ΗΜΥ 681 Μοντέλα κόστους παραγωγής και αξιοπιστία συστημάτων

ΗΜΥ 681 Μοντέλα κόστους παραγωγής και αξιοπιστία συστημάτων Δρ. Ηλίας Κυριακίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ 2007 Ηλίας Κυριακίδης, Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κύπρου

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ Κοστολόγηση παραγωγής Καμπύλη διαρκείας φορτίου Αξιοπιστία συστημάτων ηλεκτρικής ισχύος Capacity outage tables Πιθανότητα απώλειας φορτίου (LOLP)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα μοντέλα κοστολόγησης παραγωγής είναι υπολογιστικά μοντέλα τα οποία υπολογίζουν διάφορες πληροφορίες για μακροπρόθεσμο σχεδιασμό του συστήματος. Για παράδειγμα, -- Κοστολόγηση παραγωγής του συστήματος παραγωγής -- Απαιτήσεις για εισαγωγή ενέργειας (από γειτονικά συστήματα) -- Διαθεσιμότητα ενέργειας για πώληση σε γειτονικά συστήματα -- Κατανάλωση καυσίμου Ανάγκη για πιθανοτικά (probabilistic) μοντέλα -- αβεβαιότητα στην πρόβλεψη φορτίου -- αβεβαιότητα στην αξιοπιστία μονάδων παραγωγής -- αντιμετώπιση επειγόντων περιστατικών.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα λογισμικά κοστολόγησης παραγωγής μοντελοποιούνται τα -- χαρακτηριστικά παραγωγής (generation characteristics) -- συστήματα ελέγχου παραγωγής (generation control systems) -- κόστος καυσίμου (fuel cost) -- οικονομική κατανομή φορτίου (economic dispatch) -- βέλτιστη ένταξη μονάδων (unit commitment) -- υδροθερμικός συντονισμός (hydrothermal coordination) -- αγοραπωλησίες ενέργειας μεταξύ περιοχών.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στοχαστικά μοντέλα κοστολόγησης παραγωγής -- Χρησιμοποιούνται για μακροπρόθεσμες μελέτες -- Ο κίνδυνος ξαφνικών και τυχαίων σφαλμάτων των μονάδων παραγωγής καθώς και τυχαίων παρεκκλίσεων (deviations) από την πρόβλεψη φορτίου αντιπροσωπεύεται με κατανομή πιθανότητας (probability distribution) -- Χρειάζονται μοντέλα φορτίου για περιόδους εβδομάδων, μηνών ή και χρόνων -- Το αναμενόμενο φορτίο (expected load) μπορεί να μοντελοποιηθεί με τη χρήση ωριαίων καμπύλων φορτίου (hourly load curves) -- Μοντελοποίηση προγραμματισμένης συντήρησης μονάδων (unit maintenance outages)

ΤΥΠΟΙ ΜΕΛΕΤΩΝ ΚΟΣΤΟΛΟΓΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Μοντέλο φορτίου Συνολική ενέργεια ή διάρκεια φορτίου Διάρκεια φορτίου ή κύκλοι φορτίου Διάρκεια φορτίου ή κύκλοι φορτίου Κύκλος φορτίου Περίοδος Εποχές ή χρόνια Μήνες ή εβδομάδες Μήνες, εβδομάδες ή μέρες Εβδομάδες ή μέρες Διαδικασία οικονομικής κατανομής Φόρτωση κατά μονάδα (block loading) Αυξητική φόρτωση (incremental loading) Αυξητική φόρτωση λαμβάνοντας υπόψη τις μη προγραμματισμένες διακοπές (forced outages) Αυξητική φόρτωση με απώλειες Μακροπρόθεσμος προγραμματισμός Τύπος μελέτης Κοστολόγηση καυσίμων Λειτουργικός προγραμματισμός Εβδομαδιαίος προγραμματισμός

p(l) L (MW) Load (MW) Καμπύλη διαρκείας φορτίου (Load duration curve) Αναμενόμενη ζήτηση φορτίου Καμπύλη διαρκείας φορτίου (load duration curve) Time (h) p(l) Ιστόγραμμα φορτίου Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function) Load (MW) Αθροιστική συνάρτηση κατανομής (cumulative distribution function) Load (MW) Πιθανότητα το φορτίο να ισούται με L MW Ελάχιστο φορτίο Μέγιστο φορτίο

T (h) Load (MW) Καμπύλη διαρκείας φορτίου (Load duration curve) -- Συνήθως, η καμπύλη διαρκείας φορτίου παρουσιάζεται σε μια άλλη μορφή με το φορτίο στον κάθετο άξονα. -- Πολλαπλασιάζουμε την πιθανότητα με την διάρκεια του φορτίου (π.χ. για ένα χρόνο με 8760 ώρες) 8760 0 Load (MW) 0 8760 Hours load equals or exceeds L MW

Load (MW) Load (MW) Φόρτωση κατά μονάδα (block loading) Μπορούμε να κάνουμε μια οικονομική κατανομή του φορτίου ανάλογα με το κόστος κάθε γεννήτριας θεωρώντας ότι οι μονάδες φορτώνονται πλήρως ή μέχρι το όριο της καμπύλης. 850 Παράδειγμα: Μέγιστο φορτίο 850 MW για το σύστημα της Κύπρου 750 1 αεριοστρόβιλος στο Βασιλικό 10 από τα 38 MW 3 από τις ατμογεννήτριες της Μονής 3 x 30 MW 390 Ατμογεννήτριες Δεκέλειας 6 x 60 MW Οι πιο φτηνές μονάδες είναι φορτωμένες τον περισσότερο χρόνο. Ατμογεννήτριες Βασιλικού 3 x 130 MW 0 8760 Hours load equals or exceeds L MW

Καμπύλη διαρκείας φορτίου (Load duration curve) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ότι σε ένα σύστημα έχουμε δυο μονάδες που θα τροφοδοτήσουν το ακόλουθο φορτίο: Από αυτά τα δεδομένα μπορούμε να κατασκευάσουμε μια καμπύλη διαρκείας φορτίου σε μορφή πίνακα ή σε γραφική μορφή. Φορτίο x (MW) Διάρκεια (h) p(x): πιθανότητα το φορτίο να ισούται με το x P n (x): Ώρες που το φορτίο είναι μεγαλύτερο ή ίσο από x Φορτίο x (MW) Διάρκεια (h) 100 20 80 60 40 20 0 0 100 20 0 100 40 20 100 60 0 80 80 60 80 100 20 20 100+ 0

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Οι δυο μονάδες έχουν τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Μονάδα 1 2 Ισχύς εξόδου (MW) Καύσιμο (MBtu/h) Κόστος καυσίμου ( /MBtu) Ρυθμός κόστους καυσίμου ( /h) 0 160 1 160 80 800 1 800 0 80 2 160 40 400 2 800 Διαφορικό κόστος (IC) ( /MWh) Πιθανότητα απώλειας μονάδας (forced outage rate) 8 0.05 16 0.1 -- Προς το παρόν θα αγνοήσουμε την πιθανότητα απώλειας μονάδας Και οι δύο μονάδες είναι 100% διαθέσιμες. -- Θα φορτωθεί πρώτα η μονάδα 1 αφού είναι πιο φτηνή και μετά η μονάδα 2 (block loading).

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Block loading: -- Η μονάδα 1 θα είναι δεσμευμένη για 100 ώρες 80 ΜW ισχύς εξόδου για 80 h 40 MW ισχύς εξόδου για 20 h -- Η μονάδα 2 θα είναι δεσμευμένη για 20 ώρες 20 MW ισχύς εξόδου για 20 h Μονάδα 1 Μονάδα 2 Κόστος παραγωγής μονάδας (ώρες λειτουργίας)*(κόστος καυσίμου χωρίς φορτίο) = (παραχθείσα ενέργεια)*(διαφορικό κόστος καυσίμου) + 1 = (100 h)*(160 /h) + (80 MW)*(80 h)*(8 /MWh) + (40 MW)*(20 h)*(8 /MWh) = 73600 2 = (20 h)*(160 /h) + (20 MW)*(20 h)*(16 /MWh) = 9600

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ Μη προγραμματισμένη διακοπή (forced outage rate) Διαθεσιμότητα και μη διαθεσιμότητα (availability and unavailability) Capacity outage table (COT) Αναμενόμενη παραγωγή

ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Ορισμός Α: Η αξιοπιστία είναι η πιθανότητα μιας συσκευής ή ενός συστήματος να εκτελεί τη διατεταγμένη λειτουργία επαρκώς, για τη χρονική περίοδο που ορίζεται, υπό προκαθορισμένους όρους λειτουργίας. - J. Endrenyi, Reliability Modeling in Electric Power Systems, John Wiley, New York, 1978 Ορισμός B: Η αξιοπιστία είναι η δυνατότητα του εξοπλισμού να εκτελεί διατεταγμένη λειτουργία υπό καθορισμένους όρους για μια καθορισμένη χρονική περίοδο. - IEEE Std 100-1988, IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronics Terms, John Wiley, New York, 1988.

ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ - RELIABILITY-RELATED DECISIONS Βελτιώσεις στην αξιοπιστία, για λιγότερες καταστροφές/βλάβες και επομένως χαμηλότερο κόστος των βλαβών, μπορεί να γίνουν μόνο με αύξηση των αρχικών επενδύσεων ή των λειτουργικών δαπανών. Cost Cost of failures Total Costs Investment and/or operating cost X Reliability improvement

ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ - RELIABILITY-RELATED DECISIONS Οι σχετικές με την αξιοπιστία αποφάσεις μπορούν να ταξινομηθούν ανάλογα με τον τύπο του προβλήματος, σύμφωνα με τα εξής: Λειτουργικές ρυθμίσεις (Operational Adjustments): Αντιστάθμιση (trade-off) της αξιοπιστίας συστημάτων έναντι των λειτουργικών ρυθμίσεων όπως η δέσμευση μονάδων, επανασύνδεση μονάδων, αλλαγές στη διάταξη του συστήματος (switching), ή περικοπή φορτίων. Δέσμευση μονάδων (Unit Commitment): Αντιστάθμιση (trade-off) της αξιοπιστίας συστημάτων έναντι της δέσμευσης μονάδων. Συντήρηση (Maintenance): Διαχείριση/συντήρηση του εξοπλισμού ώστε να μεγιστοποιηθεί η βελτίωση αξιοπιστίας γενικότερα. Αύξηση δυνατότητας (Facility Enhancement): Ενίσχυση συστήματος μέσω της εγκατάστασης νέου εξοπλισμού.

ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ - RELIABILITY-RELATED DECISIONS Οι σχετικές με την αξιοπιστία αποφάσεις μπορούν επίσης να ταξινομηθούν με βάση κάποιο χρονικό ορίζοντα. Ο χρονικός ορίζοντας απόφασης είναι το χρονικό διάστημα μεταξύ του παρόντος χρόνου και του χρόνου στον οποίο η απόφαση πρόκειται να εφαρμοστεί. Παραδοσιακή χρήση ορολογίας στα συστήματα ηλεκτρικής ενέργειας: «Operational»: αποφάσεις ενίσχυσης αξιοπιστίας για βραχυπρόθεσμα προβλήματα. «Planning»: αποφάσεις ενίσχυσης αξιοπιστίας για μακροπρόθεσμα προβλήματα.

ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ - RELIABILITY-RELATED DECISIONS Λειτουργικές αποφάσεις (Operational decisions): βραχυπρόθεσμος ορίζοντας απόφασης (λεπτά, ημέρες ή εβδομάδες). Λειτουργικός προγραμματισμός (Operational planning): χρονικός ορίζοντας ενδιάμεσης απόφασης (από ημέρες μέχρι 1 ή 2 έτη). Προγραμματισμός (Planning): μακροπρόθεσμος ορίζοντας απόφασης (που υπερβαίνει 1-2 έτη, κάπου μεταξύ 3-10 ετών). Types Operational adjustments Unit commitment Maintenance Facility enhancement Decision horizon Operational Operational Planning Planning second minute hour day week month year 3 years 10 years

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Η ανάλυση της αξιοπιστίας του συστήματος περιλαμβάνει βασικούς δείκτες και δείκτες επικινδυνότητας (severitybased indices). Οι βασικοί δείκτες απεικονίζουν την πιθανότητα, τη συχνότητα, ή τη διάρκεια απώλειας του φορτίου αλλά όχι το ποσοστό του φορτίου που χάνεται. Οι δείκτες επικινδυνότητας (severity-based indices) απεικονίζουν την πιθανότητα, τη συχνότητα, ή τη διάρκεια της απώλειας του φορτίου και το ποσοστό του φορτίου που χάνεται.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Βασικοί Δείκτες Πιθανότητα βλάβης του συστήματος: Το ποσοστό του χρόνου, μακροπρόθεσμα, στο οποίο μπορεί να υπάρξει συνθήκη πρόκλησης βλάβης. Αναμενόμενη συχνότητα απώλειας του φορτίου: Η συχνότητα παραμονής του εξοπλισμού σε συνθήκες βλάβης, ή η συχνότητα ύπαρξης βλάβης. Μέση διάρκεια της απώλειας του φορτίου: Αναμενόμενο χρονικό διάστημα σε καθεστώς βλάβης ανά ύπαρξη βλάβης. Εκτιμημένη απώλεια φορτίου (Loss of Load Expectation, LOLE): Το LOLE δίνει τον εκτιμημένο αριθμό ημερών σε ένα έτος που μπορεί να υπάρξει απώλεια φορτίου. Πιθανότητα απώλειας του φορτίου (Loss of Load Probability, LOLP): Είναι η πιθανότητα το φορτίο να είναι μεγαλύτερο από την ικανότητα παραγωγής.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Δείκτες επικινδυνότητας (severity-based indices) Εκτιμημένη μη παραδοτέα ζήτηση ανά χρόνο (expected unserved demand per year) Εκτιμημένη μη παραδοτέα ενέργεια ανά χρόνο (expected unserved energy per year) Λεπτά συστήματος (system minutes) Δίνει τη συνολική ενέργεια που δεν παραδίδεται ανά χρόνο σε συνάρτηση με ένα ισοδύναμο αριθμό λεπτών ανά χρόνο για τον οποίο μια ζήτηση ίση με το μέγιστο φορτίο θα διακοπτόταν.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Λεπτά συστήματος (system minutes) Παράδειγμα Σε ένα σύστημα με μέγιστο φορτίο 6000 MW, η συνολική ενέργεια που δεν παρέχεται ανά χρόνο είναι 1000 MWh. Τα λεπτά συστήματος είναι: 1000MWh 60min h6000mw 10 systemminutes Συμπέρασμα: Αυτό σημαίνει ότι μη παραδοτέα ενέργεια 1000 MWh για ένα χρόνο, είναι ισοδύναμο με την περίπτωση που το σύστημα θα είχε πλήρη συσκότιση για 10 λεπτά κατά τη διάρκεια της περιόδου μέγιστης ζήτησης.

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ Υπάρχουν τρεις παράγοντες αβεβαιότητας οι οποίοι είναι δυνατό να επηρεάσουν τη διαδικασία αξιολόγησης της αξιοπιστίας του συστήματος ηλεκτρικής ενέργειας. Δυστοκία Πρόβλεψης (Unpredictability): Εμφανίζεται όταν απαιτείται εναλλακτική αξιολόγηση στη βάση πρόβλεψης μελλοντικών γεγονότων ή συνθηκών. Ανακρίβεια (Imprecision): Εμφανίζεται όταν η εναλλακτική αξιολόγηση βασίζεται σε πληροφορίες που είναι λανθασμένες. Το λάθος μπορεί να προκληθεί από το προσεγγιστικό μοντέλο αξιολόγησης ή μπορεί να προκληθεί από την ανεπάρκεια πληροφοριών λόγω μεγάλου κόστους λήψης αυτών. Ασάφεια (Vagueness): Εμφανίζεται όταν η εναλλακτική αξιολόγηση για τη χρήση των επίκτητων πληροφοριών βασίζεται στην υποκειμενική κρίση των ανθρώπων και καθορίζεται χωρίς ακρίβεια μόνο το γενικό πλαίσιο των δεδομένων.

ΜΗ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ (UNAVAILABILITY) Unavailability = failed or outage period failed period + operating time Availability = 1 - Unavailability Αν μια μονάδα έχει διαθεσιμότητα 0.95 σημαίνει ότι μπορεί να λειτουργεί 95% του χρόνου που θα είναι ενωμένη στο δίκτυο, ενώ 5% του χρόνου θα βρίσκεται εκτός λειτουργίας λόγω αναγκαστικής διακοπής (σφάλματος). Αυτή η πιθανότητα που δίνεται στη διαθεσιμότητα ή μη διαθεσιμότητα μιας μονάδας ή ενός στοιχείου υπολογίζεται από δεδομένα που λαμβάνονται από την λειτουργία παρόμοιων μονάδων ή στοιχείων. Δεν σημαίνει ότι θα είναι ακριβώς έτσι! Τα σφάλματα είναι τυχαία.

ΜΕΤΑΘΕΣΗ (PERMUTATION) Είναι ο τρόπος με τον οποίο μπορούν να τοποθετηθούν n αντικείμενα τα οποία λαμβάνονται σε ομάδες των r αντικειμένων. P n r ( n n! r)! (n items taken r at a time) n( n 1)( n r 1) Αν έχουμε 8 γεννήτριες και θέλουμε να βρούμε τον αριθμό των τρόπων που μπορούν να δεσμευτούν σε ομάδες των 3: 8 8! P3 8.7.6 5! 336 τρόποι

ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΧΩΡΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΜΕ ΔΙΑΤΑΞΗ (ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ) Sampling without Replacement, with Ordering (permutations) Ένα σύστημα ηλεκτρικής ισχύος έχει 1000 γραμμές μεταφοράς. Ο μηχανικός του συστήματος μπορεί να πραγματοποιήσει προσομοιώσεις στο σύστημα για πιθανές διαδοχικές διπλές διακοπές λειτουργίας (διαδοχική απώλεια 2 στοιχείων). Π.χ. μια προσομοίωση μπορεί να περιγράψει τη διακοπή λειτουργίας της γραμμής α και έπειτα τη διακοπή λειτουργίας της γραμμής β. Αυτή η προσομοίωση θα διέφερε από αυτήν που περιγράφει τη διακοπή λειτουργίας της γραμμής β και έπειτα τη διακοπή λειτουργίας της γραμμής α. Η σειρά διακοπής είναι σημαντική! Θέλουμε να βρούμε το συνολικό αριθμό μεταθέσεων 1000 γραμμών που λαμβάνονται δυο κάθε φορά (κριτήριο Ν-2). N A N N 1N 2... N r 1 N! N r! P 1000! 1000 2 1000 2! 999,000

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ (COMBINATIONS) Είναι ο αριθμός των διαφορετικών επιλογών r αντικειμένων από μια ομάδα n αντικειμένων χωρίς να δίνουμε σημασία στην τοποθέτηση των αντικειμένων σε κάθε επιλογή (άρα να μην υπάρχουν επιλογές που να έχουν τα ίδια αντικείμενα). C n r n Pr n! r! r!( n r)! Στο προηγούμενο παράδειγμα: C 8! 3!5! 8.7.6 3.2.1 8 3 56 συνδυασμοί

ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΧΩΡΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΧΩΡΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗ (ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ) Sampling without Replacement, without Ordering (combinations) Ένα σύστημα ηλεκτρικής ισχύος έχει 1000 γραμμές μεταφοράς. Ο μηχανικός του συστήματος θέλει να πραγματοποιήσει προσομοιώσεις στο σύστημα για πιθανή ταυτόχρονη διπλή διακοπή λειτουργίας (ταυτόχρονη απώλεια 2 στοιχείων). Καθορίστε το συνολικό αριθμό «ταυτόχρονων διακοπών λειτουργίας Ν-2». Επιλογή δύο στοιχείων ανά φορά από ένα δείγμα 1000 στοιχείων. «Δεν ξαναβάζουμε» την επιλογή πίσω στο δείγμα μετά από κάθε δοκιμή. O αριθμός τρόπων στον οποίο η δοκιμή μπορεί να πραγματοποιηθεί μειώνεται κατά ένα με κάθε επιλογή. Περαιτέρω, η σειρά διακοπής δεν παίζει κανένα ρόλο δεδομένου ότι η διακοπή λειτουργίας των γραμμών α και β είναι η ίδια με τη διακοπή λειτουργίας των γραμμών β και α. C N r N! r!n r! C 1000! 1000 2 2! 1000 2! 499,500

ΣΥΝΔΥΑΖΟΝΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ανεξάρτητα γεγονότα (independent events) P( A B) P( A). P( B) Η εμφάνιση (occurrence) ενός γεγονότος δεν επηρεάζει την πιθανότητα να εμφανιστεί ένα άλλο γεγονός. Π.χ. το ρίξιμο ενός ζαριού και το ρίξιμο ενός νομίσματος είναι ανεξάρτητα γεγονότα. 2. Ασυμβίβαστα γεγονότα (mutually exclusive events) Γεγονότα που δεν μπορούν να συμβούν την ίδια στιγμή. Π.χ. μια συσκευή δεν μπορεί να λειτουργεί και να μην λειτουργεί ταυτόχρονα.

ΣΥΝΔΥΑΖΟΝΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3. Συμπληρωματικά γεγονότα (complementary events) Αν δεν συμβεί το ένα γεγονός, θα συμβεί το άλλο. 4. Υπό συνθήκη γεγονότα (conditional events) Πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Α, δεδομένου ότι συνέβηκε το γεγονός Β. ) ( ) ( ) ( B P B A P B A P ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( A P B P B P A P B A P Αν Α και Β είναι ανεξάρτητα γεγονότα:

ΣΥΝΔΥΑΖΟΝΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5. Πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από δυο γεγονότα: P( A B) P( AήB ήκαι ταδυο) P( A) P( B) P( A B)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «η μη θερμή ημέρα να είναι θυελλώδης»; Η θερμοκρασία του περιβάλλοντος και η ταχύτητα του αέρα είναι σημαντικές στον καθορισμό της ικανότητας μεταφοράς ενέργειας σε μια γραμμή μεταφοράς. Ένας ιδιοκτήτης γραμμών μεταφοράς θέλει να μεγιστοποιήσει την δυνατότητα πώλησης ενέργειας για μια συγκεκριμένη γραμμή προκειμένου να μεγιστοποιηθούν τα κέρδη του. Εντούτοις, πρέπει να αποφασίσει στη βάση της δυνατότητας που θα διαθέτει ανά ημέρα. Επομένως πρέπει να προβλέψει τη θερμοκρασία και τον αέρα. Ας θεωρήσουμε το γεγονός «θερμή ημέρα» ως γεγονός Α και το γεγονός «θυελλώδης ημέρα» ως γεγονός Β. Η καιρική πρόβλεψη δείχνει ότι η πιθανότητα μιας θυελλώδους ημέρας είναι 0.80, η πιθανότητα μιας θερμής ημέρας είναι 0.30, και η πιθανότητα μιας θερμής και θυελλώδους ημέρας είναι 0.28. Είναι τα γεγονότα Α και Β ανεξάρτητα; Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «η θυελλώδης ημέρα να είναι θερμή»; Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «η θερμή ημέρα να είναι θυελλώδης»; Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «θυελλώδους και μη θερμού»; Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «η θυελλώδης ημέρα να είναι μη θερμή»;

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ P(A) = 0.30, P(B)= 0.80, P( A B) 0. 28 Είναι τα γεγονότα Α και Β ανεξάρτητα; Δεν ισχύει. 0.28 P( A B) P( A). P( B) 0.24. Άρα δεν είναι ανεξάρτητα. Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «η θυελλώδης ημέρα να είναι θερμή»; P( A B) 0.28 P( A B) P( B) 0.8 Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «η θερμή ημέρα να είναι θυελλώδης»; P( A B) 0.28 P( B A) P( A) 0.3 0.35 0.933

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «θυελλώδης και μη θερμή μέρα»; P( B A') P( B) P( B A) 0.8 0.28 0.52 Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «η θυελλώδης ημέρα να είναι μη θερμή»; P( A' B) 0.52 P( A' B) P( B) 0.8 0.65 Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «η μη θερμή ημέρα να είναι θυελλώδης»; P( B A') 0.52 0.52 P( B A') 0.7428 P( A') 1 P( A) 0.7

ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (BINOMIAL DISTRIBUTION) Κάθε δοκιμή (trial) έχει δυο εκβάσεις (outcomes): p και q. p: επιτυχία q: αποτυχία Αν x είναι μια τυχαία μεταβλητή που δηλώνει των αριθμό των επιτυχιών σε n δοκιμές, n x nx p( x) p (1 p), x 0,1,2,..., n x Αναμενόμενη τιμή (expected value) (expectation) (μέση τιμή) E( x) x. p( x)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ένα σύστημα ηλεκτρικής ενέργειας τροφοδοτείται από συνολικά 150 μονάδες παραγωγής. Υπολογίστε την πιθανότητα διακοπής λειτουργίας (α) 2, (β) 5, και (γ) 10 μονάδων τροφοδοσίας ταυτόχρονα, δεδομένου ότι το ποσοστό διακοπής λειτουργίας (outage rate) κάθε μονάδας είναι (i) 6%, (ii) 3%, και (iii) 1%. (α) Πιθανότητα δυο μονάδων εκτός λειτουργίας - με βάση τα διάφορα ποσοστά διακοπής λειτουργίας Pr[ X Pr[ X Pr[ X 2,150,0.06] 2,150,0.03] 2,150,0.01] 150! 0.06 2!(148)! 150! 0.03 2!(148)! 150! 2!(148)! 0.01 2 2 2 (0.94) (0.97) (0.99) (148) (148) (148) 0.00424 0.11084 0.25250 Η πιθανότητα να τεθούν δυο μονάδες εκτός λειτουργίας είναι υψηλότερη για το χαμηλότερο ποσοστό διακοπής λειτουργίας 1%.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (β) Πιθανότητα πέντε μονάδων εκτός λειτουργίας - με βάση τα διάφορα ποσοστά διακοπής λειτουργίας Pr[ X 5,150,0.06] 150! 0.06 5!(145)! 5 (0.94) (145) 0.05839 Pr[ X 5,150,0.03] 150! 5!(145)! 0.03 5 (0.97) (145) 0.17359 Pr[ X 5,150,0.01] 150! 5!(145)! 0.01 5 (0.99) (145) 0.01378 Η πιθανότητα να τεθούν πέντε μονάδες εκτός λειτουργίας υψηλότερη όταν το ποσοστό διακοπής λειτουργίας είναι 3%. είναι

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (γ) Πιθανότητα δέκα μονάδων εκτός λειτουργίας - με βάση τα διάφορα ποσοστά διακοπής λειτουργίας Pr[ X Pr[ X 10,150,0.06] 10,150,0.03] 150! 0.06 10!(140)! 150! 10!(140)! 0.03 (0.94) (0.97) 0.12230 0.00971 150! 10 (140) Pr[ X 10,150,0.01] 0.01 (0.99) 0.00000 10!(140)! Η πιθανότητα να τεθούν δέκα μονάδες εκτός λειτουργίας είναι υψηλότερη όταν το ποσοστό διακοπής λειτουργίας είναι 6%. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα (α), (β), και (γ), παρατηρούμε ότι η πιθανότητα να τεθεί ένα μικρός αριθμός μονάδων εκτός λειτουργίας είναι μεγαλύτερη όταν το ποσοστό διακοπής λειτουργίας είναι χαμηλό, και η πιθανότητα να τεθεί ένα μεγάλος αριθμός μονάδων εκτός λειτουργίας είναι μεγαλύτερη όταν το ποσοστό διακοπής λειτουργίας είναι ψηλό. 10 10 (140) (140)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΗ ΕΠΙΣΚΕΥΑΣΙΜΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ FUNDAMENTALS OF NON- REPAIRABLE COMPONENTS Μέρος του εξοπλισμού θεωρείται μη επισκευάσιμο, δηλαδή λειτουργεί έως ότου καταστραφεί, και έπειτα αντικαθίσταται από ένα νέο σύστημα, δηλαδή ο εξοπλισμός ανανεώνεται πλήρως. Έστω Τ μια τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει το χρόνο μέχρι την καταστροφή του εξοπλισμού, και έστω f(t) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function) (pdf) για το Τ. Το f(t) ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας αποτυχίας (failure density function). Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής (cumulative distribution function) (cdf) που αντιστοιχεί στο f(t) συμβολίζεται με Q(t). Δίνεται από τη σχέση μεταξύ cdf και pdf (Q(t) και f(t)). Q( t) Pr( T t) f ( ) d t 0

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΗ ΕΠΙΣΚΕΥΑΣΙΜΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ FUNDAMENTALS OF NON- REPAIRABLE COMPONENTS Δεδομένου ότι το Q(t) δίνει την πιθανότητα καταστροφής του εξοπλισμού σε χρόνο t, τότε το Q(t) είναι μέτρο της αναξιοπιστίας του εξοπλισμού. Το συμπλήρωμά του 1-Q(t) δίνει την πιθανότητα του εξοπλισμού να μην καταστραφεί στο χρόνο t, επομένως είναι μέτρο της αξιοπιστίας του εξοπλισμού. Αυτή η συνάρτηση αναφέρεται συχνά ως η «συνάρτηση επιβίωσης» και συμβολίζεται με R(t). R( t) Pr( T t) 1 Q( t) 1 0 Η παράγωγος της συνάρτησης επιβίωσης είναι: dr( t) dt f t ( t) f ( ) d f ( ) d t

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΗ ΕΠΙΣΚΕΥΑΣΙΜΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η αξιοπιστία ενός εξοπλισμού περιγράφεται από τη συνάρτηση R( t) 2 2 t όπου το t είναι σε χρόνια. Να υπολογίσετε την περίοδο εγγύησης που πρέπει να έχει ο εξοπλισμός, δεδομένου ότι η πιθανότητα καταστροφής του εξοπλισμού κατά την εγγυημένη περίοδο είναι 0.01. Η πιθανότητα καταστροφής κατά τη δεδομένη περίοδο είναι: Q(t)=Pr(T>t)=1-R(t). Στόχος είναι να βρεθεί το t δεδομένου ότι Q(t)=0.01. 3 1 2 2 t 3 0.01 2 t 2 3 1 1.01 1.0101 t 3 0.0202 t 0.272 χρόνια Συμπέρασμα: Εάν ο κατασκευαστής δεν επιθυμεί να αντικαθιστά περισσότερο από το 1% του συνόλου του υπό κρίση εξοπλισμού, τότε η εγγύηση θα πρέπει να είναι 0.272 χρόνια, δηλαδή περίπου 3 μήνες.

Μη προγραμματισμένη διακοπή (forced outage) Είναι η διακοπή της λειτουργίας μιας μονάδας, γραμμής ή στοιχείου λόγω σφάλματος. Η πιθανότητα μη προγραμματισμένης διακοπής πρέπει να ληφθεί υπόψη στην κοστολόγηση της λειτουργίας κάθε στοιχείου και στην αξιοπιστία του συστήματος. Η μη προγραμματισμένη διακοπή μιας μονάδας (forced outage of a generator unit) είναι ο χρόνος κατά τον οποίο η μονάδα δεν είναι διαθέσιμη λόγω σφάλματος. -- Είναι τυχαίο γεγονός -- Αφαιρείται από τον συνολικό χρόνο κατά τον οποίο η μονάδα έπρεπε να ήταν σε λειτουργία -- Οι προγραμματισμένες διακοπές λειτουργίας (π.χ. λόγω συντήρησης) δεν συμπεριλαμβάνονται στον συνολικό χρόνο, ούτε στον χρόνο μη προγραμματισμένης διακοπής. hours OUT because of forced outage Forced outage rate = 8760-hours out for maintenance (planned)

Μη προγραμματισμένη διακοπή (forced outage) Το forced outage rate (FOR) μπορεί να υπολογιστεί για μια περίοδο ή για ένα χρόνο. Συνήθεις τιμές για το FOR: 0.0001 0.003 Το FOR αυξάνεται με το μέγεθος της μονάδας (για θερμικές μονάδες) Το FOR συνήθως μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της ζωής μιας μονάδας

ΣΤΗΝ ΜΠΑΝΙΕΡΑ Η μεταβολή του FOR κατά τη διάρκεια της χρήσιμης ζωής μιας μονάδας παραγωγής μπορεί να αναπαρασταθεί με μια καμπύλη που είναι γνωστή ως bathtub curve. Early failure period (infant mortality period) FOR Constant failure period (random failures) Increasing failure period (wear-out failures) Ομοιότητες με τον άνθρωπο Χρόνος

CAPACITY OUTAGE TABLE Πίνακας που δείχνει την πιθανότητα να υπάρχει διαθέσιμη ή μη διαθέσιμη παραγωγή. Πιθανότητα να είναι διαθέσιμη η συγκεκριμένη τιμή της παραγωγής Διαθέσιμη (Available) A Μη διαθέσιμη (Unavailable) U p P Αθροιστική πιθανότητα (cumulative probability) η παραγωγή να είναι Α ή μικρότερη

CAPACITY OUTAGE TABLE ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Κατασκευάστε το capacity outage table για ένα σύστημα με δυο γεννήτριες 10 MW με FOR = 0.001. A (MW) U (MW) p P 0 20 10 10 20 0 10-3 *10-3 = 10-6 10-6 2*0.001*0.999 = 1.998*10-3 1.999*10-3 0.999 2 = 0.998001 1

CAPACITY OUTAGE TABLE ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ένα σύστημα έχει δυο γεννήτριες 20 MW και 1 γεννήτρια 30 MW. Η πιθανότητα απώλειας των γεννητριών είναι 0.1. Κατασκευάστε το capacity outage table. Μπορεί να είναι σε λειτουργία είτε η μια είτε η άλλη A (MW) U (MW) p P 0 70 (0.1) 3 = 0.001 0.001 20 50 2*0.9*0.1*0.1 = 0.018 0.019 30 40 0.9*0.1*0.1 = 0.009 0.028 40 30 0.9*0.9*0.1 = 0.081 0.109 50 20 2*0.9*0.9*0.1 = 0.162 0.271 70 0 (0.9) 3 = 0.729 1

CAPACITY OUTAGE TABLES (COTs) Συνήθως, γεγονότα με χαμηλή πιθανότητα (low probability events) είναι πολύ σημαντικά. Η κύρια χρήση των COTs είναι ο υπολογισμός του αναμενόμενου περιθωρίου παραγωγής (expected generation margin) και η πιθανότητα απώλειας φορτίου (loss of load probability) (LOLP). Για κάποιες από αυτές τις εφαρμογές πρέπει να χρησιμοποιηθεί η καμπύλη διαρκείας φορτίου.

ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ E ( ) Στο προηγούμενο παράδειγμα: p i A i A (MW) U (MW) p P 0 70 (0.1) 3 = 0.001 0.001 20 50 2*0.9*0.1*0.1 = 0.018 0.019 30 40 0.9*0.1*0.1 = 0.009 0.028 40 30 0.9*0.9*0.1 = 0.081 0.109 50 20 2*0.9*0.9*0.1 = 0.162 0.271 70 0 (0.9) 3 = 0.729 1 E(A) = 0*0.001+20*0.018+30*0.009+40*0.081+50*0.162+70*0.729 = 63 MW

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΠΩΛΕΙΑΣ ΦΟΡΤΙΟΥ Πιθανότητα απώλειας φορτίου: loss of load probability (LOLP) Είναι η πιθανότητα το φορτίο να είναι μεγαλύτερο από την ικανότητα παραγωγής. LOLP = Ώρες τον χρόνο που (παραγωγή-φορτίο < 0) 8760 ώρες/χρόνο Θέλουμε το LOLP να είναι όσο πιο μικρό γίνεται.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΠΩΛΕΙΑΣ ΦΟΡΤΙΟΥ Βρείτε το LOLP για ένα σύστημα δυο γεννητριών 100 MW με FOR = 0.01 η κάθε μια. Το φορτίο του συστήματος περιγράφεται από την πιο κάτω καμπύλη διαρκείας φορτίου (load duration curve). L (MW) 150 100 A (MW) p t x (years) 0 0.01 2 = 10-4 1 100 2*0.99*0.01 = 0.0198 0.5 200 0.99 2 = 0.9801 0 t x : Χρόνος για τον οποίο δεν ικανοποιείται το φορτίο 50 E( t x ) LOLP 1/2 1 LOLP p i t x i T (χρόνια) 1*10 years 0.01 year 4 0.5*0.0198 0*0.9801 87.60 hrs year days 3.65 year years 0.01 year Πολύ ψηλό

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΑΠΩΛΕΙΑΣ ΦΟΡΤΙΟΥ Ο στόχος είναι να σχεδιάζουμε τα συστήματα ηλεκτρικής ισχύος ούτως ώστε να έχουμε χαμηλό LOLP. Στις ΗΠΑ, ο στόχος είναι το LOLP να είναι 1 μέρα σε 20 χρόνια.

EXPECTED ENERGY UNSERVED Στο προηγούμενο παράδειγμα, βρείτε την αναμενόμενη ενέργεια που δεν τροφοδοτείται (expected energy unserved), W. A (MW) p W (MWyears) 0 10-4 100 100 0.0198 12.5 200 0.9801 0 Όλη η επιφάνεια κάτω από την LDC 50*1+100*1/2 L (MW) 150 100 50 1/2 1 T (χρόνια) E(W) = 0.0001*100+0.0198*12.5+0.9801*0 = 0.2575 MWyears = 2255.7 MWh Αναμενόμενη ενέργεια που δεν θα μπορούμε να τροφοδοτήσουμε Θα πρέπει να την αγοράσουμε από αλλού για να καλύψουμε τις ανάγκες μας από συνήθη σφάλματα. Όσο πιο μικρός αυτός ο αριθμός, τόσο το καλύτερο.

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Οι LOLP και E(W) είναι δυο από τους δείκτες που χρησιμοποιούνται. Πως μπορούμε να βελτιώσουμε τους LOLP και E(W); -- Προσθήκη μονάδων παραγωγής (πολύ ακριβό, αλλά ο καλύτερος τρόπος) -- Βελτίωση των γραμμών μεταφοράς που συνδέουν δυο περιοχές -- Πρόσβαση σε φθηνή παραγωγή εκτός του συστήματος -- Να μειωθεί το FOR (συνήθως αυτό δεν είναι δυνατό)

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Στο προηγούμενο παράδειγμα, βρείτε το LOLP αν προσθέσουμε ακόμα μια μονάδα 100 MW με FOR = 0.01. A (MW) p t x (years) 0 0.01 3 = 10-6 1 100 3*0.99*0.01 2 = 2.97*10-4 0.5 200 3*0.99 2 *0.01 = 0.029403 300 0.99 3 = 0.970299 0 0 L (MW) 150 100 50 1/2 1 T (χρόνια) LOLP p i t x i 1*10 6 0.5* 2.97*10 4 Προηγουμένως ήταν 0.01 years/year 0*0.029403 0*0.970299 years 0.0011485 year