Ενότητα 4 ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Ενότητα 4 ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Γενικές Γραμμές Λογικές Συναρτήσεις 2 Επιπέδων Συμπλήρωμα Λογικής Συνάρτησης Πίνακας Αλήθειας Κανονική Μορφή Αθροίσματος Γινομένων Λίστα Ελαχιστόρων Κανονική Μορφή Γινομένου Αθροισμάτων Λίστα Μεγιστόρων Αλγεβρική Απλοποίηση Πρότυπη Μορφή Λογικό Κύκλωμα 2 Επιπέδων Βλέπε: Βιβλίο Wakerly Παράγραφοι 4..5, 4..6, 4.3.3 Βιβλίο Mano Παράγραφοι 2.5, 2.6, 2.7

Λογικές Συναρτήσεις (Συναρτήσεις Boole) Αλγεβρικές εκφράσεις αποτελούμενες από: Δυαδικές λογικές μεταβλητές με τιμές ή Δυαδικούς λογικούς τελεστές τελεστής λογικού πολλαπλασιασμού ( ) τελεστής λογικής πρόσθεσης (+) τελεστής λογικού συμπληρώματος ( ) Παρενθέσεις και το ίσον (=) F = F(X,X 2,..,X n,,+, ) n Υπάρχουν 2 2 διαφορετικές λογικές συναρτήσεις n δυαδικών μεταβλητών

Συμπλήρωμα Λογικής Συνάρτησης (Ι) Ορισμός Για κάθε συνάρτηση F : F = F(X,X 2,..,X n,,+, ) ορίζεται μία συμπληρωτική συνάρτηση F : F = F(X,X 2,..,X n,+,, ) τέτοια ώστε : F =, όταν F =, και F =, όταν F = Παράδειγμα : F = A B F = A +B Α Β F F = A B Α Β F F = Α +Β = (A B)

Συμπλήρωμα Λογικής Συνάρτησης (ΙΙ) Πως προκύπτει η συμπληρωματική συνάρτηση: Ησυμπληρωματικήσυνάρτησηπροκύπτει από την κανονική με εναλλαγή των μεταβλητών (από κανονικές σε συμπληρωματικές και αντίστροφα) και εναλλαγή των τελεστών (από + σε και αντίστροφα, χωρίς να αλλάξει όμως η ιεραρχία των πράξεων Εάν η κανονική συνάρτηση F είναι: F = Α Β + Α Β τότε η συμπληρωτική συνάρτηση F είναι: F = (Α + Β) (Α + Β )

Συμπλήρωμα Λογικής Συνάρτησης (ΙΙ) Γενικευμένο θεώρημα De Morgan Εάν η κανονική συνάρτηση F είναι: F = Α Β + Α Β τότε η συμπληρωτική συνάρτηση F είναι: F = (Α + Β) (Α + Β ) όπως αποδεικνύεται αναλυτικά με τη διαδοχική εφαρμογή των Θ. De Morgan: F = (AB +A B) = (AB ) (A B) = (A +B) (A+B )

Άσκηση 4. Να βρεθεί η συμπληρωματική της λογικής συνάρτησης F(X,Y,Z,W) = X + Y (Z + W)

Λογικές Συναρτήσεις 2 μεταβλητών Α Β F F F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F F F2 F3 F4 F5 F = F5 = F2 = A F3 = A F = B F5 = B F8 = AB F7 = (AB) = A +B F4 = A+B F = (A+B) = A B F2 = A B F3 = (A B) = A+B F4 = AB F = (AB ) = A +B F6 = A B+AB = A B F9 = AB+A B = (A B) Ο δείκτης της συνάρτησης σχετίζεται με τις τιμές της, σύμφωνα με το δυαδικό σύστημα

Πίνακας Αλήθειας Ο Πίνακας Αλήθειας μίας Συνάρτησης με n μεταβλητές έχει : 2 n σειρές και 2 στήλες. Σε κάθε σειρά αντιστοιχεί ένας n-ψήφιος δυαδικός αριθμός. Οι σειρές αριθμούνται από το μέχρι το 2 n -, που είναι και η τιμή του αντίστοιχου n-ψήφιου δυαδικού αριθμού. Σε κάθε σειρά ο n-ψήφιος δυαδικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα και μόνο ένα συνδυασμό τιμών και των n δυαδικών μεταβλητών της συνάρτησης. Στην πρώτη στήλη βάζουμε όλους τους δυνατούς n-ψήφιους δυαδικούς αριθμούς Στη δεύτερη στήλη βάζουμε την τιμή της συνάρτησης ( ή )

Πίνακας Αλήθειας (Παράδειγμα : Πύλη AND με 3 εισόδους) 2 3 A B C F 4 5 6 7 A B C F Α Β C F = A B C F = = F Εάν Α = Β = C =, τότε F = αλλιώς F =

Πίνακας Αλήθειας (Παράδειγμα 2: Πύλη NOR με 3 εισόδους) 2 3 A B C F 4 5 6 7 A B C F Α Β C F = A B C F = () () () = = F Εάν Α = Β = C =, τότε F = αλλιώς F =

Πίνακας Αλήθειας (Παράδειγμα 3: πολυπλέκτης 2 σε ) S A A 2 F S A A 2 4 5 F A A 2 multiplexer MUX F 2 6 S= 3 7 A A 2 F Εάν S =, τότε F = Α Εάν S =, τότε F = Α 2 F=S A + S A 2 S=

Ελαχιστόροι -Minterms Για κάθε σειρά του Πίνακα Αλήθειας ορίζεται ένας και μόνο ένας ελαχιστόρος το λογικό γινόμενο που περιλαμβάνει όλες τις n δυαδικές μεταβλητές (literals) X,X 2,,X n, και κάθε μεταβλητή εμφανίζεται : κανονικά (Χ ι ), εάν έχει τιμή με το συμπλήρωμά της (Χ ι ), εάν έχει τιμή στο αντίστοιχο ψηφίο του δυαδικού αριθμού Οι λογικές συναρτήσεις n δυαδικών μεταβλητών έχουν 2 n ελαχιστόρους

Ελαχιστόροι με 3 Μεταβλητές ΧΥΖ όροι Χ Υ Ζ Χ Υ Ζ Χ Υ Ζ Χ Υ Ζ σύμβ. m m m 2 m 3 ΧΥΖ όροι Χ Υ Ζ Χ Υ Ζ Χ Υ Ζ Χ Υ Ζ σύμβ. m 4 m 5 m 6 m 7 Ένας ελαχιστόρος (minterm) είναι το κανονικό λογικό γινόμενο που λαμβάνει τη τιμή σε μία και μόνο μία σειρά του Πίνακα Αλήθειας, όταν αντικαταστήσουμε τις λογικές μεταβλητές με τον αντίστοιχο συνδυασμό τιμών και. Π.χ. Εάν και μόνο εάν Χ=,Υ=,Ζ = τότε Χ Υ Ζ =,

Λογικές Συναρτήσεις 2 επιπέδων Κανονική Μορφή Αθροίσματος Γινομένων Η κανονική μορφή αθροίσματος γινομένων μίας λογικής συνάρτησης προκύπτει από τον πίνακα αλήθειας ως : το λογικό άθροισμα όλων εκείνων των ελαχιστόρων, που αντιστοιχούν σε σειρές του Πίνακα αλήθειας για τις οποίες η συνάρτηση έχει την τιμή

Κανονική Μορφή Αθροίσματος Γινομένων (παράδειγμα : πολυπλέκτης 2 σε ) S A A 2 F S A A 2 4 F 5 2 6 3 7 F = S A A 2 + S A A 2 + S A A 2 + S A A 2 =S A + S A 2

Λογικές Συναρτήσεις 2 επιπέδων Λίστα Ελαχιστόρων Η λίστα ελαχιστόρων (Σ) μίας λογικής συνάρτησης προκύπτει από τον πίνακα αλήθειας ως : το λογικό άθροισμα των συμβόλων (m i ) όλων εκείνων των ελαχιστόρων, που αντιστοιχούν σε συνδυασμό τιμών και τωνδυαδικώνμεταβλητώνγιατιςοποίες ησυνάρτησηέχειτηντιμή Οδείκτηςi του συμβόλου m i είναι η τιμή του αντίστοιχου δυαδικού αριθμού

Λίστα Ελαχιστόρων (παράδειγμα : πολυπλέκτης 2 σε ) S A A 2 F S A A 2 4 F 5 2 6 3 7 F(S, A, A2) = m 2 + m 3 + m 5 + m 7 F = Σ(2, 3, 5, 7)

Μεγιστόροι -Maxterms Για κάθε σειρά του Πίνακα Αλήθειας ορίζεται ένας και μόνο ένας μεγιστόρος το λογικό άθροισμα όλων των n δυαδικών μεταβλητών (literals) X,X 2,,X n, όπου κάθε μεταβλητή εμφανίζεται : κανονικά (Χ ι ), εάν έχει τιμή με το συμπλήρωμά της (Χ ι ), εάν έχει τιμή στο αντίστοιχο ψηφίο του δυαδικού αριθμού Οι λογικές συναρτήσεις n δυαδικών μεταβλητών έχουν 2 n μεγιστόρους

ΧΥΖ Μεγιστόροι με 3 Μεταβλητές όροι Χ+Υ+Ζ Χ+Υ+Ζ Χ+Υ +Ζ Χ+Υ +Ζ σύμβ. Μ Μ Μ 2 Μ 3 ΧΥΖ όροι Χ +Υ+Ζ Χ +Υ+Ζ Χ +Υ +Ζ Χ +Υ +Ζ σύμβ. Μ 4 Μ 5 Μ 6 Μ 7 Ένας μεγιστόρος (maxterm) είναι το κανονικό λογικό άθροισμα που λαμβάνει τη τιμή σε μία και μόνο μία σειρά του Πίνακα Αλήθειας, όταν αντικαταστήσουμε τις λογικές μεταβλητές με τον αντίστοιχο συνδυασμό τιμών και. Π.χ. Εάν και μόνο εάν Χ=,Υ=,Ζ = τότε Χ +Υ+Ζ =,

Σχέση Μεγιστόρων-Ελαχιστόρων Ο μεγιστόρος είναι το συμπλήρωμα του αντίστοιχου ελαχιστόρου m i = M i (Θ. De Morgan) Π.χ. m 3 = X Υ Ζ M 3 = (X + Y + Z ) = X Υ Ζ (Θ. De Morgan)

Λογικές Συναρτήσεις 2 επιπέδων Κανονική Μορφή Γινομένου Αθροισμάτων Η κανονική μορφή γινομένου αθροισμάτων μίας λογικής συνάρτησης προκύπτει από τον πίνακα αλήθειας ως : το λογικό γινόμενο όλων εκείνων των μεγιστόρων, που αντιστοιχούν σε συνδυασμό τιμών και των δυαδικών μεταβλητών για τις οποίες η συνάρτηση έχει την τιμή

Κανονική Μορφή Γινομένου Αθροισμάτων (παράδειγμα : πολυπλέκτης 2 σε ) S A A 2 F S A A 2 4 F 5 2 6 3 7 F = (S+A +A 2 ) (S+A +A 2 ) (S +A +A 2 ) (S +A +A 2 )

Λογικές Συναρτήσεις 2 επιπέδων Λίστα Μεγιστόρων Η λίστα μεγιστόρων (Π) μίας λογικής συνάρτησης προκύπτει από τον πίνακα αλήθειας ως : το λογικό γινόμενο των συμβόλων (Μ i ) όλων εκείνων των μεγιστόρων, που αντιστοιχούν σε συνδυασμό τιμών και τωνδυαδικώνμεταβλητώνγιατις οποίες η συνάρτηση έχει την τιμή Οδείκτηςi του συμβόλου Μ i είναι η τιμή του αντίστοιχου δυαδικού αριθμού

Λίστα Μεγιστόρων (παράδειγμα : πολυπλέκτης 2 σε ) 2 3 S A A 2 F S A A 2 4 5 6 7 F F(S,A,A2) = Μ Μ Μ 4 Μ 6 F = Π(,, 4, 6)

Κανονικές & Συμπληρωματικές Λ.Σ. (κανονικές μορφές) Κανονική Λ. Σ. Άθροισμα ελαχιστόρων για F = Γινόμενο μεγιστόρων για F = Συμπληρωματική Λ. Σ. Άθροισμα ελαχιστόρων για F = Γινόμενο μεγιστόρων για F = Προσοχή: Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με τα αθροίσματα ελαχιστόρων

Κανονικές & Συμπληρωματικές Λ.Σ. (παράδειγμα : πολυπλέκτης 2 σε ) S A A 2 F S A A 2 m M m M m 2 M 2 m 3 M 3 F m 4 M 4 m 5 M 5 m 6 M 6 m 7 M 7 F = Σ(2, 3, 5, 7) F = Π(,, 4, 6) F = Σ(,, 4, 6) F = Π(2, 3, 5, 7)

Δυνατές Αναπαραστάσεις Λογικών Συναρτήσεων Πίνακας Αλήθειας Αλγεβρικό Άθροισμα Γινομένων Λίστα Ελαχιστόρων (Σ) Αλγεβρικό Γινόμενο Αθροισμάτων Λίστα Μεγιστόρων (Π) Προσοχή: Το αλγεβρικό γινόμενο αθροισμάτων μίας λογικής συνάρτησης F προκύπτει όπως θα δείξουμε στην άσκηση 4.2.

Άσκηση 4.2 Να βρεθούν το αλγεβρικό άθροισμα γινομένων και η λίστα ελαχιστόρων της λογικής συνάρτησης F με Πίνακα Αλήθειας : X Y Z F X Y Z F Nα γίνει το ίδιο και για τη συμπληρωματική συνάρτηση F. Να μετατραπεί η συμπληρωματική συνάρτηση F στην κανονική συνάρτηση F. Με αυτή την μετατροπή προκύπτει η συνάρτηση F σε αλγεβρικό γινόμενο αθροισμάτων χωρίς τη χρήση μεγιστόρων.

Αλγεβρική Απλοποίηση Λογικής Συνάρτησης Κυρίως χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα : Χ Χ = Χ+Χ = Χ Χ = Χ Χ+Χ = Χ Χ = Χ = Χ Χ+ = +Χ = Χ Χ = Χ = Χ+ = +Χ = (Χ Υ)+Ζ = (Χ+Ζ) (Υ+Ζ) (Χ+Υ) Ζ = (Χ Ζ)+(Υ Ζ) Χ (Χ+Υ) = Χ Χ+(Χ Υ) = Χ (Χ Y) = Χ +Y (Χ+Y) = Χ Υ

Αλγεβρική Απλοποίηση Κανονικής Μορφής Αθροίσματος Γινομένων (παράδειγμα : πολυπλέκτης 2 σε ) F = S A A 2 + S A A 2 + S A A 2 + S A A 2 = S A (A 2 +A 2 ) + S A 2 (A +A ) = S A + S A 2

Αλγεβρική Απλοποίηση Κανονικής Μορφής Αθροίσματος Γινομένων (παράδειγμα χρήσης του ιδίου όρου περισσότερες από μία φορές) F = Χ Υ Ζ + Χ Υ Ζ + Χ Υ Ζ = Χ Υ Ζ + Χ Υ Ζ + Χ Υ Ζ + Χ Υ Ζ = Χ Ζ (Υ + Υ ) + Χ Υ (Ζ + Ζ ) = Χ Ζ + Χ Υ

Αλγεβρική Απλοποίηση Χ (Χ +Υ) = Χ Υ Χ+(Χ Υ) = Χ+Υ Απόδειξη: Χ (Χ +Υ) = (Χ Χ )+(Χ Υ) = +(Χ Υ) = Χ Υ Χ+(Χ Υ) = (Χ+Χ ) (Χ+Υ) = (Χ+Υ) = Χ+Υ επιμ/κός ν. ν. συμπλ. ουδ. στοιχ.

Άσκηση 4.3 Να απλοποιηθούν οι κανονικές μορφές αθροίσματος γινομένων των συναρτήσεων F και F της Άσκησης 4.2. Να μετατραπεί η συμπληρωματική συνάρτηση F στην κανονική συνάρτηση F. Με αυτή την μετατροπή προκύπτει η συνάρτηση F σε αλγεβρικό γινόμενο αθροισμάτων χωρίς τη χρήση μεγιστόρων.

Πρότυπες Μορφές Λογικών Συναρτήσεων Αθροίσματα Γινομένων Γινόμενα Αθροισμάτων τωνοποίωνοιόροιδενέχουνόλεςτιςμεταβλητές (literals) προκύπτουν από τις κανονικές μορφές μετά από απλοποίηση παραδείγματα : F = S A + S A 2 F = (A+B ) C

Μετατροπή Πρότυπων Μορφών σε Κανονικές Μορφές Αθροίσματα Γινομένων πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο της συνάρτησης με (Χ+Χ ), όπου Χ η μεταβλητή που δεν υπάρχει και εφαρμόζουμε τον επιμεριστικό νόμο Γινόμενα Αθροισμάτων προσθέτουμε σε κάθε όρο της συνάρτησης το (Χ Χ ), όπου Χ η μεταβλητή που δεν υπάρχει και εφαρμόζουμε τον επιμεριστικό νόμο

Μετατροπή Πρότυπων Μορφών σε Κανονικές Μορφές Αθροίσματα Γινομένων F = S A +SA 2 = S A (A 2 +A 2 )+SA 2 (A +A ) = S A A 2 + S A A 2 +SA A 2 +SA A 2 Γινόμενα Αθροισμάτων F = (A+B )C = (A+B +C C ) (A A +B B +C) = (A+B +C) (A+B +C ) (A+B+C) (A +B+C) (A+B +C) (A +B +C) = (A+B +C) (A+B +C ) (A+B+C) (A +B+C) (A +B +C) Θα περιοριστούμε στα αθροίσματα γινομένων

Λογικό Κύκλωμα από Λογική Συνάρτηση Δύο Επιπέδων Προκύπτει κατευθείαν από τη λογική συνάρτηση με αντικατάσταση των δυαδικών λογικών τελεστών με λογικές πύλες με αντικατάσταση των δυαδικών λογικών μεταβλητών με δυαδικά σήματα Η αλγεβρική απλοποίηση έχει σαν στόχο τη μείωση του κόστους του λογικού κυκλώματος

Λογικά Κυκλώματα (Παράδειγμα : Πολυπλέκτης 2 σε ) A A 2 S A A 2 multiplexer MUX F S S A A 2 S A A 2 SA A 2 SA A 2 κανονική μορφή 3 ΙΝV F = S A A 2 + S A A 2 + S A A 2 + S A A 2 F 4 ΑΝD-3 OR-4

Λογικά Κυκλώματα (Παράδειγμα : Πολυπλέκτης 2 σε ) S A A 2 A A 2 multiplexer MUX F S A SA 2 απλοποιημένη μορφή S F = S A + S A 2 F INV 2 ΑΝD-2 OR-2

Άσκηση 4.4 Να σχεδιασθούν τα λογικά κυκλώματα πριν και μετά την αλγεβρική απλοποίηση των συναρτήσεων F και F της Άσκησης 4.2