ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Θέμα Α Α. Δίνονται οι συναρτήσεις F(), f(), g() με F()=f()+g(). Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f(), g() είναι παραγωγίσιμες τότε : F ()=f ()+g (). Μονάδες 7 Α. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, όταν ο ν είναι άρτιος αριθμός. Μονάδες 8 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα σε έναν άξονα είναι (t) την χρονική στιγμή t, τότε η ταχύτητά του είναι: v(t) (t). β) Αν μία συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα διάστημα (, ) και είναι παραγωγίσιμη με f () 0 τότε δεν παρουσιάζει ακρότατα. γ) lim(f() g()) lim f() lim g() δ) Σε μια κανονική κατανομή είναι ε) Αν A B A B B. s R 6. Μονάδες 0 Θέμα Β Δίνονται οι παρακάτω τιμές μιας μεταβλητής: -, ln+, 4,- με >0 Β. Nα βρεθεί η τιμή του για την οποία η μέση τιμή των παραπάνω τιμών γίνεται μέγιστη καθώς και τη μέγιστη τιμή της. Μονάδες Β. Για = να υπολογιστούν για τις παραπάνω τιμές η διάμεσος, το εύρος και η τυπική απόκλιση. Μονάδες Σελίδα από 7

2 Θέμα Γ 0 07 Δίνεται η συνάρτηση: f() e Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα της. Μονάδες 6 Γ. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β) οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της f(), με Ρ(Α)<Ρ(Β) να δείξετε ότι Ρ(Α)=0.5 και Ρ(Β)=0.6. Μονάδες Γ. Να δείξετε ότι δεν είναι ασυμβίβαστα και ότι 0, P(A B) 0,5 Μονάδες 7 Γ4. Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β είναι 0.7, να υπολογιστούν οι πιθανότητες: i) Να πραγματοποιηθούν αμφότερα τα Α, Β. ii) Να πραγματοποιηθεί ένα ακριβώς από τα Α, Β. iii) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β. Μονάδες 9 Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση: f() (s ) s 07 με 0 η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση αντίστοιχα ενός δείγματος παρατηρήσεων. Δ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα της. Μονάδες 6 Δ. Αν η παραπάνω συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο = - 5 και τοπικό ελάχιστο στο = υπολογίστε τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και εξετάστε αν το δείγμα είναι ομοιογενές Μονάδες 4 Δ. Να βρεθεί η διάμεσος των τιμών f(-4),f(-),f(0),f(),f(). Μονάδες 4 Δ4. Υπολογίστε τη μικρότερη τιμή της θετικής σταθεράς c 6 που πρέπει να προσθέσουμε στις τιμές της μεταβλητής του παραπάνω δείγματος ώστε να γίνει ομοιογενές. Μονάδες 6 Δ5. Οι θερμοκρασίες στην πόλη Φρόσμπουργκ των ΗΠΑ το μήνα Σελίδα από 7

3 Νοέμβριο του 06 (0 ημέρες) ακολούθησαν σχεδόν κανονική κατανομή με μέση τιμή 5 και τυπική απόκλιση s=(βαθμούς Κελσίου).Να βρεθεί το ποσοστό και το πλήθος των ημερών (κατά προσέγγιση) του μήνα Νοεμβρίου που η θερμοκρασία ήταν: i) Πάνω από -5 ο C. ii) Από -9 ο C έως - ο C. iii) Κάτω από -7 ο C. Μονάδες 5 Απαντήσεις Θέμα Α Α. Σελ σχολικό βιβλίο Α. Σελ 87 σχολικό βιβλίο Α. α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Λάθος Θέμα Β Β. Η μέση τιμή των παραπάνω τιμών είναι: ln 4 ln επομένως: 4 4 (ln ) (ln ).Ορίζω f() ln με >0. Είναι : 4 f () (ln ) Επομένως : f () Επίσης για 0<< είναι: 0 0 f () 0 επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, ενώ για > είναι: 0 0 f () 0 δηλαδή η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Στο = παρουσιάζει μέγιστο με τιμή f() ln 0 συνεπώς η μέγιστη τιμή της μέσης τιμής θα είναι: 0 0. Β. Για = οι τιμές είναι: -, -,, 4. Το εύρος είναι: Σελίδα από 7

4 R 4 ( ) 4 7, ενώ η διάμεσος: Είναι:. επομένως 4 s [( 0) ( 0) ( 0) (4 0) ] 0 s (9 4 6) s 4 Θέμα Γ Γ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με: f () ( e ) Είναι: f () με διακρίνουσα Δ=-0= και ρίζες 0.6, Ο πίνακας μονοτονίας είναι ο ακόλουθος: χ / /5 f () f() Για η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Για η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. 5 Για η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. 5 Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για με τιμή: f( ) e e Σελίδα 4 από 7

5 Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για f( ) e e Σελίδα 5 από με τιμή: 5 Γ. Οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων είναι: =0.5 και =0.6 και επειδή ισχύει: P(A) P(B) θα έχουμε Ρ(Α)=0.5 και Ρ(Β)=0.6. Γ. Αν ήταν ασυμβίβαστα P(A B) P(A) P(B) 0,6 0,5, Άτοπο. Επομένως δεν είναι ασυμβίβαστα. Είναι A B A και A B B επομένως: P(A B) P(A) P(B) P(A B) 0.5 Επίσης: P(A B) P(A) P(B) P(A B). P(A B) P(A B) 0. Γ4. i) Επειδή η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β είναι 0.7είναι: P((A B) ) 0.7 P(A B) 0.7 P(A B) 0. Επομένως η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν αμφότερα τα Α, Β είναι: P(A B) 0.. ii) Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ακριβώςαπό τα Α, Β δηλαδή μόνο το Α ή μόνο το Β είναι: P((A B) (B A)) P(A B) P(B A), επειδή τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα. Επομένως: P((A B) P(B A)) P(A) P(A B) P(B) P(B A) δηλαδή: P((A B) P(B A)) P(A) P(B) P(A B) 0.5 iii) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β είναι το συμπληρωματικό ενδεχόμενο του να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α, Β. Επομένως: Ενώ: P(A B) P(A) P(B) P(A B) , συνεπώς: P((A B) ) P(A B) Θέμα Δ Δ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με: f () ( (s ) s 07) (s ) s και έχουμε: f () 0 (s ) s 0. Είναι: [ (s )] 4 s 4[(s ) 4s] 4(s s 4s) 4(s s ) 4(s ) 0 αφού η τυπική απόκλιση s είναι θετική και η μέση τιμή 0 επομένως 0 0 s 0. Συνεπώς έχουμε: (s ) (s ) (s s ) s sκαθώς και: 4

6 (s ) (s ) (s s ). Ο πίνακας μονοτονίας 4 είναι ο ακόλουθος: χ s f () f() Για η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Για sη συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Για sη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για με τιμή: f() (s ) s 07 s 07 Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για s με τιμή: f(s) s (s )s ss 07 s s 07. Δ. Επειδή η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για καθώς και τοπικό ελάχιστο για s είναι:, s 5 καθώς και s CV 00% 00% 40% 0% επομένως το δείγμα δεν είναι 5 ομοιογενές Δ. Από τα προηγούμενα ερωτήματα βρήκαμε ότι για 5 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, συνεπώς ισχύει: f 4 0 f() f() f(0) f( ) f( 4) και επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 5 (περιττός αριθμός) η διάμεσος είναι η τρίτη παρατήρηση επομένως δ=f(0)= 07 Δ4. Η νέες τιμές την μεταβλητής είναι yi i C και σύμφωνα με εφαρμογή του σχολικού βιβλίου ισχύουν: y c και sy s. Επομένως: sy CVy και για να είναι το δείγμα ομοιογενές πρέπει: y c Σελίδα 6 από 7

7 CVy c 0 επομένως: 0 c 0 c 0 5 c 0 c 5 επομένως c=5 ή c 0 c 5 η οποία τιμή απορρίπτεται αφού c 6. Δ5. i) Γνωρίζουμε σε μία κανονική κατανομή ότι η μέση τιμή ισούται με τη διάμεσο επομένως πάνω από -5 ο C (που είναι η διάμεσος) βρίσκεται το vi 50% των ημερών και εφαρμόζοντας των τύπο fi vi v fi έχουμε: v 0 0,5 5ημέρες. ii) Σύμφωνα με την κανονική κατανομή από s 5 9 έως s 5 έχουμε το,5%+68%=8,5% και σε ημέρες αυτό σημαίνει: 0,85 0 4,45 περίπου δηλαδή 4 ημέρες. iii) Σύμφωνα πάντα με την κανονική κατανομή κάτω από s 5 7 έχουμε το 0,5%.5%,5% 6% και σε ημέρες είναι: 0,6 0 4,8 δηλαδή περίπου 5 ημέρες. Από το Μαθηματικό Τμήμα των Φροντιστηρίων Πουκαμισάς Ηρακλείου συνεργάστηκαν : Γ. Ανδρουλιδάκης, Μ. Βυνιχάκης, Α. Δουλγεράκης, Μ. Μπαρμπούνη, Ζ. Μπομπότη, Π. Σιδερής, Α. Τσιλιφώνης. Σελίδα 7 από 7