1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε την κοινή λύση. 3. Θα ξέρεις ποια λέγονται ισοδύναμα συστήματα Λέγονται τα συστήματα που έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις. 4. Θα ξέρεις να λύνεις σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης όπως σου εξηγώ στο παρακάτω παράδειγμα. Να λυθεί το σύστημα: x +5y = 11 3x y = -1 Πρώτα θα λύσουμε τη μία εξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο θεωρώντας τον άλλο γνωστό (εδώ μας συμφέρει να λύσουμε την πρώτη ως προς χ. Έτσι έχουμε : x = 11 5y 3x y = -1 88
Τώρα θα αντικαταστήσουμε την τιμή του χ στην δεύτερη και θα έχουμε: x = 11 5y 3(11 5y y = -1 Βλέπουμε ότι η δεύτερη εξίσωση έχει τώρα μοναδικό άγνωστο το y, τη λύνουμε λοιπόν και έχουμε: χ = 11 5y χ 11 5y χ 11 5y χ 11 5y = = = χ = 11 5y 17y 34 33 15y y = 1 15y y = 1 33 17y = 34 = 17 17 y= Τώρα θα αντικαταστήσουμε την τιμή του y που βρήκαμε στην 1 η και θα έχουμε: x = 11-5. x =1 y = y = Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η! Αν κατά τη λύση προκύψει αδύνατη εξίσωση τότε το σύστημα είναι αδύνατο ενώ αν προκύψει ταυτότητα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. 5. Θα ξέρεις να λύνεις σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών όπως σου εξηγώ παρακάτω: Να λυθεί το σύστημα: x +5y =11 3x y = -1 Θα πολλαπλασιάσω την πρώτη εξίσωση με το 3 ( συντελεστή του χ στη η εξίσωση Και την δεύτερη εξίσωση με το 1 (αντίθετο του συντελεστή του χ της 1 ης εξίσωσης Δηλαδή x +5y =11. 3 3χ-y =-1. (-1 3χ +15y = 33 (1-3χ +y = 1 ( 89
Έτσι πέτυχα οι συντελεστές του χ στις δύο εξισώσεις να είναι αντίθετοι. (Μπορούσα να χρησιμοποιήσω τους συντελεστές του y πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση με + και την δεύτερη με +5. Αν τώρα προσθέσω τις εξισώσεις (1 και ( βρίσκω αμέσως το y αφού θα έχω: 17y =34! y = Αντικαθιστώντας δε την τιμή y = σε μια από τις δύο αρχικές εξισώσεις βρίσκω και το χ. Έτσι έχω: x+5" =11! x = 11-10! x = 1 6. Θα ξέρεις να λύνεις σύστημα με την μέθοδο των οριζουσών όπως σου εξηγώ παρακάτω: Να λυθεί το σύστημα: χ +5 =11 3χ y =-1 1 5 Πρώτα βρίσκω την ορίζουσα D= #$ $ 15 #$ 17 3 - Που είναι η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων. Μετά την D x που προκύπτει αν στην D αντικαταστήσουμε την στήλη του χ δηλαδή την πρώτη με τους αριθμούς που είναι μετά το = δηλ. είναι 11 5 Dx # #$ % 5#$ 17-1 - Τέλος όμοια την D y αντικαθιστώντας την η στήλη με τους 1 11 σταθερούς όρους δηλαδή: Dy # #$ 1$ 33#$ 34 3-1 Οι άγνωστοι χ, y προκύπτουν από τις σχέσεις D D x $ 17 y $ 34 x = # # 1, y = # # D $ 17 D $ 17 90
7. Θα ξέρεις τη διερεύνηση του συστήματος αx+βy = γ α x + β y = γ ότι δηλαδή: 1. Αν D 0 το (Σ έχει μοναδική λύση την D x D x =,y # y D D. Αν D 0 και (D x 0 ή D y 0 το (Σ είναι αδύνατο. 3. Αν D=0, D x =0, D y =0 το (Σ έχει άπειρες λύσεις εκτός αν α=β=α =β =0 και γ 0 ή γ 0 που είναι τότε αδύνατο 8. Θα ξέρεις να λύνεις συστήματα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους όπως σου δείχνω παρακάτω: Να λυθεί το σύστημα: x +3y ω =5-3x + y +ω =5 x 5y+ω =-3 Απαλείφω το χ μεταξύ των δύο πρώτων εξισώσεων και έχω: 3 x+3y-ω = 5-3x+y+ω = 5 6x + 9y -3ω =15-6x +y+4ω = 10 11y +ω =5 1 &' (+ Απαλείφω τώρα πάλι το χ μεταξύ 1 ης και 3 ης εξίσωσης (μπορούσα και μεταξύ ης και 3 ης 1 x+3y-ω = 5 x-5y+ω=-3 x+ 3y - ω = 5 - -x+10y-4ω = 6 & + ' 13y 5ω = 11 ( Θα πάρω τώρα το σύστημα των (1, ( δηλ το και θα το λύσω με όποιο τρόπο θέλω, π.χ με ορίζουσες. 11y + ω =5 13y 5ω = 11 91
Έτσι έχω: 11 1 D= #$ 55 $ 13 #$ 68 13-5 5 1 Dy # #$ 15 $ 11#$ 136 11-5 11 5 Dω # # 11$ 35 #$ 04 13 11 Τότε D $ 136 D $ 04 D $ 68 D $ 68 y ω y = # #, ω = # # 3 Τις τιμές τώρα των y, ω που βρήκα τις αντικαθιστώ σε μία από τις 3 αρχικές εξισώσεις π.χ στην τρίτη και έχω: χ $ 5" % " 3# $ 3! x$ 10+6= $ 3! x=10$ 6$ 3! x=1 Άρα λύση του συστήματος είναι χ = 1, y =, ω = 3 Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η Εάν στο σύστημα οι σταθεροί όροι δηλαδή οι αριθμοί μετά το = είναι όλοι 0 τότε το σύστημα λέγεται ομογενές, έχει πάντα λύση την (0,0,0 και λύνοντας το με το προηγούμενο τρόπο βλέπουμε αν έχει μόνο λύση τη μηδενική ή έχει και άλλες άπειρες.( Αυτό θα συμβεί όταν οι (1, ( βγουν 9. Θα ξέρεις να λύσεις συστήματα με τεχνάσματα: Στην κατηγορία αυτή ανήκουν αρκετά συστήματα ένα από αυτά σου λύνω παρακάτω, στις λυμένες ασκήσεις δε θα δεις και άλλα. Να λυθεί το σύστημα : x $ 1 y $ 6 3z $ # # 3 4 5 x % y $ 4z # 5 9
Αφού τα τρία κλάσματα είναι ίσα ονομάζω το καθένα με λ και λύνω ως προς τους αγνώστους χ, y, z. Έχω δηλαδή: x-1 ( # λ x = 3λ +1 3 x-1=3λ ( x = 3λ+1 ( y-6 4λ+6 # λ y-6 =4λ y = 4λ+6 y = 4 3z- 3z- = 5λ 3z =5λ+ 5λ+ # λ z = 5 x+y-4z =5 x+y -4z = 5 3 + + x + y-4z =5 x+y - 4z = 5 ( * * * * + + Αν αντικαταστήσουμε τώρα τις τιμές των χ,y, z στην τελευταία εξίσωση θα βρούμε το λ. Έτσι έχουμε: 4λ+6 5λ+ 3λ+1 % " $ 4" # 5, & ' 3 & ' & ' & ' 33λ+1 % 34λ+6 $ 4 5λ+ # 15, 9λ+3+1λ+18-0λ-8 = 15, 9λ+1λ-0λ = -3-18+8+15, λ= Τότε: x = 3" +1 =7 4+ " 6 y = # 7 5 " + z = # 4 3 93
1. Να λυθεί το σύστημα: 1 & ' 15 $ x+y $ 4y # 0 3 8 x+y # 3 % y Λύση 1 & x+y ' - 15-4y =0 3 8 x+y = 3 + y Πρώτα κάνω απαλοιφή παρανομαστών και έχω 8 1 3 15-4y x+y - 4 = 0 8 x+y -3 15-4y = 0 3 8 * x+y x+y = & 3+y' = & 3+y' 4 & ' ( + & ' & ' Τώρα κάνω πράξεις και έχω: 16x% 8y$ 45 % 1y# 0 x% y# 6% 4y Το φέρνω στην τελική του μορφή χωρίζοντας γνωστούς από αγνώστους. 16x + 8y+1y = 45( 16x + 0y = 45 x+y - 4y = 6 x - 3y = 6 * + Το λύνω με ορίζουσες: 16 0 D= #$ 48$ 0 #$ 68 1-3 45 0 16 45 Dx # #$ 135 $ 10 #$ 55 Dy # # 96 $ 45 # 51 6-3 1 6 Άρα : D D x $ 55 55 y 51 51 x= # #, y = # # $ D $ 68 68 D $ 68 68 94
. Να λυθεί το σύστημα: & ' & % # x % λ -1 ψ# $ 1 λ 1 x-3λψ λ Λύση αx +βy = γ Πρώτα εξετάζω αν είναι στη μορφή α-x+β-y =γ- ή θέλει φτιάξιμο. Εδώ είναι έτοιμο γι αυτό προχωρώ στην εύρεση των D, D x,d y. Έτσι έχω λ+1-3λ & '& ' 1 λ-1 # % $ % # $ D = λ+1 λ-1 3λ =λ 1 3λ 4λ 1 λ -3λ $ 1 λ-1 = D x # λ. λ-1 $ 3λ = λ -λ-3λ = $ λ $ λ D y = & ' & ' λ+1 λ #$ λ % 1 $ λ#$ λ$ 1$ λ #$ λ $ 1 1-1 τώρα ξεκινώ διερεύνηση με την βοήθεια του πίνακα διερεύνησης που είδαμε και έχω 1. Αν & '& ' D 0 4λ 1 0 λ-1 λ+1 0 1! $ 1! 1 το σύστημα έχει μία λύση την & '& ' ' D λ λ+1 x $ λ $ λ $ x = # # D 4λ $ 1 λ-1 λ+1 Dy $ λ $ 1 y = # #$ D 4λ $ 1 & & & λ+1' $ '& ' λ 1 λ+1 '. / / / / 0 $ λ # και λ $ 1 1 #$ λ $ 1 1 λ-110, λ 11, λ 1 1 λ+110, λ 1$ 1, λ 1$ 95
Βρήκα λοιπόν τι συμβαίνει για όλες τις τιμές του λ εκτός από 1 1 τις τιμές λ # και λ # $. Γι αυτές θα εξετάσω ξεχωριστά ως εξής.. Αν λ= 1 D = 0 τοτε 3 4 15 1 1 1 x D #$ $ $ #$ $ #$ 110 8 9 6 7 : ( *! & Σ ' αδυνατο + 3. Αν λ= $ 1 τότε ( D = 0 1 1 1 1 1 1 4 5 4 5 3 Dx #$ $ $ $ #$ % #$ % # 0* 6 7 6 7 8 9 8 9 4 4 15 Dy #$ 6$ 1 1 0 8 7$ # $ # : 9 + άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τις οποίες πρέπει να βρούμε, αντικαθιστούμε λοιπόν την τιμή λ= $ 1 στο αρχικό σύστημα το οποίο γίνεται: 4 1 5 4 15 1 ( 1 x-3 - ψ = - 1 3 1( 1 3 1( 6$ % x - ψ = - 4 x-4 ψ = - 4 7 6 7! 8 9 8 9 4 4 * *! * 4 1 5 3 3 x + - 1ψ = -1 x- ψ 1 χ $ ψ # $ 6 $ #$ 8 9 7 + + + χ - 3ψ= -! χ - 3ψ= - Παρατηρώ ότι οι δύο εξισώσεις είναι ίδιες, αφήνω λοιπόν τη μια και την άλλη χ-3ψ = - τη λύνω ή ως προς χ ή ως προς ψ. $ +3ψ Έτσι έχω x = $ +3ψ! x = άρα οι άπειρες λύσεις είναι 4$ +3κ 5 οι 6,κ με κ R 8 7 ;. 9 96
3. Να βρεθούν οι τιμές των λ,μ ώστε το σύστημα : x-λψ # 5 3x % ψ# μ% 1 1 Να έχει άπειρες λύσεις Καμία λύση Βρίσκω τις : Λύση D= 1 -λ # % 3λ 3 D x 5 -λ # # 10 % λ& μ+1 ' =10+λμ+λ μ+1 1 5 D y # # μ+ 1-15 = μ -14 και τοτε 3 μ+1 1. Για να έχει το σύστημα άπειρες λύσεις πρέπει Και ( D=0 ( + 3λ = 0 ( λ= - 3 ( λ= - D=0 x *! 10 + λμ + λ = 0 *! 10 + λμ + λ= 0*! 3 * D=0 μ = 14 y μ - 14= 0 μ = 14 + + + + γιατί για το ζεύγος αυτό ισχύει και η 10+ λμ + λ = 0 αφού 30 8 είναι τότε : 10 % 4 5 4 5 6 14 0 8 $ 37 9 % 6 8 $ 37 9 # 3 $ 3 $ 3 # Άρα ζητούμενες τιμές είναι λ= $ και μ = 14 3. Για να είναι το σύστημα αδύνατο πρέπει: 3λ #$ D = 0 ( + 3λ = 0 ( 3 3 Dx 10 η Dy 10 + μ- 14 10 η 10+λμ+λ 10 + μ 114 η 10+ $ μ+ $ 10 3 3 ( * * * 4 5 4 5 8 6 9 7 8 6 9 7 + 97
λ=- λ= - 3 3 και μ 114 η 30 - μ- 10 μ 114 η μ 114 ( ( * * + + Άρα πρέπει λ #$ και μ 114 3 4. Αν η εξίσωση χ 3 +αχ +βχ+γ = 0 έχει ρίζες τις 1,,3 να βρεθούν οι τιμές των α,β,γ. Λύση Αφού το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης 1 3 +α. 1 +β. 1+γ=0 α+β+γ = -1 Αφού το είναι ρίζα της εξίσωσης 3 +α. +β. +γ=0 4α+β+γ = -8 Αφού το 3 είναι ρίζα της εξίσωσης 3 3 +α. 3 +β. 3+γ=0 9α+3β+γ = -7 α +β +γ = -1 Άρα έχω να λύσω το σύστημα 4α +β +γ = -8 9α +3β +γ = -7 εξισώσεων με τρεις αγνώστους. τριών Παίρνω τις πρώτες και απαλείφω το γ έτσι έχω: $ 1 α+β+γ = -1 1 4α+β+γ = -8 $ α$ β$ γ = 1 (! 4α+β+γ = -8! 3α + β = -7 1 3α+β = -7 ( * * + + &' 98
Παίρνω τώρα την 1 η και την 3 η απαλείφω πάλι το γ. Έτσι έχω: $ 1 α+β+γ = -1 1 9α+3β+γ = -7 -α-β-γ = 1 (! 9α+3β+γ = -7! 8α+β = - 6 ( * * + + 8α + β= - 6 και αν απλοποιήσω με το! 4α+β #$ 13 & ' Λύνω τώρα το (Σ των (1 και ( με ορίζουσες, έτσι: 3 1 D = # 3 $ 4 # $ 1 4 1 $ 7 1 Dα # # $ 7% 13# 6 $ 13 1 3-7 Dβ # # $ 39% 8# $ 11 4-13 άρα D 6 D 11 = = = = D 1 D 1 α β α = 6, β = 11 Τώρα αντικαθιστώντας σε μια από τις αρχικές π.χ στην α+β+γ = 1 έχω: -6+11+γ = -1! γ = - 1+6-11! γ = -6 Βρήκαμε λοιπόν ότι α = -6, β = 11, γ = -6. 99
5. Να λυθεί το σύστημα 3x + y +z = 0 x +3y +z = x +y +3z = -1 Λύση & α' & β' & γ' Το σύστημα αυτό εκτός από τον κανονικό τρόπο μπορεί να λυθεί με τέχνασμα γιατί αν προσθέσουμε όλες τις εξισώσεις ο αριθμός των χ, y,z είναι ίδιος. Πράγματι α + β + γ 5x+ 5ψ +5z = - 10, x+ ψ + z = - (1 & ' & ' &' & ' & ' &' & ' Τοτε (α - (1! 3x + ψ +z -x - ψ - z = 0 - -! x =! x = 1 β $ 1! x+ 3ψ+ z -x -ψ - z = - -! ψ = 4! ψ = γ $ 1! x+ ψ +3z -x -ψ -z = $ 1 $ $! z = $ 10! z = $ 5 6. Να λυθεί το σύστημα 1 1 1 % % # $ 1 x y z 4 1 % % # $ 8 x y z 9 3 1 % % # $ 7 x y z Λύση 1 1 1 % % #$ 1 x y z 1 1 1 4 % % #$ 8 x y z Το σύστημα το γράφουμε : 1 1 1 9 % 3 % #$ 7 x y z Αν τώρα ονομάσουμε το 1 # α, 1 # β, 1 # γ το σύστημά μας x y z γίνεται: 100
α + β + γ = -1 4α +β =γ = -8 9α +3β +γ = -7 Η λύση του συστήματος αυτού όπως είδαμε στη 4 η άσκηση είναι: α =-6, β = 11, γ = -6 άρα: 1 1 1 1 1 1 #$ 6! x = $ # 11! ψ = #$ 6! z = $ x 6 ψ 11 z 6 7. Σ ένα αγρόκτημα υπάρχουν κότες και κουνέλια που έχουν 5 κεφάλια και 80 πόδια. Πόσα είναι τα κουνέλια και πόσες είναι οι κότες; Λύση Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα θα φτιάξω σύστημα με αγνώστους τα ζητούμενα. Έστω λοιπόν ότι έχουμε χ κουνέλια και ψ κότες επειδή το κάθε ζωντανό έχει ένα κεφάλι θα είναι x +ψ = 5 Τα χ κουνέλια έχουν 4χ πόδια Οι y κότες έχουν y πόδια και αφού όλα τα πόδια είναι 80 έχουμε 4χ+ψ=80 x +ψ = 5 ( x +ψ = 5 &' 1 Το σύστημά μας λοιπόν είναι *, 4x + ψ = 80 x + ψ =40 + & ' 1 - χ =15 τότε από (1 15 + ψ = 5! ψ =10 Άρα τα κουνέλια είναι 15 και οι κότες 10. 101
1. Να λυθεί το σύστημα x -1 % 3y + 1 # 8 3x -1 + y + 1 # 7. Να προσδιορίσετε τις τιμές α και β ώστε να έχουν την ίδια λύση τα δύο συστήματα : 5x +3y = 11 αx +βy = 1 Σ : -x +5y = 8 Σ : 3αx - βy =17 Α Β 10
3. Να λυθεί το σύστημα 3 : x -ψ # x-3ψ = 5 x+ψ & ' 4. α Να αποδείξετε ότι το σύστημα 3 & κ-1 x+y = κ x- κ-1 ' y = 10 : έχει μοναδική λύση. β Να βρείτε το κ ώστε η μοναδική λύση να επαληθεύει και την εξίσωση x + y = 103
5. Να λυθεί για τις διάφορες τιμές του λ το σύστημα: 3 : λx -ψ = λ x - λψ = λ 4 6. Να βρεθεί διψήφιος αριθμός του οποίου η διαφορά του ψηφίου των μονάδων από το ψηφίο των δεκάδων είναι 4 και το άθροισμα του αριθμού και αυτού που προκύπτει, αν αλλάξουμε αμοιβαία τα ψηφία του (οι δεκάδες να γίνουν μονάδες και αντίστροφα είναι 110. 104
7. Να λυθεί το σύστημα x + y + 3z = 0 3x +y - z = 0 x +5y +8z = 0 8. Να λυθεί το σύστημα 4 1 3 % % # 9 x y+5 z-1 3 $ % # x y+5 z-1 $ 6 5 1 % $ # 0 x y+5 z-1 105
9. Δίνεται η συνάρτηση fx & ' Να βρεθούν α, β, γ αν x % αx = β αν χ<0 # 3x+ γ % αx +β αν χ < 0 : x+1 & ' & ' & ' f -1 # 0 f 0 = 5 f = 7 106