Μετασχηματισμοί Laplace

Transcript

1 Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s 2 ω 2 ) συνωt s / (s 2 ω 2 ) (t/2ω)sinωt s/( s 2 ω 2 ) 2 e αt ημωt, α>0 ω / [(s α) 2 ω 2 ] e αt συνωt, α>0 (s α) / [(s α) 2 ω 2 ] Θεώρημα αρχικής τιμής: Θεωρήματα μετασχηματισμών Laplace Θεώρημα τελικής τιμής:

2 Εάν: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace τότε η συνάρτηση F(s) μπορεί να εκφραστεί ως ένα άθροισμα απλών κλασμάτων: Άρα: οπότε το πρόβλημα ανάγεται στον προσδιορισμό των συντελεστών c 1, c 2,, c n Ανάλογα με τη μορφή των πόλων της F(s), διακρίνουμε τρεις διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού των συντελεστών c i : i Διακεκριμένες πραγματικές ρίζες: Αλγεβρική μέθοδος Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της σχέσης για την F(s) με τον παρανομαστή του πρώτου κλάσματος: Μετά την εκτέλεση των πράξεων, το πολυώνυμο που θα προκύψει στο δεύτερο μέλος θα είναι nβαθμού και θα πρέπει να είναι κατά ταυτότητα ίσο με το πολυώνυμο B(s) Έτσι προκύπτουν και οι ζητούμενοι συντελεστές c 1, c 2,, c n Μέθοδος των ορίων ii κοκ Πραγματικές ρίζες με βαθμό πολλαπλότητας: Έστω, για παράδειγμα, ότι ο παρανομαστής της συνάρτησης F(s) έχει βαθμό πολλαπλότητας τρία: Τότε ισχύει: iii Οι υπόλοιποι συντελεστές υπολογίζονται με τη μέθοδο των ορίων της προηγούμενης περίπτωσης Μιγαδικές ρίζες: Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται σύμφωνα με κάποια από τις προηγούμενες μεθόδους (συνήθως τη μέθοδος των ορίων) ο συντελεστής που είναι αριθμητής στη μία από τις μιγαδικές ρίζες Άρα ο συντελεστής που είναι αριθμητής στον όρο που έχει παρονομαστή τη συζυγή ρίζα της προηγούμενης, θα είναι συζυγής του πρώτου συντελεστή

3 Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Αρχικό δομικό διάγραμμα Ισοδύναμο δομικό διάγραμμα Σύνδεση δομικών μονάδων σε σειρά G1(s) G2(s) X 0(s) G 1(s)G 2(s) Παράλληλη σύνδεση δομικών μονάδων G1(s) G2(s) G1(s) G2(s) Μετατροπή κανονικού συστήματος σε σύστημα με μοναδιαία ανάδραση X(s) X(s) 1/F(s) F(s) F(s) Μετακίνηση σημείου άθροισης μετά από δομική μονάδα Μετακίνηση σημείου άθροισης μπροστά από δομική μονάδα 1/ Μετακίνηση σημείου λήψης μπροστά από δομική μονάδα Μετακίνηση σημείου λήψης μετά από δομική μονάδα 1/ Εναλλαγή σημείων άθροισης

4 Κανόνας του Mason για τον υπολογισμό της ολικής συνάρτησης μεταφοράς όπου: X(s) = η είσοδος του συστήματος, = η έξοδος του συστήματος, N = το πλήθος των απευθείας δρόμων μεταξύ εισόδου και εξόδου του συστήματος, Q k (s) = η απολαβή του k απευθείας δρόμου, Δ(s) = η ορίζουσα του συστήματος: με: ΣL 1 = το άθροισμα των απολαβών όλων των βρόχων, ΣL 2 = το άθροισμα του γινομένου ανά δύο των απολαβών όλων των δυνατών συνδυασμών των μη εγγιζόντων ανά δύο βρόχων, ΣL 3 = το άθροισμα του γινομένου ανά τρεις των απολαβών όλων των δυνατών συνδυασμών των μη εγγιζόντων ανά τρεις βρόχων, ΣL n = το άθροισμα του γινομένου ανά n το πλήθος των απολαβών όλων των δυνατών συνδυασμών των μη εγγιζόντων ανά n το πλήθος βρόχων, Δ k (s) = η τιμή της ορίζουσας Δ(s), εάν δεν λάβουμε υπόψη μας τις απολαβές των βρόχων που εγγίζουν (έχουν κοινό κόμβο με) τον k απευθείας δρόμο Κριτήριο Routh Έστω ένα σύστημα με χαρακτηριστική εξίσωση: a n s n a n1 s n1 a n2 s n2 a 1 s a 0 = 0 πίνακα Routh, ο οποίος ορίζεται ως ακολούθως: s n a n a n2 a n4 s n1 a n1 a n3 a n5 s n2 b 1 b 2 b 3 s n3 c 1 c 2 c 3 s 0 όπου a n, a n1, a n2,, a 1, a 0 είναι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης και

5 Τυπικά σήματα δοκιμής για την χρονική απόκριση συστημάτων ελέγχου Βηματική συνάρτηση Συνάρτηση ράμπας Παραβολική συνάρτηση x(t) x(t) x(t) A Κλίση = Α 0 x(t)=au(t) X(s)=A/s t 0 t 0 t x(t)=atu(t) X(s)=A/s 2 x(t)=at 2 u(t) X(s)=2A/s 3 Σταθερές σφάλματος και Σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση Τύπος Συστήματος Σταθερές Σφάλματος N K p K v K a Σφάλμα Μόνιμης Κατάστασης e ss Βηματική x(t)=au(t) X(s)=A/s Ράμπας x(t)=atu(t) X(s)=A/s 2 Παραβολική x(t)=at 2 u(t) X(s)=2A/s