Κίνηση σε μία διάσταση ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 1 q Ανακεφαλαιώνοντας θέσης τροχιάς μετατόπισης Δx = x f - x i, χρονικού διαστήματος Δ = f i, μέση ταχύτητα v = x x στιγμιαία ταχύτητα x v = lim " = d x d παράγωγος μέση επιτάχυνση a = v() = v( + ) " v() στιγμιαία επιτάχυνση a() = lim " v( + ) # v() = d v() d
ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 Εύρεση της επιτάχυνσης σε ένα v- γράφημα Ø Από το Α στο Β, v < αλλά αυξάνει και η κλίση άρα και επιτάχυνση είναι θετικές Ø Το σωματίδιο φρενάρει μέχρι το Β οπότε v = (σταματά στιγμιαία) αλλά εξακολουθεί να επιταχύνεται αφου η κλίση είναι μη μηδενική Ø Από το Β στο C, v > και αυξάνει, η κλίση και επιτάχυνση είναι θετικές Ø Στο C, v = max αλλά η επιτάχυνση είναι Ø Από το C στο D, v > αλλά ελαττώνεται και η επιτάχυνση είναι αρνητική. To σώμα επιβραδύνει Ø Στο D, v = και σταματά αλλά δέχεται επιτάχυνση Ø Από το D στο Ε, v < και συνεχίζει να ελαττώνεται και η επιτάχυνση είναι αρνητική. Το σώμα επιταχύνεται
ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 3 q Αν ξέρουμε την επιτάχυνση α, μπορούμε να βρούμε από τις προηγούμενες εξισώσεις την v και την x τη στιγμή Ø Πώς? q Χρησιμοποιώντας την έννοια του ολοκληρώματος q Γραφικά πρώτα α() α n Χωρίζουμε το χρονικό διάστημα σε πολλά ισόχρονα διαστήματα Δ n. Ξέρουμε ότι n = "v n /" # "v n = n " n Εμβαδό i Δ n f Αθροίζοντας όλα τα εμβαδά απο i à f έχουμε: v = " n n v = lim n "# % n $ n n # n Στο όριο nà, δηλαδή Δ n à η μεταβολή της ταχύτητας δίνεται από το εμβαδό της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη επιτάχυνσης - χρόνου Στιγμιαία και όχι μέση τιμή α
ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 4 q Αν είναι γνωστή η καμπύλη επιτάχυνσης χρόνου, η μεταβολή της ταχύτητας βρίσκεται από το εμβαδό της επιφάνειας. To παραπάνω ορισμένο ολοκλήρωμα γράφεται lim n" a % n a n # n = ( ) = dv( ) d $ i f v a( )d q Γνωρίζοντας τη συνάρτηση α() μπορούμε υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα για τυχαία χρονική στιγμή. a( )d = dv Επομένως σε μια χρονική στιγμή η ταχύτητα είναι ( ) = a ( )d + v i Αν i = συνήθως γράφουμε v( i ) = v i ( ) a v " ( )d = " dv = v # v i = v i ( ) v i ( ) = a v ( )d + v ( ) ( ) v i
ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 5 q Κατά τον ίδιο τρόπο γνωρίζοντας την ταχύτητα μπορούμε να βρούμε την μετατόπιση v( ) = dx d Δύο εξισώσεις κίνησης ανάλογα με το πρόβλημα που δίνεται ( ) = a v ( )d + v (Α) x x " v( )d = " dx = x # x i x i x ( ) = x + v = x( ) x( i ) = x( ) x " ( )d ( ) = x + v ( )d (Β) Αν v() είναι σταθερή π.χ. v = v (Β) x( ) = x + v
Κίνηση σε μία διάσταση - Ανακεφαλαίωση Διάνυσμα θέσης τροχιάς: Μετατόπιση: Χρονικό διάστημα Μέση ταχύτητα Στιγμιαία ταχύτητα Μέση επιτάχυνση Στιγμιαία επιτάχυνση r = xiˆ " r = rf ri " = f i v = r = x î v a = lim = " = a() = ( x f x )ˆ i " r dr dx = iˆ d d v( ) v( + ) " v( ) = v( + ) " v( ) = lim = # i ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 6 (για >1-διαστάσεις: r = xˆ i + yˆ j + zk ˆ ) διαδρομή Προσοχή dv( ) d v = d a Δύο εξισώσεις κίνησης ανάλογα με το πρόβλημα που δίνεται Βαθμωτό μέγεθος παράγωγος v() = a()d + v (Α) x = x + v()d (Β)
Σημαντικά σημεία Ø Από τον ορισμό της στιγμιαίας ταχύτητας Αλλαγή μέτρου Αλλαγή κατεύθυνσης r () r () r ( ) = r ( + ) r + r () r ( + ) r ( ) Αλλαγή και μέτρου και κατεύθυνσης = v r () r () r ( + ) ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 7 dr d Αλλαγή ταχύτητας Ø Από τον ορισμό της στιγμιαίας επιτάχυνσης = d v d Αλλαγή στο μέτρο ή διεύθυνση ή και στα δυό μαζί της ταχύτητας ενός σώματος έχει σαν αποτέλεσμα την επιτάχυνση του σώματος Αν v > τότε το σώμα επιταχύνεται a = a xˆ i Αν v < τότε το σώμα επιβραδύνεται a = a î x
ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 8 Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση, α() =σταθ. Από την εξίσωση κίνησης v = a( )d + v Αντικαθιστώντας στην x = x + v( )d x = x + (a + v )d = x + (a)d + v d x = x + 1 a + v () v = a + v (1) Λύνοντας ως προς στην εξίσωση (1) και αντικαθιστώντας στην (): a ( x x) v - v (3) = Λύνοντας ως προς α (επιτάχυνση) στην (1) και αντικαθιστώντας στην () x x = 1 (v + v ) (4)
Γεωμετρική ερμηνεία ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 9 v v Εμβαδό v Κλίση=α v E 1 = 1 ( v v ) = 1 " E = v Ολική επιφάνεια κάτω από την καμπύλη E = E 1 + E = 1 a + v
ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 1 Πιο εύκολα... x-x x " x = = x = x + v (1) - v v-v a = a = v = v + v = v + v Αντικαθιστώντας την (3) στην (1) έχουμε x = x + v = x + v + v " # a () αφού η v γραμμική (3) $ % & = x + " # v + v + a $ % & 'x = x + v + 1 a
Θέση συναρτήσει χρόνου - Παράδειγµα Ποια η θέση του σώµατος για = 3s? x(=3) = 1m Ποια η µετατόπιση του σώµατος στο χρονικό διάστηµα µεταξύ = 5 και = 1s? x(=5) = 1m x(=1) = m Ποια η µέση ταχύτητα του σώµατος στο χρονικό διάστηµα = 5 και = 1s? v = x = "1 4 = ".5m / s Μετατόπιση = Δx = 1 = -1m ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 11 x (m) 3-3 4
Ταχύτητα συναρτήσει χρόνου - Παράδειγµα ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 1 Ποια η ταχύτητα του σώµατος για = s? υ(=) = 3m/s Ποια η µετατόπιση του σώµατος στο χρονικό διάστηµα µεταξύ = 3 και = s? =è 1: E 1 =.5x(1s)x(3m/s)=1.5m Εύρεση εµβαδού: =1è 3: E =(s)x(3m/s)=6.m v (m/s) 3 1.5 6 4 Μετατόπιση: Ε ολ = E 1 + Ε = 1.5 + 6 è Δx = 7.5m Ποια η µέση ταχύτητα στο χρονικό διάστηµα µεταξύ = και 3s? = "x " = 7.5 3 =.5m / s Ποια η µεταβολή της ταχύτητας στο χρονικό διάστηµα µεταξύ =3 και 5s? -3 " = "( = 5) # "( = 3) = # # 3 = #5m / s Ποια η µέση επιτάχυνση στο χρονικό διάστηµα µεταξύ =3 και 5s? a = " = #5m / s $ a = #.5m / s
Επιτάχυνση συναρτήσει χρόνου - Παράδειγµα ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 13 Ποια η επιτάχυνση του σώµατος για = 4s? x(=4) = -m/s Ποια η µεταβολή της ταχύτητας του σώµατος στο χρονικό διάστηµα µεταξύ = 4 και = 1s? Μεταβολή ταχύτητας = Εµβαδό κάτω από τη καµπύλη: Εύρεση εµβαδού: =1è 3: E 1 =(s)x(3m/s )=6.m/s =3è 4: E =(1s)x(-m/s )=-.m/s Ε ολ = E 1 + Ε = 6.. è Δυ = 4.m/s 3 α (m/s ) -3 6 4
Ερώτηση: ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 14 Είναι δυνατό ένα σώµα να έχει θετική ταχύτητα και την ίδια χρονική στιγµή να έχει αρνητική επιτάχυνση? ΝΑΙ Ναι γιατί µπορεί να έχει θετική ταχύτητα καθώς επιβραδύνεται OXI Αν η ταχύτητα του σώµατος δεν είναι µηδέν µπορεί η επιτάχυνσή του να είναι κάποτε µηδέν ΝΑΙ Μηδενική επιτάχυνση σηµαίνει σταθερή ταχύτητα OXI Αν η µέση ταχύτητα ενός σώµατος που εκτελεί µονοδιάστατη κίνηση είναι θετική µπορεί η στιγµιαία ταχύτητα του σώµατος για κάποιο χρονικό διάστηµα να είναι αρνητική? ΝΑΙ OXI Φανταστείτε ότι κινήστε 5Km προς τη θετική διεύθυνση, κατόπιν σταµατάτε και κινείστε 3Km προς το µηδέν (αρνητική διεύθυνση) Η µέση ταχύτητα είναι θετική
Παράδειγμα ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 15 Ένα σώμα κινείται σε 1-διάσταση Αρχικές συνθήκες: για =, x = 1m, v =15m/s, α=-5m/sec, ως προς ˆx Ποια η ταχύτητα v και διάνυσµα θέσης x του σώµατος µετά από 8 sec v α xˆ Το σώµα µε v > ελαττώνει ταχύτητα αφού α < v( ) = v + a v( = 8) = 15 + (5) " 8 = 5m / s Η ταχύτητα του σώµατος ελαττώνεται µέχρι να µηδενιστεί και κατόπιν αλλάζει φορά κίνησης (προς τη -x διεύθυνση) 1 1 ( ) = x + a + v x( = 8s) = 1 + ( 5) " 8 + 15 " 8 = 3m x
ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 16 Παράδειγμα (συνέχεια) Μερικές ερωτήσεις Πότε το σώµα περνά από x =? x 1m 1 x( ) = x + a + v 5 x( ) = 1 + 15 = Δευτεροβάθµια εξίσωση µε λύσεις -.6sec 6.6 sec 1, " b = 1, = 3 ± ± b a 13 " 4a = 1 6. 6s =. 6s Ποια από τις απαντήσεις είναι φυσική? Εξαρτάται από το πρόβληµα. Τι συνέβη τη χρονική στιγµή -.6 sec; Πιθανόν να ρίξαµε το σώµα προς τα πάνω. Εποµένως =-.6s είναι ο χρόνος που χρειάστηκε για να αποκτήσει την αρχική ταχύτητα υ = 15m/s και να βρεθεί στην αρχική θέση x =1m.
ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 17 Κίνηση µε µεταβαλλόµενη επιτάχυνση, α = f() Στην περίπτωση αυτή πρέπει να χρησιµοποιήσουµε ολοκληρώµατα: Ø Έστω α() = K και ότι v =. m/s τη χρονική στιγµή = v() = a()d + v = K d v ( ) = 1 K Ø Tι συµβαίνει µε το x()? Έστω x =. m τότε x = x + v( )d = v( )d 1 = K d x = 1 6 K3
ο Mini Exam ΦΥΣ 131 - Διαλ.5 18 Ø Γράψτε σε μια σελίδα το όνομά σας και τον αριθμό ταυτότητάς σας Έτοιμοι;