. Επομζνωσ, μασ δίνει τισ ίδιεσ πλθροφορίεσ. Αναπαριςτά τον τρόπο με τον οποίο οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτο δείγμα κατανζμονται ςτισ κλάςεισ. Το ιςτόγραμμα που καταςκευάηεται από το δείγμα είναι ζνα «αποτφπωμα», μια «ακτινογραφία» του πλθκυςμοφ, είναι το «παράκυρο μασ ςτον κόςμο». 19
Σχετική Αθροιςτική Συχνότητα % Ιςτόγραμμα Σχετικϊν Ακροιςτικϊν Συχνοτιτων 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 93,33 97,78 100 55,56 28,89 13,33 1,0 2,5 2,5 4,0 4,0 5,5 5,5 7,0 7,0 8.5 8,5 10 Ατομική Δαπάνη ( /ημζρα) Καταςκευάηεται από τθ ςτιλθ των % ςχετικϊν ακροιςτικϊν ςυχνοτιτων του πίνακα ςυχνοτιτων. Επομζνωσ, μασ δίνει τισ ίδιεσ πλθροφορίεσ. Αναπαριςτά τον τρόπο, τθν «ταχφτθτα» με τον οποίο οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ ςτο δείγμα ςυςςωρεφονται ςταδιακά ςτισ κλάςεισ. 20
Συνεχείσ Τυχαίεσ Μεταβλητζσ Ιςτογράμματα και Πολφγωνα Συναρτήςεισ Κατανομήσ
Πίνακασ Συχνοτιτων για το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων ςτισ 28 χϊρεσ τθσ Ευρωπαϊκισ Ζνωςθσ, το 2013. (ΠΗΓΗ: EUROSTAT) Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων Kgr/κεφαλή [ ) Κζντρο Συχνότητα Αθροιςτική xi fi Συχνότητα % Σχετική Συχνότητα p i % Σχετική Αθροιςτική Συχνότητα Fi 250 350 300 6 6 21,43 21,43 350 450 400 8 14 28,57 50,00 450 550 500 7 21 25,00 75,00 550 650 600 5 26 17,86 92,86 650 750 700 2 28 7,14 100 ΣΥΝΟΛΑ n = 28 100,00 ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Χ: Το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλι) Οι 28 χϊρεσ τθσ Ευρωπαϊκισ Ζνωςθσ 22
Σχετική Συχνότητα (%) Το ιςτόγραμμα των ςυχνοτιτων (frequency histogram) απεικονίηει το ςχιμα, τθ μορφι τθσ κατανομισ. Για ιςοπλατείσ κλάςεισ, και λαμβάνοντασ ωσ μονάδα μζτρθςθσ το εφροσ τουσ, το φψοσ και το πλάτοσ ενόσ ορκογωνίων είναι ίςα με τθ ςυχνότθτα τθσ αντίςτοιχθσ κλάςθσ. Το ςυνολικό εμβαδό των ορκογωνίων είναι 100 (ι 1). 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 21,43 28,57 25,00 17,86 5,00 7,14 0,00 ΠΗΓΗ: EUROSTAT 250-350 350-450 450-550 550-650 650-750 Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Παρατθροφμε τθν αυξθμζνθ ςυγκζντρωςθ τιμϊν ςτισ κλάςεισ 350 450 και 450 550. Η κατανομι εμφανίηει μία μόνον κορυφι. Φαίνεται επίςθσ να μθν είναι ςυμμετρικι, κακϊσ οι παρατθτιςεισ εκτείνονται προσ τα δεξιά περιςςότερο απ ότι προσ τα αριςτερά. 23
Σχετική Συχνότητα (%) Το πολφγωνο των ςυχνοτιτων (frequency polygon) μασ επιτρζπει να κατανοιςουμε το ςχιμα τθσ κατανομισ. Είναι ιδιαίτερα χριςιμο όταν κζλουμε να ςυγκρίνουμε ςφνολα δεδομζνων. 30,00 28,57 25,00 25,00 20,00 15,00 21,43 17,86 10,00 7,14 5,00 0,00 ΠΗΓΗ: EUROSTAT 300 400 500 600 700 Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Στο πολφγωνο των ςυχνοτιτων τα κζντρα των κλάςεων χρθςιμοποιοφνται ωσ «αντιπρόςωποι» των κλάςεων και, μαηί με δφο υποκετικά κζντρα μθδενικισ ςυχνότθτασ ςτα αριςτερά τθσ πρϊτθσ κλάςθσ και ςτα δεξιά τθσ τελευταίασ κλάςθσ, ςυνδζονται με ευκφγραμμα τμιματα, ςχθματίηοντασ το πολφγωνο των ςυχνοτιτων. 24
Κάτω από το πολφγωνο των ςυχνοτιτων Χωρίηουμε τϊρα το πολφγωνο ςε τραπζηια και δφο ορκογϊνια τρίγωνα. Το εμβαδό κακενόσ από αυτά τα χωρία, χρθςιμοποιϊντασ πάντα ωσ μονάδα μζτρθςθσ το εφροσ των κλάςεων, είναι μια εκτίμθςθ του ποςοςτοφ ςυγκζντρωςθσ (τθσ πυκνότθτασ) των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ ςτθν αντίςτοιχθ κλάςθ. Το άκροιςμα όλων των εμβαδϊν είναι ίςο με 1 (ι 100%). Στο 26,785 % περίπου, των χωρϊν τθσ Ε.Ε. το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων είναι 400 500 Kgr/κεφαλι. 25
Σχετική Συχνότητα (%) Συνάρτθςθ Κατανομισ ( ι Πυκνότθτασ) Πικανότθτασ Probability Distribution (Density) Function 30,00 f(x) 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 250 300 400 500 600 700 750 ΠΗΓΗ: -5,00 ΕΛΣΤΑΤ Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Τζλοσ, πάνω ςτο πολφγωνο ςυχνοτιτων μιασ ςυνεχοφσ μεταβλθτισ προςαρμόηουμε μια λεία καμπφλθ. Αυτι θ καμπφλθ δεν είναι τίποτα άλλο παρά θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθσ f(x). Μια τζτοια ςυνάρτθςθ ονομάηεται ςυνάρτθςθ κατανομισ πικανότθτασ (probability distribution function) ι ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ πικανότθτασ (probability density function) τθσ ςυνεχοφσ τυχαίασ μεταβλθτισ Χ. 26
Συναρτιςεισ πυκνότθτασ και υπολογιςμόσ πικανοτιτων Είδαμε παραπάνω πϊσ, χρθςιμοποιϊντασ το πολφγωνο των ςυχνοτιτων, μποροφμε να υπολογίςουμε (για τθν ακρίβεια να εκτιμιςουμε) το ποςοςτό των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ που ςυγκεντρϊνονται ςε κάκε μια από τισ κλάςεισ που ζχουμε ορίςει. Αυτό το ίδιο ποςοςτό, είναι ταυτόχρονα και μία εκτίμθςθ τθσ πικανότθτασ θ μεταβλθτισ μασ να παίρνει τιμι ςτο ςυγκεκριμζνο διάςτθμα. Για παράδειγμα, θ πρόταςθ «Στο 26,785 % περίπου, των χωρών τησ Ε.Ε. το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων είναι από 400 500 Kgr/κεφαλή» είναι ιςοδφναμθ με τθν πρόταςθ «Η πιθανότητα για μια χώρα τησ Ε.Ε. το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων να είναι 400 500 Kgr/κεφαλή, εκτιμάται ςε 0,26785 (ή 26,785%). Το μειονζκτθμα με το πολφγωνο των ςυχνοτιτων είναι ότι δεν μποροφμε να δϊςουμε εφκολα τισ απαντιςεισ για κάκε διάςτθμα, αλλά μόνον για τα διαςτιματα που ορίηονται από τισ κλάςεισ. Πϊσ λοιπόν μποροφμε να απαντιςουμε ςτθν ερϊτθςθ «Ποιά η πιθανότητα για μια χώρα τησ Ε.Ε., το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων να είναι 520 630 Kgr/ κεφαλή;» 27
Συναρτιςεισ πυκνότθτασ και υπολογιςμόσ πικανοτιτων f f x x A 630 520 630 P X A f x dx 520 Η ηθτοφμενθ πικανότθτα, υπολογίηεται από το εμβαδόν του χωρίου Α που ορίηεται από τθ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ πυκνότθτασ f(x), τον οριηόντιο άξονα και τα κάκετα ευκφγραμμα τμιματα ςτα ςθμεία 520 και 630. Ζτςι, το πρόβλθμα ανάγεται ςτον υπολογιςμό ενόσ οριςμζνου ολοκλθρϊματοσ, δθλαδι 630 520 630 P X A f x dx 520 28
Ιδιότθτεσ των ςυναρτιςεων πυκνότθτασ πικανότθτασ Οι ςυναρτιςεισ πυκνότθτασ πικανότθτασ που περιγράφουν τθν κατανομι μιασ ςυνεχοφσ τυχαίασ μεταβλθτισ ζχουν τισ παρακάτω ιδιότθτεσ. 1) Το ςυνολικό εμβαδόν κάτω από μία καμπφλθ πυκνότθτασ πικανότθτασ είναι ίςο με 1. Δθλαδι f x dx 1 E 1 f x 2) Μια ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ πικανότθτασ παίρνει μόνον μθ αρνθτικζσ τιμζσ, και επομζνωσ θ γραφικι τθσ παράςταςθ βρίςκεται πάνω από τον οριηόντιο άξονα. Δθλαδι f x 0 29
Υπολογιςμόσ πικανοτιτων από τθ ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ 1) Για μια ςυνεχι τυχαία μεταβλθτι Χ, θ πικανότθτα να πάρει ακριβϊσ μία ςυγκεκριμζνθ τιμι είναι 0,δθλαδι a 0 P X 2) Η πικανότθτα να ζχει τιμζσ ςε ζνα διάςτθμα (α, b), υπολογίηεται από το εμβαδόν κάτω από τθν καμπφλθ τθσ πυκνότθτασ που ορίηεται από τα άκρα του διαςτιματοσ, δθλαδι b P a X b f x dx a f x 3) Η πικανότθτα να ζχει τιμζσ μικρότερεσ από ζναν ζναν αρικμό α, υπολογίηεται από το εμβαδόν κάτω από τθν καμπφλθ τθσ πυκνότθτασ ςτα αριςτερά του α, δθλαδι P X a f x dx a f x α 30
Σετική Αθροιςτική Συχν τητα ( % ) Το ιςτόγραμμα των ακροιςτικϊν ςυχνοτιτων (cumulative percentage histogram) μασ δείχνει τον τρόπο με τον οποίο ςυγκεντρϊνονται οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ. 100,00 100,00 90,00 92,86 80,00 70,00 75,00 60,00 50,00 50,00 40,00 30,00 20,00 21,43 10,00 0,00 ΠΗΓΗ: EUROSTAT 250 350 450 550 650 750 Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Παρατθροφμε ότι ιδθ μζχρι τθν τθν δεφτερθ κλάςθ ζχει ςυγκεντρωκεί το 50% των τιμϊν τθσ μεταβλθτισ. Αυτό ςθμαίνει ότι ςτο 50% του δείγματοσ οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ είναι μικρότρεσ από το άνω άκρο τθσ δεφτερθσ κλάςθσ. Επομζνωσ, για το ζτοσ 2013 ςτισ μιςζσ χϊρεσ τθσ Ε.Ε. το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων ιταν μικρότερο από 450 Kgr/ κεφαλι. 31
Σχετική Αθροιςτική Συχνότητα ( % ) Το πολφγωνο των ακροιςτικϊν ςυχνοτιτων (cumulative percentage polygon ι ogive) μασ δίνει τισ ίδιεσ πλθροφορίεσ με το ιςτόγραμμα των ακροιςτικϊν ςυχνοτιτων. Επίςθσ, χρθςιμεφει όταν κζλουμε να ςυγκρίνουμε ςφνολα δεδομζνων 100,00 90,00 80,00 70,00 60,00 75,00 92,86 100,00 50,00 50,00 40,00 30,00 20,00 21,43 10,00 0,00 ΠΗΓΗ: EUROSTAT 250 350 450 550 650 750 Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Για τθν καταςκευι του χρθςιμοποιοφμε τα άνω δεξιά άκρα των κλάςεων και το κάτω αριςτερό άκρο τθσ πρϊτθσ κλάςθσ, τα οποία ςυνδζονται με εκφγραμμα τμιματα. Μεγάλθ κλίςθ ενόσ τμιματοσ φανερϊνει αυξθμζνθ και απότομθ ςυγκζντρωςθ τιμϊν ςτθν κλάςθ που ορίηεται από τα άκρα του. 32
Η χρθςιμότθτα τθσ ακροιςτικισ ςυνάρτθςθσ κατανομισ F(600)=0.85 F 250 350 450 550 600 650 750 ΠΗΓΗ: EUROSTAT Βάροσ παραγόμενων απορριμάτων (Kgr/κεφαλή) Η ςυνάρτθςθ ακροιςτικισ κατανομισ μασ επιτρζπει να υπολογίςουμε τθν πικανότθτα θ μεταβλθτισ μασ να παίρνει τιμζσ μικρότερεσ ι ίςεσ από ζναν δοςμζνο αρικμό. Για παράδειγμα, θ πικανότθτα για μια χϊρα τθσ Ε.Ε. το βάροσ των παραγόμενων απορριμάτων να είναι το πολφ 600 Kgr/ είναι F P X 600 600 0.85 33
Υπολογιςμόσ πικανοτιτων από τθν ακροιςτικι ςυνάρτθςθ κατανομισ. F(b) F (x) F(b) F(α) F(α) α b x 1) Για μια ςυνεχι τυχαία μεταβλθτι, θ πικανότθτα να ζχει τιμζσ μικρότερεσ ι ίςεσ ενόσ αρικμοφ α, υπολογίηεται από τθν τιμι τθσ ακροιςτικισ ςυνάρτθςθσ κατανομισ ςτο α, δθλαδι P X a F a 2) Η πικανότθτα να ζχει τιμζσ ςε ζνα διάςτθμα (α, b) υπολογίηεται από τθ διαφορά των τιμϊν τθσ ακροιςτικισ ςυνάρτθςθσ ςτα άκρα του διαςτιματοσ, δθλαδι P a x b F b F a 34