Κεφάλαιο Σύνοψη Η φέρουσα ικανότητα (apacity) των δομημάτων επιλέγεται κατά τη μελέτη έτσι ώστε να είναι σε θέση αυτά να αναλαμβάνουν την απαίτηση (Demand) των δράσεων. Δεδομένου ότι τόσον η ικανότητα όσον και η απαίτηση είναι μεταβλητές ποσότητες, εξετάζεται η διακινδύνευση αστοχίας των επιλεγμένων μέτρων υποστήριξης και οι μέθοδοι εκτίμησης της αξιοπιστίας τους. Προαπαιτούμενη γνώση Μαθήματα: Μηχανική των πετρωμάτων, Τεχνική Γεωλογία. Χρήσιμη βιβλιογραφία: Hoek et al. (995). Αξιοπιστία των μέτρων στήριξης Η εκτίμηση της πιθανότητας αστοχίας, αποτελεί παράγοντα για τη λήψη απόφασης αποδοχής ενός σχεδιασμού. Η αποτροπή αστοχιών αντιμετωπίζεται μελετητικά συνήθως προσδιορισμικά, με βάση κανονισμούς, απαιτώντας μια επαρκή απόσταση μεταξύ της δυνατότητας ανάληψης των επικρατουσών δυνάμεων από των δυνάμενων να αναληφθούν. Ακριβέστερη ακτίμηση της πιθανότητας αστοχίας επιτυγχάνεται με στατιστικές μεθόδους. Η διερεύνηση της πιθανότητας αστοχίας μιας μελέτης δομήματος πραγματοποιείται συνήθως αριθμητικά, με μεθόδους Monte arlo ή αντίστοιχες, οι οποίες δύνανται να εφαρμοστούν σε πληθώρα πολύπλοκων προβλημάτων. Αντίθετα, αναλυτικές μέθοδοι προσφέρονται για την εκτίμηση της πιθανότητας αστοχίας απλοποιημένων προβλημάτων, προσφέρουν όμως εποπτεία και δυνατότητα άμεσης παρέμβασης. Η φέρουσα ικανότητα (apacity) των δομημάτων επιλέγεται κατά τη μελέτη έτσι ώστε να είναι σε θέση αυτά να αναλαμβάνουν την απαίτηση (Demand) των δράσεων. Όμως, τόσον η ικανότητα, όσον και η απαίτηση δεν έχουν σαφείς τιμές. Επομένως, για την ευστοχία ενός (υπογείου) έργου η φέρουσα ικανότητα, που εξαρτάται από την ποσότητα των μέτρων στήριξης, θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την απαίτηση D. Το ερώτημα που τίθεται είναι, πόσο μεγαλύτερη, καθόσον μεγάλη ποσότητα μέτρων στήριξης έχει σα συνέπεια μεγάλο κόστος για την κατασκευή του έργου. Ο μηχανικός καλείται να επιλέξει τη βέλτιστη λύση, χρησιμοποιώντας διάφορες δόκιμες λογικές σχεδιασμού. Αυτές θα εφαρμόσουμε παρακάτω σε ένα απλό παράδειγμα ανάρτησης στρωσιγενούς οροφής πετρώματος.
ompetent rock layer Weak rock layers W s l s c t s Σχήμα -. Ανάρτηση στρώματος με αγκύρια s c. Προσδιορισμικός υπολογισμός των μέτρων υποστήριξης Έστω ότι πέτρωμα στρωσιγενούς οροφής έχει μοναδιαίο βάρος γ = 7 kn/m 3, και μέσο πάχος μ ts =.0 m με τυπική απόκλιση σ ts = 0.5 m. Το στρώμα αναρτάται πλήρως από τα υπερκείμενα μέσω ηλώσεων (Σχήμα -) διαστελλομένου άκρου διαμέτρου 7mm, τοποθετημένων, όπως φαίνεται στο Σχήμα -, σε τετραγωνικό κάναβο s s l =.5 m.5 m. Από τις τιμές αυτές υπολογίζεται η απαίτηση D στήριξης τεμαχών πλακών πετρώματος, με μέση τιμή βάρους μ D = 6.5 kn ( 7.0.5 ), και τυπική απόκλιση σ D = 8. kn ( 7 0.5.5 ). Από ικανό αριθμό δοκιμών εξόλκευσης προκύπτει ότι η φέρουσα ικανότητα των ήλων έχει μέση τιμή μ = 78.5 kn, και τυπική απόκλιση σ = 3.7 kn. Μοναδιαίο βάρος πετρώματος: γ=7 kn/m 3 Κάνναβος αγκυρίων: s x s =.5 m x.5 m (apacity): Ικανότητα των αγκυρίων Δοκιμές εξόλκευσης μ c =78.5MPa σ =3.7MPa, V = σ /μ = 0.047 D (Demand):Απαίτηση D= γ t s Μέση τιμή: μ t =.0 m=> μ D = 6.5 kn ( 7.0.5 ) Τυπική απόκλιση σ t = 0.5 m=> σ D = 8. kn ( 7 0.5.5 ) t min = 0. m, t max =.8 m Σχήμα -. Πλάκα οροφής πάχους t που υποστηρίζεται από αγκύρια σε κάναβο s s.. Σαφείς παράμετροι σχεδιασμού Σύμφωνα με τις συνήθως εφαρμοζόμενες μεθόδους σχεδιασμού, οι παράμετροι τόσον της ικανότητας όσον και της απαίτησης, καθορίζονται ως σαφείς αντιπροσωπευτικές τιμές, συχνά μέσες. Η ευστοχία του δομήματος θεωρείται ότι εξασφαλίζεται από ένα συντελεστή ασφαλείας, μεγαλύτερο της μονάδας, που ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
ορίζεται ως ο λόγος της (φέρουσας) ικανότητας προς την απαίτηση (ικανότητας) D. Η τιμή του συντελεστή ασφαλείας, που αναλαμβάνει τη μεταβλητότητα των παραμέτρων, τις αδυναμίες των μεθόδων ανάλυσης και τις αποκλίσεις κατά την κατασκευή, καθορίζεται μεγαλύτερος της μονάδας, από κανονισμούς ή οδηγίες με βάση την πρότερη εμπειρία. Θεωρώντας ότι το βάρος της πλάκας του πετρώματος που φορτίζει κάθε ήλο ισούται με το μέσο συνεισφέρον βάρος αυτής, το σαφές φορτίο (δράση) που (απαιτείται να) υποστηρίζεται από αυτόν είναι: D = W= μ D = 6.5 kn (-) Θεωρώντας επίσης ότι η σαφής φέρουσα ικανότητα (αντίδραση) του ήλου ισούται με τη μέση τιμή αυτής: = μ = 78.5 kn (-) Επομένως ο σαφής (προσδιορισμικός) συντελεστής ασφαλείας είναι: FS= 78.5/6.5=.3 (-3) Ένας τέτοιος συντελεστής ασφαλείας θα μπορούσε να είναι αποδεκτός... Ευαισθησία της ευστοχίας της μελέτης στις παραμέτρους Προηγουμένως οι παράμετροι σχεδιασμού θεωρήθηκαν ότι έχουν σαφείς τιμές. Όμως, σύμφωνα με τις μετρήσεις οι παράμετροι αυτές έχουν μεταβαλλόμενες τιμές. Είναι επομένως χρήσιμη η εκτίμηση της ευαισθησίας του συντελεστή ασφαλείας στις παραμέτρους σχεδιασμού. Στο παράδειγμα δυνάμεθα να θεωρήσουμε ότι το πάχος της πλάκας («απαίτηση» ανάρτησης) και η φέρουσα «ικανότητα» του αγκυρίου έχουν τιμές που είναι μεταβλητές. Αν λοιπόν το πάχος κυμαίνεται από 0.7 έως.3m και η φέρουσα ικανότητα του αγκυρίου από 70 έως 90 kn, τότε ο συντελεστής ασφαλείας, που είναι ο λόγος της ικανότητας προς την απαίτηση D, κυμαίνεται από 70/(7.3.5 )=0.88 έως 90/(7 0.7.5 )=.. Η τιμή 0.88 είναι βέβαια μη αποδεκτή, και εφόσον εκτιμάται ότι σημαντικός αριθμός αγκυρίων υπερφορτίζονται, θα πρέπει η μέση τιμή του συντελεστή να αυξηθεί, με μείωση π.χ. του διαστήματος του κανάβου.. Ανάλυση αξιοπιστίας Προκειμένου να εκτιμηθεί ο πιθανός αριθμός ήλων που θα αστοχήσουν χρησιμοποιούνται κατάλληγλες στατιστικές μέθοδοι... Βασικές έννοιες των πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Παράμετροι όπως η γωνία τριβής των ασυνεχειών, η μονοαξονική αντοχή του πετρώματος, η διεύθυνση των ασυνεχειών του πετρώματος, η ένταση του επιτόπου εντατικού πεδίου, δεν έχουν μία σταθερή τιμή, αλλά δύνανται να λαμβάνουν σειρά από πολλές τιμές. Δεν υπάρχει δυνατότητα πρόγνωσης ακριβούς μοναδικής τιμής της κάθε παραμέτρου σε κάθε σημείο. Επομένως, οι παράμετροι αυτές χαρακτηρίζονται ως τυχαίες μεταβλητές. Κατανομή πιθανότητας: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) περιγράφει τη σχετική πιθανότητα να λαμβάνει συγκεκριμένη τιμή μία τυχαία μεταβλητή. Το εμβαδόν της επιφάνειας κάτω από τη συνάρτηση ισούται με ένα. Η αθροιστική κατανομή (DF) δίνει την πιθανότητα να λαμβάνει μία μεταβλητή, τιμή μικρότερη ή ίση με την επιλεγμένη τιμή. Μέση τιμή (sample mean) δείγματος ή αναμενόμενη τιμή ή πρώτη ροπή: n x = x i n i= (-4) ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
ff = D ; M = D = D (ff ) (-9) F ff (ff) = P D < ff (-0) Η πραγματική μέση τιμή συμβολίζεται ως «μ». Διακύμανση ή διασπορά (variance) δείγματος ή δεύτερη ροπή ως προς τη μέση τιμή μιας κατανομής: n ( ) s = x i x n i= Τυπική απόκλιση (standard deviation): s = + s (-5) (-6) Η πραγματική τυπική απόκλιση συμβολίζεται ως «σ» Συντελεστής διακύμανσης ή μεταβλητότητας (coefficient of variation): s OV = x Κανονική κατανομή (normal distribution): x µ exπ σ f x = x ( ) σ π < x < (-7) (-8) Άλλες κατανομές που χρησιμοποιούνται είναι η Βήτα, η Εκθετική, η Λογαριθμοκανονική και η Weibull... Αναλυτικός υπολογισμός της κατανομής του συντελεστή ασφαλείας Η αξιοπιστία ενός συστήματος υποστήριξης προσδιορίζεται συγκρίνοντας την αντοχή του συστήματος (ικανότητα, ) προς το εφαρμοζόμενο φορτίο (απαίτηση, D), και η αστοχία του συστήματος θεωρείται ότι συμβαίνει όταν D>. Η ικανότητα και η απαίτηση μπορούν να θεωρηθούν ως τυχαίες μεταβλητές συγκεκριμένης συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας, η οποία είτε επιλέγεται εκ των προτέρων, είτε υπολογίζεται από διαθέσιμα στοιχεία. Η ανάλυση της αξιοπιστίας διαμορφώνεται είτε με τη μορφή του περιθωρίου ασφαλείας Μ, που ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ ικανότητας και απαίτησης, ή με τη μορφή του συντελεστή ασφαλείας fs, που ορίζεται ως ο λόγος της ικανότητας προς την απαίτηση, δηλαδή: Εξ ορισμού η fs είναι επίσης τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής F fs. Για >0 και D>0, η F fs ορίζεται ως: Οι μεταβλητές και D είναι συνήθως εξαρτημένες μεταξύ τους. Για παράδειγμα, σε ένα πρανές η μία συνιστώσα του βάρους λειτουργεί ως δράση (D) ολίσθησης, ενώ η άλλη ως αντίδραση () στην ολίσθηση λόγω αύξησης της αντοχής τριβής. Υπάρχουν όμως πολλά προβλήματα της γεωτεχνικής, όπου η ικανότητα και η απαίτηση είναι ανεξάρτητες μεταβλητές, όπως πχ. στη μελέτη θεμελιώσεων, υπόγειων στύλων πετρώματος, κλπ. ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
Εφόσον, οι και D είναι ανεξάρτητες και οι κατανομές τους θεωρηθούν ως τμηματικά γραμμικές (Sofianos et al., 03) ή πολυωνυμικές συναρτήσεις, τότε η επίλυση δύναται να είναι αναλυτική.... Ομοιόμορφη συνάρτηση κατανομής Ας υποθέσουμε για απλότητα ότι οι f και f D είναι (Nomikos & Sofianos,0) συναρτήσεις πυκνότητας ομοιόμορφης κατανομής (μηδενικού βαθμού πολυωνυμικές συναρτήσεις ενός τμήματος), όπως φαίνεται στο Σχήμα -3. Τότε, f(x) =, a x b b a 0 ααααύ f(t)dd = x a dd = F(x) = a b a b a 0, x a, x b x, a x b (-) f () or f D (D) D L U apacity () or Demand (D) Σχήμα -3. Συναρτήσεις πυκνότητας για ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές για την ικανότητα και την απαίτηση D. Ο Πίνακας - δίνει τις αναλυτικές σχέσεις υπολογισμού της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f(fs), σύμφωνα με τη θέση της fs σε σχέση με τους λόγους L / και U /. Διακρίνονται τέσσερα τμήματα, τα οποία μπορεί να διατάσσονται σε δύο παραλλαγές, που φαίνονται στο Σχήμα -4, σύμφωνα με τη θέση των λόγων L / και U /. ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
Πίνακας - Συνάρτηση κατανομής και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του συντελεστή ασφαλείας fs (Nomikos & Sofianos, 0). Τμήμα του ff F(ff) f(ff) a ff < mmm(l / ; U / ) L ff ff L (U L )( ) ff (U L )( ) b ff > mmm(l / ; U / ) ff U ff L U D (U L )( ) ff (U L )( ) c d L / ff U / U / ff L / ff( + ) L (U L ) + U L U + L ff fs U + L Probability density, f(fs) Probability density, f(fs) L a U d L b Σχήμα -4. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του συντελεστή ασφαλείας: (α) παραλλαγή: L / >U /, (β) παραλλαγή: L / <U /. Η μέση τιμή μ fs και η διασπορά σ fs,του συντελεστή ασφαλείας δίνονται από τις σχέσεις: U fs L a L c U b U fs U / μ ff = ff f(ff) ddd = (U + L ) ln( / ) ( ) σ ff L / U / = fs f(ff) ddd L / μ ff = (U + L ) U L 3 μ ff (-) (-3) όπου σ ff η τυπική απόκλιση. Από τις σχέσεις (-) και (-3) ο συντελεστής διασποράς V ff υπολογίζεται ως V ff = σ ff = (U + L ) U L μ ff 3 μ ff (-4) Εάν οι συντελεστές διασποράς των και D είναι V και V D αντίστοιχα, τα όρια των τυχαίων μεταβλητών μπορούν να εκφρασθούν συναρτήσει των μέσων τιμών μ και μ D ως: ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
L = μ 3 V ; U = μ + 3 V = μ D 3 V D ; = μ D + 3 V D Έτσι η εξ. (-) γίνεται: μ ff = μ μ D 3 6 V D ln + 3 V D 3 V D (-5) (-6) Οι ακραίες τιμές του fs μπορούν να υπολογισθούν συναρτήσει των μ /μ D, V και V D από τις σχέσεις: minff = L = μ μ D 3 V + 3 V D, maxff = U = μ μ D + 3 V 3 V D (-7) Αστοχία συμβαίνει όταν η απαίτηση υπερβεί την ικανότητα (ο συντελεστής ασφαλείας είναι μικρότερος της μονάδας). Η πιθανότητα αστοχίας υπολογίζεται από τη συνάρτηση κατανομής του συντελεστή ασφαλείας για fs=, που εξαρτάται από τη σχετική θέση των ορίων των μεταβλητών και D όπως φαίνεται από το Σχήμα -5. Ο συμβατικός συντελεστής ασφαλείας μπορεί να ορισθεί ως ο λόγος μ /μ D. Ο ελάχιστος συμβατικός συντελεστής ασφαλείας για να εξαλειφτεί η πιθανότητα αστοχίας μπορεί να υπολογισθεί θέτοντας L = (θέση τιμές D πριν τις τιμές ) και λύνοντας ως προς μ / μ D : μ μ D = + 3V D 3V (-8) ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
Θέση Θέση D f () or f D (D) D f () or f D (D) apacity () or Demand (D) F ff () = ( L ) (U L )( ) L = μ D + 3V D μ 3V 4 μ μ D V V D Θέση 3 (β παραλλαγή) D U L U apacity () or Demand (D) F ff () = (U ) (U L )( ) = μ + 3V μ D 3V D 4 μ μ D V V D Θέση 4 (α παραλλαγή) f () or f D (D) f () or f D (D) D L apacity () or Demand (D) F ff () = + L (U L ) U = 3 (μ μ D ) 6 μ V F ff () = U + L = 3 (μ μ D ) 6 μ D V D Σχήμα -5. Σχετική θέση των τυχαίων μεταβλητών και D σε σχέση με τα όρια τους και αντίστοιχη πιθανότητα αστοχίας.... Τριγωνική κατανομή Η τριγωνική κατανομή (Sofianos et al., 03) είναι η απλούστερη τμηματικά γραμμική κατανομή, μετά την ομοιόμορφη κατανομή. Είναι διγραμμική κατανομή, που συνίσταται από δύο συναρτήσεις ράμπας (ramp functions) αντίθετης κλίσης. Μπορεί να είναι συμμετρική (Σχήμα -6 αριστερά) ή ασύμμετρη (Σχήμα -6 αριστερά) είτε προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά. L U apacity () or Demand (D) Ικανότητα () ή Απαίτηση (D) Ικανότητα () ή Απαίτηση (D) Σχήμα -6. Συμμετρικές (αριστερά) και ασύμμετρες (δεξιά) τριγωνικές συναρτήσεις κατανομής για την ικανότητα και την απαίτηση. Εάν τα πρώτα (αύξοντα) τμήματα των κατανομών συμβολίζονται με i = j = και τα δεύτερα (φθίνοντα) με i = j =, αντίστοιχα, τότε η συνάρτηση κατανομής της fs μπορεί να υπολογιστεί ως: ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
F fs ( fs) = 0, L fs < L U fs U L Ffs, ij ( fs), i= j = D D, U fs > L D (-9) F fs,ij (fs) είναι η πιθανότητα του συνδυασμού του i τμήματος της ικανότητας με το j τμήμα της απαίτησης. Υπολογίζεται από τις σχέσεις: F fs, ij ( fs) = w w M ij N fs ij 0, L fs < U L U, fs j L U, fs > L (-0) w M R = ij Uij ( U L ) ( U L ) = h ; w ( R L ) Uij ( U L ) = + ( U L ) ( U L ) D D ( ) ( R L ) Uij h ( U L ) U L = j min, fs ; RLij = L max, fs j L = K4 ijq4ij + [ Kij fs + K3ij + K4ij ( L fs L)] Q3ij + [ Kij + Kij ( L fs L)] fsq Nij ij Q kij k ( R L fs) ( R L fs) Uij Lij = ; k =,3,4 k k K K K K ij ij 3ij 4ij = h = = h h ( j L ) ( U L ) h ( h )( j L ) ( U L ) ( h )( j L ) ( U L ) ( )( )( ) h h U L ( U L ) = h = h D =0, h = h D = (-) Η μέση τιμή μ fs και η διασπορά σ fs,του συντελεστή ασφαλείας δίνονται από τις σχέσεις: µ = U fs L D U LD F fs L dfs (-) U LD fs = ( U LD) fsffsdfs fs L s µ ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
που μπορούν να υπολογισθούν αριθμητικά. Η πιθανότητα αστοχίας P(fs ) μπορεί να υπολογισθεί από την συνάρτηση κατανομής της fs θέτοντας fs=...3 Αριθμητικός υπολογισμός της κατανομής του συντελεστή ασφαλείας Ο υπολογισμός της κατανομής του συντελεστή ασφαλείας μπορεί να πραγματοποιηθεί αριθμητικά, θεωρώντας τις υπεισερχόμενες παραμέτρους ως τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κανονική κατανομή ή άλλες συνήθεις συνεχείς κατανομές. Η τεχνική που χρησιμοποιείται αναφέρεται γενικά ως προσομοίωση ή μέθοδος Monte arlo. Το πρώτο βήμα της μεθόδου είναι η «τυχαία δειγματοληψία» τιμών από τις συναρτήσεις κατανομής των στοχαστικών παραμέτρων (Σχήμα -7, αριστερά). Συνήθως χρησιμοποιείται η μέθοδος της αντιστροφής σύμφωνα με τη σχέση Χ = F (U), όπου Χ η τυχαία μεταβλητή με κατανομή F και U ομοιόμορφα κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή στο διάστημα [0, ]. Το δεύτερο βήμα είναι η επαναλαμβανόμενη επίλυση της εξίσωσης υπολογισμού του συντελεστή ασφαλείας (ή ενός υπάρχοντος προσδιορισμικού μοντέλου), τόσες φορές όσο το πλήθος των τιμών της τυχαίας δειγματοληψίας του πρώτου βήματος. Το βήμα αυτό δεν παρουσιάζει γενικά δυσκολίες, πλην του υψηλού υπολογιστικού χρόνου που μπορεί να απαιτείται για την πολλαπλή επίλυση ενός αριθμητικού μοντέλου σε πολύπλοκα γεωτεχνικά προβλήματα. (-3).0 0.9 0.8 Δειγματοληψία Monte arlo.0 F(Χ) 0.9 0.8 0.76 Δειγματοληψία Latin Hypercube 0.6 0.47 0.4 0.3 0. 0.5 0.08 0.0 0.0 73.674.8 76.6 78.0 8.8 73.5 76.0 77.8 80.6 83.0 70 80 90 70 80 90 Τυχαία μεταβλητή X X Σχήμα -7. Επιλογή 5 τυχαίων αριθμών από τη συνάρτησης κατανομής F με δειγματοληψία Monte arlo (αριστερά) και Latin Hypercube (δεξιά). Η υπολογιστική προσπάθεια μπορεί να μειωθεί σημαντικά με τη χρήση στατιστικών τεχνικών που είναι γνωστές ως τεχνικές ελάττωσης της διασποράς, όπως η δημοφιλής μέθοδος δειγματοληψίας (Σχήμα -7, δεξιά) του λατινικού υπερκύβου (Latin Hypercube sampling, LHS). Με αυτή επιλέγονται n διαφορετικές τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χ χωρίζοντας το εύρος της n μη επικαλυπτόμενα διαστήματα ίσης πιθανότητας P = /n και επιλέγοντας μία τιμή από κάθε διάστημα. 0.6 0.4 0.45 0.6 0. 0.08.3 Παράδειγμα Συνεχίζεται το παράδειγμα της παραγράφου., με θεώρηση ομοιόμορφης κατανομής των μεταβλητών της ικανότητας και της απαίτησης D, με κάτω και άνω όρια L, U,,, αντίστοιχα. Για ομοιόμορφη κατανομή οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας f(x) και αθροιστικής κατανομής f(x) δίνονται από τις: f = /(U L ), και f D = /( ). Οι αναλυτικές σχέσεις υπολογισμού της πιθανότητας αστοχίας δίνονται στην παράγραφο... Οι συναρτήσεις πυκνότητας f και f D δίνονται στο Σχήμα -8, όπως υπολογίζονται, για τις δεδομένες μέσες τιμές και τυπικές αποκλίσεις, από τις παρακάτω σχέσεις: μ = 78.5kk; σ = 3.7kk; V = σ /μ = 0.047 ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
U = μ + σ 3 = 78.5 + 3.7 3 = 84.9kk L = μ σ 3 = 78.5 3.7 3 = 7.09kk f () = /(U L) = 84.9 7.09 =.8 = 0.078kN μ t =.0 m μ D = 6.5kk; σ t = 0.5m σ D = 8.kk; V D = σ D /μ D = 0.459 = μ D + σ D 3 = 6.5 + 8. 3 = 0.34kk = μ D σ D 3 = 6.5 8. 3 =.66kk f D (D) = /(UD LD) = 0.34.66 = 97.68 = 0.00kN 0.080 0.060 f () or f D (D) 0.040 0.00 D 0.000 0 5 50 75 00 5 apacity () or Demand (D) Σχήμα -8 Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας για τυχαίες μεταβλητές και D που ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή. Η σχετική θέση των τυχαίων μεταβλητών και D, που φαίνεται στο Σχήμα -8, είναι η 4 σύμφωνα με το Σχήμα -5. Το εύρος του συντελεστή ασφαλείας fs βρίσκεται μεταξύ της ελαχίστης L / και της μεγίστης U / : min{ff} = L = 7.09 0.34 = 0.65; max{ff} = U = 84.9.66 = 6.7 Η μέση τιμή και η διασπορά του fs υπολογίζονται από τις σχέσεις (-) και (-3) του παραρτήματος, αντίστοιχα: μ ff = (U + L ) ln( / ) ( ) =.74 σ = (U + L ) U L 3 μ =.39 σ =.8 ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
Η σ.π.π. του fs ακολουθεί την παραλλαγή α, σύμφωνα με το Σχήμα -4 καθώς L = 5.69 > 0.77 = U Για τη σχεδίαση στο Σχήμα των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας και κατανομής του fs, υπολογίζονται τα αντίστοιχα τμήματα a, d και b (Σχήμα -4α, Πίνακας -): Τμήμα a, για 0.65<fs<0.77. L F ff (ff) = ff ff (U L )( ) f(ff) = U D L ff (U L )( ) = ff.0.44 ff = 4.86.08 fs Τμήμα d, για U = 0.77 ff 5.69 = L U + L ff F ff (ff) = =.3 0.80 ff f(ff) = fs U + L = 84.9 + 7. fs 0.3.7 = 0.80 fs Τμήμα b, για 5.69<fs<6.7. F ff (ff) = ff U ff = ff.70 (U L )( ) ff 0.5 f(ff) = U ff (U L )( ) =.88 fs 0.064 ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
.4.00 Probability density..0 0.8 0.6 0.4 0. L / f(fs) U / F(fs) L / U / 0.80 0.60 0.40 0.33 0.0 umulative probability 0.0 0.00 0.0.0.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 Safety factor, fs Σχήμα -9. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και συνάρτηση κατανομής του συντελεστή ασφαλείας. Η πιθανότητα αστοχίας για τη θέση 4 υπολογίζεται ως: F ff () = U L ( ) = 0.34 84.9 7.09 (0.34.66) = 0.33 Συνεπώς για μεγάλο αριθμό ηλώσεων 33 στους 00 ήλους θα αστοχούν. Αυτός ο σχεδιασμός πρέπει να απορριφθεί. Οι Hoek et al. (995), χρησιμοποιώντας αποκομμένες κανονικές κατανομές υπολόγισαν μέση τιμή του συντελεστή ασφαλείας.4, τυπική απόκλιση 0.7 και πιθανότητα αστοχίας 30 %. Προκειμένου να καθοριστεί εάν μία πιθανότητα αστοχίας είναι αποδεκτή στο σχεδιασμό, απαιτείται ο υπολογισμός των επιπτώσεων της αστοχίας ενός αγκυρίου σε ένα γειτονικό του. Στην περίπτωση αστοχίας ενός αγκυρίου τα τέσσερα γειτονικά αγκύρια θα κληθούν να φέρουν αυξημένο φορτίο κατά 5 %. Επομένως η απαίτηση γίνεται: D =.5 γ t s Εκτελώντας εκ νέου την προσομοίωση προκύπτει πιθανότητα αστοχίας του γειτονικού αγκυρίου ~50%. Υπάρχει δηλαδή το ενδεχόμενο αστοχίας τύπου «ντόμινο». Ο αρχικός αυτός σχεδιασμός δεν είναι αποδεκτός. Για να αποφευχθεί η αστοχία πρέπει να μειωθεί η απαίτηση. Η απαιτούμενη απόσταση των ηλώσεων, ώστε πρακτικά να εξαλειφτεί η πιθανότητα αστοχίας, δηλαδή L = => min(fs)= (σχέση (-7)), μπορεί να υπολογισθεί θέτοντας μ D = γ s μ t ; V D = σ D /μ D = σ t /μ t ; V = σ /μ minff = L = μ μ D 3 V + 3 V D = και λύνοντας ως προς s: ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
s = μ 3 σ μ γ μ t + 3 σ =.43 s =.0 m t μ t Η αντίστοιχη προσομοίωση με αποκομμένες κανονικές κατανομές και απόσταση ήλων.5 m, έδωσε πιθανότητα αστοχίας.34%. Βιβλιογραφία/Αναφορές Hoek E., Kaizer P.K. & Bawden W.F. (995), Support of underground excavations in hard rock, Balkema. Nomikos PP and Sofianos AI (0). An analytical probability distribution for the factor of safety in underground rock mechanics, Intern. J. R.M. Min. Sci. Nomikos PP and Sofianos AI (04). Reliability against translational slip of rock slopes designed according to Eurocode 7, Eurock, 6-8 May, Vigo, Spain, Rock Engineering and Rock Mechanics: Structures in and on Rock Masses Alejano, Perucho, Olalla & Jiménez (Eds), pp. 487-49. Sofianos, A.I., Nomikos, P.P., Papantonopoulos, G (03). Distribution of the factor of safety, in geotechnical engineering, for independent piecewise linear capacity and demand density functions. omputers and Geotechnics 55, pp. 440-447 ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ
Ασκήσεις αξιολόγησης Άσκηση. Το πρανές ορύγματος οδοποιίας του σχήματος διανοίγεται πάνω από τη στάθμη του υδροφόρου σε σκληρό πέτρωμα με διακλάσεις μηδενικής συνοχής παράλληλες και ομόρροπες με το πρανές. Η κλίση τους tan ψ p και ο συντελεστής τριβής tan φ θεωρούνται κανονικά κατανεμημένες, με περικοπή, τυχαίες μεταβλητές. Αρχικό ανάγλυφο Οδός Δίνονται: Παράμετρος Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Ελάχιστη τιμή Μέγιστη τιμή tan ψ p tan 40 ο tan ο tan 35 ο tan 45 ο tan φ tan 45 ο tan 5 ο tan 30 ο tan 60 ο Υπολογίστε την αξιοπιστία της ευστάθειας του πρανούς: (α) αναλυτικά, θεωρώντας ομοιόμορφα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές για την κλίση των διακλάσεων και τον συντελεστή τριβής. (β) με προσομοίωση Monte arlo, θεωρώντας την κλίση των διακλάσεων και τον συντελεστή τριβής κανονικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με αποκοπή. Άσκηση. Σήραγγα κυκλικής διατομής πρόκειται να διανοιχθεί σε γρανιτικό πέτρωμα υψηλής αντοχής. Το σοβαρότερο πρόβλημα που αναμένεται να ανακύψει θεωρείται η αποφλοίωση του τοιχώματος της σήραγγας. Από την αποκτηθείσα εμπειρία σε παρόμοια πετρώματα εκτιμήθηκε ότι η αντοχή αποφλοίωσης του πετρώματος σ ss ακολουθεί συμμετρική τριγωνική κατανομή με ελάχιστη, μέση και μέγιστη τιμή: 3.75 MPa, 8.5 MPa και 3.75 MPa, αντίστοιχα. Η μέγιστη εφαπτομενική τάση max σ θθ στο τοίχωμα της σήραγγας εκτιμήθηκε ότι ακολουθεί επίσης τριγωνική κατανομή με ελάχιστη, μέση και μέγιστη τιμή: 94.5 + 0.07z[m], 05 + 0.0335z[m], και 5.5 + 0.04z[m], αντίστοιχα. Υπολογίστε τη μέση τιμή του συντελεστή ασφαλείας ff = σ ss / max σ θθ και την πιθανότητα αποφλοίωσης σε βάθη z=350, 450, 550 και 650 m θεωρώντας ότι η αντοχή αποφλοίωσης του πετρώματος και η μέγιστη εφαπτομενική τάση στο τοίχωμα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές. ΑΙ Σοφιανός 06 ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ/ΕΜΠ