1 1 1 (x yi) x yi = = = 2 (x - 1) + y 2

Transcript

1

2 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 98 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Α. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β B. B. z = + yi ( - - yi) - - yi = = =,y IR z - + yi - ( - + yi) ( - - yi) ( - ) + y - -y = + i ( - ) + y ( - ) + y - R = = ( - ) + y = - z - ( - ) + y y - + = + y = ( - ) + y = άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι κύκλος C με κέντρο K (, ) και ακτίνα ρ = με εξαίρεση το σημείο Α (, ) διότι z Oι εικόνες των z, z είναι σημεία του κύκλου C : z - = άρα z - = z - = Eίναι z + z - 4 = (z - ) + (z - ) z - + z - = + = B. Η εικόνα του μιγαδικού z = + yi,, y IR, είναι σημείο του κύκλου C, άρα + y = Eίναι z = 5 + y = 5 = ( ) () () = = = () 4 + y = 5 y = y = + y 5 () z = ± i

3 ΘΕΜΑ Γ / Γ. f () = n + = n + n + = n + n + n + n + n + + = = > άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). / n + f () = n + n + = n + = n + - f () = = n = - = = + f () - + f Η f είναι κοίλη στο,, +. Γ. H f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και "-" f "-" f ( + ) = f (4) + = = 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = + - 4, > Η g είναι συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική g () = - < και g () = 6 > Aπό Θ.Bolzano η g () = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Άρα α =. ΣΗΜΕΙΩΣΗ : Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) είναι g () >, για κάθε >, άρα η τιμή του α είναι μοναδική. Επίσης είναι g () = 4 + >, για >, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), επομένως η ρίζα επίσης είναι μοναδική.

4 Γ. n < - n < - n + < f () < f () f > < < ΘΕΜΑ Δ Δ. t f (t) dt + = f () () t f (t) dt = f () t f (t) dt f () =. H συνάρτηση f είναι συνεχής στο > ( + ), άρα η συνάρτηση f, με f (t) = t f (t) είναι συνεχής στο ( + ) ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Επομένως η συνάρτηση f, με f (t) = t f (t) dt = f (t) dt είναι παραγωγίσιμη στο ( + ). 4 Τέλος, η f είναι παραγωγίσιμη στο ( + ), ως πράξεις των παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, f, f, με f () = και f () =. 4 Παραγωγίζοντας τη σχέση () κατά μέλη έχουμε : t f (t) dt + = f () f () + = 6 f () + f () + - f () = - f () =, >.

5 Δ. - f () = = - = + Aπό συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = + + c, > = () t f (t) dt + = f () f () = = () f () = + c = + c c = c = () f () = + f () = +, > () im f () - = im + - = im = άρα η ευθεία y = είναι η πλάγια ασύμπτωτη της C στο +. Δ. f () - = + - = >, στο [, ] άρα E = f () - d = d = = - = n n n τ. μ. Δ4. Για > έχουμε : f () f () > > ( - ) > > - ( - ) - - > > - > - > που ισχύει f

6 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 4 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β B. ος τρόπος iz - = iz + i = i(z + i) = i z + i = z + i =, άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο K (, - ) και ακτίνα ρ = ος τρόπος z = + yi iz - = i( + yi) - = - y - + i = (-y - ) + = (-y - ) + = (-y - ) + = + (y + ) =, άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο K (, - ) και ακτίνα ρ = oς τρόπος (με σχήμα) B. O z = (OA) =, άρα z ma oς τρόπ ος z - z + = - z - z άρα z Κ - A -

7 O B. (ΑΒ) = z - z = = (KΑ) + (KΒ) = ρ + ρ = + = Από Πυθαγόρειο Θεώρημα προκύπτει ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο στο Κ. A(z ) Κ B(z ) ΘΕΜΑ Γ Γ. / f () = - = - f () = = = = = - + f () - + f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-, ], ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο [, +). Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για =, την τιμή f () = Γ. η f είναι κυρτή f () = - = 4 >, άρα. Γ. Προφανής ρίζα το, αφού f () = f < f () > f () f () > f > f () > f () f () > Eπομένως η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα το.

8 Γ4. Η εφαπτομένη της C στο = είναι η y = H f είναι κυρτή f f Η C βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη με εξαίρεση το σημείο επαφής, άρα f () - - Άρα Ε = f () - d = - - d = = - - = - - = - 5 τ.μ. ΘΕΜΑ Δ f () - Δ. Θεωρούμε συνάρτηση φ, με φ () =. - Ισχύει imφ () =. Δ. Eίναι f () = ( - ) φ () + f συνεχής f () = im f () = im ( - ) φ () + = im( - ) imφ () + = = = f () - f () f () - f () = im = im = - - H f είναι συνεχής στο [, ] H f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) f () = f () = από Θ. Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε f (ξ) = και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα το ξ είναι μοναδικό. Επομένως υπάρχει μοναδικό ξ Î (, ), τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C στο Μ (ξ, f (ξ)) είναι παράλληλη στον. f

9 Δ. H f είναι γνησίως αύξουσα, άρα η f είναι κυρτή. Η εφαπτομένη της C στο = ξ είναι η y = f (ξ) f f Η C βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη με εξαίρεση το σημείο επαφής, άρα f () f (ξ). Δ4. Θεωρούμε συνάρτηση g, με g () = f (t) dt - +, IR Η g είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών g () = f (t) dt = - f (t) dt g () = > f () f (ξ) >, στο [, ], άρα f (t) dt > - f (t) dt < Επομένως g () g () < Από Θ. Bolzano η εξίσωση g () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ). Επομένως η εξίσωση f (t) dt = - έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ).

10 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β B. 4 z w = z + = z + 4 = z z - z + 4 = i i Δ = - και z, = = = ± i B. z = ( + i ) = + i + ( i ) + ( i ) = + i i = -8 z = ( - i ) = - i + ( i ) - ( i ) άρα = - i i = -8 z -8 B. z = = = z - z = + i - + i = i = z = z = - 8 z - z = - i + = - i = + (- ) = = z - z = + i + = + i = + ( ) = = άρα το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των z, z και z είναι ισόπλευρο. 4 B4. z = z = 4 zz = 4 z = () z () 4 w = z + = z + z = R(z) IR z

11 ΘΕΜΑ Γ n f () = - +, IR + - f () = - n + = - = = > Γ άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. Γ. + f () = = - = + - <, + + άρα η f είναι κοίλη στο ΙR. Γ. ος τρόπος Για κάθε >, η f είναι παραγωγίσιμη στο [, ] άρα από Θ.Μ.Τ. υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f () - f () f () - (-n) f () + n f ( ) = = = - f > f () + n < < f ( ) > f () > f () f () + n > f () f () < f () + n ος ό τρ πος Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = f () - f () - n, g () = [ f () - f () - n] = f () + f () - f () = f () <, για > άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ). g > g () < g () f () - f () - n < f () < f () + n

12 ΘΕΜΑ Δ Δ. Παραγωγίζουμε τη δοθείσα σχέση κατά μέλη f (t) dt = n ( + ) f () = n( + ) n( + ) ( + ) f () = n( + ) + n( + ) f () =, > - + n( + ) n( + ) ( + ) f () = - n( + ) ( + ) Δ. = + ( + ) ( + ) - n( + ) + - n( + ) = =, > - ( + ) ( + ) - n( + ) f () = = - n( + ) = ( + ) n( + ) = + = = f () + - f () Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f ( - ) =, άρα για κάθε > - είναι : n( + ) f () + n( + ) + n( + ) + + n( + ) + ( + ) n( + ) Δ. f () = = n( + ) = = + Aναζητώ το πρόσημο της f στο [, - ] - f - f () f () f ( - ) f () Ε = f ()d = - - n( + ) n ( + ) d = = + τ.μ.

13 Δ4. Για > - έχουμε : n + + ( + ) = ( + ) = n( + ) = ( + ) n n( + ) n = + f () = f () η λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = f () - f () n Έστω ότι η g έχει ρίζες ρ, ρ, ρ με ρ < ρ < ρ Η g είναι παραγωγίσιμη στα [ρ, ρ ] και [ρ, ρ ] άρα από Θ. Roll υπάρχουν (ρ, ρ ) και (ρ, ρ ) τέτοια ώστε g ( ) = g ( ) = Όμως g () = f () και η f έχει μοναδική ρίζα το - ATOΠΟ, άρα η g έχει το πολύ δύο ρίζες Είναι g () = g () =, άρα εξίσωση f () = f () έχει ακριβώς δύο λύσεις τις = και = η λ ύση Στο διάστημα Δ = (-, - ) η εξίσωση f () = f () έχει προφανή λύση την = και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, η εξίσωση f () = f () έχει μοναδική λύση στο Δ την = Στο διάστημα Δ = [ -, + ) n4 n n f () = = = = f (), άρα 4 4 η εξίσωση f () = f () έχει λύση την = και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, η εξίσωση f () = f () έχει μοναδική λύση στο Δ την = Άρα η εξίσωση f () = f () έχει ακριβώς δύο λύσεις τις = και = Επομένως και η ισοδύναμή της εξίσωση + ( + ) = έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις = και =.

14 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΤΡΙΤΗ 4 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 88 Α. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β z = +yi B. z = z - i + yi = + yi - i B. + y = + (y - ) + y = + y - 4y + 4 4y = 4 y =. z = +i z = + i = + = + = = = άρα z = - + i ή z = + i B. z + z = ( + i) + (- + i) = ( + i) + (- + i) ΘΕΜΑ Γ Γ. = (i) + (-i) = -4-4 = -8 f () = 6 + >, για >, άρα η f είναι κυρτή στο (, + ). f () = -, > Γ. im f () = im - n = άρα η C f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη τoν άξονα y y. Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = f () -, [, ]. g () = - ln -, [, ] η g είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών g () = - ln - = - < g () = - ln - = - 5 > από Θ. Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της g στο διάστημα (, ) και επειδή ( - )( + + ) g () = - = >, για (, ] άρα η g είναι γν. αύξουσα στο [, ] η ρίζα αυτή είναι μοναδική, άρα η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα στο (, ).

15 ΘΕΜΑ Δ Δ. Είναι f () + f () - =, IR () g () = ( ) [f () - + ] + [f () - + ] = [f () - + ] + [f () - ] = [f () f () - ] = [f () + f () - ] = από την () άρα η g είναι σταθερή στο IR. Δ. g () = [f () - + ] =, άρα g () =, IR ή [f () - + ] = f () - + = - f () = - + -,IR. Δ. f () = = - - = - + f () - + f () Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f () =, άρα για κάθε IR είναι f (). Δ Ε = f ()d = ( + - )d = = = - = - τ.μ.

16 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΤΡΙΤΗ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 79 Β. α. ΣΩΣΤΟ β. ΛΑΘΟΣ γ. ΛΑΘΟΣ δ. ΣΩΣΤΟ ε. ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ ο Α. α. i(i - ) - i - - i - i + i z = - = - = + + i ( + i)( - i) + i = = + i, άρα - z = -( + i) = -( - i) = - + i z = ( + i) = + i + i = + i - = i z = z z = i( + i) = i + i = i - = - + i ος β. τρόπος (ΑΒ) = z - (-z) = i - (- + i) = + i = + = (ΑΓ) = z - (-z) = - + i - (- + i) = - + i = (-) + = άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ος τρόπος Είναι Α (-, ), Β(, ) και Γ (-, ) (ΑΒ) = ( + ) + ( - ) = + = (ΑΓ) = (- + ) + ( - ) = (-) + = άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

17 ος γ. τρόπος z - z = - + i - i = - = = 4 z - (-z) + z - (-z) = + = + = 4 z - z ος τρόπος = z - (-z) + z - (-z) Είναι (ΒΓ) = (- - ) + ( - ) = (-) + = 4 = και (ΒΓ) = (ΑΒ) + (ΑΓ) z - z = z - (-z) + z - (-z) * Σημείωση : Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ΘΕΜΑ ο / α. - α - α - α f () = = () + ( ) = + = ( + ) - α - α - α -α Πρέπει f () = = -α = α = - β. i. Για α = - f () =. + f () = ( + ) f () - + f () Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-, -], ενώ η f είναι γνησίως αύξουσα στο [-, +). Ολικό ελάχιστο f (-) = im f () = im = im = im L' Hospital ii. - = im + - = - f άρα η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο - την ευθεία y = (άξονας ).

18 ΘΕΜΑ 4 ο α. oς τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = f () - g () = - - ln, > h () = ( - - ln) = - = -, > + h () - + h () Η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το h () =, άρα για κάθε > είναι h () f () - g () f () g (). oς τρόπος Βρίσκουμε την εφαπτομένη της C g στο σημείο Α (, ). g () =, > (ε) : y - g () = g () ( - ) y = -. g () = -, >, άρα η g είναι κοίλη στο (, +). H εφαπτόμενη ευθεία (ε) βρίσκεται πάνω από τη C g, με εξαίρεση το σημείο επαφής Α, άρα - g () f () g (). β.i. Η h είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], άρα h () h () h () h () -. ii. Από α ερώτημα είναι h (), για κάθε >, άρα iii. Ε = h ()d = ( - - n)d = d - d - () nd = - - n + ( n) d = - - ( - ) - ( - ) + d = - = = h () I = [h () + ] h () d - - τ.μ. Θεωρούμε u = h () du = h () d = u = - = u = u u u u u - = u = = (u + ) du = ( u + ) du = (u ) du - ( - )

19 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΤΡΙΤΗ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 98 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Β. α. ΣΩΣΤΟ β. ΛΑΘΟΣ γ. ΛΑΘΟΣ δ. ΛΑΘΟΣ ε. ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ ο = k Α. α. y = k + y = +, άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι η ευθεία με εξίσωση y = =. β. z = k + (k + ) = k + (k + ) = k + k + k k + k = k (k + ) = k = ή k = - z = i ή z = -. + = 4 Β. Είναι (± i) = (± i) = ( ± i) = -4, άρα 4 4 α + β + 8 = ( - i) β - ( + i) α α + β + 8 = -4β + 4α α - 4α β + 4β + 4 = (α - ) + (β + ) = α - = και β + = α = και β = -.

20 ΘΕΜΑ ο / ln - ln α. f () = + =... = + f () + - f () Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], ενώ η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ). Ολικό ελάχιστο f () = + β ln lim f () = lim = lim + = + + L' Hospital + ln ln γ. I = f () d = + d = + =. + ΘΕΜΑ 4 ο α. f () = συν f () = και f () = (ε) : y - f () = f () ( - ) y =. π π [ ] β. Ε = ( - ημ)d + ( - ημ)d = + συν + + συν γ. π = + συν συν = Θεωρούμε τη συνάρτηση g () = ημ - +,. g () = συν - +. g π - τ.μ. g () = -ημ + >, άρα g είναι γν. αύξουσα στο [, + ). > g () > g () g () > άρα g είναι γν. αύξουσα στο [, + ). g > g () > g () ημ - + > ημ > -.

21 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδες 4-5 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 49 Β.. Σωστό,. Λάθος,. Σωστό, 4. Σωστό, 5. Λάθος. ΘΕΜΑ ο α. β.i. z = i =, z = =, z = + i = + = z + z = + = = z z = + yi z - z = z - z + yi - i = + yi - + (y - ) = ( - ) + y ii. + y - y + = y = - + R(z) = Im (z) + y z z + i - i + i - i A = + = + = + z z - i + i - i + i ( + i) + ( - i) + i i - = = = = ( - i)( + i) + ΘΕΜΑ ο α. f = + = + = -5 + > 5 n n n n n f = + = + = - + < 5 5 f ( ) = n + = 5 + >

22 β. f () = n + = f () = n + = n + = - =, > f () = 4 (ε) : y - f () = f () ( - ) (ε) : y - = ( - ) 4 4 (ε) : y = - 4 γ. ¼ + f () - + f () Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,, ενώ η f είναι 4 γνησίως αύξουσα στο, +. 4 δ. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, 4, ενώ η f είναι γνησίως αύξουσα στο, +, άρα η f έχει το πολύ ρίζες (). 4 5 Η f είναι συνεχής στα,,, f >, f < και f ( ) > 5 4 Από Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον 5, και ένα 4 5 τουλάχιστον, 4, τέτοια ώστε f ( ) = f ( ) = () Από () και () η εξίσωση f () = έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (, +).

23 ΘΕΜΑ 4 ο α. h () = f () - άρα η - -4 = - f () - + f () = [f () - f ()] = = = h είναι σταθερή στο IR. β. h () = f () - = - =, άρα h () =, για κάθε IR Eίναι f () - = f () = + f () = + 4 f () = + γ. t -t Ι () = f (t) dt = ( + ) dt -t t t = - = - t = = Ι () δ. im = im = im = DL'H = DL'H + + im -

24 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 β. Σχολικό βιβλίο σελίδα 88 γ. Σωστό,. Λάθος,. Σωστό, 4. Σωστό, 5. Σωστό. ΘΕΜΑ ο α. (5z - ) = (z - 5) (5z - ) = (z - 5) 5 5 5z - = z - 5 5z - = z - 5 β. 5z - = z - 5 5z - = z - 5 (5z - )(5z - ) = (z - 5)(z - 5) 5zz - 5z - 5z + = zz - 5z - 5z + 5 4zz = 4 zz = z = z = γ. w = 5z + w - z = 5 z = w - w - = 5 5 = w - = 5 Οι μιγαδικοί z προκύπτουν από την επίλυση της εξίσωσης (5z - ) 5 = (z - 5) 5. Η εξίσωση αυτή έχει ακριβώς 5 ρίζες, άρα υπάρχουν ακριβώς 5 μιγαδικοί z που οι εικόνες τους βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο (από το β ερώτημα). Αν w = 5z +, τότε ο γ.τ. των εικόνων του w είναι ακριβώς 5 σημεία του κύκλου με κέντρο Κ (, ) και ακτίνα ρ = 5. (*) ΣΧΟΛΙΟ Θα ήταν ορθότερο να διατυπωθεί το γ ερώτημα ως εξής : Αν w = 5z +, να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής στην οποία βρίσκονται οι εικόνες Μ (w) στο μιγαδικό επίπεδο. Είναι μάλλον αδύνατο ένας μαθητής να σκεφτεί τη σωστή απάντηση.

25 ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει > 5, άρα D = (5, + ) β. f () = n( - 5) + - = + >, για > 5-5 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (5, + ). γ f im f () = im n( - 5) + - = - διότι im n( - 5) = - και im( - ) = im f () = im n( - 5) + - = διότι im n( - 5) = + και im( - ) = Tο σύνολο τιμών της f είναι το f ((5, + )) = ΙR. δ. 6 f ((5, +)) και η f είναι γν. αύξουσα στο (5, +), άρα η εξίσωση f () = 6 έχει μοναδική λύση στο (5, + ). ΘΕΜΑ 4 ο f () f () - f () f () - f () 4 Φ () = α. = = =, διότι f () = + f (t) dt = f () άρα η Φ είναι σταθερή στο IR. f () β. f () = + f (t) dt = και Φ () = = άρα Φ () =, για κάθε IR γ. f () Eίναι = λ λ Είναι f () >, άρα Ε (λ) = f () d = d λ f () =, IR λ = = - = ( λ - ) τ.μ. λ ( - ) λ Ε (λ) δ. im = im = im = + + DL'H + λ λ λ λ λ

26 ΘΕΜΑ o ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 97 Β. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ ο z + i - i + i i(-i + ) α. = = = = i, άρα z = i z () z - i - i - i () i z + z = i i z + z = -z + z = = β. () z + z = i z + z = i z z = -z + z = 6 6 () κ z - i z κ i z - i z -i(z - κ z ) γ. w = = = = -i z - κ z z - κ z z - κ z άρα Im(w) = - ΘΕΜΑ ο A. im f () = im(α + ) = α n f () = ( ) = = im im n im im = im(-) = DL' H f () = α + = α = -

27 f () - f () - Β.i. im = im = im = - - DL' H - - f () - f () n im = im = im n = η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο = ii. f () = + n, >, < f () f () Η f είναι γνησίως αύξουσα στα (-, ] και [ -, +), ενώ η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, - ], iii. Στο διάστημα [, ] είναι f () = n Ε = f ()d = nd = nd = n - ( n) d = - - d = = = + τ.μ. 4

28 ΘΕΜΑ 4 ο - α. άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). f () = ( - n + ) = - + = + >, για > β. n im f () = im ( - n + ) = im - + = διότι : im = n im = im = + DL' H im = im = + + DL' H + γ. im f () = im( - n + ) = άρα f ((, + )) = ( +, + ) 5 f ((, + )) και η f είναι γν.αύξουσα στο (, + ), άρα η εξίσωση f () = 5 έχει μοναδική λύση στο (, + ). δ. f () - Π = f ()d + f ()d f () = f ()d + = [f () + f ()]d uf (u)du = [f ()] du = [f ()] = f () - f () = ( - n + ) - ( - n + ) = n = n + άρα Π - n = u = f - () = f (u) d = f (u) du = f () u = = f () u =

29 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 β. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 γ. Σ,. Σ,. Λ, 4. Λ, 5. Σ. ΘΕΜΑ ο α. im f () = im(- ) = - - im f () = im (α + β) = β + + f () = im f () = β = im(α + β) = α + β = α im f () = im( + n) = f () = β = α = -, β. Για α = και β = είναι f () =, < < + n, f () + n + n i. im = im = im = im + + DL'H + DL'H + f () - f () - ii. im = im = f () - f () im = im = + n - + n = im = DL'H + -

30 ΘΕΜΑ ο α. w IR w = w z = z z + z + z z + z = zz + z z z - zz + z - z = zz(z - z) - (z - z) = (z - z)(zz - ) = z - z = ή zz - = z = z ή z = z IR ή z = β. : z + = z z - z + = z - z + = i Δ = - και z, = = i γ β γ. Από τύπους Vita z z = = και z + z = - = α α - i - i Κ = = = = - i 4 + (z + z ) (z z ) - i 4 + ( ) ΘΕΜΑ 4 ο α. f () = - + f (t) dt = β. Eίναι ( + ) f () = ( + ) ( - ) + Παραγωγίζουμε κατά μέλη και έχουμε : ( + ) f () + ( + )f () = ( ) + f (t) dt f () + ( + ) f () = ( + - ) + f () f (t) dt > + - ( + )( - ) f () = f () = + + f () = -, >

31 γ. Είναι f () = - f () = -, άρα από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = f () = - + c = c = - Eπομένως f () = - -, > - + c δ. Aναζητώ το πρόσημο της f στο διάστημα [, 4] f () Ε = f () d = - - d = = - - = ( ) - (8-4 - ) = (44 - ) = 4 = τ.μ. 4

32 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 β. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 γ.. Σ,. Σ,. Λ, 4. Σ. ΘΕΜΑ ο α. 4 5 im f () = im (- - ) = - = im f () = im ( + ) = - + = f - = - = - 4 f συνεχής στο = - 4 f () - f β. im = im = im = f () - f im = im = im = άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο = -

33 4 -, < - γ. f () = 4, > - 4 < - : f () + f () = = 4 > - : f () + f () = + + = 9 = - 5 = - 4 ΘΕΜΑ ο α. z + i z + i z + i f (z) = f (z) = z z z = z + i z β. z + i = z + i z + i = z - i z + i = z - i η εικόνα του z κινείται στη μεσοκάθετο του ΑΒ με Α (, -) και Β (, ), δηλαδή τον άξονα με εξαίρεση το σημείο Ο (, ), άρα z + i f (z) = = z + i = z z z = + yi,yir + yi + i = + yi + (y + ) = + y άρα + y + y + = + y z IR * z+i zz+iz z=+yi +y +i(-yi) +y +y z zz,yir +y +y +y + y + y y = - ο γ.τ. των εικόνων του z είναι η ευθεία y = - γ. f (z) = = = = + i R(f (z)) = = + y + y - =, άρα + y - y = οι εικόνες του μιγαδικού z βρίσκονται στον κύκλο με κέντρο Κ, και ακτίνα ρ =

34 ΘΕΜΑ 4 ο α. Έστω >. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. με την f στο [, ] f () - f () f () Υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε f (ξ) = = - άρα f () = f (ξ) f () - f () β. h () = + f () - f (ξ) = + f > ξ f () - f (ξ) = + f () > f (ξ) f () - f (ξ) > f () - f (ξ) = + > άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), άρα η h είναι "- " στο (, + ) γ. h () = + + f () + = f () = + f () = I = - f ( + ) d = f (u) du 6 = (u + u ) du 7 u u = + 7 = u = + du = d = u = = - u =

35 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο A. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 β. y - f ( ) = f ( ). ( - ) B. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 β.. ΘΕΜΑ ο α. z + 4i ( + 4i)( + i) z - i ( - i)( + i) + yi = = = + 6i + 4i i = = yi = - + i = - και y = β. Aν η w = - + i είναι η μία ρίζα της εξίσωσης, τότε η άλλη είναι η w = w = - - i. Από τύπους Vita : -β S = w + w = - + i i = -β β = γ P = w w = (- + i)(- - i) = γ γ = 5 γ. z - z = z z - ( - i) = + 4i z - ( - 4i) = 5 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο Κ (, - 4) και ακτίνα ρ = 5.

36 ΘΕΜΑ ο 7 α. f () = 4 + = f () = - και f () = - = - = ( + 4) (ε) : y - f () = f () ( - ) 7 5 (ε) : y - = (ε) : y = β. D = IR - {} f im f () = im = +, άρα η C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = -. f f () im = im + 4 = im = im = im = = λ im f () - λ = im = im 4 + = 4 = β άρα η C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την ευθεία y = + 4. f Όμοια στο - γ. Είναι f (), στο διάστημα [, ]. Ε = f () d = d + 4 = n( + 4) n6 n4 n6 = = n τ.μ.

37 ΘΕΜΑ 4 ο f () f () - f () f () - f () α. h () = = = = = >, άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) 4 4 f () β. Είναι h () = = -, f () άρα από συνέπειες Θ.Μ.Τ. = - + c f () = - + c, > Για = : f () = - + c = - + c c = Eπομένως f () = -, > f (t) dt f () ( - ) im = im = im DL'H γ. n n n - - = im = im = n DL'H

38 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤETAΡΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο A. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 88 β. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 γ. Σχολικό βιβλίο σελίδα 94 B. α.. [f () - + ] = ημ () ημ ημ Για είναι f () - + = f () = - + f συνεχής ημ f () = im f () = im - + ημ = im - + im = - + = - π π β. f συνεχής στο, f () = - < π π f - π + = π f > π f - π + = από Θ. Bolzano π υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της π f = π - + π π f () = στο διάστημα,. ΘΕΜΑ ο z - i z - i Α.α. w = - i = z - i = ( - i)( + i) + i + i z - i = 4 z = 4 + i z = 4 + i = 4 + = 5 άρα σωστή απάντηση είναι η Γ = () π f π - π + = ημ π

39 z - i z - i β. w = = = + i + i z - i = z - i = 4 άρα η εικόνα του z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Κ (, ) και ακτίνα 4. Β.α. z - i w = + i + yi - i ( + yi - i)( - i) = = + i ( + i)( - i) - i + yi + y - i - + y y - = = + i + y y - άρα R(w) = και Ιm(w) = π + y y - β. Arg(w) = άρα R(w) = Im(w) = 4 + y - = - + y - = = άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία με εξίσωση =, δηλαδή ο άξονα ς y y. ΘΕΜΑ ο α. f () = (n - ) = (n) - () = () n + ( n) - = n + - = n -, > f () > n - > n > > + f () - + f () H H f είναι γνησίως φθίνουσα στo (, ], ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο [, +).

40 β. H f παρουσιάζει ελάχιστο για = την τιμή f () = - > f () - n - - n - n - n - γ. f f () f () f () - f () - άρα f () < στο [, ] Ε = - f () d = - (n - ) d = - n d + d = - n d + = - n + n d + - = d + - = = = = τ.μ. 4 ΘΕΜΑ 4 ο f () + f () α. g () = = ( ) = f () + f () - f () - f () ( ) f () - f () = = = άρα η g είναι σταθερή στο IR. [f () + f ()] - [f () + f ()]

41 f () + f () + β. g () = = =, άρα g () =, για κάθε IR f () + f () g () = = f () + f () = f () + f () = f () = γ. Είναι f () = f () =, - άρα από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = + c f () = + c f () = + c Για = : f () = + c = + c c = - Eπομένως f () = f () =, ΙR

42 Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος -4 Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου