Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων

http://users.uom.gr/~acg 1 Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό (LP) Εντοπισμός της βέλτιστης κατανομής περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων (resource allocation problems) Συντελεστές παραγωγής σε ημικατεργασμένα προϊόντα ή σε δραστηριότητες, εθνικοί πόροι και εγχώριες ανάγκες, επενδυτικά χαρτοφυλάκια, προγράμματα παραγωγής, προγράμματα εργασίας, μίξη πρώτων υλών, πολυσταδιακά προβλήματα επενδύσεων ή παραγωγής και διαχείρισης αποθεμάτων, επιλογή επιπέδου παραγωγής, προβλήματα μεταφοράς και δικτύων, προβλήματα διατροφής κ.ά. Πρωτοπόροι του Γραμμικού Προγραμματισμού Leonid Kantorovich (191-1986, Nobel 1975) (1939, optimizing production in plywood) George Dantzig (1914-005, αλγόριθμος simplex, 1947) Linear Programming and Extensions (1963, 1998) O George Dantzig και οι αποδείξεις δύο προβλημάτων Στατιστικής (urban legend) Good Will Hunting (1997, introductory scene) John von Neumann (1903-1957, Duality, 1947) Βασικά στοιχεία του Γρ.Πρ. Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων (μεταβλητές απόφασης) Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί προβλήματος) Χρήση μαθηματικού μοντέλου (προτύπου, υποδείγματος) Όλες οι μαθηματικές σχέσεις είναι ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ Προγραμματισμός = Σχεδίαση (Planning) Εντοπισμός του άριστου (βέλτιστου) σχεδίου δηλαδή: του άριστου προγράμματος δράσης Παράδειγμα: Απλό γραμμικό πρόβλημα (Doors ΕΠΕ) Προϊόν Ημερήσια ιαθεσιμότητα (απαιτήσεις και περιθώριο Πόροι πόρων κέρδους) Π1 Π Αλουμίνιο 1(πρoφίλ) 0 4 έτοιμα προφίλ αλουμίνιο Ξυλεία 0 (τ.μ.) 1 τ.μ. ξυλεία Εργασία 3(ώρες) (ώρες) 18 ώρες εργασίας Περιθώριο Κέρδους 3 χμ 5χμ Π1: Γυάλινη πόρτα με πλαίσιο αλουμινίου Π: Παράθυρο με ξύλινο πλαίσιο http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg 3 http://users.uom.gr/~acg 4 Ερωτήματα Απαντήσεις (1) Απαντήσεις () Ποιος είναι ο λήπτης της απόφασης ; Λήπτης απόφασης : "Doors Ltd" Οπότε αναπτύσσεται το εξής μοντέλο: Ποιος είναι ο στόχος του ; Στόχος: Μεγιστοποίηση του συνολικού περιθωρίου κέρδους Μεταβλητές απόφασης: ποσότητα παραγωγής από κάθε προϊόν Ποιος είναι ο χρονικός ορίζοντας προγραμματισμού ; Ποιοι είναι οι πόροι ; Είναι σε ανεπάρκεια κάποιοι πόροι? Ποιοι ανταγωνίζονται για την απόκτησή τους ; Ποιες είναι οι μεταβλητές απόφασης ; Ποιοι είναι οι περιορισμοί του προβλήματος ; Χρονικός ορίζοντας: τυπική ημέρα Πόροι: Αλουμίνιο, ξυλεία, εργασία (σε ανεπάρκεια) Μεταβλητές απόφασης: Θα τις βρείτε, αν απαντήσετε στο ερώτημα: Αν οι παράμετροι είναι γνωστές, τι είναι εκείνο που τελικά καθορίζει το συνολικό κέρδος της επιχείρησης; Χ1 μονάδες (τμχ) προϊόντος 1 που θα παραχθούν Χ μονάδες (τμχ) προϊόντος που θα παραχθούν που δίνει: Ζ (Χ1, Χ) = το συνολικό περιθώριο κέρδους Πως εκφράζεται με μαθηματικό τρόπο; http://users.uom.gr/~acg 5 http://users.uom.gr/~acg 6 http://users.uom.gr/~acg 7 http://users.uom.gr/~acg 8 Στόχος: Περιορισμοί Το γραμμικό μοντέλο του προβλήματος Θεμελιώδεις Παραδοχές LP Μεγιστοποίησε τη συνάρτηση: Z(X1, X), με περιορισμούς που επιβάλλονται από τους διαθέσιμους πόρους και γενικότερα από το εσωτερικό και εξωτερικό περιβάλλον της επιχείρησης: Αντικειμενική συνάρτηση Συνολικό κέρδος = κέρδος από Π1 + κέρδος από Π = (μοναδιαίο κέρδος τμχ Π1)*(παραγόμενη ποσότητα Π1) + (μοναδιαίο κέρδος τμχ Π)*( παραγόμενη ποσότητα Π)= =(χμ/τμχ Π1)*(Χ1) + (χμ/τμχ Π)*(Χ) = Ζ(Χ1, Χ) = 3Χ1 + 5Χ Maximize Z = 3X1 + 5X Αλουμίνιο: διαθεσιμότητα: 4 προφίλ αλουμινίου Απαιτήσεις: προϊόν Π1 χρειάζεται 1 προφίλ και Π κανένα Κατανάλωση: 1*X1 + 0*X 4 δηλαδή Χ1 4 Ξυλεία: διαθεσιμότητα: 1 τ.μ. ξυλεία Απαιτήσεις: προϊόν Π1 καθόλου, Π χρειάζεται τ.μ. ξυλεία Κατανάλωση: 0*X1 + *X 1 δηλαδή Χ 1 Εργασία: διαθεσιμότητα: 18 ώρες εργασίας Απαιτήσεις: προϊόν Π1 χρειάζεται 3 ώρες και Π, ώρες Κατανάλωση: 3*X1 + *X 18 δηλαδή 3Χ1 + Χ 18 Max Z = 3X1 + 5X (αντικειμενική συνάρτηση = συνολικό κέρδος) Με περιορισμούς 1) Χ1 4 (περιορισμός αλουμινίου) ) Χ 1 (περιορισμός ξυλείας) 3) 3Χ1 + Χ 18 (περιορισμός εργασίας) και Χ1 0, Χ 0 Επειδή το πρόβλημα είναι διδιάστατο, μπορεί να επιλυθεί γραφικά κατασκευάζοντας τη γραφική παράσταση των παραγωγικών δυνατοτήτων (άριστη λύση:χ1=, Χ=6 και Ζ=36). Θα το δούμε σε λίγο!! 1) Αναλογικότητα (Proportionality, constant returns to scale) ) Αθροιστικότητα (Additivity, no interactions) ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ (linearity) 3) Προσδιοριστικότητα (Certainty) 4) ιαιρετότητα (Divisibility, continuity) Επίλυση με τον αλγόριθμο SIMPLEX http://users.uom.gr/~acg 9 http://users.uom.gr/~acg 10 http://users.uom.gr/~acg 11 http://users.uom.gr/~acg 1 Γραφική επίλυση Πριν προχωρήσετε παρακάτω... προσπαθήστε να φτιάξετε το Γραφική επίλυση του παραδείγματος (POM-QM) Γραφική επίλυση του παραδείγματος (PHP-Simplex) 1) Απαρίθμηση και έλεγχος όλων των ακραίων σημείων (κορυφών) της εφικτής περιοχής. ηλαδή, εντοπίζουμε τις συντεταγμένες όλων των κορυφών της εφικτής περιοχής και επιλέγουμε εκείνη που μεγιστοποιεί (ελαχιστοποιεί) την αντικειμενική συνάρτηση ή ) Χάραξη των καμπυλών ίσου κέρδους (ή κόστους) της αντικειμενικής συνάρτησης. Βρίσκουμε το σημείο όπου η σχήμα του Παραδείγματος!!!! Το γραμμικό μοντέλο Max Z = 3X1 + 5X (αντικειμενική συνάρτηση = συνολικό κέρδος) Με περιορισμούς 1) Χ1 4 (περιορισμός αλουμινίου) ) Χ 1 (περιορισμός ξυλείας) 3) 3Χ1 + Χ 18 (περιορισμός εργασίας) και Χ1 0, Χ 0 ισοκερδής εφάπτεται της εφικτής περιοχής πριν την εγκαταλείψει. http://users.uom.gr/~acg 13 http://users.uom.gr/~acg 14 http://users.uom.gr/~acg 15 http://users.uom.gr/~acg 16

http://users.uom.gr/~acg 17 Γραφική Επίλυση, πρότυπο παράδειγμα Γενική - Κανονική μορφή του μοντέλου Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου Link to external example Γαλακτοβιομηχανία Alpha Προϊόν Α Προϊόν B ιαθεσιμότητα Γάλα (λίτρα) 1 1 550 Εργασία (λεπτά) 1 3 1000 υναμικότητα (λεπτά) 5 000 Μέγιστη ζήτηση 400 - Περιθώριο κέρδους / τμχ 150 (χμ) 00 (χμ) 1) Χ1 + Χ 550 (γάλα σε λίτρα) 3) Χ1 + 5Χ 000 (δυναμικότητα συστήματος σε λεπτά) + 0s1 + 0s +0s3 +0s4 1) Χ1 + Χ + s1 = 550 ) Χ1 + 3Χ + s = 1000 3) Χ1 + 5Χ + s3 = 000 4) Χ1 + s4 = 400 και Χ1, Χ, s1, s, s3, s4 0 Γενική Κανονική Τυποποιημένη (μορφή) http://users.uom.gr/~acg 18 http://users.uom.gr/~acg 19 http://users.uom.gr/~acg 0 Γραφική Επίλυση (POM-QM) Γραφική Επίλυση (PHP-Simplex) Γραφική Επίλυση (GeoGebra) Ακραία σημεία: Βασικές λύσεις Βασικές Εφικτές και Μη εφικτές Λύσεις Ακραίο Σημείο Βασική λύση X1 X s1 s s3 s4 Τύπος Τιμή Ζ Α 0 0 550 1000 000 400 Εφικτή 0 Β 400 0 150 600 100 0 Εφικτή 60.000 Γ 400 150 0 150 450 0 Εφικτή 90.000 35 5 0 0 5 75 Εφικτή Βέλτιστη 93.750 Ε 0 1000/3 650/3 0 1000/3 400 Εφικτή 00.000/3 Ζ 400 00-50 0 00 0 Μη εφικτή - Η 400 40-90 -10 0 0 Μη εφικτή - Θ 1000 0-450 0 0-600 Μη εφικτή, Εκφυλισμένη - Ι 50 300 0-150 0 150 Μη εφικτή - Κ 550 0 0 450 900-150 Μη εφικτή - Λ 0 550 0-650 -750 400 Μη εφικτή - Μ 0 400 150-00 0 400 Μη εφικτή - http://users.uom.gr/~acg 1 http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg 3 http://users.uom.gr/~acg 4 Υπολογισμοί για τις πέντε κορυφές της εφικτής περιοχής Ορολογία (1) Ορολογία () Κορυφή (Χ1, Χ) Ζ Β (400, 0) 60.000 Γ (400, 150) 90.000 (βέλτιστη) (35, 5) 93.750 Ε (0, 1000/3) 00.000/3 Ο 3 ος και ο 4 ος περιορισμός είναι μη δεσμευτικοί με τιμές χαλαρών μεταβλητών S3=5 και S4= 75. Τι παριστάνουν και ποια η χρησιμότητά τους? Ο 3 ος περιορισμός δεν συμμετέχει ούτε στη διαμόρφωση της εφικτής περιοχής πλεονάζων περιορισμός περιοριστική ευθεία: ευθεία που αντιστοιχεί σε κάποιο περιορισμό του προβλήματος κορυφή ή ακραίο σημείο: Σημείο στο οποίο τέμνονται δύο περιοριστικές ευθείες Λύση: Κάθε συνδυασμός τιμών των μεταβλητών Εφικτή (μη εφικτή) λύση: λύση που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς (δεν ικανοποιεί τουλάχιστον ένα) Εφικτή λύση ακραίου σημείου: κορυφή της εφικτής περιοχής Γειτονικές εφικτές λύσεις ακραίου σημείου: συνδέονται με μία ακμή (στο σύνορο) της εφικτής περιοχής Εφικτή περιοχή: η (κυρτή) περιοχή των εφικτών λύσεων που σχηματίζεται από τις περιοριστικές ευθείες Βασική (μη βασική) μεταβλητή: μη μηδενική (μηδενική) μεταβλητή σε μία λύση Βασική λύση (λύση ακραίου σημείου): λύση που αντιστοιχεί σε ακραίο σημείο (έχει βασικές μεταβλητές, όσες είναι το πλήθος των περιορισμών) Βασική εφικτή λύση: βασική λύση που αντιστοιχεί σε κορυφή της εφικτής περιοχής (έχει βασικές μεταβλητές, όσες είναι το πλήθος των περιορισμών και είναι όλες μη αρνητικές) Μη βασική λύση: λύση που δεν βρίσκεται σε κορυφή, μπορεί να είναι εφικτή ή μη εφικτή (έχει περισσότερες μη μηδενικές μεταβλητές από το πλήθος των περιορισμών) http://users.uom.gr/~acg 5 http://users.uom.gr/~acg 6 http://users.uom.gr/~acg 7 http://users.uom.gr/~acg 8 Ορολογία (3) Ορολογία (4) Συμβολισμοί ενός μοντέλου Γραμμικού Προγραμματισμού εδομένα μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού Χαλαρή τιμή (slack): το υπόλοιπο, "περίσσευμα" από περιορισμό ( ) Πλεονασματική τιμή (surplus): το "ξεπέρασμα " απαίτησης ( ) Βοηθητικές μεταβλητές: μεταβλητές που αντιστοιχούν στις χαλαρές τιμές και στις τιμές πλεονασμού εσμευτικός ή ενεργός περιορισμός: ή καταναλώνεται ο πόρος πλήρως ( ) ή δεν πλεονάζει ( ) (slack ή surplus μηδενικά αντιστοίχως). Μη δεσμευτικός περιορισμός : περισσεύει πόρος ( ) ή μία απαίτηση ξεπερνιέται ( ) (slack ή surplus μη μηδενικά αντιστοίχως) Άριστη (βέλτιστη) λύση: η εφικτή λύση ακραίου σημείου που δίνει τη βέλτιστη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση. ύναται να είναι ακριβώς μία, αλλά υπάρχουν και περιπτώσεις με άπειρες άριστες λύσεις. Όταν μία εφικτή λύση ακραίου σημείου είναι καλύτερη όλων των γειτονικών της τότε είναι η βέλτιστη. Άριστη (βέλτιστη) τιμή: η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση Ειδικές περιπτώσεις: (α) Άπειρες άριστες λύσεις (εναλλακτικές λύσεις με ίδια άριστη τιμή), (β) ανυπαρξία λύσης (μη εφικτό πρόβλημα δηλ. ανυπαρξία εφικτής περιοχής), (γ) μη φραγμένο πρόβλημα (το Z τείνει στο άπειρο). m : πλήθος περιορισμών προβλήματος (πόροι, ζήτηση, απαιτήσεις) n : πλήθος ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων Xj: επίπεδο δραστηριότητας (μεταβλητές απόφασης), j = 1,,..., n Z : το συνολικό μέτρο απόδοσης (τιμή της αντ/κής συνάρτησης) cj: ο αντικειμενικός συντελεστής της Χj, j = 1,,..., n (π.χ. μοναδιαίο περιθώριο κέρδους) bi: το δεξιό μέλος του πόρου i = 1,,..., m (π.χ. διαθέσιμος πόρος) aij : τεχνολογικός συντελεστής (π.χ. η ποσότητα που απαιτείται από τον πόρο i για να παραχθεί μία μονάδα του προϊόντος j, i = 1,,..., m και j = 1,,..., n ) ραστηριότητα j=1 3 n εξιό μέλος Πόρος i=1 α11 α1 α13 α1n b1 α1 α α3 αn b 3 α31 α3 α33 α3n b3 m αm1 αm αm3 αmn bm Ζ c1 c c3 cn μεταβλητή απόφασης X1 X X3 Xn http://users.uom.gr/~acg 9 http://users.uom.gr/~acg 30 http://users.uom.gr/~acg 31 http://users.uom.gr/~acg 3

http://users.uom.gr/~acg 33 Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης Συνέχεια πρότυπου παραδείγματος Γενική - Κανονική μορφή του μοντέλου Μετακίνηση του πλεονάζοντος περιορισμού (έστω: b3 = 1500) Maximize Z=c1x1+cx+ +cnxn (αντικειμενική συνάρτηση) με περιορισμούς (παράμετροι) α11x1+α1x+ +α1nxn b1 α1x1+αx+ +αnxn b (λειτουργικοί περιορισμοί). 1) Χ1 + Χ 550 (γάλα σε λίτρα) 3) Χ1 + 5Χ 000 (δυναμικότητα συστήματος σε λεπτά) αm1x1+αmx+ +αmnxn bm και x1, x,, xn 0 άλλες μορφές του μοντέλου : γενική, τυποποιημένη http://users.uom.gr/~acg 34 http://users.uom.gr/~acg 35 http://users.uom.gr/~acg 36 Γενική - Κανονική μορφή του μοντέλου (υπενθύμιση) Συνέχεια πρότυπου παραδείγματος (υπενθύμιση) Αύξηση της διαθέσιμης εργασίας, μετακίνηση ου περιορισμού (έστω b = 1500) Γενική - Κανονική μορφή του μοντέλου (υπενθύμιση) 1) Χ1 + Χ 550 (γάλα σε λίτρα) 1) Χ1 + Χ 550 (γάλα σε λίτρα) 3) Χ1 + 5Χ 000 (δυναμικότητα συστήματος σε λεπτά) 3) Χ1 + 5Χ 000 (δυναμικότητα συστήματος σε λεπτά) http://users.uom.gr/~acg 37 http://users.uom.gr/~acg 38 http://users.uom.gr/~acg 39 http://users.uom.gr/~acg 40 Συνέχεια πρότυπου παραδείγματος (υπενθύμιση) Υποχρεωτική κατανάλωση του γάλακτος (Χ1 + Χ = 550) Θα συμβεί αυτό: Πρόβλημα ελαχιστοποίησης ( ιαφημιστικό σχέδιο της "Pro-Lux") Χρονικός ορίζοντας τρεις μήνες (Μάιος - Ιούλιος) πρωινή ζώνη - βραδινή ζώνη Κόστος μηνύματος πρωινής ζώνης = 1.500.000χμ Κόστος μηνύματος βραδινής ζώνης =.500.000χμ Πρωινό μήνυμα: 30.000 γυναίκες, 5.000 άνδρες Βραδινό μήνυμα: 0.000 γυναίκες, 5.000 άνδρες Τουλάχιστον 1.500.000 γυναίκες, 900.000 άνδρες Τι θα συμβεί αν επιπλέον τεθεί: Χ1 = 400; Ποια είναι η νέα άριστη λύση; Τουλάχιστον 0 μηνύματα στη βραδινή ζώνη http://users.uom.gr/~acg 41 http://users.uom.gr/~acg 4 http://users.uom.gr/~acg 43 http://users.uom.gr/~acg 44 Ερωτήματα Μεταβλητές απόφασης και αντικειμενική συνάρτηση Οι περιορισμοί του προβλήματος Γενική μορφή του μοντέλου Ποιος είναι ο λήπτης της απόφασης? Ποιος είναι ο στόχος της επιχείρησης? Ποιο είναι το πρόβλημα που καλείται να λύσει? Ποιες είναι οι μεταβλητές απόφασης? Ποια είναι η αντικειμενική συνάρτηση? Ποιοι είναι οι περιορισμοί? Μπορεί να επιλυθεί γραφικά? Ποια είναι η βέλτιστη λύση και ποια η άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης? Μεταβλητές απόφασης Χ1 = διαφημιστικά μηνύματα πρωινής ζώνης Χ = διαφημιστικά μηνύματα βραδινής ζώνης Αντικειμενική συνάρτηση Συνολικό κόστος = κόστος πρωινών μηνυμάτων + κόστος βραδινών =1500000Χ1 + 500000Χ (χμ) Minimize Z= 1500000Χ1 + 500000Χ ή (αλλάζοντας τις μονάδες μέτρησης σε εκατομμύρια χμ) Min Ζ=1,5Χ1 +,5Χ 1) 30000Χ1 + 0000X 1500000 ή 0,3X1+0,X 15 (εκατοντάδες χιλιάδες γυναίκες) ) 5000Χ1 + 5000X 900000 ή 0,05X1+0,5X 9 (εκατοντάδες χιλιάδες άνδρες) 3) Χ 0 (βραδινά μηνύματα, ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός) Min Z=1,5X1 +,5X με περιορισμούς: 1) 0,3X1 + 0,X 15 ) 0,05X1+ 0,5X 9 3) Χ 0 http://users.uom.gr/~acg 45 http://users.uom.gr/~acg 46 http://users.uom.gr/~acg 47 http://users.uom.gr/~acg 48

http://users.uom.gr/~acg 49 Γραφική Επίλυση Αποτελέσματα για τις τρεις κορυφές της εφικτής περιοχής Τυποποιημένη μορφή του μοντέλου Αποτελέσματα (ξανά) για τις τρεις κορυφές Αντικειμενική: X=-3/5X1+/5Z και μη φραγμένη εφικτή περιοχή (κυρτή) Κορυφή (Χ1, Χ) Ζ Α (βέλτιστη) (30, 30) 10 Β (80, 0) 170 Γ (0, 75) 187,5 Min Z=1,5X1 +,5X + 0e1 + 0e + 0e3 μεταβλητές πλεονασμού με περιορισμούς: 1) 0,3X1 + 0,X e1 = 15 ) 0,05X1 + 0,5X e = 9 3) Χ e3 = 0 Κορυφή (Χ1, Χ, e1, e, e3) Ζ Α (βέλτιστη) (30, 30, 0, 0, 10) 10 Β (80, 0, 13, 0, 0) 170 Γ (0, 75, 0, 9.75, 55) 187,5 και Χ1, Χ, e1, e, e3 0 Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί? Ποιες είναι οι τιμές των μεταβλητών πλεονασμού? http://users.uom.gr/~acg 50 http://users.uom.gr/~acg 51 http://users.uom.gr/~acg 5 Μεταβολή του 3ου περιορισμού (θέτουμε X 40) Γραφική επίλυση (X 40) Αποτελέσματα για τις τρεις κορυφές της εφικτής περιοχής Ειδικές Περιπτώσεις (1) Άπειρες εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις (multiple optimal solutions) Min Z=1,5X1 +,5X + 0e1 + 0e + 0s3 με περιορισμούς: 1) 0,3X1 + 0,X e1 = 15 ) 0,05X1 + 0,5X e = 9 Κορυφή (Χ1, Χ, e1, e, s3) Ζ Α (βέλτιστη) (30, 30, 0, 0, 10) 10 Β (180, 0, 39, 0, 40) 70 Τα δεδομένα του προβλήματος ( έρας Α.Ε.) Παλτό Σακάκι ιαθεσιμότητα Φόδρα (τ.μ.) 3 1 97 έρμα (τ.μ.) 5 4 600 3) Χ + s3 = 40 Γ (3,33, 40, 0,,16, 0) 135 Εργασία (ώρες) 6 8 960 και Χ1, Χ, e1, e, s3 > 0 Περ. Κέρδους (χμ) 5 0 Ορίζοντας προγραμματισμού: ένας μήνας http://users.uom.gr/~acg 53 http://users.uom.gr/~acg 54 http://users.uom.gr/~acg 55 http://users.uom.gr/~acg 56 Το μοντέλο της έρας Α.Ε. Συντελεστής διεύθυνσης αντικειμενικής: Γραφική επίλυση χμ X = -5/4 X1 + Z/0 Κορυφή (Χ1, Χ) Ζ=5X1+0X Συντελεστής διεύθυνσης περιορισμού δέρματος: Β (99, 0).475 Γ (84, 45) 3.000 Χ = -5/4 Χ1 + 600/4 (60, 75) 3.000 Άπειρες εναλλακτικές άριστες λύσεις Όλα τα σημεία που είναι κυρτοί συνδυασμοί των Γ και (π.χ. το σημείο Η (68, 65)) http://users.uom.gr/~acg 57 http://users.uom.gr/~acg 58 http://users.uom.gr/~acg 59 http://users.uom.gr/~acg 60 Νέα αντικειμενική: Ζ=35Χ1 + 0Χ ηλαδή: δεξιόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-7/4 Νέα αντικειμενική: Ζ=65Χ1 + 0Χ ηλαδή: περαιτέρω δεξιόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-13/4 Κορυφή (Χ1, Χ) Ζ=35X1+0X Κορυφή (Χ1, Χ) Ζ=65X1+0X Β (99, 0) 3.465 Γ (84, 45) 3.840 (60, 75) 3.600 Ακριβώς μία άριστη λύση: Η κορυφή Γ (που ευνοεί την παραγωγή του Χ1) Β (99, 0) 6.435 Γ (84, 45) 6.360 (60, 75) 5.400 Ακριβώς μία άριστη λύση: Η κορυφή Β (που ευνοεί πλήρως την παραγωγή του Χ1) http://users.uom.gr/~acg 61 http://users.uom.gr/~acg 6 http://users.uom.gr/~acg 63 http://users.uom.gr/~acg 64

http://users.uom.gr/~acg 65 Νέα αντικειμενική: Ζ=0Χ1 + 0Χ ηλαδή: αριστερόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-1 Νέα αντικειμενική: Ζ=10Χ1 + 0Χ ηλαδή: περαιτέρω αριστερόστροφη περιστροφή της αντικειμενικής λ=-1/ Κορυφή (Χ1, Χ) Ζ=0X1+0X Κορυφή (Χ1, Χ) Ζ=10X1+0X Β (99, 0) 1.980 Β (99, 0) 990 Γ (84, 45).580 Γ (84, 45) 1.740 (60, 75).700 (60, 75).100 Ακριβώς μία άριστη λύση: Ακριβώς μία άριστη λύση: Η κορυφή (που ευνοεί την παραγωγή του Χ) Η κορυφή Ε (που ευνοεί πλήρως την παραγωγή του Χ) http://users.uom.gr/~acg 66 http://users.uom.gr/~acg 67 http://users.uom.gr/~acg 68 Ειδικές Περιπτώσεις () Γραφική Επίλυση ιερεύνηση των περιορισμών Αύξηση της φόδρας ώστε να είναι το πολύ 330 μέτρα Καμία εφικτή λύση (ανέφικτο πρόβλημα, infeasible) χμ Ανεπάρκεια δηλαδή: παράλληλη μετακίνηση του αντίστοιχου περιορισμού Κορυφή: (110, 0).750 Εφικτή περιοχή; 750= http://users.uom.gr/~acg 69 http://users.uom.gr/~acg 70 http://users.uom.gr/~acg 71 http://users.uom.gr/~acg 7 Περαιτέρω αύξηση της ποσότητας φόδρας μέχρι 360μ Ειδικές Περιπτώσεις (3) Γραφική επίλυση Εισαγωγή φραγής: (Χ 10) δηλαδή : περαιτέρω παράλληλη μετακίνηση του περιορισμού Μη φραγμένο πρόβλημα (unbounded) Κορυφές: (110, 0).750 (10, 0) 3.000 (110, 1,5) 3.000 Εφικτή περιοχή; =3000 Άριστες λύσεις; http://users.uom.gr/~acg 73 http://users.uom.gr/~acg 74 http://users.uom.gr/~acg 75 http://users.uom.gr/~acg 76 Γραφική Επίλυση Αποτελέσματα για τις τέσσερις κορυφές του σχήματος Γραφική Ανάλυση Ευαισθησίας Κανονική μορφή του «πρότυπου» μοντέλου Ακραία σημεία: Βασικές λύσεις Βασικές Εφικτές και Μη εφικτές Λύσεις Βασική λύση Ακραίο Τύπος Τιμή Σημείο X1 X s1 s s3 s4 Ζ Κορυφή (Χ1, Χ) Ζ=500Χ1-00Χ Α (50, 0) 5.000 Β (100, 0) 50.000 Γ (160, 10) 56.000 (50, 10) 1.000 1) Χ1 + Χ 550 (διαθέσιμο γάλα) 3) Χ1 + 5Χ 000 (δυναμ. συστήματος ψύξης σε λεπτά) Α 0 0 550 1000 000 400 Εφικτή 0 Β 400 0 150 600 100 0 Εφικτή 60.000 Γ 400 150 0 150 450 0 Εφικτή 90.000 35 5 0 0 5 75 Εφικτή Βέλτιστη 93.750 Ε 0 1000/3 650/3 0 1000/3 400 Εφικτή 00.000/3 Ζ 400 00-50 0 00 0 Μη εφικτή - Η 400 40-90 -10 0 0 Μη εφικτή - Θ 1000 0-450 0 0-600 Μη εφικτή, - Εκφυλισμένη Ι 50 300 0-150 0 150 Μη εφικτή - Κ 550 0 0 450 900-150 Μη εφικτή - Λ 0 550 0-650 -750 400 Μη εφικτή - Μ 0 400 150-00 0 400 Μη εφικτή - http://users.uom.gr/~acg 77 http://users.uom.gr/~acg 78 http://users.uom.gr/~acg 79 http://users.uom.gr/~acg 80

http://users.uom.gr/~acg 81 Γραφική Ανάλυση Ευαισθησίας 1. Μεταβολή αντικειμενικού συντελεστή Μεταβολή αντικειμενικού συντελεστή = Περιστροφή της αντικειμενικής συνάρτησης Ανακεφαλαίωση: Εύρος ευαισθησίας άριστης λύσης ως προς αντικ. συντελεστή Εύρος ευαισθησίας της άριστης λύσης ως προς τον συντελεστή: c1 (Eύρος αριστότητας) (εύρος αριστότητας): X=(-c1/00)X1+(1/00)Z Η κορυφή παραμένει βέλτιστη (ίδιες τιμές για τις μεταβλητές) όταν -1 (-c1/00) -1/3 (00/3) c1 00 Όταν c1=00/3 ή c1=00, τότε: υπάρχουν άπειρες βέλτιστες λύσεις Σημαίνει, ότι καθώς ο αντικειμενικός συντελεστής μεταβάλλεται μέσα στο διάστημα αυτό (καθώς περιστρέφεται η αντικειμενική), η άριστη λύση μένει αναλλοίωτη (το ίδιο σημείο, με τις ίδιες, προφανώς, συντεταγμένες) (σύμπτωση με ο περιορισμό και 1 ο περιορισμό αντίστοιχα) Σημαίνει, ότι καθώς ο αντικειμενικός συντελεστής μεταβάλλεται μέσα Πώς επιδρούν οι μεταβολές αυτές στην τιμή του Ζ? στο διάστημα, η τιμή του z ανταποκρίνεται ανάλογα με την τιμή της π.χ. για c1=170 z = 170(35) + 00(5)=10050 αντίστοιχης μεταβλητής απόφασης http://users.uom.gr/~acg 8 http://users.uom.gr/~acg 83 http://users.uom.gr/~acg 84 Εύρος ευαισθησίας για τον αντ. συντελεστή του προϊόντος Β X=(-150/c)X1+(1/c)Z οπότε -1-150/c -1/3 150 c 450. Μεταβολή δεξιού μέλους Κανονική μορφή του πρότυπου μοντέλου Ακραία σημεία: Βασικές λύσεις Βασικές Εφικτές και Μη εφικτές Λύσεις Βασική λύση Ακραίο Τύπος Τιμή Σημείο X1 X s1 s s3 s4 Ζ Α 0 0 550 1000 000 400 Εφικτή 0 Πώς επιδρούν οι μεταβολές αυτές στην τιμή του Ζ? π.χ. για c=300 z = 150(35) + 300(5)=11650 Για ταυτόχρονες μεταβολές των δύο συντελεστών αρκεί: c1 1 1 c 3 Επίσης : κανόνας ποσοστού 100% 5) Χ1 + Χ 550 (διαθέσιμο γάλα) 6) Χ1 + 3Χ 1000 (εργασία σε λεπτά) 7) Χ1 + 5Χ 000 (δυναμ. συστήματος ψύξης σε λεπτά) 8) Χ1 400 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) Β 400 0 150 600 100 0 Εφικτή 60.000 Γ 400 150 0 150 450 0 Εφικτή 90.000 35 5 0 0 5 75 Εφικτή Βέλτιστη 93.750 Ε 0 1000/3 650/3 0 1000/3 400 Εφικτή 00.000/3 Ζ 400 00-50 0 00 0 Μη εφικτή - Η 400 40-90 -10 0 0 Μη εφικτή - Θ 1000 0-450 0 0-600 Μη εφικτή, - Εκφυλισμένη Ι 50 300 0-150 0 150 Μη εφικτή - Κ 550 0 0 450 900-150 Μη εφικτή - Λ 0 550 0-650 -750 400 Μη εφικτή - Μ 0 400 150-00 0 400 Μη εφικτή - http://users.uom.gr/~acg 85 http://users.uom.gr/~acg 86 http://users.uom.gr/~acg 87 http://users.uom.gr/~acg 88.α Παράλληλη μετακίνηση δεσμευτικού περιορισμού Μεγέθυνση Περιγραφή: Αν το b1 αυξηθεί πέρα από το σημείο Ζ? 1 ος περιορισμός ηλαδή: όταν το γάλα αυξομειώνεται, ο 1 ος περιορισμός κινείται Τότε, ο 1 ος περιορισμός έχει γίνει πλεονάζων (π.χ. b1 = 650) παράλληλα και το βέλτιστο σημείο αλλάζει θέση επάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τα σημεία Ζ και Ε δηλαδή πάνω στον ο (δεσμευτικό) περιορισμό Το σημείο Ζ είναι η τομή των περιοριστικών ευθειών του ου και του 4 ου περιορισμού δηλαδή: Χ = -1/3Χ1 + 1000/3 και Χ1 = 400 οπότε το Ζ είναι: (Χ1, Χ) = (400, 00) Το σημείο Ε είναι η τομή των περιοριστικών ευθειών του ου και του κάθετου άξονα οπότε το Ε είναι: (Χ1, Χ) = (0, 1000/3) http://users.uom.gr/~acg 89 http://users.uom.gr/~acg 90 http://users.uom.gr/~acg 91 http://users.uom.gr/~acg 9 Σκιώδης τιμή πόρου (οριακή αξία) Ρυθμός μεταβολής του z ως προς τη διαθεσιμότητα της πρώτης ύλης «γάλα» b1 Σημείο (x1, x, s1, s, s3, s4) z Μεταβολή Μεταβολή Ρυθμός b1 (α) Ζ (β) (β/α) 480 (0, 60, 0, 0, 60, 180) 85000-70 8750 15 50 (80, 40, 0, 0, 40, 10) 90000-30 3750 15 550 (35, 5, 0, 0, 5, 75 ) 93750 0 0-580 (370, 10, 0, 0, 10, 30 ) 97500 +30 3750 15 590 (385, 05, 0, 0, 05, 15 ) 98750 +40 5000 15 Υπόθεση προς επαλήθευση: Καθώς το μετακινείται μεταξύ των σημείων Ζ και Ε, ο ρυθμός μεταβολής παραμένει σταθερός και η βάση αναλλοίωτη. Αν το αποχωρήσει από την περιοριστική ευθεία του άλλου δεσμευτικού περιορισμού (του ου ) παύει να ισχύει η υπόθεση. Τιμές του γάλακτος b1, όταν η βέλτιστη παραγωγή βρίσκεται μεταξύ Ε και Ζ στην τομή του 1 ου και ου περιορισμού. Γάλα: Χ1 + Χ = b1, αντικαθιστώντας τα δύο άκρα: Ζ(400, 00) και Ε(0, 1000/3) βρίσκουμε την τιμή του γάλακτος (b1) που αντιστοιχεί σ αυτά: Ε: 0 + 1000/3 = b1 b1 = 1000/3 Ζ: 400 + 00 = b1 b1 = 600 Άρα, όταν το γάλα είναι στο διάστημα: 1000/3 b1 600 (εύρος ευαισθησίας της λύσης για το b1) τότε η άριστη λύση είναι σημείο (με διάφορες συντεταγμένες) Ισοδύναμα: 1000/3 550 + b1 600 δηλαδή -650/3 b1 50 (επιτρεπόμενη μεταβολή του b1) Εντοπισμός του ρυθμού μεταβολής της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης (z)και των τιμών των μεταβλητών απόφασης (αλγεβρικά, σε σχέση με το b1) Ξεκινάμε από τους δύο δεσμευτικούς περιορισμούς που καθορίζουν το : Όταν -650/3 b1 50 (δηλαδή μεταξύ Ε και Ζ) τότε: X1 + X = 550 + b1 (γάλα) X1 + 3X = 1000 (εργασία) οπότε λύνοντας ως προς X1 και Χ έχουμε ότι: x 3 1 x = 5 Δb 1 = 35 + Δb1 και 1 Για b1 = -650/3 και 50 ποιες είναι οι τιμές των μεταβλητών ; Με αντικατάσταση στην αντικειμενική συνάρτηση: z = 150x1 + 00x 3 1 z = 150(35+ Δb 1 ) + 00(5 Δb1 ) z = 93750 + 15 b1 ηλαδή: Νέα τιμή του z = (προηγούμενη τιμή του z) + (σκιώδης τιμή περιορισμού) * (νέα τιμή δεξιού μέλους προηγούμενη τιμή δεξιού μέλους) http://users.uom.gr/~acg 93 http://users.uom.gr/~acg 94 http://users.uom.gr/~acg 95 http://users.uom.gr/~acg 96

http://users.uom.gr/~acg 97 Επαλήθευση της αναλλοίωτης βάσης για: -650/3 b1 50 1) Χ1+Χ+ s1=550+ b1 35+1,5 b1+5-0,5 b1+s1=550 + b1 550+ b1+s1=550 + b1 s1=0 (μη βασική) Ανακεφαλαίωση: Εύρος ευαισθησίας άριστης λύσης ως προς δεξιό μέλος (εύρος εφικτότητας): Το εύρος εφικτότητας του δεξιού μέλους του ου περιορισμού (1) Το εύρος εφικτότητας του δεξιού μέλους του ου περιορισμού () x + 3x b ( 1000) 1 = Τώρα, το σημείο κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα ΙΓ. ) Χ1+3Χ+s=1000 35+1,5 b1+3(5-0,5 b1)+s=1000 1000+1,5 b1-1,5 b1+s=1000 s=0 (μη βασική) Σημαίνει, ότι καθώς μεταβάλλεται το δεξιό μέλος μέσα στο διάστημα αυτό (καθώς μεταφέρεται παράλληλα η περιοριστική ευθεία), η άριστη λύση αλλάζει θέση, (το σημείο μεταφέρεται, με άλλες συντεταγμένες Χρησιμοποιώντας τα σημεία Γ(400, 150) και Ι(50, 300) στον ο περιορισμό έχουμε ότι: 850 b 1150 ή 850 1000 + b 1150 που δίνει 3) Χ1+5Χ+s3=000 (35+1,5 b1)+5(5-0,5 b1)+s3=000 αλλά με τις ίδιες βασικές μεταβλητές) όμως η βάση παραμένει -150 b 150 (ως επιτρεπόμενη μεταβολή) 1775+3 b1-,5 b1+s3=000 s3=5-0,5 b1 αναλλοίωτη οπότε: θέτοντας : x1 + 3x = 1000 + b και x1 + x = 550 00 s3 333,3333 (βασική) 4) Χ1 + s4 = 400 35+1,5 b1+s4=400 s4=75 1,5 b1 0 s4 400 (βασική ή εκφυλισμένη) Σημαίνει, ότι καθώς το δεξιό μέλος μεταβάλλεται μέσα στο διάστημα αυτό, η τιμή του z ανταποκρίνεται ανάλογα με τη σκιώδη τιμή του περιορισμού παίρνουμε: x1 = 35 0,5 b και x = 5 + 0,5 b που δίνει Z=93750+5 b σκιώδης τιμή? http://users.uom.gr/~acg 98 http://users.uom.gr/~acg 99 http://users.uom.gr/~acg 100.β Παράλληλη μετακίνηση μη δεσμευτικού περιορισμού 4 ος περιορισμός : 35 b4 < + (σκιώδης τιμή?) Τι θα συμβεί αν το b4 γίνει μικρότερο από 35?? (1) Π.χ. : για b4=95 (δηλαδή για x1 95) Τι θα συμβεί αν το b4 γίνει μικρότερο από 35?? () Η άριστη λύση με το WinQSB Τότε: Βέλτιστη Λύση (X1, X) = (95, 35) Z = 9150 s1 = 0, s = 0, s3 = 35 και s4 = 0 Βασικές μεταβλητές είναι οι: Χ1, Χ, s1 και s3 Η βάση έχει αλλάξει, αφού στην αρχική βέλτιστη λύση βασικές μεταβλητές ήταν οι: Χ1, Χ, s3 και s4 http://users.uom.gr/~acg 101 http://users.uom.gr/~acg 10 http://users.uom.gr/~acg 103 http://users.uom.gr/~acg 104 Η άριστη λύση με το POM/QM Γραφική Επίλυση, πρότυπο παράδειγμα 3D! Γενική - Κανονική μορφή του μοντέλου Γραφική Επίλυση (GeoGebra) - οι περιορισμοί Γαλακτοβιομηχανία Alpha, τρία προϊόντα Προϊόν Α Προϊόν B Προϊόν Γ ιαθεσιμότητα Γάλα (λίτρα) 1 1 1 550 Εργασία (λεπτά) 1 3 1000 υναμικότητα 5 6 000 (λεπτά) Μέγιστη συνολική 400 ζήτηση για Α και Γ 150 (χμ) 00 (χμ) 350(χμ) Περιθώριο κέρδους / τμχ + 350X3 1) Χ1 + Χ + Χ3 550 (γάλα σε λίτρα) ) Χ1 + 3Χ + Χ3 1000 (εργασία σε λεπτά) 3) Χ1 + 5Χ + 6Χ3 000 (δυναμικότητα συστήματος) 4) Χ1 + Χ3 400 (μέγιστη ζητούμενη ποσότητα) και Χ1, Χ, Χ3 0 http://users.uom.gr/~acg 105 http://users.uom.gr/~acg 106 http://users.uom.gr/~acg 107 http://users.uom.gr/~acg 108 H κυρτή περιοχή του τριδιάστατου προβλήματος Ακραία σημεία: Οι Βασικές Εφικτές Λύσεις Η κυρτή περιοχή του διδιάστατου προβλήματος όταν x3=0 Παράλληλη μετατόπιση της ισοκερδούς Ακραίο Σημείο Βασική Εφικτή λύση X1 X X3 s1 s s3 s4 Τιμή Ζ A 0 0 0 550 1000 000 400 0 B 400 0 0 150 600 100 0 60.000 C 400 150 0 0 150 450 0 90.000 D 35 5 0 0 0 5 75 93.750 E 0 333,33 0 16,67 0 333,33 400 66.666,67 F 80 180 90 0 0 0 30 109.500 G 87,5 150 11,5 0 37,5 0 0 11.500 H 0 0 333,33 16,7 333,33 0 66,67 116.666,7 Ι 100 0 300 150 300 0 0 10.000 optimal J 0 50 15 175 0 0 75 93.750 http://users.uom.gr/~acg 109 http://users.uom.gr/~acg 110 http://users.uom.gr/~acg 111 http://users.uom.gr/~acg 11

http://users.uom.gr/~acg 113 Παράλληλη μετατόπιση της ισοκερδούς (από άλλη γωνία) Επίλυση με το WinQSB Επαναληπτικό Παράδειγμα Επαναληπτικό Παράδειγμα (μοντέλο) Μία εταιρεία παιγνιδιών παράγει δύο τύπους «γεμιστά» ζωάκια, το αρκουδάκι (Winnie, Α) και τον τίγρη (Tigger, Β), τα οποία διατίθενται από καταστήματα λιανικής. Το προϊόν Α είναι πιο ογκώδες από το Β και απαιτεί κιλά υλικό γεμίσματος και 6 λεπτά ραπτομηχανής. Το προϊόν Β απαιτεί 1 κιλό υλικού γεμίσματος, αλλά χρειάζεται 1 λεπτά στη ραπτομηχανή, γιατί είναι πιο πολύπλοκο το σχέδιο. Την τρέχουσα παραγωγική περίοδο το εργαστήριο διαθέτει 800 κιλά υλικού γεμίσματος και 70 ώρες ραπτικής. Το περιθώριο κέρδους για τα Α είναι 1 ευρώ και για τα Β είναι 9 ευρώ (ανά τεμάχιο). Μάλιστα, η εταιρεία εφαρμόζει μία Έστω Χ1, Χ τα παραγόμενα τεμάχια από τα δύο προϊόντα. Τότε: Maximize Z=1X1 + 9X μ.π. 1) Χ1 + Χ 800 (υλικό γεμίσματος) ) 6Χ1 + 1Χ 400 (εργασία σε λεπτά) ή 0,1Χ1 + 0,Χ 70 (εργασία σε ώρες) πολιτική παραγωγής, η οποία ορίζει ότι η συνολική παραγόμενη ποσότητα τύπου Α δεν μπορεί να ξεπερνά το διπλάσιο της παραγόμενης ποσότητας τύπου Β. 1. Να διαμορφωθεί το κατάλληλο μοντέλο και να επιλυθεί γραφικά. Να υπολογιστεί το διάστημα αριστότητας για τον αντικ. συντελεστή των Β 3) Χ1 Χ (Α το πολύ όσο το διπλάσιο των Β) 3. Ποια είναι η νέα εφικτή περιοχή, άριστη λύση και άριστη τιμή αν καταργηθεί η παραγωγική απαίτηση «τα Α να είναι το πολύ όσο τα διπλάσια Β»; http://users.uom.gr/~acg 114 http://users.uom.gr/~acg 115 http://users.uom.gr/~acg 116 Επαναληπτικό Παράδειγμα (γραφική επίλυση) Επαναληπτικό Παράδειγμα (κορυφές) Επαναληπτικό Παράδειγμα (συνέχεια) ιάστημα ευαισθησίας για το περιθώριο κέρδους των Β (c) ιάστημα ευαισθησίας για το περιθώριο κέρδους των Β (συνέχεια) Η άριστη λύση παραμένει άριστη, όταν η περιστροφή της αντικειμενικής Α είναι ανάμεσα στους δύο δεσμευτικούς περιορισμούς. ηλαδή τους: Ε Γ Χ = -Χ1 + 800 και Χ = (-6/1)Χ1 + 400/1-1/ Εφικτή περιοχή: ΑΓ Ε Αντικειμενική: Χ = (-1/9) Χ1 + Ζ/9 Άριστη λύση: κορυφή (300, 00) Άριστη τιμή: 5400 =5400 c1 c 1 ος περιορισμός : δεσμευτικός δηλαδή: Χ = (-1/c) X1 + Z/c ος περιορισμός : δεσμευτικός 3 ος περιορισμός : μη δεσμευτικός οπότε πρέπει: - -1/c -1/ που δίνει c 6 και c 4 δηλαδή: 6 c 4 http://users.uom.gr/~acg 117 http://users.uom.gr/~acg 118 http://users.uom.gr/~acg 119 http://users.uom.gr/~acg 10 Επίλυση με το POM/QM Επαναληπτικό Παράδειγμα (συνέχεια) Ποια είναι η νέα εφικτή περιοχή, άριστη λύση και άριστη τιμή αν καταργηθεί η παραγωγική απαίτηση «τα Α να είναι το πολύ όσο τα διπλάσια Β»; Εφικτή περιοχή: ΑΒ Ε =5400 Άριστη λύση: (300,00) Άριστη τιμή: 5400 εν απαιτείται νέο σχήμα. (Γιατί?) http://users.uom.gr/~acg 11 http://users.uom.gr/~acg 1