vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς διαστ Τελεστές Το διάνυσμα ανάδελτα k j Λαπλασιανή Τελεστής της ορμής k j Τελεστής της Χαμιλτονιανής H
Σωματίδιο σε τριδιάστατο κουτί Έστω το δυναμικό αλλού Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schödg εαν γράψουμε αναλυτικά όλες τις καρτεσιανές συνιστώσες ο τελεστής της Χαμιλτονιανής η κίνηση σε κάθε άξονα είναι ξά ί K K K H ανεξάρτητη απο την κίνηση στους άλλους δύο άξονες Χωρισμός μεταβλητών θέτουμε αντικατάσταση στην εξίσωση Schödg δ ύ ά διαιρούμε τα πάντα με την ψ αυτό γράφεται σαν τρεις ξεχωριστές εξισώσεις Λύση τριδιάστατου φρέατος Εφαρμόζουμε την μονοδιάστατη λύση ξεχωριστά για κάθε άξονα συνολική κυματοσυνάρτηση ενέργεια Θεμελιώδης κατάσταση Για την περιγραφή χρειαζόμαστε τρεις κβαντικούς αριθμούς ποιά είναι η θεμελιώδης κατάσταση; ποιά είναι η θεμελιώδης κατάσταση; οι κβαντικοί αριθμοί παιρνουν την ελάχιστη δυνατή τιμή ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης κυματοσυνάρτηση θεμελιώδους κατάστασης
η διεγερμένη κατάσταση Καταστ τριδιάστατου φρέατος Η η διεγερμένη εμφανίζεται για τον αμέσως επόμενο μικρότερο συνδιασμό των κβαντικών αριθμών η ενέργεια είναι η ίδια και στις τρεις περιπτώσεις 6 αλλά έχουμε τρεις διαφορετικές κυματοσυναρτήσεις οταν διαφορετικές κυματοσυναρτήσεις έχουν την ίδια ενέργεια ονομάζονται «εκφυλισμένες» λ έ η πρώτη διεγερμένη γρμ στάθμη του τριδιάστατου φρέατος είναι τριπλά εκφυλισμένη Στις τρεις διαστ οι ενέργειες δεν αυξάνουν πλέον τετραγωνικά Παράδειγμα 7. Παράδειγμα 7. Κβάντωση σε ορθογώνιο κουτί: έστω σωματίδιο σε κουτί με διαστ ποιές είναι οι ενεργειακές ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις; στο μονοδιάστατο 8 8 V στο τριδιάστατο ορθογώνιο Κβάντωση σε ορθογώνιο κουτί: έστω σωματίδιο σε κουτί με διαστ ποιες είναι οι 5 πρώτες στάθμες εάν = = = 6 8 8 9 4 46 4 4 4 4 θέτουμε 8 A/A ενέργεια εκφυλισμός 9 /ε 6 9 4 4 4 5 8 6 46 7 8 4 9 8 46 4
Παράδειγμα Κεντρικά δυναμικά π.χ. υδρογόνο Έστω σωματίδιο στο εξής δυναμικό αλλού περιορισμένο στην χ διεύθυνση ελέυθερο στις ποιά η κυματοσυνάρτηση και οι ενεργειακές ιδιοτιμές; η κίνηση σε κάθε άξονα παραμένει ανεξάρτητη ισχύει ο διαχωρισμός μεταβλητών k k k k k k Το δυναμικό εξαρτάται μόνο απο την απόσταση όχι την διέυθυνση -q Η δύναμη είναι πάντα κατά μήκος της ακτίνας F F η γραμμική ορμή συνεχώς μεταβάλλεται d / d F Η ροπή της δύναμης είναι μηδέν τ F η στροφορμή είναι αμετάβλητη d / d τ F +q F Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό: διατήρηση ενέργειας διατήρηση της στροφορμής ενέργεια και στροφορμή: υποψήφιες ποσότητες πρός κβάντωση Σφαιρικές συντεταγμένες Χωρισμός μεταβλητών Μετατροπή απο καρτεσιανές σε σφαιρικές Μετατροπή απο σφαιρικές σε καρτεσιανές Εξίσωση Schodg για κεντρικό δυναμικό σε σφαιρικές συντεταγμένες Εξίσωση Schödg σε σφαιρικές συντεταγμένες ακτινικό γωνιακό Χωρισμός μεταβλητών βασική πράξη που πρέπει να υπολογίσουμε:
Χωρισμός μεταβλητών Η εξίσωση Schödg τώρα γράφεται ως: Η εξίσωση Schödg τώρα γράφεται ως: λ ακτινική λ ακτινική εξίσωση Schödg Γωνιακή εξίσωση ιδιοτιμών Η γωνιακή κυματοσυνάρτηση Υ μπορεί να χωριστεί επιπλέον σε Η γωνιακή κυματοσυνάρτηση Υ μπορεί να χωριστεί επιπλέον σε ξεχωριστές συναρτήσεις για θ και φ: διαιρούμε με την Υθφ Γωνιακή εξίσωση ιδιοτιμών για την Φφ Η εξίσωση για την Φφ Η συνάρτηση Φφ περιγράφει στροφές πάνω στο επίπεδο Η συνάρτηση Φφ περιγράφει στροφές πάνω στο επίπεδο δηλαδή πως στρίβει η προβολή του διανύσματος πάνω στο επίπεδο Η Φφ θα πρέπει να είναι μονοσήμαντη... Όπως θα δούμε ο είναι ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός... Όπως θα δούμε ο είναι ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός... Γωνιακή εξίσωση ιδιοτιμών Η εξίσωση για την Θθ ξ η γ η co Η εξίσωση αυτή ονομάζεται «συναφής εξίσωση gd». Αποδεικνύεται έ λύ ό ύ ό ά θή οτι έχει λύση μόνο εαν ισχύουν συγχρόνως οι παρακάτω συνθήκες:...... το είναι ο τροχιακός κβαντικός αριθμός
Σφαιρικές αρμονικές Συμβολίζουμε την γωνιακή κυματοσυνάρτηση ως: με ιδιοτιμές: κβαντικός τροχιακός αριθμός: =... ό β ό θ ό μαγνητικός κβαντικός αριθμός: = 5 4 Διατήρηση στροφορμής κεντρικής δύναμης Η δύναμη κατευθύνεται στο κέντρο των αξόνων άλλ λ ά δ ά θέ παράλληλη πάντα στο διάνυσμα της θέσης η ροπή της δύναμης είναι μηδέν η στροφορμή παραμένει αμετάβλητη στον χρόνο d ή d d F Οι κβαντικοί αριθμοί και σχετίζονται με την περιστροφή στροφορμή πως εκφράζεται η διατήρηση της στροφορμής στο μικρόκοσμο; πως εκφράζεται η διατήρηση της στροφορμής στο μικρόκοσμο; ποιοί είναι οι κατάλληλοι τελεστές των οποίων η ψ είναι ιδιοσυνάρτηση σταθερά σταθερά σταθερά σταθερά Τελεστές στροφορμής Η κλασική στροφορμή είναι Για τον κβαντικό τελεστή θέτουμε τους αντίστοιχους τελεστές k j k j σε σφαιρικές συντεταγμένες γίνεται: το «φ» κομμάτι του με ιδιοτιμές το γωνιακό κομμάτι του με ιδιοτιμές + με ιδιοτιμές + Ιδιοτιμές τελεστών στροφορμής Η προβολή της στροφορμής στον άξονα Το τετράγωνο της στροφορμής Οι άλλες δύο προβολές της στροφορμής δεν ικανοποιούν εξίσωση ιδιοτιμών Οι άλλες δύο προβολές της στροφορμής δεν ικανοποιούν εξίσωση ιδιοτιμών αριθμός αριθμός
Ιδιοτιμές τελεστών στροφορμής Αρχή απροσδιοριστίας της στροφορμής Σαφή μεγέθη η προβολή της στροφορμής στον άξονα το τετράγωνο της στροφορμής μαγνητικός κβαντικός αριθμός: = τροχιακός κβαντικός αριθμός: =... καθορίζει τα γνωστά τροχιακά: = s = = d Ασαφή μεγέθη οι προβολές της στροφορμής στον χκαι άξονα δεν είναι δυνατόν να γνωρίζουμε πάνω απο μια συνιστώσες της ορμής με ακρίβεια αρχή απροσδιοριστία στην ορμή Ενέργεια στροφορμής όπου λης: Κβα Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε συγχρόνως δύο συνιστώσες στροφορμής δεν μπορεί να γίνει υπάρχει δηλαδή πάντα γωνία με τον άξονα κβάντωση κατεύθυνσης c Παράδειγμα 7.4 Παράδειγμα 7.5 Πέτρα μάζας kg κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας με περίοδο s. Ποιά τιμή του τροχιακού κβαντικού αριθμού περιγράφει ργρ αυτήν την κίνηση; η; ταχύτητα περιστροφής στροφορμή κβαντική μορφή.459 6.8 /s T s kg6.8 /s 6.8 kg τροχιακός κβαντικός αριθμός 6.8 kg /s.55 kg /s 4 5.96 4 /s Συμφωνεί η κβάντωση της στροφορμής κατά Boh με τους κανόνες κβάντωσης που μόλις βρήκαμε; κβάντωση στροφορμής κατά Boh κβάντωση στροφορμής κατά Schödg οι δύο τιμές είναι ασυμβίβαστες για μικρούς κβαντικούς αριθμούς. Η ελάχιστη στροφορμή είναι κατά Boh και κατά Schödg προφανώς συμφωνούν στο όριο των μεγάλων κβαντικών αριθμών
Παράδειγμα 7.6 Ακτινική εξίσωση Έστω ηλεκτρόνιο στην κατάσταση =. Υπολογίστε το μέτρο της ολικής στροφορμής και τις επιτρεπόμενς τιμές των και γωνίας θ μεταξύ του και του άξονα. ολική στροφορμή επιτρεπτές τιμές του επιτρεπτές τιμές της γωνίας θ o o 54.74 o 7. 9 o Η ακτινική εξίσωση Schödg είχε γραφτεί η παραπάνω είναι ισοδύναμη με την: Ε στροφ [ ] [ ] [ ] Ε δυναμικό Άρα για το ψευδοκύμα g= ισχύει η μονοδιάστατη Schodg g g g η λύση εξαρτάται απο δύο κβαντικούς αριθμούς: τον κύριο κβαντικό αριθμό τον ήδη γνωστός τροχιακό κβαντικόςαριθμός Υδρογονοειδή άτομα Υδρογονοειδή άτομα Κεντρικό δυναμικό ηγωνιακή κυματοσυνάρτηση και ιδιοτιμές της στροφορμής παραμένουν ως έχουν Για να βρούμε τις ενεργειακές ιδιοτιμές πρέπει να λύσουμε την ακτινική εξίσωση Schödg Η δυναμική ενέργεια είναι η ενέργεια Couob k Z στο κεντρικό δυναμικό λόγω στροφορμής αυτό μετατρέπεται σε kz και η ακτινική Schodg είναι η μονοδιάστατη εξίσωση d g g g d Οι κβαντισμένες ενεργειακές ιδιοτιμές είναι ίδιες με αυτές του μοντέλου Boh k Z Z.6 V Η ακτινική κυνατοσυνάρτηση εξαρτάται από δύο κβαντικούς αριθμούς: τον κύριο κβαντικό αριθμό = στιβάδα: K M τον τροχιακό κβαντικό αριθμό = -. υποστοιβάδα: s d τροχιακά με ίδιο και διαφορετικά έχουν την ίδια ενέργεια εκφυλισμός Τους κανόνες κανονικοποίησης και την στατιστική ερμηνεία της κυνατοσυνάρτησης ικανοποιεί το ψευδοκύμα g δηλαδή η κανονικοποίηση * d
Ακτινικές πιθανότητες και μέσες τιμές Ολική κυματοσυνάρτηση Ακτίνα Boh 59 k A.5 6 5. 5. 5. 5 5 Κύριος κβαντικός αριθμός ροχιακός κβαντικός αριθμός αγνητικός κβαντικός αριθμός k Z Z.6 V Παράδειγμα 7.7 Θεμελιώδης κατάσταση Για την στάθμη = του υδρογόνου απαριθμίστε όλες τις καταστ δίνοντας τον φασματοσκοπικό τους συμβολισμό και τις ενέργειές τους = = =: κατάσταση s = = =- : καταστ.6 ενέργειες V -.4 V συνολικός εκφυλισμός 4 Πόσες δυνατές καταστ υπάρχουν για την στάθμη =; Πόσες για την =4; = = =: κατάσταση s = = =- : καταστ = = =- - : 5 καταστ d συνολικός εκφυλισμός 9 αριθμός καταστάσεων Ν= =4 = =: κατάσταση s =4 = =- : καταστ =4 = =- - : 5 καταστ d =4 = =- - - : 7 καταστ d συνολικός εκφυλισμός 6 Για άτομο με ένα ηλεκτρόνιο και ατομικό αριθμό Ζ η θεμελιώδης κατάσταση είναι η s = = = η ενέργειά της είναι.6 V Z η συνολική κυματοσυνάρτηση / Z / Z / / 4 4 η πιθανότητα να βρεθεί σε κάποιο σημείο του χώρου P / 4 η πιθανότητα να βρεθεί σε σφαιρικό φλοιό πάχους d P d dv 4 d P d g d d P s
Στατιστική ερμηνεία Παράδειγμα 7.8 Πυκνότητα πιθανότητας Κανονικοποίηση μέση απόσταση P d P d P d d d d μέση τιμή οποιασδήποτε συνάρτησης της απόστασης f f P d f d Υπολογίστε την πιθανότητα το ηλεκτρόνιο να βρεθεί πέρα απο την πρώτη ακτίνα του Boh στη θεμελιώδη κατάσταση του υδρογόνου. πιθανότητα / / / / 4 P 4 / d αλλαγή μεταβλητής P 4 P 8 d / / d 5 Παράδειγμα 7.8 Πρώτη διεγερμένη υδρογονοειδούς ατόμου Για τη θεμελιώδη κατάσταση του υδρογόνου υπολογίστε την πιο πιθανή απόσταση του ηλεκτρονίου απο τον πυρήνα και συγκρίνετε με την μέση απόσταση πιο πιθανή απόσταση dp d 4 d / d d d η μέση απόσταση / / / / 4 P d d / δίνεται d! d 4 d λης: Κβα Η πρώτη διεγερμένη είναι για =. αντιστοιχούν 4 καταστ τερταπλός εκφυλισμός: στην s = = στην = =- η s κατάσταση Z που μηδενίζεται η P s ; / Z / Z Z.6 V 4 Z / 4
Πρώτη διεγερμένη υδρογονοειδούς ατόμου Πρόβλημα 7.9 λης: Κβα οι καταστ / / Z / Z Z / / 4 / / Z / Z / Z / / 8 / / Z / Z / Z / / 8 / γνωρίζουμε όμως οτι Το ακτινικό μέρος της κυματοσυνάρτησης για την υδρογονοειδή κατάσταση δίνεται απο την έκφραση ποιά είναι η μέση τιμή του / A 5 / P d d A δίνεται 6 5 d A d 6 d! κανονικοποιούμε για να βρούμε το Α A 4 / 5 4 d A d A d P d 5 5 A 4 A / 4 5