ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΓΙΑΝΝΟΠΑΠΑΣ

ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΓΙΑΝΝΟΠΑΠΑΣ ΑΘΗΝΑ 5

ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΓΙΑΝΝΟΠΑΠΑΣ Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προβλήματα στη Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης

Προβλήματα στη Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης Συγγραφή Γιαννόπαπας Βασίλειος Κριτικός αναγνώστης Παπανικολάου Νικόλαος Συντελεστές έκδοσης ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δεμέστιχα Αικατερίνη ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Γιαννόπαπας Βασίλειος Copyright 5, ΣΕΑΒ Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Cretive Commons Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφθείτε τον ιστότοπο https://cretivecommonsorg/licenses/by-nc-nd//gr/ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 578 Ζωγράφου wwwklliposgr ISBN: 978-96-6-5-6

Πίνακας περιεχομένων Πρόλογος Δεσμοί μεταξύ δομικών λίθων στα στερεά Κρυσταλλική δομή 4 Κρυσταλλική περίθλαση 45 4 Δυναμική του κρυσταλλικού πλέγματος φωνόνια 66 5 Θερμικές ιδιότητες 86 6 Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα στερεά 9 7 Ηλεκτρονική δομή και ενεργειακές ζώνες 8 Ημιαγωγοί 5

Συντομογραφίες Δ μονοδιάστατο Δ δισδιάστατο Δ τρισδιάστατο u ατομικό σύστημα μονάδων bcc χωροκεντρωμένο κυβικό πλέγμα fcc εδροκεντρωμένο κυβικό πλέγμα hcp εξαγωνικό πυκνής δομής LA διαμήκης ακουστικός κλάδος sc απλό κυβικό πλέγμα TA εγκάρσιος ακουστικός κλάδος ZB Ζώνη Brillouin ΦΣΥ Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης

Πρόλογος Η Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης (ΦΣΥ) αποτελεί την αιχμή του δόρατος της έρευνας στη Φυσική τις τελευταίες δεκαετίες Ο λόγος είναι προφανής: η πληθώρα των εφαρμογών στην καθημερινή μας ζωή που απορρέουν από τη μελέτη των υλικών και των ιδιοτήτων τους Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η έρευνα των ημιαγώγιμων υλικών Η κατανόηση των ηλεκτρικών (κυρίως) ιδιοτήτων των ημιαγωγών οδήγησε στην επανάσταση το χώρο της ηλεκτρονικής, η οποία με τη σειρά της αποτέλεσε το εφαλτήριο για τη σύγχρονη ηλεκτρονική εποχή της πληροφορίας και των υπολογιστών Τα τελευταία χρόνια, η έρευνα στη ΦΣΥ επικεντρώνεται στη νανοκλίμακα, δηλαδή σε υλικά και σε διατάξεις, όπου η χαρακτηριστική διάστασή τους είναι της τάξης των μερικών νανομέτρων (λίγο μεγαλύτερη από την ατομική κλίμακα), υποσχόμενη καινοτόμες εφαρμογές στην καθημερινή μας ζωή Η έρευνα στην ΦΣΥ της νανοκλίμακας και των νανο-υλικών βρίσκει εφαρμογή σε όλους σχεδόν τους τεχνολογικούς κλάδους της φυσικής, προσδίδοντας και ένα νέο συνθετικό σε κάθε κλάδο: νανο-ηλεκτρονική, νανο-φωτονική, νανο-μηχανική κλπ Λόγω της σπουδαιότητάς της, η εισαγωγή στη ΦΣΥ διδάσκεται ως υποχρεωτικό μάθημα στα τμήματα Φυσικής και σε εκείνα της Επιστήμης των Υλικών Επίσης, διδάσκεται ως μάθημα επιλογής σε τμήματα Μηχανικών, καθώς και σε άλλα τμήματα Σχολών Θετικών Επιστημών Ένα εξαμηνιαίο μάθημα εισαγωγής στη ΦΣΥ, συνήθως περιλαμβάνει διαλέξεις, εργαστηριακές ασκήσεις, καθώς και κάποιες φροντιστηριακές ώρες πάνω στην επίλυση προβλημάτων Η θεωρία της ΦΣΥ παρουσιάζεται, κυρίως, στο τμήμα των διαλέξεων, το οποίο υποστηρίζεται από πληθώρα ξενόγλωσσων και ελληνόγλωσσων συγγραμμάτων Μάλιστα, πέρα από τα εξαιρετικά βιβλία από Έλληνες συγγραφείς (βλ τη σχετική βιβλιογραφία στο τέλος κάθε κεφαλαίου), τα τελευταία χρόνια έχουν μεταφραστεί στα ελληνικά, αναγνωρισμένα ξενόγλωσσα συγγράμματα, όπως αυτό των Ibch και Lüth (το πιο διαδεδομένο σύγγραμμα ΦΣΥ στα γερμανικά πανεπιστήμια) ή των Ashcroft και Mermin Παρόλα αυτά, κατά γενική ομολογία, η κατανόηση της ανομοιογενούς και ελάχιστα οικείας προς τους φοιτητές ύλης ενός εισαγωγικού μαθήματος στη ΦΣΥ, επιτυγχάνεται μόνο μέσα από την εξάσκηση, εκ μέρους των φοιτητών, στην επίλυση προβλημάτων στη ΦΣΥ Εξ όσων γνωρίζω, στην ελληνική βιβλιογραφία δεν υπάρχουν συγγράμματα, τα οποία επικεντρώνονται στην επίλυση ασκήσεων στη ΦΣΥ, ενώ στη διεθνή βιβλιογραφία υπάρχουν ελάχιστα βιβλία πάνω σε προβλήματα στη ΦΣΥ, τα περισσότερα από τα οποία απευθύνονται σε σπουδαστές μεταπτυχιακού επιπέδου Το παρόν πόνημα αποτελεί μία προσπάθεια συγγραφής ενός φροντιστηριακού βιβλίου, με λυμένα προβλήματα πάνω στη ΦΣΥ, τα οποία καλύπτουν τη συνήθη ύλη ενός εισαγωγικού μαθήματος, όπως: οι δεσμοί στα στερεά, η κρυσταλλική δομή και οι συμμετρίες, το ανάστροφο πλέγμα και η περίθλαση ακτίνων Χ, η δυναμική πλέγματος, τα φωνόνια και οι θερμικές ιδιότητες κρυστάλλων, το πρότυπο ελευθέρων ηλεκτρονίων στα μέταλλα, η ηλεκτρονική δομή στερεών και τέλος, οι ημιαγωγοί Η επίλυση των προβλημάτων παρουσιάζεται αρκετά αναλυτικά, όπως θα παρουσιαζόταν σε ένα φροντιστηριακό μάθημα που συμπληρώνει τις διαλέξεις Αρκετές φορές, οι βασικοί τύποι και τα θεωρήματα επαναλαμβάνονται από άσκηση σε άσκηση, ώστε αφενός να μην ανατρέχουν οι αναγνώστες κάθε τόσο στα αντίστοιχα συγγράμματα της θεωρίας, αφετέρου να υπάρχει και ένας βαθμός αυτονομίας στην επίλυση κάθε προβλήματος (δεν χρειάζεται ο αναγνώστης να έχει μελετήσει πχ τα τρία πρώτα προβλήματα ενός κεφαλαίου, για να φθάσει στο τέταρτο κατά σειρά πρόβλημα) Όλα τα προβλήματα που υπάρχουν στο παρόν σύγγραμμα επιλύονται αναλυτικά, εκτός από δύο τα οποία επιλύονται αριθμητικά: το πρώτο αναφέρεται σε υπολογισμό πλεγματικών αθροισμάτων στις τρεις διαστάσεις (ευθεία άθροιση και άθροιση κατά Ewld), ενώ το δεύτερο αναφέρεται στο πρότυπο των Kronig-Penney, για την ηλεκτρονική δομή ενός μονοδιάστατου στερεού Η προσθήκη των παραπάνω προβλημάτων κρίθηκε σκόπιμη, ώστε οι αναγνώστες να έχουν μια πρώτη επαφή με αριθμητική επίλυση προβλημάτων, εφόσον και η θεωρητική έρευνα της ΦΣΥ είναι σχεδόν ταυτισμένη με την Υπολογιστική Φυσική, λόγω της πολυπλοκότητας στην περιγραφή των φαινομένων στη ΦΣΥ

Ελπίζω οι αναγνώστες και οι μελετητές να βρουν χρήσιμο και ενδεχομένως ενδιαφέρον το παρόν σύγγραμμα Τους παρακαλώ να μου στείλουν οποιαδήποτε λάθη και παραλείψεις εντοπίσουν, καθώς και προτάσεις βελτίωσης του κειμένου στην ηλεκτρονική μου διεύθυνση: vynnop@milntugr Καθώς το σύγγραμμα θα είναι διαθέσιμο, μόνο, σε ηλεκτρονική μορφή, μέσω του αποθετηρίου της Δράσης «Κάλλιπος», τις όποιες διορθώσεις και παρατηρήσεις μού στέλνουν οι αναγνώστες, θα μπορούν αυτές να ενσωματώνονται, ανά τακτά χρονικά διαστήματα, στο σύγγραμμα Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους συντελεστές της Δράσης «Κάλλιπος» για τη συνδρομή τους στη συγγραφή του βιβλίου, καθώς και τους ανώνυμους αξιολογητές και την αντίστοιχη θεματική επιτροπή που μου έδωσαν την ευκαιρία να γράψω το πρώτο μου βιβλίο! Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαιτέρως τον Δρ Νικόλαο Παπανικολάου, Ερευνητή Α του Ινστιτούτου Νανοεπιστήμης και Νανοτεχνολογίας του ΕΚΕΦΕ «Δημόκριτος», που αποδέχθηκε να γίνει ο κριτικός αναγνώστης του παρόντος συγγράμματος Τον ευχαριστώ για την επισταμένη ανάγνωσή του, τις εύστοχες παρατηρήσεις του και τη δημιουργική κριτική του πάνω στο κείμενο Ευχαριστώ την κυρία Αικατερίνη Δεμέστιχα, Διδάκτωρ της Φιλοσοφικής Σχολής του ΕΚΠΑ, για τη γλωσσική επιμέλεια του συγγράμματος Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Αναπληρωτή Καθηγητή της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του ΕΜΠ, κ Κωστή Παρασκευαΐδη για το γεγονός ότι μοιράστηκε μαζί μου την πολύτιμη εμπειρία του στη διδασκαλία του μαθήματος της ΦΣΥ στο ΕΜΠ Ευχαριστώ, ακόμα, τους δύο δασκάλους μου, τον Ομότιμο Καθηγητή του ΕΜΠ κ Αντώνιο Μοδινό και τον Καθηγητή του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών κ Νικόλαο Στεφάνου, οι οποίοι με μύησαν στο αντικείμενο της Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Εξίσου, ευχαριστώ και τον Ομότιμο Καθηγητή του Πανεπιστημίου Πατρών κ Δημήτριο Φωτεινό που με μύησε στο αντικείμενο της Φυσικής Χαλαρής Ύλης, η οποία μαζί με τη Φυσική Στερεάς Κατάστασης συναποτελούν τον κλάδο της ΦΣΥ Μα πάνω από όλα, ευχαριστώ την οικογένειά μου, τη γυναίκα μου Κατερίνα και τα παιδιά μου Λιοντή και Αγγελίνα για την αμέριστη συμπαράστασή τους και υπομονή τους, κατά τη διάρκεια της συγγραφής του παρόντος βιβλίου Αθήνα, Οκτώβρης 5 Βασίλης Γιαννόπαπας

Κεφάλαιο ΔΕΣΜΟΙ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΛΙΘΩΝ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ Προαπαιτούμενη γνώση Ευθύ και ανάστροφο πλέγμα, ατομικά και μοριακά τροχιακά, ιοντικοί και μοριακοί κρύσταλλοι, κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής Πρόβλημα (α) Ένα σύνολο από ορθοκανονικά, ατομικά τροχιακά τύπου p μπορεί να γραφεί στη μορφή p = xf(), r p = yf(), r p = zf() r x y z Θεωρήστε τον παρακάτω γραμμικό συνδυασμό των τροχιακών p y = p x x + p y y + p z z Βρείτε τέσσερα σύνολα από σταθερές ( x, y, z) που δίνουν κανονικοποιημένες καταστάσεις τύπου p των οποίων οι θετικοί λοβοί κατευθύνονται προς τις κορυφές ενός κανονικού τετράεδρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (θυμηθείτε ότι τέσσερις από τις κορυφές ενός κύβου αποτελούν τις κορυφές ενός εγγεγραμμένου κανονικού τετραέδρου) (β) Θεωρήστε το γραμμικό συνδυασμό φ = bs + cψ, όπου ψ είναι ένας οποιοσδήποτε από τους γραμμικούς συνδυασμούς του προηγούμενου ερωτήματος (α) Με s συμβολίζουμε ένα ατομικό τροχιακό s, το οποίο είναι κανονικοποιημένο και ορθογώνιο, ως προς τα τροχιακά px, py, p z Βρείτε τις κατάλληλες

τιμές των παραμέτρων b και c, έτσι ώστε το σύνολο των τεσσάρων τροχιακών (κυματοσυναρτήσεις φ ) να συνιστά μία ορθοκανονικοποιημένη βάση ατομικών κυματοσυναρτήσεων Γράψτε τις τέσσερις κυματοσυναρτήσεις φ, οι οποίες ονομάζονται υβριδικά τροχιακά sp, ως συνάρτηση των x, y, z p p p και s Λύση (α) Οι κορυφές ενός κανονικού τετράεδρου βρίσκονται στις διευθύνσεις [,,], [,,], [,, ], [,, ] Οι προς αναζήτηση σταθερές ( x, y, z) προς τα διανύσματα αυτά Η συνθήκη κανονικοποίησης γράφεται θα πρέπει να είναι ανάλογες y dv = + + = x y z λόγω της ορθοκανονικότητας των ατομικών τροχιακών p Οι παραπάνω συνθήκες (η κανονικοποίηση και οι διευθύνσεις, που είναι παράλληλες με τα διανύσματα των κορυφών,, του τετράεδρου) ικανοποιούνται από τις παρακάτω τετράδες ( x y z),,,,,,,,,,,, και τα αντίστοιχα τροχιακά y y y y (β) Ξεκινάμε με το τροχιακό φ = bs + cψ = + + = + = = + ( px py pz) ( px py pz) ( px py pz) ( px py pz) c φ = bs + ( px + py + pz) Η συνθήκη κανονικοποίησης για το φ γράφεται dv b c φ = + =, () ενώ η συνθήκη ορθογωνιότητας με ένα από τα υπόλοιπα τροχιακά φ, δίνει sp, συγκεκριμένα, το c c φφ dv = b s dv + ( px + py + pz)( px py + pz) = b = () Από τις Εξ() και () λαμβάνουμε το σύστημα εξισώσεων

b + c = c b = με μια από τις 4 λύσεις του συστήματος την b=, c = Έτσι, το φ γράφεται φ = ( s+ px + py + pz) Συνεχίζουμε με το τροχιακό φ = bs + cψ c φ = bs + ( px py + pz) Η συνθήκη κανονικοποίησης για το φ γράφεται dv b c φ = + =, () ενώ η συνθήκη ορθογωνιότητας με ένα από τα υπόλοιπα τροχιακά φ, δίνει sp, συγκεκριμένα, το c φφ dv = bs + ( px py + pz) ( s px py pz) dv + + + = c b + = (4) Από τις Εξ() και (4) λαμβάνουμε το σύστημα εξισώσεων, b + c = c b + = διαλέγοντας μια από τις λύσεις την b=, c = Έτσι, το φ γράφεται φ = ( s px py + pz) Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε και τις εκφράσεις για τα υπόλοιπα δύο τροχιακά φ φ = + = + ( s px py pz) ( s px py pz) sp

Πρόβλημα Θεωρήστε τα υβριδικά τροχιακά sp τα οποία δίνονται από την έκφραση χ = αs+ βp + γ p x y Υπολογίστε τις τιμές των αβγ,, έτσι, ώστε τα τροχιακά να είναι αμοιβαία ορθογώνια μεταξύ τους και οι θετικοί λοβοί να σχηματίζουν γωνία μεταξύ τους στο επίπεδο xy (βλέπε παρακάτω σχήμα) Λύση Κατ αρχήν, μπορούμε να θεωρήσουμε, ότι και για τα τρία τροχιακά sp, χ, χ, χ, ο συντελεστής α που πολλαπλασιάζει το τροχιακό s είναι κοινός, λόγω της σφαιρικής συμμετρίας 4

Οι συντελεστές βγ, των τροχιακών p, p θα πρέπει να είναι τέτοιοι, ώστε οι λοβοί των x y τροχιακών να είναι παράλληλοι με τα διανύσματα (,), (, ) και (, ), όπως φαίνονται στο παραπάνω σχήμα Τέλος, όλα τα τροχιακά θα πρέπει να είναι όλα κανονικοποιημένα στη μονάδα Σύμφωνα με τα παραπάνω, τα τροχιακά γράφονται ( α y ) c = c s+ p c = c αs+ px py c = c αs px py Από την απαίτηση τα χ, χ, χ να είναι κάθετα μεταξύ τους, έχουμε χχ dv = α = α=± από όπου διαλέγουμε τη λύση α = και για τα τρία τροχιακά χ, χ, χ, δηλαδή c = c s+ py c = c s+ px py c = c s px py Από τη συνθήκη κανονικοποίησης του τροχιακού χ έχουμε c dv = s dv + py dv = c + = c =± και διαλέγουμε τη λύση c = Σημειώνουμε, ότι στα παραπάνω έχουμε υποθέσει πως τα ατομικά τροχιακά sp,, p είναι κανονικοποιημένα στη μονάδα x y x s dv = p dv = p dv = y Παρόμοια με το τροχιακό χ, για τα χ, χ προκύπτει ότι επίσης c = c = Έτσι οι τριάδες των συντελεστών αβγ,, είναι 5

και τα αντίστοιχα υβριδικά τροχιακά,,,,,,,, 6 6 sp χ = s+ py χ = s+ px py 6 χ = s px py 6 Πρόβλημα Υπολογίστε αναλυτικά τη σταθερά του Mdelung για μια Δ γραμμική αλυσίδα, αποτελούμενη από ιόντα, με εναλλασσόμενο θετικό και αρνητικό φορτίο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Λύση Υποθέτουμε ότι έχουμε μια Δ περιοδική αλυσίδα εναλλασσόμενων ιόντων φορτίου + q και q, αντίστοιχα Με r συμβολίζουμε την απόσταση των πλησιέστερων γειτόνων Η απόσταση r ij μεταξύ των ιόντων i και j γράφεται σε μονάδες της απόστασης των πλησιέστερων γειτόνων r r ij = α r ij Η ηλεκτροστατική ενέργεια E i του ιόντος i, λόγω του πεδίου των υπολοίπων ιόντων του κρυστάλλου, θα είναι το άθροισμα σε όλα τα ιόντα j i, e Ae Ei = E = ± =, r ij j i j i rij όπου με Α συμβολίζουμε τη σταθερά του Mdelung A = ± α j i Για τη Δ αλυσίδα του σχήματος θα έχουμε, ( ) ij 6

A = + + 4, () όπου ο παράγοντας προκύπτει από το γεγονός ότι για κάθε ιόν υπάρχουν δύο ιόντα ίδιου φορτίου σε ίση απόσταση και εκατέρωθεν του ιόντος Από το ανάπτυγμα Tylor για x =, η Εξ () γράφεται, τελικά, 4 x x x ln( + x) = x + + 4 A = ln Πρόβλημα 4 Κατασκευάστε έναν υπολογιστικό κώδικα για να υπολογίσετε τη σταθερά Mdelung για την ηλεκτροστατική ενέργεια Coulomb, στους Δ ιοντικούς κρυστάλλους NCl και CsCl Ο υπολογισμός της σταθεράς του Mdelung να γίνει (α) με απευθείας άθροιση στο ευθύ πλέγμα και (β) με πλεγματική άθροιση κατά Ewld Συγκρίνετε την αριθμητική σύγκλιση των δύο μεθόδων Λύση (α) Υπολογισμός σταθεράς του Mdelung με ευθεία άθροιση Θεωρούμε έναν ιοντικό κρύσταλλο της μορφής Α + Β - που αποτελείται από Ν κατιόντα και Ν ανιόντα Ένας τέτοιος κρύσταλλος μπορεί να είναι πχ το NCl, ή το CsCl (βλέπε τα παρακάτω σχήματα) 7

Η συνολική ηλεκτροστατική ενέργεια Coulomb του κρυστάλλου θα δίνεται από την q U = N R R R, () n n όπου R n διάνυσμα του ευθέος πλέγματος του ιοντικού κρυστάλλου και R το διάνυσμα της αρχής των αξόνων Ν είναι ο αριθμός των ιόντων Αν R είναι το μισό της πλεγματικής σταθεράς, δηλαδή η απόσταση μεταξύ δύο πλησιέστερων (πρώτων) ετερωνύμων ιόντων, n θέτοντας r n = R, η Εξ() γράφεται R U = = Nq R Nq M R α v ( ) n r r n r n, () όπου η σταθερά α M α M v ( ) = n r r r n n () ονομάζεται σταθερά του Mdelung και εξαρτάται από το είδος της δομής και από την επιλογή του R Δηλαδή, αν είχαμε επιλέξει ως R την απόσταση δεύτερων γειτόνων, η σταθερά του Mdelung λαμβάνει διαφορετική τιμή Συνήθως, επιλέγεται η απόσταση πρώτων γειτόνων Ο εκθέτης v n στο ( ) της Εξ() καθορίζεται από τον αλγόριθμο ο οποίος σχετίζει το σημείο του φορτίου με την κρυσταλλική θέση n 8

Ο αμεσότερος τρόπος υπολογισμού της σταθεράς του Mdelung είναι η απευθείας χρήση της Εξ(), δηλαδή υπολογίζοντας το άθροισμα της Εξ() στο ευθύ πλέγμα Ακολουθεί μια υλοποίηση σε FORTRAN 9 της Εξ() για το NCl (για το CsCl αφήνεται ως άλυτη άσκηση για τον αναγνώστη) progrm Mdelung_Direct_Spce implicit none integer:: i,j,n,nn,nmxd,nmxd_,nmxd_,n,n,n,nmx prmeter (nmxd=5,nmxd_=*nmxd+,nmxd_=nmxd_**) rel*8:: (,),Rn(nmxd_,),Norm_Rn(nmxd_),Nu_Exp(nmxd_) rel*8:: Rx,Ry,Rz,Norm,Nu,Mdelung!--------------------------------------------------------- open(,file='resultstxt') (,:)=(/d,d,d/) (,:)=(/d,d,d/) (,:)=(/d,d,d/) do nmx=,nmxd n= do n=-nmx,nmx do n=-nmx,nmx do n=-nmx,nmx n=n+ Rn(n,:)=dflot(n)*(,:)+dflot(n)*(,:)+dflot(n)*(,:) Norm_Rn(n)=sqrt(Rn(n,)*Rn(n,)+Rn(n,)*Rn(n,)+Rn(n,)*Rn(n, )) Nu_Exp(n)=mod(n,)+mod(n,)+mod(n,) end do end do end do!sorting of RRn do j=,n- Norm=Norm_Rn(j) Rx =Rn(j,) Ry =Rn(j,) Rz =Rn(j,) Nu =Nu_Exp(j) do i=j-,,- if(norm_rn(i)lenorm) exit Norm_Rn(i+)=Norm_Rn(i) Rn(i+,)=Rn(i,) Rn(i+,)=Rn(i,) Rn(i+,)=Rn(i,) Nu_Exp(i+)=Nu_Exp(i) end do Norm_Rn(i+)=Norm Rn(i+,)=Rx Rn(i+,)=Ry Rn(i+,)=Rz Nu_Exp(i+)=Nu end do 9

! Mdelung Mdelung=d do nn=,n Mdelung=Mdelung+((-d)**(Nu_Exp(nn)+))/Norm_Rn(nn) end do write(*,'(x,i7,x,f6,x,i)') nn,mdelung,nmx write(,'(x,i7,x,f6,x,i)') nn,mdelung,nmx end do end progrm Κατ αρχήν, το παραπάνω πρόγραμμα κατασκευάζει διανύσματα του ευθέος πλέγματος Rn = n+ n+ n με n, n, n = nmx,,,, nmx για n mx =,,,5 Σημειώνουμε, ότι για να υπολογίσουμε σωστά τη σταθερά του Mdelung θα πρέπει το συνολικό φορτίο των ιόντων που καταλαμβάνουν τις πλεγματικές θέσεις για συγκεκριμένο nmx να είναι μηδέν Το παραπάνω πρόγραμμα, αφού κατασκευάσει όλα τα διανύσματα για ένα n mx, τα ταξινομεί κατά αυξανόμενο μέτρο και κατόπιν υπολογίζει τη σταθερά του Mdelung σύμφωνα με το άθροισμα της Εξ() Κατόπιν, επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία για nmx +, nmx +, κοκ Στα Σχ και παρακάτω απεικονίζονται οι τιμές της σταθεράς του Mdelung, σε συνάρτηση με τον αριθμό των πλεγματικών σημείων, για το NCl και CsCl, αντίστοιχα Παρατηρούμε, ότι η τιμή της σταθεράς του Mdelung παρουσιάζει ταλάντωση, της οποίας το πλάτος μειώνεται, όσο αυξάνεται ο αριθμός των πλεγματικών σημείων Είναι φανερό, όμως, ότι η σύγκλιση της ευθείας αθροίσεως είναι πολύ αργή Για το λόγο αυτό, καταφεύγουμε στη μέθοδο άθροισης Ewld, η οποία οδηγεί σε ταχεία σύγκλιση, στη σωστή τιμή της σταθεράς του Mdelung (β) Υπολογισμός της σταθεράς του Mdelung με τη μέθοδο άθροισης Ewld Σύμφωνα με τη μέθοδο Mdelung, το άθροισμα / r r μπορεί να γραφεί ως το ολοκλήρωμα μιας παραμετρικής συνάρτησης F(, r p) Συγκεκριμένα, έχουμε rn n rn r r n = F(, r p) dp, (4) όπου F r p = r r p (5) (, ) exp( n ) p rn Εύκολα αποδεικνύεται ότι η F(, r p) ικανοποιεί τη συμμετρία του πλέγματος F( r+ r, p) = F( r, p), (6) n όπου r n είναι ένα διάνυσμα του ευθέος πλέγματος Λόγω της Εξ(6), η F μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier, gn gn F( r, p) = F exp( ig r ), (7) n

όπου g n τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος Οι συντελεστές Fourier δίνονται από την ( p ) F p d rf p i g ( ) = (, )exp( ) n n V r g r c BZ p = exp( gn / 4 p ) Vc p, (8) όπου V c ο όγκος της θεμελιώδους κυψελίδας του ευθέος πλέγματος Η Εξ(7) μέσω της Εξ(8) γράφεται, ως εξής p F r p = g p ig r (9) (, ) exp( / 4 )exp( ) n n Vc g p n Μέσω των Εξ(4) και (9), έχουμε αναγάγει το άθροισμα / r r στον ευθύ χώρο, σε άθροισμα στον ανάστροφο χώρο Όμως, και το άθροισμα στον ανάστροφο χώρο παρουσιάζει πολύ αργή σύγκλιση, όπως και το αντίστοιχο άθροισμα στον ευθύ χώρο Το τέχνασμα του Ewld, έγκειται στο να «σπάσουμε» τον υπολογισμό της σταθεράς του Mdelung σε ένα άθροισμα στον ευθύ χώρο και σε ένα άθροισμα στον ανάστροφο χώρο Για το λόγο αυτό, χωρίζουμε το διάστημα ολοκλήρωσης [, ) της Εξ(4) σε δύο διαστήματα rn n rn r r n G = F(, r p) dp + F(, r p) dp, () G όπου G είναι μια αυθαίρετη θετική σταθερά Στο πρώτο ολοκλήρωμα της Εξ() αντικαθιστούμε την έκφραση της F(, r p) από την Εξ(9), ενώ στο δεύτερο ολοκλήρωμα την έκφραση της F(, r p) από την Εξ(5) Θα έχουμε, λοιπόν, G p = exp( / 4 )exp( ) exp( ) n n + n n n V g r c p p r r r r r gn G rn Εκτελώντας τα ολοκληρώματα της Εξ() λαμβάνουμε, g p i dp p dp () p g G erfc G r r 4 exp( n / 4 ) ( n ) = exp( ig ) n r + r r r n n Vc g g n n r r r n n, () όπου η συνάρτηση σφάλματος erfc(x) ορίζεται από τις x ( ) = exp( ) erf x t dt p ( ) = exp( ) = ( ) erfc x t dt erf x p x () Στα δύο αθροίσματα στον ευθύ χώρο της Εξ() περιέχεται και ο όρος τον όρο αυτό από τα αθροίσματα, έχουμε r = r Ξεχωρίζοντας n

4p exp( gn / 4 G ) erfc( G r rn ) = ig n r + + erfc Gr r n n Vc g r r r gn n rn r rn r r exp( ) lim[ ( ) ](4) Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συνάρτησης σφάλματος G lim[ erfc( Gr) ] =, (5) r r r π η Εξ(4) γίνεται τελικά, 4p exp( n / 4 ) ( rn ) = exp( ig ) n r + r n rn Vc g g n n rn rn g G erfc G G (6) p Καθώς ενδιαφερόμαστε για τον υπολογισμό της σταθεράς του Mdelung για έναν ιοντικό κρύσταλλο με εναλλασσόμενα θετικά και αρνητικά φορτία, η Εξ(6) θα λάβει τελικά τη μορφή α vn vn ( ) 4p exp( n / 4 ) ( ) M = = exp( ig ) ( ) n r + erfc G rn r n rn Vc g g n n rn rn g G G p (7) Ακολουθεί μία υλοποίηση της αθροίσεως Ewld [Εξ()] για το NCl (για το CsCl αφήνεται ως άλυτη άσκηση για τον αναγνώστη) progrm Mdelung_Ewld!NCl structure implicit none integer:: i,j,n,nn,jj,nmxd,nmxd_,nmxd_,n,n,n,nmx integer:: nr,ng,mx prmeter (nmxd=5,nmxd_=*nmxd+,nmxd_=nmxd_**) rel*8:: (,),Rn(nmxd_,),Norm_Rn(nmxd_),RNu_Exp(nmxd_) rel*8:: b(,),gn(nmxd_,),norm_gn(nmxd_),gnu_exp(nmxd_) rel*8:: Rnj(),Norm_Rnj,G_in() rel*8:: Rx,Ry,Rz,Norm,Nu,Mdelung,lph,pi,Vc,GG,g_exp,q rel*8:: md_,md_,erfc,rg!--------------------------------------------------------- open(,file='resultstxt') mx= lph=d pi=4d*tn(d) Vc=lph** GG=d!Cutoff prmeter!direct-lttice vectors for NCl (sc) (,:)=lph*(/d,d,d/) (,:)=lph*(/d,d,d/) (,:)=lph*(/d,d,d/)!reciprocl-lttice vectors for NCl (sc) b(,:)=(d*pi/lph)*(/d,d,d/)

b(,:)=(d*pi/lph)*(/d,d,d/) b(,:)=(d*pi/lph)*(/d,d,d/)!cll non_primitive_vectors(,lph,jmx,rj,qj) do nmx=,mx cll vectors(nmx,,nr,rn,norm_rn,rnu_exp) cll vectors(nmx,b,ng,gn,norm_gn,gnu_exp) md_=d do nn=,ng if(norm_gn(nn)gtd-8) then g_exp=norm_gn(nn)*norm_gn(nn)/(4d*gg*gg) G_in(:)=Gn(nn,:) md_=md_+exp(-g_exp)/norm_gn(nn)/norm_gn(nn) end if end do md_=md_*4d*pi/vc md_=d do nn=,nr Rnj(:)=Rn(nn,:) Norm_Rnj=sqrt(Rnj()*Rnj()+Rnj()*Rnj()+Rnj()*Rnj()) q=(-d)**(rnu_exp(nn)+) if(norm_rnjgtd-5) then rg=gg*norm_rnj cll clerf(rg,erfc,) md_=md_+erfc*q/norm_rnj else md_=md_-d*gg*q/sqrt(pi) end if end do Mdelung=md_+md_ write(*,'(x,i,x,i7,(x,e6))') nmx,nr,md_,md_,mdelung write(,'(x,i,x,i7,(x,e6))') nmx,nr,md_,md_,mdelung end do end progrm subroutine vectors(nmx,,n,rn,norm_rn,nu_exp) implicit none integer:: i,j,n,nmx,n,n,n,nmxd,nmxd_,nmxd_ prmeter (nmxd=5,nmxd_=*nmxd+,nmxd_=nmxd_**) rel*8:: (,),Rn(nmxd_,),Norm_Rn(nmxd_) rel*8:: Nu_Exp(nmxd_) rel*8:: Rx,Ry,Rz,Norm,Nu!---------------------------------------------------------- n= do n=-nmx,nmx do n=-nmx,nmx do n=-nmx,nmx

n=n+ Rn(n,:)=dflot(n)*(,:)+dflot(n)*(,:)+dflot(n)*(,:) Norm_Rn(n)=sqrt(Rn(n,)*Rn(n,)+Rn(n,)*Rn(n,)+Rn(n,)*Rn(n,)) Nu_Exp(n)=mod(n,)+mod(n,)+mod(n,) end do end do end do!sorting of RRn do j=,n- Norm=Norm_Rn(j) Rx =Rn(j,) Ry =Rn(j,) Rz =Rn(j,) Nu =Nu_Exp(j) do i=j-,,- if(norm_rn(i)lenorm) exit Norm_Rn(i+)=Norm_Rn(i) Rn(i+,)=Rn(i,) Rn(i+,)=Rn(i,) Rn(i+,)=Rn(i,) Nu_Exp(i+)=Nu_Exp(i) end do! if(ieq) i= Norm_Rn(i+)=Norm Rn(i+,)=Rx Rn(i+,)=Ry Rn(i+,)=Rz Nu_Exp(i+)=Nu end do end subroutine vectors Το υποπρόγραμμα vectors κατασκευάζει και ταξινομεί κατά αύξον μέτρο, τα διανύσματα ενός τυχαίου πλέγματος Brvis Στο κυρίως πρόγραμμα, Mdelung_Ewld, το υποπρόγραμμα vectors χρησιμοποιείται για την κατασκευή των διανυσμάτων, τόσο του ευθέος, όσο και του αναστρόφου πλέγματος Το υποπρόγραμμα clerf υπολογίζει τη συνάρτηση erfc (όπως, επίσης, και τις erf, erfcx αλλά δεν τις χρειαζόμαστε στο παρόν πρόγραμμα), είναι γραμμένο σε FORTRAN 77, και βρίσκεται στην ηλεκτρονική βιβλιοθήκη αριθμητικών μεθόδων: http://wwwnetliborg Το συγκεκριμένο υποπρόγραμμα βρίσκεται στη διεύθυνση: http://wwwnetliborg/specfun/erf Στα Σχ και απεικονίζονται τα αποτελέσματα υπολογισμού της σταθεράς του Mdelung για το NCl και CsCl, αντίστοιχα, χρησιμοποιώντας την ευθεία άθροιση και την άθροιση Ewld 4

Σταθερά Mdelung για το NCl Ευθεία άθροιση Άθροιση κατά Ewld α M =7476 α M 9 8 7 6 5 4 4 6 8 Αριθμός πλεγματικών σημείων Σχ Υπολογισμός της σταθεράς του Mdelung για το NCl Σταθερά Mdelung για το CsCl Ευθεία άθροιση Άθροιση κατά Ewld α M =767 α M 9 8 7 6 5 4 4 6 8 Αριθμός πλεγματικών σημείων Σχ Υπολογισμός της σταθεράς του Mdelung για το CsCl Είναι φανερή η ταχύτατη σύγκλιση της άθροισης Ewld, σε σύγκριση με την ευθεία άθροιση Στον παρακάτω πίνακα παραθέτουμε τη σταθερά του Mdelung για τα κυριότερα κυβικά πλέγματα: 5

Κρυσταλλικό πλέγμα Σταθερά Mdelung NCl 7476 CsCl 767 ZnS (κυβικό βουρτσίτης) 68 ZnS 64 fcc 797 bcc 799 Πρόβλημα 5 Θεωρήστε έναν ιοντικό κρύσταλλο, αποτελούμενο από θετικά και αρνητικά φορτισμένα ιόντα Σε κάθε ιόν ασκούνται ηλεκτροστατικές δυνάμεις Coulomb από τα υπόλοιπα ιόντα του κρυστάλλου, καθώς και απωστικές δυνάμεις κβαντικής φύσης Η ενέργεια αλληλεπίδρασης ανάμεσα σε δύο ιόντα i και j γράφεται, E ij =± e b r + r, ij n ij όπου r ij η απόσταση μεταξύ των ιόντων i και j, ± e τα φορτία των ιόντων, b και n εμπειρικές σταθερές (α) Δείξτε ότι η συνολική ενέργεια του κρυστάλλου γράφεται στη μορφή Ae B Ur () = N n, r r όπου Α, Β σταθερές, N ο συνολικός αριθμός των ζευγών ανιόντων-κατιόντων του κρυστάλλου και r η απόσταση πλησιέστερων γειτόνων (β) Δείξτε ότι η ενέργεια Ur ( ), η οποία αντιστοιχεί στη θέση ισορροπίας r = r, δίνεται από τη σχέση NAe Ur ( ) = r n (γ) Θεωρήστε τον ιοντικό κρύσταλλο του NCl για τον οποίο δίνονται η συμπιεστότητα - κ = cm dyne, η σταθερά του Mdelung A = 75 και η απόσταση των πλησιέστερων γειτόνων στη θέση ισορροπίας r = 8 Å Βάσει των παραπάνω, υπολογίστε τον εκθέτη n του απωστικού δυναμικού Δίνεται, ότι η απόλυτη τιμή του φορτίου των ιόντων ισούται με αυτή του ηλεκτρονίου e = 48 esu (δ) Πώς θα επηρεαζόταν η απόσταση των πλησιέστερων γειτόνων r, η συμπιεστότητα κ, και η ολική ενέργεια U, αν διπλασιαζόταν το ιοντικό φορτίο; Λύση (α) Η απόσταση r ij μεταξύ των ιόντων i και j γράφεται σε μονάδες της απόστασης των πλησιέστερων γειτόνων r r ij = α r ij 6

Η ολική ενέργεια E i του ιόντος i λόγω του πεδίου των υπόλοιπων ιόντων του κρυστάλλου, θα είναι το άθροισμα σε όλα τα ιόντα j i, όπου E, () e b Ae B i = Eij = ± + = + n n j i j i rij r ij r r A = ±, () α j i ( ) ij και B = b () n α j i ij Σύμφωνα με τη θεωρία, η Εξ() αποτελεί τον ορισμό της σταθεράς του Mdelung Αν το ιόν i είναι αρνητικό, τότε τα θετικά και τα αρνητικά πρόσημα στην Εξ() αντιστοιχούν σε θετικά και αρνητικά ιόντα, αντιστοίχως Από την Εξ(), η ολική ενέργεια Ur () ενός κρυστάλλου που περιέχει Ν ιόντα γράφεται Ae B U() r = NEi = N n r r (4) Η παραπάνω σχέση προϋποθέτει ότι ο αριθμός N είναι αρκετά μεγάλος, ώστε τα επιφανειακά φαινόμενα να είναι αμελητέα (β) Σε κατάσταση ισορροπίας r = r και η U(r) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, το οποίο υπολογίζεται από τη σχέση du Ae nb nb = N = r n = + dr r= r r r Ae n (5) Αντικαθιστώντας την Εξ(5) στην Εξ(4) λαμβάνουμε ότι NAe Ur ( ) = r n (6) (γ) Η συμπιεστότητα ενός κρυστάλλου ορίζεται ως dv κ =, V dp όπου V ο όγκος του κρυστάλλου και p η πίεση Στο απόλυτο μηδέν ( T = Κ ) du = pdv, οπότε du = V (7) κ dv 7

Είναι d U du d r d U dr dv dr dv dr dv = + (8) Σημειώνουμε ότι για έναν κύβο NCl του οποίου η ακμή ισούται την απόσταση των πλησιέστερων γειτόνων r, περιέχει μισό μόριο NCl Έτσι, ο όγκος V κρυστάλλου, αποτελούμενου από N μόρια, γράφεται V = Nr, οπότε παραγωγίζοντας την παραπάνω έχουμε Επίσης, θυμόμαστε ότι στη θέση ισορροπίας dr = dv 6N r 4 (9) du dr = r r = () Αντικαθιστώντας τις Εξ(9) και () στις Εξ(7) και (8) λαμβάνουμε = () du κ 8Nr dr r= r Παίρνοντας τη δεύτερη παράγωγο της Εξ(4) έχουμε ( + ) = N n dr r r + d U Ae n n B () Από τις Εξ(5) και () μπορούμε να απαλείψουμε το Β και, έτσι, να γράψουμε τελικώς ( n ) Ae = () κ 8r 4 Χρησιμοποιώντας τις τιμές των κ, Α, r και e, όπως δίνονται στην εκφώνηση του προβλήματος, βρίσκουμε τελικώς n 94 (δ) Στη δεύτερη των Εξ(5) θέτουμε όπου e e βρίσκοντας n nb n r( e) = 4 r = ( e) 4Ae (4) Αντικαθιστώντας την Εξ(4) στην Εξ() λαμβάνουμε για τη συμπιεστότητα 8

4 + n 8 r ( e) n κ( e) = = 4 κ( e), 4( n ) Ae (5) ενώ από τις Εξ(6) και (4) λαμβάνουμε ότι n 4NAe n ( ) = = 4 ( ) U e Ue (6) r ( e) n Πρόβλημα 6 6 Δείξτε ότι η ενέργεια σύνδεσης vn der Wls φθίνει ως /R με την απόσταση Για να το δείξετε αυτό, θεωρήστε δύο άτομα τα οποία προσεγγίζονται ως αρμονικοί κβαντικοί ταλαντωτές, σε απόσταση R μεταξύ τους Επίσης, κάθε ταλαντωτής είναι μεν ηλεκτρικά ουδέτερος, περιέχει, όμως, δυο σημειακά αντίθετα φορτία ± e, τα οποία απέχουν διαφορετικές αποστάσεις x, x μεταξύ τους σε κάθε ταλαντωτή (βλέπε παρακάτω σχήμα) Λύση Το δυναμικό ενός γραμμικού αρμονικού ταλαντωτή είναι V ( x) ενός συστήματος δύο μη αλληλεπιδρώντων ταλαντωτών γράφεται ως = Cx Η Χαμιλτονιανή H = m p + Cx + m p + Cx () Η ιδιοσυχνότητα ω κάθε ταλαντωτή είναι ω = συστήματος είναι C m, ενώ η ενέργεια μηδενικού σημείου του E C = ω = ω = m Συμβολίζουμε με H τη Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο ταλαντωτών H e = + () 4πe R R+ x x R+ x R x 9

Καθώς για τις αποστάσεις x, x R, μπορούμε να εφαρμόσουμε το ανάπτυγμα της γεωμετρικής προόδου = + + + + = < t n t t t t, όπου t n= στην Εξ() θεωρώντας αμελητέους τους όρους ης τάξης και πάνω Συγκεκριμένα, x x x x = + + x x + R x x R R R R R = + R x R R R R R x x x + = + + R x R R R R R x x x () Αντικαθιστώντας τις Εξ() στην Εξ(), οι γραμμικοί όροι καθώς και οι τετραγωνικοί όροι που περιέχουν x, x απαλείφονται, δίνοντας, τελικώς H e xx, (4) 4πe R που παίρνει πάντοτε αρνητικές τιμές, δηλαδή η δύναμη μεταξύ παράλληλων ταλαντωτικών διπόλων είναι πάντοτε ελκτική Η συνολική Χαμιλτονιανή H του συστήματος γράφεται exx H = H + H = p + Cx + p + Cx (5) m m 4pe R Η παραπάνω Χαμιλτονιανή των αλληλεπιδρώντων (μέσω πεδίου Coulomb) ταλαντωτών μπορεί να γραφεί ως μία Χαμιλτονιανή δύο μη αλληλεπιδρώντων ταλαντωτών, εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό xs = ( x+ x) και x = ( x x) (6) Αντικαθιστώντας όπου x = ( x + x ) και x ( x x ) τελικώς όπου s = s στην Εξ(5), λαμβάνουμε H ps Csxs p Cx m + + m +, (7) e e C = s C και C C 4πe = + 4 (8) R πer

Οι χαρακτηριστικές ιδιοσυχνότητες δίνονται από τις e C ± 4πe R e e e ωs, = = ω ± ω ±, (9) m 4πe RC 4πeRC 8 4πe RC όπου ω = C m, και χρησιμοποιήσαμε τους τρεις πρώτους όρους στο ανάπτυγμα Tylor 8 6 + t = + t t + t () Έτσι, η ενέργεια μηδενικού σημείου στο σύστημα των συζευγμένων ταλαντωτών είναι ( ω + ωs) Η διαφορά στην ενέργεια μηδενικού σημείου ανάμεσα στο σύστημα συζευγμένων και ασύζευκτων ταλαντωτών μας δίνει την ενέργεια σύνδεσης (δεσμού vn der Wls) Αντικαθιστώντας την Εξ(9) στην Εξ() λαμβάνουμε τελικώς Eb = ( ω + ωs) ω () E ω e b 6 8 4πe RC R ()

Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [] H Ibch και H Lüth, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, ) [] C Kittel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 979) [] N W Ashcroft και N D Mermin, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, ) [4] R Levy, Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσεως, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 968) [5] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 997) [6] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, ) [7] Α Μοδινός, Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης, (Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, 994) [8] Σ Η Παπαδόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 4) [9] Π Βαρώτσος και Κ Αλεξόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα, 995) [] Κ Παρασκευαΐδης, Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης», (ΕΜΠ, Αθήνα, ) [] Σ Τραχανάς, Κβαντομηχανική ΙΙ, (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Αθήνα, 8) Ξενόγλωσσα: [] M P Mrder, Condensed Mtter Physics, (Wiley, New Jersey, ) [] H E Hll, Solid Stte Physics, (Wiley, Bristol, 974) [] J M Zimn, Principles of the Theory of Solids, (Cmbridge, Cmbridge, 964) [4] H J Goldsmid, (ed), Problems in Solid Stte Physics, (Pion Limited, London, 968) [5] V M Agrnovich nd A A Mrdudin (eds), Modern Problems in Condensed Mtter Sciences, (Elsevier, Amsterdm, 989) [6] A L Ivnov nd S G Tikhodeev (eds), Problems of Condensed Mtter Physics, (Oxford, Oxford, 8) Λέξεις κλειδιά ανάπτυγμα του Tylor ανάστροφο πλέγμα αρμονικός κβαντικός ταλαντωτής γραμμικός συνδυασμός δυναμική πλέγματος ενέργεια σύνδεσης vn der Wls ηλεκτρονική δομή στερεών ηλεκτροστατική ενέργεια Coulomb ημιαγώγιμα υλικά ημιαγωγός θερμικές ιδιότητες κρυστάλλων ιόντα κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής κρυσταλλική δομή κρύσταλλοι ιοντικοί κρύσταλλοι μοριακοί κυβικά πλέγματα κυματοσυναρτήσεις νανοεπιστήμη νανο-ηλεκτρονική νανοκλίμακα νανόμετρα νανο-μηχανική νανοτεχνολογία νανο-υλικά νανο-φωτονική παραγωγίζω περίθλαση ακτίνων Χ πλέγμα Brvis

πλέγμα ευθύ πρότυπο ελεύθερων ηλεκτρονίων στα μέταλλα σταθερά του Mdelung συμμετρίες συμπιεστότητα συνθήκη κανονικοποίησης συνθήκη ορθογωνιότητας συντελεστής Fourier τετράεδρο τροχιακά ατομικά τροχιακά μοριακά τροχιακά μοριακά ορθοκανονικά τροχιακά υβριδικά φωνόνια

Κεφάλαιο ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ Προαπαιτούμενη γνώση Πλέγμα Brvis, θεμελιώδης και μοναδιαία κυψελίδα, πλεγματικά επίπεδα, δείκτες Miller, ανάστροφο πλέγμα, ζώνη Brillouin, σημειακές ομάδες χώρου Πρόβλημα Το διπλανό σχήμα δείχνει ένα επίπεδο σε ένα χωροκεντρωμένο κυβικό πλέγμα (bcc) πλεγματικής σταθεράς (α) Να βρείτε τους δείκτες Miller αυτού του επιπέδου (β) Να βρείτε τις αποστάσεις μεταξύ δύο διαδοχικών επιπέδων και να σχεδιάσετε τα διαδοχικά επίπεδα (γ) Να βρείτε την πυκνότητα των πλεγματικών σημείων στο επίπεδο αυτό (δ) Ποια θα ήταν η απάντηση στο ερώτημα (β) αν το πλέγμα ήταν (i) εδροκεντρωμένο κυβικό (fcc) και (ii) απλό κυβικό (sc); Λύση (α) Στο απλό κυβικό (sc) πλέγμα, το εικονιζόμενο επίπεδο είναι το () sc Θα υπολογίσουμε τους δείκτες Miller στο χωροκεντρωμένο κυβικό πλέγμα (bcc) Τα θεμελιώδη διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος στο χωροκεντρωμένο κυβικό (bcc) είναι π b ˆ ˆ = ( x+ y) π b ˆ ˆ = ( y+ z), π b ˆ ˆ = ( z+ x) ενώ ένα τυχαίο διάνυσμα G του αναστρόφου πλέγματος γράφεται G= nb+ nb + nb π = [( n ˆ ˆ ˆ + n) x+ ( n+ n) y+ ( n + n) z ], όπου n, n, nακέραιοι αριθμοί Η δεύτερη από τις παραπάνω ισότητες αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα του αναστρόφου του απλού κυβικού (sc) Εφόσον, λοιπόν, γνωρίζουμε ότι οι δείκτες Miller για την παραπάνω οικογένεια επιπέδων στο sc είναι () sc, σύμφωνα με την παραπάνω σχέση θα πρέπει 4

n+ n = j n+ n = j, n + n = όπου j ακέραιος αριθμός Η ελάχιστη τριάδα ακεραίων που ικανοποιούν τις παραπάνω εξισώσεις είναι η n = n = n = Επομένως η οικογένεια επιπέδων του σχήματος ως προς το πλέγμα bcc, θα είναι τα επίπεδα () bcc (β) Το διάνυσμα του αναστρόφου το οποίο αντιστοιχεί στην οικογένεια επιπέδων () bcc του bcc, είναι, π 4π G = b ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () + b b = (x+ y+ y+ z x z) = ( x+ y ), bcc το μέτρο του οποίου είναι 4 5π G = () bcc Η απόσταση μεταξύ των επιπέδων () bcc είναι d () bcc π π 5 = = = G 4 5π () bcc (γ) Για να υπολογίσουμε την πυκνότητα των ατόμων (πλεγματικών σημείων) στο επίπεδο () sc [ () bcc ], θα πρέπει να θεωρήσουμε δύο διαδοχικές κυψελίδες, ώστε να έχουμε όλα τα άτομα, τα οποία περιέχονται σε μια θεμελιώδη κυψελίδα του Δ πλέγματος που αντιστοιχεί στα επίπεδα αυτά (βλέπε διπλανό σχήμα) Παρατηρούμε, ότι τα άτομα στην οικογένεια επιπέδων () sc είναι διατεταγμένα σε ένα ορθογώνιο πλέγμα με πλευρές και + ( ) = 5, αντίστοιχα Άρα, το εμβαδόν της θεμελιώδους κυψελίδας θα είναι S() = 5 = 5 Επίσης, σε κάθε ορθογώνια sc κυψελίδα υπάρχουν 4 άτομα, κάθε ένα από τα οποία συμμετέχει κατά στη συγκεκριμένη κυψελίδα Έτσι, ο συνολικός αριθμός ατόμων τα 4 οποία αντιστοιχούν σε μια κυψελίδα θα είναι N () = 4 Άρα, η επιφανειακή πυκνότητα sc 4 των ατόμων στην οικογένεια επιπέδων () sc [ () bcc ] θα είναι τελικά: 5

ρ = N = = 5 () sc () sc S() 5 5 sc (δ) Τα διανύσματα του αναστρόφου για το εδροκεντρωμένο κυβικό (fcc) πλέγμα είναι π b ˆ ˆ ˆ = ( x+ y z) π b ˆ ˆ ˆ = ( x+ y+ z), π b ˆ ˆ ˆ = ( x y+ z) ενώ ένα τυχαίο διάνυσμα G του αναστρόφου πλέγματος γράφεται G= nb + n b + n b π = [( n n + n ˆ ˆ ˆ ) x+ ( n+ n n) y+ ( n+ n + n) z ], όπου n, n, n είναι ακέραιοι αριθμοί Όπως και πριν, η τελευταία ισότητα αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα του αναστρόφου του απλού κυβικού (sc) Εφόσον λοιπόν γνωρίζουμε ότι οι δείκτες Miller για την παραπάνω οικογένεια επιπέδων στο sc είναι () sc, από τα παραπάνω θα έχουμε n n + n = j n + n n = j, n+ n + n = όπου j είναι ακέραιος αριθμός Η ελάχιστη τριάδα ακεραίων που ικανοποιούν τις παραπάνω εξισώσεις είναι η n = n = n = Επομένως, η οικογένεια επιπέδων του σχήματος, ως προς το πλέγμα fcc, θα είναι τα επίπεδα () fcc Το διάνυσμα του αναστρόφου, το οποίο αντιστοιχεί στην οικογένεια επιπέδων () fcc του fcc, είναι 4π G() = b ˆ ˆ + b + b = ( x+ y ), fcc το μέτρο του οποίου είναι 4 5π G () = fcc 6

Η απόσταση μεταξύ των επιπέδων () fcc θα είναι d () fcc π π 5 = = =, G 4 5π () fcc και είναι ίδια με την απόσταση των αντίστοιχων επιπέδων, () bcc, στο bcc Τέλος, για το απλό κυβικό (sc) πλέγμα, το διάνυσμα του αναστρόφου που αντιστοιχεί στην οικογένεια επιπέδων () sc είναι π G ˆ ˆ () = ( x+ y ), sc το μέτρο του οποίου είναι 5π G () =, sc ενώ η απόσταση μεταξύ των επιπέδων () sc θα είναι d () sc π π 5 = = =, G 5 () 5π sc και είναι διπλάσια από την απόσταση των αντίστοιχων επιπέδων, () bcc, στο bcc [που είναι η ίδια με την απόσταση της οικογένειας των επιπέδων () fcc του fcc] Πρόβλημα Ως θεμελιώδη διανύσματα του εξαγωνικού πλέγματος θεωρήστε τα Δείξτε ότι: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = x+ y, = x+ y, =cz (α) Ο όγκος Vc της θεμελιώδους κυψελίδας είναι c (β) Τα θεμελιώδη διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος είναι b = π xˆ + π yˆ, b ˆ ˆ ˆ = π x+ π y, b π = z c Σχεδιάστε το πλέγμα που ορίζουν τα διανύσματα αυτά και χαρακτηρίστε το (γ) Σχεδιάστε την η ζώνη Brillouin (ΖΒ) του εξαγωνικού πλέγματος Λύση (α) Από τον ορισμό του όγκου Vc της θεμελιώδους κυψελίδας έχουμε 7

V V V C C C = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) = x+ y x+ y cz = det c = c (β) Από τον ορισμό των διανυσμάτων του αναστρόφου πλέγματος έχουμε xˆ yˆ zˆ π π π π π b = ( ) = det = c xˆ + yˆ = xˆ + y ˆ VC V C VC c xˆ yˆ zˆ π π π π π b = ( ) = det c = c xˆ yˆ = xˆ + y ˆ VC VC VC xˆ yˆ zˆ π π π π b = ( ) = det = zˆ = z ˆ VC V C VC 4 c 8

(γ) Παρακάτω απεικονίζεται το ευθύ Δ εξαγωνικό πλέγμα (στα αριστερά) καθώς και το ανάστροφό του (στα δεξιά), επίσης, εξαγωνικό πλέγμα (στραμμένο κατά 9 σε σχέση με το ευθύ) Στο ανάστροφο πλέγμα, εκτός από τα θεμελιώδη διανύσματα του αναστρόφου b, bτα οποία απεικονίζονται, το γραμμοσκιασμένο εξάγωνο είναι η προβολή της ης ζώνης Brillouin (ZB) στο επίπεδο xy Για το Δ εξαγωνικό πλέγμα, το ανάστροφό του απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα όπου σχεδιάζονται και τα τρία διανύσματα του αναστρόφου b, b, bπου υπολογίστηκαν παραπάνω Το γραμμοσκιασμένο εξαγωνικό πρίσμα απεικονίζει την Δ η ζώνη Brillouin (ZB) Πρόβλημα Στο παρακάτω σχήμα, δίνεται η θεμελιώδης κυψελίδα της δομής του διαμαντιού (α) Δείξτε, ότι η γωνία μεταξύ δύο οιωνδήποτε γραμμών που ενώνουν ένα πλεγματικό σημείο της δομής του αδάμαντα με τους τέσσερις πρώτους γείτονες είναι rccos( / ) = 9 8 (β) Δείξτε, ότι το ποσοστό κατάληψης όγκου από τα άτομα, για δομή αδάμαντα πυκνής δομής είναι: π f = = 4 6 9

Λύση (α) Για να υπολογίσουμε τη γωνία, η οποία συνδέει ένα άτομο στη δομή του αδάμαντα με έναν οποιονδήποτε πρώτο γείτονά του, αρκεί να υπολογίσουμε τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα S, S, που απεικονίζονται στο παραπάνω σχήμα Συγκεκριμένα, το διάνυσμα S ενώνει τα πλεγματικά σημεία (,,) και πλεγματικά σημεία (,, ) 4 4 4 και (,,) (,, ) 4 4 4 ενώ το διάνυσμα S ενώνει τα Επομένως, τα διανύσματα S, S θα γράφονται S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = ( x+ y+ z) ( x+ y+ z) = ( x+ y+ z) 4 4 S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = x+ y ( x+ y+ z) = ( x+ y z) 4 4 Η γωνία μεταξύ των S, S (η οποία θα είναι και η γωνία μεταξύ δεσμών πρώτων γειτόνων στη δομή του αδάμαντα) μπορεί να υπολογιστεί μέσω του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων, ως εξής ( + ) S S 6 cosφ = = = φ = rccos = 9 8 S S 6 (β) Η μέγιστη ακτίνα ατόμου στη δομή του αδάμαντα θα είναι ίση με το μισό της απόστασης των πλησιέστερων (πρώτων) γειτόνων, R mx = (,,) = 4 8 Όταν τα άτομα λαμβάνουν τη μέγιστη επιτρεπτή τιμή ακτίνας R mx (πέρα από αυτήν, τα άτομα εισχωρούν το ένα μέσα στο άλλο), τότε η δομή του αδάμαντα, η οποία προκύπτει, είναι πυκνής δομής Στη μοναδιαία κυψελίδα που εικονίζεται στο παραπάνω σχήμα αντιστοιχούν

r = 8 + 6 + 4= + + 4= 8 8 8 άτομα Επομένως, το ποσοστό κατάληψης όγκου για κρύσταλλο αδάμαντα πυκνής δομής θα γράφεται f 4 8 V 8 π Rmx τόmου /8 = = = π 487 = Πρόβλημα 4 Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται δύο διαφορετικά Δ πλέγματα [(α) και (β)] καθώς και ένα πολύγωνο (γ) Αναγνωρίστε τις πράξεις συμμετρίας της σημειακής ομάδας που χαρακτηρίζει κάθε περίπτωση (τα Δ πλέγματα θεωρούνται άπειρα) Δείξτε, ότι οι σημειακές ομάδες των δύο κρυστάλλων είναι διαφορετικές, ενώ μία από αυτές τις ομάδες ταυτίζεται με την ομάδα συμμετρίας του πολυγώνου Λύση Παρατηρούμε το πλέγμα (α) Στην σημειακή ομάδα που χαρακτηρίζει το πλέγμα (α), υπάρχουν 8 πράξεις συμμετρίας, όπως αυτές απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα

Συγκεκριμένα, στο αριστερό σχήμα απεικονίζονται η ταυτοτική πράξη (σημείο), καθώς και οι στροφές κατά 9, 8 και 7 Στο δεξιό σχήμα απεικονίζονται 4 κατοπτρικές ευθείες Σημειώνουμε, ότι στις Δ η πράξη της αναστροφής ως προς σημείο, δεν είναι ξεχωριστή πράξη συμμετρίας, αφού ταυτίζεται με τη στροφή κατά 8 Είναι εμφανές, ότι το πολύγωνο έχει τις ίδιες πράξεις συμμετρίας με το πλέγμα (α) και συνεπώς, ανήκουν στην ίδια σημειακή ομάδα, την ομάδα 4mm Το απλούστερο σχήμα που χαρακτηρίζεται από τη σημειακή ομάδα 4mm είναι το τετράγωνο Αντίθετα, όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα, το πλέγμα (β) δεν έχει τις 4 κατοπτρικές ευθείες του πλέγματος (α), παρά μόνο τις 4 στροφές (, 9, 8 και 7 ) Εφόσον, λοιπόν, τα πλέγματα χαρακτηρίζονται από διαφορετικό αριθμό πράξεων συμμετρίας θα ανήκουν και σε διαφορετικές σημειακές ομάδες συμμετρίας Πρόβλημα 5 Ένα κοινό συστατικό στους περισσότερους υπεραγωγούς υψηλής θερμοκρασίας είναι τα επίπεδα Cu O τα οποία απεικονίζονται στο διπλανό σχήμα Η απόσταση μεταξύ δύο ατόμων Cu είναι Για απλότητα θεωρούμε ότι στην τρίτη διάσταση, τα επίπεδα Cu O, απλώς, στοιβάζονται το ένα, ακριβώς, πάνω από το άλλο σε απόσταση c μεταξύ τους Θεωρούμε, επίσης, ότι δεν υπάρχουν άλλα άτομα στον κρύσταλλο Σε πρώτη προσέγγιση, τα επίπεδα έχουν συμμετρία τέταρτης τάξης, ενώ ο Δ κρύσταλλος είναι τετραγωνικός (α) Σχεδιάστε το πλέγμα Brvis που χαρακτηρίζει τα επίπεδα Cu O και υποδείξτε τα θεμελιώδη διανύσματα του πλέγματος (β) Στο LCuO 4 ανακαλύπτουμε ότι τα επίπεδα Cu O δεν είναι τελείως επίπεδα, αλλά κάποια άτομα οξυγόνου μετακινούνται λίγο πάνω ή λίγο κάτω, από το επίπεδο των ατόμων Cu, με αποτέλεσμα να παραμορφώνεται η επίπεδη διάταξη του Cu O Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ένα τέτοιο παραμορφωμένο επίπεδο Cu O όπου τα άτομα Ο τα οποία μετακινούνται λίγο προς τα πάνω συμβολίζονται με «+» ενώ τα άτομα Ο που μετακινούνται λίγο προς τα κάτω με Ποια είναι η Δ μοναδιαία κυψελίδα και η πλεγματική σταθερά για έναν τέτοιο κρύσταλλο; Ποιο το αντίστοιχο ανάστροφο πλέγμα; Περιγράψτε, ποιοτικά, τι

συμβαίνει στην εικόνα περίθλασης ακτίνων Χ, αν αρχίσουμε να «σβήνουμε», σταδιακά, την απόκλιση των ατόμων Ο από το επίπεδο των ατόμων Cu Λύση (α) Μία από τις πολλές επιλογές πλεγμάτων Brvis φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, μαζί με την αντίστοιχη μοναδιαία κυψελίδα, τα άτομα βάσης, καθώς και τα θεμελιώδη διανύσματα (β) Στο διπλανό σχήμα απεικονίζουμε μία από τις πολλές επιλογές πλεγμάτων Brvis με βάση που περιγράφουν τα τροποποιημένα πλέγματα Cu O, όπου τα άτομα οξυγόνου παρεκκλίνουν, ελαφρώς πάνω ή κάτω, από το επίπεδο των ατόμων Cu Μαζί απεικονίζεται και μια

μοναδιαία κυψελίδα πλευράς Τα ανάστροφα πλέγματα τόσο για το αρχικό επίπεδο Cu O, όσο και για το παραμορφωμένο (τα άτομα Ο προεξέχουν), απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα Τα πράσινα πλεγματικά σημεία στο αριστερό ανάστροφο πλέγμα αντιστοιχούν στις ασθενείς κορυφές περίθλασης ακτίνων Χ ενώ τα ερυθρά σημεία στις κορυφές περίθλασης ακτίνων Χ ισχυρής έντασης Όσο η παραμόρφωση του επιπέδου Cu O από τα άτομα Ο μετριάζεται (τα άτομα Ο επιστρέφουν στο επίπεδο), ο παράγοντας δομής των ασθενών κορυφών περίθλασης Brgg θα τείνει στο μηδέν Έτσι, το ανάστροφο πλέγμα του παραμορφωμένου επιπέδου Cu O (αριστερά) θα τείνει στο ανάστροφο πλέγμα του αρχικού επιπέδου Cu O (δεξιά), όσο τα άτομα Ο πλησιάζουν πίσω στο επίπεδο Cu O Πρόβλημα 6 Το α-co κρυσταλλώνεται σε εξαγωνική διάταξη πυκνής δομής (hcp), με πλεγματικές σταθερές =5Å και c=47å Το β-co κρυσταλλώνεται σε κυβικό εδροκεντρωμένο (fcc) πλέγμα, με πλεγματική σταθερά 55Å Ποια η διαφορά της πυκνότητας μεταξύ των δομών (hcp και fcc); Λύση (α) Η δομή fcc βρίσκεται σε διάταξη πυκνής δομής, όπως και η hcp Η τελευταία αντιστοιχεί σε ιδανικό πηλίκο c/ Για το α-co, c/=6, που είναι πολύ κοντά στην ιδανική τιμή 6 4

Στη διάταξη fcc η απόσταση των πλησιέστερων γειτόνων είναι 55/ = 5Å Η απόσταση των πλησιέστερων γειτόνων στο ίδιο επίπεδο, για το hcp, είναι επίσης 5Å Αν το πηλίκο c/ ήταν 6, και οι δύο διατάξεις θα ήταν πυκνής δομής, με τις ίδιες αποστάσεις των πλησιέστερων γειτόνων και, επομένως, τις ίδιες πυκνότητες Όμως, c/=6 Για το λόγο αυτό, η διάταξη hcp είναι κατά 6% πυκνότερη Πρόβλημα 7 Το νάτριο μετασχηματίζεται από χωροκεντρωμένο κυβικό (bcc), σε εξαγωνικό πυκνής δομής (hcp), σε θερμοκρασίες γύρω από T = K Υποθέτοντας, ότι η πυκνότητα του νατρίου παραμένει σταθερή, ενώ το πηλίκο c/ είναι το ιδανικό, υπολογίστε την πλεγματική σταθερά του hcp (πλεγματική σταθερά ), δεδομένου ότι η αντίστοιχη πλεγματική σταθερά του bcc είναι = 4 Å Λύση Η πυκνότητα μια δομής bcc είναι άτομα ανά όγκο ( ) Η πυκνότητα μιας δομής hcp είναι άτομα ανά όγκο της μοναδιαίας κυψελίδας V Στο διπλανό σχήμα απεικονίζονται δύο διαδοχικά επίπεδα της δομής hcp Τρία γειτονικά άτομα σε ένα επίπεδο μαζί με το πλησιέστερο γειτονικό τους, στο επόμενο επίπεδο σχηματίζουν ένα κανονικό τετράεδρο πλευράς και ύψους h/ Ο όγκος της μοναδιαίας κυψελίδας είναι V = c Αν το άτομο, στην αριστερή άκρη του παραπάνω σχήματος, βρίσκεται στη θέση (,,), τότε οι συντεταγμένες του ατόμου του c επόμενου ατομικού επιπέδου θα είναι (,, ) Εφόσον, η απόσταση όλων των ατόμων μεταξύ τους είναι, θα έχουμε c c = + + = + 4 4 4 8 8 Καθώς, όμως, το πηλίκο c/ είναι το ιδανικό, c = και V = Γράφοντας το ως ( ) συνάρτηση του έχουμε = Καθώς μας δίδεται ότι = 4 Å, η πλεγματική σταθερά του hcp θα είναι τελικώς = 77 Å Πρόβλημα 8 Εξετάστε κατά πόσο το πλέγμα της κηρήθρας (γραφένιο) είναι ένα πλέγμα Brvis Αν ναι, δώστε δύο θεμελιώδη διανύσματα Αν όχι, περιγράψτε το ως ένα πλέγμα Brvis, με τη μικρότερη δυνατή βάση Σε κάθε περίπτωση, σχεδιάστε τα θεμελιώδη διανύσματα και μια μοναδιαία κυψελίδα Υπολογίστε το εμβαδόν της κυψελίδας Λύση Το πλέγμα κηρήθρας του γραφενίου δεν μπορεί να περιγραφεί από το εξαγωνικό πλέγμα Brvis, διότι δεν υπάρχει άτομο στο κέντρο του εξαγώνου Έτσι, μπορεί να περιγραφεί ως ένα πλέγμα Brvis με βάση δύο ατόμων Μία επιλογή θεμελιωδών διανυσμάτων Brvis είναι η ακόλουθη 5

ˆ ˆ ˆ = y, = ( x + y), ενώ ως διανύσματα βάσης μπορούν να θεωρηθούν τα παρακάτω (γενικά υπάρχουν πολλές επιλογές διανυσμάτων βάσης) t ˆ ˆ = x, t = x, όπου είναι η πλευρά του εξαγώνου Τα παραπάνω διανύσματα μαζί με μια μοναδιαία κυψελίδα του πλέγματος [γραμμοσκιασμένο (ροζ) εξάγωνο] απεικονίζονται στο παραπάνω σχήμα Το εμβαδόν της κυψελίδας θα είναι A = ˆ ˆ ˆ = y ( x + y) xˆ yˆ zˆ = ( ) det =, το οποίο είναι και το εμβαδόν του εξαγώνου του σχήματος 6

Πρόβλημα 9 Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω δομές είναι ένα πλέγμα Brvis Αν είναι, όντως, πλέγματα Brvis, βρείτε τα θεμελιώδη διανύσματα Αν όχι, περιγράψτε τις δομές ως πλέγματα Brvis με την ελάχιστη δυνατή βάση (α) Βασικεντρωμένο κυβικό: απλό κυβικό με επιπρόσθετα πλεγματικά σημεία, στο κέντρο των δύο οριζόντιων εδρών της κυβικής κυψελίδας (β) Πλευροκεντρωμένο κυβικό: απλό κυβικό με επιπρόσθετα πλεγματικά σημεία, στο κέντρο των τεσσάρων κατακόρυφων εδρών της κυβικής κυψελίδας (γ) Ακμοκεντρωμένο κυβικό: απλό κυβικό με επιπρόσθετα πλεγματικά σημεία, στα μέσα των ακμών της κυβικής κυψελίδας Λύση (α) Το βασικεντρωμένο είναι ένα πλέγμα Brvis με διανύσματα βάσης: ˆ ˆ = ( x+ y) ˆ ˆ = ( x y) = zˆ (β) Στο πλευροκεντρωμένο κυβικό, τα πλεγματικά σημεία μπορούν να αναπαραχθούν από τα διανύσματα (βλέπε και διπλανό σχήμα) ˆ ˆ = ( x+ z) ˆ ˆ = ( y+ z) = zˆ τα οποία απεικονίζονται στο διπλανό σχήμα Μπορεί κανείς να δει ότι τα παραπάνω διανύσματα αναπαράγουν όλα τα πλεγματικά σημεία, ενώ δεν «γεννούν» νέα πλεγματικά σημεία, τα οποία δεν ανήκουν στο πλέγμα αυτό Εντούτοις, πέρα από τα πλεγματικά σημεία του πλευροκεντρωμένου κυβικού, αναπαράγονται και άλλα πλεγματικά σημεία, τα οποία δεν υπάρχουν στο πλέγμα αυτό Για παράδειγμα, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, το διανυσματικό άθροισμα + δίνει ένα πλεγματικό σημείο (διακεκομμένο άτομο και διάνυσμα στο σχήμα), το οποίο δεν υπάρχει στο πλέγμα Το πλευροκεντρωμένο κυβικό περιγράφεται από ένα απλό κυβικό (sc), μαζί με τρία διανύσματα βάσης, τα οποία μπορεί να είναι 7

t = xˆ + yˆ + zˆ t ˆ ˆ = ( x+ z) t ˆ ˆ = ( y+ z) (γ) Στο ακμοκεντρωμένο κυβικό, τα πλεγματικά σημεία μπορούν να αναπαραχθούν από τα διανύσματα (βλέπε και διπλανό σχήμα) ˆ = x ˆ = y = zˆ Και πάλι όμως, πέρα από τα πλεγματικά σημεία του ακμοκεντρωμένου κυβικού, αναπαράγονται και άλλα πλεγματικά σημεία, τα οποία δεν υπάρχουν στο πλέγμα αυτό Για παράδειγμα, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, το διανυσματικό άθροισμα + + δίνει ένα πλεγματικό σημείο στο κέντρο του κύβου (διακεκομμένο άτομο και διάνυσμα στο σχήμα), το οποίο δεν υπάρχει στο πλέγμα Το ακμοκεντρωμένο κυβικό περιγράφεται από ένα απλό κυβικό (sc), μαζί με τέσσερα διανύσματα βάσης, τα οποία μπορεί να είναι t = xˆ + yˆ + zˆ t ˆ = x t ˆ = y t4 = zˆ Πρόβλημα Ένα υποθετικό μονατομικό στερεό κρυσταλλώνεται σε χωροκεντρωμένο τετραγωνικό πλέγμα Η συμβατική μοναδιαία κυψελίδα περιγράφεται από τα θεμελιώδη διανύσματα ˆ ˆ ˆ = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ = x+ y+ z, = xˆ + yˆ + czˆ με c = και βάση αποτελούμενη από δύο άτομα, στις θέσεις 8

t = xˆ + yˆ + zˆ c t ˆ ˆ = x+ y+ zˆ (α) Υπολογίστε το μέγιστο ποσοστό κατάληψης όγκου για το παραπάνω πλέγμα (β) Βρείτε τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος Λύση (α) Εφόσον c = >, είναι φανερό από το παρακάτω σχήμα ότι, στο χωροκεντρωμένο τετραγωνικό, το κεντρικό άτομο (αναπαράγεται από το διάνυσμα βάσης t ) είναι πιο απομακρυσμένο από ένα άτομο στην κορυφή, σε σχέση με ένα κεντρικό άτομο στο χωροκεντρωμένο κυβικό Επομένως, η μικρότερη απόσταση μεταξύ πλεγματικών σημείων στο πλέγμα είναι η απόσταση μεταξύ δυο διαδοχικών κορυφών Άρα, η μέγιστη επιτρεπτή ατομική ακτίνα (χωρίς τα άτομα να τέμνονται) στο παραπάνω πλέγμα θα είναι r mx = Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση, το μέγιστο επιτρεπτό ποσοστό κατάληψης όγκου f για το παραπάνω χωροκεντρωμένο τετραγωνικό πλέγμα θα είναι f 4 π 6 π = = π = = 698% 9 8 9 (β) Τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος δίνονται από τις 9

π b = ( ), VC π b = ( ) VC π b = ( ) VC όπου V C = ( ) ο όγκος της θεμελιώδους κυψελίδας του ευθέος πλέγματος,, V C = ( ) = det = Έχουμε, λοιπόν, xˆ yˆ zˆ π 4π π b = ( ) = det ˆ, VC = x xˆ yˆ zˆ π 4π π b = ( ) = det = y ˆ, VC xˆ yˆ zˆ π 4π 4π b = ( ) = det = ˆ VC z Πρόβλημα Αποδείξτε ότι οι μόνες επιτρεπτές συμμετρίες στροφής, οι οποίες διατηρούν ένα δισδιάστατο (Δ) πλέγμα Brvis, είναι αυτές που αντιστοιχούν σε γωνίες 8,, 9, και 6 Λύση (α) Η απλούστερη μορφή των μοναδιαίων διανυσμάτων ενός γενικού Δ πλέγματος Brvis (βλέπε παρακάτω σχήμα) είναι = xˆ, = Axˆ + By ˆ () η οποία στη γενικότερη μορφή της αναπαράγει τα σημεία σε ένα Δ πλάγιο πλέγμα Η στροφή κατά γωνία φ, γύρω από έναν άξονα κάθετο στο Δ πλέγμα (στην περίπτωσή μας ο άξονας z), αντιστοιχεί στον πίνακα 4

cosφ sinφ R ( φ) = sinφ cosφ Για να έχει ένα πλέγμα Brvis συμμετρία στροφής κατά γωνία φ, θα πρέπει η στροφή αυτή να αφήνει αναλλοίωτο το πλέγμα Brvis Δηλαδή, θα πρέπει η δράση του παραπάνω πίνακα σε ένα τυχαίο διάνυσμα Brvis, να δίνει ένα άλλο διάνυσμα του πλέγματος Brvis Συγκεκριμένα, η στροφή κατά γωνίες φ και φ πάνω σε ένα από τα θεμελιώδη διανύσματα του πλέγματος να γράφεται cosφ sinφ R( φ) ˆ ˆ = cosφ sinφ n n sinφ cosφ = x+ y = + cosφ sinφ R( φ) ˆ ˆ = = cosφ sin φ = m + m, sinφ cosφ x y όπου απαιτούμε τα περιστρεμμένα διανύσματα R( φ), R( φ), να αντιστοιχούν σε κάποιο άλλο διάνυσμα Brvis του πλέγματος, έτσι ώστε το πλέγμα να παραμένει αναλλοίωτο σε στροφές κατά γωνία φ Αντικαθιστώντας τις Εξ () στις παραπάνω, θα έχουμε cosφ = n + nb = m + mb, sinφ = nb= mb από όπου προκύπτει ότι θα πρέπει και επίσης, m = n = + φ n m cosφ n n A cos ( ) cosφ = m n A Η παραπάνω σχέση για το cosφ, σε συνδυασμό με το περιορισμένο πεδίο τιμών του συνημίτονου, cosφ, μας δίνει τον παρακάτω πίνακα τιμών n + m n m ( + )/ φ / 6 9 / 8 όπου οι επιτρεπτές γωνίες στροφής απεικονίζονται στην τελευταία στήλη του πίνακα Πρόβλημα Θεωρήστε έναν τρισδιάστατο (Δ) νηματικό υγρό κρύσταλλο, αποτελούμενο από Ν ραβδόμορφα μόρια (βλέπε παρακάτω σχήμα) 4

Η νηματική παράμετρος τάξης, δηλαδή η ποσότητα που χαρακτηρίζει το βαθμό νηματικής τάξης, ορίζεται ως S, N = cos Θj j= όπου Θ j είναι η γωνία μεταξύ του άξονα του μορίου j και του κατευθυντή ˆn Η αγκύλη υποδεικνύει θερμοδυναμικό μέσο όρο (α) Δείξτε ότι η ποσότητα S είναι, όντως, μια παράμετρος τάξης, η οποία χαρακτηρίζει μια νηματική φάση, αποδεικνύοντας, ότι μηδενίζεται, αν ο υγρός κρύσταλλος βρίσκεται στην ισότροπη φάση και τα μόριά του κατευθύνονται σε τυχαίες διευθύνσεις Βρείτε, επίσης, την τιμή της παραμέτρου S για την τέλεια νηματική τάξη N (β) Σε ένα μαγνήτη, η αντίστοιχη παράμετρος τάξης είναι η M = cosθ j, όπου Θ j είναι η γωνία μεταξύ του j-οστού σπιν και της διεύθυνσης μαγνήτισης ˆn Μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Μ, ως παράμετρος τάξης και για μια νηματική φάση; Εξηγήστε (γ) Θεωρήστε ένα υποθετικό μόριο με σχήμα σταυρού «+» (συμμετρικό σε στροφές 9 ) Προτείνετε μια παράμετρο τάξης, η οποία θα χαρακτηρίζει το βαθμό τάξης στον προσανατολισμό των μορίων Λύση (α) Στην ισότροπη φάση (βλέπε το παραπάνω δεξιό σχήμα), τα μόρια του υγρού κρυστάλλου διευθύνονται σε απολύτως τυχαίες διευθύνσεις Έτσι, η τιμή της παραμέτρου τάξης S προκύπτει ολοκληρώνοντας σε όλη τη στερεά γωνία, εφόσον ο προσανατολισμός των μορίων του υγρού κρυστάλλου είναι εντελώς τυχαίος, j= π π π π S = (cos ) d (cos )sin d dφ 4π Θ Ω= Θ Θ Θ 4π π = (cos Θ )sin ΘdΘ y y = y dy = = 4

Στην πλήρως νηματική φάση, όλα τα μόρια είναι προσανατολισμένα προς την ίδια κατεύθυνση και επομένως Θ j =Θ= σταθερό Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να διαλέξουμε Θ j =Θ=, οπότε π π π π S = d (cos )sin d d 4π Ω= 4π Θ Θ Θ π = dy dφ = 4π = (β) Η ποσότητα M = cosθ δεν μπορεί να θεωρηθεί ως παράμετρος τάξης, για ένα νηματικό υγρό κρύσταλλο, διότι η νηματική τάξη πρέπει να είναι αναλλοίωτη σε στροφές κατά 8, δηλαδή στο μετασχηματισμό Θ Θ+ π Κάτι τέτοιο, όμως, δεν ισχύει για την ποσότητα M = cosθ, η οποία αλλάζει πρόσημο για Θ Θ+ π Επομένως, δεν μπορεί να αποτελέσει μια παράμετρο τάξης για ένα νηματικό υγρό κρύσταλλο (γ) Μια παράμετρος τάξης για ένα νηματικό υγρό κρύσταλλο που σέβεται τη συμμετρία στροφής κατά 9 είναι η ακόλουθη S = cos(4 Θ j ) + C, j όπου C σταθερά η οποία θα προσδιοριστεί Είδαμε, παραπάνω, ότι για ένα σύστημα με τελείως τυχαίες κατευθύνσεις, η παράμετρος τάξης S θα πρέπει να μηδενίζεται φ π π π π S = (cos4 Cd ) (cos4 C)sin d dφ 4π Θ+ Ω= 4π Θ+ Θ Θ = + C = C = 5 5 Άρα, η παράμετρος τάξης θα είναι η S = cos(4 Θ j ) + 5 j 4

Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [] H Ibch και H Lüth, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, ) [] C Kittel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 979) [] N W Ashcroft και N D Mermin, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, ) [4] R Levy, Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσεως, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 968) [5] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 997) [6] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, ) [7] Α Μοδινός, Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης, (Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, 994) [8] Σ Η Παπαδόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 4) [9] Π Βαρώτσος και Κ Αλεξόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα, 995) [] Κ Παρασκευαΐδης, Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης», (ΕΜΠ, Αθήνα, ) Ξενόγλωσσα: [] M P Mrder, Condensed Mtter Physics, (Wiley, New Jersey, ) [] H E Hll, Solid Stte Physics, (Wiley, Bristol, 974) [] J M Zimn, Principles of the Theory of Solids, (Cmbridge, Cmbridge, 964) [4] H J Goldsmid, (ed), Problems in Solid Stte Physics, (Pion Limited, London, 968) [5] V M Agrnovich nd A A Mrdudin (eds), Modern Problems in Condensed Mtter Sciences, (Elsevier, Amsterdm, 989) [6] A L Ivnov nd S G Tikhodeev (eds), Problems of Condensed Mtter Physics, (Oxford, Oxford, 8) [7] R A L Jones, Soft Condensed Mtter, (Oxford, Oxford, ) [8] P M Chikin nd T C Lubensky, Principles of Condensed Mtter Physics, (Cmbridge, Cmbridge, ) Λέξεις κλειδιά ακμοκεντρωμένο κυβικό ανάστροφο πλέγμα απλό κυβικό πλέγμα βασικεντρωμένο κυβικό δείκτες Miller εδροκεντρωμένο κυβικό πλέγμα ζώνη Brillouin θεμελιώδης και μοναδιαία κυψελίδα ισότροπη φάση νηματική φάση περίθλαση Brgg πλέγμα Brvis πλεγματικά επίπεδα πλευροκεντρωμένο κυβικό ραβδόμορφα μόρια σημειακές ομάδες χώρου τρισδιάστατος νηματικός υγρός κρύσταλλος υπεραγωγός υψηλής θερμοκρασίας χωροκεντρωμένο κυβικό πλέγμα χωροκεντρωμένο τετραγωνικό πλέγμα 44

Κεφάλαιο ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ Προαπαιτούμενη γνώση Ευθύ και ανάστροφο πλέγμα, πλεγματικά επίπεδα, δείκτες Miller, νόμος Brgg, συνθήκη von Lue, ατομικός και γεωμετρικός παράγοντας δομής Πρόβλημα Δείξτε, ότι το ανάστροφο πλέγμα του αναστρόφου πλέγματος είναι το αρχικό ευθύ πλέγμα Λύση Τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος ορίζονται από τις π g = ( ) VC π g = ( ) VC π g = ( ) VC όπου V C = ( ) ο όγκος της θεμελιώδους κυψελίδας του ευθέος πλέγματος Αν θεωρήσουμε τα παραπάνω διανύσματα ως διανύσματα ευθέος πλέγματος, τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος που αντιστοιχούν στο παραπάνω πλέγμα είναι g = g = g = g g π g ( g g ), g g π g ( g g ),,, g g π g ( g g ) Αρχικώς, θα υπολογίσουμε τους παρονομαστές g ( g g ) των παραπάνω εκφράσεων, π g g = ( )( ) ( ) V C και βασιζόμενοι στη διανυσματική ταυτότητα έχουμε ( ) ( ) ( A B) ( C D) = A B D C A B C D 45

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) = = = V C Επομένως, ( π ) g g = V C Ο όγκος Ω της θεμελιώδους κυψελίδας του αναστρόφου πλέγματος, δηλαδή της ης ζώνης Brillouin (ZB) δίνεται από ( ) ( ) ( π ) π ( π) ( π) Ω= g ( g g ) = = [ ] = Επομένως, το g γράφεται VC VC VC VC g g π ( π ) V ( π ) g C = π = ( ) = π = g ( g g) Ω VC ( π ) VC Ακολουθώντας αντίστοιχα βήματα για τα g, g βρίσκουμε, τελικώς, ότι g =, g =, δηλαδή, το ανάστροφο πλέγμα του αναστρόφου πλέγματος είναι το αρχικό ευθύ πλέγμα Πρόβλημα Υπολογίστε τις εντάσεις των περιθλώμενων δεσμών από ένα Δ ορθογώνιο πλέγμα με διανύσματα του ευθέος πλέγματος, τα οποία δίνονται από την r ˆ ˆ n = nx + my και βάση ατόμων στα σημεία (,) και (, ρ ) Σε ποιες περιπτώσεις εξαφανίζονται οι δέσμες περίθλασης; Λύση Έστω ˆ = x και ˆ = y τα θεμελιώδη διανύσματα του ευθέος πλέγματος, έτσι, ώστε ένα τυχόν σημείο του ορθογώνιου πλέγματος Brvis να δίνεται από την rn = n+ m Τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος δίνονται από την G= hb + lb, όπου, εξ ορισμού, b = πδ Προκύπτει, ότι i j ij π π b ˆ ˆ = x, b = y, 46

ενώ ένα τυχόν διάνυσμα του αναστρόφου πλέγματος γράφεται ως π G = ( hxˆ+ lyˆ) Από τον ορισμό του παράγοντα δομής έχουμε S = fα exp( ig t α), α =, όπου t α, α =, τα διανύσματα βάσης, δηλαδή t ˆ ˆ = x+ y x ˆ ρ y ˆ t = + Με βάση τα παραπάνω διανύσματα, ο παράγοντας δομής γράφεται p exp ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ S = f + i hx + ly x + ρ y, h = f + exp ip + lρ όπου υποθέσαμε ότι στις θέσεις t, t βρίσκονται όμοια άτομα (με ίδιο ατομικό παράγοντα σκέδασης f ) Η ένταση της περιθλώμενης δέσμης h h = = + exp[ p ( + ρ )] + exp[ p ( + ρ )] h h = f + exp[ pi( + ρl)] + exp[ pi( + ρl)] + = f + h+ l * I S S f i l i l { p ρ } cos[ ( ) Εκλιπούσες δέσμες περίθλασης έχουμε όταν μηδενίζεται ο παράγοντας δομής και άρα, η ένταση Ι της περιθλώμενης δέσμης Στην παραπάνω μορφή του παράγοντα δομής, η περιθλώμενη δέσμη εξαφανίζεται, όταν ( h+ ρl) = περιττός ακέραιος Πρόβλημα Υπολογίστε την ένταση της σκεδαζόμενης δέσμης ακτίνων Χ η οποία προσπίπτει σε μια γραμμική περιοδική αλυσίδα ατόμων, οργανωμένων σε τομείς των Ν ατόμων Υποθέστε, ότι δεν υπάρχει συσχέτιση φάσης μεταξύ των ατόμων, σε διαφορετικούς τομείς Λύση Έστω ότι υπάρχουν M τομείς, ο καθένας από τους οποίους περιέχει Ν άτομα Η ολική ένταση της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας είναι 47

tot M n, n= I = I = MI όπου I είναι η ένταση της σκεδαζόμενης δέσμης από έναν τομέα, δηλαδή από μία αλυσίδα Ν ατόμων Το γεγονός, ότι μπορούμε να προσθέσουμε τις εντάσεις από όλους τους τομείς, προκύπτει από την έλλειψη συσχέτισης μεταξύ των φάσεων των σκεδαζόμενων δεσμών, από κάθε τομέα Σε διαφορετική περίπτωση, αν υπήρχε συσχέτιση μεταξύ των φάσεων των σκεδαζόμενων δεσμών από κάθε τομέα, θα έπρεπε να αθροίζουμε τα σκεδαζόμενα ηλεκτρικά πεδία από κάθε τομέα και κατόπιν να λαμβάναμε το τετράγωνο του αθροίσματος των πεδίων Η περίπτωση αυτή είναι παρόμοια με τη διαφορά στην εκπομπή ακτινοβολίας από σύμφωνες και ασύμφωνες πηγές Ο παράγοντας δομής για έναν τομέα (μία αλυσίδα από Ν άτομα) γράφεται N S = fmexp( ig t m), m= όπου το G συμβολίζει τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος της γραμμικής περιοδικής αλυσίδας (η οποία περιέχει M N άτομα) Έστω, ότι οι θέσεις των ατόμων στον τομέα δίνονται από τα Δ διανύσματα βάσης t = m, όπου m ακέραιος Αν τα άτομα είναι όλα ίδια ( f f ) m =, τότε ο παράγοντας δομής γίνεται m N N N mexp( m ) exp( ) [ exp( )] S = f ir G= f img = f ig m= m= m= Χρησιμοποιώντας την παρακάτω ταυτότητα της γεωμετρικής προόδου m όπου x = exp( ig, ) θα έχουμε N N n x x =, x n= S = exp( ing ) f exp( ig ) Η έντασης της σκεδαζόμενης δέσμης από κάθε τομέα (αλυσίδα Ν ατόμων) γράφεται I = SS = f * = f = f sin ( ) sin ( ) [ exp( ing )] [ exp( ing )] [ exp( ig )] [ exp( ig )] cos( NG ) cos( G ) NG G Η ολική σκεδαζόμενη ένταση από όλους τους Μ τομείς γράφεται 48

I tot = M f NG G sin ( ) sin ( ) Πρόβλημα 4 Το υδρογόνο περιέχει ένα ηλεκτρόνιο s στη στοιβάδα Κ του οποίου το μέτρο της κυματοσυνάρτησης (πυκνότητα πιθανότητας) δίνεται από την έκφραση, Z Z ψs( r) = exp r, p r r όπου Z o ατομικός αριθμός και r η ακτίνα Bohr (α) Σχεδιάστε την ακτινική συνάρτηση κατανομής για το ηλεκτρόνιο s (β) Υπολογίστε τον ατομικό παράγοντα σκέδασης fh για το άτομο του υδρογόνου Δίνεται, ότι η κυματοσυνάρτηση ψ () r ικανοποιεί τη σχέση s 4 πr ψ s() r dr = Λύση (α) Η ακτινική συνάρτηση κατανομής για το ηλεκτρόνιο s γράφεται, και απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα Z Z ψs( ) = exp p r r r r r r, r ψ () s r 8 4 r ( - m) Ο ατομικός παράγοντας σκέδασης γράφεται στη γενική περίπτωση, Z 4 π r j () j= ( Qr) sin f = r r dr, () Qr 49

όπου το άθροισμα περιλαμβάνει όλα τα Z ηλεκτρόνια του ατόμου Προφανώς, για το άτομο του υδρογόνου το οποίο έχει ένα ηλεκτρόνιο s j = και 4 π rs() ( Qr) sin fh = r r dr, () Qr όπου s s r () r = ψ () r Αντικαθιστώντας την ψ () r στην Εξ() έχουμε s όπου Z r fh = 4 r exp r sin ( Qr) dr t Q, () t = Το παραπάνω ολοκλήρωμα έχει τη γενική μορφή t ( α ) sin ( β ) I = x exp x x dx, (4) όπου α =, β = Q Πριν τον υπολογισμό του ολοκληρώματος της Εξ(4), θα υπολογίσουμε t πρώτα το παρακάτω ολοκλήρωμα, Εκτελώντας παραγοντική ολοκλήρωση, λαμβάνουμε ( ) sin ( β ) I = exp x x dx = ( x) exp( x) ( ) ( β ) ( ) ( ) exp = β cos( β x) dx I = exp αx sin βx dx, α > (5) ( x) + β ( x) β exp exp = ( ) + cos ( βx) β sin ( βx) α α α α (6) β β = ( ) I β I = exp x sin x dx = Για την παραγωγή της παραπάνω σχέσης χρησιμοποιήσαμε το όριο lim exp ( αx) sin ( βx) = για α> Τα ολοκληρώματα I, I συνδέονται με τη σχέση x 5

I di d β αβ = = = dα dα α + β α + β ( ) (6) Εφαρμόζοντας την Εξ(6) στην Εξ(), βρίσκουμε τον ατομικό παράγοντα σκέδασης για το υδρογόνο f H Z 6 r = Z r 4 + Q Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ο ατομικός παράγοντας σκέδασης για το υδρογόνο, ως συνάρτηση του κυματανύσματος Q 4 f H Πρόβλημα 5 8 6 4 4 6 8 Μία δέσμη νετρονίων με μήκος κύματος λ = 5 Å προσπίπτει κάθετα στην επιφάνεια κύβου, στην κατεύθυνση [], σε μονατομικό κρύσταλλο με απλό κυβικό (sc) πλέγμα και = 45 Å Κάποια νετρόνια σκεδάζονται, σε διαδικασία ενός φωνονίου, και βγαίνουν από τον κρύσταλλο στην κατεύθυνση [], με μήκος κύματος λ = Å Να βρείτε την κυκλική συχνότητα ω και το κυματάνυσμα q φων του φωνονίου που εκπέμπεται από τη διαδικασία Τα νετρόνια απορρόφησαν ή εξέπεμψαν φωνόνια; Λύση Η ενέργεια ενός νετρονίου δίνεται από την Q E νετρ π =, m λ ν όπου m ν η μάζα του νετρονίου Υπολογίζουμε την ενέργεια των εισερχόμενων και εξερχόμενων νετρονίων 5

E E in out π π n λin mn = = = m 5 π π n λout mn 57 J = = = m 86 J Η συχνότητα του φωνονίου θα είναι ω φωn Eout Ein = = ( π) 55 rd/sec = mn λout λin Βρίσκουμε τα κυματανύσματα της εισερχόμενης και εξερχόμενης δέσμης νετρονίων (βλέπε και παρακάτω σχήμα) Για τα εισερχόμενα νετρόνια π ˆ 795 ˆ (m - kin = x = x ) λ in Τα εξερχόμενα νετρόνια εξέρχονται στη διεύθυνση [] του απλού κυβικού (βλέπε παραπάνω σχήμα) π xˆ + yˆ + zˆ k 557 ( ˆ ˆ ˆ) (m - out = = + + ) λ x y z out Η διαφορά στα κυματανύσματα εισερχομένων και εξερχομένων νετρονίων η οποία είναι ίση με ( ) = - = - ˆ + ˆ + ˆ 9 - k kout kin 79 x 557 y z (m ), k = qφων + G 5

όπου q φων το κυματάνυσμα του φωνονίου και G το διάνυσμα του αναστρόφου πλέγματος που εμπλέκεται στην περίθλαση Καθώς το πλέγμα είναι απλό κυβικό, το ελάχιστο μέτρο μιας οποιασδήποτε συνιστώσας ενός διανύσματος του αναστρόφου θα είναι π G i = = i= xyz min 478 m,,, Αν δεν συμμετείχε φωνόνιο στη σκέδαση των νετρονίων, αυτά θα υφίσταντο περίθλαση από το πλέγμα και, ως εκ τούτου, η σκέδαση θα ήταν ελαστική Καθώς η εισερχόμενη δέσμη είναι στη διεύθυνση x, τα πλεγματικά επίπεδα, τα οποία είναι κάθετα σε αυτή, θα αντιστοιχούν σε διανύσματα του αναστρόφου G χωρίς συνιστώσα x Στην περίπτωσή μας θεωρούμε Άρα, π G= G ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) 478 ( ˆ ˆ i y+ z = y+ z = y+ z ) min ( ) q k G x ˆ y ˆ z ˆ = = 9 8 φων 79 + 79 + Η ενέργεια των εξερχόμενων νετρονίων είναι μεγαλύτερη από την ενέργεια των εισερχόμενων Επομένως, τα νετρόνια απορροφούν ένα φωνόνιο Πρόβλημα 6 Ακτίνες Χ με μήκος κύματος λ προσπίπτουν σε κρύσταλλο με απλό κυβικό (sc) πλέγμα, με κατεύθυνση [] και υφίστανται έντονη σκέδαση Brgg (συμβολή πρώτης τάξης) στην κατεύθυνση [4] (α) Από ποια οικογένεια επιπέδων λαμβάνει χώρα η σκέδαση; Να βρείτε τους δείκτες Miller αυτών των επιπέδων, ως προς το απλό κυβικό πλέγμα Να σχεδιάσετε ένα τέτοιο επίπεδο (β) Ποια είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών επιπέδων που βρήκατε στο (α); (γ) Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο πλησιέστερων γειτόνων στον κρύσταλλο ως συνάρτηση του λ Λύση (α) Τα κυματανύσματα της εισερχόμενης και της εξερχόμενης δέσμης ακτίνων Χ γράφονται ως ( ) k = txˆ, k = t xˆ + 4y ˆ () in Στην περίθλαση Brgg η ενέργεια διατηρείται (ελαστική σκέδαση) και επομένως, out k k () in = out t = t + 4 t = 5t Το εσωτερικό τους γινόμενο σχετίζεται με τη γωνία Brgg θ ( ) kin kout = kin k out cos θ () Συνδυάζοντας τις Εξ(), () και (), μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία Brgg 5

Από την τριγωνομετρική ταυτότητα t x x+ y = = 5 5 ( tˆ) ( ˆ 4 ˆ) t cos( θ) cos( θ) 4 cos( θ) = cos θ cos θ = + cos( θ) = 5 θ = θ = 5 sin cos Έχοντας υπολογίσει τη γωνία Brgg θ, βρίσκουμε την απόσταση d μεταξύ των επιπέδων, τα οποία προκαλούν την περίθλαση, μέσω της συνθήκης Brgg πρώτης τάξης λ 5 λ = dsinθ d = d = λ (4) sinθ Από τη συνθήκη von Lue μπορούμε να βρούμε την οικογένεια των επιπέδων που υπεισέρχονται στην περίθλαση μέσω του διανύσματος G του αναστρόφου το οποίο είναι κάθετο στα επίπεδα (βλέπε παρακάτω σχήμα) t G= k ( ˆ ˆ out kin = x+ y ) (5) 5 Άρα, η διεύθυνση του G είναι η ( xˆ + ˆ) y δηλαδή η περίθλαση θα λαμβάνει από τα επίπεδα () του απλού κυβικού (βλέπε παραπάνω σχήμα) Επίσης, το G, ως διάνυσμα του αναστρόφου θα γράφεται π G= ( xˆ + y ˆ) (6) Η απόσταση μεταξύ των επιπέδων ορίζεται, μέσω του G, από τη σχέση 54

d π π = = d = (7) G π 5 5 Από τις Εξ(4) και (7) βρίσκουμε, τελικώς, 5 5 λ = = λ 5 Πρόβλημα 7 Δείξτε, ότι στην περίπτωση του απλού κυβικού (sc) πλέγματος, η συνθήκη ανάκλασης Brgg παίρνει τη μορφή, l sin θ = 4 n h k l ( + + ) όπου hkl,, οι δείκτες Miller των επιπέδων, από τα οποία προέρχεται η ανάκλαση, και η πλεγματική σταθερά Λύση Η απόσταση μεταξύ διαδοχικών πλεγματικών επιπέδων είναι, d hkl π π = = G hb + kb + lb () hkl Στο απλό κυβικό (sc) τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος γράφονται b = π xb ˆ, ˆ ˆ = π yb, π = z () Αντικαθιστώντας τις Εξ() στην Εξ() λαμβάνουμε d hkl π = = π hxˆ + kyˆ + lzˆ h + k + l () Η συνθήκη περίθλασης Brgg Αντικαθιστώντας την Εξ() στην Εξ(4), έχουμε h + k + l d sinθ = nl (4) hkl sinθ = nl l sin θ = 4 n h k l ( + + ) 55

Πρόβλημα 8 Υπολογίστε το γεωμετρικό παράγοντα δομής για κρυστάλλους δομής (α) εδροκεντρωμένου κυβικού (fcc) και (β) αδάμαντα Βρείτε, σε ποιες περιπτώσεις ο παράγοντας δομής (και άρα η ανακλώμενη δέσμη) μηδενίζεται και σε ποιες μεγιστοποιείται Λύση (α) Ο γεωμετρικός παράγοντας δομής δίνεται από τη σχέση v S = fα exp( ig t α), () α = όπου t α είναι τα διανύσματα θέσης των ατόμων βάσης (v το πλήθος), G τα διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος του απλού κυβικού (sc) b = π xb ˆ, ˆ ˆ = π yb, π = z () και η πλεγματική σταθερά του απλού κυβικού Ένα πλέγμα fcc μπορεί να θεωρηθεί, ως ένα απλό κυβικό με 4 (όμοια) άτομα βάσης, στις θέσεις (βλέπε παραπάνω σχήμα) t = xˆ+ yˆ + zˆ t t t 4 ˆ ˆ = x+ y ˆ = x+ zˆ yˆ = + zˆ () Αντικαθιστώντας τις Εξ() και () στην Εξ(), λαμβάνουμε 56

p ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ p exp ˆ exp ( ˆ ˆ S ˆ) ˆ fcc = f + i hx+ ky+ lz x+ y + i hx+ ky+ lz x+ zˆ p ( ˆ ˆ exp i hx ky lzˆ) yˆ + + + + zˆ { p( ) p( ) p( ) } Sfcc = f + exp i h+ k + exp i h+ l + exp i k + l Δεδομένου ότι, exp ( ip n) +, για n άρτιο =,, για n περιττό ο παράγοντας δομής για το fcc μηδενίζεται ( S fcc = ), όταν από τους ακέραιους αριθμούς ( h+ k),( h+ l),( k + l) είναι περιττοί και ο τρίτος είναι άρτιος Αν οι ακέραιοι h, k, l είναι όλοι τους άρτιοι ή όλοι τους περιττοί, τότε ο παράγοντας δομής γίνεται μέγιστος S = 4 f (β) Ένα πλέγμα αδάμαντα μπορεί να ειδωθεί, ως ένα απλό κυβικό με 8 (όμοια) άτομα βάσης (βλέπε παρακάτω σχήμα), όπου οι 4 πρώτες θέσεις δίνονται από τα διανύσματα της θέσης της Εξ(), ενώ τα υπόλοιπα 4 δίνονται από τα διανύσματα fcc (4) t t t t 5 6 7 8 ˆ ˆ = x+ y+ zˆ 4 4 4 ˆ ˆ = x+ y+ zˆ 4 4 4 xˆ yˆ = + + zˆ 4 4 4 xˆ yˆ = + + zˆ 4 4 4 (5) Αντικαθιστώντας τις Εξ() και (5) στην Εξ(), λαμβάνουμε 57

p ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ p exp ˆ exp ( ˆ ˆ ˆ) ˆ Sdim = f + i hx+ ky+ lz x+ y i hx ky lz x zˆ + + + + p exp i ( hxˆ kyˆ p lzˆ) yˆ zˆ exp i ( hxˆ kyˆ lzˆ) xˆ yˆ + + + + zˆ + + + + + 4 4 4 p + exp i hxˆ+ kyˆ ( + ) ˆ ˆ p ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ lzˆ x + y + zˆ exp ˆ ˆ 4 4 4 + i hx + ky + lz x + y + z 4 4 4 p exp i ( hxˆ kyˆ lzˆ) xˆ yˆ + + + + + zˆ 4 4 4 ip Sdim = f + exp ip( h+ k) + exp ip( h+ l) + exp ip( k + l) + exp ( h+ k + l) ip ip ip + exp ( h+ k + l) + exp ( h+ k + l) + exp ( h+ k + l) (5) και, ύστερα από αλγεβρικές πράξεις, ip Sdim = f + exp ( h+ k + l) { + exp ip( h+ k) + exp ip( h+ l) + exp ip( k + l) } (6) Η δεύτερη αγκύλη βρίσκεται στον παράγοντα δομής του fcc [βλέπε Εξ(4) παραπάνω] και ο S dim =, όταν από τους ακέραιους αριθμούς ( h+ k),( h+ l),( k + l) είναι περιττοί και ο τρίτος είναι άρτιος Αν οι ακέραιοι h, k, l είναι όλοι τους άρτιοι ή όλοι τους περιττοί διακρίνουμε τις περιπτώσεις: (i) Αν h, k, l είναι όλοι περιττοί, τότε ο ( h+ k + l) είναι περιττός και ο παράγοντας δομής [ ] S = 4f ± i, με μέτρο (που είναι η ποσότητα που μετριέται πειραματικά) dim Sdim = f (ii) Αν h, k, l είναι όλοι άρτιοι, τότε Αν ( h+ k + l)/ είναι περιττός, τότε η πρώτη αγκύλη της Εξ(6) μηδενίζεται και επομένως S dim = Αν ( h+ k + l)/ είναι άρτιος, τότε Sdim = 8 f Πρόβλημα 9 Τρία μη ταυτοποιημένα μεταλλικά δείγματα για τα οποία είναι γνωστό ότι κρυσταλλώνονται σε απλό κυβικό (sc), σε εδροκεντρωμένο κυβικό (fcc) και σε πλέγμα αδάμαντα, υποβάλλονται σε περίθλαση ακτίνων Χ σκόνης Τα δεδομένα περίθλασης ακτίνων Χ (μέγιστες κορυφές ανάκλασης) από τα τρία δείγματα εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα Βρείτε, ποιο είδος πλέγματος αντιστοιχεί σε κάθε δείγμα 58

Γωνία Brgg Δείγμα Α Δείγμα Β Δείγμα Γ θ 8 ο 7 ο ο θ 5 ο 59 ο 77 ο θ 89 ο 8 ο 458 ο θ 4 ο 7 ο 598 ο θ 5 47 ο 8 ο 74 ο Λύση Ο παράγοντας δομής μεγιστοποιείται για τις πιθανές δομές, στις παρακάτω περιπτώσεις Δομή sc fcc αδάμας Κανόνας μέγιστης ανάκλασης Οποιαδήποτε τριάδα h, k, l h, k, l όλα άρτια h, k, l όλα περιττά h, k, l όλα περιττά h, k, l όλα άρτια και ( h+ k + l) = 4n Από προηγούμενο πρόβλημα, έχουμε δείξει ότι η γωνία Brgg συνδέεται με τους δείκτες Miller, σύμφωνα με τη σχέση sin l θ = ( h + k + l ) () 4 Η παραπάνω σχέση αποδείχθηκε για το απλό κυβικό (sc) Καθώς, όμως, στον υπολογισμό του γεωμετρικού παράγοντα δομής όλα τα κυβικά πλέγματα, ακόμη και τα πλέγματα Brvis, θεωρούνται ως απλά κυβικά συν μια βάση ατόμων, η Εξ() είναι γενική για τα κυβικά πλέγματα Θέτοντας υπολογίζουμε τα παρακάτω πηλίκα X = h + k + l, sin θi sin θ = X X i και κατασκευάζουμε τους παρακάτω πίνακες για κάθε δείγμα Δείγμα Α sin θ = sin θ θ X i i X X i ( hkl ) 8 ο () 5 ο () 89 ο () ο 4 4 () 47 ο 5 5 () 59

Δείγμα Β sin θ = sin θ θ X i i X X i ( hkl ) 7 ο () 59 ο 4/ 4 () 8 ο 8/ 8 () 7 ο / () 8 ο / () Δείγμα Γ sin θ = sin θ θ X i i X X i ( hkl ) ο () 77 ο 8/ 8 () 458 ο / () 598 ο 6/ 6 (4) 74 ο 9/ 9 () Σημειώνουμε ότι η τρίτη στήλη, η οποία περιέχει τις τιμές των X i προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη στήλη με τον κοινό παρονομαστή της στήλης αυτής, ώστε να προκύπτει ακέραια τιμή για τα X i και να προσδιορίσουμε έτσι τους δείκτες Miller, οι οποίοι δίνουν το συγκεκριμένο X i Συγκρίνοντας τους παραπάνω πίνακες με τον πίνακα που περιέχει τους κανόνες μέγιστης ανάκλασης για κάθε τύπο πλέγματος, εύκολα καταλαβαίνουμε ότι το Δείγμα Α είναι το απλό κυβικό (sc), διότι περιέχει τριάδες δεικτών Miller ( hkl ), όπου τα h, k, l μπορεί να μην είναι όλα μαζί άρτια ή όλα μαζί περιττά Το Δείγμα Β έχει τη δομή fcc, διότι οι δείκτες Miller h, k, l, είναι όλοι μαζί άρτιοι ή περιττοί Τέλος, το Δείγμα Γ έχει τη δομή αδάμαντα, διότι ενώ οι δείκτες Miller h, k, l είναι όλοι μαζί άρτιοι ή περιττοί, λείπουν κάποιες ανακλάσεις, πχ, οι () και () που υπάρχουν στο δείγμα Β για τις οποίες ναι μεν τα h, k, l είναι όλα άρτια, όμως ( h+ k + l) 4n Συνοψίζοντας, Δείγμα Α Β Γ Δομή sc fcc αδάμας Πρόβλημα Σε μια φωτογραφία από πείραμα περίθλασης ακτίνων Χ Cu Κα ( λ = 54 Å) από σκόνη δείγματος, με κυβική δομή, προέκυψαν οι παρακάτω γωνίες Brgg Γωνία Brgg o 4 o o 4 o 5 o 9 o o o 6

Βρείτε από ποιες οικογένειες επιπέδων προέρχονται οι παραπάνω κορυφές περίθλασης Αποφασίστε, κατά πόσο, ο κρύσταλλος είναι δομής απλού κυβικού (sc), εδροκεντρωμένου κυβικού (fcc), ή χωροκεντρωμένου κυβικού (bcc) και βρείτε την αντίστοιχη πλεγματική σταθερά Η πυκνότητα του δείγματος είναι 8 g cm - και το μοριακό βάρος Βρείτε τον αριθμό των μορίων Z σε μια μοναδιαία κυβική κυψελίδα V Η ατομική μονάδα μάζας είναι 4 ίση με 66 g Λύση Είδαμε, προηγούμενα, ότι η γωνία Brgg συνδέεται με τους δείκτες Miller σύμφωνα με τη σχέση Θέτοντας υπολογίζουμε τα παρακάτω πηλίκα sin l θ = ( h + k + l ) () 4 X = h + k + l, sin θi sin θ = X X i και κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα θ X i sin θ = i X sin θ X i ( hkl ) o () 4 o 4/ 4 () o 8/ 8 () 4 o / () 5 o / () 9 o 6/ 6 (4) o 9/ 9 () o / (4) Αντικαθιστώντας κάποια από τις τριάδες ( hkl ) του παραπάνω πίνακα μαζί με την αντίστοιχη γωνία Brgg στην Εξ(), και δεδομένου του μήκους κύματος των ακτίνων Χ, λ = 54 Å, μπορούμε να υπολογίσουμε την πλεγματική σταθερά l 54 = 67 ο sin h + k + θ l = + + sin( ) = Å Η πυκνότητα δίνεται από τη σχέση ZM ZM ρ ρ = = Z = 4 V M 6

Εφόσον η μοναδιαία κυψελίδα περιέχει 4 άτομα, το δείγμα είναι δομής fcc Αυτό φαίνεται και από τις τριάδες ( hkl ), όπου τα h, k, l είναι όλα άρτια ή όλα περιττά (συνθήκη μέγιστης ανάκλασης σε δομή fcc) Πρόβλημα Το χλωριούχο νάτριο (NCl) είναι ένα κυβικό πλέγμα όπου περιέχονται 4 κατιόντα N + και 4 ανιόντα Cl στη μοναδιαία κυψελίδα Τα ανιόντα Cl καταλαμβάνουν τις κορυφές της μοναδιαίας κυψελίδας καθώς και τα μέσα των πλευρών Τα κατιόντα N + καταλαμβάνουν το κέντρο της κυψελίδας και τα μέσα των ακμών Υπολογίστε το γεωμετρικό παράγοντα δομής για το NCl Βρείτε σε ποιες περιπτώσεις ο παράγοντας δομής μηδενίζεται (ελάχιστη ανάκλαση) και σε ποιες μεγιστοποιείται Λύση Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η μοναδιαία κυψελίδα του NCl: Η δομή του NCl μπορεί να θεωρηθεί ως απλό κυβικό με 8 διανύσματα βάσης, 4 για τα N + και άλλα 4 για τα Cl Cl : t = xˆ+ yˆ + zˆ t t t 4 ˆ ˆ = x+ y xˆ = + zˆ yˆ = + zˆ + N : t ˆ = x t ˆ = y t = z ˆ ˆ ˆ t4 = x+ y+ zˆ Αν με fn, f Cl συμβολίζουμε τους ατομικούς παράγοντες σκέδασης των ιόντων N + και Cl αντίστοιχα, ο γεωμετρικός παράγοντας δομής του NCl δίνεται από τη σχέση 6

NCl 8 S = f exp( ig t ) = p NCl Cl ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ p exp ˆ exp ( ˆ ˆ ˆ) ˆ S = f + i hx+ ky+ lz x+ y i hx ky lz x zˆ + + + + p exp i ( hxˆ kyˆ lzˆ) yˆ + + + + zˆ p exp ( ˆ ˆ f i hx ky lzˆ ) xˆ p ( ˆ ˆ exp i hx ky lzˆ ) yˆ + + + + N + + p ( ˆ ˆ p exp ˆ) ˆ exp ( ˆ ˆ i hx ky lz z i hx ky lzˆ) xˆ yˆ + + + zˆ + + + + + { p( ) p( ) p( ) } p( ) { } SNCl = + exp i h+ k + exp i h+ l + exp i k + l fn + fcl exp i h+ k + l Η πρώτη παρένθεση υπάρχει αυτούσια και στον παράγοντα δομής του fcc (βλέπε προηγούμενο πρόβλημα) Επομένως, θα δίνει τις ίδιες εκλιπούσες ανακλάσεις με το fcc, δηλαδή ο παράγοντας δομής για το NCl μηδενίζεται ( S NCl = ), όταν από τους ακέραιους αριθμούς ( h+ k),( h+ l),( k + l) είναι περιττοί και ο τρίτος είναι άρτιος Σημειώνουμε, ότι η δεύτερη αγκύλη στον παράγοντα δομής S NCl δεν μπορεί να μηδενιστεί, διότι οι ατομικοί παράγοντες σκέδασης fn, f Cl δεν ταυτίζονται Αν οι ακέραιοι h, k, l είναι όλοι τους άρτιοι ή όλοι τους περιττοί, τότε η πρώτη αγκύλη του SNCl ισούται με 4 Σε αυτή την περίπτωση, διακρίνουμε τις περιπτώσεις: (i) Αν ο ( h+ k + l) είναι περιττός, τότε ( ) ( ) NCl = 4 N Cl NCl = 6 N Cl S f f S f f και η ανακλώμενη δέσμη (που είναι ανάλογη του διαφοράς ( f f ) N Cl (ii) Αν ο ( h+ k + l) είναι άρτιος, τότε S NCl ) εμφανίζεται μειωμένη, λόγω της ( ) ( ) NCl = 4 N + Cl NCl = 6 N + Cl S f f S f f και η ανακλώμενη δέσμη εμφανίζεται αυξημένη, λόγω του αθροίσματος των ατομικών f + f παραγόντων σκέδασης ( ) N Cl Πρόβλημα Παρατηρώντας την εικόνα περίθλασης ακτίνων Χ από δείγμα σκόνης MgO με ακτινοβολία Cu-Kα ( λ = 54 Å), επαληθεύουμε την ύπαρξη κορυφών στις γωνίες σκέδασης (θ) θ 69 ο 49 ο 6 ο 7464 ο 6

7864 ο 946 ο 575 ο 978 ο 79 ο 477 ο Το MgO έχει την ίδια δομή με το NCl Βρείτε την πλεγματική σταθερά, καθώς και τους δείκτες Miller ( hkl ) που αντιστοιχούν σε κάθε γωνία Λύση Η γωνία Brgg θ συνδέεται με τους δείκτες Miller, σύμφωνα με τη σχέση Θέτοντας υπολογίζουμε τα παρακάτω πηλίκα sin l θ = ( h + k + l ) () 4 X = h + k + l, sin θi sin θ = X X i και κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα θ X i sin θ = i X sin θ X i ( hkl ) (Å) 848 o () 44 45 o 4/ 4 () 46 5 o 8/ 8 () 44 7 o / () 49 9 o / () 46 47 o 6/ 6 (4) 46 588 o 9/ 9 () 45 5489 o / (4) 4 665 ο 4/ 4 (4) 4 788 ο 7/ 7 (5) 44 Εφόσον το NCl είναι ένα κυβικό πλέγμα, η πλεγματική του σταθερά μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση l h k l sinθ = + + Μέσω αυτής της έκφρασης συμπληρώθηκε η τελευταία στήλη του παραπάνω πίνακα, η οποία περιέχει την πρόβλεψη της πλεγματικής σταθεράς για τις διάφορες οικογένειες επιπέδων Λαμβάνοντας το μέσο όρο των στοιχείων της τελευταίας στήλης, βρίσκουμε, τελικώς, ότι = 45Å 64

Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [] H Ibch και H Lüth, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, ) [] C Kittel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 979) [] N W Ashcroft και N D Mermin, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, ) [4] R Levy, Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσεως, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 968) [5] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 997) [6] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, ) [7] Α Μοδινός, Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης, (Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, 994) [8] Σ Η Παπαδόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 4) [9] Π Βαρώτσος και Κ Αλεξόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα, 995) [] Κ Παρασκευαΐδης, Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης», (ΕΜΠ, Αθήνα, ) Ξενόγλωσσα: [] M P Mrder, Condensed Mtter Physics, (Wiley, New Jersey, ) [] H E Hll, Solid Stte Physics, (Wiley, Bristol, 974) [] J M Zimn, Principles of the Theory of Solids, (Cmbridge, Cmbridge, 964) [4] H J Goldsmid, (ed), Problems in Solid Stte Physics, (Pion Limited, London, 968) [5] V M Agrnovich nd A A Mrdudin (eds), Modern Problems in Condensed Mtter Sciences, (Elsevier, Amsterdm, 989) [6] A L Ivnov nd S G Tikhodeev (eds), Problems of Condensed Mtter Physics, (Oxford, Oxford, 8) [7] Y Wsed, W Mtsubr, nd K Shinod, X-Ry Diffrction Crystllogrphy, (Springer, Heidelberg, ) [8] W Borchrdt-Ott nd R O Gould, Crystllogrphy: An Introduction, (Springer, Berlin, ) [9] M De Gref nd E McHenry, Structure of Mterils: An Introduction to Crystllogrphy, Diffrction nd Symmetry, (Cmbridge, Cmbridge, ) Λέξεις-κλειδιά ακτίνα Bohr ακτίνα Χ ανάστροφο πλέγμα ατομικός παράγοντας δομής ατομικός παράγοντας σκέδασης γεωμετρικός παράγοντας δομής δείκτες Miller δέσμη περίθλασης ευθύ πλέγμα κυματάνυσμα μέτρο κυματοσυνάρτησης νετρόνιο νόμος Brgg ολική σκεδαζόμενη ένταση πλέγμα Brvis πλεγματικά επίπεδα πυκνότητα πιθανότητας σκεδαζόμενη δέσμη ακτίνων Χ σκέδαση σκεδάζω συνθήκη von Lue φωνόνιο 65

Κεφάλαιο 4 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΟΥ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ - ΦΩΝΟΝΙΑ Προαπαιτούμενη γνώση Συστήματα γραμμικών ταλαντωτών, δυναμική πλέγματος, κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής, φωνόνια, ευθύ και ανάστροφο πλέγμα, ζώνες Brillouin Πρόβλημα Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς φωνονίων ω = ω( k), για ένα μονοδιάστατο (Δ) μονοατομικό κρύσταλλο πλεγματικής σταθεράς αποτελούμενο από άτομα μάζας Μ συνδεδεμένα με ελατήρια ελαστικής σταθεράς f Σχεδιάστε τη σχέση διασποράς που υπολογίσατε εντός της πρώτης ζώνης Brillouin (ΖΒ) και σχολιάστε την Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια ατομική αλυσίδα (Δ ατομικό πλέγμα) αποτελούμενη από ένα άτομο, ανά κυψελίδα, πλεγματικής σταθεράς Εύκολα μπορεί κανείς να δείξει, ότι το ανάστροφο πλέγμα είναι, επίσης, ένα Δ πλέγμα πλεγματικής σταθεράς π Τα άτομα στις πλεγματικές θέσεις συνδέονται μεταξύ τους με ελατήρια ελαστικής σταθεράς f Λαμβάνοντας υπόψη αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, το n-οστό άτομο της αλυσίδας δέχεται ελαστικές δυνάμεις f( un u n + ) από το άτομο, στα δεξιά του [ ( n + ) - οστό άτομο] και f( un un ) από το άτομο, στα αριστερά του [ ( n ) -οστό άτομο] Η εξίσωση κίνησης του n-οστού ατόμου θα γράφεται dun M = f( un un ) f( un un+ ) dt dun [ ] M = f un un un+, dt () όπου un είναι η μετατόπιση του n-οστού ατόμου στην αλυσίδα Για την παραπάνω διαφορική εξίσωση, αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων ( ) u ( ) exp n t = u i kn ωt, () π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u το πλάτος της λ ταλάντωσης Αντικαθιστώντας την () στην (), λαμβάνουμε 66

( ) [ ] ( ) = f cos( k) exp i ( kn ωt), Mω exp i kn ωt = f exp( ik) exp( ik) exp i kn ωt η οποία έχει λύση, αν διαλέξουμε ω = ω( k), τέτοιο, ώστε f cos( k) f k ω( k) = = sin M M () Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η παραπάνω σχέση διασποράς ω = ω( k), εντός της ΖΒ, π π δηλαδή, k < ω -π/ k π/ Παρατηρούμε, ότι η σχέση διασποράς αποτελείται από έναν κλάδο, εφόσον ο Δ κρύσταλλος αποτελείται από ένα άτομο, ανά κυψελίδα Καθώς αυτός ο κλάδος lim ω( k) = θα είναι ένας ακουστικός κλάδος, η κλίση του οποίου στο παραπάνω όριο θα μας δίνει την ταχύτητα διάδοσης ακουστικών κυμάτων, στον παραπάνω Δ κρύσταλλο k Πρόβλημα Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς φωνονίων ω = ω( k), για ένα μονοδιάστατο (Δ), διατομικό κρύσταλλο πλεγματικής σταθεράς, αποτελούμενο από εναλλασσόμενα άτομα, με μάζες M και M, αντίστοιχα, συνδεδεμένα με ελατήρια ελαστικής σταθεράς f (βλέπε το παρακάτω σχήμα) Σχεδιάστε τη σχέση διασποράς, την οποία υπολογίσατε εντός της πρώτης ζώνης Brillouin (ΖΒ) και σχολιάστε την Βρείτε τη μορφή της σχέσεως διασποράς στο όριο του μεγάλου μήκους κύματος, k << 67

Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια ατομική αλυσίδα (Δ ατομικό πλέγμα) αποτελούμενη από δύο διαφορετικά άτομα, με μάζες M και M ανά κυψελίδα, η οποία έχει πλεγματική σταθερά Το ανάστροφο πλέγμα είναι, επίσης, ένα Δ πλέγμα πλεγματικής π σταθεράς Τα άτομα στις πλεγματικές θέσεις συνδέονται μεταξύ τους με ελατήρια ελαστικής σταθεράς f Έστω, uv, οι μετατοπίσεις των ατόμων M και M, σε μια κυψελίδα Λαμβάνοντας υπόψη μόνο αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, ένα άτομο μάζας M της n-οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη f( un v n + ) από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο Μ της ( n + ) -οστής κυψελίδας] και f( un vn) από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο M της n-οστής κυψελίδας] Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου M της n-οστής κυψελίδας γράφεται dun n n n n+ M = f( u v ) f( u v ) dt dun = n n+ n [ ] M f u v v dt (4) Αντίστοιχα, ένα άτομο μάζας M της n-οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη f( vn un) από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο Μ της n-οστής κυψελίδας] και f( vn un ) από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο M της ( n ) -οστής κυψελίδας] Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου M της n-οστής κυψελίδας γράφεται dvn n n n n M = f( v u ) f( v u ) dt dvn = n n n [ ] M f v u u dt (5) Έχουμε, λοιπόν, να επιλύσουμε το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων dun = n n+ n [ ] M f u v v dt dvn = n n n [ ] M f v u u dt Αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων ( ω ) ( ω ) (6) un( t) = uexp i kn t, (7) vn( t) = v exp i kn t 68

π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u, v τα πλάτη λ των ταλαντώσεων των ατόμων M και M, αντίστοιχα Αντικαθιστώντας τις Εξ(7) στις Εξ (6), λαμβάνουμε το παρακάτω αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων ( f ω M) u f [ ik ] v [ ] ( ω ) + exp( ) = (8) f + exp( ik) u + f M v = Καθώς το παραπάνω σύστημα εξισώσεων είναι ομογενές, για να έχει λύση πέρα από την τετριμμένη [ u = v = ], θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών του να είναι μηδέν, δηλαδή η οποία δίνει το πολυώνυμο τετάρτου βαθμού Οι ρίζες του παραπάνω πολυωνύμου είναι [ ] f ω M f + exp( ik) det =, f [ + exp( ik) ] f ω M ( ) ω [ ] M M ω f M + M + f cos( k) = (9) 4 4 k ω ( k) = f + ± f + sin, () M M M M MM όπου από τις παραπάνω λύσεις δεχόμαστε μόνο τις θετικές τιμές της κυκλικής συχνότητας ω Καθεμία από τις τιμές του ω μας δίνει μία τιμή με ω ( k) > Συμβολίζουμε με ω+ ( k), ω ( k) τις δύο τιμές του ω ( k) Συγκεκριμένα, 4 k ω+ ( k) = f + + f + sin M M M M MM () 4 k ω ( k) = f + f + sin M M M M MM Παρατηρούμε, ότι η σχέση διασποράς ω = ω( k) έχει δύο κλάδους, οι οποίοι αντιστοιχούν στις δύο σχέσεις ω = ω + ( k) και ω = ω ( k) με ω+ ( k), ω ( k) > Και οι δύο παραπάνω κλάδοι για M = M απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα, εντός της ΖΒ, δηλαδή π π k < 69

οπτικός κλάδος ω ακουστικός κλάδος -π/ k π/ Ο κλάδος ω = ω ( k) ονομάζεται ακουστικός κλάδος, ενώ ο κλάδος ω = ω + ( k) ονομάζεται οπτικός κλάδος (βλέπε παραπάνω σχήμα) Η ειδοποιός διαφορά τους έγκειται στη συμπεριφορά τους, στο όριο k, δηλαδή, πρακτικώς, στο όριο του μεγάλου μήκους κύματος: k << Σε αυτό το όριο, λοιπόν, λαμβάνουμε k 4 ω ( k) f f + + M M M M MM + M M ( k) f + + + M M M M ( M+ M) f ω ( k) k, ( M + M ) x όπου κάναμε χρήση των προσεγγιστικών τύπων sin( x) x, x + Επίσης, για τον οπτικό κλάδο αποδεικνύεται, ότι στο όριο μεγάλου μήκους ( k << ) ω + ( k) = f + ( k) M M 8MM + M M Για k << ο ακουστικός κλάδος δίνει μια γραμμική εξάρτηση της κυκλικής συχνότητας ω από το κυματάνυσμα k και περιγράφει τη διάδοση ενός ακουστικού κύματος σε ένα ομοιογενές μέσο, με ταχύτητα ήχου 7

c ήcου ω ( k) f = k ( M + M ) () Πρόβλημα Δείξτε, ότι σε μια διατομική αλυσίδα, αποτελούμενη από άτομα με εναλλασσόμενες μάζες M και Μ και συνδεδεμένα με ελατήρια σταθεράς f (βλέπε σχήμα προβλήματος ), το πηλίκο των μετατοπίσεων των δυο διαφορετικών ατόμων στην ίδια κυψελίδα, για το μέσο της ΖΒ M (k=) και για τον οπτικό κλάδο, είναι ίσο με Επίσης, δείξτε, ότι στο άκρο της ΖΒ M π k mx =, τα δύο υποπλέγματα, τα οποία αντιστοιχούν στα δύο είδη μαζών M και Μ, δρουν ανεξάρτητα μεταξύ τους: το ένα κινείται, ενώ το άλλο παραμένει ακίνητο Λύση Στο μέσο της ΖΒ, k=, η συχνότητα του οπτικού κλάδου δίνεται από την πρώτη των Εξ() Επίσης, οι Εξ(8) για k= γράφονται ω = = + + ( k ) f M M f ω ( k ) M u fv + = = fu + f ω k = M v = + ( ) f f + M u fv = M M fu + f f + M v = M M Λύνοντας ως προς u v ότι, είτε την πρώτη είτε τη δεύτερη του παραπάνω συστήματος βρίσκουμε, u v M M = Υποθέτουμε, τώρα, ότι M > M, χωρίς βλάβη της γενικότητας Για το δεξί άκρο της ΖΒ, π k =, έχουμε δύο τιμές της κυκλικής συχνότητας ω, μία για κάθε κλάδο της σχέσεως διασποράς ω = ω( k), π f ω = ω ( k = ) = M και π f ω = ω+ ( k = ) = M, 7

π οι οποίες προέκυψαν, θέτοντας k = στις σχέσεις () Λύνοντας ως προς u v και v u την πρώτη και δεύτερη των Εξ(8) αντίστοιχα, έχουμε [ exp( ik) ] u f + = v f ω M v f [ + exp( ik) ] = u f ω M π f π Για ω = ω + ( k = ) = και k =, μόνο, η πρώτη των παραπάνω εξισώσεων έχει νόημα, M δίνοντας u v =, οπότε το υποπλέγμα των μαζών Μ παραμένει ακίνητο (u=) και κινείται, μόνο, το υποπλέγμα των μαζών Μ π f π Αντίστοιχα, για ω = ω ( k = ) = και k =, μόνο η δεύτερη των παραπάνω εξισώσεων M έχει νόημα, δίνοντας v u = Σε αυτήν την περίπτωση, είναι το υποπλέγμα των μαζών Μ, το οποίο παραμένει ακίνητο (v=), ενώ κινείται, μόνο, το υποπλέγμα των μαζών Μ Πρόβλημα 4 Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς φωνονίων ω = ω( k) για ένα μονοδιάστατο (Δ) κρύσταλλο πλεγματικής σταθεράς, αποτελούμενο από όμοια άτομα μάζας M, τα οποία συνδέονται εναλλάξ με ελατήρια σταθερών f και f (βλέπε το παρακάτω σχήμα) Σχεδιάστε τη σχέση διασποράς που υπολογίσατε εντός της πρώτης ζώνης Brillouin (ΖΒ) και σχολιάστε την Βρείτε τη μορφή της σχέσεως διασποράς στο όριο του μεγάλου μήκους κύματος, k Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια ατομική αλυσίδα (Δ ατομικό πλέγμα) πλεγματικής σταθεράς, αποτελούμενη από άτομα ίδιας μάζας Μ, τα οποία αλληλεπιδρούν με ελατήρια 7

διαφορετικών σταθερών ελατηρίου f και f, με τους πλησιέστερους γείτονές τους Έτσι η μοναδιαία κυψελίδα αποτελείται από δύο άτομα τύπου Α και Β, όπου τα τύπου Α (Β) αλληλεπιδρούν με το γειτονικό άτομο στα αριστερά (δεξιά) τους, με ελατήριο f (f ) και με το άτομο στα δεξιά τους, με ελατήριο f (f ) Το ανάστροφο πλέγμα είναι, επίσης, ένα Δ πλέγμα πλεγματικής σταθεράς π Έστω uv, οι μετατοπίσεις των ατόμων τύπου Α και Β σε μια κυψελίδα Λαμβάνοντας υπόψη αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, ένα άτομο μάζας τύπου A της n-οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη f( un v n + ) από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο τύπου Β της ( n + ) -οστής κυψελίδας] και f ( ) un vn από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο τύπου Β της n -οστής κυψελίδας] Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου τύπου Α της n-οστής κυψελίδας γράφεται dun M = f( un vn+ ) f( un vn) dt dun ( ) M = f+ f un + fv n+ + fv n dt () Αντίστοιχα, ένα άτομο μάζας τύπου Β της n-οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη f ( ) vn un από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο τύπου Α της n -οστής κυψελίδας] και f( vn un ) από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο τύπου Α της ( n ) -οστής κυψελίδας] Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου τύπου Α της n-οστής κυψελίδας γράφεται dun M = f( vn un) f( vn un ) dt dun ( ) M = f+ f vn + fu n + fu n dt (4) Έχουμε, λοιπόν, να επιλύσουμε το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων dun dun ( ) M = f+ f un + fv n+ + fv n dt (5) ( ) M = f + f v + fu + fu dt n n n Αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων ( ω ) ( ω ) un( t) = uexp i kn t, (6) vn( t) = v exp i kn t π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u, v τα πλάτη λ των ταλαντώσεων των ατόμων τύπου Α και Β, αντίστοιχα Αντικαθιστώντας τις Εξ(6) στις Εξ (5), λαμβάνουμε το παρακάτω αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων ( ω ) f+ f M v [ f+ fexp( ik)] u =, (7) [ f + f exp( ik)] v+ f + f M u = ( ω ) 7

Καθώς το παραπάνω σύστημα εξισώσεων είναι ομογενές, για να έχει λύση πέρα από την τετριμμένη [ u = v = ], θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών του να είναι μηδέν, δηλαδή f+ f ω M [ f+ fexp( ik)] det =, [ f+ fexp( ik)] ( f+ f ω M) η οποία έχει λύσεις τις f+ f ± f + f + ffcos( k) ω ( k) =, (8) M όπου από τις παραπάνω λύσεις δεχόμαστε, μόνο, τις θετικές τιμές της κυκλικής συχνότητας ω Καθεμία από τις τιμές του ω μας δίνει μία τιμή με ω ( k) > Παρατηρούμε, ότι η σχέση διασποράς ω = ω( k) έχει δύο κλάδους, οι οποίοι αντιστοιχούν στα δύο διαφορετικά πρόσημα της Εξ(8) Και οι δύο παραπάνω κλάδοι για f = f απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα, π π εντός της ΖΒ, δηλαδή, k < ω -π/ k π/ Πρόβλημα 5 Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς για διαμήκη και εγκάρσια φωνόνια, κατά μήκος της διεύθυνσης [] ενός κρυστάλλου fcc, τα άτομα του οποίου συνδέονται μέσω ελατηρίων, με τους κοντινότερους γείτονές τους Λύση Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται δύο διαδοχικές μοναδιαίες κυψελίδες ενός κρυστάλλου fcc, καθώς και οι δεσμοί ενός ατόμου με τους πλησιέστερους γείτονές του 74

Οι θέσεις των πλησιέστερων (πρώτων) γειτόνων συμβολίζονται με R i, ενώ το κεντρικό άτομο της παραπάνω εικόνας βρίσκεται στην αρχή των αξόνων R = (,,) Έστω nˆ i το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του R i Υποθέτουμε, ότι κάθε άτομο δέχεται ελαστική δύναμη από κάθε πλησιέστερο γείτονα (κάθε άτομο είναι συνδεδεμένο με ελατήρια, με καθένα από τους γείτονές του) Η παραμόρφωση (επιμήκυνση ή συσπείρωση) του ελατηρίου είναι ίση με τη διαφορά των μετατοπίσεων, μεταξύ του κεντρικού και του i-οστού ατόμου, προβαλλόμενη στη διεύθυνση του ελατηρίου n ˆ i, ( ) u u n, i ˆ i όπου u η μετατόπιση του κεντρικού ατόμου και u i η μετατόπιση του i-οστού πλησιέστερου γείτονα Η δύναμη F i η οποία ασκείται από τον i-οστό γείτονα στο κεντρικό άτομο, βρίσκεται πάνω στη διεύθυνση του ελατηρίου (δηλαδή τη διεύθυνση του n ˆ i ) και είναι ανάλογη της παραμόρφωσης του ελατηρίου, δηλαδή ( ) F ˆ ˆ i = fi u i u n i n i Οι συνιστώσες της F i κατά τους άξονες xyz,, θα γράφονται nˆ nˆ iy ˆ ix niz Fix = Fi, Fiy = Fi, Fiz = F i, n n n ix iy iz n όπου ˆ ix ˆ n = n x το μοναδιαίο στη διεύθυνση x, ˆ iy ˆ ix n = y, στη διεύθυνση y, κοκ Έχουμε, iy nˆ ix F [ ˆ ] ˆ ix = f ni ( ui u ) ni = nix nˆ ix = f ( nˆ ˆ ˆ ) ( ) ( ˆ ˆ ˆ ix + niy + niz ui u nix + niy + niz ) n ix n ˆ ˆ ˆ ˆ ix + niy nix + niz nix ix ( ix x ) iy ( iy y ) iz ( iz z ) n ix = f n u u + n u u + n u u Fix = f nix ( uix ux ) + niynix ( uiy uy ) + niznix ( u ) iz u z 75

όπου χρησιμοποιήσαμε την ορθοκανονικότητα των n ˆ ix, n ˆ iy, n ˆ iz : nˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ iy nix = niz nix = niz niy = n = n = n = ix iy iz Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε τις άλλες δύο συνιστώσες της F i, Fiy = f nixniy ( uix ux ) + niy ( uiy uy ) + nizniy ( uiz uz ), Fiz = f nixniz ( uix ux ) + nizniy ( uiy uy ) + niz ( uiz uz ) Στον παρακάτω πίνακα παραθέτουμε τις συνιστώσες των δυνάμεων, τις οποίες ασκούν οι πλησιέστεροι γείτονες στο κεντρικό άτομο: i 4 5 6 7 8 9 R i ( ˆ + ˆ) ( ˆ + ˆ) ( ˆ + ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ + ˆ) x y ( u u ) + ( u u ) ( + ) F i f x x y y ˆ x y ˆ f x x z z u u + u u ˆ + ˆ f y y z z u u + u u ˆ + ˆ y z f 4x x 4y y u u u u x ˆ ˆ f 5x x 5y y u u u u x ˆ ˆ x z ( ) ( ) ( ) y z ( ) ( ) ( ) x y ( ) ( ) ( ) x y ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ) f ˆ ˆ 6x x 6y y x y x y ( u u ) + ( u u ) ( + ) ( ˆ ˆ) ( ˆ + ˆ) f ˆ ˆ 7x x 7z z x z f u ˆ ˆ 8x ux u8z uz + x z x z ( u u ) ( u u ) ( ) x z ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ) f ˆ ˆ 9x x 9z z x z x z ( u u ) + ( u u ) ( + ) ( ˆ ˆ) ( ˆ + ˆ) f ˆ ˆ y y z z y z f u ˆ ˆ y u y uz u z y z y z ( u u ) ( u u ) ( ) y z ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ) f ˆ ˆ y y z z y z y z ( u u ) + ( u u ) ( + ) Προσθέτοντας όλες τις δυνάμεις που ασκούνται από τους πρώτους γείτονες, στο κεντρικό άτομο, προκύπτει η εξίσωση κίνησης ( ος νόμος Νεύτωνα) του κεντρικού ατόμου για τη διεύθυνση x 76

mω u x F x F x F x Fix i= = + + + = f = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mω ux ux ux uy uy ux ux uz uz u4x ux u4y uy ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) + + + + 5x x 5y y 6x x 6y y 7x x 7z z ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) _ 8x x 8z z + 9x x + 9z x Το θεώρημα του Bloch μας δίνει, ότι u exp( ) i = u ik R i Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει το αποτέλεσμα της εφαρμογής του θεωρήματος του Bloch, για καθένα από τους πλησιέστερους γείτονες ενός ατόμου πλέγματος fcc i u exp( ) i = u ik R i u exp ( ) / = u ikx + ky u = u exp [ ik ( ) / x + kz ] u exp ( ) / = u iky + kz 4 u exp ( ) / 4 = u ikx ky 5 u exp ( ) / 5 = u i kx + ky 6 u exp ( ) / 6 = u ikx + ky 7 u7 = u exp [ ik ( ) / x kz ] 8 u8 = u exp [ i ( k ) / x + kz ] 9 u9 = u exp [ ik ( ) / x + kz ] u exp ( ) / = u iky kz u exp ( ) / = u i ky + kz u exp ( ) / = u iky + kz Αντικαθιστώντας τις τιμές του παραπάνω πίνακα για τις μετατοπίσεις u, u,, u στην Εξ (), λαμβάνουμε, f mω + cos( k x / + k y /) + cos( k x / + k z /) + cos( k x / k y /) + cos( k x / k z /) 8]} u x () + cos( k x / + k y /) cos( k x / k y /) u y + cos( k/ + k/) cos( k/ k/) u = [ ] x z x z z Κάνοντας τις αντικαταστάσεις x yy, xz, z, βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης για τη διεύθυνση y () 77

f cos( / /) cos( / /) mω + k y + k x + k y + k z ]} + cos( k/ k/) + cos( k/ k/) 8 u y x y z y + cos( k/ + k/) cos( k/ k/) u y x y x x, () + cos( k y / + k z /) cos( k y / k z /) uz = ενώ με τις αντικαταστάσεις x zy, yz, x στην Εξ(), βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης στη διεύθυνση z f cos( / /) cos( / /) mω + k z + k y + k z + k x + cos( k/ k/) + cos( k/ k/) 8 u z y z x z + cos( k z / + k y /) cos( k z / k y /) u y + cos( k/ + k/) cos( k/ k/) u = [ ] z x z x x ]} (4) Θέλουμε να υπολογίσουμε τη σχέση διασποράς κατά μήκος της διεύθυνσης [] Αυτό σημαίνει, ότι θα υπολογίσουμε τις σχέσεις διασποράς για τα σημεία της ΖΒ που ικανοποιούν τις παρακάτω ky = kz = π (5) kx < Από τις Εξ() και (5), προκύπτει ο διαμήκης ακουστικός (LA) κλάδος της σχέσης διασποράς κατά μήκος της διεύθυνσης [] f k x ω = cos m, (6) 4 ενώ τόσο οι Εξ() και (5), όσο και οι Εξ(4) και (5), δίνουν την ίδια σχέση διασποράς, η οποία αντιστοιχεί στο διπλά εκφυλισμένο εγκάρσιο ακουστικό (TA) κλάδο της σχέσεως διασποράς, κατά μήκος της [] f k x ω = cos m (7) Οι σχέσεις διασποράς (6) και (7) απεικονίζονται στην παρακάτω γραφική παράσταση 78

ω LA f m TA f m Γ (k=) k Χ (k=π/) Πρόβλημα 6 Σε μία Δ περιοδική αλυσίδα πλεγματικής σταθεράς, τα σώματα (άτομα) έχουν μάζα m και συνδέονται με τους πλησιέστερους γείτονές τους, με ελατήρια σταθεράς f Επιπρόσθετα, στις ελαστικές δυνάμεις, σε κάθε σώμα ασκείται μια δύναμη αντίστασης FD = Γ un, όπου u n η απομάκρυνση του n-οστού σώματος από τη θέση ισορροπίας και u n η αντίστοιχη ταχύτητα Πώς επηρεάζει τη σχέση διασποράς των φωνονίων ω = ω( k) η εισαγωγή μιας δύναμης απωλειών (αντίστασης); Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια Δ ατομική αλυσίδα, αποτελούμενη από ένα άτομο, ανά κυψελίδα Θεωρούμε αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, το n-οστό άτομο της αλυσίδας δέχεται ελαστική δύναμη f( un u n + ) από το άτομο, στα δεξιά του και f( un un ) από το άτομο, στα αριστερά του Επίσης, λαμβάνουμε υπόψη και τη δύναμη αντίστασης πάνω σε κάθε σώμα (άτομο) Η εξίσωση κίνησης του n-οστού ατόμου θα γράφεται d un dun M = f( u n un ) f( un un+ ) Γ dt dt d un dun M = f [ un un un+ ] Γ dt dt () Αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων Bloch ( ) u ( ) exp n t = u i kn ωt, () 79

π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u το πλάτος της λ ταλάντωσης Αντικαθιστώντας την Εξ () στην (), λαμβάνουμε ( ) [ ] ( ) ( ) = f cos( k) iωγ exp i ( kn ωt), Mω exp i kn ωt = f exp( ik) exp( ik) exp i kn ωt + iωγexp i kn ωt η οποία δίνει, τελικά, τη σχέση διασποράς Γ 4 f sin k Γ ω = ± M M M, () x όπου χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα cos( x) = sin Από την Εξ() παρατηρούμε τα εξής: Γ (α) Οι συχνότητες των φωνονίων ω είναι μειωμένες κατά, σε σχέση με τις M συχνότητες, με την απουσία δυνάμεων αντίστασης (β) Οι συχνότητες των φωνονίων είναι, τώρα πια, μιγαδικές ποσότητες με φανταστικό μέρος Γ ίσο με Αυτό σημαίνει, ότι τα φωνόνια δεν είναι πια ιδιοκαταστάσεις της αλυσίδας M M με άπειρο χρόνο ζωής, αλλά φθίνουν με χαρακτηριστικό χρόνο τ = Στο παρακάτω Γ f σχήμα απεικονίζονται οι σχέσεις διασποράς για = 5 και για διάφορες τιμές των M απωλειών M Γ ω Γ/Μ= Γ/Μ= Γ/Μ=5 Γ/Μ= k 8

Πρόβλημα 7 Υπολογίστε την ιδιοσυχνότητα μίας Δ γραμμικής αλυσίδας ατόμων, η οποία περιέχει μια σημειακή ατέλεια (ισότοπο) διαφορετικής μάζας Μ από τα υπόλοιπα άτομα, τα οποία έχουν μάζα m Υποθέστε, ότι η σημειακή ατέλεια καταλαμβάνει την πλεγματική θέση n =, ενώ οι μετατοπίσεις των ατόμων στην αλυσίδα περιγράφονται από τη (δοκιμαστική) συνάρτηση u exp ( ) n = u k ω n iωt, όπου u n η μετατόπιση του ατόμου στη θέση n Τα άτομα συνδέονται με τους πλησιέστερους γείτονές τους, με ελατήρια σταθεράς f (βλέπε παρακάτω σχήμα) Λύση Οι εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα για την ατέλεια (n=), καθώς και για τις δύο γειτονικές της είναι ή στη γενική περίπτωση Δοκιμάζουμε τη λύση της μορφής στις Εξ () Έχουμε du du du ( ) m = f u u + u dt ( ) M = f u u + u dt ( ) m = f u u + u dt dun ( n n n+ ), για m = f u u + u n dt ( ω ) ( ω ), () un = u exp kn i t, για n >, () u = u exp kn i t, για n < n [ ] [ exp( ) exp( )], για [ ] mω exp( kn) = f exp( kn) exp( k) + exp( k), για n > Mω = f k + k n =, exp( ) exp( ) exp( ) exp( ), για mω kn = f kn k + k n < 8

Οι παραπάνω εξισώσεις καταλήγουν σε σύστημα δύο εξισώσεων οι οποίες έχουν λύση [ ] [ exp( ) exp( )] Mω = f exp( k) = mω f k k, f m/ M ω = m M / m και m k = ln M () Η συχνότητα ω ως συνάρτηση του πηλίκου M m απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα, όπου f ω = M 5 ω/ω 4 5 5 M/m Για να σχεδιάσουμε την παραπάνω γραφική παράσταση, ακολουθήσαμε την παρακάτω μελέτη, όπου διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις για τη συχνότητα ω: (α) Για M > m, η συχνότητα ω είναι φανταστική και το k είναι πραγματικό και αρνητικό Αυτό σημαίνει, ότι η δοκιμαστική συνάρτηση u exp n = u kn iωt δεν είναι λύση, αφού αυξάνεται εκθετικά με την απόσταση (με το n) (β) Για M < m, η συχνότητα ω είναι πραγματική και το k είναι μιγαδικό Αυτό σημαίνει, ότι η δοκιμαστική συνάρτηση u exp n = u kn iωt έχει ταλαντωτική συμπεριφορά (ως προς το χρόνο) Μένει να δούμε τη συμπεριφορά της στο χώρο Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ln( x) = iπ + ln( x), μπορούμε να γράψουμε για το k 8

m k = iπ + ln M Από την παραπάνω σχέση βρίσκουμε, ότι (i) Για m< M < m, το Re( k ) είναι αρνητικό και η δοκιμαστική συνάρτηση αυξάνεται εκθετικά με την απόσταση (με το n) Επομένως, δεν αποτελεί λύση του προβλήματος (ii) Για M < m, το Re( k ) είναι θετικό και επομένως, η δοκιμαστική συνάρτηση είναι αποδεκτή ως λύση, αφού εμφανίζει μια ταλαντωτική συμπεριφορά Επίσης, το πλάτος της συνάρτησης φθίνει εκθετικά με την απόσταση, από τη σημειακή ατέλεια Συνοψίζοντας, η δοκιμαστική συνάρτηση u n, η οποία μελετήθηκε παραπάνω, αποτελεί λύση του προβλήματος, μόνο όταν M < m Πρόβλημα 8 Θεωρήστε έναν κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή με την παρακάτω Χαμιλτονιανή p H M x M = + ω, όπου Μ η μάζα, ω η συχνότητα, p η ορμή και x η θέση του αρμονικού ταλαντωτή Οι τελεστές θέσης και ορμής ικανοποιούν τη σχέση αντιμετάθεσης [ px, ] καταστροφής και δημιουργίας ορίζονται, αντίστοιχα, από τις σχέσεις = Οι τελεστές i Mω i = x+ p Mω Mω i = Mω x p (α) Υπολογίστε τον αντιμεταθέτη, (β) Δείξτε, ότι η Χαμιλτονιανή μπορεί να γραφεί ως H= ω + (γ) Με n συμβολίζουμε την κανονικοποιημένη ιδιοκατάσταση με ενέργεια En ω n = + Δείξτε, ότι n = n+ n+ και n = nn Λύση (α) Έχουμε, = = Mω i Mω i Mω i Mω i = x+ p x p x p x+ p Mω Mω Mω Mω i i = [ ipx ixp ixp + ipx] = ( px xp) = [ p, x] = = i (β) Είναι 8

Mω i Mω i ω + = ω x p x+ p + Mω Mω Mω p = ω x + + i( xp px) + Mω Mω p Mω i = ω x + + i + p = + Mω x M = H (γ) Βρίσκουμε το μέτρο του τελεστή n Είναι nhn nn = n n = n+ n = n n + ω En ω( n+ / ) = + nn = + = n+ ω ω, () όπου χρησιμοποιήσαμε την κανονικοποίηση των ιδιοκαταστάσεων nn =, καθώς και την Hn = En n = ω( n+ ) n Από την τελευταία των Εξ() βρίσκουμε, τελικά, ότι nn = n+ ή n n n = + + Με όμοιο τρόπο n n = H E n n n n n n / / n ω ω n n = n ή n = nn 84

Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [] H Ibch και H Lüth, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, ) [] C Kittel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 979) [] N W Ashcroft και N D Mermin, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, ) [4] R Levy, Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσεως, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 968) [5] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 997) [6] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, ) [7] Α Μοδινός, Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης, (Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, 994) [8] Σ Η Παπαδόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 4) [9] Π Βαρώτσος και Κ Αλεξόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα, 995) [] Κ Παρασκευαΐδης, Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης», (ΕΜΠ, Αθήνα, ) Ξενόγλωσσα: [] M P Mrder, Condensed Mtter Physics, (Wiley, New Jersey, ) [] H E Hll, Solid Stte Physics, (Wiley, Bristol, 974) [] J M Zimn, Principles of the Theory of Solids, (Cmbridge, Cmbridge, 964) [4] H J Goldsmid, (ed), Problems in Solid Stte Physics, (Pion Limited, London, 968) [5] V M Agrnovich nd A A Mrdudin (eds), Modern Problems in Condensed Mtter Sciences, (Elsevier, Amsterdm, 989) [6] A L Ivnov nd S G Tikhodeev (eds), Problems of Condensed Mtter Physics, (Oxford, Oxford, 8) [7] A Rigmonti nd P Crett, Structure of Mtter, (Springer, Miln, 9) Λέξεις-κλειδιά ος νόμος του Νεύτωνα ακουστικός κλάδος ανάστροφο πλέγμα δυναμική πλέγματος ευθύ πλέγμα ζώνες Brillouin θεώρημα του Bloch κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής κυματάνυσμα οπτικός κλάδος πολυώνυμο συστήματα γραμμικών ταλαντωτών υποπλέγμα φωνόνια Χαμιλτονιανή 85

Κεφάλαιο 5 ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Προαπαιτούμενη γνώση Δυναμική πλέγματος, φωνόνια, κατανομή Bose-Einstein, πυκνότητα καταστάσεων φωνονίων, πρότυπο Einstein, πρότυπο Debye, ειδική θερμότητα, μέτρο ελαστικότητας, σταθερά Grüneisen Πρόβλημα Υπολογίστε τη συνεισφορά των ταλαντώσεων πλέγματος στην ελεύθερη ενέργεια Helmholtz, καθώς και στην εντροπία για έναν κρύσταλλο που ακολουθεί το πρότυπο Einstein Λύση Έστω, ότι έχουμε μια συλλογή από Ν κβαντικούς αρμονικούς ταλαντωτές ενέργειας ωe, όπου ω η χαρακτηριστική συχνότητα Einstein του κρυστάλλου Το ενεργειακό φάσμα ενός E κβαντικού ταλαντωτή συχνότητας ω E δίνεται από την En = ( n+ ) ωe, n =,,, Η συνάρτηση επιμερισμού ενός τέτοιου συστήματος γράφεται ( k B η σταθερά Boltzmnn) Zω E nzω E Z= exp [ En/( kt B )] = exp exp n kt B n kt = B Zω E exp kt B =, Zω E exp kt B όπου κάναμε χρήση του αναπτύγματος απείρων όρων γεωμετρικής προόδου: n t n =, για t < t Με βάση τα παραπάνω, η ελεύθερη ενέργεια Helmholtz θα γράφεται Zω E Zω E F= NkT B ln Z= N + kt B ln exp( ) kt B Αντίστοιχα, η εντροπία ενός κρυστάλλου Einstein γράφεται 86

Πρόβλημα F ω E ωe S = = NkB ln exp( ) T V kt + B kt B ω E exp kt B Υπολογίστε την ειδική θερμότητα ανά μονάδα όγκου για έναν κρύσταλλο αργύρου (Ag: δομή fcc, πλεγματική σταθερά = 47 Å), για θερμοκρασία T = K εφαρμόζοντας 5 (α) το πρότυπο Einstein, θεωρώντας την τιμή της ελαστικής σταθεράς k = dyn/sec 5 (β) το πρότυπο Debye, θεωρώντας την τιμή της ταχύτητας του ήχου v = cm/sec Λύση (α) Η συχνότητα Einstein είναι ω = E k M Ag και αντιστοιχεί στη θερμοκρασία Einstein όπου k B η σταθερά Boltzmnn και ω E k Θ E = = 7 Κ, k k M B B Ag συγκέντρωση του αργύρου, σε μοναδιαίο όγκο περιέχονται M Ag η ατομική μάζα του αργύρου Αν n είναι η n = γραμμομόρια (moles), N υ όπου υ c = /4 ο όγκος της θεμελιώδους κυψελίδας του αργύρου (δομή fcc) και Ν Α ο αριθμός του Avogdro Η θερμική ενέργεια, λόγω ταλαντώσεων, σε έναν οποιοδήποτε αρμονικό κρύσταλλο γράφεται U = ω + D( ω) dω, () ω exp kt B όπου D( ω) η πυκνότητα καταστάσεων φωνονίων του κρυστάλλου A c 87

D(ω) N A δ(ω-ω Ε ) ω Ε ω Για έναν κρύσταλλο, ο οποίος περιγράφεται από το πρότυπο Einstein, όλοι οι κβαντικοί ταλαντωτές είναι εκφυλισμένοι στην ίδια συχνότητα ω E Επομένως, η αντίστοιχη πυκνότητα καταστάσεων φωνονίων, η οποία απεικονίζεται και στο παραπάνω σχήμα, γράφεται D( ω) = N A δω ( ω E ) Αντικαθιστώντας την παραπάνω μορφή της πυκνότητας καταστάσεων στην Εξ () της θερμικής ενέργειας U, λαμβάνουμε U NA ω E + ω E exp kt B Εφόσον εργαζόμαστε στο όριο των χαμηλών θερμοκρασιών, δηλαδή, T = Κ ΘE, η παραπάνω έκφραση μπορεί να προσεγγισθεί ως ω E ΘE U = NA ωe + exp = NA ωe + exp kt B T Λαμβάνοντας τη μερική παράγωγο ως προς τη θερμοκρασία Τ της παραπάνω σχέσης και διαιρώντας με Ν Α, βρίσκουμε τη γραμμομοριακή ειδική θερμότητα (που συμπίπτει με την ειδική θερμότητα ανά μοναδιαίο όγκο) για τον άργυρο, στο πρότυπο Einstein C V U E E k Θ B exp Θ 8 erg/k cm T V T T = = (β) Στο πρότυπο Debye, ένας κυβικός κρύσταλλος, όπως είναι ο κρύσταλλος Ag, περιγράφεται ως ένα συνεχές ισότροπο μέσο, στο οποίο η διάδοση ελαστικών κυμάτων περιγράφεται από μια σταθερή ταχύτητα ήχου, για τα εγκάρσια και τα διαμήκη κύματα Η πυκνότητα καταστάσεων των φωνονίων για τον i-οστό κλάδο της σχέσης διασποράς των φωνονίων υπολογίζεται ως 88

dq dq Di ( ω) dω = D( q) dq = N = N π ( π ) L υc Σύμφωνα με τα παραπάνω, στο πρότυπο Debye, ο κρύσταλλος είναι ισότροπος και οι σχέσεις διασποράς των φωνονίων γραμμικές, ω = vq i (βλέπε παρακάτω σχήμα) Άρα, η παραπάνω σχέση θα γράφεται 4πq dq Nυω c Di ( ω) = N = ( π ) dω π vi υ με i = T, L για τα εγκάρσια και τα διαμήκη κύματα, αντίστοιχα c ω ω D ω=v T q ω=v L q q D q Λαμβάνοντας υπόψη το διπλό εκφυλισμό του εγκάρσιου (T) κλάδου της σχέσεως διασποράς σε ένα ισότροπο μέσο, η ολική πυκνότητα καταστάσεων γράφεται Nυω Nυω Nυω D( ω) = DT( ω) + DL( ω) = + = () π π π c c c vt vl v Στο παρακάτω σχήμα αναπαρίστανται η ολική D( ω ) και οι μερικές DT( ω), DL( ω) πυκνότητες καταστάσεων στο πρότυπο Debye 89

D(ω) L T L+T ω Στην παραπάνω σχέση [Εξ ()] έχουμε ορίσει τη μέση ταχύτητα του ήχου για ένα ισότροπο συνεχές μέσο, από την έκφραση = + v v v T L όπου vt, vlοι ταχύτητες για τα εγκάρσια και τα διαμήκη κύματα, αντίστοιχα Στο πρόβλημα 5 μάς δίνεται, ότι v = cm/sec Αντικαθιστώντας την Εξ () για N = NA στην Εξ (), έχουμε N Aυω c U = ω + dω ω p v exp kt B Λαμβάνοντας τη μερική παράγωγο ως προς τη θερμοκρασία Τ της παραπάνω σχέσης και διαιρώντας με Ν Α, βρίσκουμε τη γραμμομοριακή ειδική θερμότητα (που συμπίπτει με την ειδική θερμότητα, ανά μοναδιαίο όγκο) για τον άργυρο, στο πρότυπο Debye ΘD 4 U T T z exp( z) 9 B T, V D CV = = k dz Θ [ exp( z) ] ω όπου z = και Θ D η θερμοκρασία Debye, ΘD ωd/ kb Στο όριο των χαμηλών kt B θερμοκρασιών, δηλαδή για Θ / T, το ολοκλήρωμα υπολογίζεται αναλυτικά, D 4 4 z exp( z) 4p dz =, 5 [ exp( z) ] η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα στο πρότυπο Debye γράφεται 9

C V 4 π T kb 5 ΘD = () Για να υπολογίσουμε αριθμητικά την ειδική θερμότητα C V, θα πρέπει να υπολογίσουμε την Θ D, δηλαδή τη συχνότητα Debye ω D Η τελευταία ορίζεται ως η συχνότητα κατωφλίου, για την οποία η ολοκληρωμένη πυκνότητα καταστάσεων των φωνονίων D( ω ) ισούται με τον αριθμό των ατόμων, σε mole Ag, ω D D( ω) dω = N A Αντικαθιστώντας την Εξ () για N = N στην παραπάνω εξίσωση, έχουμε A ω D N Aυω c υω c D dω = N A = π v 6π v 6π ωd = v υc Επομένως, η θερμοκρασία Debye θα δίνεται από την / ωd v 6π Θ D = = kb kb υc Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην Εξ(), βρίσκουμε, τελικά / C V 4 π υckt B 5 = 7 erg/k cm, 5 ( v) ενώ η θερμοκρασία Debye ΘD Κ, αρκετά υψηλότερη από την T = K, όπως υποθέσαμε αρχικώς Πρόβλημα Βρείτε την ταλαντωτική ενέργεια μηδενικού σημείου E για έναν κρύσταλλο, που περιγράφεται από το πρότυπο Debye Κατόπιν, υπολογίστε το μέτρο ελαστικότητας όγκου Β Λύση Η ταλαντωτική ενέργεια μηδενικού σημείου E αντιστοιχεί στην κατάσταση, όπου όλα τα φωνόνια με φάσμα En = ( n+ ) ω, n =,,, βρίσκονται στη θεμελιώδη στάθμη n = Επομένως, η E δίνεται από την 9

ω D E = ωd( ω) dω, όπου η πυκνότητα καταστάσεων D( ω ), στο πρότυπο Debye, δίνεται από την Nυω c D( ω) = π v Συνδυάζοντας τις παραπάνω, βρίσκουμε ωd ωd 4 Nυω c Nυc Nυω c D = ω ω = ω ω π v 4π v = 6π v E d d Γνωρίζουμε, ότι η συχνότητα Debye δίνεται από την / / 6π υc v ωd υc 6π ωd = v = Από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει, ότι () E 4 = Nυω c D 6π 9 6π υω = c D 8 N ω () D Το μέτρο ελαστικότητας όγκου ορίζεται ως p B V V E Δεδομένου ότι η πίεση ορίζεται, επίσης, ως p V στην, η παραπάνω σχέση για το Β ανάγεται E B = V V () Γνωρίζουμε, ότι ο όγκος της θεμελιώδους κυψελίδας συνδέεται με το συνολικό όγκο V του V κρυστάλλου, σύμφωνα με την υ c = Από την Εξ () έχουμε N Από την Εξ () έχουμε E V 9 8 D = N ( / ) ω (4) V 6π ω π Nv ωd = v = V N V V D ωd 9

Όμως, από την Εξ () v υc = ω, οπότε η παραπάνω γράφεται 6 π D ωd ωd = V V Παραγωγίζοντας, ξανά, την παραπάνω εξίσωση λαμβάνουμε ω ω ω ω = = = + V V V V V V V V V D D D D ω D ω V 4 ω = 9 V D D (5) Από τις Εξ(), (4) και (5) λαμβάνουμε, τελικώς, N B = D V ω Πρόβλημα 4 Η σχέση ανάμεσα στη συχνότητα f και το μήκος κύματος λ (σχέση διασποράς) για κύματα επιφανειακής τάσης, τα οποία διαδίδονται σε ένα υγρό πυκνότητας ρ και επιφανειακής τάσης σ, δίνεται από την f πσ = ρλ Χρησιμοποιήστε την παραπάνω σχέση διασποράς για να κατασκευάσετε μία θεωρία, τύπου Debye, για τον υπολογισμό της επιφανειακής συνεισφοράς, στην εσωτερική ενέργεια ενός υγρού Παράγετε τη θερμοκρασιακή εξάρτηση της επιφανειακής συνεισφοράς στην ειδική θερμότητα, δηλαδή τη σχέση CV = CV( T), στο όριο των χαμηλών θερμοκρασιών Δεδομένου ότι, η επιφανειακή τάση σ ορίζεται ως η επιφανειακή ελεύθερη ενέργεια, F = E TS, βρείτε πώς μεταβάλλεται η σ με τη θερμοκρασία, στο όριο κοντά στο απόλυτο μηδέν (σε χαμηλές θερμοκρασίες) Λύση Παραδοσιακά, η σχέση διασποράς αφορά την κυκλική συχνότητα ω και τον κυματαριθμό π πσ (μέτρο του κυματανύσματος) q Δεδομένου ότι, ω = π f και q =, η σχέση f = λ ρλ γράφεται εναλλακτικά, σ ω = q ρ Εφόσον μελετάμε την επιφάνεια ενός υγρού, το σύστημα είναι Δ Επομένως, η πυκνότητα καταστάσεων για ελαστικά κύματα, τα οποία διαδίδονται στην επιφάνεια, γράφεται A D( q) dq = qdq, π 9

όπου Α η επιφάνεια του υγρού Είναι dq Dqdq ( ) = D( ω) dω D( ω) = Dq ( ) d ω / A ρ / ( ) D ω = π σ ω () Η αντίστοιχη εσωτερική ενέργεια ανά μονάδα επιφάνειας, γράφεται U = ω D( ) d A + ω ω ω exp kt B ω U = ωd( ω) dω D( ω) dω A + A ω exp kt B /ωd 4/ ρ ω = + p σ ω U E dω, exp kt B όπου E = ωd( ω) dω A η ενέργεια μηδενικού σημείου ανά μονάδα επιφάνειας Η E είναι ανεξάρτητη της θερμοκρασίας και ως εκ τούτου δεν συνεισφέρει στην ειδική θερμότητα ω C V Θέτοντας z =, η παραπάνω έκφραση γράφεται kt B όπου ω / 7/ ΘD / 4/ ρ kt T B z = + p σ z U E dz, exp( ) D Θ D = η θερμοκρασία Debye Η D k B Θ είναι δύσκολο να προσδιορισθεί, καθώς δεν γνωρίζουμε, πόσοι βαθμοί ελευθερίας σχετίζονται με την επιφάνεια, αν και αναμένουμε να είναι ανάλογοι με τον αριθμό ατόμων, ανά μονάδα επιφάνειας Καθώς, όμως, ενδιαφερόμαστε για την ειδική θερμότητα, σε χαμηλές θερμοκρασίες, δηλαδή, για T Θ, μπορούμε να θεωρήσουμε Θ D / T ως το πάνω όριο ολοκλήρωσης της έκφρασης για την U Σε αυτήν την περίπτωση το ολοκλήρωμα δίνεται από την D όπου Γ ( x) η συνάρτηση Γάμμα και ( x) περίπτωση η U γράφεται 4/ z 7 7 dz =Γ z 68494, exp( z) ζ η συνάρτηση ζήτα του Riemnn Σε αυτήν την U E T 7/ = + α, όπου 94

/ 7/ k B ρ 7 7 α = Γ ζ π σ Η αντίστοιχη επιφανειακή ειδική θερμότητα C V θα δίνεται από την C V U 7 = = αt T V 4/ Η αντίστοιχη εντροπία περιγράφεται από την T CV dt 7 S = = αt T 4 Η επιφανειακή τάση σ, δηλαδή η επιφανειακή ελεύθερη ενέργεια προσδιορίζεται από την 4/ σ σ α 4 7/ ( T ) () = E E TS = T Πρόβλημα 5 Υπολογίστε την ειδική θερμότητα των διαμήκων ταλαντώσεων σε μια Δ αλυσίδα, αποτελούμενη από όμοια άτομα, για τις παρακάτω περιπτώσεις: (α) Στα πλαίσια του προτύπου Debye (β) Χρησιμοποιώντας την ακριβή πυκνότητα καταστάσεων φωνονίων D( ω ) για μια τέτοια αλυσίδα ατόμων Υποθέτοντας την ίδια ατομική μάζα Μ και ελαστική σταθερά f και στις δύο περιπτώσεις, δείξτε, ότι στο όριο των χαμηλών θερμοκρασιών, και οι δύο εκφράσεις δίνουν την ίδια μορφή της ειδικής θερμότητας, η οποία είναι ανάλογη της θερμοκρασίας Τ Λύση (α) Η γενική σχέση που δίνει την εσωτερική ενέργεια ενός Δ κρυστάλλου μήκους L, λόγω του δυναμικής του πλέγματος των ατόμων, δίνεται από την U = ω D( ω) dω L +, () ω exp kt B όπου D( ω ) η πυκνότητα καταστάσεων φωνονίων, χαρακτηριστική για κάθε κρύσταλλο Στη Δ αλυσίδα του παραπάνω σχήματος μπορούν να διαδοθούν, μόνο, διαμήκη κύματα Η πυκνότητα καταστάσεων γράφεται 95

L N D( ω) dω = D( q) dq = dq = dq π π N dq D( ω) =, π dω () όπου L είναι το συνολικό μήκος της αλυσίδας Στα πλαίσια του προτύπου Debye, η Δ αλυσίδα προσεγγίζεται στο όριο των μεγάλων μηκών κύματος ( λ >> ), όπου η αλυσίδα περιγράφεται ως ένα Δ συνεχές ισότροπο μέσο, με γραμμική σχέση διασποράς ω = cq, όπου c η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στην Δ αλυσίδα ατόμων Αυτό σημαίνει, ότι η D( ω ) γράφεται N D( ω) = π c Αντικαθιστώντας την παραπάνω εξίσωση στην Εξ(), λαμβάνουμε όπου B ωd N U = ω dω L + p c ω exp kt B ωd ΘD / T ωdω ( B ) p p ω zdz U= E + = E + kt, c c exp( z) exp kt B ω z =, E η ενέργεια μηδενικού σημείου (ανεξάρτητη της θερμοκρασίας Τ) και kt ω D Θ D = η θερμοκρασία Debye Στο όριο χαμηλών θερμοκρασιών, k Θ D / B παραπάνω ολοκλήρωμα υπολογίζεται αναλυτικά, T, το και η εσωτερική ενέργεια γράφεται zdz p exp( z ) = 6, π U= E + kt B 6c ( ) Παραγωγίζοντας ως προς T βρίσκουμε την ειδική θερμότητα για μια Δ αλυσίδα ατόμων, στα πλαίσια του προτύπου Debye, C V πkb πkt B M = T = c f () (β) Σε άσκηση του προηγούμενου κεφαλαίου (Κεφάλαιο 4) αποδείξαμε, ότι η σχέση διασποράς σε μια Δ αλυσίδα ομοίων ατόμων, τα οποία είναι συνδεδεμένα με ελατήρια ελαστικής σταθεράς f, δίνεται από την 96

f cos( q) f q ω( k) = = sin M M, όπου η πλεγματική σταθερά (περίοδος) της Δ αλυσίδας (βλέπε σχήμα παραπάνω) Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς q λαμβάνουμε d ω f = cos q dq M (4) Από την παραπάνω εξίσωση μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα του ήχου c, dω f c = lim = (5) q dq M Αντικαθιστώντας την Εξ(4) στην Εξ(), έχουμε 4 ( ) N M sec( ) N D q f ω = = ω π f π M / (6) Συνδυάζοντας τις Εξ() και (4), έχουμε f / M / N 4f U = ω ω dω L + p M ω exp kt B, U = E + f / M ωdω ω ω exp M kt B / p 4 f όπου E η ενέργεια μηδενικού σημείου Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς T, βρίσκουμε την ειδική θερμότητα, C V ω f / M exp dω ω kt B = p kt / B 4 f ω ω exp M kt B Θέτουμε ω z = και kt B π f Θ=, η παραπάνω εξίσωση γράφεται k M B C V / Θ /( pt ) B Θ k z exp( z) dz = z p pt exp( z) 97

/ Θ z πt Στο όριο των χαμηλών θερμοκρασιών, Θ/ T,, ενώ το πάνω π T Θ όριο στο παραπάνω ολοκλήρωμα είναι το Κατά συνέπεια, η παραπάνω εξίσωση γράφεται, C V kbt z exp( z) dz = Θ [ exp( z) ] Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται αναλυτικώς, και έτσι η ειδική θερμότητα z exp( z) dz p =, [ exp( z) ] π kb πkb M CV = T = T Θ f (6) Η παραπάνω έκφραση για την C V ταυτίζεται με την έκφραση (), αν αντικαταστήσει κανείς όπου c την ταχύτητα του ήχου από την Εξ(5) Αυτό αποδεικνύει ότι στο όριο των χαμηλών θερμοκρασιών, η ακριβής έκφραση της πυκνότητας καταστάσεων, που αντιστοιχεί σε συγκεκριμένο κρύσταλλο, δεν επηρεάζει τη θερμοκρασιακή εξάρτηση της ειδικής θερμότητας Εκείνο που παίζει ρόλο στη θερμοκρασιακή εξάρτηση είναι η διάσταση του συστήματος (Δ, Δ ή Δ) Πρόβλημα 6 Δείξτε, ότι σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας, η οποία αντιστοιχεί σε θερμοκρασία Τ, η μέση ενέργεια ενός τρόπου ταλάντωσης στο όριο των μεγάλων μηκών κύματος είναι ίση με kt B Βρείτε, πόσοι τρόποι ταλάντωσης διεγείρονται σε θερμοκρασίες πολύ χαμηλότερες από τη θερμοκρασία Debye Θ D Βασιζόμενοι στα παραπάνω, δείξτε, ότι σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες T Θ κρύσταλλο, είναι της τάξης του κρύσταλλο D, η ειδική θερμότητα, λόγω των ατομικών ταλαντώσεων σε έναν T Nk B Θ D, όπου N ο αριθμός των ατόμων στον Λύση Tα φωνόνια ως μποζόνια, ακολουθούν την κατανομή Bose-Einstein Σύμφωνα με την τελευταία, ο μέσος αριθμός μποζονίων συχνότητας ω, σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας που αντιστοιχεί σε θερμοκρασία Τ είναι n( ω) = ω exp( ) kt B 98

Αναπτύσσοντας τον παρονομαστή του παραπάνω κλάσματος, σύμφωνα με το ανάπτυγμα Tylor της εκθετικής συνάρτησης [ exp( x) = + x+ x + x + ], έχουμε!! ω ω ω ω exp( ) = + + + kt B kt B kt B! kt B Για χαμηλές θερμοκρασίες, T ΘD, ο πρώτος όρος είναι σημαντικός στο παραπάνω ω ω ανάπτυγμα και exp( ) Έτσι, ο μέσος αριθμός φωνονίων (μποζονίων) σε kt B kt B χαμηλές θερμοκρασίες γράφεται kt B n( ω) ω Σε αυτήν την περίπτωση, η μέση ενέργεια ενός κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή είναι kt B ε n( ω) ω = ω ω Σε πρώτη προσέγγιση, οι τρόποι ταλάντωσης του κρυστάλλου που συνεισφέρουν στην ειδική θερμότητα, σε χαμηλές θερμοκρασίες, είναι εκείνοι με ενέργεια ω kt B, δηλαδή, εκείνοι οι τρόποι με κυματαριθμό q (εφόσον οι τρόποι ταλάντωσης είναι ομοιογενώς κατανεμημένοι στον φασικό χώρο q), q kt B q = v και v η μέση ταχύτητα του ήχου στον κρύσταλλο = + v v v T L όπου v T ( v L ) η ταχύτητα του ήχου για εγκάρσια (διαμήκη) κύματα Η πυκνότητα καταστάσεων D( ω) για έναν Δ κρύσταλλο, στο πρότυπο Debye, είναι Η συχνότητα Debye ω D ορίζεται από την D V π v ( ω) = ω ωd ωd V ( ω) ω ω ω π v D d = d = N 6Nπ v ωd = V 99

Από τον ορισμό της θερμοκρασίας Debye κυματαριθμό Debye q D ω D ΘD, μπορούμε να ορίσουμε τον k B q kt B 6π D = = v N V Όπως είδαμε, οι τρόποι ταλάντωσης είναι ομοιογενώς κατανεμημένοι στον φασικό χώρο q και επομένως, το ποσοστό φ των τρόπων ταλάντωσης που διεγείρονται σε (χαμηλή) θερμοκρασία Τ είναι φ q T, = = qd ΘD ενώ ο συνολικός αριθμός N των διεγερμένων τρόπων ταλάντωσης είναι T N = Nφ = N ΘD Η εσωτερική ενέργεια U, λόγω ταλαντώσεων, γράφεται σε πρώτη προσέγγιση, U N k T = Nk B B T Θ 4 D και η αντίστοιχη ειδική θερμότητα ανά άτομο (γραμμομοριακή) CV U T = kb N N T V ΘD Συγκρινόμενο με το ακριβές αποτέλεσμα του προτύπου Debye, CV N 4 π T kb 5 ΘD =, π 4 φορές μικρότερο Η βρίσκουμε ότι το προσεγγιστικό αποτέλεσμα για την C V είναι 5 kt B μεγάλη αυτή διαφορά οφείλεται στην σχετικά αυθαίρετη επιλογή για το q = Εντούτοις, v η προσέγγιση μάς δίνει τη σωστή συμπεριφορά CV T στο όριο των χαμηλών θερμοκρασιών T Θ D Πρόβλημα 7 - Το διαμάντι (ατομικό βάρος άνθρακα = ) έχει μέτρο του Young Y = Nm και - πυκνότητα ρ = 5g cm Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της ειδικής θερμότητας CV ως συνάρτηση της θερμοκρασίας Τ, στο πρότυπο Debye

Λύση Στο πρότυπο Debye, η (γραμμομοριακή) ειδική θερμότητα γράφεται για υψηλές θερμοκρασίες T >> Θ ως D CV k B N = A Το παραπάνω αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο της μορφής της πυκνότητας καταστάσεων των φωνονίων και συνάδει με το θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας, στους διάφορους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος, καθώς στις υψηλές θερμοκρασίες το σύστημα συμπεριφέρεται περισσότερο κλασικά και λιγότερο κβαντικά Στο όριο των χαμηλών θερμοκρασιών T << Θ, η ειδική θερμότητα γράφεται (βλέπε προηγούμενο πρόβλημα), D C N V A 4 π T kb 5 ΘD = Σύμφωνα με την παραπάνω, πρέπει να υπολογίσουμε τη θερμοκρασία Debye Θ D, για να σχεδιάσουμε την ειδική θερμότητα του αδάμαντα ως συνάρτηση της θερμοκρασίας Η πυκνότητα καταστάσεων D( ω) για έναν Δ κρύσταλλο, στο πρότυπο Debye, είναι Η συχνότητα Debye ω D ορίζεται από την D V π v ( ω) = ω ω D 6Nπ v V ( ω) ω = ωd = D d N Η θερμοκρασία Debye Θ D στον κύβο είναι ω D 6π D nv kb kb Θ = = όπου n η συγκέντρωση ατόμων στον αδάμαντα Είναι () - N ρ 5 kg m n = = = = 76 m -7 V M 66 kg C 4 - () Η ταχύτητα του ήχου για τον αδάμαντα είναι - Y N m v = = = - ρ 5 kg m 4 69 m/s () Αντικαθιστώντας τις Εξ() και () στην Εξ(), υπολογίζουμε, τελικά, τη θερμοκρασία Debye

Θ 7K D Στο παρακάτω σχήμα, απεικονίζεται η θερμοκρασιακή συνάρτηση της ειδικής θερμότητας του αδάμαντα για χαμηλές θερμοκρασίες C V / (N A k B ) 8 4 4 6 8 T(K) Πρόβλημα 8 Βρείτε τη συχνότητα Debye = Å και ταχύτητα του ήχου ω D για ένα Δ εξαγωνικό πλέγμα, με πλεγματική σταθερά v = m/s Λύση ος τρόπος Έστω, D( ω ) η πυκνότητα καταστάσεων του συστήματος Η συχνότητα Debye ορίζεται από την ω D( ω) dω = N, () D όπου N ο αριθμός των φωνονικών καταστάσεων που ταυτίζεται με τον αριθμό των ατόμων Στα αριστερά του παρακάτω σχήματος, θεωρούμε ένα μακροσκοπικό τμήμα του εξαγωνικού κρυστάλλου πλευράς L και εμβαδού A L = cos6, το οποίο περιέχει Ν μοναδιαίες κυψελίδες εμβαδού cos6 Στο δεξιό σχήμα, απεικονίζεται η θεμελιώδης κυψελίδα του ανάστροφου χώρου εμβαδού π cos6, η οποία διαμερίζεται σε ένα πλέγμα σημείων, το οποίο ορίζει Ν στοιχειώδεις επιφάνειες εμβαδού π cos6 L

Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ένα στοιχειώδες εμβαδό da = π qdq (δακτύλιος ακτίνας q και πάχους dq ) Έστω Dq, ( ) η πυκνότητα καταστάσεων στο φασικό χώρο q Ο αριθμός των καταστάσεων D( q) dq που περιέχονται εντός του στοιχειώδους δακτυλίου του παραπάνω σχήματος, είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων N q που περιλαμβάνονται στο εσωτερικό του παραπάνω δακτυλίου Δηλαδή το περιέχεται στο δακτύλιο, N q είναι ίσος με τον αριθμό των εμβαδών π qdq D( ω) dω = D( q) dq = N q = cos6 L π π L cos6, ο οποίος Δεδομένου ότι, εργαζόμαστε στα πλαίσια του προτύπου Debye, η σχέση διασποράς είναι γραμμική ω = vq, όπου v η ταχύτητα του ήχου Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις λαμβάνουμε L ω D( ω) = π v cos6 Από τον ορισμό της συχνότητας Debye [βλ Εξ()], λαμβάνουμε

ω D L ωd D( ω) dω = N = N π v cos6 Όμως, ο συνολικός αριθμός των ατόμων L N =, οπότε η παραπάνω σχέση δίνει 4π v v ωd = cos6 ω D = π ω = D - s ος τρόπος Ο κυματαριθμός Debye, q D, ορίζεται έτσι ώστε ο συνολικός αριθμός καταστάσεων ο οποίος περιέχεται σε έναν κυκλικό δίσκο ακτίνας q D, να ισούται με τον ολικό αριθμό καταστάσεων που περιλαμβάνεται στην ΖΒ Μαθηματικά, η παραπάνω ισότητα γράφεται q π D π L cos6 L = Λύνοντας την παραπάνω ως προς q D, βρίσκουμε q D = π και επομένως η συχνότητα Debye v ωd = vqd = π = - s Πρόβλημα 9 Υπολογίστε την ειδική θερμότητα C V για μια μονοδιάστατη διατομική αλυσίδα Εφαρμόστε το πρότυπο Debye για τη συνεισφορά του ακουστικού κλάδου, στην C V και το πρότυπο Einstein για την αντίστοιχη συνεισφορά του οπτικού κλάδου Βρείτε αναλυτικές εκφράσεις στο όριο των χαμηλών θερμοκρασιών Λύση Η γενική σχέση που δίνει την εσωτερική ενέργεια ενός Δ κρυστάλλου μήκους L, λόγω της δυναμικής του πλέγματος των ατόμων, δίνεται από την U = ω D( ω) dω +, () ω exp kt B 4

όπου D( ω ) η πυκνότητα καταστάσεων φωνονίων Οι σχέσεις διασποράς για μια διατομική αλυσίδα φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, όπου φαίνονται και οι δύο κλάδοι (ακουστικός και οπτικός κλάδος) οπτικός κλάδος ω ακουστικός κλάδος -π/ k π/ Για να βρούμε τη συνολική ειδική θερμότητα, πρέπει να υπολογίσουμε τη συνεισφορά και των δύο κλάδων στην εσωτερική ενέργεια U Είδαμε σε προηγούμενο πρόβλημα, ότι για μια μονοατομική Δ αλυσίδα, για την οποία η σχέση διασποράς περιέχει, μόνο, ακουστικό κλάδο, η πυκνότητα καταστάσεων, στο πρότυπο Debye γράφεται N D( ω) = π c, όπου Ν ο αριθμός των ατόμων, η πλεγματική σταθερά της αλυσίδας και c η ταχύτητα διάδοσης των ακουστικών κυμάτων Αντικαθιστώντας την παραπάνω εξίσωση στην Εξ(), λαμβάνουμε ωd N U = ω dω + p c ω exp kt B Παραγωγίζοντας την παραπάνω ως προς τη θερμοκρασία T, βρίσκουμε τη συνεισφορά του ακουστικού κλάδου στην ειδική θερμότητα, C αkουστ V ΘD / B Nk z exp( z) dz = T p c [ exp( z) ], ω όπου z = ωd και Θ D = η θερμοκρασία Debye Για τον οπτικό κλάδο, θεωρούμε τη kt B k B διασπορά αμελητέα, ω( q) ωe = σταθ, με αποτέλεσμα η αντίστοιχη πυκνότητα καταστάσεων να γράφεται D( ω) = Nδω ( ωe ) Έτσι, η συνεισφορά του οπτικού κλάδου στην ειδική θερμότητα, 5

ω exp ( ) οpτ ω kt B CV = N ( ) E d dω ω ω kt B ω exp kt B ω E exp ω kt E B = Nk B kt B ωe exp kt B Έτσι, η συνολική ειδική θερμότητα γράφεται ω exp E ΘD / T αkουστ οpτ NkB z exp( z) dz ω kt E B V = V + V = + B p c [ exp( z) ] kt B ω E C C C T Nk exp kt B Στις χαμηλές θερμοκρασίες, Θ D / T, μόνο ο ακουστικός κλάδος συνεισφέρει στην C V Επίσης, από το ολοκλήρωμα έχουμε, τελικά, z exp( z) dz [ exp( z) ] p = αkουστ NkBπ π NkB T CV = CV = T = c Θ D Πρόβλημα lnω Υπολογίστε την παράμετρο Grüneisen γ =, για μια Δ γραμμική περιοδική αλυσίδα ln L ατόμων με συνολικό μήκος L, πλεγματική σταθερά, και αλληλεπιδράσεις πρώτων γειτόνων Υποθέστε, ότι το δυναμικό αλληλεπίδρασης είναι μη γραμμικό και γράφεται στη μορφή U( x) = U + fx + λx, όπου x = d και d η απόσταση μεταξύ πλησιέστερων γειτόνων Λύση Σε μια Δ αλυσίδα ατόμων, η κλίμακα της κυκλικής συχνότητας της σχέσης διασποράς των φωνονίων ω = ω( q) καθορίζεται από τη χαρακτηριστική συχνότητα ταλάντωσης ω = f / m Σκοπός μας είναι να βρούμε την εξάρτηση της συχνότητας αυτής από το μήκος της αλυσίδας L Για να εισάγουμε μια μικρή αλλαγή στο μήκος της αλυσίδας, από L σε L, εφαρμόζουμε μια δύναμη F Κατόπιν θα υπολογίσουμε τη δεύτερη παράγωγο του du δυναμικού αλληλεπίδρασης γύρω, από τη νέα θέση ισορροπίας, f = Θα dx χρησιμοποιήσουμε τη νέα δύναμη επαναφοράς για να υπολογίσουμε τη συχνότητα Αν εφαρμοστεί η δύναμη F, το δυναμικό γράφεται 6

= + + + U U fx λx Fx Η νέα θέση ισορροπίας υπολογίζεται από τη συνθήκη, du dx x= x ( ) = f x+ λ x + F = Για μικρές δυνάμεις, x Έτσι, αγνοώντας τον τετραγωνικό όρο στην παραπάνω εξίσωση, λαμβάνουμε, F x = () f Η νέα πλεγματική σταθερά θα είναι = + x και η αλλαγή στο συνολικό μήκος της αλυσίδας L= N x Η νέα σταθερά ελατηρίου, η οποία χαρακτηρίζει την καινούργια δύναμη επαναφοράς, είναι Η νέα κυκλική συχνότητα ταλάντωσης du 6 f = = f + λ x dx f f 6λ x 6λ x ω = = ω m m + = + f f Όπως και πριν, θεωρούμε μικρές μεταβολές του μήκους, x Λαμβάνοντας τους δύο πρώτους όρους στο ανάπτυγμα + x = + x x + x, βρίσκουμε 8 6 κι έτσι η νέα συχνότητα ω γράφεται 6λ x λ x + + f f ω = ω + ω λ x ω = ω f Η παράμετρος Grüneisen γράφεται l x ω lnω L ω ω f γ = = = ln L ω L ω x ω x l γ = f 7

Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [] H Ibch και H Lüth, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, ) [] C Kittel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 979) [] N W Ashcroft και N D Mermin, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, ) [4] R Levy, Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσεως, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 968) [5] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 997) [6] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, ) [7] Α Μοδινός, Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης, (Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, 994) [8] Σ Η Παπαδόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 4) [9] Π Βαρώτσος και Κ Αλεξόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα, 995) [] Κ Παρασκευαΐδης, Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης», (ΕΜΠ, Αθήνα, ) Ξενόγλωσσα: [] M P Mrder, Condensed Mtter Physics, (Wiley, New Jersey, ) [] H E Hll, Solid Stte Physics, (Wiley, Bristol, 974) [] J M Zimn, Principles of the Theory of Solids, (Cmbridge, Cmbridge, 964) [4] H J Goldsmid, (ed), Problems in Solid Stte Physics, (Pion Limited, London, 968) [5] V M Agrnovich nd A A Mrdudin (eds), Modern Problems in Condensed Mtter Sciences, (Elsevier, Amsterdm, 989) [6] A L Ivnov nd S G Tikhodeev (eds), Problems of Condensed Mtter Physics, (Oxford, Oxford, 8) [7] A Rigmonti nd P Crett, Structure of Mtter, (Springer, Miln, 9) Λέξεις-κλειδιά αριθμός του Avogdro ακουστικός κλάδος ανάπτυγμα Tylor δυναμική πλέγματος ειδική θερμότητα ελεύθερη ενέργεια Helmholtz εντροπία κατανομή Bose-Einstein κυματάνυσμα κυματαριθμός μέτρο ελαστικότητας μέτρο του Young μποζόνια οπτικός κλάδος παραγωγίζω παράμετρος Grüneisen πρότυπο Debye πρότυπο Einstein σταθερά Boltzmnn σταθερά Grüneisen συνάρτηση του Riemnn σχέση διασποράς φωνόνια 8

Κεφάλαιο 6 ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ Προαπαιτούμενη γνώση Πρότυπο Drude, πρότυπο ελευθέρων ηλεκτρονίων, ηλεκτρική αγωγιμότητα, εξίσωση Schrödinger, αέριο φερμιονίων, ενέργεια Fermi, κατανομή Fermi-Dirc, πυκνότητα καταστάσεων, ανάπτυγμα Sommerfeld, παραμαγνητισμός Puli Πρόβλημα Στο κλασικό πρότυπο Drude ενός αερίου ελευθέρων ηλεκτρονίων σε ένα στερεό, οι μόνες παράμετροι που καθορίζουν τις ιδιότητές του είναι η συγκέντρωση n, καθώς και ο χρόνος εφησυχασμού τ (μέσος χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικές συγκρούσεις ενός ηλεκτρονίου με τα ιόντα του πλέγματος) Δείξτε, ότι στο πρότυπο αυτό, η ηλεκτρική αγωγιμότητα δίνεται από την έκφραση ne τ σ = m Εκτιμήστε το χρόνο εφησυχασμού τ για ένα ηλεκτρόνιο, στο χαλκό Δίνεται ότι η ειδική 6 αντίσταση του χαλκού είναι 7 ohm cm και η πυκνότητα 85 άτομα/cm Λύση Για ένα κβαντικό σωμάτιο, η ορμή p και το κυματάνυσμα de Broglie k συνδέονται με τη σχέση p= k Προσεγγίζοντας το πρόβλημα κλασικά, η εξίσωση κίνησης ενός ηλεκτρονίου υπό την επίδραση δύναμης F δίνεται από το ο νόμο του Νεύτωνα dp dk F = = dt dt Γνωρίζουμε, ότι υπό την επίδραση μίας μόνο δύναμης F, το σωμάτιο επιταχύνεται και το κυματάνυσμα αυξάνεται παράλληλα με την εφαρμοζόμενη δύναμη Λόγω, όμως, των συγκρούσεων του ηλεκτρονίου με τα ιόντα του πλέγματος, επέρχεται μια κατάσταση ισορροπίας, όπου τα ηλεκτρόνια «επανέρχονται» στην αρχική κατάστασή τους, μέσω αυτών των συγκρούσεων, μετά από χρόνο τ, ο οποίος είναι και ο χρόνος εφησυχασμού των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας του μετάλλου Έτσι, λοιπόν, η μεταβολή του κυματανύσματος δ k, λόγω της δύναμης F, θα λαμβάνει χώρα στο χρόνο τ, μεταξύ δύο διαδοχικών συγκρούσεων, Η μεταβολή στην ταχύτητα γράφεται δ k = τ F 9

δp τf δv = = δk = m m m Έστω, Ε η ένταση του εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου Τότε η δύναμη που ασκείται σε κάθε ηλεκτρόνιο F= ee Η πυκνότητα ρεύματος η οποία αντιστοιχεί στη ροή ηλεκτρονίων, λόγω του πεδίου Ε, είναι ne τ j= neδ v = E m Από το νόμο του Ohm, j= σ E Συγκρίνοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε, τελικώς, ότι η αγωγιμότητα σ δίνεται από την ne τ σ = n Αν κάθε άτομο χαλκού συνεισφέρει από ένα ηλεκτρόνιο αγωγιμότητας, η συγκέντρωση των 8 - ηλεκτρονίων είναι n = 85 m Έτσι, ο χρόνος εφησυχασμού γράφεται ms m τ = = ne ne ρ 9 = = 8 9 8 85 (6 ) 7 4 5 sec όπου χρησιμοποιήσαμε ότι σ = ρ Πρόβλημα Θεωρήστε το αλουμίνιο ως ένα Δ αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων Υπολογίστε το σθένος του αλουμινίου, αν έχετε ως δεδομένα την ενέργεια Fermi E F = 6eV, την πυκνότητά του ρ = 7g/cm και το ατομικό βάρος (ΑΒ=7) Επίσης, θεωρήστε γνωστά τη μάζα m e και το φορτίο e του ηλεκτρονίου, καθώς και τον αριθμό του Avogdro N A Λύση Η ενέργεια Fermi δίνεται ως συνάρτηση της πυκνότητας των ηλεκτρονίων, από τη σχέση E F / h n = me 8π Λύνοντας ως προς n, υπολογίζουμε τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας του αλουμινίου

n / 8π me e F = h 9 / 8π 9 6 6 = 4 (665 ) 9 8 ηλεκτρόνια/m = Η συγκέντρωση n των ατόμων αλουμινίου (άτομα ανά m ) μπορεί να υπολογιστεί από την πυκνότητα ρ, τον αριθμό του Avogdro N A και την ατομική μάζα Μ, n = = ρ N A M 7 6 7 = 6 άτομα/m Το σθένος του αλουμινίου θα είναι 9 n 8 v = = = 8 n 6 Πρόβλημα Υπολογίστε την πυκνότητα καταστάσεων DE ( ) για ένα ιδανικό αέριο μη αλληλεπιδρώντων ηλεκτρονίων, στη μία (Δ), στις δύο (Δ) διαστάσεις και στις τρεις (Δ) διαστάσεις Σχεδιάστε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις Λύση Η πυκνότητα καταστάσεων στο χώρο των k (χώρος Bloch) είναι D( k ) =, ( π ) d όπου d =,, η διάσταση του χώρου Η πυκνότητα καταστάσεων DE ( ) ορίζεται ως D( E) = D( k) d( E Ek) dk = d( E E ) d ( π ) d k k Χρησιμοποιώντας σφαιροπολικές συντεταγμένες σε κάθε διάσταση d, έχουμε dk, d = dk = π kdk, d =, 4 π k dk, d = όπου k = k Ο παράγοντας που εμφανίζεται στη μονοδιάστατη περίπτωση ( d = ), οφείλεται στο γεγονός ότι πρέπει να λάβουμε υπόψη και τις δυο κατευθύνσεις (θετική και αρνητική) στον άξονα k, ενώ εξ ορισμού k Επίσης, γνωρίζουμε ότι

E k mek k = k = Ek = / m m dk = de Ek Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε τελικά, / m m / d( E E ) d d( E Ek) de, k E d π k k = π = = Ek π / mek m m D( E) = d( E E ) d = d( E E ), k π de k = d = ( π) k k ( π) E k π / me k m m / ( ) ( )4, d E E dk = d E Ek π de k = E d = E k π k ( π) ( π) k D(E) Δ D(E) E E Δ D(E) E Δ Στα παραπάνω σχήματα, απεικονίζονται οι παραπάνω πυκνότητες καταστάσεων για κάθε διάσταση Πρόβλημα 4 Το μεταλλικό νάτριο κρυσταλλώνεται σε δομή bcc, όπου το μήκος του κύβου είναι 45 8 cm Βρείτε τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας Θεωρώντας ότι τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας περιγράφονται από το πρότυπο των ελευθέρων ηλεκτρονίων, βρείτε την ενέργεια Fermi στους Κ και δείξτε, ότι εξαρτάται, μόνο, από τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας και όχι από τη μάζα του κρυστάλλου

Λύση Το πλέγμα bcc περιέχει αγωγιμότητας είναι / άτομα ανά μονάδα όγκου Η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων n = = 6 cm 8 (45 ) Σύμφωνα με το πρότυπο των ελευθέρων ηλεκτρονίων, ο αριθμός των ηλεκτρονίων σε όγκο V που έχουν ενέργεια από Ε ως Ε+dE, είναι / dn VD( E) f ( E) de VCE f ( E) de = =, όπου D( E) / = CE η πυκνότητα καταστάσεων με και f( E ) η κατανομή Fermi-Dirc Για m C = π T = Κ, η f( E ) δίνεται από την, m η μάζα του ηλεκτρονίου, για E EF, f( E) =, για E > EF όπου E F η ενέργεια Fermi στους T = Κ Ο ολικός αριθμός των ηλεκτρονίων σε όγκο V γράφεται λοιπόν E F N = V CE de = VCE F / / Δεδομένου ότι, η πυκνότητα n = N / V, η ενέργεια Fermi στους T = Κ δίνεται από την EF = / ( π n) m Για το μεταλλικό νάτριο έχουμε ότι E F 7 / (5 ) (π 6 ) = = 8eV 8 9 6 Από την παραπάνω έκφραση για την ενέργεια Fermi E F συμπεραίνουμε ότι η τελευταία εξαρτάται, μόνο, από τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας και όχι από τη συνολική μάζα του κρυστάλλου Πρόβλημα 5 Υπολογίστε την πίεση σε ένα ιδανικό αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων στις τρεις διαστάσεις (Δ), σε θερμοκρασία T = Κ Λύση Ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων που βρίσκεται εντός όγκου V, ο αριθμός των ηλεκτρονίων N καθώς και η εσωτερική ενέργεια U δίνονται, αντίστοιχα, από τις

N = V D( E) f ( E) de U = V ED( E) f ( E) de, όπου f( E) η κατανομή Fermi-Dirc f( E) = exp[ β ( E E)] +, F (όπου β = ), η οποία στους T = Κ γίνεται kt B E F είναι η ενέργεια Fermi,, για E EF, f( E) =, για E > EF kf EF = m k = π n F / ( ) DE ( ) είναι η πυκνότητα καταστάσεων των ελευθέρων ηλεκτρονίων, η οποία για ένα αέριο, στις Δ γράφεται D( E) = CE m C = π Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εκφράσεις για τις f( E), DE ( ) στην έκφραση για τον αριθμό των ηλεκτρονίων (αρχική σχέση), έχουμε / / N ( T = ) = V C E = VCEF, n C = E / F E F ενώ αντικαθιστώντας τις f( E), DE ( ) στην έκφραση για την εσωτερική ενέργεια, επίσης, στους T = Κ, έχουμε E F / 5/ U( T = ) = V CE = VCEF 5 U( T = ) = NEF, 5 4

n όπου στην τελευταία σχέση αντικαταστήσαμε την C = που βρήκαμε παραπάνω Η / E F πίεση P υπολογίζεται από τη θερμοδυναμική σχέση UT ( = ) UT ( = ) P = = = ne V V 5 Αξίζει να σημειωθεί ότι σε ένα ιδανικό αέριο κλασικών σωματίων η πίεση στο απόλυτο μηδέν ( T = Κ ) είναι μηδέν Αντίθετα, όπως δείξαμε παραπάνω, σε ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων, τα οποία είναι κβαντικά σωματίδια, η πίεση, ακόμα, και στο απόλυτο μηδέν, είναι διάφορη του μηδενός, αφού όλα τα κβαντικά σωμάτια, είτε φερμιόνια όπως τα ηλεκτρόνια, είτε μποζόνια, όπως τα φωνόνια, έχουν μη μηδενική ενέργεια στο απόλυτο μηδέν F Πρόβλημα 6 Ως Δ αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων μπορεί να θεωρηθεί ένα σύστημα ηλεκτρονίων που περιορίζεται σε ένα λεπτό υμένιο ενός τρανζίστορ, βασισμένο στον ημιαγωγό GAs Αποδείξτε, ότι το κυματάνυσμα Fermi k F συνδέεται με την επιφανειακή πυκνότητα των ηλεκτρονίων, σύμφωνα με τη σχέση k = π n Λύση Στους T = Κ, ο αριθμός των ηλεκτρονίων N δίνεται από την F E F N = V D( E) de Στις Δ, η πυκνότητα καταστάσεων DE ( ) ενός αερίου ελευθέρων ηλεκτρονίων είναι ανεξάρτητη της ενέργειας (βλέπε προηγούμενο πρόβλημα) m DE ( ) = π Από τις δύο παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε, ότι m V E N F n = = π V V π n EF = m Επίσης, γνωρίζουμε ότι η σχέση διασποράς των ελευθέρων ηλεκτρονίων γράφεται k E = m Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις, έχουμε 5

k m k F F π n = m = π n Πρόβλημα 7 6 Θεωρήστε ένα λεπτό υμένιο αργύρου μήκους Å στις διευθύνσεις x και y, ενώ κατά μήκος της διεύθυνσης z έχει μήκος 4 Å (το οποίο είναι και το πάχος του υμενίου) Προσεγγίστε το σύστημα ως ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων στις Δ και για T = Κ, όπου η αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση μηδενίζεται έξω από τα όρια του υμενίου στη διεύθυνση z (α) Υπολογίστε τη διαφορά ανάμεσα στη χαμηλότερη και στην υψηλότερη κατειλημμένη μονοηλεκτρονιακή κατάσταση Συγκρίνετε τη διαφορά αυτή με την ενέργεια Fermi ενός μακροσκοπικού κρυστάλλου αργύρου (πχ όταν το μήκος στη διεύθυνση z δεν είναι λεπτό, είναι κι αυτό πχ 6 Å) (β) Επαναλάβετε τους υπολογισμούς σας, θεωρώντας ότι το πάχος (μήκους του υμενίου στη διεύθυνση z) είναι διπλάσιο, δηλαδή 84 Å Δίνεται η συγκέντρωση του αργύρου, n = 586 cm = 586 Å - Λύση Έστω, L L L 6 x = y = = Å το μήκος του υμενίου κατά μήκος των διευθύνσεων x και y, ενώ Lz = d το μήκος του υμενίου κατά μήκος της διεύθυνσης z (πάχος του υμενίου) Η πυκνότητα των ηλεκτρονίων είναι ίση με την πυκνότητα των ατόμων, εφόσον το σθένος στον άργυρο είναι + (ένα ηλεκτρόνιο αγωγιμότητας ανά άτομο), δηλαδή n = 586 cm = 586 Å - Η κυματοσυνάρτηση των ηλεκτρονίων μηδενίζεται στα όρια z = και z = d Μια μορφή κυματοσυνάρτησης, η οποία ικανοποιεί τις παραπάνω συνοριακές συνθήκες, είναι η p y ( x, y, z) exp[ i( kxx + k yy)]sin( pqz), q = και p=,,, d Από τη μορφή της κυματοσυνάρτησης καταλαβαίνουμε ότι τα ηλεκτρόνια είναι ελεύθερα στις διευθύνσεις x και y, ενώ στη διεύθυνση z υφίστανται περιορισμό, λόγω του περιορισμένου πάχους του υμενίου Έτσι, η κυματοσυνάρτηση γράφεται ως γινόμενο ενός επιπέδου κύματος exp[ ikx ( x + ky y )] στο επίπεδο xy και ενός στάσιμου κύματος sin( pqz ) στη διεύθυνση z Οι μονοηλεκτρονιακές καταστάσεις χαρακτηρίζονται από ένα Δ κυματάνυσμα k = ( kx, ky) και ένα δείκτη p ο οποίος περιγράφει την κβάντωση της ενέργειας, λόγω περιορισμού της κυματοσυνάρτησης στη διεύθυνση z (παρόμοια με την κβάντωση της ενέργειας, σε ένα Δ κβαντικό πηγάδι δυναμικού) Συνεπώς, οι ιδιοενέργειες του συστήματος θα γράφονται k ( pq) Epk = + = k + pq m m m ( ) όπου k = kx + ky Από την παραπάνω εξίσωση είναι φανερό ότι το ελάχιστο της ενέργειας για κάθε ζώνη p αντιστοιχεί σε k = ( k, k ) = (,) και είναι x y E p pq p p = = m md Προφανώς, το ολικό ελάχιστο της ενέργειας είναι το 6

E q π m md = = Για θερμοκρασία T = Κ, τα ηλεκτρόνια καταλαμβάνουν καταστάσεις με ενέργειες χαμηλότερες από την ενέργεια Fermi E Αν το ελάχιστο της ενέργειας για μια ζώνη είναι E F p > EF τότε η ζώνη είναι μη κατειλημμένη Στην αντίθετη περίπτωση, η ζώνη καταλαμβάνεται μερικώς ή ολικώς, από ηλεκτρόνια των οποίων το πλήθος είναι kp kp kp k k p k p Np = L D( k) d = L d = L kdk = L, ( p) ( p) p όπου ο παράγοντας της πυκνότητας καταστάσεων προκύπτει από τις δύο ισοδύναμες κατευθύνσεις του σπιν Με k p συμβολίζουμε το κυματάνυσμα Fermi της p-οστής ζώνης, δηλαδή τη μέγιστη τιμή του k της υψηλότερα κατειλημμένης κατάστασης της p-οστής ζώνης, π (α) Για d = 4 Å, q = = 7664 Å - και d E Ep k = ( k ) p p + pq = EF m mef EF kp = pq = q p E 7 8 q (5457 7664 ) = = ev = 69eV m 9989 677 8 Αν υποθέσουμε ότι η ενέργεια Fermi E F είναι μικρότερη από την ελάχιστη ενέργεια της δεύτερης (p=) ζώνης, δηλαδή EF < E = 4E, τότε, μόνο, καταστάσεις στην πρώτη ζώνη είναι κατειλημμένες Τότε, ο αριθμός των κατειλημμένων καταστάσεων N της πρώτης ζώνης θα πρέπει να ταυτίζεται με τον ολικό αριθμό των ηλεκτρονίων N, N k = L dn = N L = π k = π dn = 866 Å - Από την παραπάνω σχέση ( kp + pq) = EF, προκύπτει ότι η ενέργεια Fermi καθώς και m το εύρος των κατειλημμένων καταστάσεων είναι k EF = ( k + q ) = E + = 799eV m q W = EF E = 575eV, τα οποία είναι σε συμφωνία με την υπόθεση που κάναμε βάσει της οποίας, μόνο, η πρώτη ζώνη είναι κατειλημμένη, δηλαδή ότι E < E = 8948eV F 7

Τα παραπάνω αποτελέσματα είναι προς σύγκριση με τα αντίστοιχα μεγέθη, για έναν άπειρο κρύσταλλο αργύρου / E = F W = ( n) 55eV m π = Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται οι δύο πρώτες ενεργειακές ζώνες και η στάθμη Fermi για d = 4 Å p= Ε pk (ev) 8 6 E F 4 p= 4 6 8 k/q π (β) Για d = 8 Å, q = = 8 Å - και d E 7 8 q (5457 8 ) = = ev = 559eV m 9989 677 8 Δηλαδή για διπλάσιο πάχος υμενίου, έχουμε υποτετραπλάσιο ελάχιστο της πρώτης (p=) ενεργειακής ζώνης Για να υπολογίσουμε τη στάθμη Fermi E F σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να υποθέσουμε ότι καταλαμβάνονται και υψηλότερες ζώνες από την πρώτη (p=) Αποδεικνύεται ότι, τα ηλεκτρόνια καταλαμβάνουν καταστάσεις και στην τρίτη (p=) ζώνη, οπότε, N = N+ N + N dn q E E E F F F π = + + E E E Επιλύοντας την παραπάνω εξίσωση ως προς το πηλίκο E F E, βρίσκουμε E F 5 E =, 8

το οποίο είναι μεγαλύτερο από και μικρότερο από 4, δηλαδή η ενέργεια Fermi θα τέμνει την τρίτη ζώνη και επομένως, τα ηλεκτρόνια θα καταλαμβάνουν καταστάσεις και στις τρεις πρώτες ζώνες, όπως υποθέσαμε αρχικώς Τα αποτελέσματα στην περίπτωση αυτή θα είναι και E = 644eV F W = EF E = 589eV Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται οι τρεις πρώτες ενεργειακές ζώνες και η στάθμη Fermi για d = 8 Å E F 6 p= Ε pk (ev) 4 p= p= 4 6 8 k/q Πρόβλημα 8 Θεωρήστε ένα Δ αέριο N ελευθέρων ηλεκτρονίων που περιέχεται σε όγκο V Η πυκνότητα καταστάσεων των ηλεκτρονίων στις Δ είναι σταθερή και ίση με D για Ε> (για Ε< είναι μηδέν) (α) Να υπολογίσετε την ενέργεια Fermi του συστήματος (β) Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων, καθώς και την ειδική θερμότητα στο όριο των χαμηλών θερμοκρασιών Λύση (α) Η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων n δίνεται από όπου f( E) η κατανομή Fermi-Dirc N n = = f ( E) D( E) de V, f( E) = exp[ β ( E E)] +, () F 9

(όπου β = ), η οποία στους T = Κ γίνεται kt B και, για E E f( E) =, για E > E E F είναι η ενέργεια Fermi Για T = Κ, η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων γράφεται F, F EF EF n = D( E) de = D de = D E F E F n N = = D VD (β) Για χαμηλές θερμοκρασίες (αλλά πάνω από τους Κ), η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων γράφεται n = f ( E) D( E) de = D f ( E) de όπου η f( E ) δίνεται από την Εξ() Από το ανάπτυγμα Sommerfeld µ π dh H ( E) f ( E) de = H ( E) de + ( kbt ) + () 6 de E= µ για H( E) = D( E) = D θα έχουμε ότι η συγκέντρωση θα γράφεται µ ( T ) π n = D de + ( kbt )+ Dµ ( T ) 6 N µ ( T) = EF VD δηλαδή σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες το χημικό δυναμικό μ είναι πρακτικώς ίσο με την ενέργεια Fermi στους Κ και επομένως, ανεξάρτητο της θερμοκρασίας Η ολική ενέργεια του συστήματος των ελευθέρων ηλεκτρονίων γράφεται U = V Ef ( E) D( E) de = VD Ef ( E) de Εφαρμόζοντας και πάλι το ανάπτυγμα Sommerfeld, Εξ (), αυτή τη φορά, για dh ( E) H( E) = E, =, λαμβάνουμε de

µ ( T ) π U = VD Ef ( E) de = VD EdE + ( kbt ) + 6, π U VDµ ( T ) + VD( kbt ) η οποία αποδείχθηκε για χαμηλές θερμοκρασίες, δηλαδή για kt B µ Η ειδική θερμότητα για την ίδια περιοχή θερμοκρασιών δίνεται από την U π µ c VD T VD k T VD T VD k T v = = µ ( ) + ( B ) = µ ( ) + π B T V T T V V Δείξαμε, όμως, παραπάνω ότι για χαμηλές θερμοκρασίες µ ( Τ) E F = σταθερό, οπότε η cv γράφεται, τελικά π kb cv = π VDkBT = N T, E F απ όπου φαίνεται ότι στις χαμηλές θερμοκρασίες η ειδική θερμότητα μεταβάλλεται γραμμικά με τη θερμοκρασία Πρόβλημα 9 Για ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων στους T = Κ και στις τρεις διαστάσεις, υπολογίστε: (α) τη μέση τιμή της ταχύτητας v, (β) τη ρίζα του μέσου τετραγώνου (rms) της ταχύτητας (γ) τη μέση τιμή του αντιστρόφου της ταχύτητας v v, Εκφράστε τα αποτελέσματά σας ως συνάρτηση της ταχύτητας Fermi Λύση (α) Η μέση τιμή της ταχύτητας γράφεται v F E F = m / + v = vdn N v = dn = f ( E) D( E) de N + v( E) f ( E) D( E) de, όπου f( E) η κατανομή Fermi-Dirc και DE ( ) η πυκνότητα καταστάσεων Στους T = Κ, η f( E ) γράφεται, για E E f( E) =, για E > E Η πυκνότητα καταστάσεων για ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων, στις Δ γράφεται F, F

m π / ( ) = E, DE ενώ E ve ( ) = Σύμφωνα με τα παραπάνω η v θα γράφεται m v E F V m V m E = EdE = F N π N π () Είναι kf EF = mvf = m mvf kf = () Αντικαθιστώντας την πρώτη από τις παραπάνω εξισώσεις στην Εξ(), έχουμε v V = N m 4π 4 v F () Από τη θεωρία γνωρίζουμε, ότι / N kf kf = ( π n) n = = V π Αντικαθιστώντας τη δεύτερη από τις Εξ(), στην παραπάνω εξίσωση, έχουμε N mv n = = F V π Αντικαθιστώντας την παραπάνω στην Εξ() λαμβάνουμε, τελικά, v = v 4 F (β) Είναι EF / EF / V m / E V m / = ( ) N = N m v v E E de E de ( π) ( π) / EF / / 5/ E de E F nm π V 4 m 4 m = = Nm( π) ( ) 5 / 5/ π 4 m m 5 vf vf mvf m( π ) 5 5 = = v = v 5 F

(γ) Έχουμε EF / / / EF V m / V m m / / ( ) = E de = E de v N ve N E ( π) ( π) ( π) N ( π) ( π ) / / EF / / V m m V m m = de = N / / V m m = mv F N = v v F E F όπου στην παραπάνω χρησιμοποιήσαμε, ότι V π = = n N mv F Πρόβλημα Η διηλεκτρική συνάρτηση ενός στερεού περιγράφεται από τον τύπο Drude Lorentz, ω εω ( ) = +, ( ω ω ) ωτ p i όπου ω p είναι η συχνότητα πλάσματος, ω το ενεργειακό χάσμα των ενδοζωνικών μεταβάσεων και τ ο χρόνος εφησυχασμού των ηλεκτρονίων (α) Σε θερμοκρασία δωματίου, μια λογική τιμή για το χρόνο εφησυχασμού των ηλεκτρονίων 4 αγωγιμότητας του χαλκού είναι τ = sec Δώστε μια εκτίμηση για τις τιμές των ω p και ω για το χαλκό Για τον προσδιορισμό του ω μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το χαρακτηριστικό χρώμα του χαλκού Σχεδιάστε τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη της διηλεκτρικής συνάρτησης εω ( ) ως συνάρτηση του ω (σε ev) (β) Επίσης σε θερμοκρασία δωματίου, υπολογίστε την αγωγιμότητα σ ως συνάρτηση της συχνότητας ω (γ) Ποια είναι η μορφή της συνάρτησης της αγωγιμότητας σ(ω) για καθαρό χαλκό, χωρίς προσμίξεις και για T = Κ ; Δίνεται, ότι η συγκέντρωση των ατόμων χαλκού είναι 8 84 άτομα/m Λύση (α) Υποθέτουμε ότι το σθένος του χαλκού είναι μονάδα Αυτό σημαίνει ότι κάθε άτομο χαλκού συνεισφέρει από ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο και επομένως, η συγκέντρωση των ελευθέρων ηλεκτρονίων n θα είναι ίση με την ατομική συγκέντρωση του χαλκού, n 84 m 8 = Η συχνότητα πλάσματος ω p για το χαλκό δίνεται από την εξίσωση, 8 9 ne 84 (6 ) ωp = = = 6 s e m 8854 9 e 6,

όπου me, e η μάζα και το φορτίο του ηλεκτρονίου, ε είναι η διηλεκτρική σταθερά του κενού ( ε = 8854 F/m στο SI) Σε μονάδες ev η συχνότητα πλάσματος 6 6 ω p = 66 6 = 5eV ev Επίσης, το αντίστροφο του χρόνου εφησυχασμού σε μονάδες ev γράφεται 6 4 τ = 66 = 66 ev ev Ο χαλκός έχει ένα χαρακτηριστικό κοκκινωπό χρώμα Επομένως, το μήκος κύματος που αντιστοιχεί στη συχνότητα ω θα είναι λ 6nm, το οποίο αντιστοιχεί στο κόκκινο χρώμα Άρα, 4 8 πc 66 π ω = = ev 7 λ 6 Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές των ωp, διηλεκτρική συνάρτηση Drude-Lorentz, έχουμε τ και ω στην έκφραση για τη ω ( ω ω ) (4 ω ) Re eω ( ) = + +, ( ω ω ) ω τ (4 ω ) ω p + + ω ωτ Im eω ( ) = ( ω ω ) ω τ (4 ω ) ω p + + Οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων απεικονίζονται στο σχήμα που ακολουθεί 4 Re Im ε(ω) - - (β) Εφαρμόζοντας το νόμο του, 4 ω (ev) J = σ E, καθώς και την παρακάτω έκφραση για την πυκνότητα ρεύματος πόλωσης J = P = iωp, 4

[όπου στην παραπάνω θεωρήσαμε αρμονική εξάρτηση της πόλωσης με το χρόνο, P = P exp( iωt) ], εύκολα δείχνει κανείς, ότι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα χ, η οποία ορίζεται από την P= χωε ( ) E, δίδεται από την έκφραση, iσ χω ( ) = εω Από τον ορισμό της ηλεκτρικής μετατόπισης, βρίσκουμε ότι D εe= ε E+ P iσ εω ( ) = + χω ( ) = + εω ( ) ωp ( ) i iσω = ε ω ω ω ωτ ( ) ( ) ε ωω p ωτ i ω ω σω ( ) = ω ω + ωτ (γ) Για καθαρό χαλκό (χωρίς προσμίξεις) και σε θερμοκρασία απόλυτου μηδενός, αντιλαμβανόμαστε ότι τα ηλεκτρόνια δεν υφίστανται σκέδαση και επομένως, ο χρόνος εφησυχασμού τ Λαμβάνοντας το όριο στην παραπάνω σχέση, έχουμε, τελικώς iε ωω σω ( ) = p ω ω Πρόβλημα Θεωρήστε ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων σε θερμοκρασία T = Κ,υπό την επίδραση ενός ασθενούς μαγνητικού πεδίου Β Η πυκνότητα των ηλεκτρονίων με σπιν πάνω, N +, και των ηλεκτρονίων με σπιν κάτω, N, μπορούν να παραμετροποιηθούν ως εξής N+ = N( + x), N = N( x), όπου Ν η ολική συγκέντρωση των ηλεκτρονίων (α) Υπολογίστε την ολική ενέργεια του αερίου, καθώς και την ολική μαγνήτιση του συστήματος (β) Μπορούμε να προσεγγίσουμε την επίδραση της αλληλεπίδρασης ανταλλαγής μεταξύ των ηλεκτρονίων, αν υποθέσουμε ότι ηλεκτρόνια με παράλληλα σπιν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με ενέργεια V, όπου V > Πώς αλλάζει τη συνολική μαγνήτιση η αλληλεπίδραση αυτή; 5

Λύση (α) Η ενέργεια των ελευθέρων ηλεκτρονίων υπό την επίδραση μαγνητικού πεδίου Β γράφεται p ε = ± mb, m p όπου E = η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου και μ η μαγνητική ροπή του Τα σύμβολα m + αναφέρονται, σε σπιν παράλληλα και αντιπαράλληλα, με το μαγνητικό πεδίο Β, αντίστοιχα Η πυκνότητα καταστάσεων των ελευθέρων ηλεκτρονίων γράφεται, συνοπτικά DE ( ) = C E, m όπου C = Οι ηλεκτρονικές πυκνότητες με μαγνητικές ροπές, προσανατολισμένες π παράλληλα και αντιπαράλληλα με το μαγνητικό πεδίο, είναι, αντίστοιχα E+ E N = C D( E) de, N = C D( E) de + Για T = Κ, όλες οι καταστάσεις κάτω από μια ενέργεια ε συμπληρώνονται με ηλεκτρόνια και των δύο καταστάσεων σπιν Δηλαδή, ε = E+ µ B = E + µ B για καθεμία από τις υποζώνες σπιν του αερίου ελευθέρων ηλεκτρονίων Από τις παραπάνω έχουμε Έστω E = ε + µ B, E = ε µ B, + ε + µ B / + ( + ) = ( ε µ ) = + / / N N x C EdE C B, ε + µ B = N+ = N( + x) C 4C ε µ B / N N ( x) = C ( ) EdE = C ε µ B / / ε µ B = N = N( x) C 4C EF η στάθμη Fermi εν απουσία εξωτερικού μαγνητικού πεδίου Τότε, E F 4 /, N = C EdE = CE F από όπου βρίσκουμε μια άλλη έκφραση για τη σταθερά λαμβάνουμε, τελικά, / C = NE F Από τις παραπάνω 4 6

/ ε + µ B = E ( + x), ε µ B = E x F / F ( ) Αφαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη και προσεγγίζοντας το ανάπτυγμα Tylor για x (ασθενή μαγνητικά πεδία), ( ± x) ± x, λαμβάνουμε, τελικά, / µ B x E F Η ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων με σπιν πάνω, ε + µ B + E = C ( E µ B) EdE tot 5/ ε + µ B / ε + µ B = C [ E ] µ BE [ ] 5 = C( ε + µ B) µ B ( ε + µ B) 5 5/ = C ( ε + µ B) µ BN + 5 /5 5/ = CEF ( + x) µ BN ( + x) 5 5/ = EF N( + x) µ BN( + x) 5/ / Αντίστοιχα, για τα ηλεκτρόνια με σπιν κάτω βρίσκει κανείς, ε µ B E = C ( E + µ B) EdE tot 5/ = C ( ε µ B) + µ BN 5 = EF N x + µ BN x 5/ ( ) ( ) Η ολική ενέργεια του αερίου των ελευθέρων ηλεκτρονίων (το άθροισμα των ενεργειών και των δύο πληθυσμών σπιν) γράφεται 5/ 5/ Etot = EF N ( + x) + ( x) µ BNx Για ασθενή μαγνητικά πεδία ( µ B E ), οι πληθυσμοί δεν διαφέρουν πολύ, δηλαδή x και προσεγγίζουμε ( ± x) ± x Έτσι, η ολική ενέργεια γράφεται 5/ 5 F 7

Etot EF N µ BNx 5 µ B EF N 5 E F N όπου στην τελευταία αντικαταστήσαμε, όπου µ B x Καθώς η μαγνητική ροπή οφείλεται E F στο σπιν των ηλεκτρονίων, µ = µ B, η μαγνητόνη του Bohr Η ολική μαγνητική ροπή vm, όπου Μ η μαγνήτιση και v ο όγκος του αερίου των ηλεκτρονίων, γράφεται vm = ( N N ) µ = Nxµ + nµ BB M = nxµ B =, E όπου n = N / vο αριθμός των ηλεκτρονίων ανά μονάδα όγκου (β) Υπάρχουν N + ηλεκτρόνια με σπιν πάνω ( + ), τα οποία αντιστοιχούν σε N+ ( N+ ) N+ ζεύγη, καθένα από τα οποία συνεισφέρει στην ενέργεια αλληλεπίδρασης V Λαμβάνοντας, λοιπόν, υπόψη την ενέργεια αλληλεπίδρασης, η ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων με σπιν πάνω γράφεται + 5/ Etot = EF N( + x) µ BBN( + x) + N+ ( V) = EFN + x µ BN + x VN + x 8 Αντίστοιχα για τα ηλεκτρόνια με σπιν κάτω, F B 5/ ( ) B ( ) ( ) E = E N x + BN x VN x 8 5/ tot F ( ) µ B ( ) ( ) Η ολική ενέργεια του αερίου των ελευθέρων ηλεκτρονίων (και οι δύο πληθυσμοί σπιν), V E E E E N x x BNx N x x 8 + 5/ 5/ tot = tot + tot = F ( + ) + ( ) µ B ( + ) + ( ) Η κατάσταση ισορροπίας καθορίζεται από το ελάχιστο της ολικής ενέργειας, B x E tot =, V EF x x µ B N[ x x ] + + = 4 / / ( ) ( ) B ( ) ( ) Γραμμικοποιώντας την παραπάνω εξίσωση στο όριο του ασθενούς μαγνητικού πεδίου x, δηλαδή ( ± x) ± x, λαμβάνουμε / 8

Η ολική μαγνήτιση δίνεται από την NV 6µ BB EFx x µ BB x 4E VN F M 6nµ BB = nxµ B = 4E VN F Σημειώνουμε, ότι για V =, το αποτέλεσμα γίνεται M 6nµ BB =, 4E F που αντιστοιχεί στην περίπτωση των μη αλληλεπιδρώντων ηλεκτρονίων 9

Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [] H Ibch και H Lüth, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, ) [] C Kittel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 979) [] N W Ashcroft και N D Mermin, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, ) [4] R Levy, Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσεως, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 968) [5] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 997) [6] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, ) [7] Α Μοδινός, Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης, (Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, 994) [8] Σ Η Παπαδόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 4) [9] Π Βαρώτσος και Κ Αλεξόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα, 995) [] Κ Παρασκευαΐδης, Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης», (ΕΜΠ, Αθήνα, ) Ξενόγλωσσα: [] M P Mrder, Condensed Mtter Physics, (Wiley, New Jersey, ) [] H E Hll, Solid Stte Physics, (Wiley, Bristol, 974) [] J M Zimn, Principles of the Theory of Solids, (Cmbridge, Cmbridge, 964) [4] H J Goldsmid, (ed), Problems in Solid Stte Physics, (Pion Limited, London, 968) [5] V M Agrnovich nd A A Mrdudin (eds), Modern Problems in Condensed Mtter Sciences, (Elsevier, Amsterdm, 989) [6] A L Ivnov nd S G Tikhodeev (eds), Problems of Condensed Mtter Physics, (Oxford, Oxford, 8) Λέξεις-κλειδιά ος νόμος του Νεύτωνα αέριο φερμιονίων ανάπτυγμα Sommerfeld αριθμός του Avogdro ενέργεια Fermi εξίσωση Schrödinger ηλεκτρική αγωγιμότητα κατανομή Fermi-Dirc κυματάνυσμα de Broglie κυματάνυσμα Fermi μαγνητόνη του Bohr μποζόνια νόμος του Ohm παραμαγνητισμός Puli πρότυπο Drude πρότυπο ελευθέρων ηλεκτρονίων πυκνότητα καταστάσεων σκέδαση τύπος Drude Lorentz φερμιόνια φωνόνια χώρος Bloch

Κεφάλαιο 7 ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΟΜΗ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΖΩΝΕΣ Προαπαιτούμενη γνώση Δομή των ενεργειακών ζωνών, ευθύ και ανάστροφο πλέγμα, ζώνη Brillouin, εξίσωση Schrödinger, ενέργεια Fermi, πυκνότητα καταστάσεων, πρότυπο σχεδόν ελευθέρων ηλεκτρονίων, πρότυπο ισχυρά δέσμιων ηλεκτρονίων, ανωμαλίες vn Hove, ειδική θερμότητα, σειρές Fourier Πρόβλημα Να υπολογίσετε τις ενεργειακές ζώνες ηλεκτρονίων στο Δ πρότυπο των Kronig-Penney Λύση Θεωρούμε το μονοδιάστατο περιοδικό δυναμικό V( x ) του παρακάτω σχήματος Η περίοδος του δυναμικού είναι = b+ c και δίνεται από τη σχέση,, < x< b V( x) = V, b< x< () Στις δύο περιοχές που περιλαμβάνονται σε μια περίοδο του δυναμικού, η χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schrödinger γράφεται: ψ ( x) + kψ( x) =, < x< b, () ψ ( x) kψ( x) =, b< x< για E < V όπου me ( ), m V k = k E = () και m η μάζα του ηλεκτρονίου Οι γενικές λύσεις των δευτεροβάθμιων διαφορικών εξισώσεων () είναι:

ψ ( x) = Aexp( ik x) + Bexp( ik x), < x < b = + < < (4) ψ( x) Cexp( k x) Dexp( k x), b x Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα του Bloch για την κυματοσυνάρτηση ψ, έχουμε ψ ( x) = exp( ik ){ Aexp[ ik ( x )] + Bexp[ ik ( x )]}, < x < + b (5) Απαιτώντας τη συνέχεια των ψψ, στα σημεία x = b και x =, λαμβάνουμε το ομογενές γραμμικό σύστημα: Aexp( ikb) + Bexp( ikb) C exp( kb) D exp( kb) = ikaexp( ikb) ikb exp( ikb) + Ckexp( kb) Dkexp( kb) = (6) Aexp( ik ) + Bexp( ik ) C exp( k ) D exp( k ) = ik Aexp( ik ) ik Bexp( ik ) + Ck exp( k ) Dk exp( k ) = Για να έχει το παραπάνω σύστημα λύσεις πέρα από την τετριμμένη, θα πρέπει η ορίζουσά του να μηδενίζεται Η συνθήκη αυτή μας δίνει την εξίσωση, k k cos( kb)cosh( c) sin( kb)sinh( c) cos( k ), για E V (7) k k = < kk Το θεμελιώδες διάνυσμα του αναστρόφου πλέγματος για το μονοδιάστατο πρόβλημά μας είναι ίσο με π / Επομένως, οι επιτρεπτές τιμές του κυματανύσματος Bloch k είναι, π m k =, m =, ±, ±, N (8) Για πολύ μεγάλο αριθμό κυψελίδων ( N ), το κυματάνυσμα Bloch λαμβάνει πρακτικά συνεχείς τιμές Για ενέργειες E > V, ακολουθώντας ανάλογη διαδικασία, λαμβάνουμε μια εξίσωση ανάλογη της Εξ(7) k + k cos( kb)cos( kc) sin( kb)sin( kc) cos( k ), για E V, (9) = > kk όπου k = me ( V ) () Στο παρακάτω σχήμα αναπαριστούμε γραφικά τα πρώτα μέλη των Εξ(7) και (9) για ένα συγκεκριμένο παράδειγμα Οι δύο αναλυτικές μορφές συνδέονται ομαλά στο E = V Από τις Εξ(7) και (9) παρατηρούμε, ότι λύσεις υπάρχουν, όταν τα αντίστοιχα πρώτα μέλη λαμβάνουν τιμές εντός του διαστήματος [, + ] Τα αντίστοιχα διαστήματα της ενέργειας, για τα οποία συμβαίνει αυτό, αντιστοιχούν στις ενεργειακές ζώνες και απεικονίζονται από τις ροζ περιοχές, στο παρακάτω σχήμα

Αριστερό μέλος - - 5 5 E Στις περιοχές ενέργειας για τις οποίες τα πρώτα μέλη των Εξ(7) και (9) λαμβάνουν τιμές εκτός του διαστήματος [, + ], δεν υπάρχουν επιτρεπτές ηλεκτρονιακές καταστάσεις και επομένως αντιστοιχούν σε ενεργειακά χάσματα και απεικονίζονται από τις κίτρινες περιοχές του παραπάνω σχήματος Τα παραπάνω υλοποιούνται σε FORTRAN 9, με δομές if else then Σύστημα μονάδων Για τον υπολογισμό της ηλεκτρονικής δομής των ζωνών είθισται να χρησιμοποιείται το ατομικό σύστημα μονάδων (u), θέτοντας: =, m= /, e = () Η μονοδιάστατη εξίσωση του Schrödinger θα γράφεται: + V( x) ψ( x) = Eψ( x) x (4) Η μονάδα μέτρησης μήκους στο ατομικό σύστημα μονάδων είναι η ακτίνα του Bohr: Η μονάδα ενέργειας είναι το Ry u 5977 8 = cm (5) Ry = u = 658eV, (6) η οποία αντιστοιχεί στην ενέργεια της θεμελιώδους κατάστασης του ατόμου του Υδρογόνου Ακολουθεί κώδικας σε FORTRAN 9, για το πρότυπο Kronig Penney

progrm kronig_penney implicit none integer:: i,nmx double precision:: V,b,c,Emx,Estep,E,k,k, & A_melos,k_bloch, pi!----------------------------------------------------------- open(,file='resultstxt') pi=4d*tn(d)! Δεδομένα εισόδου στο πρότυπο Kronig-Penney V=d b=d c=d! Διακριτοποίηση της ενέργειας nmx= Emx=d Estep=Emx/dflot(nmx-) E=-Estep do i=,nmx E=E+Estep k=sqrt(e) if(eltv) then k=sqrt(v-e) A_melos=cos(k*b)*cosh(k*c)-(k*k- & k*k)*sin(k*b)*sinh(k*c)/(d*k*k) else k=sqrt(e-v) A_melos=cos(k*b)*cos (k*c)-(k*k+k*k)* & sin(k*b)*sin (k*c)/(d*k*k) end if if(bs(a_melos)led) then k_bloch=cos(a_melos)/pi!κανονικοποιημένο k_bloch: k*l/pi write(*,'(x,(f6,x))') E,bs(k_bloch),-bs(k_bloch) write(,'(x,(f6,x))') E,bs(k_bloch),-bs(k_bloch) else write(*,'(x, F6,x )') E write(,'(x, F6,x )') E end if end do end progrm Τα αποτελέσματα για τον παραπάνω κώδικα απεικονίζονται γραφικά στο παρακάτω σχήμα, 4

5 Ε (Ry) 5-8 -4 4 8 kl/π όπου θεωρήσαμε τις παραμέτρους V = Ry, b = u, c = u Πρόβλημα Θεωρήστε ένα Δ μέταλλο με πλεγματική σταθερά b και ηλεκτρόνιο, ανά άτομο Η ηλεκτρονική δομή του Δ μετάλλου περιγράφεται από το πρότυπο των ισχυρά δέσμιων ηλεκτρονίων Η ατομική κυματοσυνάρτηση είναι της μορφής ψ ( r R l ), όπου Rl = lb η θέση του πυρήνα του l-οστού ατόμου Υποθέστε, επίσης, ότι: ψ ( r R ) Hψ( r R ) d r = E, * l l ψ ( r R ) Hψ( r R ) d r = V, * l l+ ψ ( r R ) Hψ( r R ) d r = για j, * l l+ j όπου Η είναι η Χαμιλτονιανή Υπολογίστε τα παρακάτω: (α) Την ηλεκτρονική δομή (β) Την πυκνότητα καταστάσεων ηλεκτρονίων (γ) Την ηλεκτρονική συνεισφορά στην ενέργεια του Δ του στερεού (σε σχέση με την E ) (δ) Την ηλεκτρονική συνεισφορά στην ειδική θερμότητα, σε θερμοκρασία Τ (Υποθέστε, ότι kt B << V) Λύση (α) Σύμφωνα με το θεώρημα του Bloch, η κίνηση ενός ηλεκτρονίου σε ένα κρυσταλλικό πλέγμα περιγράφεται από ένα οδεύον κύμα της μορφής exp( ik r ), με πλάτος, το οποίο 5

κυμαίνεται περιοδικά από κυψελίδα, σε κυψελίδα Στη μέθοδο των ισχυρά δέσμιων ηλεκτρονίων, η διαμορφούμενη συνάρτηση είναι το ατομικό τροχιακό ψ ( r R l ), η οποία είναι σημαντική στην περιοχή ενός ατόμου, στη θέση R l, ενώ φθίνει εκθετικά μακριά από αυτή Για ένα Δ πλέγμα, η κυματοσυνάρτηση θα δίνεται από την, φk( r ) = exp( ikrl) ψ( r Rl), N l όπου Ν είναι ο αριθμός των ατόμων του πλέγματος (θεωρούμε περιοδικές συνθήκες Born von Krmn) Η αντίστοιχη ηλεκτρονιακή ενέργεια θα γράφεται ως Ek ( ) = φ Hφ k = exp[ ik( Rl Rl' )] ψ( r Rl) H ψ( r Rl' ) N ll,' k, όπου οι δείκτες άθροισης ll, διατρέχουν όλα τα άτομα του Δ κρυστάλλου Σημειώνουμε, ότι για κάθε μία τιμή του l, το άθροισμα ως προς l είναι πάντοτε το ίδιο Λαμβάνοντας υπόψη, μόνο, αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων (πρώτων) γειτόνων, η παραπάνω έκφραση γράφεται E( k) = ψ( r R ) H ψ( r R ) + exp( ikb) ψ( r R ) H ψ( r R ) + exp( ikb) ψ( r R ) H ψ( r R ) = E V[exp( ikb) + exp( ikb)] = E V cos( kb) l l l l+ l l Υπολογίζουμε και την παράγωγο της παραπάνω έκφρασης, καθώς θα μας χρειαστεί παρακάτω de bv sin( kb ) dk = (β) Ο αριθμός των καταστάσεων που αντιστοιχεί σε κυματανύσματα, με τιμές μικρότερες ή ίσες με k για ένα Δ κρύσταλλο μήκους L, είναι Lk N =, π από οπού προκύπτει, ότι η πυκνότητα καταστάσεων ανά μονάδα μήκους του πλέγματος γράφεται dn Dk ( ) = L dk = π, όπου ο παράγοντας στις δύο παραπάνω εκφράσεις προκύπτει από τις δύο ισοδύναμες καταστάσεις σπιν των ηλεκτρονίων Ισχύει ότι οπότε, D( k) de = D( k) dk, 6

de E + E D( E) = D( k) = [ πbv sin( kb) ] = πbv dk V (γ) Μας δίνεται ότι κάθε άτομο συνεισφέρει ηλεκτρόνιο, στον κρύσταλλο υπάρχουν Ν ηλεκτρόνια και το μήκος του κρυστάλλου είναι L = Nb Τότε ο αριθμός των ηλεκτρονίων θα είναι και ο αριθμός των καταστάσεων, Emx N = L f ( E) D( E) de, όπου f( E) η κατανομή Fermi-Dirc, f( E) = exp[ β ( E E )] +, β = /( kt B ) και EF η ενέργεια Fermi Για T = Κ, f( E ) = για E << EF και f( E ) = για E > E F Για kt B << EF, EF( T) EF(), ενώ, μόνο, ηλεκτρόνια με ενέργειες στο διάστημα [ EF kte B, F + kt B ] επηρεάζονται από την κατανομή Fermi-Dirc Επομένως, μπορούμε να υποθέσουμε, ότι f( E) για χαμηλές θερμοκρασίες Έτσι, F Emx kmx kmx Nb ( ) ( ) mx, π π N = L D E de = L D k dk = Nb dk = k π όπου kmx = και b E E = E Vcos( k b) = E F mx mx Η ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων είναι kmx kmx Etot = L E( k) D( k) dk = L [ E V cos( kb)] dk π Nb V = E sin( kb ) π b 4V = N( E ) π π / ( b) Από το παραπάνω αποτέλεσμα συμπεραίνουμε ότι κάθε ηλεκτρόνιο συνεισφέρει κατά μέσο 4V όρο E, στην ολική ενέργεια του κρυστάλλου π (δ) Στην ειδική θερμότητα συνεισφέρουν τα ηλεκτρόνια, τα οποία βρίσκονται πάνω και κάτω από την ενέργεια Fermi E F Επομένως, για τον υπολογισμό της θα χρειαστούμε την παρακάτω μορφή για τη (μέση) ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων 7

tot V V L ede f( ) D( ) d pbv, V V e = e e e e = e [exp( be) + ] V όπου ε = E EF = E+ E και f ( e) = /[exp( βe) + ] Θέτουμε παραπάνω ολοκλήρωμα γράφεται με παραγοντική ολοκλήρωση, ε F( ε ) = V Το V V V V V V I = f( ε) F ( ε) dε = [ f( ε) F( ε)] f ( ε) F( ε) dε = = V V f ( ε) F( ε) dε Αναπτύσσουμε την F( ε ) κατά Tylor, γύρω από το ε =, F( ε) = F() + εf () + ε F () + Είναι F() =, F () =, F () = /(4 V ) Επομένως, το ολοκλήρωμα σε προσέγγιση δεύτερης τάξης, ως προς ε, Το πρώτο ολοκλήρωμα γράφεται V V ( ε) ε ( ) 8V ε ε ε V V I f d + f d V [ f ( e )] V exp( βv) + exp( βv) + όπου θεωρήσαμε, ότι kt B << βv >> Θέτοντας βε = x, το δεύτερο ολοκλήρωμα γίνεται Έχουμε, λοιπόν, + x exp( x) dx p 8 V β = [exp( x) + ] 4V β και π I 4V ( kt), B ε tot L 4 V π ( kt B ) = ( 4 V ) I N πbv + π 6 V 8

Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς τη θερμοκρασία, βρίσκουμε, τελικώς, την ηλεκτρονιακή συνεισφορά στη θερμοχωρητικότητα, C e detot π kt B = dt V Πρόβλημα Θεωρήστε ένα Δ στερεό μήκους L = N, αποτελούμενο από Ν διατομικά μόρια Η απόσταση μεταξύ των δύο ατόμων σε κάθε μόριο είναι b ( b < ) Το κρυσταλλικό δυναμικό αναπαρίσταται ως ένα άθροισμα συναρτήσεων δέλτα, οι οποίες είναι εντοπισμένες στο κέντρο κάθε ατόμου: N b b V = A δ( x n + ) + δ( x n ) n=, όπου A θετική σταθερά και n =,,,, N Το δυναμικό φαίνεται στην παρακάτω εικόνα (α) Προς στιγμήν αγνοήστε το δυναμικό V και υποθέστε ότι τα ηλεκτρόνια είναι ελεύθερα στον κρύσταλλο Επίσης, θεωρήστε περιοδικές συνοριακές συνθήκες Βρείτε τις επιτρεπτές τιμές του κυματανύσματος k και κανονικοποιήστε την κυματοσυνάρτηση (β) Εκφράζοντας το δυναμικό ως σειρά Fourier, V ( x) = VG exp( igx) G βρείτε τις επιτρεπτές τιμές του G καθώς και τις σταθερές V G (γ) Θεωρώντας ότι το Α είναι μικρό, δείξτε ότι για κάποιες τιμές του k υπάρχουν ενεργειακά χάσματα Βρείτε μια γενική σχέση για τα χάσματα και δείξτε, ότι στην περίπτωση όπου το πb χάσμα βρίσκεται στην άκρη της ΖΒ, είναι ανάλογο του cos( ) (δ) Βρείτε μια σχέση για τον αριθμό των καταστάσεων στην ΖΒ Αν κάθε άτομο συνεισφέρει από ένα ηλεκτρόνιο, το στερεό θα είναι αγωγός ή μονωτής; (ε) Έστω ότι b= / Δείξτε, πώς αλλάζουν τα αποτελέσματα των προηγούμενων ερωτημάτων και δώστε μια σύντομη εξήγηση Λύση (α) Για ένα Δ στερεό, η Χαμιλτονιανή ελευθέρων ηλεκτρονίων μάζας m είναι 9

p d H = = = m m m dx ενώ η αντίστοιχη εξίσωση του Schrödinger γράφεται d ψ me Hψ = Eψ + ψ = dx Αναζητούμε λύσεις της παραπάνω εξίσωσης με τη μορφή επιπέδων κυμάτων, ψ = A exp( ikx) Αντικαθιστώντας την παραπάνω στην εξίσωση του Schrödinger, λαμβάνουμε, k = me Θεωρώντας κανονικοποιημένα επίπεδα κύματα, σύμφωνα με τη σχέση, η σταθερά L * ψψ dx =, A =, L όπου L το μήκος του Δ κρυστάλλου Θεωρώντας περιοδικές συνθήκες Born von Krmn ψ() = ψ( L), το κυματάνυσμα Bloch λαμβάνει τιμές nπ k =, n =, ±, ±, L Οι κανονικοποιημένες ηλεκτρονιακές κυματοσυναρτήσεις γράφονται ψ = exp( ikx) L (β) Λόγω της διακριτής περιοδικότητας (πλεγματικής σταθεράς ) του δυναμικού και του θεωρήματος Fourier, θα πρέπει που ικανοποιείται, όταν V ( x) = VG exp( igx) G exp( igx) = exp[ ig( x + )], 4

nπ G =, n =, ±, ±,, που είναι και ο ορισμός των διανυσμάτων G του ανάστροφου πλέγματος Έχουμε V ( x) = VGexp( igx) V ( x)exp( ig x) dx = exp( ig x) VGexp( igx) dx G G p V ( x)exp( ig x) dx VG exp[ i ( n n )] dx = G exp[ i p ( n n )] V ( x)exp( ig x) dx VG = p G i ( n n ) V ( x)exp( ig x) dx = V d Γύρω από το πλεγματικό σημείο x οπότε οι συντελεστές Fourier VG γράφονται G GG V ( x)exp( ig x) dx = V G = n το δυναμικό, G b b V = A δ( x n + ) + δ( x n ), A b b VG = ( x n )exp( igx) dx ( x n )exp( igx) dx d + + d A b b A bg A bg = exp[ ig( n ) exp[ ig( n ) exp( ign) cos( ) cos( ), + + = = όπου χρησιμοποιήσαμε την exp( ign) exp( i n p ) = = (γ) Για ένα Δ περιοδικό δυναμικό της μορφής, V ( x) = V exp( igx), G nπ όπου G =, n =, ±, ±,, η εξίσωση του Schrödinger για ένα ηλεκτρόνιο κινούμενο εντός του παραπάνω περιοδικού δυναμικού, γράφεται G [ H + V( x)] ψ = Eψ, όπου H d = Η παραπάνω μπορεί να λυθεί γράφοντας τις λύσεις ως, m dx 4

ψ = Ckφk, όπου φk είναι οι λύσεις της εξίσωσης του Schrödinger για ελεύθερα ηλεκτρόνια k όπου H φ = E φ, k k k φ k = exp( ikx ), L οι οποίες αντιστοιχούν σε ενέργεια, E k k =, m π n όπου k =, n =, ±, ±, Αντικαθιστώντας την ψ = Ckφk στην εξίσωση του L k Schrödinger έχουμε CEφ + CV exp( igx) φ = CEφ k k k k G k k k k k G k Όμως, ισχύει ότι exp( igx) φk= exp[ i( G + k) x] = φ G + k, L δηλαδή τα κυματανύσματα που συνεισφέρουν στο ανάπτυγμα της κυματοσυνάρτησης ψ ( x) διαφέρουν το ένα από το άλλο κατά ένα διάνυσμα του αναστρόφου πλέγματος Έτσι έχουμε Ck( E Ek) φ k= CV φ k G G + k k k G Εφόσον στα παραπάνω αθροίσματα, τα Gkλαμβάνουν, τιμές από +, μπορούμε να γράψουμε την παραπάνω σχέση στη μορφή, C E E φ = C V φ k( k) k k G G k k k G C E E C V k ( k ) = k G G G Θέτοντας k = k K, G = K K, όπου K, Kείναι διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος, θα έχουμε, τελικώς, C E E = C V () k K( k K) k K K K K Για ελεύθερα ηλεκτρόνια, δηλαδή για V( x ) =, το δεξί μέλος της παραπάνω εξίσωσης μηδενίζεται Άρα, 4

C = E E k K, για k K, C E = E k K, μόνο για k K, όπου οι παραπάνω ισχύουν για καταστάσεις ελευθέρων ηλεκτρονίων Για μικρές τιμές του Α, το περιοδικό δυναμικό μπορεί να θεωρηθεί μια μικρή διαταραχή Σε αυτή την περίπτωση, οι συντελεστές Fourier C δεν αλλάζουν σημαντικά και η κυματοσυνάρτηση γράφεται πάλι ως, k ψk = Ck φk Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο k έχουμε εκφυλισμό, δηλαδή Δ στερεό, αυτός θα είναι διπλός Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι συντελεστές C, C k k K k E = E =, τότε για ένα k K k K Ek Ek K θα είναι μη μηδενικοί και επομένως, η Εξ() γράφεται = Τότε, μόνο, οι C ( E E ) = CV + C V, () k k k k k K K C ( E E ) = CV + C V () k K k k k K k K Καθώς το V( x) είναι πραγματικό,, * * * ( ) = ( ) = Gexp( ) = Gexp( ) = Gexp( ) G G G V x V x V igx V igx V igx όπου στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η άθροιση λαμβάνει χώρα από * + Έτσι, VG = V G = V G, εφόσον το VG είναι πραγματικό Οι Εξ () και () γράφονται: ( E E V ) C V C =, k k k K k K V C ( E E V ) C = K k k k k K Για να έχουμε μη τετριμμένες λύσεις στο παραπάνω σύστημα εξισώσεων, με αγνώστους τα C, C, θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών να είναι μηδέν, k k K ( E E V ) V = k k K E = E + V ± V k k K Από την παραπάνω σχέση συνάγουμε, ότι υπάρχει ένα ενεργειακό χάσμα με εύρος, E = E = V, g k K για κυματάνυσμα Bloch, K k ( k K k ) Για ένα γραμμικό Δ κρύσταλλο, η ΖΒ είναι η = + = 4

π π k < Επομένως, το δεξί άκρο της ΖΒ, k π K π = = K =, π οπότε G = K = Έτσι, από το ερώτημα (α) θα έχουμε V K A πb = Vg = cos( ), ενώ πb Eg ( k) cos (δ) Όπως είδαμε και πριν, η ΖΒ ορίζεται από την π π k <, nπ με k =, n =, ±, ±, (έχουμε θεωρήσει περιοδικές συνοριακές συνθήκες) Ο αριθμός L των καταστάσεων στην ΖΒ είναι π π L = = N L Εφόσον για κάθε κατάσταση αντιστοιχούν δύο κατευθύνσεις του σπιν, θα έχουμε συνολικά Ν καταστάσεις Εφόσον το στερεό περιέχει διατομικά μόρια ή Ν άτομα και κάθε άτομο συνεισφέρει ηλεκτρόνιο, θα υπάρχουν Ν ηλεκτρόνια τα οποία καταλαμβάνουν, πλήρως, τις Ν καταστάσεις της ΖΒ Επομένως, το στερεό θα είναι μονωτής (ε) Εύκολα μπορεί να βρει κανείς, ότι για b =, η περίοδος του Δ κρυστάλλου γίνεται προφανώς Έτσι, η ΖΒ θα διπλασιαστεί και οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα θα γίνουν: (α) Θα είναι το ίδιο 4π A n+ A (β) G =, V =, Vn = ( ) (γ) Eg Vn (δ) Η ΖΒ θα έχει Ν καταστάσεις ή 4Ν καταστάσεις, αν λάβουμε υπόψη μας το σπιν των ηλεκτρονίων Τα διαθέσιμα Ν ηλεκτρόνια δεν θα καταλαμβάνουν όλες τις καταστάσεις, το επίπεδο Fermi θα τέμνει την ενεργειακή ζώνη και επομένως, το στερεό θα είναι αγωγός 44

Πρόβλημα 4 Θεωρήστε ένα Δ τετραγωνικό πλέγμα (α) Δείξτε ότι η κινητική ενέργεια ενός ελεύθερου ηλεκτρονίου στη γωνία της ΖΒ είναι μεγαλύτερη από αυτή ενός ηλεκτρονίου στο μέσο μιας πλευράς της ΖΒ, κατά έναν παράγοντα b Υπολογίστε το b (β) Θεωρήστε, ότι το κρυσταλλικό δυναμικό δίνεται από την πx πy Vxy (, ) = V cos( ) + cos( ), όπου V είναι σταθερά και η πλεγματική σταθερά Υπολογίστε προσεγγιστικά το ενεργειακό χάσμα στο μέσο μιας πλευράς της ΖΒ (γ) Υποθέτοντας ότι το αποτέλεσμα του προηγούμενου ερωτήματος είναι ακριβές και θεωρώντας ότι το υλικό είναι δισθενές, βρείτε τη συνθήκη, ώστε το υλικό να είναι μέταλλο Λύση Η κινητική ενέργεια ενός ελεύθερου ηλεκτρονίου είναι k E = m Η ΖΒ ενός Δ τετραγωνικού πλέγματος με πλεγματική σταθερά είναι (επίσης) ένα τετράγωνο πλευράς π / στον ανάστροφο χώρο (Fourier), όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, π π π Τα σημεία συμμετρίας είναι τα Γ [ k = (,)], Χ [ k = (,)] και Μ [ k = (, )] Το σκιασμένο τρίγωνο είναι το μη αναγωγίσιμο τμήμα της ΖΒ Είναι b ΓΜ = ΓΧ, EM ΓM = = = E ΓΧ X 45

(β) Το περιοδικό κρυσταλλικό δυναμικό γράφεται px py Vxy (, ) = V cos( ) + cos( ) V [ exp( i px/ ) exp( i px/ ) exp( i py/ ) exp( i py/ ) ] = + + + από τον ορισμό του συνημιτόνου Για το χάσμα στο μέσο μιας πλευράς της ΖΒ, δηλαδή ένα οποιοδήποτε σημείο Χ της ΖΒ, συνεισφέρουν οι ενεργειακές ζώνες που αντιστοιχούν σε π διανύσματα του αναστρόφου πλέγματος G= G, = (,) Έτσι, το εύρος του ενεργειακού χάσματος στο σημείο Χ θα είναι (βλέπε προηγούμενο πρόβλημα ),, Eg = V G Υπολογίζουμε το V G, VG = dy dxv ( x, y)exp( i ) Gr, Καθώς εργαζόμαστε στις Δ, r = ( xy, ) Αντικαθιστώντας τη μορφή του δυναμικού Vxy (, ) με τα εκθετικά, η παραπάνω σχέση γίνεται VG = ( V ) dy dx[ exp( i px / ) + exp( i px / ) + exp( i py / ) + exp( i py / ) ] exp( i ) Gr V p p p p = dy dx exp[ i( Gx) x] + exp[ i( + Gx) x] + exp[ i( Gy) y] + exp[ i( + Gy) y] V i[ exp( ig ) i[ exp( ig ) i[ exp( igy) i[ exp( igy) x + + Gx p Gx + p Gy p Gy + p x = + Για το διάνυσμα G = π (,) που μας ενδιαφέρει, V = V E = V = V π g π G= (,) G= (,) (γ) Για να είναι ένα δισθενές υλικό μέταλλο, θα πρέπει η στάθμη Fermi να μην βρίσκεται μέσα σε χάσμα Στην περίπτωσή μας, αυτό μπορεί να επιτευχθεί, αν οι ενεργειακές ζώνες αλληλεπικαλύπτονται Αυτό συνεπάγεται, ότι 46

E + E E X δηλαδή g π π V + m m V π 4m M Πρόβλημα 5 Θεωρήστε ένα Δ κρύσταλλο ηλεκτρονίων πλεγματικής σταθεράς, ο οποίος περιγράφεται από την προσέγγιση των ισχυρά δέσμιων ηλεκτρονίων Η σχέση διασποράς της ενέργειας των ηλεκτρονίων είναι E( k) = t cos( k), όπου k το κυματάνυσμα Bloch (α) Υπολογίστε την ηλεκτρονική πυκνότητα καταστάσεων (β) Περιέχει η ηλεκτρονική πυκνότητα καταστάσεων ανωμαλίες vn Hove; Σχολιάστε (γ) Υπολογίστε την ενέργεια Fermi, θεωρώντας ότι σε κάθε μοναδιαία κυψελίδα αντιστοιχούν 5,, και ηλεκτρόνια (δ) Για την περίπτωση του ενός ηλεκτρονίου ανά κυψελίδα, υπολογίστε την ειδική θερμότητα dx c v των ηλεκτρονίων για χαμηλές θερμοκρασίες ( T << TF ) Δίνεται: rcsin( x) x = Λύση (α) Για ένα Δ στερεό, ο αριθμός των ηλεκτρονικών καταστάσεων ανά κατεύθυνση σπιν που περιέχεται στο διάστημα [,k] του χώρου Fourier σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα είναι Παραγωγίζοντας την παραπάνω, k kl N = ( π / L) = π dn dk L =, π ενώ η πυκνότητα καταστάσεων, ανά κατεύθυνση σπιν, ως προς το κυματάνυσμα Bloch k είναι dn Dk ( ) = L dk = π 47

Ο αριθμός των καταστάσεων σε ένα εύρος τιμών dk, γύρω από το κυματάνυσμα Bloch k, με πυκνότητα D(k), θα είναι ίσος με τον αριθμό των καταστάσεων, οι οποίες περιέχονται σε ένα εύρος τιμών de, γύρω από την αντίστοιχη ενέργεια Ε(k), με πυκνότητα D(E), δηλαδή D( k) dk = D( E) de, DE ( ) = Dk ( ) dk, () de Η σχέση διασποράς είναι E ( k) E 4t 4t E( k) = t cos( k) και de = t sin( k) dk = cos ( k) sin( k) =± () Αντικαθιστώντας τη λύση με τη θετική ρίζα της πρώτης των Εξ() (η πυκνότητα καταστάσεων είναι πάντοτε θετική ποσότητα), καθώς και τη δεύτερη των Εξ() στην δεύτερη των Εξ(), λαμβάνουμε DE ( ) = π t sin( k) = π t E t Η πυκνότητα καταστάσεων D(E) μαζί με τη σχέση διασποράς E( k) = t cos( k) απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα 48

(β) Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα, στα άκρα της ενεργειακής ζώνης E = ± t, η πυκνότητα καταστάσεων D(E) τείνει στο άπειρο, παρουσιάζοντας ανωμαλίες τύπου vn Hove Όπως δείξαμε παραπάνω, dk DE ( ) = Dk ( ) =, de πυ όπου υg είναι η ομαδική ταχύτητα για το συγκεκριμένο k Ως γνωστόν, η ομαδική ταχύτητα υg εκφράζει την ταχύτητα διάδοσης ενός ηλεκτρονικού παλμού στο στερεό Έτσι λοιπόν, στα άκρα της ενεργειακής ζώνης, όπου παρουσιάζονται οι ανωμαλίες vn Hove, η υg και τα ηλεκτρόνια δείχνουν «σταματημένα» Αυτή είναι μια άκρως ενδιαφέρουσα περίπτωση αφού η ηλεκτρική αντίσταση του Δ στερεού απειρίζεται στα άκρα της ενεργειακής ζώνης, χωρίς να υπάρχει κάποιος μηχανισμός σκέδασης (πχ φωνόνια ή αταξία) ο οποίος θα προκαλεί τον απειρισμό της αντίστασης Στην πράξη, σε ένα πραγματικό Δ στερεό, όπου τα ηλεκτρόνια περιγράφονται από το πρότυπο των ισχυρά δέσμιων ηλεκτρονίων, πχ σε ένα κβαντικό σύρμα, η ύπαρξη ελάχιστης αταξίας αμβλύνει τις παραπάνω ανωμαλίες vn Hove και η πυκνότητα καταστάσεων είναι πεπερασμένη στα άκρα της ενεργειακής ζώνης (γ) Ο αριθμός των καταστάσεων των ηλεκτρονίων ανά μονάδα μήκους λαμβάνοντας υπόψη και τις δυο καταστάσεις του σπιν, γράφεται g EF EF D E de t t N N de = ( ) = E t E EF Θέτοντας x =, xf t = t, το παραπάνω ολοκλήρωμα γράφεται x F N dx = = rcsin( ) π x π x F ( N + ) π = sin xf [ x ] π Για N = xf = sin( ) = EF = t Για N = x = sin( π ) = E = F 7π Για N = xf = sin( ) = EF = t 4 (δ) Για χαμηλές θερμοκρασίες ( T << T ), η ειδική θερμότητα γράφεται [] F F π cv DE ( F) kt B 49

Για N = E F =, οπότε σχέση για τη cv λαμβάνουμε, τελικώς, DE ( F = ) = π t Αντικαθιστώντας στην παραπάνω c v π kt B 6t 5

Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [] H Ibch και H Lüth, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, ) [] C Kittel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 979) [] N W Ashcroft και N D Mermin, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, ) [4] R Levy, Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσεως, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 968) [5] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 997) [6] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, ) [7] Α Μοδινός, Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης, (Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, 994) [8] Σ Η Παπαδόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 4) [9] Π Βαρώτσος και Κ Αλεξόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα, 995) [] Κ Παρασκευαΐδης, Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης», (ΕΜΠ, Αθήνα, ) Ξενόγλωσσα: [] M P Mrder, Condensed Mtter Physics, (Wiley, New Jersey, ) [] H E Hll, Solid Stte Physics, (Wiley, Bristol, 974) [] J M Zimn, Principles of the Theory of Solids, (Cmbridge, Cmbridge, 964) [4] H J Goldsmid, (ed), Problems in Solid Stte Physics, (Pion Limited, London, 968) [5] V M Agrnovich nd A A Mrdudin (eds), Modern Problems in Condensed Mtter Sciences, (Elsevier, Amsterdm, 989) [6] A L Ivnov nd S G Tikhodeev (eds), Problems of Condensed Mtter Physics, (Oxford, Oxford, 8) Λέξεις-κλειδιά ακτίνα του Bohr ανάστροφο πλέγμα ανωμαλίες vn Hove δομή των ενεργειακών ζωνών ειδική θερμότητα ενέργεια Fermi ενεργειακά χάσματα ενεργειακές ζώνες εξίσωση Schrödinger ευθύ πλέγμα ζώνη Brillouin θεώρημα του Bloch κατανομή Fermi-Dirc κυματάνυσμα κυματοσυνάρτηση πρότυπο ισχυρά δέσμιων ηλεκτρονίων πρότυπο σχεδόν ελευθέρων ηλεκτρονίων πρότυπο των Kronig-Penney πυκνότητα καταστάσεων σειρές Fourier σκέδαση Χαμιλτονιανή 5

Κεφάλαιο 8 ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ Προαπαιτούμενη γνώση Ενδογενείς/ εξωγενείς ημιαγωγοί, ενεργειακά διαγράμματα, ζώνες σθένους/ αγωγιμότητας, προσέγγιση ενεργού μάζας, ευκινησία, φαινόμενο Hll, ετεροεπαφές ημιαγωγών, οπτικές ιδιότητες ημιαγωγών, εξιτόνιο Πρόβλημα Θεωρήστε έναν ενδογενή ημιαγωγό, του οποίου η πυκνότητα καταστάσεων DE ( ) δίνεται από το παρακάτω σχήμα (α) Πού βρίσκεται το επίπεδο Fermi, σε σχέση με τις ζώνες σθένους και αγωγιμότητας; (β) Εκτιμήστε την πυκνότητα των ηλεκτρονίων της ζώνης αγωγιμότητας σε θερμοκρασία δωματίου Λύση (α) Ο αριθμός των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας, της οποίας ο πυθμένας συμβολίζεται με E, δίνεται από τη σχέση, C n = D( E) f ( E) de () E C Αντίστοιχα, ο αριθμός των οπών στη ζώνη σθένους, της οποίας η κορυφή συμβολίζεται με E, δίνεται από την, V E V [ ] p = D( E) f ( E) de () 5

όπου f( E) η κατανομή Fermi-Dirc, και β = Για έναν ενδογενή ημιαγωγό, kt B f( E) = exp[ β ( E E)] +, () F n = p (4) από την οποία μπορεί να υπολογιστεί το επίπεδο Fermi Ο υπολογισμός μπορεί να διευκολυνθεί στην περίπτωση που E EF kt B Τότε, η κατανομή Fermi της Εξ() γράφεται E E F f( E) exp, (5) kt B δηλαδή, η κατανομή Fermi παίρνει τη μορφή κατανομής Boltzmnn Σύμφωνα με αυτά, οι Εξ() και () αντικαθίστανται, επίσης, από εξισώσεις τύπου Boltzmnn E E F EC E F n nexp de = nkbt exp, kt E B kt B C EF E p nkt B exp kt B V (6) όπου n η πυκνότητα των ηλεκτρονικών καταστάσεων Αντικαθιστώντας τις Εξ(6) στην Εξ(4), βρίσκουμε τελικώς το επίπεδο Fermi, (β) Είναι E F EC + EV = E C Eg EF = 75 ev Σε θερμοκρασία δωματίου, kt= B (/ 4) ev, οπότε η πυκνότητα των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας δίνεται από τη σχέση EC E F 75 n nkt B exp = (cm ev) ev exp = 468 cm kt B 4 / 4 6 Πρόβλημα Θεωρήστε έναν ενδογενή ημιαγωγό Έστω, Ε η ενέργεια ενός ηλεκτρονίου, D ( E ) η πυκνότητα καταστάσεων της ζώνης αγωγιμότητας και DV ( E ) η πυκνότητα καταστάσεων στη ζώνη σθένους (βλέπε παρακάτω σχήμα) Υποθέστε ότι βρισκόμαστε στην περιοχή, όπου EC EF kt B και EV EF kt B Επίσης, υποθέστε, ότι για τις DC ( E ) και DV ( E ) ισχύουν C 5

όπου της δέσμης σθένους Με ( ) D ( E) = C E E C ( ) / / D ( E) = C E E, E C η ενέργεια στον πυθμένα της ζώνης αγωγιμότητας και V E F συμβολίζουμε το επίπεδο Fermi V C E V η ενέργεια στην κορυφή (α) Υπολογίστε τη συγκέντρωση n των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας, συναρτήσει των kb, TC,, EC, E F και ενός αδιάστατου ορισμένου ολοκληρώματος (β) Υπολογίστε τη συγκέντρωση p των οπών στη ζώνη σθένους, συναρτήσει των kb, TC,, EV, E F και ενός αδιάστατου ορισμένου ολοκληρώματος (γ) Υπολογίστε το επίπεδο Fermi EF ( T ) (δ) Ποια από τα αποτελέσματα στα ερωτήματα (α), (β), (γ) παραμένουν αμετάβλητα αν ο ημιαγωγός ντοπαριστεί με εξωτερικές προσμίξεις; Λύση (α) Η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας γράφεται n = D( E) f ( E) de, E C όπου DE ( ) η πυκνότητα καταστάσεων των ηλεκτρονίων σε αυτήν τη ζώνη και f( E ) η κατανομή Fermi-Dirc Εφόσον εργαζόμαστε στην περιοχήν όπου E EF EC EF kt B, η f( E ) γράφεται όπου kt B β = Θέτοντας β ( ) ( ) f( E) exp β E EF, x = E E C, από τις δύο προηγούμενες σχέσεις έχουμε 54

EC / ( ) exp β ( ) n C E EC E EF de / / exp β( C F) exp( ) = C β E E x x dx / EC E F / = C ( kbt ) exp exp ( x) x dx kt B () (β) Η πιθανότητα κατάληψης της κατάστασης μίας οπής είναι f( E) Εφόσον εργαζόμαστε στην περιοχή, όπου EF E EF EV kbt, έχουμε Θέτοντας β ( ) ( E EF ) ( E E ) exp β f( E) exp β E E exp β F + ( ) x = E E V, η συγκέντρωση των οπών στη ζώνη σθένους γράφεται F / / exp β( V F) exp( ) p C β E E x x dx / EF E V / = C ( kbt ) exp exp ( x) x dx kt B () (γ) Για έναν ενδογενή ημιαγωγό, Αντικαθιστώντας τις Εξ() και () στην Εξ (), λαμβάνουμε n = p () EC E F EF E V Cexp Cexp kt = B kt B Λαμβάνοντας το δεκαδικό λογάριθμο και στα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης, βρίσκουμε το επίπεδο Fermi, EF = EV + EC kt B C C ln (δ) Αν το υλικό ντοπαριστεί με προσμίξεις, τα αποτελέσματα (α) και (β) παραμένουν αμετάβλητα, εφόσον βρισκόμαστε, πάντοτε, σε κατάσταση ισορροπίας Όμως, λόγω του ντοπαρίσματος, η σχέση n = p δεν έχει ισχύ και επομένως, το επίπεδο Fermi, όπως δίνεται στην παραπάνω σχέση, θα μετατοπιστεί Πρόβλημα Σε ένα δείγμα CdS σε θερμοκρασία δωματίου, kt B / e= 6mV, μετρήθηκε η πυκνότητα 6 - κινητικών φορέων ίση με cm και ευκινησία m = cm / V sec (α) Υπολογίστε την ηλεκτρική αγωγιμότητα του δείγματος 55

(β) Φορείς, συνεχώς, παγιδεύονται σε ακινησία και κατόπιν, θερμικώς, ιονίζονται ξανά σε καταστάσεις ευκινησίας Αν ο μέσος χρόνος ζωής μίας κινητικής κατάστασης (ευκινησίας) 5 είναι sec, ποια είναι η μέση τιμή (rms τετραγωνική ρίζα του τετραγώνου) της απόστασης, την οποία διανύουν οι φορείς ανάμεσα σε δύο διαδοχικές παγιδεύσεις; (γ) Αν οι φορτισμένοι φορείς έχουν ενεργό μάζα ίση με φορές τη μάζα του (ελεύθερου) ηλεκτρονίου, ποια είναι η μέση τιμή του χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικών σκεδάσεων; Λύση (α) Η ηλεκτρική αγωγιμότητα δίνεται από τη, σ = neµ 6 - - Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση, όπου n = cm = m, m = cm / V sec= m / V sec βρίσκουμε, τελικώς, ότι σ = 6Ω m (β) Από το θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας έχουμε, ότι 9 6 C e =, mυx = mυy = mυz = kbt, απ όπου λαμβάνουμε mυ = mυx + mυy + mυz = kbt Λύνοντας ως προς υ, βρίσκουμε kt B υ = Η μέση rms απόσταση μεταξύ διαδοχικών παγιδεύσεων είναι l = υ t Συνδυάζοντας τις δύο προηγούμενες σχέσεις, έχουμε kt B kt B e l = t = t m e m Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση, όπου kt B e = 6 V, e m = 76 C Kg, 5 t = sec, βρίσκουμε l = 7m (γ) Στο πρότυπο των ελευθέρων ηλεκτρονίων για τα μέταλλα, η ηλεκτρική αγωγιμότητα δίνεται από τη σχέση, ne τ σ =, * m * όπου m η ενεργός μάζα του ηλεκτρονίου Ο μέσος χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών σκεδάσεων είναι 56

s m τ = = ne e 5 57 sec Πρόβλημα 4 (α) Υπολογίστε το συντελεστή Hll για έναν ενδογενή ημιαγωγό, ως συνάρτηση της ευκινησίας ηλεκτρονίων και οπών, καθώς και της πυκνότητας φορέων (β) Σε ένα δείγμα ημιαγώγιμου υλικού μετρήθηκε ο συντελεστής Hll και βρέθηκε σχεδόν μηδενικός, παρόλο που η μέτρηση έγινε σε θερμοκρασία δωματίου Κάτω από ποιες συνθήκες δικαιολογείται μια τέτοια μέτρηση; Λύση Θεωρήστε το λεπτό ορθογώνιο πλακίδιο του ενδογενούς ημιαγωγού του παρακάτω σχήματος Εφαρμόζουμε ένα ηλεκτρικό πεδίο E x κατά τη διεύθυνση x και ένα μαγνητικό πεδίο B y, κατά τη διεύθυνση y Λόγω του ηλεκτρικού πεδίου, τα ηλεκτρόνια ολισθαίνουν στη διεύθυνση x, ενώ οι οπές ολισθαίνουν κατά τη διεύθυνση x, θεωρώντας ότι οι εξωτερικές επιφάνειες είναι βραχυκυκλωμένες (περιοδικές συνθήκες) Λόγω της ολίσθησης των φορτίων (ηλεκτρόνια και οπές), ασκείται πάνω τους δύναμη Lorentz q v B, η οποία σπρώχνει ηλεκτρόνια και οπές στη διεύθυνση y, προς την επιφάνεια D Ενώ τα ηλεκτρόνια και οι οπές τείνουν να εξουδετερώσουν το ένα το άλλο, η μεταξύ τους ακύρωση δεν είναι τέλεια, με αποτέλεσμα να συσσωρεύεται φορτίο, στην επιφάνεια D και το αντίθετο, στην επιφάνεια C Αυτό σημαίνει ότι αναπτύσσεται ένα ηλεκτρικό πεδίο στη διεύθυνση y, το λεγόμενο πεδίο Hll ε y Η ηλεκτρική αγωγιμότητα του ημιαγωγού είναι, σ = nqµ + pqµ, n όπου, µ n µ p συμβολίζουμε την ευκινησία των ηλεκτρονίων (οπών) Σε μια στάσιμη κατάσταση, δεν υπάρχει ρεύμα στη J οι πυκνότητες ρεύματος για τις οπές και τα ηλεκτρόνια, np οι συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και οπών, αντίστοιχα Με ( ) διεύθυνση y Έστω, ( p ) J και ( ) y n y αντίστοιχα Από το νόμο του Ohm για την ταυτόχρονη παρουσία ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου έχουμε για την πυκνότητα ρεύματος των ηλεκτρονίων, p 57