ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Ένας πυκνωτής έχει ως σκοπό να αποθηκεύει ηλεκτρική ενέργεια που μπορεί να ελευθερώνεται με ελεγχόμενο τρόπο σε βραχύ χρονικό διάστημα. Αποτελείται από 2 χωρικά διαχωρισμένους αγωγούς που φορτίζονται με και αντίστοιχα. Ως χωρητικότητα ορίζεται ο λόγος του φορτίου στον ένα αγωγό του πυκνωτή ( ) προς τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των αγωγών που τον αποτελούν. Εξαρτάται η χωρητικότητα μόνο από τον πυκνωτή και ανεξάρτητα από το φορτίο και το δυναμικό; C V

Παράδειγμα 1: Ιδανικός επίπεδος πυκνωτής Υποθέτουμε, πυκνότητες φορτίου σε κάθε πλακίδιο πολύ μεγάλου εμβαδού Α σε μικρή απόσταση d και διαφορά δυναμικού V=V: d Το φορτίο : A Η ένταση Ε του πεδίου εντός των πλακών ( από Gauss): E A A 0 0 Το δυναμικό V(υπολογίστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο) : V Ed Τελικά A C 0 V d Παρατηρούμε ότι η χωρητικότητα εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία (A, d).

Παράδειγμα 2: Ιδανικός Κυλινδρικός Πυκνωτής Υποθέτουμε φορτίο ομογενώς κατανεμημένο (,) στην επιφάνεια των κυλίνδρων με ακτίνες a και b και με διαφορά δυναμικού V. Απαιτείται η γνώση της διαφοράς δυναμικού V. Έχουμε απείρου μήκους αγωγούς και υψηλή συμμετρία και συνεπώς είναι πρόσφορη η εφαρμογή Gauss για την εύρεση της έντασης Ε και στην συνέχεια της διαφοράς δυναμικού. r Μας ενδιαφέρει μόνον το πεδίο ανάμεσα στους δύο αγωγούς (για να συνδεθεί με το V). Άλλωστε, το εξωτερικό είναι 0 αφού Σ=0. 0 E a b E r L Επιφάνεια Gauss κυλινδρική ακτίνας r και μήκους L ενώ ο εσωτερικός κυλινδρικός αγωγός έχει φορτίο. Από το νόμο του Gauss: E r E dr 2 rle E 2 Lr 0 0 L

Παράδειγμα 2: Κυλινδρικός Πυκνωτής, ομογενώς στην επιφάνεια των κυλίνδρων με διαφορά δυναμικού V. E 2 Lr Αν υποθέσουμε το είναι στον εσωτερικό κύλινδρο, τότε η διαφορά δυναμικού V είναι θετική εάν πάρουμε το μηδέν του δυναμικού στο r = b: 0 a a b b 2 0 L V Edr Edr dr ln C b b a 20rL 20L a V b ln a πάλι: εξαρτάται από τη γεωμετρία Τα ομοαξονικά καλώδια έχουν χωρητικότητα (χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους καλωδίου) r a b L

Παράδειγμα 3: α. Φορτισμένη σφαίρα Φορτισμένη σφαίρα έχει την ικανότητα να αποθηκεύει ορισμένο φορτίο σε δεδομένο δυναμικό (έναντι V=0 στο άπειρο) V 0, VR C 4 0R 4 R V Υπολογισμός χωρητικότητας: η 0 β. Σφαιρικός πυκνωτής, στην επιφάνεια των σφαιρών με διαφορά δυναμικού V. a b b b dr 1 1 1 Va Vb E() r dr 2 2 a 40 a r 40 r a 40 a b 4 ab C V 1 1 b a a b 0 4 0 Και πάλι εξαρτάται από τη b γεωμετρία

ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ/ ΜΟΝΑ ΕΣ Οι χωρητικότητες αυτών των πυκνωτών (υπάρχει αέρας ανάμεσα στους αγωγούς) γ έχουν την μορφή C = ε 0 G όπου G είναι γεωμετρικός παράγοντας, με διαστάσεις μήκους π.χ. G = 4π R, 4π ab/(ba), 2πL, A/d, κτλ. Μονάδες του C (=/V) [C] = Cb/Volt=Farad 1F Farad = 1C Coulomb προς Volt (προς τιμή του Faraday) Παρατήρηση: Όπως το Coulomb έτσι και το Farad είναι μεγάλη μονάδα. Πρακτικά οι χωρητικότητες η μετρώνται σε (μf), nanofarad (nf) ή ακόμη και picofarad (pf).

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΠΟΘΗΚΕΥΟΜΕΝΗ ΣΕ ΠΥΚΝΩΤΗ Για μεταφέρουμε φορτίο dq από σημείο με V = 0 (π.χ. το ( ) πλακίδιο ενός πυκνωτή) στο () πλακίδιο, που φέρει φορτίο q και συνεπώς βρίσκεται σε δυναμικό V = q/c, απαιτείται έργο: dw = V dq = (q/c) dq Συνεπώς, για να φορτίσουμε τον πυκνωτή από q =0σε q = απαιτείται έργο: Αυτό το έργο αποθηκεύεται στον πυκνωτή ως ενέργεια. Που; Θεωρείστε πυκνωτή με παράλληλα πλακίδια με χωρητικότητα C = ε 0 A/d. Εδώ όγκος του πυκνωτή

όπου τ = Ad είναι ο όγκος μεταξύ των πλακιδίων, που «γεμίζει» από το ηλεκτρικό πεδίο E = σ/ε 0. Πράγματι,, η παρουσία αυτού του πεδίου είναι το βασικό χαρακτηριστικό που ξεχωρίζει έναν φορτισμένο από έναν αφόρτιστο πυκνωτή. Θεωρούμε, λοιπόν, ότι η ενέργεια αποθηκεύεται στο πεδίο E με ενεργειακή πυκνότητα u e (δηλ. ενέργεια ανά μονάδα όγκου) που δίνεται από ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΥΚΝΩΤΩΝ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (1) Παράλληλη σύνδεση πυκνωτών Πρόβλημα: Ποιας χωρητικότητας πυκνωτής ( ισοδύναμος ) C eq θα φέρει το ίδιο φορτίο όπως οι C 1 και C 2 μαζί, ενώ έχει την ίδια διαφορά δυναμικού V μεταξύ των πλακιδίων;

Απάντηση: η 1 = C 1 V, 2 = C 2 V, = 1 2 = (C 1 C 2 )V = C eq V, οπότε C eq = C 1 C 2. q eq 1 2 (2) Σύνδεση πυκνωτών σε σειρά Πρόβλημα: Ποιας χωρητικότητας πυκνωτής ( ισοδύναμος ) C eq θα έχει την ίδια ολική διαφορά δυναμικού V = V 1 V 2 στα άκρα του ενώ φέρει το ίδιο φορτίο όπως οι C 1 και C 2. Απάντηση: V 1 = /C 1, V 2 = /C 2

Παρατήρηση: ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Εισάγοντας ένα μη αγώγιμο υλικό (εδώ συζητάμε για ισότροπα και ομογενή υλικά) μεταξύ των πλακιδίων πυκνωτή αλλάζει η ΤΙΜΗ της χωρητικότητας του. Ορισμός: Η διηλεκτρική σταθερά υλικού είναι ο λόγος της χωρητικότητας του πυκνωτή όταν είναι πλήρης από το διηλεκτρικό υλικό, προς αυτήν χωρίς το υλικό. δηλ. C C 0 πάντοτε > 1 (π.χ., γυαλί = 5.6; νερό = 78) Τα διηλεκτρικά ΑΥΞΑΝΟΥΝ τη χωρητικότητα πυκνωτή (γενικά πολύ καλό αν και αυξάνει το βάρος του, αλλά αλλιώς πρέπει να αυξήσω το μέγεθος του πυκνωτή) Επιτρέπουν την αποθήκευση περισσότερης ενέργειας σε δεδομένο πυκνωτή.

ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Όταν δηλαδή ένα διηλεκτρικό (μονωτής), παρεμβάλλεται σε έναν πυκνωτή, αυξάνει την χωρητικότητα από C 0 σε C = κ C 0, όπου κ είναι η διηλεκτρική σταθερά. Συνεπώς, και σύμφωνα με τον ορισμό C = /V: για V σταθερό, το αυξάνει από 0 σε = κ 0, για σταθερό, V ελαττώνεται από V 0 σε V = V 0 /κ. Αυτό πρέπει να σημαίνει και ότι E ελαττώνεται από E 0 σε E = E 0 /κ.

Παράδειγμα επίπεδου πυκνωτή Φορτισμένος επίπεδος πυκνωτής σε κενό σε δυναμικό V 0 (τον φορτίσαμε και το αποσυνδέσαμε από την πηγή) Σε κάθε πλακίδιο υπάρχει = C V 0 Εισάγουμε υλικό διηλεκτρικής σταθεράς. Το φορτίο παραμένει σταθερό υναμικό ελαττώνεται από V 0 σε V V 0 Το ηλεκτρικό πεδίο επίσης: E E 0 V E διηλεκτρική σταθερά υλικού επιτρεπτότητα του υλικού και C = C 0 = εε 0 G 0 = ε G G γεωμετρικός παράγοντας σχετική διηλεκτρική σταθερά υλικού σχετική επιτρεπτότητα διηλεκτρική σταθερά του κενού επιτρεπτότητα του κενού

ΛΟΓΟΣ: ΠΟΛΩΣΗ Εφαρμόζοντας το νόμο του Gauss (για E = σταθερό) στα δυο παραλληλεπίπεδα που φαίνονται: (i) Για την κλειστή επιφάνεια με διακεκομμένη γραμμή: ε 0 E 0 = σ f (1) (σ f = επιφανειακή πυκνότητα ελεύθερου φορτίου) (ii) Για την κλειστή επιφάνεια με συνεχή γραμμή: ε 0 E = σ f σ i (2) (σ i = πυκνότητα επαγόμενου ή δέσμιου φορτίου) Όμως είπαμε ότι Ε=Ε 0 /κ άρα: σχέση (1)/ σχέση (2) και λύση ως προς σ i : σ i = σ f (11/κ) και αντικαθιστώντας στην (2): κ ε 0 Ε Ε = ε Ε Ε = σ f = μέσω της (1) = ε 0 ΕΕ 0

Επέκταση του νόμου του Gauss για να περιλαμβάνει διηλεκτρικά: E da E da E da E da f 0 0 0 f 0 Γενικός κανόνας: Όλες οι εκφράσεις και οι νόμοι που ισχύουν για το κενό ισχύουν και για ομογενή και ισότροπα διηλεκτρικά υλικά εάν το ε 0 αντικατασταθεί από την διηλεκτρική σταθερά του, ε, του διηλεκτρικού. ηλαδή: