ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 015 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμπτη, 1 Μαΐου 015 8:00 11:00 ΜΕΡΟΣ Α ΛΥΣΕΙΣ 1. Κύβος έχει ακμή 5cm. Να βρείτε:. (α) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειάς του. (β) Τον όγκο του. (α) E 6α 65 150 cm (β) ολ V α 5 15 cm Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: y x 5x 18 6x 5. Ο αριθμός των τερμάτων που σημειώθηκαν αντίστοιχα στις πρώτες δέκα αγωνιστικές του Παγκύπριου Πρωταθλήματος Ποδοσφαίρου της Α Κατηγορίας ήταν: 1, 10, 1, 1, 8, 1, 9, 1, 9, 1 Να βρείτε: (α) Τη μέση τιμή του αριθμού των τερμάτων. (β) Τη διάμεσο του αριθμού των τερμάτων. (α) 1 10 1 1 8 1 9 1 9 1 110 x 11 10 10 1 1 4 (β) 8, 9, 9, 10, 1, 1, 1, 1, 1, 1 άρα: xδ 1 Σελ. 1 από 10
4. Να βρείτε το ολοκλήρωμα: (4x συνx) 4 4x 4 (4x συνx) ημx c x ημx c 4 5. Δίνεται η λέξη ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Να βρείτε: (α) Το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. (β) Το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης που αρχίζουν με Α και τελειώνουν σε Α. (α) ε 9! Μ9 9070!! (β) Α _ Α ε 7! Μ7 50! 6. Να βρείτε τη γενική λύση της τριγωνομετρικής εξίσωσης: 1 συνx 1 συνx συνx συν60 x 60 κ 60 x 10 κ0 κ 7. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ, και ακτίνα R 4. x+ + y- =16 Σελ. από 10
8. Μια μοτοσυκλέτα πωλήθηκε προς 147 μετά από έκπτωση 8 %. Να βρείτε την αρχική τιμή της μοτοσυκλέτας πριν την έκπτωση. 147 x 9 100 147 100 x 1600 9 Η τιμή πώλησης της μοτοσυκλέτας είναι 1600 9. x+y=5 Να λύσετε το σύστημα: y x x+y=5 x=-y+5 y -(-y+5)= y +y-5= y +y-8=0 (y - )(y + 4) = 0 y = και y = -4 Για y = x = - + 5 = 1 (1,) Για y = -4 x = - (-4) + 5 = 1 (1,-4) Σελ. από 10
10. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει ακμή βάσης 16cm και ύψος 6cm. Να υπολογίσετε: (α) Το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. (β) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας. (γ) Τον όγκο της πυραμίδας. h =6 +8 h = 6 + 64 = 100 h = 100 = 10 cm Π h 64 10 Ε = Ε +Ε = +Ε = 16 0 56 576 cm β ολ π β β E υ 16 6 V= = =51 cm β Σελ. 4 από 10
ΜΕΡΟΣ Β 1. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει τις ελάχιστες ημερήσιες θερμοκρασίες σε βαθμούς κελσίου, που καταγράφηκαν τον Νοέμβριο του 014, σε μια ορεινή κοινότητα της επαρχίας Λεμεσού. Θερμοκρασία Αριθμός ημερών (x ) 4 6 8 9 10 (f ) 5 10 5 4 Να βρείτε: (α) Την επικρατούσα τιμή (xε) των θερμοκρασιών. (β) Τη μέση τιμή ( x ) των θερμοκρασιών. (γ) Την τυπική απόκλιση ( σ ) των θερμοκρασιών. x f x f x x x x f x x 5 15-4 16 80 4 1-9 7 6 18-1 1 8 10 80 1 1 10 9 5 45 4 0 10 4 40 9 6 0 10 176 f 0, (x f ) 10 (x f ) 176 (α) (β) (γ) xε 8 10 x 7 0 f x x 176 v 0 5,866,4 Σελ. 5 από 10
. Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με Ρ Α =, 4 9 Ρ Α B = 0 ΡB = και 5. Να βρείτε τις πιθανότητες: (α) P(B) (β) P(A B) (γ) P(Β - Α) (δ) P(A / B) α PB=1 P B ' = 1 5 = 5 β Ρ Α Β = ΡΑ+ ΡΒ 9 ΡΑ Β 4 5 0 9 10 γ PB A=PB 9 P(A B) 5 0 0 Ρ(Α Β) δ ΡΑ Β= Ρ(Β) 9 0 4 5 Σελ. 6 από 10
. Δίνεται η συνάρτηση: y ημx συνx (α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης. (β) Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης. (γ) Να δείξετε ότι: y συνx (α) συνx ημx (β) ημx συνx (γ) y ημx συνx (συνx ημx) (ημx συνx) ημx συνx συνx ημx ημx συνx συνx Σελ. 7 από 10
4. Ο κύριος Κωνσταντίνος θέλει να κατασκευάσει ένα ντεπόζιτο από λαμαρίνα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, το οποίο θα είναι ανοικτό στο πάνω μέρος του. Το ντεπόζιτο θα έχει βάση με διαστάσεις m και m και το ύψος του θα είναι 1m. Θα το βάψει εξωτερικά με ειδική αντιοξειδωτική βαφή. Το κόστος αγοράς της λαμαρίνας είναι 10 το τετραγωνικό μέτρο, η βαφή του ντεποζίτου κοστίζει 5 το τετραγωνικό μέτρο και τα εργατικά έξοδα κατασκευής του ντεποζίτου είναι 10. (α) Να υπολογίσετε το συνολικό κόστος κατασκευής του ντεποζίτου. (β) Αν ο κύριος Κωνσταντίνος πωλήσει το ντεπόζιτο στην τιμή των 4, να βρείτε το ποσοστό του κέρδους στο συνολικό κόστος κατασκευής του ντεποζίτου. (α) Εολ αβαγ βγ 11 664 16 m Συνολικό κόστος κατασκευής: 16 10 160 16 5 80 160 80 10 60 (β) Κέρδος: 4 60 7 Ποσοστό κέρδους: 7 100% 0% 60 ή 4 100% 10% 60 Άρα το ποσοστό κέδρους είναι: 10 100 0% Σελ. 8 από 10
5. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο τραπέζιο με ˆΑ 90, ˆΒ 90, ΑΒ cm, BΓ 1 cm και ΓΔ 5 cm. Το ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα xy. Να βρείτε: (α) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του στερεού που παράγεται. (β) Τον όγκο του στερεού που παράγεται. Στοιχεία κυλίνδρου: R cm υβγ 1 cm Ε πrυ π1 7πcm κυρτήςκυλίνδρου Ε πr πr 9π cm βάσηςκυλίνδρου κυλίνδρου ΒΓ V πr υ π 1 108π cm Στοιχεία κώνου: R cm λ 5 cm υ κω ; ΒΓ Π.Θ. 5 υ κω υκω 5 9 υκω 16 υκω κυρτήςκώνου 4 cm Ε πrλ π5 15πcm V κώνου πr υκω π 4 1π cm Εολ Εκυρτής κυλίνδρου Εκυρτήςκώνου Εβάσης V V V 108π 1π 96π cm κυλίνδρου κώνου 7π 15π 9π 96π cm Σελ. 9 από 10
Σελ. 10 από 10