Εφαρμογή ρώτη: Στάσιμο κύμα Κατά μήκος μιας εαστικής χορδής x x διαδίδονται δύο όμοια κύματα με αντίθετες κατευθύνσεις. Αν η εξίσωση του ενός κύματος είναι y =0.2 ημ(0t 0x) (S.I.), τότε: Α. Να γραφεί η εξίσωση του δευτέρου κύματος και να υοογίσετε την ταχύτητα διάδοσης κάθε τρέχοντος κύματος. Β. Να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος. Θεωρείστε x 0=0 στη θέση μιας κοιίας και ως t 0=0 τη στιγμή ου έχει οοκηρωθεί η δημιουργία του στάσιμου κύματος και όα τα μόρια είναι στη θέση ισορροίας με την αρχή Ο (x 0=0), να έχει θετική ταχύτητα. Γ. Για ένα σημείο Μ ου είναι κοιία και κάοια χρονική στιγμή t έχει αομάκρυνση y =+0.2m, να υοογιστεί τη στιγμή t η αομάκρυνση: Γ. της εόμενης κοιίας. Γ2. ενός σημείου Ν, ου αέχει αό την κοιία Μ εάχιστη (ρος τα δεξιά) αόσταση 30 m. Δ. Να υοογιστούν: Δ. Οι θέσεις των κοιιών της χορδής. Δ2. Οι θέσεις των δεσμών της χορδής. Ε. Να γίνει γραφική αράσταση της αομάκρυνσης του σημείου Ν της χορδής συναρτήσει του χρόνου (y -t). σ είδα
Λύση Α. Το δεύτερο κύμα θα έχει αντίθετη φορά, εομένως η εξίσωσή του θα είναι: y 2=0.2 ημ(0t + 0x) Αό την εξίσωση του τρέχοντος κύματος (συγκρίνοντας με τη γενική μορφή της εξίσωσης κύματος t x y A2 T ), έχουμε: άτος, Α=0.2m, ερίοδο, t 2 2 0 t 0 T 0, 2s, T T άρα συχνότητα f=5hz και ω=0 rad/s Τέος, μήκος κύματος, x 2 0 x 2 0 0, 2m και ταχύτητα διάδοσης, υ δ = f = 0.2 5 υ δ=m/s. Β. Αντικαθιστούμε τα στοιχεία ου βρήκαμε στο ερώτημα Α, στη γενική εξίσωση του στάσιμου κύματος: 2x 2t y( xt, ) = 2 A συν ηµ T (, ) 0. συν ( 0 ) ηµ ( 0 ) y xt = x t (S.I.) Γ. Γ. Εφόσον το σημείο Μ είναι κοιία και έχει αομάκρυνση y =+0.2m τη χρονική στιγμή t, η εόμενη κοιία θα έχει την ακριβώς αντίθετη αομάκρυνση την ίδια χρονική στιγμή. Εομένως: y= 0.2m. Γ2. Η θέση του σημείου Ν, θα είναι: x = 2κ 02, = + = 2κ + = 2κ + = 0, κ + 30 30 30 30 x x x x Αντικαθιστούμε τη θέση x ου βρήκαμε στην εξίσωση του στάσιμου ου έχουμε: ( ) ( ) x = 0. κ + 30 y = 0. συν 0 x ηµ 0 t 2 σ είδα
y = 0. συν 0 0. κ + ηµ ( 0 t ) 30 y Για τον υοογισμό του συν = 0. συν κ + ηµ 0 3 ( t ) (), έχουμε δύο εριτώσεις: Αν κ άρτιος (κ=2 ρ), τότε συν 2ρ = συν Αν κ εριττός (κ=2 ρ+), τότε Για τον υοογισμό του ημ0t, χρησιμοοιούμε το σημείο Μ: ( ) ( ) y x t y = 0.2m = 0. συν 0 ηµ 0 x = 2κ 0.2 0.2 = 0. συν 0 2κ x ηµ ( 0 t ) συνκ ηµ 0t = 0.6 (2) Για τον υοογισμό του συνκ, έχουμε δύο εριτώσεις: Αν κ άρτιος (κ=2 ρ), τότε συν2ρ=, άρα αό τη (2) ημ0t =0.6 Αν κ εριττός (κ=2 ρ+), τότε συν(2ρ+) = συν = άρα αό τη (2) ημ0t = 0.6 Οότε, η (), γίνεται τεικά: Αν κ άρτιος (κ=2 ρ), τότε ( κ + ) 3 ( + ) = ( 2 ) = ( ) y = 0. 0.6 y = 0.2m 2 Αν κ εριττός (κ=2 ρ+), τότε ( ) y 0. = 0.6 y = 0.2m 2 Εομένως, σε κάθε ερίτωση η αομάκρυνση του σημείου Ν είναι: y =0.2m 3 3 2 συν ρ συν συν συν + + = + = = 3 3 3 3 2 Δ. Δ. Οι θέσεις των κοιιών βρίσκονται αό τη συνθήκη: 0, 2 xκ = ( 2k) = 2k xκ = 0,km, με k=0,, 2,... 3 σ είδα
Δ2. Οι θέσεις των δεσμών βρίσκονται αό τη συνθήκη: x = ( 2k + ) xκ = 0,k + 0, 05 m, με k=0,, 2,... Ε. Η εξίσωση ταάντωσης του σημείου Ν, είναι y = 0. συν κ + ηµ ( 0 t) 3 Αν κ άρτιος (κ=2 ρ), τότε y =0. ημ0t και το διάγραμμα είναι το ακόουθο: Αν κ εριττός (κ=2 ρ+), τότε y = 0. ημ0t και το διάγραμμα είναι το ακόουθο: σ είδα
Εφαρμογή δεύτερη: Στάσιμο κύμα Σε μια χορδή με δεμένο το ένα άκρο έχει σχηματιστεί στάσιμο κύμα με εξίσωση: y(t)=0. συν5x ημ8t (S.I.) Θεωρούμε το ένα εεύθερο άκρο Ο της χορδής στη θέση x 0=0. Το σημείο Ο είναι κοιία του στάσιμου και τη στιγμή t 0=0 βρίσκεται στη θέση ισορροίας έχοντας θετική ταχύτητα. Α. Ποιο είναι το μήκος της χορδής όταν είναι οριζόντια, αν σε αυτήν έχουν σχηματιστεί τέσσερις () δεσμοί; Β. Να υοογίσετε το άτος και τη μέγιστη ταχύτητα με την οοία τααντώνεται ένα 2 σημείο Μ ου βρίσκεται στη θέση x = m. 30 6 Γ. Ποια η αομάκρυνση και η ταχύτητα του σημείου Μ, τη χρονική στιγμή t = sec. 6 Δ. Να γίνει το στιγμιότυο του κύματος τη χρονική στιγμή t = sec. 5 σ είδα
Λύση Α. Αό την εξίσωση του στάσιμου κύματος ου μας δίνεται (συγκρίνοντας με τη γενική μορφή της εξίσωσης του στάσιμου x t y = 2 A συν 2 ηµ 2 T ), έχουμε: άτος, Α=0.2m, ερίοδο t 2 2 8 t 8 T 0, 25s, T T άρα συχνότητα f=hz και ω=8 rad/s τέος, μήκος κύματος, x 2 5 x 2 5 0, m και ταχύτητα διάδοσης, υ δ = f = 0,2 5 υ δ=m/s. Οι θέσεις των δεσμών ροσδιορίζονται αό τη σχέση: x = ( 2κ ) +, με κ=0,, 2,.... Αφού έχουμε τέσσερις συνοικά δεσμούς, αυτό σημαίνει ότι η θέση του τεευταίου δεσμού (ου είναι και το άκρο τη χορδής), θα το βρούμε για κ=3: κ = 3 x = ( 2 κ + ) x = 7 εομένως και το μήκος της χορδής είναι: l = x l = 7 l = 0.7m Β. Για το άτος ταάντωσης του σημείου Μ: 2 x 30 2 2 x = m A = A συν A 0. 0. m, A 0.2m = συν = = 3 A = 0.2m Για τη μέγιστη ταχύτητα ταάντωσης του σημείου Μ: υ (Μ)ΜΑΧ=ω Α Μ = 8 0.2 υ (Μ)ΜΑΧ=.6 m/s 6 σ είδα
6 Γ. Για την αομάκρυνση του σημείου Μ, τη χρονική στιγμή t = sec : y x t = T 2 6 x m, t sec = = 30 2A συν 2 ηµ 2 = 0. m, A= 0.2m y y 6 = 0. συν ηµ 3 6 = 0.2 ηµ 0 + = 0.2 ηµ 6 6 y = 0.m 6 Για την ταχύτητα του σημείου Μ, τη χρονική στιγμή t = sec : ( t) υ = ω A συν ω 2 6 x x m, t sec t = = 30 υ = ω 2A συν 2 συν 2 = 0. m, A= 0.2m T 6 υ = 8 0. συν συν 3 6 υ = 8 0.2 συν 0 + 6 υ =.6 συν 6 υ = 0.8 3 m s 6 Δ. Για το στιγμιότυο του κύματος τη χρονική στιγμή t = sec : y x t = T 6 0.25sec, sec T= t = 2A συν 2 ηµ 2 = 0. m, A= 0.2m y = 0. συν ( 5 x) ηµ 6 y ( x) = 0.2 συν 5 (S.I.) Στο ακόουθο σχήμα έχει σχεδιαστεί το στιγμιότυο του κύματος (έντονη γραμμή) τη χρονική στιγμή t : 7 σ είδα
8 σ είδα ειμέεια: Λοΐζος Σέργης Μιχάης Γύτης