Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Γ Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2

1. Σκοποί ενότητας... 4 2. Περιεχόμενα ενότητας... 4 3. Γραφικά Κριτήρια Ευστάθειας Κριτήριο Γεωμετρικού Τόπου Ριζών... 4 3.1 Ο Γεωμετρικός Τόπος Ριζών μέσω ενός παραδείγματος... 4 3.1.1 Παράδειγμα χάραξης του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών... 5 3.2 Κριτήριο Ευστάθειας μέσω του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών... 12 3.3 Υπολογισμός της Συνθήκης Ευστάθειας και Κρίσιμες Τιμές... 15 3.3.1 Με μαθηματική προσέγγιση, μέσω περιβάλλοντος Matlab:... 15 3.3.2 Με μαθηματική ακρίβεια, μέσω του αλγεβρικού Κριτηρίου Ευστάθειας Routh:... 19 3

1. Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να μελετήσουμε μια σημαντική προϋπόθεση για την ομαλή λειτουργία των συστημάτων: την ευστάθεια τους. 2. Περιεχόμενα ενότητας Στην (υπο)ενότητα αυτή θα μελετήσουμε: Γραφικά κριτήρια ευστάθειας και ιδιαίτερα το κριτήριο Γεωμετρικού τόπου ριζών. Το κριτήριο ευστάθειας μέσω του γεωμετρικού τόπου ριζών. Παραδείγματα εφαρμογής του κριτηρίου ευστάθειας μέσω του γεωμετρικού τόπου ριζών. Υπολογισμό της συνθήκης ευστάθειας και κρίσιμες τιμές αυτής. 3. Γραφικά Κριτήρια Ευστάθειας Κριτήριο Γεωμετρικού Τόπου Ριζών 3.1 Ο Γεωμετρικός Τόπος Ριζών μέσω ενός παραδείγματος Το Κριτήριο Ευστάθειας μέσω του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών είναι ένα από τα γραφικά Κριτήρια Ευστάθειας. Συγκεκριμένα, (i) χαράσσονται οι καμπύλες που ονομάζονται «Γεωμετρικός Τόπος Ριζών» (Root Locus) πάνω στο μιγαδικό επίπεδο της μεταβλητής s = σ + jω του Laplace και στη συνέχεια (ii) εφαρμόζεται το αντίστοιχο Κριτήριο Ευστάθειας επί των καμπυλών, ώστε να χαρακτηριστεί το σύστημα ως προς την ευστάθεια. Ο Γεωμετρικός Τόπος Ριζών (ΓΤΡ) προτάθηκε το 1948 από τον αμερικανό ηλεκτρολόγο μηχανικό και μηχανικό αυτομάτου ελέγχου Walter Evans (1920 1999), ο οποίος εργαζόταν στην General Electric και άλλες μεγάλες εταιρίες των Η.Π.Α. Ο ΓΤΡ είναι στην πραγματικότητα ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο ανάλυσης της συμπεριφοράς ενός κλειστού συστήματος και δίνει πολλές πληροφορίες για το σύστημα πέρα από το χαρακτηρισμό του ως προς την ευστάθεια. Η εφαρμογή του ΓΤΡ όμως περιορίζεται σε συστήματα 1 x 1, μίας εισόδου μίας εξόδου, δηλαδή δεν καλύπτει συστήματα με περισσότερες από μία εισόδους 4

ή/και εξόδους. Σήμερα πλέον η χάραξη του ΓΤΡ δεν γίνεται πλέον με το χέρι αλλά με χρήση προγραμματιστικών εργαλείων, όπως πχ. το περιβάλλον Matlab (The MathWorks). Εδώ δεν θα αναφερθεί η μαθηματική απόδειξη της ορθότητας του ΓΤΡ και του αντίστοιχου Κριτηρίου Ευστάθειας αλλά (i) θα αναπτυχθεί μέσα από παραδείγματα η τεχνική χάραξής του και (ii) θα δοθεί έμφαση στην ερμηνεία των καμπυλών για την εξαγωγή αποτελεσμάτων σχετικά με την ευστάθεια. 3.1.1 Παράδειγμα χάραξης του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών Είναι σημαντικό να γίνει κατανοητό ευθύς εξαρχής ότι η χάραξη του ΓΤΡ έχει νόημα μόνο αν το υπό εξέταση σύστημα έχει μεταβλητή απολαβή ευθέως κλάδου, έστω k > 0. Συνεπώς το σύστημα περιέχει (τουλάχιστον μία) παράμετρο ελεύθερη προς ρύθμιση την απολαβή k. Από τα προηγούμενα κεφάλαια έχει γίνει φανερό ότι στις περιπτώσεις τέτοιων συστημάτων, η απάντηση περί ευστάθειας δεν είναι δυαδική (τύπου Ναι / Όχι) αλλά υπό συνθήκη, ενώ η τιμή ή η περιοχή τιμών της παραμέτρου που κάνει το σύστημα ευσταθές ονομάζεται Συνθήκη Ευστάθειας. Αντίθετα, όλες οι παράμετροι είναι ρυθμισμένες στην οριστική αριθμητική τους τιμή, τότε η απάντηση περί ευστάθειας είναι δυαδική (τύπου Ναι / Όχι), οπότε δεν έχει νόημα η χάραξη του ΓΤΡ - ούτε και μπορεί τεχνικά να γίνει. Στην περίπτωση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε απευθείας ο 3 ος ορισμός της Ευστάθειας (όλοι οι πόλοι στο Αριστερό Μιγαδικό Ημιεπίπεδο) είτε ένα αλγεβρικό Κριτήριο όπως το Κριτήριο Routh. Ας υποθέσουμε ότι ζητείται ο χαρακτηρισμός ως προς την ευστάθεια ενός συστήματος που έχει το ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων, με μεταβλητή απολαβή του ενισχυτή k > 0, συνάρτηση μεταφοράς στον ευθύ κλάδο G(s) = 1/[s(s+2)(s+3)] και μοναδιαία αρνητική ανάδραση H(s) = 1 : X(s) k G(s) Y(s) - H(s) = 1 Βήμα 1 ο : Προσδιορισμός της Συνάρτησης Μεταφοράς Ανοιχτού Βρόχου, έστω GH(s). Η Συνάρτηση Μεταφοράς Ανοιχτού Βρόχου (ΣΜΑΒ) ενός κλειστού συστήματος προκύπτει σε δύο φάσεις: (i) Πρώτα απλοποιείται το αρχικά ενδεχομένως σύνθετο διάγραμμα βαθμίδων του δεδομένου συστήματος, έως την ισοδύναμη μορφή ενός απλού βρόχου ανάδρασης (είτε θετικής είτε αρνητικής), όπως στο ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων: 5

X(s) ± G(s) Y(s) H(s) (ii) Στη συνέχεια ανοιχτοκυκλώνεται ο βρόχος πριν τον αθροιστή, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα: (iii) X(s) ± G(s) Y(s) H(s) και υπολογίζεται η συνάρτηση μεταφοράς όλης της διαδρομής του σήματος, από τον αθροιστή μέχρι και το ανοιχτοκύκλωμα, οπότε η ΣΜΑΒ είναι η Προσοχή: GH ( s) G( s) H( s) (Β3.1). Tο GH είναι σύμβολο, δηλαδή όνομα, και όχι γινόμενο αν και, στην απλή περίπτωση που έχουμε εδώ, τυχαίνει να είναι ίσο και με το γινόμενο του G(s) επί το H(s). H ΣΜΑΒ είναι μαθηματικό εργαλείο που διευκολύνει τη χάραξη του ΓΤΡ και άλλων διαγραμμάτων και όχι συνάρτηση μεταφοράς υπαρκτού συστήματος! Επιστρέφοντας στο σύστημα του παραδείγματος, διαπιστώνουμε ότι ο ευθύς κλάδος 1 έχει συνάρτηση μεταφοράς G '( s ) k G ( s ) k και ο κλάδος s ( s 2)( s 3) ανάδρασης έχει συνάρτηση μεταφοράς H(s) = 1, οπότε η ΣΜΑΒ γίνεται k GH ( s) G '( s) H ( s). (Β3.2) s( s 2)( s 3) Βήμα 2 ο : Εύρεση πόλων και μηδενικών της Συνάρτησης Μεταφοράς Ανοιχτού Βρόχου, έστω GH(s). Πόλοι της GH(s): Θέτουμε τον παρονομαστή της ΣΜΑΒ ίσο με μηδέν και λύνουμε την εξίσωση ως προς s. Εδώ η εξίσωση είναι: s( s 2)( s 3) 0 { s 0, s 2, s 3} οπότε η ΣΜΑΒ έχει n = 3 πόλους. p1 p2 p3 6

Μηδενικά της GH(s): Θέτουμε τον αριθμητή της ΣΜΑΒ ίσο με μηδέν και λύνουμε την εξίσωση ως προς s. Εδώ η εξίσωση είναι: k 0 ύ Δεν έχει λύση ως προς s (δεν υπάρχει τιμή του s που να μηδενίζει τον αριθμητή k), οπότε η ΣΜΑΒ έχει m = 0 (πεπερασμένα) μηδενικά. Στην περίπτωση αυτή η ΣΜΑΒ θεωρείται ότι έχει n m = 3 0 = 3 μηδενικά στο άπειρο, δηλαδή μηδενικά που τείνουν να απειριστούν κατά μέτρο, οπότε αναζητούμε την κατεύθυνση (ασύμπτωτη ευθεία) πάνω στο μιγαδικό επίπεδο με άξονα την οποία κινήθηκε το καθένα από τα μηδενικά αυτά προς το άπειρο. Οι ευθείες αυτές (ημιευθείες για την ακρίβεια) είναι σε πλήθος όσες και τα μηδενικά στο άπειρο και αποδεικνύεται ότι διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο (σημείο τομής των ασυμπτώτων) πάνω στον οριζόντιο άξονα, έστω (σ, 0). Συνεπώς για να χαραχθούν πρέπει να υπολογιστούν (α) το κοινό τους σημείο (σ, 0) και (β) η κλίση της καθεμίας, δηλαδή η γωνία που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα των πραγματικών αριθμών. Πλήθος ασυμπτώτων: n m = 3 0 = 3 Σημείο τομής ασυμπτώτων (σ, 0) n m spi szi i 1 i 1 [0 ( 2) ( 3)] 0 5 nm 3 0 3 (Β3.3). Υπενθυμίζεται ότι η ΣΜΑΒ έχει n το πλήθος πόλους, που συμβολίζονται ως { s pi } και m το πλήθος (πεπερασμένα) μηδενικά, που συμβολίζονται ως { s zi }. Στο παρόν παράδειγμα δεν υπάρχει κανένα (πεπερασμένο) μηδενικό, οπότε στον τύπο Β.4.3 το δεύτερο από τα δύο αθροίσματα γίνεται μηδέν. Κλίσεις ασυμπτώτων: (21), 0,1,..., n m1 n m (Β3.4) Στο παρόν παράδειγμα, οι ασύμπτωτες είναι τρεις και αριθμούνται αρχίζοντας από το μηδέν, έστω ε 0, ε 1, ε 2, οπότε 0,1,2 και οι αντίστοιχες κλίσεις τους είναι οι εξής (20 1) o 0 60 3 3 (211) 3 o 1 180 3 3 (22 1) 5 2 300 3 3 o Βήμα 3 ο : Τοποθέτηση πόλων μηδενικών (και ενδεχομένως μηδενικών στο άπειρο) της ΣΜΑΒ πάνω στο μιγαδικό επίπεδο. Στο σημείο αυτό ξεκινά η χάραξη των καμπυλών του ΓΤΡ πάνω στο μιγαδικό επίπεδο της μεταβλητής s = σ + j ω του Laplace. Οι πόλοι συμβολίζονται με x και τα 7

(πεπερασμένα) μηδενικά με o. Για κάθε μηδενικό στο άπειρο, χαράσσεται η αντίστοιχη ασύμπτωτη ευθεία. Για το σύστημα του παρόντος παραδείγματος, χαράσσεται το ακόλουθο σχήμα: Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν πεπερασμένα μηδενικά, αλλά υπάρχουν οι τρεις ασύμπτωτες ευθείες (ημιευθείες) που οδηγούν στα τρία μηδενικά στο άπειρο. Αυτές ξεκινούν από το σημείο (σ, 0) = (-5/3, 0) και στο άλλο άκρο της καθεμίας (δηλαδή σε άπειρη απόσταση από την αρχή των αξόνων) βρίσκεται το καθένα από τα μηδενικά στο άπειρο. Στο σημείο αυτό μπορεί να περιγραφεί συνοπτικά (α) από τι αποτελείται ο ΓΤΡ και (β) πώς λειτουργεί. Ας υποθέσουμε ότι η απολαβή της ΣΜΑΒ, έστω k, μεταβάλλεται προοδευτικά από 0 προς. Αποδεικνύεται ότι: Καθώς το k μεταβάλλεται, οι πόλοι του κλειστού συστήματος, δηλαδή οι ρίζες του παρονομαστή της Συνάρτησης Μεταφοράς Κλειστού Βρόχου F(s), αλλάζουν κι αυτοί διαρκώς τιμές και συνεπώς κινούνται διαγράφοντας τροχιές πάνω στο μιγαδικό επίπεδο s. Οι τροχιές είναι σε πλήθος όσες και οι πόλοι του κλειστού συστήματος, που είναι όσοι και οι πόλοι της ΣΜΑΒ, δηλαδή (n) το πλήθος. Το σύνολο αυτών των τροχιών είναι ο ΓΤΡ. Η κάθε τροχιά έχει ως σημείο αφετηρίας ένα πόλο της ΣΜΑΒ (εκεί βρίσκεται ο αντίστοιχος πόλος του κλειστού συστήματος για k = 0) και ως σημείο τερματισμού ένα μηδενικό (είτε πεπερασμένο, είτε στο άπειρο) της ΣΜΑΒ (εκεί θα βρεθεί τελικά ο αντίστοιχος πόλος του κλειστού συστήματος για k -> ). Επειδή το μεταβαλλόμενο k είναι μοναδικό, όλοι οι πόλοι του κλειστού συστήματος βρίσκονται την ίδια στιγμή είτε στις αφετηρίες, είτε σε σημεία των τροχιών τους που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένη τιμή k, είτε στα τέρματα. 8

Άρα μέχρι στιγμής έχουν τοποθετηθεί στο μιγαδικό επίπεδο οι αφετηρίες ( x, πόλοι της ΣΜΑΒ) και τα τέρματα ( o, μηδενικά της ΣΜΑΒ σε περίπτωση που υπάρχουν μηδενικά στο άπειρο, αυτά βρίσκονται στο άκρο των ασυμπτώτων ημιευθειών), αλλά δεν έχουν χαραχθεί οι ίδιες οι τροχιές των πόλων, δηλαδή ο ΓΤΡ. Οι τροχιές είναι εν γένει καμπύλες, μπορούν όμως σε ειδικές περιπτώσεις να είναι και ευθείες ή ημιευθείες ή ευθύγραμμα τμήματα. Βήμα 4 ο : Τμήματα του οριζόντιου άξονα xx που ανήκουν στο ΓΤΡ. Αναζητούμε κατ αρχήν τμήματα του οριζόντιου άξονα που ανήκουν στο ΓΤΡ, δηλαδή τμήματα των καμπυλών που είναι οριζόντιες ευθείες. Για το λόγο αυτό χαράσσουμε μόνο τον οριζόντιο άξονα και σημειώνουμε όσους πόλους και μηδενικά της ΣΜΑΒ βρίσκονται πάνω του, δηλαδή είναι πραγματικοί αριθμοί. Τα σημεία αυτά, είτε x είτε o, χωρίζουν τον άξονα xx σε ανοιχτά διαστήματα, με αριστερότερο άκρο το και δεξιότερο άκρο το +. Για κάθε τέτοιο διάστημα, σημειώνουμε το πλήθος σημείων (είτε x είτε o ) που αφήνει το διάστημα στα δεξιά του. Τα διαστήματα που αφήνουν δεξιά τους περιττό πλήθος από σημεία είναι τμήματα του οριζόντιου άξονα που ανήκουν στο ΓΤΡ. Στο παρόν παράδειγμα, χαράσσεται το ακόλουθο σχήμα, όπου πάνω στον οριζόντιο άξονα βρίσκονται μόνο οι τρεις πόλοι της ΣΜΑΒ, {0, -2, -3}, οπότε ο οριζόντιος άξονας διαιρείται στα ανοιχτά διαστήματα (, -3) U (-3, -2) U (-2, 0) U (0, + ). Το καθένα από αυτά τα ανοιχτά διαστήματα αφήνει δεξιά του 3, 2, 1 και 0 σημεία (είτε x είτε o ), αντίστοιχα. Οι αριθμοί σημειώνονται κάτω από τα βέλη στο σχήμα. Επιλέγουμε μόνο τα διαστήματα (, -3) και (-2, 0) διότι αυτά τα διαστήματα αφήνουν δεξιά τους τρία (3) και ένα (1) σημείο, αντίστοιχα, δηλαδή περιττό πλήθος σημείων (το 0 είναι άρτιος). Συνεπώς τα διαστήματα (, -3) και (-2, 0) αποτελούν μέρη των κλάδων του ΓΤΡ. Στο σημείο αυτό προσπαθούμε να αποφασίσουμε ποια είναι τα n = 3 ζεύγη σημείων (σημείο αφετηρίας σημείο τερματισμού) δηλαδή (πόλος της ΣΜΑΒ μηδενικό της ΣΜΑΒ) που ορίζουν την καθεμία από τις n = 3 τροχιές ή κλάδους του ΓΤΡ. 9

Παρατηρούμε ότι 1. Στο σημείο (-3, 0) υπάρχει αφετηρία ( x, πόλος της ΣΜΑΒ), 2. Στο σημείο (, 0), δηλαδή στο αριστερό άκρο του αριστερού οριζόντιου ημιάξονα και σε άπειρη απόσταση από την αρχή των αξόνων, στο τέλος της ασύμπτωτης ευθείας ε 1, υπάρχει τερματισμός ( o, μηδενικό στο άπειρο της ΣΜΑΒ), 3. Το μεταξύ τους τμήμα του οριζόντιου άξονα xx, δηλαδή το ανοιχτό διάστημα (, -3), ανήκει σε κλάδο του ΓΤΡ. Άρα το ανοιχτό διάστημα (, -3) με την αφετηρία στο σημείο (-3, 0) και τον τερματισμό στο (, 0) αποτελεί έναν πλήρη κλάδο του ΓΤΡ. Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι 1. Στα σημεία (-2, 0) και (0, 0) υπάρχουν δύο αφετηρίες ( x, πόλοι της ΣΜΑΒ), 2. Τα αντίστοιχα τέρματα ( o, μηδενικά στο άπειρο της ΣΜΑΒ) βρίσκονται στα άκρα των ασυμπτώτων ευθειών ε 0 και ε 2, ενώ 3. Το μεταξύ των αφετηριών τμήμα του οριζόντιου άξονα xx, δηλαδή το ανοιχτό διάστημα (-2, 0), ανήκει στο ΓΤΡ. Άρα οι δύο πόλοι του κλειστού συστήματος που ξεκινούν από τις αφετηρίες (-2, 0) και (0, 0) για k = 0 και κινούνται προς τα τέρματα καθώς το k αυξάνεται, στην αρχή της διαδρομής τους θα κινηθούν πάνω στον οριζόντιο άξονα, με κατεύθυνση να συναντηθούν. Όταν το k να φτάσει σε κάποια συγκεκριμένη τιμή, θα συναντηθούν πάνω στον οριζόντιο άξονα, σε κάποια θέση εντός του ανοιχτού διαστήματος (-2, 0) αλλά όχι κατ ανάγκην στο μέσο του. Το κλειστό σύστημα για τη συγκεκριμένη τιμή του k θα έχει διπλό πραγματικό πόλο στο σημείο συνάντησης. Το σημείο συνάντησης ονομάζεται και σημείο θλάσης, διότι εκεί «θλάται» δηλαδή «σπάει» η γραμμή της τροχιάς του κάθε κλάδου του ΓΤΡ, καθώς αλλάζει πορεία. Αν το k αυξηθεί πέρα από την συγκεκριμένη τιμή, οι πόλοι του κλειστού συστήματος θα κινηθούν έξω από τον οριζόντιο άξονα, δηλαδή θα πάψουν να είναι πραγματικοί αριθμοί και θα γίνουν συζυγείς μιγαδικοί, θα αναχωρήσουν προς αντίθετες κατευθύνσεις κάθετα προς τον οριζόντιο άξονα. Καθώς το k θα συνεχίσει να αυξάνεται, ο κάθε πόλος θα κινηθεί προς ένα από τα δύο συμμετρικά μηδενικά στο άπειρο, ακολουθώντας καμπύλες τροχιές που έχουν τις ευθείες ε 0 και ε 2 ως ασύμπτωτες. Αξίζει να παρατηρήσει κανείς τη συμμετρία ως προς τον οριζόντιο άξονα που παρουσιάζουν οι κλάδοι του ΓΤΡ, οι αφετηρίες, οι τερματισμοί και οι ασύμπτωτες ευθείες. Το σημείο θλάσης μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: (i) Αρχικά υπολογίζουμε τα υποψήφια σημεία θλάσης, έστω σ θ, επιλύοντας την πολυωνυμική εξίσωση με μοναδικό άγνωστο το σ θ : n m 1 1 s s (Β3.5) i1 pi i1 zi 10

(ii) Στη συνέχεια κάνουμε δεκτές μόνο εκείνες από τις λύσεις (υποψήφια σημεία θλάσης) που ανήκουν στο υπό διερεύνηση ανοιχτό διάστημα. Στο παρόν παράδειγμα, η εξίσωση παίρνει τη μορφή n m 1 1 1 1 1 0 s s 0 ( 2) ( 3) i1 pi i1 zi 2.54 0.78 2 3 10 6 0 (B3.6) Δεκτή γίνεται μόνο η λύση σ θ = 0.78 η οποία ανήκει στο ανοιχτό διάστημα που περιέχει το σημείο θλάσης, δηλαδή στο (-2, 0). Βήμα 5 ο : Καμπύλες του ΓΤΡ εκτός οριζόντιου άξονα. Σύμφωνα με τα ανωτέρω, στο σημείο αυτό χαράσσονται και οι υπόλοιπες καμπύλες του ΓΤΡ που δεν ανήκουν στον οριζόντιο άξονα, αλλά κινούνται συμμετρικά ως προς αυτόν, λαμβάνοντας υπόψη και τα σημεία θλάσης, εφόσον υπάρχουν. Για τις καμπύλες χρησιμοποιούνται ως οδηγοί οι ασύμπτωτες ευθείες προς τα μηδενικά στο άπειρο. Η ακριβής χάραξη με το χέρι είναι αδύνατη, οπότε καταφεύγουμε σε υπολογιστικά εργαλεία, τα οποία χαράζουν τις καμπύλες υπολογίζοντας τους πόλους του κλειστού συστήματος για πολλές και πυκνά τοποθετημένες τιμές του k από 0 μέχρι άπειρο, πρακτικά δηλαδή από κάποια μικρή αρχική τιμή k min έως και κάποια μεγάλη τελική τιμή k max, με συγκεκριμένο βήμα έστω k step. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ο ΓΤΡ ολοκληρωμένος, όπως έχει χαραχθεί με χρήση του υπολογιστικού περιβάλλοντος Matlab. Στο περιβάλλον Matlab, η χάραξη του ΓΤΡ επιτυγχάνεται με δύο εντολές, εκ των οποίων 11

(i) (ii) η πρώτη εντολή, tf, κατασκευάζει τη ΣΜΑΒ του δεδομένου συστήματος (εκτός από το μεταβλητό k, το οποίο εδώ εννοείται και δεν χρειάζεται να δηλωθεί) ενώ η δεύτερη εντολή, rlocus, χαράζει το ΓΤΡ του συστήματος που έχει τη συγκεκριμένη ΣΜΑΒ: % % Root Locus plot for system with Open-Loop Transfer Function % GH(s) = k / [s (s+2) (s+3)] = k / (s^3 + 5 s^2 + 6 s + 0) % >> GH = tf([1], [1 5 6 0]); >> rlocus(gh) Πληκτρολογώντας >> help tf ή >> help rlocus στο παράθυρο εντολών (command window) του περιβάλλοντος Matlab, μπορείτε να βρείτε περισσότερες λεπτομέρειες για τη σύνταξη των εντολών αυτών και τις επιλογές ή ρυθμίσεις που διαθέτουν. Στο σημείο αυτό ολοκληρώθηκε η χάραξη του ΓΤΡ. Στη συνέχεια θα εφαρμοστεί το σχετικό Κριτήριο Ευστάθειας ώστε να χαρακτηριστεί το υπό εξέταση σύστημα ως προς την ευστάθεια. 3.2 Κριτήριο Ευστάθειας μέσω του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών Το Κριτήριο Ευστάθειας μέσω του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών εφαρμόζεται αφού έχουν πρώτα χαραχθεί οι καμπύλες του ΓΤΡ, όπως αναλύθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, και εφαρμόζεται με απλή επισκόπηση των καμπυλών του ΓΤΡ. Το Κριτήριο διατυπώνεται ως εξής: ΑΝ υπάρχει τουλάχιστον ένας κλάδος του ΓΤΡ που σε όλη του τη διαδρομή, από την αφετηρία μέχρι τον τερματισμό, βρίσκεται στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο, ΤΟΤΕ το κλειστό σύστημα είναι Ασταθές (χωρίς Συνθήκη). ΑΝ όλοι οι κλάδοι του ΓΤΡ σε όλη τη διαδρομή τους, από τις αφετηρίες μέχρι τους τερματισμούς, βρίσκονται στο Αριστερό Μιγαδικό Ημιεπίπεδο, ΤΟΤΕ το κλειστό σύστημα είναι Ευσταθές (χωρίς Συνθήκη). ΣΕ ΚΑΘΕ ΑΛΛΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, το κλειστό σύστημα είναι Ευσταθές Υπό Συνθήκη. Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο για τα περιεχόμενα και τον τρόπο λειτουργίας του ΓΤΡ, γίνεται φανερό ότι: Στην πρώτη από τις περιπτώσεις που προβλέπει το Κριτήριο, υπάρχει ένας (τουλάχιστον) πόλος του κλειστού συστήματος ο οποίος για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής απολαβής k από 0 έως, κινείται στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο (ΔΜΗ), άρα παραμένει ασταθής σύμφωνα με τον 3 ο ορισμό της ευστάθειας. Ασχέτως με τη συμπεριφορά των υπόλοιπων πόλων του συστήματος, αυτό αρκεί για να χαρακτηρίσει το όλο κλειστό σύστημα ως 12

Ασταθές χωρίς Συνθήκη. Πράγματι, δεν υπάρχει Συνθήκη, δηλαδή περιοχή τιμών της παραμέτρου k, που να το κάνει ευσταθές. Στη δεύτερη από τις περιπτώσεις που προβλέπει το Κριτήριο, όλοι οι πόλοι του κλειστού συστήματος και για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής απολαβής k από 0 έως, κινούνται στο Αριστερό Μιγαδικό Ημιεπίπεδο (ΑΜΗ), άρα παραμένουν ευσταθείς σύμφωνα με τον 3 ο ορισμό της ευστάθειας. Αυτό αρκεί για να χαρακτηρίσει το όλο κλειστό σύστημα ως Ευσταθές χωρίς Συνθήκη. Πράγματι, η Συνθήκη Ευστάθειας μπορούμε να πούμε ότι είναι η 0 < k <, δηλαδή ουσιαστικά και πάλι δεν υπάρχει συνθήκη. Σε όλες τις υπόλοιπες περιπτώσεις (τρίτη περίπτωση στο Κριτήριο), που υπάρχουν κλάδοι του ΓΤΡ με διαδρομές ή τμήματα διαδρομών τόσο στο ΑΜΗ όσο και στο ΔΜΗ, συμπεραίνουμε ότι οι πόλοι του κλειστού συστήματος για συγκεκριμένες τιμές ή περιοχές τιμών της παραμέτρου k βρίσκονται όλοι στο ΑΜΗ, άρα το κλειστό σύστημα χαρακτηρίζεται ως Ευσταθές Υπό Συνθήκη, η δε Συνθήκη Ευστάθειας είναι ακριβώς η περιοχή τιμών του k για την οποία συμβαίνει αυτό. Παράδειγμα εφαρμογής του Κριτηρίου Ευστάθειας μέσω του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών Ζητείται ο χαρακτηρισμός ως προς την ευστάθεια ενός συστήματος που έχει το ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων, με μεταβλητή απολαβή του ενισχυτή k > 0, συνάρτηση μεταφοράς στον ευθύ κλάδο G(s) = 1/[s(s+2)(s+3)] και μοναδιαία αρνητική ανάδραση H(s) = 1 : X(s) k G(s) Y(s) - H(s) = 1 Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ο ΓΤΡ του συγκεκριμένου συστήματος, όπως χαράχθηκε αναλυτικά στο προηγούμενο κεφάλαιο. Διακρίνουμε ότι έχει τρεις κλάδους, οι οποίοι έχουν χαραχθεί με κόκκινο, πράσινο και μπλε χρώμα, αντίστοιχα: 13

Με επισκόπηση του ΓΤΡ, παρατηρούμε ότι (i) (ii) (iii) Ο 1 ος πόλος του κλειστού συστήματος κινείται πάνω στον πρώτο κλάδο του ΓΤΡ (κόκκινη γραμμή στο ΓΤΡ). Ξεκινά από την αφετηρία του (σημείο x στο (-3, 0) για k = 0) και, καθώς το k αυξάνει, κινείται προς το τέρμα του (σημείο o στο (, 0) για k -> ) παραμένοντας πάντα στο ΑΜΗ. Άρα ο πρώτος πόλος του κλειστού συστήματος είναι ευσταθής πόλος (χωρίς συνθήκη). Ο 2 ος πόλος του κλειστού συστήματος κινείται πάνω στο δεύτερο κλάδο του ΓΤΡ (πράσινη γραμμή στο ΓΤΡ). Ξεκινά από την αφετηρία του (σημείο x στο (-2, 0) για k = 0) και, καθώς το k αυξάνει, κινείται αρχικά πάνω στον οριζόντιο άξονα προς το σημείο θλάσης ( 0.78, 0), όπου συναντάται με τον 3 ο πόλο (μπλε γραμμή) που έρχεται από την αντίθετη κατεύθυνση. Καθώς το k αυξάνει περισσότερο, ο 2 ος πόλος εγκαταλείπει τον οριζόντιο άξονα ακολουθώντας την πράσινη καμπύλη και κινείται προς το τέρμα του (σημείο o στο άκρο της ασύμπτωτης ε 2 με κλίση 300 o = - 60 o ). Για κάποια συγκεκριμένη τιμή του k, διασχίζει τον κατακόρυφο άξονα, οπότε περνά στο ΔΜΗ και γίνεται ασταθής. Άρα ο 2 ος πόλος του κλειστού συστήματος είναι Ευσταθής υπό Συνθήκη. Ο 3 ος πόλος του κλειστού συστήματος κινείται πάνω στο τρίτο κλάδο του ΓΤΡ (μπλε γραμμή στο ΓΤΡ). Ξεκινά από την αφετηρία του (σημείο x στο (0, 0) για k = 0) και, καθώς το k αυξάνει, κινείται αρχικά πάνω στον οριζόντιο άξονα προς το σημείο θλάσης ( 0.78, 0), όπου συναντάται με τον 2 ο πόλο (πράσινη γραμμή) που έρχεται από την αντίθετη κατεύθυνση. Καθώς το k αυξάνει περισσότερο, ο 3 ος πόλος εγκαταλείπει τον οριζόντιο άξονα ακολουθώντας την μπλε καμπύλη και κινείται προς το τέρμα του (σημείο o στο άκρο της ασύμπτωτης ε 0 με κλίση 60 o ). Για κάποια συγκεκριμένη τιμή του k, διασχίζει τον κατακόρυφο άξονα, οπότε περνά στο ΔΜΗ και γίνεται ασταθής. Άρα ο 3 ος πόλος του κλειστού συστήματος είναι Ευσταθής υπό Συνθήκη. Παρατηρούμε ότι καθώς το k αυξάνει από 0 προς άπειρο, όλοι οι πόλοι του κλειστού συστήματος κινούνται εντελώς συμμετρικά ως προς τον οριζόντιο άξονα. Ειδικά ο 2 ος 14

και ο 3 ος πόλος διατηρούν πάντα είτε πραγματικές τιμές όσο κινούνται πάνω στον οριζόντιο άξονα, από τις αφετηρίες τους προς το σημείο θλάσης, είτε συζυγείς μιγαδικές τιμές όσο κινούνται μετά το σημείο θλάσης προς τα τέρματά τους. Με βάση τα ανωτέρω, αποκλείονται οι δύο πρώτες περιπτώσεις του Κριτηρίου και γίνεται δεκτή η τρίτη περίπτωση, δηλαδή το κλειστό σύστημα είναι Ευσταθές Υπό Συνθήκη. Βέβαια, για να έχουμε μια ολοκληρωμένη απάντηση στο ερώτημα περί ευστάθειας, απομένει να υπολογιστεί η Συνθήκη Ευστάθειας. Όπως θα αναπτυχθεί σε επόμενη παράγραφο, αυτό μπορεί να γίνει (i) Με μαθηματική ακρίβεια, μέσω ενός αλγεβρικού Κριτηρίου Ευστάθειας, όπως πχ το Κριτήριο Routh. (ii) Με μαθηματική προσέγγιση, μέσω του περιβάλλοντος Matlab και των επιπλέον επιλογών που παρέχει η εντολή rlocus. 3.3 Υπολογισμός της Συνθήκης Ευστάθειας και Κρίσιμες Τιμές Όπως διαπιστώθηκε τόσο στην περίπτωση των αλγεβρικών κριτηρίων όσο και στην περίπτωση των γραφικών κριτηρίων, για ένα σύστημα που η μελέτη ευστάθειας καταλήγει να το χαρακτηρίσει ως Ευσταθές Υπό Συνθήκη, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί και η Συνθήκη Ευστάθειας, δηλαδή η τιμή ή η περιοχή τιμών της μεταβλητής απολαβής k της ΣΜΑΒ για την οποία το κλειστό σύστημα γίνεται Ευσταθές. Όπως προαναφέρθηκε, αυτό μπορεί να επιτευχθεί (i) είτε με μαθηματική προσέγγιση, μέσω του περιβάλλοντος Matlab και των επιπλέον επιλογών που παρέχει η εντολή rlocus, (ii) είτε με μαθηματική ακρίβεια, μέσω ενός αλγεβρικού Κριτηρίου Ευστάθειας, όπως πχ. το Κριτήριο Routh. Στη συνέχεια θα αναλυθούν οι δύο αυτές μέθοδοι, με βάση το ίδιο παράδειγμα συστήματος που χρησιμοποιήθηκε στην προηγούμενη παράγραφο για τη χάραξη του ΓΤΡ και συγκεκριμένα το σύστημα που έχει το ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων, με μεταβλητή απολαβή του ενισχυτή k > 0, συνάρτηση μεταφοράς στον ευθύ κλάδο G(s) = 1/[s(s+2)(s+3)] και μοναδιαία αρνητική ανάδραση H(s) = 1 : X(s) k G(s) Y(s) - H(s) = 1 3.3.1 Με μαθηματική προσέγγιση, μέσω περιβάλλοντος Matlab: 15

Βήμα 1 ο : Μέσα στο περιβάλλον Matlab χαράζουμε το ΓΤΡ του συγκεκριμένου συστήματος, χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες εντολές, όπως αναλύθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης της εντολής rlocus, στο Παράθυρο Εικόνας (Figure Window) εμφανίζεται το διάγραμμα του ΓΤΡ του συστήματος (επαναλαμβάνεται στο ακόλουθο σχήμα για διευκόλυνση): Βήμα 2 ο : Μεταφέρουμε το ποντίκι του Η/Υ μέσα στο Παράθυρο Εικόνας και το σύρουμε πάνω σε οποιαδήποτε από τις τρεις καμπύλες του ΓΤΡ. Παρατηρούμε ότι το ποντίκι μετατρέπεται σε «χεράκι», ενώ ταυτόχρονα εμφανίζεται ένα ορθογώνιο πλαίσιο που ακολουθεί το «χεράκι», καθώς το σύρουμε πάνω στην καμπύλη. Για κάθε θέση που βρισκόμαστε επί της καμπύλης, το ορθογώνιο πλαίσιο εμφανίζει ένα σύνολο από τιμές παραμέτρων λειτουργίας του συστήματος, υπολογισμένες με βάση την τιμή της μεταβλητής απολαβής της ΣΜΑΒ, k, που ισχύει στη δεδομένη θέση. Οι παράμετροι αυτές είναι οι εξής: 1. System: το όνομα της μεταβλητής του περιβάλλοντος Matlab όπου έχει αποθηκευθεί η ΣΜΑΒ. 2. Gain: η τρέχουσα τιμή της μεταβλητής απολαβής k της ΣΜΑΒ. 3. Pole: η τρέχουσα τιμή του αντίστοιχου πόλου του κλειστού συστήματος, καθώς κινείται πάνω στην καμπύλη του ΓΤΡ. 4. Damping: Ο συντελεστής απόσβεσης ζ που συνεισφέρει ο συγκεκριμένος πόλος του κλειστού συστήματος στη χρονική απόκριση του κλειστού συστήματος, όταν αυτός βρίσκεται στην τρέχουσα θέση. Για πραγματικούς πόλους (επί του οριζόντιου άξονα), ζ = 1 (κρίσιμη απόκριση, δεν υπάρχει ταλάντωση στην έξοδο). Για καθαρά φανταστικούς πόλους (επί του κατακόρυφου άξονα), ζ = 0 (καθόλου απόσβεση, ημίτονο αμείωτου πλάτους στην έξοδο). Για γενικά μιγαδικούς πόλους, 0 < ζ < 1. Επιθυμητή τιμή: ζ = 0.707 περίπου. 5. Overshoot: Η μέγιστη υπερύψωση (%) πάνω από την τελική στάθμη, στην βηματική απόκριση του κλειστού συστήματος. Για πραγματικούς πόλους (επί του οριζόντιου άξονα), overshoot(%) = 0 (κρίσιμη απόκριση, δεν υπάρχει ταλάντωση στην έξοδο). 16

Για καθαρά φανταστικούς πόλους (επί του κατακόρυφου άξονα), overshoot(%) = 100 (ημίτονο αμείωτου πλάτους στην έξοδο). Για γενικά μιγαδικούς πόλους, 0 <= overshoot(%) <. Ανεκτή τιμή: overshoot (%) <= 50 ή 60 περίπου. 6. Frequency (rad/sec): Το πραγματικό μέρος του πόλου του κλειστού συστήματος στην τρέχουσα θέση του, όσο κινείται στον οριζόντιο άξονα (πραγματικός αριθμός). Το φανταστικό μέρος του πόλου, όσο κινείται εκτός οριζόντιου άξονα (μιγαδικός αριθμός). Απόλυτες τιμές τους, και στις δύο περιπτώσεις (εκφράζεται σε rad / sec άρα πρέπει να είναι θετική για να έχει φυσική σημασία). Βήμα 3 ο : Επιλέγουμε έναν από τους κλάδους του ΓΤΡ που η καμπύλη του διασχίζει τον κατακόρυφο άξονα. Σύρουμε το ποντίκι του Η/Υ πάνω στον κλάδο, προσπαθώντας να πετύχουμε με τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια το σημείο που η καμπύλη τέμνει τον κατακόρυφο άξονα. Εκεί ακινητοποιούμε το ποντίκι και στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο διαβάζουμε την τιμή της παραμέτρου Gain. Αυτή είναι και η τιμή της απολαβής k, έστω k = k H, που φέρνει το σύστημα στα όρια της ευστάθειας. Βήμα 4 ο : Στη συνέχεια σύρουμε το ποντίκι του Η/Υ πάνω στην ίδια καμπύλη, στην κατεύθυνση που μειώνεται το k, δηλαδή προς την αφετηρία του συγκεκριμένου πόλου ( x ). Εκεί ακινητοποιούμε το ποντίκι και στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο διαβάζουμε εκ νέου την τιμή της παραμέτρου Gain. Αυτή είναι και η τιμή της απολαβής k, έστω k = k L, που φέρνει το σύστημα στα όρια της ευστάθειας. Παρατηρήσεις: Η ζητούμενη Συνθήκη Ευστάθειας είναι η k L < k < k H. 1. Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε οποιονδήποτε από τους κλάδους του ΓΤΡ που διασχίζουν τον κατακόρυφο άξονα κι αν επιλέξουμε για να εργαστούμε. 2. Η Συνθήκη που λαμβάνεται με τη μέθοδο αυτή αποτελεί προσέγγιση, διότι η ακρίβεια των τιμών εξαρτάται από την ακρίβεια της τοποθέτησης του ποντικιού του Η/Υ πάνω στο Παράθυρο Εικόνας του περιβάλλοντος Matlab, η οποία με τη σειρά της εξαρτάται από την ανάλυση της οθόνης και άλλους παράγοντες. 3. Το άνω όριο στη Συνθήκη μπορεί να είναι το + άπειρο, ή το κάτω όριο να είναι το άπειρο. Συνήθως όμως θεωρούμε στην πράξη απολαβές k > 0, οπότε το κάτω όριο είναι αριθμός θετικός ή μηδέν. Επιστρέφοντας στο παράδειγμα και εφαρμόζοντας τα βήματα, παίρνουμε το εξής ΓΤΡ στο Παράθυρο Εικόνας του περιβάλλοντος Matlab: 17

Εργαζόμενοι κατ αρχήν πάνω στον πράσινο κλάδο, εντοπίζουμε με τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια το σημείο τομής του με τον κατακόρυφο άξονα, οπότε ακινητοποιούμε το ποντίκι του Η/Υ. Το συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο (κάτω πλαίσιο στο σχήμα) δίνει Gain = 30, τιμή πόλου = 0+j2.45 περίπου, τιμή ζ = 0 περίπου, τιμή overshoot = 100% και τιμή συχνότητας = 2.45 rad/sec. Από όλα αυτά, σε σχέση με την ευστάθεια κρατάμε το k H = 30. Συνεχίζοντας πάνω στον πράσινο κλάδο, κινούμαστε προς την αφετηρία του και εντοπίζουμε με τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια το σημείο x στο (-2, 0), οπότε ακινητοποιούμε το ποντίκι του Η/Υ. Το συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο (άνω πλαίσιο στο σχήμα) δίνει Gain = 0, τιμή πόλου = -2, τιμή απόσβεσης ζ = 1, τιμή overshoot = 0% και τιμή συχνότητας = 2 rad/sec. Από όλα αυτά, σε σχέση με την ευστάθεια κρατάμε το k L = 0. Η ζητούμενη Συνθήκη Ευστάθειας είναι η 0 < k < 30. Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε αν είχαμε επιλέξει να εργαστούμε πάνω στον μπλε κλάδο, ο οποίος επίσης διασχίζει τον κατακόρυφο άξονα, άρα μπορεί να δώσει την άνω οριακή τιμή του k. Το αντίστοιχο σημείο και το συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο φαίνονται στο επόμενο σχήμα, άνω και δεξιά. Συγκρίνοντας με τις τιμές στο ορθογώνιο πλαίσιο του πράσινου κλάδου (κάτω πλαίσιο στο σχήμα), επιβεβαιώνουμε την προσεγγιστική φύση της μεθόδου. Πράγματι, αν και οι τιμές Gain, Overshoot και Frequency ταυτίζονται, οι τιμές Pole και Damping είναι περίπου ίσες. Τέλος στο ίδιο σχήμα διαπιστώνουμε ότι για Gain = 30 (περίπου), ο πραγματικός πόλος έχει μετακινηθεί αριστερά πάνω στον οριζόντιο άξονα στη θέση (-5, 0) περίπου, επιβεβαιώνοντας ότι παραμένει πάντα ευσταθής (άνω αριστερά πλαίσιο στο σχήμα). 18

Τέλος στο ίδιο σχήμα, σύροντας το ποντίκι του Η/Υ πάνω στον κόκκινο κλάδο του ΓΤΡ, διαπιστώνουμε ότι για Gain = 30 (περίπου), ο αντίστοιχος πραγματικός πόλος του κλειστού συστήματος έχει μετακινηθεί αριστερά πάνω στον οριζόντιο άξονα στη θέση (-5, 0) περίπου, επιβεβαιώνοντας ότι παραμένει πάντα ευσταθής (άνω αριστερά πλαίσιο στο σχήμα). 3.3.2 Με μαθηματική ακρίβεια, μέσω του αλγεβρικού Κριτηρίου Ευστάθειας Routh: Υπολογίζεται η Συνάρτηση Μεταφοράς Κλειστού Βρόχου F(s) του συστήματος, διατηρώντας την απολαβή k της ΣΜΑΒ μεταβλητή, και απομονώνεται το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο: X(s) k G(s) Y(s) - H(s) = 1 k G '( s) kg( s) s( s 2)( s 3) k Fs () 1 G '( s) H ( s) 1 kg( s) k 1 s( s 2)( s 3) k s( s 2)( s 3) (B3.7) 19

Το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο είναι το 3 2 s( s 2)( s 3) k s 5s 6s k και η 3 2 Χαρακτηριστική Εξίσωση είναι η s 5s 6s k 0. Όπως είναι φανερό, οι ρίζες της, δηλαδή οι πόλοι του κλειστού συστήματος (από τους οποίους εξαρτάται η ευστάθειά του) εξαρτώνται από την τιμή του k. Στη συνέχεια εφαρμόζεται το Κριτήριο Routh, θεωρώντας το κλειστό σύστημα ως σύστημα με την παράμετρο k ελεύθερη προς ρύθμιση (βλ. σχετική παράγραφο στο προηγούμενο κεφάλαιο). Προκύπτει ανίσωση ή σύστημα ανισώσεων με άγνωστο το k. ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Routh Συμπλήρωση 1 ης και 2 ης γραμμής Η διάταξη Routh έχει (N+1) = 4 γραμμές και (N+1)/2 = 2 στήλες. Οι δύο πρώτες γραμμές συμπληρώνονται χωρίς πράξεις, απευθείας από τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: s 3 1 6 s 2 5 k s 1 s 0 Συμπλήρωση 3 ης γραμμής Η 3 η γραμμή γεμίζει από τις 1 η και 2 η και με pivot το 5. s 3 1 6 s 2 5 k s 1 1 6 5 k k30 30 k 5 3 3 1 0 5 0 0 5 s 0 20

Συμπλήρωση 4 ης γραμμής Η 4 η γραμμή γεμίζει από τις 2 η και 3 η και με pivot το (30 k)/3. s 3 1 6 s 2 5 k s 1 30 k 0 3 s 0 5 30 k 3 30 k 3 k 0 k ΒΗΜΑ ΙΙ: Απομονώνεται η 1 η στήλη της Διάταξης Routh Η πρώτη στήλη είναι η αριστερότερη της διάταξης, και διαπιστώνουμε ότι το πρόσημο των στοιχείων της εξαρτάται από την τιμή της παραμέτρου k. πρόσημο εναλλαγές προσήμου s 3 1 + 0 s 2 5 + 0 s 1 (30 k)/3?? s 0 k?? ΣΥΝΟΛΟ? ΒΗΜΑ ΙΙΙ: Εφαρμόζεται το Κριτήριο Routh στην 1 η στήλη της Διάταξης Routh Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει όλοι οι όροι της 1 ης στήλης να είναι ομόσημοι. Δεδομένου ότι οι δύο πρώτοι είναι ήδη θετικοί, η μόνη περίπτωση ομοσημίας είναι να είναι και οι υπόλοιποι θετικοί. Έτσι προκύπτει σύστημα ανισώσεων, με άγνωστο την παράμετρο k. Tο παρόν σύστημα έχει λύση, διότι οι δύο ανισώσεις του συναληθεύουν για ορισμένη περιοχή τιμών του k: 30 k 0 3(30 k) 0 30 k 0 k 30 3 0 k 30 k 0 k 0 k 0 k 0 (B3.8) 21

Άρα το σύστημα είναι Ευσταθές Υπό Συνθήκη και η Συνθήκη Ευστάθειας είναι η 0 k 30. Οι κρίσιμες τιμές του k προκύπτουν άμεσα από τα όρια της Συνθήκης Ευστάθειας. Εδώ είναι οι εξής: k_critical_1 = 0, k_critical_2 = 30. Η κρίσιμη τιμή k_critical_1 = 0 δεν έχει φυσική σημασία, διότι αν η απολαβή k στον ευθύ κλάδο του συστήματος ρυθμιστεί στο 0, τότε η έξοδος θα είναι μηδενική για οποιαδήποτε είσοδο, πράγμα που ισοδυναμεί με ανοιχτοκύκλωση του κλειστού συστήματος μεταξύ k και G(s). Γι αυτό και, προκειμένου να μεταβληθεί η απολαβή k από μηδέν μέχρι άπειρο, στην πράξη μεταβάλλεται από μία πολύ μικρή θετική τιμή μέχρι μία πολύ μεγάλη θετική τιμή αλλά όχι από μηδέν (ούτε φυσικά και μέχρι άπειρο ). Άρα απομένει μία μόνο κρίσιμη τιμή απολαβής, η k_critical_2 = 30. Ολοκληρώνοντας την μελέτη ευστάθειας του κλειστού συστήματος του παρόντος παραδείγματος, καταλήγουμε ότι είναι Ευσταθές Υπό Συνθήκη, η Συνθήκη Ευστάθειας είναι 0 < k < 30, η κρίσιμη τιμή της απολαβής k είναι 30 και το κλειστό σύστημα γίνεται 1. Ευσταθές, για 0 < k < 30 (εντός της Συνθήκης Ευστάθειας), 2. Οριακά Ευσταθές, για k = k_critical_2 = 30 (στο όριο της Συνθήκης Ευστάθειας), 3. Ασταθές, για k > 30 (εκτός της Συνθήκης Ευστάθειας). Υπολογισμός της κρίσιμης (κυκλικής) συχνότητας ω_critical Μεταξύ των προηγούμενων περιπτώσεων παρουσιάζει ενδιαφέρον για περαιτέρω διερεύνηση η περίπτωση του Οριακά Ευσταθούς συστήματος, οπότε η απολαβή k έχει ρυθμιστεί ακριβώς στην κρίσιμη τιμή της. Όπως έχει ήδη αναλυθεί στην παράγραφο του αλγεβρικού Κριτηρίου Routh για συστήματα με παράμετρο ελεύθερη προς ρύθμιση, στην πράξη αυτή είναι μια ανεπιθύμητη κατάσταση για ένα ΣΑΕ. Εντούτοις, είναι καλό να γνωρίζουμε τόσο την τιμή της κρίσιμης απολαβής, όσο και την τιμή της συχνότητας του ημιτόνου αμείωτου πλάτους που θα εμφανιστεί στη χρονική απόκριση ενός τέτοιου συστήματος, ως αποτέλεσμα της οριακής ευστάθειας. Η συχνότητα αυτή ονομάζεται κρίσιμη συχνότητα critical (rad/sec) ή f critical (Hz) και καθώς αφορά ημίτονο αμείωτου πλάτους μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί συνδέοντας στην έξοδο ένα παλμογράφο. Ο υπολογισμός της κρίσιμης συχνότητας critical (rad / sec) γίνεται από το Κριτήριο Routh, όπου όμως η απολαβή k έχει αντικατασταθεί από την κρίσιμη τιμή της, οπότε δεν υπάρχει παράμετρος. Στο σύστημα του παρόντος παραδείγματος η κρίσιμη τιμή είναι μία, η k_critical_2 = 30, οπότε αυτήν αντικαθιστούμε στο Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο και συμπληρώνουμε τη Διάταξη Routh κατά τα γνωστά. Σημειώνεται ότι αν υπάρχουν περισσότερες από μία κρίσιμες τιμές της απολαβής k, η διαδικασία επαναλαμβάνεται για κάθε κρίσιμη τιμή, παράγοντας μία αντίστοιχη κρίσιμη συχνότητα. 22

ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Routh Συμπλήρωση 1 ης και 2 ης γραμμής Η διάταξη Routh έχει (N+1) = 4 γραμμές και (N+1)/2 = 2 στήλες. Οι δύο πρώτες γραμμές συμπληρώνονται χωρίς πράξεις, απευθείας από τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: s 3 1 6 s 2 5 30 s 1 s 0 Συμπλήρωση 3 ης γραμμής Η 3 η γραμμή γεμίζει από τις 1 η και 2 η και με pivot το 5. s 3 1 6 s 2 5 30 s 1 1 6 5 30 0 5 1 0 5 0 0 5 s 0 Όταν εμφανιστεί μία πλήρως μηδενική γραμμή, όπως συνέβη εδώ με την 3 η γραμμή, διακόπτεται η συμπλήρωση των υπολοίπων γραμμών της Διάταξης Routh και λαμβάνεται το πολυώνυμο της ακριβώς προηγούμενης, ήδη συμπληρωμένης και μη πλήρως μηδενικής γραμμής. Εδώ πρόκειται για τη 2 η γραμμή: s 3 1 6 s 2 5 30 s 1 1 6 5 30 0 5 1 0 5 0 0 5 s 0 Το αντίστοιχο πολυώνυμο που προκύπτει από τη 2 η γραμμή είναι το 2 0 5s 30s. 23

Δεδομένου ότι για k = k_critical το σύστημα είναι σε οριακή ευστάθεια, υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών πόλων του κλειστού συστήματος που βρίσκονται πάνω στον κατακόρυφο άξονα, δηλαδή είναι καθαρά φανταστικοί συζυγείς της μορφής j. Αντικαθιστώντας στο πολυώνυμο της 2 ης γραμμής critical 2 0 5s 30s το s = j critical, λύνουμε την εξίσωση ως προς το μοναδικό άγνωστο critical και έχουμε: 2 0 2 2 5( j critical ) 30( j critical ) 0 5critical 30 0 critical 6 critical 6 2.4495 (B3.9) Δεκτή γίνεται μόνο η θετική ρίζα, διότι η κυκλική συχνότητα σε (rad/sec) δεν μπορεί να έχει αρνητική τιμή. Άρα critical 2.4495 (rad/sec). Παρατηρούμε ότι είναι περίπου η τιμή της τελευταίας παραμέτρου, Frequency (rad/sec), μέσα στο ορθογώνιο πλαίσιο που εμφανίζεται καθώς σύρουμε το ποντίκι του Η/Υ πάνω στους κλάδους του ΓΤΡ του συστήματος με μεταβλητή απολαβή k, στο σημείο που ο κλάδος τέμνει τον κατακόρυφο άξονα (οριακή ευστάθεια). Άρα η προσεγγιστική μέθοδος για τον υπολογισμό της είναι η ίδια με την προσεγγιστική μέθοδο για τον υπολογισμό της k_critical μέσω Matlab. Οι κρίσιμες τιμές διαβάζονται στο συνοδευτικό ορθογώνιο πλαίσιο, από τις παραμέτρους Gain και Frequency, αντίστοιχα, όταν οι πόλοι του κλειστού βρίσκονται στο όριο μεταξύ ευστάθειας και αστάθειας. critical Τέλος η κρίσιμη συχνότητα f critical (Hz) μπορεί να υπολογιστεί εύκολα ως f critical critical ( rad / sec) ( Hz) (Β3.10) 2 24