Introducción a la dinámica structural por l MEF Propidads d inrcia d los lmntos
Principios nrgéticos n dinámica Furzas d olumn Furzas d suprfici Furzas d inrcia q IN q q s q ρu x INx = q = ρu = ρu INy y q INz ρu z Ecuacions d quilibrio: σ σ ix iy σiz + + + q = ρ u i x, y, z i i x y z
Principio dl trabajo irtual. V. d las furzas δ δ δ. V. d las furzas d inrcia 2 W = u qd + u qsds Dsarrollando su suma: δ δu q δu ρu W = d = d IN IN δ δ δ s W + W d IN = ε σ δu q d + δu q ds δu ρu d = δε σd s s δw + δw = δu IN
Principio d Hamilton (I) Potncial d las furzas xtriors V d sds u q u q s El PV s pud ponr como: Intgrando ntr t y t 2 : t t t 2 2 2 δu ρ u d dt = δu dt + δv dt t t t δ u ρ u d = δu + δv Inrtir intgrals. Intrcambiar δ con la intgral n t t2 t t 2 2 ρ δ dt d δ U dt δ V dt = + u u t t t 3 Intgrar por parts
Principio d Hamilton (II) Intgrando por parts t t t t uu dt = u u dt + u u t t 2 2 δ δ δ 2 δu s arbitrario s toma nulo n t y t 2 t t t δ dt δ dt δ uu uu = u u = dt 2 2 2 2 t t t La primra intgral quda: t t t 2 2 2 ρ ρ δ dt d ρ δ u u u u = dt d = δ d dt 2 u u 2 t t t 4
Principio d Hamilton (III) S idntifica la nrgía cinética t t t 2 2 2 ρ ρ δ dt d δ d u u = u u dt = δ dt 2 t t t La xprsión inicial dl PV quda: Rordnando: t t t 2 2 2 δdt= δudt+ δvdt t t t t2 δ ( U V) dt = 0 t t2 δ Ldt = t 0 5
Furzas sobr un lmnto P N D olumn Sobr la suprfici xtrior q q s q c q q s En la conxión intrior q c Puntuals n los nudos P N Furzas d inrcia (furzas d olumn) q IN = ρ u u 6
rabajo irtual d las furzas. V. Furzas xtriors δw = δu q d + δu q ds+ δu q ds + δδ P s c N s c q W. V. Furzas d inrcia δw δu q d δu ρu d = = IN IN W u u 7
Principio dl rabajo Virtual δu q d + δu q ds + δu q ds + δδ P s c N s c = δw + δw = δ ε σ d δu ρud δε σ IN d Discrtización por l MEF u = Nδ δu = N δδ u = N δ ε = B δ δε = B δδ 8
Equilibrio dinámico d un lmnto (I) δ δ Principio dl rabajo Virtual discrtizado Nqd + N qds + Nqds + P NρNd s c N s c = δ δ B σd P c Furzas nodals d conxión δ Para cualquir δδ Nqd + N qds + P+ P NρNd δ = B σd s c N s 9
Equilibrio dinámico d un lmnto (II) Nqd + N qds + P+ P NρNd δ = B σd s c N s Sustituyndo σ N q d + N q ds + P + P N ρ N δ d = B ( Dε Dε + σ ) d s c N s s 0 0 0 Sustituyndo ε ε = B δ Nqd + N qds + P+ P N ρ Nd δ = s c N s s B ( DBδ Dε + σ ) d 0 0 Rordnando (dformacions a la izda.)
Equilibrio dinámico dl lmnto (III) B D Bd δ + N ρ Nd δ = Nqd + N qds + B Dε d B σ d + P+ P s 0 0 c N s K δ + M δ = P + Ps + P + Pb + PN + Pc S canclan Matriz d inrcia dl lmnto = M N ρ N d N M =... ρ... N N n N n al nsamblar d
Elmnto d closía plana Δ { } IX IY JX JY = Δ Δ Δ Δ Δ JY X L J Δ JX ξ = x L L I Δ IY ξ Δ IX u Δ IX u ξ 0 ξ 0 Δ IY = 0 ξ 0 ξ Δ JX Δ JY 2
Elmnto d closía plana (cont.) Matriz d masas: M 2 0 0 0 2 0 ρal = 6 0 2 0 0 0 2 m/3 I m/3 m/3 J Matriz d masas diagonal: M 0 0 0 0 0 0 ρal = 2 0 0 0 0 0 0 m/2 I m/2 J 3
Elmnto d closía spacial Δ { } IX IY IZ JX JY JZ = Δ Δ Δ Δ Δ Δ ξ = x L L Δ JY Δ JZ Δ JX Y G u w Δ IX u ξ 0 0 ξ 0 0 Δ IY = 0 ξ 0 0 ξ 0... w 0 0 ξ 0 0 ξ Δ JZ 4 Matriz d masas: Δ IY Δ IZ M = Δ IX ρal 6 Z G 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 X G
Elmnto iga plana δ = { δ δ θ δ δ θ } IX IY I JX JY J δ JY θ J δ JX η=y/l X L Y L δ IY θ I ξ=x/l δ IX Dformación axial: Dformación latral: u = δ + ( δ δ ) ξ IX JX IX = a + a ξ + a ξ + a ξ 2 3 0 2 3 θ Ι θ J I δ IY J δ JY 5
Elmnto iga plana (cont.) Particularizando δ 0 0 0 a IY 0 θ 0 / L 0 0 a I = δ a JY 2 θ 0 / L 2/ L 3/ L a 3 J Rsolindo para a y sustituyndo n : = + + + L + + L 2 3 2 3 2 3 3 2 ( 3ξ 2 ξ ) δ ( ξ 2 ξ ξ ) θ (3ξ 2 ξ ) δ ( ξ ξ ) θ IY I JY J Dformación n un punto P: d u = u y = P P dx 6 u = + + 2 2 ( ξ) δ 6( ξ ξ ) ηδ (4ξ 3 ξ ) ηθ P IX IY I + ξδ + ξ ξ ηδ + ξ ξ Lηθ 2 2 6( ) (2 3 ) JX JY J = + + + L + + L 2 3 2 3 2 3 3 2 ( 3ξ 2 ξ ) δ ( ξ 2 ξ ξ ) θ (3ξ 2 ξ ) δ ( ξ ξ ) θ P IY I JY J L
Elmnto iga plana (cont.) Matriz N Matriz d masas 7 2 2 2 2 u δ ξ 6( ξ ξ ) η ( + 4ξ 3 ξ ) Lη ξ 6( ξ ξ ) η (2ξ 3 ξ ) Lη IX P =... 2 3 2 3 2 3 3 P 0 3ξ + 2 ξ ( ξ 2 ξ + ξ ) L 0 3 ξ ξ ( ξ + ξ ) L θ J M 0 0 0 0 3 6 3 6I L I 9 6I 3L I + + 0 + 2 2 35 5AL 20 0AL 70 5AL 420 0AL 2 2 L 2I 3L I L I + 0 05 5A 420 0AL 40 30A = ρal 0 0 3 3 6I L I simétrica + 2 35 5AL 20 0AL 2 L 2I + 05 5A
Elmntos planos 2D N M = ρ N Nd =...... N N n N n ρt dxdy Formulación isoparamétrica M N N 0 N N 0... N N 0 2 n 0 N N 0 N N... 0 N N 2 N N 0 N N 0... N N 0 + 2 2 2 2 n = 0 0... 0 2 2 2 2 n N N N N N N ρtjdξdη..................... NnN 0 N 0... 0 nn N 2 nn n 0 NnN 0 N... 0 n N N 2 nnn n 8
Elmnto triangular d 3 nudos U V u L 0 L 0 L 0 2 3... = 0 L 0 L 0 L 2 3 U 3 Matriz d masas V 3 L 3 P L L 2 2 3 M LL 0 LL 0 LL 0 2 3 0 LL 0 LL 0 LL 2 3 LL 0 LL 0 LL 0 2 2 2 2 3 = ρtda 0 LL 0 LL 0 LL A 2 2 2 2 3 LL 0 LL 0 LL 0 3 3 2 3 3 0 LL 0 LL 0 LL 3 3 2 3 3 9
Elmnto triangular d 3 nudos (cont.) Matriz d masas M 2 Matriz d masas diagonal = ρat 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 2 m/6 m/2 m/2 m/6 m/6 m/2 20 M = ρat 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m/3 m/3 m/3
Elmntos spacials sólidos Misma inrcia n las 3 dirccions. Acopl ntr los nudos. M N N 0 0... N N n 0 0 0 N N 0... 0 N N 0 n 0 0 N N.. 0 0 N N n + =..................... ρjdξdηdζ NnN 0 0... N 0 0 nn n 0 NnN 0... 0 N 0 nn n 0 0 NnN... 0 0 N nnn W U V u w 2
Placas planas Formulación con nrgía d cortadura (. Mindlin) w = N W θ = N θ θ = N θ i i x i xi y i yi W θ x w N 0 0...... N 0 0 θ n y θ 0 N 0...... 0 N 0... = x n θy 0 0 N...... 0 0 N W n n θ xn θ yn θx4 4 w 4 θ Y4 θ x3 w 3 w 2 3 2 θ Y2 θ Y3 w θ Y θ x θ x2 + M = N N ρd = N N ρt J dξdη 22
Placas planas con nrgía d cortant (cont.) M N N 0 0... N N n 0 0 0 N N 0... 0 N N 0 n 0 0 N N.. 0 0 N N n + =..................... ρtjdξdη NnN 0 0... N 0 0 nn n 0 NnN 0... 0 N 0 nn n 0 0 NnN... 0 0 N nnn w 3 w 2 θ Y2 Misma inrcia al giro y al dsplazaminto 4 w 4 θ x3 3 θ Y3 w 2 θ x2 θ Y θx4 θ Y4 θ x 23
Amortiguaminto (I) Furzas disipatias proporcionals a la locidad q D q cu x Dx = q = cu = cu Dy y q Dz cu z Furzas nodals quialnts: P = N q d = N c u d = N c Nd δ = C D D Matriz d amortiguaminto: c C = M = αm ρ δ 24
Amortiguaminto (II) nsions proporcionals a la locidad d dformación unitaria Furzas nodals quialnts σ D = β D ε P = B σ d = B βdε d = β B DB δ d = C δ D D Matriz d amortiguaminto C = β K Considrando ambos fctos: amortiguaminto proporcional C = αm + βk 25
Ecuacions dl moiminto Elmnto K δ + C δ + M δ = P + P + P + P + P + P s b c N Estructura (nsamblando) K Δ+ C Δ+ M Δ = P + P + P + P + P s b N 26