Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra 2007 m. brandos egzaminų užduočių analizė Matematika Vilnius 2008
Išleista Europos Socialinio fondo ir Lietuvos Respublikos lėšomis Konsultantas Jungtinės Karalystės konsultavimo bendrovė Anglia Assessment (direktorius G. Bethell). Leidinį parengė Nacionalinis egzaminų centras ir Sičiūnienė Viktorija Čuprynska Krystyna Dobravolskaitė Danguolė Dudaitė Jolita Martinkienė Ingrida Vilimienė Albina Viniautienė Virginija Nacionalinis egzaminų centras M. Katkaus g. 44, Vilnius LT-09217 Tel. (8 ~ 5) 275 6180 Faks. (8 ~ 5) 275 2268 centras@nec.lt www.egzaminai.lt UAB leidykla-spaustuvė Firidas Tel. (8 ~ 5) 231 2396 Tel. (8 ~ 387) 51 214 info@firidas.lt spaustuve@firidas.lt www.firidas.lt Už leidinyje pateiktas iliustracijas atsakingas Nacionalinis egzaminų centras Nacionalinis egzaminų centras, 2008 Dizainas UAB Firidas, 2008
PROJEKTAS BRANDOS EGZAMINŲ KOKYBĖS SISTEMOS PLĖTRA Nacionalinis egzaminų centras (toliau NEC) 2006 2008 metais vykdo projektą Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra, įgyvendinamą pagal BPD priemonę 2.4. Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtojimas. Šiame projekte pasiūlytas kompleksinis brandos egzaminų kokybės sistemos užtikrinimo modelis, apimantis užduočių ir vertinimo analizę, naujų užduočių kūrimą, mokomosios medžiagos rengimą, brandos egzaminų užduočių rengėjų ir kandidatų darbų vertintojų mokymus, patirties sklaidą pedagogų bendruomenėje bei egzaminus vykdančios institucijos žmogiškųjų išteklių plėtrą. Pagrindinis projekto Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra vykdytojas yra NEC. Projektą konsultuoja George Bethell vadovaujama Jungtinės Karalystės konsultacinė kompanija Anglia Assessment Ltd : George Bethell konsultuoja fizikos, geografijos, chemijos; Kathy Evans biologijos; Ian Lycett-King informacinių technologijų; John Hamer istorijos; Jeff Stanford užsienio kalbų; Peter Willig lietuvių gimtosios ir valstybinės kalbos; Algirdas Zabulionis matematikos; Hilary Murphy muzikos; Tony Keeler dailės specialistus. Brandos egzaminų sistemos kokybę užtikrina tiek patikimai ir pagrįstai tikrinančios kandidatų žinias ir gebėjimus brandos egzaminų (BE) užduotys, tiek tinkamas vertinimo procesas, kurio pagrindinis tikslas nepriklausomai nuo subjektyvių faktorių patikimai ir pagrįstai įvertinti kandidatų darbus, išskirti kandidatus pagal žinias ir gebėjimus. Vienas iš projekto Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra tikslų brandos egzaminų užduočių rengėjų tęstiniai mokymai, testavimo kvalifikacijos tobulinimas. Mokymo programos, skirtos užduočių rengėjams, pirmą dalį sudaro 12-os mokomųjų dalykų 2007 m. BE užduočių kokybinės analizės. Pagal Anglia Assessment konsultantų-dalykininkų pateiktą užduoties analizės planą, jas atliko projekto atskirų mokomųjų dalykų užduočių rengėjų grupės užduotis analizavusios pagal apibrėžtus kokybės kriterijus (užduoties ir egzamino programos atitiktis, užduoties turinio pagrįstumas, užduoties veikimas ir sunkumas, atskirų klausimų veikimas, išlaikymo slenksčio nustatymas). Atliekant analizes remtasi pagrindine statistine informacija. Pagal šį modelį rengėjų darbo grupių atliktos BE užduočių kokybinės analizės siūlomos kaip BE užduoties analizės šablonas, galintis tapti atspirties tašku toliau tobulinant BE užduočių analizę, jos turinį ir struktūrą, siekiant brandos egzaminų kokybės (biologijos ir lietuvių valstybinės kalbos analizės pateikiamos kaip pavyzdinės). Tokio pobūdžio brandos egzaminų užduočių kokybinė analizė sudaro sąlygas nuolat gerinti BE užduočių rengimą bei priimti objektyviais argumentais pagrįstus sprendimus dėl brandos egzaminų kokybės sistemos tobulinimo. Mokymo programos, skirtos užduočių rengėjams, antrą dalį sudaro parengtos 12-os mokomųjų dalykų pilotinės (bandomosios) užduotys. Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra suteikė galimybę išbandyti šias užduotis 59 Lietuvos bendrojo lavinimo mokyklose. Bandyme dalyvavo 9816 mokinių. Surinkta 1278 lietuvių gimtosios kalbos, 331 lietuvių valstybinės kalbos, 2441 matematikos, 1973 istorijos, 390 biologijos, 326 chemijos, 384 fizikos, 169 informacinių technologijų, 113 vokiečių k., 233 rusų k., 105 prancūzų k., 2070 anglų k. mokinių darbų. Pilotinių (bandomųjų) užduočių rengėjai kėlė skirtingus dalykinius tikslus įvesdami įvairias turinio, metodikos ir struktūros naujoves, tačiau vienas reikalavimas užduoties struktūros atžvilgiu buvo bendras ji turėjo būti pritaikyta A3 formato atsakymų lapams. Šis visų dalykų naujų užduočių struktūros ir A3 formato atsakymų lapų išbandymas susijęs su vertinimo efektyvumo didinimu ir ateityje numatomu egzaminų sistemos skaidrumo ir viešumo didinimu, internete parodant įvertintus kandidatų darbus. 2007 m. VBE užduoties statistinė analizė
2007 METŲ VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES STATISTINĖ ANALIZĖ
Matematikos valstybinį brandos egzaminą (toliau VBE) pagrindinės sesijos metu gali laikyti abiturientai, baigusieji vidurinę mokyklą ankstesniais metais, ir eksternai visi jie vadinami bendru kandidato vardu. 2007 m. matematikos VBE vyko gegužės 16 d., jį buvo leista laikyti 14 808 kandidatams. Į egzaminą neatvyko 188 kandidatai, dviejų kandidatų darbai buvo anuliuoti. Įskaityta 14 618 darbų. Laikiusių valstybinį matematikos brandos egzaminą kandidatų surinktų taškų pasiskirstymas pateiktas 1 paveiksle. 600 500 7 Kandidatų skaičius 400 300 200 100 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Testo taškai 1 paveikslas. Valstybinį matematikos brandos egzaminą laikiusių kandidatų surinktų taškų pasiskirstymas Maksimali taškų suma, kurią galėjo surinkti laikantys egzaminą kandidatai, 54 taškai. Minimali egzamino išlaikymo taškų sumos riba, kuri nustatoma po egzamino rezultatų sumavimo, 7 taškai. Tai sudarė 13 proc. visų galimų taškų. Valstybinio matematikos brandos egzamino neišlaikė 17,7 proc. laikiusiųjų. Valstybinio matematikos brandos egzamino rezultatų vidurkis yra 19,21 taško, taškų sumos standartinis nuokrypis (dispersija) 12,50. VBE laikyti pakartotinės sesijos metu galėjo kandidatai, kuriems pagrindinės sesijos brandos egzaminas buvo atidėtas, įkalinimo įstaigose registruoti kandidatai, namuose mokyti mokiniai 2007 m. BE užduoties statistinė analizė
ir eksternai. Pakartotinės sesijos egzaminas vyko birželio 14 d.; rezultatus numatyta paskelbti iki birželio 28 d. Pakartotinės sesijos metu matematikos VBE buvo leista laikyti 49 kandidatams, iš jų 7 neatvyko. Įskaitytų darbų 42 (išlaikė 83,3 proc.), neišlaikė 7 kandidatai. 2007 m. visi kandidatai, laikiusieji matematikos egzaminą tiek pagrindinės, tiek pakartotinės sesijos metu, galėjo teikti apeliacijas (apeliacija kandidato, nesutinkančio su savo brandos egzamino įvertinimu, prašymas dar kartą peržiūrėti jo darbą ir pakartotinai įvertinti). Pagrindinės sesijos VBE metu apeliacijas pateikė 376 kandidatai, dviejų darbų įvertinimai buvo pakeisti. 2001 2007 m. kandidatų surinktų egzamino užduoties taškų ir jų įvertinimo valstybinio brandos egzamino balais sąryšis pateiktas 2 paveiksle. 8 100 80 Sesija 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 VBE balai 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 Testo taškai (%) 2 paveikslas. Už egzamino užduotį gautų taškų ir įvertinimo VBE balais sąryšis Statistinei analizei atlikti atsitiktinai buvo atrinkta 400 kandidatų darbų. Suvedus iš tų darbų informaciją, kiekvienam užduoties klausimui (ar jo daliai, jei jis turėjo struktūrines dalis) buvo nustatyta: kuri dalis kandidatų pasirinko atitinkamą atsakymą (A, B, C, D ar E, jei klausimas buvo su pasirenkamaisiais atsakymais) ar surinko atitinkamą skaičių taškų (0, 1, 2 ir t. t.); Matematika
klausimo sunkumas. Šio parametro skaitinė reikšmė yra santykis (visų kandidatų už šį klausimą surinktų taškų suma) (visų už šį klausimą teoriškai galimų surinkti taškų suma) Jei klausimas buvo vertinamas vienu tašku, tai jo sunkumas tiesiogiai parodo, kuri dalis kandidatų į tą klausimą atsakė teisingai; klausimo skiriamoji. Šis parametras rodo, kaip atskiras egzamino klausimas išskiria stipresniuosius ir silpnesniuosius kandidatus. Jei klausimas buvo labai lengvas ir į jį beveik vienodai sėkmingai atsakė ir stipresnieji, ir silpnesnieji, tai tokio klausimo skiriamoji maža. Panaši skiriamoji gali būti ir labai sunkaus klausimo, į kurį neatsakė taip pat beveik visi. Neigiama skiriamosios gebos reikšmė rodo, kad silpnesnieji (sprendžiant pagal visą egzamino užduotį) už tą klausimą surinko daugiau taškų nei stipresnieji (tai tikrai blogo klausimo požymis); klausimo koreliacija su visa užduotimi. Tai to klausimo ir visų užduoties taškų koreliacijos koeficientas (skaičiuotas Pirsono koreliacijos koeficientas). Šis parametras rodo, kuria dalimi atskiras klausimas matuoja taip, kaip ir visa užduotis. Aišku, daugiataškio klausimo koreliacija su visa užduotimi yra didesnė nei vienataškio. Visų matematikos valstybinio brandos egzamino užduočių sunkumo ir skiriamosios gebos priklausomybė pavaizduota 3 paveiksle (sunkumas horizontalioje ašyje, skiriamoji vertikalioje). 9 100 Tipas (D indeksas) 80 60 40 8 11 9 10 12 2 17 13 18 14 5 4 7 1 MCQ OEQ 15 3 20 16 20 6 0 20 40 60 80 100 3 paveikslas. Visų užduočių sunkumo ir skiriamosios gebos priklausomybė Toliau pateikiama egzamino užduoties klausimų statistinė analizė. 2007 m. BE užduoties statistinė analizė
Kiekvienas teisingai išspręstas uždavinys (1 6) vertinamas 1 tašku. 0 1 2 3 4 5 6 6,50 21,00 23,25 19,00 16,00 10,50 3,75 0,44 0,46 0,75 1. 2 2008 2 2007 = A 2 1004 B 2008 2007 2 C 2 2007 D 1 E 2 Atsakymų pasirinkimas (%) A B C* D E Neatsakė 2,50 11,75 66,25 6,25 12,50 0,75 0,60 0,63 0,64 2. Nurodykite funkcijos y = 4x2+4x2+10 reikšmių sritį. 10 1 A ; + 2 B [ 0; + ) C ( ; + ) D [ 9; + ) E [ 10;+ ) Atsakymų pasirinkimas (%) A B C D* E Neatsakė 12,25 7,00 32,00 32,75 12,50 1,50 0,16 0,46 0,58 3. Nurodykite, kokia yra funkcijos f (x) = cos2 x išvestinės reikšmė taške x = 3 π. A 3 B 3 C 3 2 4 D 1 4 E 1 Atsakymų pasirinkimas (%) A* B C D E Neatsakė 50,50 21,25 15,00 6,75 5,50 1,00 0,40 0,66 0,65 4. Kuri iš nubraižytų kreivių yra funkcijos y = 1 + x + 1 x grafiko eskizas? A y B y C y 2 2 2-1 1 x -1 1 x -1 1 x D y E y 2 2-1 1 x -1 1 x Matematika
Atsakymų pasirinkimas (%) A B C D E* Neatsakė 20,50 6,75 3,50 17,75 49,50 2,00 0,39 0,69 0,69 k 5. Skaičiai 18, 3 18, 18 nurodyta tvarka yra geometrinės progresijos nariai. Tuomet k yra: A 2 3 B 3 4 C 4 D 5 E 6 Atsakymų pasirinkimas (%) A B C D E* Neatsakė 8,50 4,25 31,00 4,75 49,75 1,75 0,43 0,76 0,72 6. Nurodykite, kiek nelyginių skaičių galima sudaryti iš skaičiaus 3694 skaitmenų, jeigu skaitmenys nesikartoja? A 12 B 24 C 30 D 32 E 64 11 Atsakymų pasirinkimas (%) A B C D* E Neatsakė 49,00 25,50 5,00 14,75 3,75 2,00 0,32 0,58 0,61 7. Išspręskite nelygybę: 1 3 x 1. 1 2x 0 1 2 21,75 36,00 42,25 0,60 0,63 0,64 8. Automobilis iš miesto A į miestą B nuvažiavo 30 km/h vidutiniu greičiu. Po to apsisuko ir grįžo atgal. Apskaičiuokite, koks vidutinis grįžimo greitis, jei visos kelionės vidutinis važiavimo greitis 35 km/h. 0 1 2 83,75 0,75 15,50 0,16 0,46 0,58 u u ur 9. Lygiagretainio ABCD kraštinių BC ir CD vidurio taškai yra K ir L. Vektorių KL uuur uuur uuur uuur išreikškite vektoriais m=ab ir n=ac B K C (2 taškai) (2 taškai) m n L 0 1 2 A D (2 taškai) 50,75 19,00 30,25 0,40 0,66 0,65 2007 m. BE užduoties statistinė analizė
lg(6x 5) 10. Išspręskite lygtį: = 1. 2lg x 0 1 2 3 51,75 3,50 21,25 23,50 0,39 0,69 0,68 (3 taškai) 11. Parašykite funkcijos f (x) = 2. e x grafiko liestinės, nubrėžtos per tašką M (0, 2), lygtį. 0 1 2 46,25 22,00 31,75 0,43 0,78 0,72 (2 taškai) 12. Į lygiašonę trapeciją įbrėžti 5 vienodo dydžio besiliečiantys skrituliai (žr. pav.). Skritulio spindulys yra lygus 4. Apskaičiuokite užspalvintos dalies plotą. 12 (4 taškai) 0 1 2 3 4 58,25 4,50 7,75 11,00 18,50 0,32 0,58 0,61 13. Išspręskite lygtį: ( 1 cos x) x + tg = 0. 2 0 1 2 3 51,75 18,75 24,75 4,75 0,28 0,56 0,74 (3 taškai) 14. Įrodykite, kad su visomis realiosiomis k reikšmėmis funkcijos f(x) = (x 2)(x 3) k 2 grafikas kerta Ox ašį dviejuose taškuose. (3 taškai) 0 1 2 3 32,75 25,50 14,75 27,00 0,45 0,69 0,70 15. Juvelyras gavo užsakymą pagaminti 38 gramų dirbinį, kurio aukso ir sidabro masių santykis 7:12. Savo dirbtuvėje jis turi du lydinius, kurių aukso ir sidabro masių santykiai atitinkamai yra 1:2 ir 2:3. Kiek gramų kiekvieno lydinio juvelyras turėtų paimti, kad su lydęs juos gautų norimos sudėties juvelyrinį dirbinį? (4 taškai) 0 1 2 3 4 29,50 23,75 4,00 2,50 10,25 0,45 0,69 0,70 Matematika
a 16. Jeigu trikampio ABC elementus sieja lygybė b = 1 2cosC a, tai trikampis yra lygiašonis. Įrodykite. B a c C 0 1 2 3 A b 80,75 12,75 1,00 5,50 0,10 0,27 0,54 (3 taškai) 17. Krepšelyje yra keturi saldainiai, kurie sveria atitinkamai 7, 8, 9 ir 10 gramų. Atsitiktinai paėmęs du saldainius, Jonas atiduoda sunkesnį draugui. Sakykime, atsitiktinis dydis X Jonui tekusio saldainio svoris. 13 0 1 2 3 4 26,75 22,00 11,00 11,50 28,75 0,48 0,59 0,45 1 1. Parodykite, kad P( X 8). 3 0 1 2 45,00 9,50 45,50 0,50 0,58 0,50 (2 taškai) 2. Raskite atsitiktinio dydžio X skirstinį. 0 1 64,50 35,50 0,36 0,62 0,53 3. Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X matematinę viltį. 0 1 42,50 57,50 0,58 0,58 0,45 (1 taškas) (1 taškas) 2007 m. BE užduoties statistinė analizė
18. Duotas stačiakampis gretasienis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. B1 C1 A1 D1 B C A D 0 1 2 3 4 5 6 26,50 19,50 10,25 7,25 8,50 14,00 14,00 0,42 0,73 0,82 14 1. Nubrėžta plokštuma, einanti per taškus A 1, D 1, C. Įrodykite, kad tiesė B 1 C 1 yra lygiagreti plokštumai A 1 D 1 CB. (1 taškas) 0 1 65,00 35,00 0,35 0,50 0,47 2. Plokštuma A 1 D 1 C su pagrindo ABCD plokštuma sudaro 30 kampą ir AB = a. Parodykite, kad AA 0 1 1 3 = a. 3 49,75 50,25 0,50 0,74 0,59 (1 taškas) 3. Įrodykite, kad iš visų stačiakampių gretasienių, 3 tenkinančių sąlygas AB = a, AA1 = a, AD = 2 a, 3 didžiausią tūrį turi gretasienis, kurio briauna AB = 4 3. (3 taškai) 0 1 2 3 49,50 10,50 12,50 27,50 0,39 0,82 0,78 4. Apskaičiuokite šio gretasienio tūrį. 0 1 53,50 46,50 0,47 0,71 0,59 (1 taškas) Matematika
19. Duota funkcija f ( x) 2x, kai x 0. 0 1 2 3 4 5 6 23,75 9,75 10,75 14,00 12,75 17,75 11,25 0,47 0,68 0,78 1 2 1. Parodykite, kad jos atvirkštinė funkcija g(x) = 2 x, kai x 0. 0 1 44,25 55,75 0,56 0,83 0,63 (1 taškas) 2. Raskite funkcijų f(x) ir g(x) grafikų susikirtimo taškų abscises. (2 taškai) 0 1 2 29,50 18,25 52,25 0,61 0,68 0,59 3. Apskaičiuokite plotą figūros, kurią riboja funkcijų f(x) ir g(x) grafikai. (3 taškai) 0 1 2 3 46,25 19,75 19,75 14,25 0,34 0,64 0,72 15 20. Iš natūraliųjų skaičių sudaromos grupės (1), (2, 3, 4), (5, 6, 7, 8, 9), (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16),..., kurių kiekviena baigiasi eilės numerio kvadratu. Apskaičiuokite m tosios grupės narių sumą. (4 taškai) 0 1 2 3 4 79,50 8,25 4,75 1,00 6,50 0,12 0,33 0,63 2007 m. BE užduoties statistinė analizė