ii. Ο µέσος είκτης Άγχους ανά ελεγκτή εναέριου κυκλοφορίας E r είναι 16, 14, 12, 14, 15 και 13 αντίστοιχα,

ΑΣΚΗΣΗ Πρόσφατη έρευνα µε θέµα τη µέτρηση της έντασης και του άγχους των ελεγκτών εναερίου κυκλοφορίας κατέληξε σε προτάσεις για τον σχεδηκαν τρεις εναλλακτικοί τύποι θέσεων εργασίας Θ i i,, και η Υπηρεσία Πολιτικής Αεροπορίας προκειµένου να επιλέξει την αποτελεσµατικότερη θέλει να ελέιασµό µιας νέας θέσης εργασίας ελεγκτών Με βάση τις προτάσεις αυτές σχεδιάστγξει την επίδραση τους στη µείωση του άγχους Για το σκοπό αυτό επιλέγονται τυχαία 6 ελεγκτές, E r r,,6 διαφορετικής εµπειρίας, καθένας από αυτούς χρησιµοποιεί και τις τρεις θέσεις εργασίας, η ένταση και το άγχος τους µετρούνται, εκφράζονται σε ειδικό είκτη Άγχους και καταγράφονται Με βάση τα στοιχεία αυτά και αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι: i Ο µέσος είκτης Άγχους ανά τύπο θέσης εργασίας Θ i είναι 5, και 55 αντίστοιχα, ii Ο µέσος είκτης Άγχους ανά ελεγκτή εναέριου κυκλοφορίας E r είναι 6,,,, 5 και αντίστοιχα, iii Το άθροισµα των τετραγώνων όλων των παρατηρήσεων ( εικτών Άγχους) είναι 598, α Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης θεωρώντας τις θέσεις εργασίας Θ i ως αγωγές και τους ελεγκτές E r ως blocs β Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α5 η υπόθεση ότι ο τύπος θέσης εργασίας δεν επηρεάζει την ένταση και το άγχος των ελεγκτών γ Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α,5 η υπόθεση ότι η εµπειρία των ελεγκτών δεν επηρεάζει την ένταση και το άγχος τους Σηµείωση: Για διευκόλυνση των υπολογισµών δίνεται: (Yr ) 67 6 r 6 t r Y ir 598 ΛΥΣΗ Πρόκειται για περίπτωση Ανάλυσης ιακύµανσης κατά δύο παράγοντες όπου οι θέσεις εργασίας Θ i θεωρούνται ως αγωγές και οι ελεγκτές Ε r ως blocs Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο Πίνακας ο οποίος επιπλέον περιέχει τα σύνολα και τους µέσους τόσο των αγωγών όσο και των blocs

Πίνακας ΑΓΩΓΕΣ ΣΥΝΟΛΑ ΜΕΣΟΙ ΜΠΛΟΚ Υ Υ Υ Υ Υ 6 Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ 5 5 6 Υ 6 Υ 6 Υ 6 Υ 6 Υ ΣΥΝΟΛΑ Υ Υ Υ Υ ΜΕΣΟΙ 6 Υ,5 Υ, Υ 5,5 Υ ίνεται επιπλέον: Υ 6 i r ir 598 Υπολογισµός των υπολοίπων στοιχείων του Πίνακα: b 6 n *b *6 8 Υi Υi b i,, b 6 Υ i b * Υ i Υ Υ Υ 8 78 Υ 9 5 Υ 5 8 Υ Υ * r Υ r Υ r,,,,5,6 i r * Υ r Υ Υ Υ Υ Υ Υ 5 6 8 6 Υ 5 9 5 Υ 5 8 Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων: ( Υι ) i 8 + 78 + 9 9

6 ( Υ ) r r 8 + + 6 + + 5 + 9 67 (δίνεται) ( Υ ) 5 65 Υπολογισµός των στοιχείων για τη δηµιουργία του Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης: SST b i r ( ) Υ ir ( Υ ) * b 598 65 8 SST 7 SSTr i ( Υ ) b i ( Υ ) * b 9 6 65 SSTr 8 SSBl b r ( Υ ) r ( Υ ) * b 67 65 SSBl 8 Γνωρίζουµε ότι: SST SSTr + SSBl + SSE SSE 9 SSTr MSTr MSTr 5 SSBl MSBl MSBl 6 b 5 SSE 9 MSE 9 MSE ( ) *( b ) Tr MSTr MSE 5 9 Tr 55 Bl MSBl 6 MSE 9 Bl 6

Με βάση τα παραπάνω δηµιουργείται ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης: Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης ΠΗΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ SS D MS o ΜΕΤΑΞΥ ΑΓΩΓΩΝ 5 55 ΜΕΤΑΞΥ BLOCKS 5 6 6 ΛΑΘΟΣ 9 9 ΣΥΝΟΛΟ 7 7 Υποθέσεις: Για τις αγωγές: Η ο : η θέση της εργασίας δεν επιδρά στο άγχος Η : η θέση της εργασίας επιδρά στο άγχος Για τα blocs: Η ο : η εµπειρία των ελεγκτών δεν επιδρά στο άγχος Η : η εµπειρία των ελεγκτών επιδρά στο άγχος Έλεγχος για τις αγωγές: Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτω την Η ο αν >, ( b )* ( ), a Στη συγκεκριµένη περίπτωση: Tr 55 α 5,( b ) *( ), a,,95 Συµπέρασµα: Επειδή Tr 55 > απορρίπτουµε την Ηο που σηµαίνει ότι η θέση,,95 εργασίας επιδρά στο άγχος Έλεγχος για τα blocs: Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτουµε την Η ο αν Bl > b, ( b ) *( ), a Στη συγκεκριµένη περίπτωση: Bl 6 α 5

,( b ) *( ), a 5,,95 Συµπέρασµα: Επειδή Bl 6 <,, 95 δεχόµαστε την Η ο που σηµαίνει ότι η εµπειρία των ελεγκτών δεν επιδρά στο άγχος ΑΣΚΗΣΗ Τα δάνεια που χορηγεί µια τράπεζα κατατάσσονται, ανάλογα µε τον σκοπό για τον οποίο προορίζονται, σε κατηγορίες Σ i, i,, και ανάλογα µε τη διάρκειά τους σε 5 κατηγορίες r, r,, 5 Ο αρµόδιος ιευθυντής θέλει να διερευνήσει αν το ύψος των χορηγηµένων δανείων επηρεάζεται από τον σκοπό και τη διάρκειά τους Για το λόγο αυτό χρησιµοποιεί τα στοιχεία δανειοδοτήσεων του προηγούµενου µήνα και δηµιουργεί το σχετικό Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης θεωρώντας τις κατηγορίες Σ i ως αγωγές και τις κατηγορίες r ως blocs Με βάση τα παραπάνω στοιχεία και αν επιπλέον είναι γνωστό ότι: i Το µέσο ύψος των δανείων ανά κατηγορία Σ i είναι,, και 7 χµ αντίστοιχα ii Το µέσο ύψος των δανείων ανά κατηγορία r είναι,,, και εκατ χµ αντίστοιχα iii Το συνολικό άθροισµα τετραγώνων είναι Ζητούνται τα ακόλουθα: α Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης β Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α 5, η υπόθεση ότι το ύψος ενός δανείου δεν επηρεάζεται από τον σκοπό για τον οποίο προορίζεται γ Να ελεγχθεί, σε επίπεδο σηµαντικότητας α 5, η υπόθεση ότι το ύψος ενός δανείου δεν επηρεάζεται από τη διάρκεια του ΛΥΣΗ Πρόκειται για περίπτωση Ανάλυσης ιακύµανσης κατά δύο παράγοντες όπου οι κατηγορίες Σi θεωρούνται ως αγωγές και οι κατηγορίες r ως blocs Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο Πίνακας ο οποίος επιπλέον περιέχει τα σύνολα και τους µέσους τόσο των αγωγών όσο και των blocs 5

ΑΓΩΓΕΣ Σi r ΜΠΛΟΚ Υ Υ Υ Υ Πίνακας ΣΥΝΟΛΑ ΜΕΣΟΙ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ 5 ΣΥΝΟΛΑ Υ Υ Υ Υ Υ ΜΕΣΟΙ ίνεται επιπλέον: SST Y Y Y Y Y 5 Υ Υ Υ Υ 7 Υ Υπολογισµός των υπολοίπων στοιχείων του Πίνακα: b 5 n b *5 Yi Y 5 Y i Yi Yi ni n i,,, i Y Y 8 Y n 5 Y i Y 5 8 Y j Y Y j Y j Y j ni n 8 i Y j,,,,5 Y Y 8 Y n n Y 6 j Y5 8 Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων: ( i ) i Y 5 + + + 5 95 6

5 ( j ) j Y + 8 + + 6 + 8 ( Y ) 8 6 Υπολογισµός των στοιχείων για την δηµιουργία του Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης: SSTr i ( Y ) b i ( Y ) * b 95 5 6 SST r 7 SSBl b ( Y j ) r ( Y ) * b 8 6 SSBl Γνωρίζουµε ότι: SST SSTr + SSBl + SSE SSE 5 SSTr 7 MSTr MSTr SSBl MSBl MSBl 5 b SSE 5 MS Ε MSE 7 b ( )( ) MSTr Tr Tr 5 59 MSE 7 MSBl 5 Bl Bl 99 MSE 7 Με βάση τα παραπάνω δηµιουργείται ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης: Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης ΠΗΓΗ SS D MS ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΑΓΩΓΩΝ 7 559 ΜΕΤΑΞΥ BLOCKS 5 99 ΛΑΘΟΣ 5 7 ΣΥΝΟΛΟ 9 7

Υποθέσεις: Για τις αγωγές: Η : Το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από το σκοπό για τον οποίον προορίζεται Η : Το ύψος του δανείου επηρεάζεται από το σκοπό για τον οποίον προορίζεται Για τα blocs: Η : Το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από τη διάρκειά του Η : Το ύψος του δανείου επηρεάζεται από τη διάρκειά του Έλεγχος για τις αγωγές: Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτω την Η αν Tr, ( b )( ), a Στη συγκεκριµένη περίπτωση: Tr 559 α 5,( b )( ), a,,95 9 Συµπέρασµα: Επειδή Tr 559 > 9 απορρίπτουµε την Η που σηµαίνει ότι ο σκοπός,,95 για τον οποίο προορίζεται το δάνειο επηρεάζει το ύψος του Έλεγχος για τα blocs Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτω την Η αν Bl ( b ),( b )( ), a Στη συγκεκριµένη περίπτωση: Bl 99 α 5,( b )( ), a,,95 9 b Συµπέρασµα: Επειδή Bl 99 > 6 απορρίπτουµε την Η δηλαδή ότι η διάρκεια του,,95 δανείου επηρεάζει το ύψος του δανείου 8

ΑΣΚΗΣΗ Ο υπεύθυνος συντήρησης µιας βιοµηχανίας θέλει να δοκιµάσει την αποτελεσµατικότητα 9 νέων ψυκτικών υγρών προκειµένου να χρησιµοποιήσει το αποτελεσµατικότερο σε ορισµένους κινητήρες οι οποίοι πρέπει να λειτουργούν σε χαµηλές θερµοκρασίες Για το λόγο αυτό χρησιµοποιεί 9 νέα ψυκτικά υγρά σε 9 τυχαία επιλεγµένους κινητήρες (κάθε υγρό σε διαφορετικούς κινητήρες), καταγράφει τις µέγιστες θερµοκρασίες των κινητήρων (σε βαθµούς Κελσίου) και δηµιουργεί το Σχετικό Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης, θεωρώντας ως αγωγές τα διαφορετικά είδη ψυκτικού υγρού Με βάση τα παραπάνω στοιχεία και αν επιπλέον είναι γνωστό ότι: i Το άθροισµα τετραγώνων µεταξύ των αγωγών είναι ii Το µέσο τετραγωνικό σφάλµα εντός των αγωγών είναι 5 Ζητούνται τα ακόλουθα: α Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης β Να ελεγχθεί, σε επίπεδο σηµαντικότητας α 5, ότι ο τύπος του ψυκτικού υγρού δεν επηρεάζει τη µέγιστη θερµοκρασία του κινητήρα ΛΥΣΗ Πρόκειται για περίπτωση Ανάλυσης ιακύµανσης κατά έναν παράγοντα Γνωρίζουµε ότι: SSTr, MSE 5, κ 9, n 9 Επιπλέον γνωρίζουµε ότι: SST SST r + SSE () Υπολογισµός των στοιχείων για τη δηµιουργία του Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης 9 8 n9 n 8 και n 89 SSTr MST r MSTr 8 SSE MSE SSE MSE * ( n ) 5*8 SSE 5 n Από () SST + 5 SST 65 MSTr MSE 5 6 9

Με βάση τα παραπάνω δηµιουργείται ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης: Πηγή Μεταβλητότητας Μεταξύ στηλών (αγωγών) Εντός των στηλών (αγωγών) Άθροισµα Τετραγώνων SS D ιακύµανση MS 8 6 5 8 5 65 89 Έλεγχος Υποθέσεων: Υποθέσεις: Η : Ο τύπος του ψυκτικού υγρού δεν επηρεάζει τη θερµοκρασία των κινητήρων Κριτήριο Απόρριψης: Η : Ο τύπος του ψυκτικού υγρού επηρεάζει τη θερµοκρασία των κινητήρων Απορρίπτω την Η αν > -, n-, -a Στη συγκεκριµένη περίπτωση: 6 α5 -, n-, -a 8, 8, 95,56 > 8, 8, 95 Συµπέρασµα: Επειδή 6 >,5 8, 8, 95 απορρίπτουµε την Η που σηµαίνει ότι ο τύπος του ψυκτικού επηρεάζει τη θερµοκρασία των κινητήρων ΑΣΚΗΣΗ Τα δάνεια που χορηγεί µία Τράπεζα κατατάσσονται ανάλογα µε τη χρήση για την οποία προορίζονται σε Εµπορικά, Βιοµηχανικά και Αγροτικά και ανάλογα µε τη διάρκεια τους σε Βραχυπρόθεσµα, Μεσοπρόθεσµα και Μακροπρόθεσµα Στον Πίνακα εµφανίζεται το ύψος ανά κατηγορία (σε εκ δρχ) ενός τυχαίου δείγµατος δανείων που χορηγήθηκαν από τη συγκεκριµένη Τράπεζα κατά τη διάρκεια του προηγούµενου οικονοµικού έτους

Πίνακας Είδος ιάρκεια Βραχυπρόθεσµα Μεσοπρόθεσµα Μακροπρόθεσµα Εµπορικά Βιοµηχανικά Αγροτικά 7 9 Με βάση τα στοιχεία αυτά: i Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης ii Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας,5 η υπόθεση ότι το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από τη χρήση για την οποία προορίζεται iii Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας,5 η υπόθεση ότι το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από τη διάρκεια του Σηµείωση: Για τη διευκόλυνση των υπολογισµών δίνονται: i r ( ) y i r 6 ( yi ) 9 y r y 6 i i ΛΥΣΗ Πρόκειται για περίπτωση Ανάλυσης ιακύµανσης κατά δύο παράγοντες, όπου οι διαφορετικές χρήσεις των δανείων αποτελούν τις αγωγές και οι διαφορετικές διάρκειες τους τα blocs Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο Πίνακας ο οποίος περιέχει επίσης τα σύνολα και τους µέσους τόσο των αγωγών όσο και των blocs ΕΙ ΟΣ ΑΝΕΙΟΥ Πίνακας ΙΑΡΚΕΙΑ ΑΝΕΙΟΥ Ε Ε Ε ΣΥΝΟΛΑ ΜΕΣΟΙ 7 9 Υ 9 Υ 8 Y 97 Y 6 Υ 6 Y 5 ΣΥΝΟΛΑ Υ Υ 9 Υ Υ 6 ΜΕΣΟΙ Υ 77 Υ 97 Υ 7 Υ 7

Γνωρίζουµε επιπλέον ότι SST SSTr + SSBl + SSE (), b Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων b i r y 7 + 9 + + + + 6 (δίνεται) ir ( y ) b 6 * i b r ( Y ) + 9 + 9 i (δίνεται) ( ) 9 + 8 + 6 + Y (δίνεται) r Υπολογισµός στοιχείων για τον Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης SST i r y ir ( y ) b 6 SST 9 SSTr i ( Y ) b i ( Y ) * b 9 SST r 56 SBl b r ( ) Y r ( Y ) * b SSBl 7 () SSE SST SSTr - SSBl 9-56 7 SSE Εναλλακτικά: SSE ( y ) ( y ) κ b i r i r ( y ) yir + ι r b b 9 SSE 6 + SSE

SSTr 56 MSTr 8 MSTr 8 SSBl 7 MSBl MSBl 65 b MS Ε SSE ( )( b ) Tr MSTr MSE 55 Bl MSBl MSE,65 Με βάση τα παραπάνω δηµιουργείται ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης ΠΗΓΗ SS D MS ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΑΓΩΓΩΝ 56 (κ-) - 8 ΜΕΤΑΞΥ BLOCKS 7 (b-) - 65 65 ΛΑΘΟΣ (b-)(-)(-)(-) 5 ΣΥΝΟΛΟ 9 Kb-*-8 Έλεγχος Υποθέσεων α) Πρώτη υπόθεση: Η : το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από το είδος του Η : το ύψος του δανείου επηρεάζεται από το είδος του Κριτήριο απόρριψης Απορρίπτω την Η ο αν Tr < -, (b-) (-), -α Στη συγκεκριµένη περίπτωση a 5 Tr,( b )( ), a,,95 Συµπέρασµα: Επειδή 69 Tr < 69 δεχόµαστε την Η δηλαδή ότι το ύψος του δανείου,,95 δεν επηρεάζεται από το είδος του

β) εύτερη υπόθεση: Η : Το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από τη διάρκεια του Η : Το ύψος του δανείου επηρεάζεται από τη διάρκεια του Κριτήριο απόρριψης: Απορρίπτουµε την Η αν Β > (b-), (-) (b-), -α Στη συγκεκριµένη περίπτωση α 5 Β 65 (b-),(-)(b-),-α Συµπέρασµα:,,95 6 9 Επειδή 65 < 69,,95 Β δεχόµαστε την Η δηλαδή ότι το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από τη διάρκεια του ΑΣΚΗΣΗ 5 Στον Πίνακα 5 µε Χ συµβολίζεται ο αριθµός της γραπτής εξέτασης φοιτητών στα Μαθηµατικά και µε Υ ο αντίστοιχος βαθµός στο Mareting (κλίµακα βαθµολογίας ) Πίνακας 5 Χ i Y i Οι τιµές (Χ i, Y i ) παρατηρήθηκαν σε τυχαίο δείγµα φοιτητών ενός Πανεπιστηµιακού Τµήµατος ιοίκησης Επιχειρήσεων Να εκτιµηθεί η συνάρτηση Υ α + βχ +ε και να συγκριθεί η ερµηνευτική της ικανότητα µε την αντίστοιχη της απλής γραµµικής παλινδρόµησης Σηµείωση: Για διευκόλυνση των υπολογισµών δίνονται: S S 9 S 9 6 xx ΛΥΣΗ yy xy Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα αρχικά δεδοµένα (στήλες,) καθώς και ορισµένα βοηθητικά στοιχεία που προκύπτουν από αυτά και τα οποία είναι απαραίτητα για τη λύση της άσκησης

() () () () (5) (6) (7) X Y Y Y X Ζ Ζ Ζ ( ) Ζ Ζ ( Y Y ) ( Ζ Ζ) -9-9 -9-9 9 6 - - - - 5 6 9 9 6 5 9 76 - - 6 55 5-6 9 8 X i Y i Z i ίνεται επίσης ότι S, S 9, S 9 6 xx yy xy Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων S zz S YZ X X i 6 X n 6 Y Z Yi 9 Y n Z i Z n 9 S zz yz 8, S 8 Επίσης δίνονται S xx, S yy 9, S xy 96 Γραµµικό Μοντέλο S XY 96 b b 67, S XX α Y bx 9 67 *6 a 8 Άρα Y 8 + 67 X S XY 6 R b *67 R S 9 YY 9 5 5

Μη Γραµµικό Μοντέλο Θέτω X Z Άρα Y a + bz SYZ 8 b b 7, S 8 ZZ α Y bz 9 7 * a Άρα Y + 7Z Y + 7X R S XY 8 b 7 R S 9 YY 5 Από τη σύγκριση του R προκύπτει ότι τα δύο µοντέλα είναι ισοδύναµα ΑΣΚΗΣΗ 6 Μια εταιρεία παραγωγής γάλακτος και γαλακτοκοµικών προϊόντων εξετάζει τη συµπεριφορά της κατανάλωσης ξινόγαλου σε τρεις πόλεις Συγκεκριµένα, εξετάζει τη ποσότητα ξινόγαλου που καταναλώνει στη διάρκεια ενός µήνα µια "τυπική" τετραµελής οικογένεια Ο Πίνακας 6 περιέχει στοιχεία για την κατανάλωση ξινόγαλου (σε κιλά) 5 οικογενειών οι οποίες βρίσκονται στις τρεις πόλεις (5 οικογένειες στην Α, 6 στην Β και στην Γ) Με βάση τα στοιχεία αυτά: Πίνακας 6 Πόλη Α Πόλη Β Πόλη Γ 9 7 7 9 α Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης β Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α5 η υπόθεση ότι η µέση µηνιαία κατανάλωση ξινόγαλου δεν διαφέρει από πόλη σε πόλη Σηµείωση: Για τη διευκόλυνση των υπολογισµών δίνεται : y i 6 5 i 6

ΛΥΣΗ Πρόκειται για περίπτωση Ανάλυσης ιακύµανσης κατά ένα παράγοντα Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο Πίνακας 6 ο οποίος επιπλέον περιέχει τα σύνολα και τους µέσους τόσο των αγωγών όσο και των blocs Πίνακας 6 Οικογένεια Πόλη Α Πόλη Β Πόλη Γ 9 7 5 7 6 9 ΣΥΝΟΛΑ Y Y Y 8 ΜΕΣΟΙ ίνεται ότι: n 5, n 6, n Άρα n n + n + n 5 Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων i j Υ Υ 5 Υ y + + + + + + + + 6 (δίνεται) ij i y n i i 5 + 6 8 + + 5,5 + 76 685,5 y n 7 5 99 68 5 Υπολογισµός στοιχείων για τον Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης y 7 SST yij 6 6 68 SST 6 n 5 i j yι y SSTr 6855 68 SSTr 5 ι nι n SST SSTr + SSE SSE SST SSTr 6 5 SSE 575 SSTr 5 MSTr MSTr 5 SSE 575 MSE 8 n 5 MSE 7

MSTr 5 MSE 8 6 Με βάση τα παραπάνω δηµιουργείται ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης SS D MS ΜΕΤΑΞΥ ΑΓΩΓΩΝ 5 5 6 ΕΝΤΟΣ ΑΓΩΓΩΝ 575 8 ΣΥΝΟΛΟ 6 Έλεγχος Υπόθεσης : Η : εν υπάρχει διαφορά στην κατανάλωση µεταξύ των πόλεων Η : Υπάρχει διαφορά στην κατανάλωση µεταξύ των πόλεων Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτω την Η αν > -, n-, -α Στη συγκεκριµένη περίπτωση 6 α5, n, a,,,95 Συµπέρασµα:,885 Επειδή 6 < 885,,, 95 δεχόµαστε την Η δηλαδή ότι η κατανάλωση ξινόγαλου είναι η ίδια και στις πόλεις ΑΣΚΗΣΗ 7 Ο Πίνακας 7 περιέχει την βαθµολογία πέντε φοιτητών στα µαθήµατα των Μαθηµατικών (Χ) και της Στατιστικής (Υ) Πίνακας 7 Μαθηµατικά (Χ) Στατιστική (Υ) 5 5 6 6 8 7 8

α Να εκτιµηθεί η ευθεία γραµµικής παλινδρόµησης της Υ πάνω στη Χ και να ερµηνευτούν οι συντελεστές της β Να εκτιµηθεί το τυπικό σφάλµα της Υ και να ερµηνευτεί γ Να εκτιµηθεί ο συντελεστής προσδιορισµού και να ερµηνευτεί δ Να εκτιµηθεί ο συντελεστής συσχέτισης, να ερµηνευτεί και να γίνει ο παρακάτω έλεγχος : Η : ρ Η : ρ ε Να εκτιµηθεί ο βαθµός ενός φοιτητή στο µάθηµα Στατιστικής όταν ο βαθµός του στα Μαθηµατικά είναι στ Nα υπολογιστεί το 95% διάστηµα πρόβλεψης του βαθµού της Στατιστικής όταν ο βαθµός των Μαθηµατικών είναι 7 Σηµείωση: ίνεται ότι το επίπεδο σηµαντικότητας είναι α5 ΛΥΣΗ Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο Πίνακας 7 ο οποίος επιπλέον περιέχει τα αρχικά δεδοµένα καθώς και ορισµένα βοηθητικά στοιχεία που προκύπτουν από αυτά και τα οποία είναι απαραίτητα για την λύση της άσκησης Πίνακας 7 () () () () (5) (6) X i Y i X i Y i ( X i X ) ( X i X ) Y i 5 6 8 5 6 7 9 5 6 6 5 6 9-8 -8-8 -6 7 ΣΥΝΟΛΑ 8 5,, Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων X 8, Y 5 5 S XX X i X i 8 8 n 5 S YY Yi Y i 5 68 n 5 9

S YX ( X i X ) Yi α) Ευθεία Παλινδρόµησης S XY α Y X 8 a 89 S 8 XX S XY b b 6 S 8 XX Άρα η ευθεία παλινδρόµησης είναι: Y 89 + 6X β) Τυπικό Σφάλµα της Υ ( ) S xy S / 68 y x S / 5 yy 8 S y x n S xx Άρα S S 6 y / x y / x γ) Συντελεστής Προσδιορισµού R S xy b 6 R S 68 yy 96 Συµπεραίνουµε ότι η µεταβολή του βαθµού στη Στατιστική ερµηνεύεται κατά 96% από τη µεταβολή του βαθµού στα Μαθηµατικά δ) Συντελεστής Συσχέτισης S xy r r 98 S S 8* 68 xx yy Συµπεραίνουµε ότι υπάρχει έντονη θετική συσχέτιση µεταξύ του βαθµού στη Στατιστική και στα Μαθηµατικά Υποθέσεις: Η : ρ H : ρ Στατιστική συνάρτηση ελέγχου: Τ r n r

Κριτήριο απόρριψης: Απορρίπτουµε την Η αν Τ > t n-, -a/ Στη συγκεκριµένη περίπτωση: 5 Τ 98 T (98) α 5 n5 t n-, -a/ t, 975 8 Συµπέρασµα: 85 Επειδή Τ 85 > 8 t, 975 απορρίπτουµε την Η και δεχόµαστε την Η ε Εκτίµηση της τιµής του y Η ευθεία παλινδρόµησης είναι: Y i 89 + 6 * x Για x έχουµε Y i 89 + 6 * Y 5 i στ ιάστηµα πρόβλεψης της τιµής του y Ο γενικός τύπος του διαστήµατος πρόβλεψης είναι: Y ± t n a S, / Y / X κ () Στη συγκεκριµένη περίπτωση x 7 Y n 5, a 5 89 + 6*7 65 t n-, -a/ t, 975 8 S Y ( X X ) 6 8 + 7 n + S / + 6 / X Y X n S 5 8 xx Κατά συνέπεια το διάστηµα πρόβλεψης είναι: 65 ± 8*7 δηλαδή 65 ±9 ή (, 88)

ΑΣΚΗΣΗ 8 Ο Πίνακας 8 περιέχει τις βαθµολογίες µαθητών της Α Λυκείου τριών σχολείων της Αθήνας οι οποίοι έλαβαν µέρος στον Πανελλήνιο ιαγωνισµό της Μαθηµατικής Εταιρείας Πίνακας 8 Βαθµολογία Μαθητών (κλίµακα -6) Μαθητές Σχολείου (Υ i ) Μαθητές Σχολείου (Υ i ) 5 6 5 6 Μαθητές Σχολείου (Υ i ) α Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης β Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α5 η υπόθεση ότι η επίδοση των µαθητών στο συγκεκριµένο διαγωνισµό δεν επηρεάζεται από το σχολείο στο οποίο φοιτούν ΛΥΣΗ Πρόκειται για Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης κατά ένα παράγοντα Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο παρακάτω πίνακας ο οποίος περιέχει τόσο τα σύνολα όσο και τους µέσους ΜΑΘ ΣΧΟΛ ΜΑΘ ΣΧΟΛ ΜΑΘ ΣΧΟΛ 5 5 6 5 6 ΣΥΝΟΛΑ Υ 9 Υ 5 Υ Υ 56 ΜΕΣΟΙ Υ Υ 5 Υ Υ ίνεται ότι: n, n 7, n n n + n + n +7 + Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων n i i j Y ij + 9 + 6 + 6 + 5 + 5 + 6 + 6 + 5 + 6 + + 9 + 9 + 6 6 Y n 56 6

i Y i n i 9 5 + 7 + 8 5 + + 7 + 75 + 6 8 7 Υπολογισµός στοιχείων για τη δηµιουργία του Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης SST 6 SST SSTr SSTr 8 SSTr MSTr MSTr 7 SSE 8 SSE SST SSTr SSE 8 MSE MSE 7 n MSTr 7 MSE 7 959 Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης ΠΗΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ SS D MS Μεταξύ Αγωγών - 7 9,59 Εντός Αγωγών 8 n-,7 ΣΥΝΟΛΟ n- Έλεγχος Υποθέσεων: Η : Η επίδοση των µαθητών δεν επηρεάζεται από το σχολείο Η : Η επίδοση των µαθητών επηρεάζεται από το σχολείο Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτουµε την Η αν >, n, a Στη συγκεκριµένη περίπτωση 9,59 α,5 -, n-, -a,, 95 98 Συµπέρασµα: Επειδή 9,59 > 98,, 95 απορρίπτουµε την Η και δεχόµαστε την Η ηλαδή δεχόµαστε ότι η επίδοση των µαθητών επηρεάζεται από το σχολείο στο οποίο φοιτούν

ΑΣΚΗΣΗ 9 Ο Πίνακας 9 περιέχει τα τριµηνιαία έσοδα (σε χµ) µιας εµπορικής εταιρείας από τις πωλήσεις των προϊόντων της για την περίοδο 997-999 Πίνακας 9 Έτος Τρίµηνο α Β γ δ 997 8 8 9 998 58 8 78 7 999 59 97 5 Με βάση τα στοιχεία του Πίνακα 9 να υπολογιστεί α Η µακροχρόνια τάση της χρονολογικής σειράς µε τη µέθοδο των κινητών µέσων χρησιµοποιώντας τον κατάλληλο αριθµό περιόδων β Τα εποχικά διορθωµένα τριµηνιαία έσοδα γ Οι άρρυθµες κινήσεις της χρονολογικής σειράς ΛΥΣΗ Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα αρχικά δεδοµένα (στήλη ), ορισµένα βοηθητικά δεδοµένα που προκύπτουν από αυτά καθώς και τα ζητούµενα στοιχεία Ο τρόπος υπολογισµού των ζητούµενων στοιχείων περιγράφεται στη συνέχεια Πίνακας 9 ΑΡΧΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΚΙΝΗΤΑ ΑΘΡ/ΤΑ ΤΡΙΜΗΝΩΝ ΚΙΝΗΤΑ ΑΘΡ/ΤΑ 8 ΤΡΙΜΗΝΩΝ ΜΑΚΡΟ- ΧΡΟΝΙΑ ΤΑΣΗ ΕΠ/ΚΗ ΚΑΙ ΑΡΡ/ΜΗ ΣΥΝ/ΩΣΑ ΕΠΟΧΙΚΑ ΙΟΡ/ΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΡΥΘΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΤΟΣ ΤΡΙΜΗΝΑ () () () () (5) (6) (7) α, 6,7 β 8, 8, 997, γ 8, 6,5 8, 99,6 8,,, δ,9 8, 8,6,5 9,,, α 5,8 8, 8,5 9,5 8,5,,9 β 8, 6,6 8,, 8,, 998,7 γ 7,8 5,5 8, 98,6 8, 99,,8 δ,7 6,9 8, 8, 7,9 98,, α 5,9,8 8,9 89,6 8,7 99, 6,7 β 9,7 7, 9,7, 9,6 99,7 999,5 γ,,6 δ,5,

α) Επειδή η σειρά είναι τριµηνιαία ο κατάλληλος αριθµός περιόδων για τον υπολογισµό των κινητών µέσων είναι τέσσερις Για τον υπολογισµό της µακροχρόνιας τάσης εργαζόµαστε ως εξής: Υπολογίζουµε τα κινητά αθροίσµατα τριµήνων (στήλη ) Προσθέτουµε τα αθροίσµατα ανά δυο (κεντροποίηση του µέσου) (στήλη ) ιαιρούµε τα στοιχεία της στήλης διά 8 Τα πηλίκα εκφράζουν τη µακροχρόνια τάση της σειράς (στήλη ) β) Για τον υπολογισµό των εποχικά διορθωµένων στοιχείων εργαζόµαστε ως εξής: ιαιρούµε τα αρχικά δεδοµένα µε τη µακροχρόνια τάση και πολλαπλασιάζουµε επί Τα στοιχεία που προκύπτουν εκφράζουν την εποχική και άρρυθµη συνιστώσα της χρονολογικής σειράς (στήλη 5) Μεταφέρουµε την εποχική και άρρυθµη συνιστώσα στον Πίνακα 9 και υπολογίζουµε τους είκτες Εποχικότητας ιαιρούµε τα αρχικά δεδοµένα µε τους είκτες Εποχικότητας και πολλαπλασιάζουµε επί Τα στοιχεία που προκύπτουν εκφράζουν τα εποχικά διορθωµένα στοιχεία της σειράς (στήλη 6) γ) Για τον υπολογισµό των άρρυθµων κινήσεων διαιρούµε τα εποχικά διορθωµένα στοιχεία µε την µακροχρόνια τάση και πολλαπλασιάζουµε επί (στήλη 7) Πίνακας 9 ΤΡΙΜΗΝΑ α β γ δ ΕΤΗ 997 996 5 998 95 986 8 999 896 ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ 8 98 96 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ 95 99 98 ΜΕΣΟΙ ΕΙΚΤΕΣ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ 9 99 5

ΑΣΚΗΣΗ Ο Πίνακας περιέχει τα ετήσια έσοδα µιας εταιρείας για την περίοδο 987 Πίνακας ΕΤΟΣ 987 988 989 99 99 99 99 ΕΣΟ Α 66 86 9 95 9 7 68 ΕΤΟΣ 99 995 996 997 998 999 ΕΣΟ Α 69 78 8 9 86 78 75 α Να υπολογιστεί η µακροχρόνια τάση της σειράς µε τη µέθοδο των κινητών µέσων χρησιµοποιώντας περίοδο επτά ετών Στη συνέχεια να υπολογιστεί η κυκλική - άρρυθµη συνιστώσα της χρονολογικής σειράς β Να εξοµαλυνθεί η χρονολογική σειρά µε τη µέθοδο της εκθετικής εξοµάλυνσης και συντελεστή στάθµισης αυτόν που αντιστοιχεί στην περίοδο που χρησιµοποιήθηκε στο ερώτηµα α ΛΥΣΗ Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα αρχικά δεδοµένα (στήλη ), ορισµένα βοηθητικά δεδοµένα που προκύπτουν από αυτά καθώς και τα ζητούµενα στοιχεία Ο τρόπος υπολογισµού των ζητούµενων στοιχείων περιγράφεται στη συνέχεια Έτος Αρχικά εδοµένα (i) Κινητό Άθροισµα 7 ετών () Πίνακας Κινητός Μέσος 7 ετών () Άρρυθµη Συνιστώσα () Εκθετική Εξοµάλυνση 987 66 - - 66 988 86 7 989 9 76 99 95 567 8 7 8 99 9 57 8 8 99 7 56 8 8875 8 99 68 65 9 7 77 99 69 55 78 886 75 995 78 58 78 76 996 8 555 79 56 78 997 9 56 8 65 8 998 86 8 999 78 8 75 8 6

α) Για τον υπολογισµό της µακροχρόνιας τάσης της σειράς υπολογίζουµε τα κινητά αθροίσµατα των 7 ετών και τα διαιρούµε µε 7(στήλη ) Για τον υπολογισµό της κυκλικής και άρρυθµης συνιστώσας διαιρούµε τα αρχικά δεδοµένα µε τη µακροχρόνια τάση και πολλαπλασιάζουµε επί (στήλη ) β) Ο γενικός τύπος της εκθετικής εξοµάλυνσης είναι: ε t w * y t + ( - w) * ε t- όπου: ε t : η εξοµαλυσµένη τιµή κατά την περίοδο t ε t- : η εξοµαλυσµένη τιµή κατά την προηγούµενη περίοδο t - y t : η πραγµατική τιµή κατά την περίοδο t w: ο συντελεστής στάθµισης ( < w < ) Ως αρχική συνθήκη της παραπάνω σχέσης θεωρείται ότι ε y Στη συγκεκριµένη περίπτωση w 5 και ε y 6,6 L + 8 Εφαρµόζοντας το γενικό τύπο για t έχουµε ε,5*8,6+,75*6,67, Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουµε τις εκθετικά εξοµαλυσµένες τιµές για τα έτη 987 που εµφανίζονται στην τελευταία στήλη του Πίνακα ΑΣΚΗΣΗ Ο Πίνακας περιέχει τις τιµές µονάδας (σε χρηµατικές µονάδες ) και τις ποσότητες (σε µονάδες βάρους ) τριών προϊόντων τα οποία πωλήθηκαν από ένα κατάστηµα κατά τα έτη 998 και 999 αντίστοιχα Πίνακας 998 999 Προϊόν Ποσότητα Τιµή Ποσότητα Τιµή Α Β 5 6 Γ 5 α Με βάση τα στοιχεία αυτά και χρησιµοποιώντας ως περίοδο βάσης το 998 να υπολογισθούν για το 999 i Ο είκτης τιµών των προϊόντων κατά Laspeyres ii Ο είκτης όγκου των προϊόντων κατά Paasche 7

β Ο Μηνιαίος είκτης Όγκου Παραγωγής ( ΟΠ) µιας επιχείρησης µε περίοδο βάσης τον Ιούνιο του 99 αναθεωρήθηκε πρόσφατα και υπολογίζεται µε νέα περίοδο βάσης τον Ιανουάριο του 998 Ο Πίνακας περιέχει τις 8 τελευταίες διαθέσιµες τιµές αυτού του δείκτη Πίνακας Έτος 997 998 Μήνας Περίοδος Βάσης Περίοδος Βάσης Ιούνιος 99 Ιανουάριος 998 Οκτώβριος Νοέµβριος 5 εκέµβριος 7 Ιανουάριος Φεβρουάριος 6 Μάρτιος 9 Απρίλιος Με βάση τα στοιχεία αυτά i Να ενοποιηθούν οι παραπάνω δύο σειρές σε µία ενιαία µε βάση το Φεβρουάριο του 998 ii Να υπολογιστεί η ποσοστιαία µεταβολή του όγκου παραγωγής µεταξύ Νοεµβρίου 997 και Απριλίου 998 γ Μεταξύ των ετών 997 και 998 ο είκτης Τιµών Καταναλωτή παρουσίαζε αύξηση % στη χώρα Α και µείωση % στη χώρα Β Να υπολογιστεί η αντίστοιχη ποσοστιαία µεταβολή της πραγµατικής αξίας του χρήµατος στις δύο χώρες ΛΥΣΗ Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα αρχικά δεδοµένα καθώς και ορισµένα βοηθητικά στοιχεία που απαιτούνται για τη λύση της άσκησης Πίνακας Προϊόν Q 98 P 98 Q 99 P 99 P 98 *Q 98 P 99 *Q 98 Q 99 *P 99 Α 6 Β 5 6 6 9 Γ 5 5 65 8 είκτης Τιµών Laspeyres L (99) (98) pi qi ( P) i 65 ( P) 99,98 * * L 99,98 (98) (98) pi qi i 65% 8

είκτης Όγκου Paasche P (99) (99) qi pi ( q) i 8 ( q) 99,98 * * P 99,98 (98) (99) 65 qi pi i 99% β Ο Φεβρουάριος 998 ανήκει στην αναθεωρηµένη σειρά και προφανώς η νέα τιµή της για το µήνα αυτό θα είναι Οι υπόλοιπες τιµές της σειράς αυτής µε βάση το Φεβρουάριο 998 θα υπολογιστούν µε βάση τον ακόλουθο τύπο I t, νέα βάση I I t, παλαιά βάση, παλαιά βάση I I Απρίλιος Μάρτιος I Απρίλιος 98, Ιανουάριος 98, Φεβρουάριος 98 * * 75 8 I 6 Φεβρουάριος 98, Ιανουάριος 98 I Μάρτιος 98, Φεβρουάριος 98 9, Φεβρουάριος 98 * *,8 I 6 φεβρουάριος 98, Ιανουάριος 98 I Ιανουάριος I Ιανουάριος 98, Ιανουάριος 98, Φεβρουάριος 98 * * 9 9 I 6 Φεβρουάριος 98, Ιανουάριος 98 Η νέα τιµή για τον Ιανουάριο 998 είναι 9 και θα πρέπει να συµπέσει µε την αντίστοιχη τιµή της αρχικής σειράς Αυτό µπορεί να επιτευχθεί αν η τιµή της αρχικής σειράς () πολλαπλασιαστεί επί 9 και το γινόµενο διαιρεθεί µε ηλαδή έχουµε: Νέα τιµή για τον Ιανουάριο 998 9 * 9 Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται παρακάτω και οι υπόλοιπες τιµές της αρχικής σειράς 9 Νέα τιµή για τον Οκτώβριο 997 * 999 9 Νέα τιµή για τον Νοέµβριο 997 5 * 8 9

9 Νέα τιµή για τον εκέµβριο 997 7 * 87 9 Η ενοποιηµένη σειρά µε βάση το Φεβρουάριο 998 εµφανίζεται στην τελευταία στήλη του παρακάτω πίνακα Πίνακας ΕΤΟΣ ΜΗΝΑΣ είκτης Όγκου Παραγωγής Βάση Ιούνιος 99 είκτης Όγκου Παραγωγής Βάση Ιανουάριος 998 ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 997 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 5 ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 9 998 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 6 ΜΑΡΤΙΟΣ 9 ΑΠΡΙΛΙΟΣ 8 είκτης Όγκου Παραγωγής Βάση Φεβρουάριος 998 β Ποσοστιαία µεταβολή όγκου παραγωγής µεταξύ Νοεµβρίου 997 και Απριλίου 998 Όγκος Παραγωγής Νοεµβρίου 997 Όγκος Παραγωγής Απριλίου 998 8 Ποσοστιαία µεταβολή όγκου παραγωγής Oγκος παραγωγής Απριλίου 98 όγκος παραγωγής Νοεµβρίου 97 όγκος παραγωγής Νοεµβρίου 97 8 * 85% γέστω ότι το 997 ο είκτης Τιµών Καταναλωτή ήταν και για τις δυο χώρες Ο Πίνακας συνοψίζει, σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης τις τιµές του ΤΚ στις δυο χώρες τα έτη 997 και 998 και την ποσοστιαία µεταβολή τους Πίνακας είκτης Τιµών Καταναλωτή 997 998 % Μεταβολή Χώρα Α Χώρα Β 8 - Για τον υπολογισµό της πραγµατικής αξίας του χρήµατος στις δύο χώρες για κάθε ένα από τα έτη 997 (ΠΑΑ 97, ΠΑΒ 97 ) και 998 (ΠΑΑ 98, ΠΑΒ 98 ) χρησιµοποιούµε τον τύπο

Οναµαστικήαξία ( σε τρέχουσες τιµ ές ) Πραγµατική Αξία (σε σταθερές τιµές) * είκτης τιµ ών καταναλωτή Άρα: ΠΑΑ 97 * ΠΑΒ * 97 ΠΑΑ * 98 8 ΠΑΒ98 * 5 8 Η ποσοστιαία µεταβολή της πραγµατικής αξίας του χρήµατος µεταξύ 997 και998 για τη χώρα Α είναι (8-) / -67/-67 Η ποσοστιαία µεταβολή της πραγµατικής αξίας του χρήµατος µεταξύ 997 και998 για τη χώρα Β είναι (5-) / 5/5 Ο πίνακας που ακολουθεί συνοψίζει την πραγµατική αξία του χρήµατος στις δυο χώρες για καθένα από τα έτη 997, 998 και την ποσοστιαία µεταβολή τους Πίνακας Πραγµατική Αξία Χρήµατος 997 998 % Μεταβολή Χώρα Α 8-67 Χώρα Β 5 +5