ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Δημήτριος ΚΑΡΑΜΗΤΡΟΣ 1, Βασιλική ΓΚΕΣΟΥΛΗ 2, Γεώργιος ΜΠΟΥΚΟΒΑΛΑΣ 3

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 008 Άρθρο 069 Αναλυτική Μέθοδος Σχεδιασμού Υπόγειων Χαλύβδινων Αγωγών σε Διασταυρώσεις με Κανονικά Ρήγματα n nalytical Method for the Verification of Buried Steel Pipelines at Normal Fault Crossings Δημήτριος ΚΑΡΑΜΗΤΡΟΣ, Βασιλική ΓΚΕΣΟΥΛΗ, Γεώργιος ΜΠΟΥΚΟΒΑΛΑΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Παρουσιάζεται μια αναλυτική μεθοδολογία για τον υπολογισμό των αξονικών και των καμπτικών παραμορφώσεων που θα αναπτυχθούν σε ένα υπόγειο χαλύβδινο αγωγό, κατά την διάρρηξη κανονικού ρήγματος με ίχνος κάθετο στον άξονα του αγωγού. Για την αξιολόγηση της μεθοδολογίας γίνεται σύγκριση με αποτελέσματα 3-Δ μη-γραμμικών αριθμητικών αναλύσεων με πεπερασμένα στοιχεία. Αποδεικνύεται ότι η προτεινόμενη μέθοδος αποτελεί μια αξιόλογη εναλλακτική λύση για την εντατική ανάλυση αγωγών, καθώς προσφέρει ικανοποιητική ακρίβεια, χωρίς τον αυξημένο χρόνο προετοιμασίας και επεξεργασίας των αποτελεσμάτων μιας αριθμητικής ανάλυσης. BSTRCT : The complex problem of stress verification of a pipeline crossing perpendicularly the trace of an active normal fault is treated analytically, and a methodology for the calculation of the axial and bending pipeline strains is presented. To evaluate the accuracy of the new methodology, predictions are compared to results of 3-D non-linear numerical analyses with the finite element method. It is thus verified that the proposed methodology poses as an attractive alternative to the complex and demanding numerical methods, combining accuracy with minimum analysis effort. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ακριβής εκτίμηση της έντασης που θα αναπτυχθεί σε ένα υπόγειο χαλύβδινο αγωγό λόγω της διάρρηξης ενός ενεργού ρήγματος είναι ιδιαίτερα σημαντική, όχι μόνο λόγω της οικονομικής σημασίας που έχει η απρόσκοπτη λειτουργία των δικτύων αγωγών ως έργα υποδομής, αλλά και λόγω της οικολογικής καταστροφής που θα προκαλέσει η πιθανή αστοχία τους και η επακόλουθη διαρροή βλαβερών ή επικίνδυνων για το περιβάλλον ουσιών όπως φυσικού αερίου, υγρών καυσίμων, ή λυμάτων (EERI 999, Uzarski et al. 00). Η έντονα μη-γραμμική φύση του προβλήματος καθιστά την αριθμητική προσομοίωσή του με πεπερασμένα στοιχεία ιδιαίτερα χρονοβόρα και απαιτητική. Για τον λόγο αυτό, στα αρχικά τουλάχιστον στάδια μιας μελέτης, προκρίνεται συχνά η χρήση απλουστευμένων αναλυτικών μεθοδολογιών, στο βαθμό βέβαια που η ακρίβειά τους είναι τεκμηριωμένη. Πολιτικός Μηχανικός, Υποψήφιος Διδάκτορας Ε.Μ.Π., email: dimkaram@central.ntua.gr Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π., email: basiagesouli@yahoo.gr 3 Καθηγητής Ε.Μ.Π., email: gbouck@central.ntua.gr

z x R cv q u t u Δz t u L cv Σχήμα. Παραμορφωμένη γεωμετρία του αγωγού σύμφωνα με τους Kennedy et al. (977). Η ευρύτερα χρησιμοποιούμενη σήμερα αναλυτική μεθοδολογία έχει προταθεί από τους Kennedy et al. (977), και υιοθετείται από τις οδηγίες της SCE (984) για το σχεδιασμό υπόγειων αγωγών. Η μέθοδος αυτή αποτελεί εξέλιξη της προγενέστερης μεθοδολογίας των Newmark & Hall (975), υπό την έννοια ότι λαμβάνει υπόψη την αλληλεπίδραση εδάφουςαγωγού και στην εγκάρσια, πέραν της αξονικής, διεύθυνση. Μία βασική παραδοχή της εν λόγω μεθόδου είναι ότι η διατομή του αγωγού στην ευρύτερη περιοχή του ρήγματος διαρρέει πλήρως, με αποτέλεσμα η καμπτική δυσκαμψία του αγωγού να μπορεί να αμεληθεί στους υπολογισμούς. Σύμφωνα όμως με τα κριτήρια που θέτουν οι Kennedy et al. για να ορίσουν το πεδίο εφαρμογής της μεθοδολογίας, η παραδοχή αυτή είναι ρεαλιστική μόνον για πολύ μεγάλες μετατοπίσεις ρήγματος (αρκετά μεγαλύτερες από τη διάμετρο του αγωγού). Αντίθετα, για μικρές σχετικά μετατοπίσεις οι προβλεπόμενες παραμορφώσεις είναι έως και μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερες από τις εκτιμούμενες με ακριβείς αριθμητικές μεθόδους, είναι δηλαδή ιδιαίτερα υπερ-συντηρητικές και καθιστούν τη μέθοδο ακατάλληλη για πρακτικές εφαρμογές (Karamitros et al., 007). Πέραν του ανωτέρω περιορισμού, στην περίπτωση των κανονικών ρηγμάτων που εξετάζεται εδώ, οι Kennedy et al. θεωρούν ότι δημιουργείται πλαστική άρθρωση στο σημείο τομής του αγωγού με το ίχνος του ρήγματος και ότι ο αγωγός παραμορφώνεται μόνο πάνω από το ολισθαίνον τέμαχος του ρήγματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Ακολούθως, υπολογίζουν τις παραμορφώσεις μόνο για το εν λόγω τμήμα του αγωγού, αγνοώντας ουσιαστικά τις καμπτικές παραμορφώσεις του αγωγού στο σταθερό τέμαχος του ρήγματος. Η παραδοχή αυτή ελέγχεται ως ανακριβής, καθώς έρχεται σε αντίθεση με αποτελέσματα αριθμητικών αναλύσεων τα οποία δείχνουν σαφώς ότι οι μέγιστες καμπτικές παραμορφώσεις αναπτύσσονται στο σταθερό και όχι στο ολισθαίνον τέμαχος (SCE-L, 005, Γκεσούλη, 007). Συνεπεία της δεύτερης αυτής παραδοχής, οι προβλεπόμενες παραμορφώσεις με τη μέθοδο των Kennedy et al. γίνονται σταδιακά μη συντηρητικές, αυξανόμενης της μετατόπισης του ρήγματος. Η προτεινόμενη μεθοδολογία χρησιμοποιεί ως αφετηρία όσες παραδοχές των υπαρχουσών μεθοδολογιών είναι καλά τεκμηριωμένες και ευρέως αποδεκτές, όπως για παράδειγμα η διαδικασία υπολογισμού της αξονικής δύναμης που υιοθετήθηκε από τους Kennedy et al. και η διακριτοποίηση του αγωγού σε τμήματα που προτάθηκε από τους Wang & Yeh (985). Παράλληλα όμως εισάγει νέα στοιχεία για τη βελτίωση της ακρίβειας των προβλέψεων. Συγκεκριμένα, το έντονα καμπυλωμένο τμήμα του αγωγού στην περιοχή του ρήγματος αναλύεται με τη θεωρία ελαστικής δοκού για να υπολογιστεί η μέγιστη αναπτυσσόμενη ροπή, λαμβάνοντας υπ όψη τη μη συμμετρική ως προς το ίχνος του ρήγματος φόρτιση του

αγωγού, που οφείλεται στη διαφορά της εδαφικής αντίστασης για κατακόρυφη προς τα άνω και προς τα κάτω σχετική μετακίνηση του αγωγού ως προς το περιβάλλον έδαφος. Επιπλέον, το πεδίο εφαρμογής της μεθόδου επεκτείνεται σε παραμορφώσεις μεγαλύτερες του ορίου διαρροής, μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας υπολογισμού του τέμνοντος μέτρου ελαστικότητας του χάλυβα κατασκευής του αγωγού. Τέλος, λαμβάνεται έμμεσα υπόψη η επίδραση φαινομένων δευτέρας τάξεως, ενώ η αλληλεπίδραση αξονικών και καμπτικών παραμορφώσεων ποσοτικοποιείται θεωρώντας την πραγματική κατανομή τάσεων και παραμορφώσεων στη διατομή του αγωγού. ' L B B ρήγμα L BC C Δf Δx ψ Δz C' αγωγός q(x) - k w(x) L B L BC x ' w q B q BC B Δz C w C' x Σχήμα. Διακριτοποίηση του αγωγού σε 3 τμήματα. q(x) - k w(x) ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ Η εν λόγω μεθοδολογία αφορά περιπτώσεις που το ίχνος του ρήγματος τέμνει κάθετα τη χάραξη του αγωγού, δηλαδή το διάνυσμα Δx είναι συγγραμμικό με τον άξονα του αγωγού. Όπως προαναφέρθηκε, βασίζεται στη θεωρία ελαστικής δοκού, λαμβάνοντας υπόψη την αλληλεπίδραση εδάφους-αγωγού κατά την αξονική και την εγκάρσια οριζόντια και την εγκάρσια κατακόρυφη διεύθυνση, την καμπτική δυσκαμψία της διατομής, την επίδραση φαινομένων δευτέρας τάξεως και την αλληλεπίδραση αξονικών και καμπτικών παραμορφώσεων. Το ρήγμα θεωρείται επίπεδο, με μηδενικό πάχος ζώνης διάρρηξης, έτσι ώστε η τομή του ίχνους του με τον αγωγό να μπορεί να θεωρηθεί σημειακή. Οι μετατοπίσεις του ρήγματος ορίζονται σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων x και z, όπου ο άξονας x είναι παράλληλος προς τον οριζόντιο άξονα του αγωγού και ο άξονας z είναι κατακόρυφος. Με βάση τη γωνία βύθισης ψ που σχηματίζει το επίπεδο του εξεταζόμενου ρήγματος με τον άξονα x, μπορούμε να αναλύσουμε γεωμετρικά τη μετατόπιση σε Δx και Δz, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Η μεθοδολογία βασίζεται στη διακριτοποίηση του αγωγού σε 3 τμήματα, με βάση τα σημεία και C στο Σχήμα, τα οποία ορίζονται ως τα πρώτα σημεία που συναντώνται καθώς απομακρυνόμαστε εκατέρωθεν του ρήγματος, στα οποία η σχετική εγκάρσια μετατόπιση 3

εδάφους αγωγού κατά τον άξονα z είναι μηδενική. Ορίζεται επίσης το σημείο B, που είναι το σημείο τομής του αγωγού με το επίπεδο του ρήγματος. Ο υπολογισμός των αξονικών και καμπτικών παραμορφώσεων πραγματοποιείται ακολούθως σε έξι (6) βήματα, τα οποία παρουσιάζονται συνοπτικά είναι τα ακόλουθα: Τα τμήματα του αγωγού, από το - μέχρι το Α και από το C μέχρι το + (τμήματα Α Α και CC, αντίστοιχα) αναλύονται ως ελαστικές δοκοί επί συνεχών γραμμικών ελατηριωτών στηρίξεων, για να προκύψουν σχέσεις για τη διατμητική δύναμη, την καμπτική ροπή και τη στροφή των σημείων και C. Λαμβάνοντας υπ όψη τις συνοριακές συνθήκες που προέκυψαν από το Βήμα, το τμήμα ΑΒC επιλύεται ως ελαστική δοκός, και υπολογίζεται η μέγιστη αναπτυσσόμενη καμπτική ροπή. Βάσει του συμβιβαστού των αξονικών παραμορφώσεων του αγωγού (διαθέσιμη επιμήκυνση) με την αξονική παραμόρφωση που επιβάλλει η διάρρηξη (απαιτούμενη επιμήκυνση), υπολογίζεται η μέγιστη αξονική δύναμη που αναπτύσσεται στο σημείο διασταύρωσης του αγωγού με το ίχνος του ρήγματος (σημείο Β). Υπολογίζονται οι καμπτικές παραμορφώσεις στον αγωγό, λαμβάνοντας εμμέσως υπόψη την επίδραση φαινομένων δευτέρας τάξεως. Υπολογίζεται η μέγιστη αξονική παραμόρφωση, από την απαίτηση ισορροπίας μεταξύ της εξωτερικά επιβαλλόμενης αξονικής δύναμης και των εσωτερικών τάσεων που αναπτύσσονται στη διατομή του αγωγού. Τέλος, λαμβάνοντας υπόψη την κατανομή τάσεων και παραμορφώσεων στη διατομή του αγωγού, υπολογίζεται το τέμνον μέτρο ελαστικότητας στην περίπτωση που ο χάλυβας του αγωγού μπαίνει στη μη-γραμμική περιοχή, και τα βήματα έως 6 επαναλαμβάνονται μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση. Σημειώνεται ότι όπως σε όλες τις παρόμοιες μεθοδολογίες εντατικής ανάλυσης (Newmark & Hall 975, Kennedy et al. 977, Wang & Yeh 985, Karamitros et al. 007), οι αρχικές τάσεις λόγω της υπερκείμενης επίχωσης θεωρούνται αμελητέες σε σχέση με τις τάσεις που αναπτύσσονται λόγω της διάρρηξης του ρήγματος, και δε λαμβάνονται υπόψη. Επιπλέον, η ταχύτητα της διάρρηξης θεωρείται ότι είναι αρκετά μικρή, ώστε να μην εμφανίζονται δυναμικά φαινόμενα, και το πρόβλημα να μπορεί να θεωρηθεί οιονεί στατικό. Τέλος, τονίζεται ότι η μεθοδολογία δε λαμβάνει υπόψη φαινόμενα τοπικού λυγισμού και στρέβλωσης της διατομής (Calladine, 983) και επομένως το πεδίο εφαρμογής της περιορίζεται στα επίπεδα θλιπτικών παραμορφώσεων που ορίζουν οι ισχύοντες κανονισμοί (L-SCE 005, EC8 003) για την αποφυγή τέτοιων φαινομένων (Takada et al, 00). ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ Όπως προαναφέρθηκε, η εντατική ανάλυση του αγωγού μπορεί να χωρισθεί σε έξι (6) βήματα, τα οποία περιγράφονται εκτενώς στις επόμενες παραγράφους. 4

Βήμα : Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την ελαστική γραμμή δοκού επί συνεχών ελατηριωτών στηρίξεων (Σχήμα 3) δίνεται από τη Σχέση α: '''' EIw + kw 0 (α) Από τις συνοριακές συνθήκες w 0 για x 0 και w 0 για x, προκύπτει: λx w Ce sinλx (β) όπου: λ 4 k 4 EI (γ) ενώ x είναι η απόσταση από το σημείο Α κατά μήκος του άξονα του αγωγού, w είναι η κατακόρυφη μετακίνηση, Ε είναι το αρχικό μέτρο ελαστικότητας του χάλυβα του αγωγού, I είναι η ροπή αδράνειας της διατομής και k είναι η ελαστική δυσκαμψία των εγκάρσιων κατακόρυφων ελατηρίων. Η τιμή της σταθεράς k για τα εδαφικά ελατήρια που αντιστοιχούν σε κατακόρυφη προς τα άνω σχετική μετατόπιση του αγωγού ως προς το περιβάλλον έδαφος, διαφέρει από την αντίστοιχη τιμή για κίνηση προς τα κάτω, και μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με τις οδηγίες της L-SCE (005). Στην παρούσα αναλυτική λύση, χρησιμοποιείται ο μέσος όρος των δύο αυτών τιμών, τόσο για τη δοκό όσο και για τη δοκό C C (Σχήμα ), εκτός δηλαδή του έντονα καμπυλωμένου τμήματος του αγωγού. q(x) - k w(x) x ' φ V M w Σχήμα 3. Ιδεατό προσομοίωμα του τμήματος, με βάση τη θεωρία ελαστικής δοκού επί ελατηριωτών στηρίξεων. Από την παραγώγιση της Σχέσης (β) προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις που συνδέουν την τέμνουσα δύναμη V EIw, την καμπτική ροπή M EIw και τη στροφή φ w στο σημείο Α: ( ) M λ EI φ () V λ M (3) Λόγω συμμετρίας, αντίστοιχες σχέσεις ισχύουν και για την τέμνουσα, τη ροπή και τη στροφή στο σημείο C. Σημειώνεται ότι οι δοκοί Α Α και CC βρίσκονται εκτός του μήκους έντονης καμπύλωσης, και επομένως τα εντατικά μεγέθη που αναπτύσσονται σε αυτές είναι σχετικά 5

μικρά και δεν οδηγούν σε μη-γραμμικές παραμορφώσεις. Το γεγονός αυτό αιτιολογεί τη χρήση του αρχικού μέτρου ελαστικότητας Ε στις ανωτέρω σχέσεις (-3). L L B L BC q BC C r φ Α M V B Δz B Δz q B Σχήμα 4. Ανάλυση του τμήματος BC με τη θεωρία ελαστικής δοκού. φ C C C r V C M C F R BC D q B B q BC G Δz B Δz R B C E Σχήμα 5. Παραμορφωμένη εικόνα του αγωγού, υποθέτοντας μηδενική καμπτική δυσκαμψία. Βήμα : Το τμήμα ΑΒC (βλ. και Σχήμα ) προσομοιώνεται ως ελαστική δοκός, με μήκος L και καμπτική δυσκαμψία EI. Το μήκος L ισούται με το άθροισμα του μήκους L B του τμήμα ΑΒ του αγωγού που βρίσκεται στο σταθερό τέμαχος του ρήγματος, και του μήκους L BC που αντιστοιχεί στο τμήμα BC στο ολισθαίνον τέμαχος. Τα σημεία Α και C συνδέονται με στροφικά ελατήρια, με σταθερά Cr λ EI που προκύπτει από τη Σχέση (). Στη στήριξη C της δοκού επιβάλλεται κατακόρυφη μετατόπιση Δz, ίση με την κατακόρυφη συνιστώσα της μετατόπισης του ρήγματος. Επιπλέον, στο τμήμα 6

BC του αγωγού επιβάλλεται ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο q BC, η τιμή του οποίου αντιστοιχεί στην οριακή αντίσταση του εδάφους για κατακόρυφη προς τα άνω μετακίνηση του αγωγού. Αντίστοιχα, στο τμήμα B του αγωγού επιβάλλεται ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο q B. Στην πραγματικότητα, η φόρτιση της δοκού ΑΒ, είναι ανάλογη του βέλους της ελαστικής της γραμμής, έχει μηδενική τιμή στο σημείο Α και λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της στο σημείο Β. Για λόγους απλοποίησης, θεωρείται ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο στη δοκό ΑΒ, ίσο με το ήμισυ του φορτίου στο σημείο Β: q B k Δz down B (4) Του υπολογισμού του φορτίου q B θα πρέπει να προηγηθεί ο υπολογισμός της κατακόρυφης μετατόπισης Δz B του σημείου Β. Για το σκοπό αυτό υιοθετείται η παραδοχή ότι ο αγωγός έχει μηδενική καμπτική δυσκαμψία, δηλαδή συμπεριφέρεται ως καλώδιο (Σχήμα 5). Στην περίπτωση αυτή, οι ακτίνες καμπυλότητας R B και R BC των τμημάτων του αγωγού ΑΒ και BC αντίστοιχα είναι σταθερές, και προκύπτουν από απλές εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων στα στοιχειώδη τμήματα του αγωγού: R B F a q B (5α) R BC F a q BC (5β) όπου F a είναι η αξονική δύναμη που αναπτύσσεται στο σημείο διασταύρωσης του αγωγού με το ίχνος του ρήγματος. Από τη γεωμετρία του Σχήματος 5, και σε συνδυασμό με τις Σχέσεις 5α και 5β για τις ακτίνες καμπυλότητας, προκύπτει: Δz B ( ) q + q q + k k BC BC BC down down (6) Παρατηρείται ότι στην παραπάνω σχέση δεν υπεισέρχονται ούτε τα μήκη έντονης καμπύλωσης L B και L BC, ούτε η αξονική δύναμη F a. Τονίζεται ότι η παραδοχή μηδενικής καμπτικής δυσκαμψίας και η υιοθέτηση της αντίστοιχης γεωμετρίας γίνεται μόνο για την απλοποίηση του υπολογισμού της μετατόπισης Δz B και του φορτίου q B, καθώς στους υπόλοιπους υπολογισμούς λαμβάνεται υπ όψη η πραγματική δυσκαμψία του αγωγού. Από τη στατική επίλυση της δοκού προκύπτουν οι Σχέσεις (7) έως (0) για τη ροπή και τις τέμνουσες δυνάμεις στις στηρίξεις Α και C: 3 3 EI EI EI q BLB LB LB qbclbc LBC V 6 φ 6 φc + Δz + + 3 3 L L L L L L L 3 EI EI EI q BLB LB LB qbclbc LBC M 4 φ + φc 6 Δz+ 6 8 + 3 4 3 L L L L L L L (7) (8) 7

3 3 EI EI EI q BLB LB qbclbc LBC LBC VC 6 φ 6 φc + Δz+ + 3 3 L L L L L L L (9) 3 EI EI EI q BLB LB qbclbc LBC LBC MC φ 4 φc + 6 Δz+ 4 3 6 8 + 3 L L L L L L L (0) Οι στροφές φ Α και φ C, δίνονται από τις Σχέσεις και : L Cr 6 EI ( L+ LBC ) + LBC LB qb ( + ) Δz 6 EI L Cr L ( 6 EI+ L C ) r φ ( + ) L LB ( + ) ( + ) BC BC L EI L C 3 EI L C L q r r 4 LB ( + ) 6 EI L Cr ( 3 EI+ L C ) ( 6 EI+ L C ) r 6 EI ( L+ LBC ) 4 LBC LB qb Δz ( + ) r L 6 EI L C r φc ( + ) L LB + ( + ) r BC BC L EI L C L C L q r + LB ( + ) 6 EI L Cr () () Τα μήκη των έντονα καμπυλωμένων τμημάτων L ΑΒ και L BC είναι άγνωστα. Ο υπολογισμός τους γίνεται επαναληπτικά, χρησιμοποιώντας τις συνοριακές συνθήκες που προέκυψαν από την ανάλυση των ελαστικών δοκών επί ελατηριωτού εδάφους Α Α και CC (Σχέσεις -3). Θεωρώντας μια αρχική τιμή της τάξης των 5 έως 5D για τα L ΑΒ και L BC, υπολογίζονται τα εντατικά μεγέθη στις δοκούς B και BC, και στη συνέχεια γίνεται νέα προσέγγιση σύμφωνα με τις Σχέσεις 3 και 4. Οι υπολογισμοί επαναλαμβάνονται μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση των ροπών Μ Α και M C, και των τεμνουσών V και V C. q L + V λ M L B q BC BC C B q L + V + λ M L BC q B B C BC (3) (4) Με γνωστά πλέον τα εντατικά μεγέθη στα άκρα της δοκού προκύπτει η μέγιστη ροπή που αναπτύσσεται στο τμήμα ΑΒ, ως: όπου: x Mmax B M + V xmax B + qb max B (5α) 8

x max B V q B (5β) Βήμα 3: Στη συνέχεια υπολογίζεται η μέγιστη αξονική δύναμη στον αγωγό, η οποία αναπτύσσεται στο σημείο διασταύρωσης με το ίχνος του ρήγματος. Ο υπολογισμός της αξονικής δύναμης στηρίζεται στην απαίτηση συμβιβαστού της «γεωμετρικά απαιτούμενης» και της «διαθέσιμης» επιμήκυνσης του αγωγού. Ως γεωμετρικά απαιτούμενη επιμήκυνση ΔL req ορίζεται η επιμήκυνση που επιβάλλει η διάρρηξη του ρήγματος στον αγωγό. Η κατακόρυφη συνιστώσα Δz της μετακίνησης του ρήγματος θεωρείται πως έχει αμελητέα επίδραση στην επιμήκυνση του αγωγού, σε σχέση με την οριζόντια συνιστώσα Δx, και επομένως ισχύει: ΔLreq Δ x (6) Η διαθέσιμη επιμήκυνση υπολογίζεται από την ολοκλήρωση των αξονικών παραμορφώσεων στο μήκος αγκύρωσης του αγωγού, δηλαδή στο τμήμα του αγωγού όπου εμφανίζεται σχετική ολίσθηση ως προς το περιβάλλον έδαφος: Lanch 0 ΔL ε(l) dl (7) av όπου L είναι η απόσταση από το ίχνος του ρήγματος και L anch το μήκος αγκύρωσης. Ο συντελεστής χρησιμοποιείται γιατί η επιμήκυνση αφορά και τα δύο τμήματα του αγωγού εκατέρωθεν του ρήγματος. Στο μήκος αγκύρωσης, όπου εμφανίζεται σχετική ολίσθηση μεταξύ αγωγού και περιβάλλοντος εδάφους, αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής στον αγωγό, οι οποίες εξισορροπούν την αξονική δύναμη. Δεδομένου ότι η μέγιστη αντίσταση του εδάφους κατά την αξονική διεύθυνση ενεργοποιείται για πολύ μικρή τιμή σχετικής ολίσθησης του αγωγού (L- SCE, 005), η δύναμη τριβής στο μήκος αγκύρωσης θεωρείται σταθερή, και ίση με την οριακή της τιμή. Επομένως, η αξονική δύναμη F, και κατά συνέπεια και η αξονική τάση σ, μειώνονται γραμμικά με την απόσταση L από το ρήγμα και μηδενίζονται σε απόσταση L anch από αυτό (Σχήμα 6): tu σ(l) σa L s (8) L anch F σ t t a a s u u (9) 9

a. σ a (point B) < σ b. σ a (point B) > σ ε(l) ε(l) ε L L σ(l) σ σ(l) L L anch L L anch - L L anch L t B u F a t B u F a Σχήμα 6. Μεταβολή αξονικών τάσεων και παραμορφώσεων στο μήκος αγκύρωσης του αγωγού: (a) ελαστική παραμόρφωση και (b) ελαστο-πλαστική παραμόρφωση του αγωγού. σ (σ,ε ) (σ,ε ) σ o E E ε Σχήμα 7. Διγραμμική σχέση τάσεων-παραμορφώσεων του χάλυβα του αγωγού. όπου s το εμβαδό της διατομής του αγωγού, F a η αξονική δύναμη στο σημείο τομής με το επίπεδο του ρήγματος (Σημείο Β), σ a η αναπτυσσόμενη τάση στο σημείο Β και t u η οριακή δύναμη τριβής ανά μέτρο μήκους αγωγού, υπολογιζόμενη σύμφωνα με τις οδηγίες της L- SCE (005). Από τη Σχέση 8, που παρέχει τη μεταβολή των αξονικών τάσεων κατά μήκος του αγωγού, μπορεί να υπολογιστεί και η αντίστοιχη μεταβολή των αξονικών παραμορφώσεων, μέσω της διγραμμικής σχέσης τάσεων-παραμορφώσεων που φαίνεται στο Σχήμα 7. Στην περίπτωση που η αξονική εφελκυστική τάση σ a είναι μικρότερη από την τάση διαρροής του χάλυβα του αγωγού σ (Σχήμα 6α) θα είναι ε(l)σ(l)/e, και επομένως, σύμφωνα με τη Σχέση 7, η διαθέσιμη επιμήκυνση προκύπτει ίση προς: Lanch σ(l) σa ΔLav dl 0 E E t u s (0) 0

Αντικαθιστώντας στη Σχέση 0 το ΔL req από τη Σχέση 6, η μέγιστη αξονική τάση προκύπτει ίση με: σ a Ε t Δx u s () Εάν για σ a σ (Σχήμα 7) η απαιτούμενη επιμήκυνση είναι μεγαλύτερη από τη διαθέσιμη ΔL av, ή: σ Δx > ΔLav,el E t s u () αναπτύσσονται πλαστικές παραμορφώσεις στον αγωγό, και η διαθέσιμη επιμήκυνση δίνεται από τη Σχέση 3: L σ(l) σ Lanch σ(l) ΔLav (ε + ) dl+ dl 0 L E E (3α) όπου: L (σ σ ) t a s u (3β) Από τις Σχέσεις 8, 9 και 3, προκύπτει η μέγιστη αξονική εφελκυστική τάση ίση με: σ a t σ E E + σ E E E + E E Δx E ( ) ( ) u s (4) Σε κάθε περίπτωση η αξονική δύναμη δίνεται από τη σχέση: Βήμα 4: Fa s σ a (5) Στο βήμα αυτό υπολογίζονται οι καμπτικές παραμορφώσεις, που αντιστοιχούν στο σημείο όπου αναπτύσσεται η μέγιστη καμπτική ροπή, η οποία προέκυψε από το Βήμα. Ο υπολογισμός, σύμφωνα με τη θεωρία ελαστικής δοκού, γίνεται από τη Σχέση 6: ε I b Mmax D EI (6) I Σύμφωνα με τη Σχέση (8), οι καμπτικές παραμορφώσεις ε b αυξάνονται μονοτονικά με τη μετατόπιση του ρήγματος. Τούτο είναι ακριβές μόνο για μικρές μετατοπίσεις του ρήγματος, καθώς για μεγαλύτερες μετατοπίσεις εμφανίζονται φαινόμενα δευτέρας τάξης που περιορίζουν τον ρυθμό αύξησης των καμπτικών παραμορφώσεων. Ένα άνω όριο των παραμορφώσεων προκύπτει υιοθετώντας την παραδοχή των Kennedy et al. (977) ότι ο

αγωγός έχει μηδενική δυσκαμψία και συμπεριφέρεται ως καλώδιο. Στην περίπτωση αυτή η παραμορφωμένη γεωμετρία του αγωγού αντιστοιχεί σε δύο κυκλικά τόξα, όπως περιγράφεται στο Βήμα της μεθοδολογίας (Σχήμα 5). Οι αναπτυσσόμενες καμπτικές παραμορφώσεις υπολογίζονται από τη Σχέση 7: ε II b D/ R B (7) όπου R ΑΒ η ακτίνα καμπυλότητας του τμήματος B του αγωγού, η οποία υπολογίζεται από την ισορροπία της αξονικής δύναμης και της εξωτερικής εγκάρσιας φόρτισης σε στοιχειώδες τμήμα του αγωγού (Σχήμα 8): F R a B (8) q B Από τις Σχέσεις (7) και (8) προκύπτει: ε II b q D F a (9) Σύμφωνα με τη Σχέση 9, οι καμπτικές παραμορφώσεις ε b II είναι αντιστρόφως ανάλογες της αξονικής δύναμης του αγωγού. Έτσι, για μικρές μετακινήσεις του ρήγματος οι καμπτικές παραμορφώσεις απειρίζονται, γεγονός που οφείλεται στην παραδοχή μηδενικής καμπτικής δυσκαμψίας, η οποία όμως είναι ακριβής μόνο όταν όλη η διατομή του αγωγού έχει διαρρεύσει. Προκειμένου να ληφθούν υπόψη και οι μηχανισμοί, χρησιμοποιείται η Σχέση 30, σύμφωνα με την οποία, η τιμή της καμπτικής παραμόρφωσης προσεγγίζει την ε b I για μικρές μετατοπίσεις του ρήγματος και την ε b II στην αντίθετη περίπτωση. + I II ε ε ε b b b dφ/ (30) F a R q dφ/ R dφ F a Σχήμα 8. Υπολογισμός της καμπυλότητας από ισορροπία δυνάμεων σε στοιχειώδες τμήμα του αγωγού.

ε max ε a +ε b σ max θ ε σ φ ε a σ a π-φ -ε -σ ε min ε a -ε b σ min Σχήμα 9. Κατανομή τάσεων και παραμορφώσεων καθ ύψος της διατομής του αγωγού. Βήμα 5: Στο βήμα αυτό υπολογίζεται η ακριβής κατανομή των τάσεων και των παραμορφώσεων καθ ύψος της διατομής του αγωγού (Σχήμα 9), προκειμένου να ποσοτικοποιηθεί η αλληλεπίδραση καμπτικής ροπής και αξονικής δύναμης, όταν οι τάσεις στις ακραίες ίνες της διατομής ξεπερνούν το όριο διαρροής. Για το σκοπό αυτό, υιοθετείται η παραδοχή επιπεδότητας των διατομών και η διγραμμική σχέση τάσεων-παραμορφώσεων του Σχήματος 7. Η κατανομή των τάσεων και των παραμορφώσεων εκτιμάται στο σημείο που αναπτύσσεται η μέγιστη καμπτική ροπή, λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση φαινομένων δευτέρας τάξεως. Απαιτείται ωστόσο και ο υπολογισμός των αντίστοιχων αξονικών παραμορφώσεων, από την απαίτηση το ολοκλήρωμα των τάσεων στη διατομή του αγωγού, να ισούται με την αξονική δύναμη που υπολογίστηκε στο Βήμα 3. Με δεδομένα τα ανωτέρω, η κατανομή των παραμορφώσεων καθ ύψος της διατομής του αγωγού δίνεται από τη Σχέση 3: ε ε + ε cosθ (3) α b όπου θ είναι η πολική γωνία της διατομής. Η αντίστοιχη κατανομή των τάσεων δίνεται από τη Σχέση 3: σ + E (ε ε ) 0 θ φ σ E ε φ θ π φ σ + E (ε + ε ) π φ < θ π (3) Όπου οι γωνίες φ, καθορίζουν τα τμήματα της διατομής τα οποία έχουν διαρρεύσει, μετρώντας από την άνω και κάτω ίνα αντίστοιχα. Οι γωνίες αυτές υπολογίζονται ως εξής: 3

ε m εa π < ε b ε mεab ε mεa φ, arccos εbb εb ε m εa 0 < εb (33) Η αξονική δύναμη υπολογίζεται μέσω της ολοκλήρωσης των τάσεων καθ ύψος της διατομής: E π ε a (E E ) (φ + φ ) εa π F σ Rm t dθ F Rm t + (E E ) (φ φ ) ε 0 (E E ) (sinφ sinφ ) εb (34) όπου, t είναι το πάχος του αγωγού και R m είναι η μέση ακτίνα της διατομής, που υπολογίζεται ως: R m D t (35) Όπως αναφέρθηκε, η αξονική παραμόρφωση προκύπτει από την απαίτηση η αξονική δύναμη στο σημείο τομής της χάραξης με το ρήγμα (που υπολογίστηκε στο Βήμα 3), να είναι ίση με εκείνη που προκύπτει από το ολοκλήρωμα της Σχέσης 34. Η εξίσωση αυτή οδηγεί σε έναν πεπλεγμένο τύπο για το ε a, ο οποίος επιλύεται επαναληπτικά, με τη μέθοδο Newton- Raphson. Συγκεκριμένα, επιλέγεται η τιμή ε a 0 0 ως αρχική, και σε κάθε βήμα υπολογίζεται η αξονική παραμόρφωση σύμφωνα με τη Σχέση 36: όπου: ε k+ a k ( a) F ε k εa df dε F a a k εa εa (36α) dφ dφ Eπ ( E E)( φ+ φ) ( E E) + εa df dεa dεa Rmt dε a dφ dφ dφ dφ + ( E ) ( ) E ε E E cosφ cosφ εb dε a dεa dεa dεa ± εb sinφ, 0.0 ε b sinφ, dφ, 00 0.0< εb sin φ, 0 dεa ± 00 0 < εb sinφ, 0.0 ± 0.0 < εb sinφ, εb sinφ, (36β) (36γ) 4

Με γνωστές πλέον τις μέγιστες αξονικές και καμπτικές παραμορφώσεις, προκύπτουν από τη Σχέση 3 οι μέγιστες και ελάχιστες ορθές παραμορφώσεις της διατομής για θ0 και θπ αντίστοιχα. Βήμα 6: Στα παραπάνω βήματα, οι παραμορφώσεις υπολογίζονται αναλύοντας το τμήμα ΑΒC με τη θεωρία ελαστικής δοκού, χωρίς να λαμβάνεται υπ όψη η μη γραμμική συμπεριφορά του χάλυβα του αγωγού. Για να ισχύει επομένως το συμβιβαστό μεταξύ αναπτυσσόμενων τάσεων και παραμορφώσεων, στην προτεινόμενη μεθοδολογία ακολουθείται μία επαναληπτική διαδικασία υπολογισμού ενός «τέμνοντος» μέτρου ελαστικότητας. Πιο συγκεκριμένα, με δεδομένη την κατανομή των παραμορφώσεων καθ ύψος της διατομής του τμήματος ΑΒ, υπολογίζεται η αναπτυσσόμενη ροπή, σύμφωνα με τη Σχέση 37: π max B 0 m m M σ R t R cosθ dθ E π εbb (E E ) (sinφ sinφ ) ε + (E E ) (sinφb + sinφ B) ε M max B Rm t (E + E ) (φb φ B) εbb (E E ) (sin φb + sinφ B) εbb 4 B B ab (37) Το νέο τέμνον μέτρο ελαστικότητας Ε sec υπολογίζεται από τη Σχέση 38: M max B D Mmax B D E sec I II I εbb I εbb εbb (38) Έτσι, τα Βήματα έως 6 επαναλαμβάνονται, θέτοντας ΕΕ sec, μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση των μέτρων ελαστικότητας. Σημειώνεται, τέλος, ότι αν και ο παραπάνω αλγόριθμος είναι σαφώς πεπλεγμένος για υπολογισμούς «με το χέρι», η προγραμματισμός του για επίλυση σε Η/Υ είναι σχετικά εύκολος, και τόσο η εισαγωγή των δεδομένων, όσο και η επίλυση, απαιτούν ελάχιστο χρόνο σε σύγκριση με ακριβέστερες αριθμητικές αναλύσεις. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ Η αξιοπιστία της προτεινόμενης μεθοδολογίας ελέγχεται μέσω σύγκρισης των αποτελεσμάτων της με τα αποτελέσματα 3-Δ μη-γραμμικών αριθμητικών αναλύσεων με πεπερασμένα στοιχεία, που πραγματοποιήθηκαν με τον κώδικα Η/Y NSYS (004). Στην ανάλυση θεωρήθηκε τυπικός αγωγός μεταφοράς φυσικού αερίου, με εξωτερική διάμετρο 0.944m και πάχος 0.09m συνολικού μήκους 000m. Ο εν λόγω αγωγός προσομοιώθηκε με στοιχεία δοκού μήκους 0.50m. 5

Πίνακας. Ιδιότητες Χάλυβα PI5L-X65 Τάση Διαρροής (σ ) 490 MPa Τάση Αστοχίας (σ ) 53 MPa Παραμόρφωση Διαρροής (ε ) 0.33 % Παραμόρφωση Αστοχίας (ε ) 4.000 % Ελαστικό Μέτρο Young (Ε ) 0.000 GPa Εφαπτομενικό Μέτρο Young (Ε ).088 GPa Πίνακας. Ιδιότητες των εδαφικών ελατηρίων που χρησιμοποιήθηκαν στις αναλύσεις Είδος Ελατηρίων Δύναμη Αστοχίας (kn/m) Μετατόπιση Αστοχίας (mm) Αξονικά (τριβής) 40.5 3.0 Οριζόντια εγκάρσια 38.6.4 Κατακόρυφα προς τα άνω 5.0. Κατακόρυφα προς τα κάτω 360.0 00.0 3 3 ε a,max (%) ε b,max (%) 0 0 0.5.5 Δf / D 0 0 0.5.5 Δf / D 3 ε max (%) 0 0 0.5.5 0 0.5.5 Δf / D Δf / D Σχήμα 0. Σύγκριση των αναλυτικών προβλέψεων με τα αποτελέσματα αριθμητικών αναλύσεων σε όρους αναπτυσσόμενων παραμορφώσεων. ε min (%) 0 - - Αριθμητικές αναλύσεις Προτεινόμενη μεθοδολογία Ο χάλυβας του αγωγού ήταν του τύπου PI5L-X65, με διγραμμική σχέση τάσεωνπαραμορφώσεων και τις ιδιότητες που παρουσιάζονται στον Πίνακα. Για την προσομοίωση της αλληλεπίδρασης εδάφους-αγωγού, κάθε κόμβος του αγωγού συνδέθηκε με αξονικά και 6

εγκάρσια οριζόντια εδαφικά ελατήρια, των οποίων το ελεύθερο άκρο θεωρήθηκε πακτωμένο. Χρησιμοποιήθηκαν ελαστοπλαστικά ραβδωτά στοιχεία μήκους 0m, οι ιδιότητες των οποίων (Πίνακας ) υπολογίστηκαν σύμφωνα με τις οδηγίες της L-SCE (005), θεωρώντας επίχωμα άμμου μέσης πυκνότητας με γωνία τριβής φ36º, ειδικό βάρος γ8κν/m, και πάχος επικάλυψης.30m. H μετατόπιση του ρήγματος επιβλήθηκε στατικά, ως μετατόπιση της πακτωμένης βάσης των ελατηρίων, σε βήματα ίσα με 0.D, όπου D είναι η διάμετρος του αγωγού. Χάριν συντομίας, στο Σχήμα 0 παρουσιάζονται ακολούθως μόνον τα αποτελέσματα για κανονικό ρήγμα με γωνία βύθισης ψ70, το ίχνος του οποίου τέμνει τον άξονα του αγωγού υπό ορθή γωνία. Η σύγκριση αφορά στη μέγιστη αξονική παραμόρφωση ε a,max, τη μέγιστη καμπτική παραμόρφωση ε b,max, τη μέγιστη παραμόρφωση ε max και την ελάχιστη παραμόρφωση ε min, οι οποίες παρουσιάζονται συναρτήσει της επιβαλλόμενης μετατόπισης, αδιαστατοποιημένης ως προς τη διάμετρο D του αγωγού. Παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα της προτεινόμενης μεθοδολογίας συμφωνούν σε μεγάλο βαθμό με τα αριθμητικά, για όλο πρακτικά το εύρος των επιβαλλόμενων μετακινήσεων. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Παρουσιάστηκε μια νέα αναλυτική μεθοδολογία για τον υπολογισμό των παραμορφώσεων υπόγειων χαλύβδινων αγωγών, σε διασταυρώσεις με ενεργά κανονικά ρήγματα. Η εν λόγω μεθοδολογία είναι σαφώς προσεγγιστική. Σύγκριση όμως με ακριβή αποτελέσματα από 3-Δ μη-γραμμικών αριθμητικών αναλύσεων με πεπερασμένα στοιχεία έδειξε ότι είναι ικανοποιητικά ακριβής για μεγάλο εύρος εδαφικών μετατοπίσεων, με αποκλίσεις που δεν ξεπερνούν το 0%. Έτσι, σε συνδυασμό και με το γεγονός ότι ο προγραμματισμός του παρουσιασθέντος αλγορίθμου είναι σχετικά εύκολος, η εν λόγω μεθοδολογία ενδείκνυται για πρακτικές εφαρμογές, τουλάχιστον σε επίπεδο προμελέτης και υπό την προϋπόθεση ότι δεν εμφανίζονται φαινόμενα τοπικού ή ολικού λυγισμού του αγωγού. Σημειώνεται τέλος ότι, υπό την παρούσα μορφή της, η μέθοδος περιορίζεται σε περιπτώσεις ευθύγραμμων αγωγών και κανονικών ρηγμάτων, το ίχνος των οποίων τέμνει κάθετα τον άξονα του αγωγού. Ο υπολογισμός των παραμορφώσεων στην εξίσου συνήθη περίπτωση μη ορθής γωνίας τομής χάραξης-ρήγματος, μπορεί να προκύψει από ανάλυση της μετακίνησης του ρήγματος σε μία συνιστώσα «ορθής διάρρηξης» και σε μία άλλη συνιστώσα «οριζόντιας διάρρηξης», και ακόλουθη επαλληλία της λύσης που παρουσιάστηκε προηγουμένως με την αντίστοιχη λύση για ρήγματα οριζόντιας ολίσθησης των Karamitros et al (007). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ merican Lifelines lliance SCE. Guidelines for the Design of Buried Steel Pipe, July 00 (with addenda through February 005). NSYS 9.0 Documentation, NSYS Inc. (004). 7

SCE Technical Council on Lifeline Earthquake Engineering. Differential Ground Movement Effects on Buried Pipelines. Guidelines for the Seismic Design of Oil and Gas Pipeline Systems, 984:50-8. Calladine C.R. Theory of Shell Structures. Cambridge: Cambridge University Press, 983 CEN European Committee for Standardisation, Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance, Part 4: Silos, tanks and pipelines, Draft No, Ref. No. EN998-4: 003 (E), December 003. EERI. The Izmit (Kocaeli), Turkey Earthquake of ugust 7, 999. EERI Special Earthquake Report, 999. Karamitros D, Bouckovalas G, Kouretzis G. Stress analysis of buried steel pipelines at strikeslip fault crossings. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 007;7:00. Kennedy RP, Chow W, Williamson R. Fault Movement Effects on Buried Oil Pipeline. Transportation Engineering Journal, SCE 977;03:67-633. Newmark NM, Hall WJ. Pipeline Design to Resist Large Fault Displacement. Proceedings of the U.S. National Conference on Earthquake Engineering. nn rbor, University of Michigan,975: 46-45. Takada S, Hassani N, Fukuda K. New Proposal for Simplified Design of Buried Steel Pipes Crossing ctive Faults. Earthquake Engineering and Structural Dynamics 00;30:43-57. Uzarski J, rnold C. Chi-Chi, Taiwan, Earthquake of September, 999, Reconnaissance Report. Earthquake Spectra, The Professional Journal of the EERI 00;7(Supplement ). Wang LRL, Yeh Y. Refined Seismic nalysis and Design of Buried Pipeline for Fault Movement. Earthquake Engineering and Structural Dynamics 985;3:75-96. Γκεσούλη Βασιλική (007): Νέα Αναλυτική Μέθοδος Ελέγχου Υπόγειων Χαλύβδινων Αγωγών σε Διασταυρώσεις με Κανονικά Ρήγματα, Διπλωματική Εργασία, Τομέας Γεωτεχνικής, Ε.Μ.Π. 8