Τάξη: Α Γυμνασίου A. Να τοποθετήσετε στο κάθε κουτί του πιο κάτω πίνακα έναν αριθμό, ώστε το άθροισμα κάθε γραμμής, στήλης και διαγωνίου να είναι. B. Οι αριθμοί από το μέχρι και το θα τοποθετηθούν στα ασκίαστα κουτιά του πιο κάτω πίνακα με τρόπο, ώστε κάθε γραμμή των τεσσάρων κουτιών και κάθε στήλη των τριών κουτιών να έχει το ίδιο άθροισμα. Να βρείτε μια λύση, όταν. (1) Η λύση φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα:
(2) Έστω το άθροισμα των αριθμών που θα τοποθετηθούν στα τέσσερα «γωνιακά» κουτιά. Το άθροισμα των αριθμών από το μέχρι και το είναι. Έτσι, το άθροισμα των αριθμών στις δύο γραμμές των τεσσάρων κουτιών και στις δύο στήλες των τριών κουτιών είναι. Επομένως: Όταν, από την έχουμε: Μια λύση σε αυτή την περίπτωση είναι η ακόλουθη:
Τάξη: Β Γυμνασίου Ένας Μαθηματικός μελετούσε τα στατιστικά στοιχεία των μαθητών των Γυμνασίων της Κύπρου όσον αφορά τους άριστους μαθητές των σχολείων σε μια σχολική χρονιά. Παρατήρησε κατά την μελέτη του τα εξής: i. Ο αριθμός των αρίστων μαθητών κάθε σχολείου είναι διψήφιος και ο αριθμός του πλήθους όλων των μαθητών κάθε σχολείου είναι τριψήφιος. ii. Σε κάποια σχολεία, αν ο αριθμός των αρίστων μαθητών αυξηθεί κατά, ο αριθμός που θα προκύψει ισούται με τον αριθμό, αν αυτός ελαττωθεί κατά Α. Να αποδείξετε ότι η δεύτερη παρατήρηση του Μαθηματικού μπορεί να εκφραστεί με την εξίσωση B. Να βρείτε όλα τα δυνατά ζευγάρια A. Από την δεύτερη παρατήρηση έχουμε B. Από την σχέση του πρώτου μέρους θα έχουμε Αφού, από την υπόθεση το είναι τριψήφιος αριθμός θα έχουμε Επομένως, αφού το είναι διαιρέτης του μικρότερος του οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει είναι: Έχουμε λοιπόν τις παρακάτω περιπτώσεις: άτοπο. άτοπο., δεκτή. δεκτή. δεκτή.
Τάξη: Γ Γυμνασίου Ένα παιγνίδι στο Καλοκαιρινό Μαθηματικό Σχολείο της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας, παίζεται από παίκτες ως ακολούθως: Ο παίκτης γράφει σε τρεις στήλες τρεις ακέραιους αριθμούς οι οποίοι είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι από το και μικρότεροι ή ίσοι από το έτσι ώστε δηλαδή ο αριθμός στη στήλη να είναι μικρότερος ή ίσος από τον αριθμό στη στήλη και ο αριθμός στη στήλη να είναι μικρότερος ή ίσος από αυτόν στη στήλη (όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα). Παίκτης Στήλη Στήλη Στήλη 1 ος παίκτης 2 ος παίκτης 3 ος παίκτης 4 ος παίκτης 12 ος παίκτης Στη συνέχεια o παίκτης, χρησιμοποιώντας τους αριθμούς της γραμμής ακολουθεί την εξής διαδικασία: Προσθέτει τους αριθμούς των στηλών και διαιρεί το άθροισμα με το Προσθέτει τους αριθμούς των στηλών και διαιρεί το άθροισμα με το Προσθέτει τους αριθμούς των στηλών και διαιρεί το άθροισμα με το δηλαδή δημιουργεί τους αριθμούς (που μπορεί να μη είναι κατ ανάγκη όλοι ακέραιοι), και τους τοποθετεί κατά αύξουσα σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, στις στήλες αντίστοιχα, στην γραμμή του πίνακα. Ο παίκτης επαναλαμβάνει ότι και ο αλλά χρησιμοποιώντας τους αριθμούς της γραμμής και ούτω καθεξής. 1. Χρησιμοποιώντας τους αρχικούς αριθμούς του παίκτη, (α) να συμπληρώσετε τις πρώτες γραμμές στον πιο πάνω πίνακα, λαμβάνοντας υπόψη τον κανόνα για τη διάταξη των αριθμών (από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, στις στήλες αντίστοιχa (β) να βρείτε τη διαφορά των αριθμών που βρίσκονται στις στήλες για τον παίκτη. 2. Σε μια περίπτωση, ο παίκτης επιλέγει συγκεκριμένους ακεραίους, τέτοιους ώστε όταν φτάνουμε στο παίκτη, παρατηρούμε ότι (αφού κάνει τους αναγκαίους υπολογισμούς) βρίσκει και τοποθετεί στις στήλες ακέραιους αριθμούς. Αν ο ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι ο,να βρείτε και να δικαιολογήσετε ποιους αριθμούς τοποθετεί ο παίκτης στις άλλες δύο στήλες. 1. (α)-(β). Αφού θα είναι και Οπότε ο πίνακας παίρνει την ακόλουθη μορφή
Παίκτης Στήλη Στήλη Στήλη γ-α 1ος παίκτης 2ος παίκτης 3ος παίκτης 4ος παίκτης 5ος παίκτης 2. Αν ο ακέραιος αριθμός, που προκύπτει από τις σχετικές πράξεις και που θα τοποθετηθεί στη στήλη και ο αριθμός που θα τοποθετηθεί στη στήλη θα έχουμε ότι ή ότι θα είναι Αν όμως Οπότε, πράγμα άτοπο αφού οι ακέραιοι μεταξύ του και του. Κατά συνέπεια θα είναι και για τον 12ο παίκτη θα είναι και στις τρεις στήλες.