Βερολίνο, 24 Απριλίου 2007 Κύριε Κουρουνιώτη, εις απάντησιν τού ηλεκτρονικού σας μηνύματος τής 22ας Απριλίου 2007 αναφέρω τα εξής: Δεν κατανοώ καθόλου τον λόγο τής βιασύνης που σας κατέλαβε προκειμένου να τεθεί προς συζήτησιν ένα προφανώς ατελές, πρόχειρο, τεχνικώς μη άρτιο προσχέδιο ριζικής αλλαγής τού Προπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών (ΠΠΣ) τού Τμήματος Μαθηματικών, χωρίς να έχει προηγηθεί πολύμηνη ε- πεξεργασία των λεπτομερειών του και των συνεπειών του από τη διευρυμένη Επιτροπή Σπουδών. Εκτός από κάποιες βασικές κατευθυντήριες γραμμές που είχαν προταθεί προ μηνών (στο πλαίσιο τής μη διευρυμένης Επιτροπή Σπουδών) και οι οποίες έχουν όντως ενσωματωθεί στο εν λόγω προσχέδιο, τα λοιπά ζητήματα που τίθενται δεν είναι δυνατόν να έχουν εξαντληθεί στη συνεδρίαση τής προηγουμένης Πέμπτης (εν απουσία τόσον εμού όσον και των κυρίων Τερσένοβ και Χατζηπαντελίδη). Ως εκ τούτου, το αναγραφόμενο στο μήνυμά σας: «Παρακαλώ να μου στείλετε παρατηρήσεις ή συμπληρώσεις μέχρι την Τρίτη το μεσημέρι, ώστε να κυκλοφορήσει η πρόταση την ερχόμενη Τετάρτη», το μόνο που καταδεικνύει είναι την εκ μέρους σας προσωπική έλλειψη ευθύνης προ ενός θέματος μείζονος σημασίας και προ μιας σειράς αλλαγών, ανάλογη τής οποίας έχει να ζήσει το Τμήμα εδώ και μία δεκαπενταετία (αν όχι από τα πρώτα έτη λειτουργίας του). Σας παρακαλώ, λοιπόν, και εγώ με τη σειρά μου, να αναλογιστείτε το τι επιπτώσεις θα έχει (μέσω των αναμενομένων αντιδράσεων από τα μέλη ΔΕΠ και τους φοιτητές) η χωρίς περίσκεψη και με περισσή βιασύνη περιφορά ενός μη αρκούντως επεξεργασθέντος προσχεδίου αλλαγών τού ΠΠΣ στους κύκλους των ενδιαφερομένων. (Τα επακόλουθα ενός τέτοιου εγχειρήματος ενδέχεται να μας συνοδεύουν για άλλα 15 χρόνια! Γι αυτό -στην παρούσα φάση- συνιστάται σύνεση, προνοητικότητα και προπαρασκευαστική εργασία. Είναι κυριολεκτικώς απορίας άξιον, το πώς η επιδιωχθείσα (από ορισμένους συναδέλφους) λίαν αρνητική α- ναβλητικότητα, κατά το παρελθόν έτος, όταν επρόκειτο να θιγούν ζητήματα τα οποία αφορούσαν σε μια εις βάθος μελέτη τής δομής και τής λειτουργίας τού ΠΠΣ, μετετράπη αιφνιδίως σε αναζήτηση λύσεων με τη διαδικασία τού κατεπείγοντος.) Δεδομένων των ανωτέρω ενστάσεων, είμαι εκ των πραγμάτων υποχρεωμένος να προβώ σε μια προσωπική, έστω και προκαταρκτική, εκτίμηση τού αποσταλθέντος προσχεδίου, διατηρώντας το δικαίωμά μου να επανέλθω επ αυτού στο μέλλον με συμπληρωματικές παρατηρήσεις και διευκρινίσεις. Σημεία (πλήρους ή εν μέρει) συμφωνίας: Η αναγκαιότητα αλλαγών στον τρόπο δομήσεως και εσωτερικής λειτουργίας τού ΠΠΣ είναι δεδομένη. Το παρόν ΠΠΣ έκλεισε έναν πολυετή κύκλο, ο οποίος αναμφιβόλως χρήζει αναθεωρήσεων και θεσπίσεως νέων προσανατολισμών. Συμφωνώ δε (έστω και με επιμέρους ε- 1
πιφυλάξεις ως προς τον τρόπο υλοποιήσεως αυτών) με τις ακόλουθες προτάσεις που περιέχονται στο αποσταλθέν προσχέδιο: Την αύξηση ωρών διδασκαλίας-ασκήσεων, με στόχο τη βελτίωση τής α- ποτελεσματικότητας τής διδασκαλίας των εισαγωγικών μαθημάτων. Τη δυνατότητα επιλογής μεταξύ κάποιων από τα υποχρεωτικά μαθήματα, ώστε να καλύπτονται καλύτερα κάποιες σημαντικές περιοχές των Μαθηματικών. Την εκ παραλλήλου προσπάθεια δημιουργίας ή ενημερώσεως τού εκπαιδευτικού υλικού για τα υποχρεωτικά μαθήματα, ώστε να εξασφαλίζεται μεγαλύτερη ομοιομορφία και συνέχεια. [Και μόνον τούτο θα απαιτούσε από μόνο του αρκετό χρονικό διάστημα για να υλοποιηθεί.] Την εισαγωγή, παραλλήλως προς το σύστημα των διδακτικών μονάδων, τού συστήματος πιστωτικών μονάδων, το οποίο βασίζεται στον συνολικό χρόνο απασχολήσεως των φοιτητών με ένα μάθημα, και όχι μόνον στον χρόνο διδασκαλίας στην τάξη. Τη θέσπιση επιπρόσθετων πιστοποιητικών κατευθύνσεων προς επιβράβευσιν όσων επιθυμούν να παρακολουθήσουν έναν πιο απαιτητικό κύκλο μαθημάτων. Την αναγνώριση τής Πρακτικής Ασκήσεως στο πλαίσιο τού ΠΠΣ, και τη δυνατότητα παροχής Πιστοποιητικού Χειρισμού Υπολογιστών (ECDL) στους αποφοίτους τού Τμήματος. Την πρόβλεψη μέτρων για να βελτιωθεί η αξιοπιστία τού συστήματος α- ξιολογήσεως, και ειδικότερα των εξετάσεων, χωρίς, ωστόσο, να θίγεται ο θεσμικώς κατοχυρωμένος ρόλος ενός εκάστου διδάσκοντος ως εξεταστού. Τη βελτίωση τής περιγραφής των μαθημάτων στον Οδηγό Σπουδών, με στόχο την καλύτερη πληροφόρηση των φοιτητών για το περιεχόμενο, τις προαπαιτούμενες γνώσεις και τους μαθησιακούς στόχους κάθε μαθήματος. Την ένταξη τής οιασδήποτε τροποποιούμενης μορφής τού ΠΠΣ σε έναν (εδώ και πολλά έτη προσδοκώμενο) Εσωτερικό Κανονισμό τού Τμήματος (εάν και εφόσον η θεσμοθέτησή του μπορεί να καταστεί εφικτή υπό τις παρούσες συνθήκες). Σημεία διαφωνίας. Οι κύριες διαφωνίες υφίστανται στα ακόλουθα σημεία τού προσχεδίου: Παραλείπονται ουσιώδεις λεπτομέρειες που αφορούν στην αντιστοίχιση με τα υπάρχοντα μαθήματα, κάτι που δυσχεραίνει τον αναγνώστη στην εξαγωγή ασφαλών συμπερασμάτων περί των επιδιωκομένων μεταρρυθμίσεων και την πρακτική τους υλοποίηση. Ενόσω εντοπίζεται (θεωρητικώς) σε τι οφείλονται οι αδυναμίες τού παρόντος ΠΠΣ, εν τέλει υπάρχει δισταγμός προ τής όποιας αυξήσεως τού ελάχιστου αριθμού μαθημάτων για τη λήψη τού πτυχίου (ωσάν αυτός να μην συγκαταλέγετο στις εν λόγω αδυναμίες). 2
Παρότι εισάγονται πιστοποιητικά κατευθύνσεως, δεν παρέχονται τα α- παραίτητα τεκμήρια για την ορθότητα (ή μη) τού προσδιορισμού τού ελαχίστου αριθμού των απαιτουμένων μαθημάτων από την ομάδα 2 σε δέκα (10). Δεν γίνεται ουδεμία μνεία περί τής ανάγκης αναθέσεως ευθυνών για τα μαθήματα τής ομάδας 2 στους επιμέρους τομείς. Τα «Θέματα» (όντας οι «αποδιοπομπαίοι» τού ισχύοντος ΠΠΣ) εξοβελίζονται στην υποομάδα 2.9 [τη γνωστή «κερκόπορτα»] μαζί με μαθήματα (έστω και μαθηματικού περιεχομένου) άλλων τμημάτων, χωρίς να υπάρχει για αυτά πρόβλεψη για να καταστούν κάπως πιο ελκυστικά προς τους φοιτητές, πράγμα που θα έχει ως (πρακτικό) επακόλουθο τη βαθμιαία κατάργησή τους. Συν τοις άλλοις, με αόριστη φρασεολογία τού τύπου «εφόσον πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις» κατατάσσονται και τα μεταπτυχιακά μαθήματα στην περιώνυμη υποομάδα 2.9. Προτεινόμενες συμπληρώσεις και αλλαγές. Προτείνονται τα εξής: Τα μαθήματα εφοδιάζονται με νέους κωδικούς. Επανεξετάζονται οι ελάχιστες απαιτήσεις για τη λήψη τού πτυχίου (τόσον ποσοτικώς όσον και ποιοτικώς). Εξετάζεται διεξοδικώς το κατά πόσον τα 10 απαιτούμενα μαθήματα για τη λήψη πιστοποιητικού κατευθύνσεως (βάσει ενός μη εξηγηθέντος σκεπτικού που ακολουθείται στο προσχέδιο) είναι πολύ λίγα σε σχέση με το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα. (Υπενθυμίζω ότι η αντιπρόταση που είχε γίνει εκ μέρους ενός έμπειρου συναδέλφου την 8 η Μαΐου 2006, όταν πρωτοξεκίνησε η όλη συζήτηση για τις «κατευθύνσεις», περιλάμβανε την αύξηση αυτών σε 12-16 και υπό αυστηρότερους όρους.) Ο μέγιστος αριθμός μεταπτυχιακών μαθημάτων που μπορούν να παρακολουθήσουν προπτυχιακοί με ταυτόχρονη καταχώρηση προπτυχιακής βαθμολογίας σταθεροποιείται στα 3 (αφού έχει καταρτισθεί λεπτομερής κατάλογος εντάξεως των μεταπτυχιακών μαθημάτων στις νέες υποομάδες και έχει γίνει κανονική αντιστοίχιση διδακτικών μονάδων). Επίσης, εξετάζεται ως ενδεχόμενο η πλήρης κατάργηση τού «προνομίου» των φοιτητών τού Μαθηματικού Τμήματος τού Πανεπιστημίου Κρήτης να α- ναγνωρίζουν τα μεταπτυχιακά μαθήματα που έχουν παρακολουθήσει ως προπτυχιακοί στην περίπτωση κατά την οποία εισαχθούν στο Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών, καθότι κατ αυτόν τον τρόπο θίγεται η αρχή τής ίσης μεταχειρίσεως σε σχέση με τους φοιτητές άλλων Πανεπιστημίων, οι οποίοι λαμβάνουν μέρος στις εισαγωγικές εξετάσεις τού ΜΠΣ και βεβαίως δεν χαίρουν αναλόγου προνομίου. Η διεξοδική μελέτη των όποιων αλλαγών τής διδακτέας ύλης των μαθημάτων των εντασσομένων στην ομάδα 2, και ειδικότερα η μέριμνα για την ομαλή αλληλουχία συνδεόμενων μαθημάτων (που ανήκουν σε αυτήν), τη βελτίωση των παρεχόμενων διδακτικών βοηθημάτων, τη μη ευρεία αλληλοεπικάλυψη τμημάτων ύλης και τον καθορισμό (τού περιεχομένου, τού τίτλου και τής υφής) των εκάστοτε διδασκόμενων «Θεμάτων», ανατίθεται στους τομείς βάσει τού ακολούθου πίνακα: 3
Υποομάδες τής Υπεύθυνοι τομείς ομάδας 2 2.1 Τομέας Ανάλυσης και Τομέας Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Στατιστικής 2.2 Τομέας Άλγεβρας-Γεωμετρίας 2.3 Τομέας Άλγεβρας-Γεωμετρίας και Τομέας Ανάλυσης 2.4 Και οι τρεις τομείς 2.5 Τομέας Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Στατιστικής 2.6 Τομέας Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Στατιστικής και Τομέας Ανάλυσης 2.7 Τομέας Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Στατιστικής 2.8 Και οι τρεις τομείς Τα «Θέματα» είτε εντάσσονται εκ νέου στις αντίστοιχες υποομάδες (και προσμετρώνται ως κανονικά μαθήματα, τα οποία θα μπορούν να ληφθούν και αντ άλλων για την κάλυψη των επιμέρους απαιτήσεων, ήτοι απαλλασσόμενα από το μέχρι τούδε ισχύον, εν μέρει «απαγορευτικό», καθεστώς) είτε εντάσσονται σε μια ειδική υποομάδα 2.9 (η οποία δεν θα περιέχει άλλου είδους μαθήματα), τα δε μαθήματα άλλων τμημάτων εντάσσονται σε άλλη ομάδα. [Η τελική απόφαση είναι τεχνικής φύσεως και προϋποθέτει περαιτέρω διερεύνηση.] Στη δεύτερη περίπτωση, όποιος επιδιώκει τη λήψη πιστοποιητικού κατευθύνσεως, υποχρεούται να επιλέξει τουλάχιστον 1 (;) μάθημα ανήκον σε αυτήν την υποομάδα 2.9. Μελετάται (με ευθύνη των τομέων) εάν και κατά πόσον θα ήταν δυνατόν ορισμένα από τα παρεχόμενα «Θέματα» να προσλάβουν τη μορφή «σεμιναριακού μαθήματος» [κατά τα γερμανικά πρότυπα των λεγομένων «Proseminare».] Είμαι τής γνώμης ότι ένας μικρός αριθμός τέτοιων «(προ)σεμιναρίων» (για περιορισμένο αριθμό φοιτητών και υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις επιβλέψεως και αυστηρούς κανόνες βαθμολογήσεως) θα ωφελούσε όσους θα επιδιώκουν τη λήψη πιστοποιητικού κατευθύνσεως, καθότι -μέσω αυτών- θα επιτυγχάνετο τόσο η άμεση επαφή με ειδική θεματολογία όσο και η εξοικείωση με τις τεχνικές προσωπικών παρουσιάσεων και την ανάπτυξη τής (πολυπόθητης) αυτενέργειας (κατ αντιδιαστολήν προς τη συνήθη παθητική εισροή γνώσεων «εξ άμβωνος»). Παραινούνται οι συνάδελφοι όπως καταθέσουν επιπρόσθετες προτάσεις για των εμπλουτισμό των υποομάδων τής ομάδας 2 με έναν περιορισμένο αριθμό νέων μαθημάτων, τα οποία θα είχαν ως στόχο τον περαιτέρω εκσυγχρονισμό και αναβάθμιση τού ΠΠΣ, εν όψει -μάλιστα- τής προτεινόμενης θεσπίσεως πιστοποιητικών κατευθύνσεων. [Ακολουθούν συγκεκριμένες, προσωπικές προτάσεις που αφορούν σε μαθήματα τής ομάδας 1 και των υποομάδων 2.2 και 2.3.] 4
Συγκεκριμένες προτάσεις για ορισμένα μαθήματα τής ομάδας 1. Δεν αντιλαμβάνομαι την αναγκαιότητα ύπαρξης μαθήματος «Άλγεβρας Ι» στην υποομάδα 1.1 έχον ως ύλη ένα συνονθύλευμα τής ύλης των μαθημάτων Μ 110 και Μ 112, τα οποία έχουν διαφορετικές στοχεύσεις. Αντ αυτού προτείνω να παραμείνει η ύλη τού Μ 110 ως έχει, να ενταχθεί στην υποομάδα 1.1 και να λάβει το όνομα «Εισαγωγή στην Άλγεβρα», καταργώντας το προτεινόμενο μάθημα «Άλγεβρα ΙΙ» τής υποομάδας 1.2 και αντικαθιστώντας το από το μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ» (το οποίο θα αφαιρεθεί από την υποομάδα 2.2.) Το σκεπτικό για την τελευταία αυτή αλλαγή στηρίζεται στο ότι η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί τη βάση για πληθώρα μαθημάτων όλων των υποοομάδων, οπότε οφείλει να διδάσκεται ως υποχρεωτικό μάθημα (με το δεύτερο, πιο απαιτητικό τμήμα της ενταγμένο στην υποομάδα 1.2) σε όλη της την έκταση. (Είναι σίγουρο ότι, κατ αυτόν τον τρόπο, η «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ» θα παρακολουθείται από περισσότερους φοιτητές από όσους παρακολουθείται σήμερα.) Συγκεκριμένες προτάσεις για ορισμένα μαθήματα τής υποομάδας 2.2. Μετακινείται το μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ» στην υποομάδα 1.2 (βάσει των προαναφερθέντων). Προτείνεται δε η εισαγωγή τριών νέων μαθημάτων: α) Πλειογραμμική Άλγεβρα [Προαπαιτούμενο: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Συνιστώμενα: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ, Θεωρία Δακτυλίων και Modules.] Στόχος: Η εξοικείωση των φοιτητών με έννοιες όπως αυτές των πλειογραμμικών απεικονίσεων, τού τανυστικού γινομένου, των τανυστικών, εξωτερικών, συμμετρικών και εναλλασσουσών αλγεβρών, και η καλύτερη προετοιμασία των όσων εξ αυτών παρακολουθήσουν το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών (ΜΠΣ), στο οποίο υπάρχουν μαθήματα που προαπαιτούν (για να διατηρήσουν τον χαρακτηρισμό τους ως μεταπτυχιακά) τις εν λόγω έννοιες (όπως, επί παραδείγματι, είναι τα Α 10, Α 12, Α 13, Α 19, Α 20, Α 21, Α 42, Γ 10, Γ 11, Γ 12 και Γ 21). Ύλη: Σχεδιασμένη επί τη βάσει των πρώτων βασικών κεφαλαίων των εξής βιβλίων: W. Greub: Multilinear Algebra, Springer-Verlag, 1967. D.G. Northcott: Multilinear Algebra, Cambridge University Press, 1984. 5
β) Εισαγωγή στην Ομολογική Άλγεβρα [Προαπαιτούμενο: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Συνιστώμενα: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ, Θεωρία Δακτυλίων και Modules, Πλειογραμμική Άλγεβρα.] Στόχος: Η εξοικείωση των φοιτητών με έννοιες όπως αυτές των ακριβών ακολουθιών, των προβολικών, εμβολικών και ισόπεδων μοδίων (modules), των αλυσωτών συμπλόκων, των ομάδων ομολογίας και συνομολογίας, των Hom, Ext και Tor, τού θεωρήματος τού Künneth κ.ά., και η καλύτερη προετοιμασία των όσων εξ αυτών παρακολουθήσουν το ΜΠΣ, στο οποίο υπάρχουν μαθήματα που προαπαιτούν τις εν λόγω έννοιες (όπως, επί παραδείγματι, είναι τα A 13 και Γ 21). Ύλη: Σχεδιασμένη επί τη βάσει των κύριων κεφαλαίων των εξής βιβλίων: S.T. Hu: Introduction to Homological Algebra, Holden-Day Inc., 1968. L. Vermani: An Elementary Approach to Homological Algebra, Chapman & Hall, 2003. Αντίστοιχο μάθημα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών: Το φέρον τον κωδικό 736. [Προσοχή! Το ως άνω προτεινόμενο μάθημα μπορεί να σχεδιασθεί κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να μην απαιτείται καθόλου ή σχεδόν καθόλου μνεία τής Θεωρίας Κατηγοριών.] γ) Ένα μάθημα με έναν εκ των τίτλων Μεταθετική Άλγεβρα και Εφαρμογές, Εισαγωγή στη Θεωρία των Αλγεβρικών Καμπυλών ή Εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία Στόχος: Η έγκαιρη και σχετικώς στοιχειώδης εισαγωγή των φοιτητών στα πρώτα κεφάλαια τής Μεταθετικής Άλγεβρας και τής Αλγεβρικής Γεωμετρίας, μέσω ε- νός απανθίσματος θεμάτων προερχομένων από τα προπτυχιακού επιπέδου συγγράμματα που ακολουθούν. Κατόπιν τούτου, το μάθημα A 13 τού ΜΠΣ μπορεί να καταστεί πράγματι μεταπτυχιακού επιπέδου (όπως γίνεται σε καλά μαθηματικά τμήματα τής αλλοδαπής- και όχι μόνον). M. Reid: Undergraduate Commutative Algebra, Cambridge University Press, 1995. M. Reid: Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988. W. Fulton: Algebraic Curves, Benjamin Inc., 1969. C.G. Gibson: Elementary Geometry of Algebraic Curves. An Undergraduate Introduction. Cambridge University Press, 2 nd pr., 2001. K. Kendig: Elementary Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1977. K. Hulek: Elementary Algebraic Geometry, American Math. Soc., 2003. D. Cox, J. Little & D. O Shea: Ideals, Varieties and Algorithms. An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, UTM, Springer-Verlag, 2 nd ed., 1996. 6
[Αντιστοιχίες προπτυχιακών μαθημάτων τής ημεδαπής: Έχω υπ όψιν μου το μάθημα Μεταθετική Άλγεβρα και Εφαρμογές τού Πανεπιστημίου Αθηνών με κωδικό αριθμό 534, το μάθημα Αλγεβρικές Καμπύλες (8 ου εξαμήνου) τού Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, το μάθημα Αλγεβρικές Καμπύλες τού Πανεπιστημίου Ιωαννίνων με κωδικό αριθμό 627 Ε, καθώς και το αντίστοιχο μάθημα Μ 228 που δίδαξε ο κος Α. Κουβιδάκης στο Τμήμα μας (υπό τον τίτλο Αλγεβρική Γεωμετρία) κατά το χειμερινό εξάμηνο 2005-2006.] Συγκεκριμένες προτάσεις για ορισμένα μαθήματα τής υποομάδας 2.3. Προτείνω την παραμονή τού μαθήματος «Ανάλυση Πολλών Μεταβλητών» στην υποομάδα 2.1 (για λόγους ομοιογένειας και συνάφειας γνωστικών αντικειμένων), καθώς και την εισαγωγή δύο νέων μαθημάτων στη (νέα) υποομάδα 2.3: α) Γραμμική Γεωμετρία [Προαπαιτούμενο: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Συνιστώμενο: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ.] Στόχος: Η εκμάθηση βασικών εννοιών και θεωρητικών αποτελεσμάτων τής Συσχετικής και Προβολικής Γεωμετρίας (Affine and Projective Geometry) κάνοντας αποκλειστικώς χρήση τής Γραμμικής Άλγεβρας (ήτοι χωρίς να καταφεύγουμε σε δεκάδες αξιώματα, όπως συμβαίνει όταν κανείς κινείται εντός τού πλαισίου τής κλασικής Συνθετικής Γεωμετρίας). Ύλη: Ανάλογη εκείνης τού βιβλίου των K.W. Gruenberg & A.J. Weir: Linear Geometry, 2 nd ed., Springer-Verlag, 1977, διανθισμένη με επιλεκτικές προσθήκες από άλλα συγγράμματα, όπως τα: E. Artin: Geometric Algebra, Interscience, 1957. E. Snapper & R.J. Troyer: Metric Affine Geometry, Dover Pub., 1989. R. Hartshorne: Foundations of Projective Geometry, Addison-Wesley, 1967. P. Samuel: Projective Geometry, UTM, Springer-Verlag, 1988. β) Εισαγωγή στη Διαφορική Τοπολογία [Προαπαιτούμενα: Γραμμική Άλγεβρα Ι, II. Συνιστώμενα: Ανάλυση Πολλών Μεταβλητών, Γενική Τοπολογία.] Στόχος: Η εκμάθηση βασικών εννοιών τής Διαφορικής Τοπολογίας, η οποία προσφέρεται ως μάθημα σύζευξης αναλυτικών και τοπολογικών αποτελεσμάτων, προπαρασκευαστικό των μαθημάτων Γ 10 και Γ 11 τού ΜΠΣ. Ύλη: Περιλαμβάνουσα την ύλη των αρχικών κεφαλαίων των ακολούθων βιβλίων: 7
A. Wallace: Differential Topology: First Steps, Benjamin Inc., 1968 (2 nd repr., Dover, 2006). J.W. Milnor: Topology from the Differential Viewpoint, Virginia University Press, 1965. D.B. Gauld: Differential Topology. An Introduction, 2 nd rep., Dover Pub., 2006. A. Pollack & V.W. Guillemin: Differential Topology, Prentice Hall, 1974. J.R. Munkres: Elementary Differential Topology, Priceton University Press, 1973. Σχόλια: 1) Αν και δεν έχω βάσιμες αντιρρήσεις για την από εσάς προταθείσα ύλη τής «Γεωμετρικής Τοπολογίας», θα προτιμούσα το όνομα τού μαθήματος να είναι «Εισαγωγή στην Αλγεβρική Τοπολογία», ούτως ώστε εάν κάποιος διδάσκων θελήσει να αναφερθεί σε ορισμένα πιο αλγεβρικά τμήματα τής θεωρίας, να μην κωλύεται. Σε κάθε περίπτωση, ό,τι όνομα τελικώς και εάν υιοθετηθεί, θα πρέπει να συνοδεύεται από προαπαιτούμενα/συνιστώμενα και από την υποομάδα 2.2. [Π.χ. χωρίς προηγηθείσες γνώσεις από τη «Θεωρία Ομάδων», θα είναι μάλλον δύσκολη η παρακολούθηση τού μαθήματος.] 2) Με τις ως άνω αλλαγές και προσθήκες στις υποομάδες 2.1, 2.2 και 2.3, η υποομάδα 2.1 θα περιέχει έξι (6), η υποομάδα 2.2 επτά (7) και η υποομάδα 2.3 έξι (6) μαθήματα, κάτι που δεν διαταράσσει εν γένει την αριθμητική ισορροπία (εάν π.χ. ληφθεί υπ όψιν ότι η υποομάδα 2.4 περιέχει οκτώ (8) μαθήματα). Παράκληση: Παρακαλώ την Επιτροπή Σπουδών (και τον Πρόεδρο τού Τμήματος κο Αντωνιάδη) όπως δεχθούν ως αντικαταστάτη μου στην Επιτροπή (για όσο διάστημα θα βρίσκομαι εκτός Κρήτης) τον συνάδελφο κο Κ. Αθανασόπουλο. Αυτά είχα να εκθέσω επί τού παρόντος, εντός τού ελαχίστου αυτού χρονικού διαστήματος που εσείς προσδιορίσατε ως «προσήκον» για τη διατύπωση προτάσεων για ένα τόσο σημαντικό θέμα. Θα επανέλθω επ αυτού εν ευθέτω χρόνω. Δημήτριος Ι. Νταής Μέλος τής Επιτροπής Σπουδών (ευρισκόμενο σε εκπαιδευτική άδεια) 8
Βερολίνο, 25 Απριλίου 2007 Κύριε Κουρουνιώτη, σας αποστέλλω και μια παλαιότερη πρόταση εμού και τού κυρίου Κ. Αθανασόπουλου (που είχε κατατεθεί στην Επιτροπή Σπουδών) και αφορούσε στην αναμόρφωση τής ύλης των μαθημάτων «Γραμμική Άλγεβρα Ι» και «Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ». Προτεινόμενη ύλη Γραμμικής Άλγεβρας Ι 1. Διανύσματα στο επίπεδο και στον χώρο. Ευθείες και επίπεδα. (Σύντομη γεωμετρική εισαγωγή η οποία δρα ως κίνητρο για ό,τι ακολουθεί.) 2. Ομάδες (και -ιδιαιτέρως- οι συμμετρικές ομάδες), δακτύλιοι και σώματα (Βασικοί ορισμοί.) 3. Γραμμικοί χώροι οριζόμενοι υπεράνω σωμάτων. Παραδείγματα. Υπόχωροι. Γεννήτορες, γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία. Βάσεις. Διάσταση. Ύπαρξη βάσεων σε γραμμικούς χώρους πεπερασμένης διαστάσεως. Άθροισμα και (εσωτερικό) ευθύ άθροισμα υποχώρων. Ευθύ άθροισμα γραμμικών χώρων. 4. Γραμμικές απεικονίσεις. Παραδείγματα. Μονομορφισμοί, επιμορφισμοί και ισομορφισμοί. Πυρήνας και εικόνα. Γραμμικοί πηλικόχωροι. Διάσταση πηλικοχώρων. Θεωρήματα ισομορφισμών και εφαρμογές τους. 5. Πίνακες γραμμικής απεικονίσεως, βαθμίδα (rank) γραμμικής απεικονίσεως και πίνακα. Αλλαγή βάσεως. Η άλγεβρα των γραμμικών απεικονίσεων και των πινάκων. Αντιστρέψιμοι πίνακες. Ομοιότητα. 6. Γραμμικά συστήματα (ομογενή και μη ομογενή). Υπόχωροι και συσχετικοί χώροι λύσεων. Μέθοδος απαλοιφής κατά Gauss. 7. Ορίζουσες (ύπαρξη και μοναδικότητα). Ιδιότητες οριζουσών. Υπολογισμός βαθμίδας πίνακα και αντιστρόφου τετραγωνικού πίνακα. Εφαρμογές στα γραμμικά συστήματα. Κανόνας τού Cramer. 8. Αναλλοίωτοι υπόχωροι. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών. Διαγωνιοποίηση. 9
Προτεινόμενη ύλη Γραμμικής Άλγεβρας ΙΙ 1. Σύντομη επανάληψη τού κεφαλαίου περί ιδιοδιανυσμάτων και ιδιοτιμών. Θεώρημα Cayley και Hamilton. Διαγωνιοποιήσιμοι και τριγωνικοποιήσιμοι πίνακες. Θεώρημα πρωταρχικής αναλύσεως. Ρητή μορφή και διευθετημένη (ή κατ άλλους κανονική) μορφή Jordan. 2. Δυϊκοί χώροι γραμμικών χώρων. Δυϊκές βάσεις. Ανάστροφη απεικόνιση γραμμικής απεικονίσεως και ανάστροφος πίνακα. 3. Διγραμμικές μορφές. Συμμετρικές και εναλλάσσουσες διγραμμικές μορφές. Τετραγωνικές μορφές. Νόμος τής αδρανείας τού Sylvester. 4. Γραμμικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο (ευκλείδειοι και μοναδιακοί). Ορθογωνιότητα, ορθοκανονικές βάσεις, ορθοκανονικοποίηση κατά Gram και Schmidt. Ορθογώνιο συμπλήρωμα χώρου. Στάθμη (= νόρμα), ανισότητα των Cauchy και Schwartz. Κανόνας τού παραλληλογράμμου κ.ά. 5. Ορθογώνιοι και μοναδιακοί ενδομορφισμοί. Αυτοπροσαρτημένοι ενδομορφισμοί. Φασματικό θεώρημα. 6. Αλγεβρικές υπερεπιφάνειες 2 ου βαθμού εντός τού R n. Λεπτομερής κατάταξη αλγεβρικών καμπυλών 2ου βαθμού εντός τού R2 και αλγεβρικών επιφανειών 2ου βαθμού εντός τού R 3. 10