3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija

Transcript

1 P R O J E K T A S VP--ŠMM-0-V-0-00 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS -9 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS, REIKALINGOS ŠIUOLAIKINIAM DARBO PASAULIUI modulis Funkcijos sąvoka Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija

2 Mokinių pasiekimai Nuostatos Suvokti, kad dauguma aplinkos reiškinių aprašomi įvairiomis funkcijomis Pajusti ir įsitikinti, kad funkcijų, jų savbių ir naudojimosi jomis principų suvokimas padeda suprasti, kodėl kiti mokslai taip plačiai taiko matematiką Esminiai gebėjimai Aprašti paprastas kasdienes situacijas funkciniais sąršiais, lgtimis, nelgbėmis ir lgčių sistemomis, vertinti gautus rezultatus Gebėjimai Taikti funkcijos savbes sprendžiant paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT priemonėmis Taikti laipsninių funkcijų k f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = savbes, sprendžiant paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT priemonėmis Taikti rodiklinės funkcijos savbes, sprendžiant paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT priemonėmis Taikti logaritminės funkcijos savbes, sprendžiant paprasčiausius praktinio ir matematinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT priemonėmis Žinios ir supratimas Pakartoti sąvokas: funkcija, funkcijos argumentas, funkcijos reikšmė, funkcijos apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis Sieti įvairius funkcijų reiškimo būdus Iš grafiko (eskizo) ir formulės nustatti funkcijos lginumą Mokėti nustatti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus Mokėti nustatti iš pateikto grafiko (eskizo) arba pateiktos formulės, su kuriomis argumento reikšmėmis funkcija įgja nurodtą reikšmę, funkcijos reikšmės ra teigiamos (arba neigiamos), funkcijos reikšmės didesnės (arba mažesnės) už nurodtą skaičių 5 Taikti funkcijų savbes (pvz, didėjimo, lginumo) sprendžiant paprastus praktinio turinio uždavinius 6 Užrašti tiesinę funkciją, kai žinomos dvi jos reikšmės nurodtuose taškuose Skaitti nubrėžtos laipsninės funkcijos grafiką (eskizą) Braižti laipsninės funkcijos grafiką (eskizą) ir atlikti funkcijos grafiko transformacijas Apskaičiuoti laipsninės funkcijos reikšmes Skaitti pateiktą rodiklinės funkcijos grafiką Brėžti rodiklinės funkcijos grafiką ir atlikti funkcijos grafiko transformacijas Spręsti paprastas rodiklines lgtis ir paprastas nelgbes, taikant laipsnių savbes Suprasti rodiklinės funkcijos ir geometrinės progresijos ršius Skaitti pateiktą logaritminės funkcijos grafiką Brėžti logaritminės funkcijos grafiką, atlikti funkcijos grafiko transformacijas Žinoti ir taikti logaritminės funkcijos savbes Spręsti paprasčiausias logaritmines lgtis ir nelgbes Turinio apimtis Funkcijos samprata Laipsninė funkcija Funkcijos samprata, funkcijos reiškimo būdai k Funkcijų =, =, =, grafikai (eskizai), savbės (apibrėžimo ir reikšmių sritis lginės, nelginės, didėjančios ir mažėjančios funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės) ir jų transformacijos (f() ± b, f( ± b)) Veiksmai su laipsniniais reiškiniais (pakartoti)

3 Rodiklinė funkcija Rodiklinė funkcija, jos savbės, grafikas ir transformacijos Paprastos rodiklinės lgts Paprastos rodiklinės nelgbės Rodiklinės funkcijos ir geometrinės progresijos ršiai Logaritminė funkcija Logaritminė funkcija, jos savbės, grafikas ir transformacijos Logaritminės funkcijos apibrėžimo sritis Paprasčiausių logaritminių reiškinių pertvarkmas (pakartoti) Paprasčiausios logaritminės lgts Paprasčiausios logaritminės nelgbės Rekomenduojamas paskirstmas valandomis Tema Valandų skaičius Įvadinė pamoka 0,5 Funkcijos samprata, funkcijos reiškimo būdai,5 k Funkcijų =, =, =, grafikai (eskizai), savbės (apibrėžimo ir reikšmių sritis) Lginės, nelginės, didėjančios ir mažėjančios funkcijos funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės) ir jų transformacijos (f() ± b, f( ± b)) Veiksmai su laipsniniais reiškiniais (pakartoti) Ši tema buvo nagrinėta modulje Apklausa raštu (-asis vertinimas) Rodiklinė funkcija, jos savbės, grafikas ir transformacijos Paprastos rodiklinės lgts Paprastos rodiklinės nelgbės Rodiklinės funkcijos ir geometrinės progresijos ršiai Ši tema buvo nagrinėta modulje Savarankiškas darbas (-asis vertinimas) Logaritminė funkcija, jos savbės, grafikas ir transformacijos Logaritminės funkcijos apibrėžimo sritis Paprasčiausių logaritminių reiškinių pertvarkmas (pakartoti) Ši tema buvo nagrinėta modulje Paprasčiausios logaritminės lgts Paprasčiausios logaritminės nelgbės Savarankiškas darbas (-asis vertinimas) Apibendrinimas Baigiamasis įskaitinis darbas Iš viso: 5 Vertinimo sistema: Apklausa raštu (-asis vertinimas) 6 Iš šių darbų vedamas vienas Savarankiškas darbas (-asis vertinimas) bendras pažms 6 Savarankiškas darbas (-asis vertinimas) 8 Baigiamasis įskaitinis darbas 5 Modulio įvertinimas vedamas iš dviejų pažmių Modulio įvertinimas Savarankiški darbai ir apklausos ( 6) Baigiamasis įskaitinis darbas (5)

4 Galima prie savarankiškų darbų ir apklausų balo pridėti ir neformalųjį vertinimą (pvz aktvus dalvavimas pamokose, diskusijose, pagalba klasės draugams ir pan) Moktojui skirti mokinių pasiekimų lgių požmiai Pagal toliau pateiktus mokinių žinių, supratimo ir gebėjimų vertinimo aprašus, moktojas numato mokinių pasiekimų vertinimo kriterijus Patenkinamas lgis (vertinant balais), atitinka 5, pagrindinis 6 8, aukštesnsis 9 0 balų Taikti funkcijos savbes, sprendžiant paprastus praktinius ir matematinius uždavinius, naudotis turimomis IKT priemonėmis Lgis Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnsis Žinios ir supratimas Pakartoti sąvokas: funkcija, funkcijos argumentas, funkcijos reikšmė, funkcijos apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis Sieti įvairius funkcijų reiškimo būdus Iš grafiko (eskizo) ir formulės nustatti funkcijos lginumą Mokėti nustatti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus Mokėti surasti iš pateikto grafiko (eskizo) arba pateiktos formulės, su kuriomis argumento reikšmėmis funkcija įgja nurodtą reikšmę, Pateikia funkcijų pavzdžių arba pavaizduoja grafiškai Skiria funkcijos argumento ir funkcijos reikšmės, funkcijos apibrėžimo srities ir funkcijos reikšmių srities sąvokas Atpažįsta funkciją, kai ji išreikšta lentele, grafiku arba formule Iš grafiko geba nustatti, ar funkcija ra lginė, ar nelginė Iš grafiko nustato funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus Iš grafiko geba rasti funkcijos reikšmę su nurodta argumento reikšme Įrašo į formulę nurodtą argumento reikšmę ir apskaičiuoja funkcijos reikšmę Remdamiesi grafiku nurodo, su kuriomis argumento reikšmėmis Supranta funkcijos, funkcijos argumento, funkcijos reikšmės, funkcijos apibrėžimo srities, funkcijos reikšmių srities sąvokas Taisklingai vartoja uždaro, atviro intervalo, apibrėžimo srities, reikšmių srities, funkcijos simbolius Paprastais atvejais geba pasinaudoti žiniomis apie funkciją naujose praktinėse situacijose Geba paprasčiausiais atvejais nubrėžti lentele išreikštos funkcijos grafiką grafiku išreikštą funkciją užrašo lentele Žino, kurios skirtingos savbės būdingos lginėms ir nelginėms funkcijoms Remdamiesi grafiku paaiškina, kodėl funkcija lginė arba nelginė kodėl funkcija tam tikrame intervale ra didėjanti arba mažėjanti Nagrinėja funkciją nurodtame kontekste remdamiesi grafiku arba formule Iš grafiko nustato su kuriomis argumento reikšmėmis funkcijos reikšmės didesnės arba mažesnės už nurodtą skaičių Nusako funkcijos apibrėžimą, paaiškina apibrėžimo ir reikšmių srtities sąvokas, pateikia pavzdžių Geba paprastais atvejais funkciją, išreikštą lentele arba grafiku, išreikšti formule Supranta lginės ir nelginės funkcijos apibrėžimus ir geba juos taikti Supranta funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervale apibrėžimus ir juos taiko Argumentuoja funkcijos įgjams savbes remdamiesi grafiku arba formule Iš formulės nustato, su kuriomis argumento reikšmėmis funkcijos reikšmės teigiamos arba neigiamos, didesnės araba

5 funkcijos reikšmės ra teigiamos (arba neigiamos), funkcijos reikšmės didesnės (arba mažesnės) už nurodtą skaičių 5 Taikti funkcijų savbes (pvz, didėjimo, lginumo) sprendžiant paprastus praktinio turinio uždavinius 6 Užrašti tiesinę funkciją, kai žinomos dvi jos reikšmės nurodtuose taškuose funkcija įgja teigiamas ir su kuriomis neigiamas reikšmes Nubraižo paprasčiausių funkcijų scheminius grafikus Nustato funkcijos mažiausią (arba didžiausią) reikšmę intervale Grafiniu būdu sprendžia paprasčiausiais lgtis ir nelgbes Geba užrašti tiesinę funkciją, kai žinomos dvi jos reikšmės nurodtuose taškuose A( ) ir B ( ), kai taškų koordinatės ra sveikieji skaičiai mažesnės už nurodtus skaičius Argumentuoja uždavinių sprendimą, taikdami funkcijų savbes Geba užrašti tiesinę funkciją, kai žinomos dvi jos reikšmės nurodtuose taškuose A( ) ir B ( ), kai taškų koordinatės ra racionalieji skaičiai k Taikti laipsninių funkcijų f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = savbes, sprendžiant paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT priemonėmis Lgis Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnsis Žinios ir supratimas Skaitti nubrėžtos laipsninės funkcijos grafiką (eskizą) Braižti laipsninės funkcijos grafiką (eskizą) ir atlikti funkcijos grafiko transformacijas Apskaičiuoti laipsninės funkcijos reikšmes Remdamiesi grafiku geba nurodti laipsninei funkcijai būdingas savbes Iš grafiko nurodo laipsninės funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis Nubrėžia laipsninės funkcijos grafiką pagal sudartą reikšmių lentelę Skaičiuotuvu apskaičiuoja laipsninių funkcijų reikšmes, jas palgina Skiria laipsnines funkcijas Suvokia laipsninei funkcijai būdingas savbes, geba jas nurodti remdamasis grafiku Geba pagal grafiką atpažinti paprasčiausios laipsninės funkcijos grafiką Argumentuotai parenka kelias reikšmes funkcijos grafiko eskizui brėžti, ir jį nubrėžia Geba naudotis turimomis IKT priemonėmis (MKP Parabola, Grafikas, Graphcalc ir kt) Randa laipsninės funkcijos reikšmes remdamiesi grafiku arba formule Supranta laipsninės funkcijos apibrėžimą Geba atskleisti sąršius tarp laipsninių funkcijų ir jų savbių Pateikia su laipsnine funkcija susijusių realių ddžių pavzdžių Atlieka laipsninės funkcijos f ( ) =, k f ( ) =, f ( ) = grafiko transformacijas f ( ) ± b, f ( ± b) Geba naudotis turimomis IKT priemonėmis 5

6 Taikti rodiklinės funkcijos savbes, sprendžiant paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT priemonėmis Lgis Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnsis Žinios ir supratimas Skaitti pateiktą rodiklinės funkcijos grafiką Brėžti rodiklinės funkcijos grafiką ir atlikti funkcijos grafiko transformacijas Spręsti paprastas rodiklines lgtis ir paprastas nelgbes, taikant laipsnių savbes Suprasti rodiklinės funkcijos ir geometrinės progresijos ršius Iš pateikto grafiko nurodo rodiklinės funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis Geba pagal grafiką atpažinti paprasčiausios rodiklinės funkcijos grafiką Nubrėžia rodiklinės funkcijos grafiką pagal sudartą reikšmių lentelę Sprendžia paprasčiausias rodiklines lgtis ir nelgbes Žino rodiklinės funkcijos išraišką Geba iš grafiko nusakti, kada rodiklinė funkcija ra didėjanti, kada mažėjanti, kuriuose intervaluose funkcijos reikšmės teigiamos, kuriuose neigiamos Parenka tinkamas argumento reikšmes, užpildo reikšmių lentelę, nubrėžia rodiklinės funkcijos grafiką Moka nubraižti rodiklinės funkcijos grafiko eskizą, kai a > ir kai 0 < a < Geba naudotis turimomis IKT priemonėmis(mkp Parabola, Grafikas, Graphcalc ir kt) Žino rodiklinių lgčių ir rodiklinių nelgbių sprendimo algoritmus Geba spręsti paprastas rodiklines lgtis ir nelgbes Geba atlikti rodiklinės funkcijos f ( ) = a grafiko transformacijas f ( ) ± b, f ( ± b) Geba naudotis turimomis IKT priemonėmis (Ecel skaičiuokle) Sprendžia rodiklines lgtis, kurioms taikomas nežinomojo keitimo būdas Geba spręsti paprasčiausius rodiklinės funkcijos taikmo uždavinius Supranta rodiklinės funkcijos ir geometrinės progresijos ršius Paprastais atvejais sudaro lgtį, kai sąlgoje nurodta formulė Taikti logaritminės funkcijos savbes, sprendžiant paprasčiausius praktinio ir matematinio turinio uždavinius, naudotis turimomis IKT priemonėmis Lgis Patenkinamasis Pagrindinis Aukštesnsis Žinios ir supratimas Skaitti pateiktą logaritminės funkcijos grafiką Iš pateikto grafiko nurodo logaritminės funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis Geba pagal grafiką atpažinti paprasčiausios Supranta logaritmo sąvoką Geba remiantis grafiku nusakti, kada logaritminė funkcija ra didėjanti, kada mažėjanti, kuriuose

7 Brėžti logaritminės funkcijos grafiką, atlikti funkcijos grafiko transformacijas Žinoti ir taikti logaritminės funkcijos savbes Spręsti paprasčiausias logaritmines lgtis ir nelgbes logaritminės funkcijos grafiką Nubrėžia logaritminės funkcijos grafiką pagal sudartą reikšmių lentelę Geba rasti paprasčiausios logaritminės funkcijos apibrėžimo sritį, pvz f ( ) = log ( 6) Geba spręsti paprasčiausias logaritmines lgtis, pvz log 5 = 5 intervaluose funkcijos reikšmės teigiamos, kuriuose neigiamos Parenka tinkamas argumento reikšmes, užpildo reikšmių lentelę, nubrėžia logaritminės funkcijos grafiką Moka nubraižti logaritminės funkcijos grafiko eskizą, kai a > ir kai 0 < a < Geba naudotis turimomis IKT priemonėmis(mkp Parabola, Grafikas, Graphcalc ir kt) Taiko logaritminės funkcijos savbes paprasčiausiais atvejais Žino, kada logaritminė funkcija ra didėjanti, kada mažėjanti Geba spręsti paprasčiausias logaritmines lgtis ir nelgbes log a f ( ) = log a g( ), (čia f ( ), g( ) pirmo arba antro laipsnio daugianariai) Geba spręsti paprasčiausias logaritmines nelgbes log a f ( ) b (čia reiškia >, <,, ) Geba pasinaudoti būdingais logaritminės funkcijos grafiko taškais (0) ir (a) braižant funkcijos grafiko eskizą Geba taikti logaritminės funkcijos savbes įvairioms paprastoms užduotims atlikti Geba naudotis turimomis IKT priemonėmis (Ecel skaičiuokle) Pritaiko logaritminės funkcijos savbes paparasčiausių uždavinių sprendimui argumentuoti Geba spręsti paprasčiausias logaritmines lgtis (suvedamas į kvadratinę, pvz log log + = 0 ) 7

8 Mokiniui skirti mokinių pasiekimų lgių požmiai Tema Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnsis Funkcijos samprata, funkcijos reiškimo būdai Galiu pateikti funkcijos pavzdį Moku iš grafiko nurodti funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritį Galiu atpažinti funkciją, jei ji išreikšta grafiku Suprantu ir moku atlikti tokias Nurodkite funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis: Paraškite, kuriuose atvejuose nubrėžtakreivė ra funkcijos grafikas: A B 5 5 C D Žinau funkcijos, funkcijos nepriklausomojo ir priklausomojo kintamojo sąvokas Žinau, kurio kintamojo reikšmės sudaro funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritį Galiu nurodti funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritį, kai ji išreikšta lentele, žodžiais, grafiku Suprantu ir moku atlikti tokias Nurodkite funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis: Kuria formule gali būti išreikšta funkcija? A = B = ± C = + Funkciją =, [ 0+ ) išreiškite lentele ir grafiku Nurodkite šios funkcijos apibrėžimo ir reiškmių sritis Kinetinę kūno energiją galima apskaičiuoti pagal formulę Galiu paaiškinti funkcijos, argumento, funkcijos reikšmės, funkcijos apibrėžimo srities, funkcijos reikšmių srities sąvokas Gebu nurodti funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritį, kai funkcija išreikšta skirtingais būdais Suprantu ir moku atlikti tokias Nurodkite funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis: 5 Užraškite lentele funkciją, kuri natūtaliajam skaičiui nuo iki 0 priskiria jo kvadrato reikšmę Nurodkite šios funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis Užraškite tiesės lgtį, kai žinome du jos taškus, pvz A( ) ir B ( ) 8

9 Funkcijų k =, =, =, grafikai (eskizai), savbės (apibrėžimo ir reikšmių sritis) 5 5 Žinau, kaip atrodoi laipsninės funkcijos grafikas Galiu nubrėžti laipsninės funkcijos grafiką Suprantu ir moku atlikti tokias Nurodkite laipsninės funkcijos grafikus: A B 5 5 mv E k = čia m kūno masė, v jo greitis Sportininkas, kurio masė 75 kg, dalvauja bėgimo varžbose Užraškite funkcija šio sportininko kinetinės energijos priklausombę nuo greičio Galiu išvardti laipsninės funkcijos savbes, kai nubrėžtas laipsninės funkcijos grafikas Gebu nubrėžti laipsninės funkcijos grafiką Suprantu ir moku atlikti tokias Remdamiesi grafiku, nurodkite laipsninės funkcijos savbes: Funkcijos apibrėžimo sritis { }, funkcijos reikšmių sritis{ 8 7} Išreikškite funkciją: a) žodžiais b) grafiku c) lentele d) formule Iš grafiko galiu išvardti laipsninių funkcijų savbes Gebu pateikti su laipsnine funkcija susijusių realių ddžių pavzdžių Suprantu ir moku atlikti tokias Iš grafikų nustatkite, kokios savbės būdingos nurodtoms funkcijoms: A C D Nubrėžkite funkcijų f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = grafikus Išvardkite savbes Remdamiesi grafiku, palginkite a) f() ir g() b) f(-) ir g(-) B 5 9

10 Lginės, nelginės, didėjančios ir mažėjančios funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės) ir jų transformacijos (f() ± b, f( ± b)) Nubrėžkite funkcijos f ( ) = grafiką Palginkite funkcijų f ( ) = ir g ( ) = reikšmes: a) f(0,0) ir g(0,0) b) f() ir g() c) f(-) ir g(0,0) Jei f ( ) =, tai f ( ) =? + 5 Funkcija išreikšta formule f ( ) = 6 Su kuriomis reikšmėmis teisinga lgbė f ( ) =? Iš grafiko galiu nustatti, ar funkcija ra lginė, ar nelginė Galiu iš grafiko nurodti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus Suprantu ir moku atlikti tokias Nurodkite, kuris grafikas ra lginės funkcijos, o kuris nelginės: 5 6 c) f(-) ir g() 5 Galiu papildti funkcijos grafiką, kai žinau jos lginumą Suprantu ir moku atlikti tokias Papildkite grafiką, kad jis būtų: a) lginės funkcijos b) nelginės funkcijos 5 6 Nurodkite, su kuria reikšme 5 5 Kubo kraštinė Užraškite kubo tūrį V() formule Apskaičiuokite V(), V(6) Galiu iš apibrėžimo nustatti, ar funkcija lginė, ar nelginė Gebu atlikti laipsninės funkcijos grafiko transformacijas f ( ) ± b, f ( ± b) Nustatkite, ar funkcija ra lginė, ar nelginė: a) f ( ) = b) f ( ) = Nubrėžkite funkcijos f ( ) = grafiką Remdamiesi šiuo grafiku, nubrėžkite grafikus: a) g ( ) = + b) h ( ) = ( ) Remdamasis grafiku, galiu rasti f ( ) > a, f ( ) < a, f ( ) a, f ( ) a Pagal duotą brėžinį nurodkite, su kuriomis reikšmėmis: 0

11 5 Pagal duotą brėžinį nurodkite : a) funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus b) su kuriomis argumento reikšmėmis funkcijos reikšmės ra teigiamos, o su kuriomis neigiamos? f() =, f ( ) 5 5 Brėžinje pavaizduotas funkcijos = f () grafikas a) f ( ) > b) f ( ) 0 Remdamiesi juo, atlikite šias a) raskite f (0) b) išspręskite lgtį f ( ) = 0 c) išspręskite nelgbę f ( ) < 0 d) nustatkite, su kuriomis reikšmėmis funkcijos reikšmė ra didesnė už 0 e) nustatkite, su kuriomis

12 Veiksmai su laipsniniais reiškiniais (pakartoti) Ši tema buvo nagrinėta modulje Rodiklinė funkcija, jos savbės, grafikas ir transformacijos Moku apskaičiuoti tokių reiškinių reikšmes: a) ( 0,) 0, b) ( ) (6 ) 6 c) 0 Žinau kokia formule reiškiama rodiklinė funkcija Skiriu rodiklinės funkcijos grafiką nuo kitų Moku atlikti tokias Nurodkite rodiklinės funkcijos grafikus ir pagal juos raskite funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis: A B 5 5 C D reikšmėmis funkcijos reikšmė ra lgi 5? Moku apskaičiuoti tokių reiškinių reikšmes: a) 0,5 ( ) + 7 b) 9 0 :, 5 Suprantu ir moku atlikti tokias Išreikškite laipsniu ir apskaičiuokite: a) b) (5 ) 7 Apklausa raštu (-asis vertinimas) Moku nubrėžti logaritminės 5 funkcijos g( ) = grafiką Galiu iš grafiko nusakti, kada logaritminė funkcija ra didėjanti, kada mažėjanti, kuriuose intervaluose funkcijos reikšmės teigiamos, kuriuose neigiamos: Moku apskaičiuoti tokių reiškinių reikšmes: a) ( ) (7,5) (0,) b) Galiu atlikti rodiklinės funkcijos grafiko transformacijas f ( ) ± b, f ( ± b) Suprantu ir moku atlikti tokias Nubrėžkite funkcijos f ( ) = grafiką Remdamiesi šiuo grafiku, nubrėžkite funkcijų g ( ) = + ir + h( ) = grafikus Remdamiesi nubrėžtų funkcijų g () ir h() grafikais, išvardinkite šių funkcijų

13 Nubrėžkite rodiklinės funkcijos f ( ) = grafiką savbes Rodiklinės lgts, jų sprendimo būdai Rodiklinės nelgbės, jų sprendimo būdai Gebu spręsti paprasčiausias rodiklines lgtis: a) 5 = 5 b) = c) 5 = d) = 8 Moku spręsti paprasčiausias rodiklines nelgbes: 7 a) 8 8 b) 8 < 7 c) < Gebu spręsti paprastas rodiklines lgtis: + a) 00 6 = 0 b) = 9 5 c) 0 = (0,0) d) 0,5 = e) + 6 = 967 Moku spręsti paprastas rodiklines nelgbes: a) 7 7 b) + Gebu spręsti tokias rodiklines lgtis a) = 7 b) c) = = 7 5 d) 5 = 8 9 Suprantu ir moku atlikti tokias Raskite funkcijų f ( ) = 00 ir f ( ) = 0 + grafikų susikirtimo taškų abscises Moku spręsti paprastas rodiklines nelgbes: 0+ a) ( 0,7) ( 0,7) b) 0 0,

14 Rodiklinės funkcijos ir geometrinės progresijos ršiai Ši tema buvo nagrinėta modulje Logaritminė funkcija, jos savbės, grafikas ir transformacijos Žinau kokia formule reiškiama logaritminė funkcija Skiriu logaritminės funkcijos grafiką nuo kitų Moku atlikti tokias užduotis Nurodkite logaritminės funkcijos grafikus ir pagal juos raskite logaritminės funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritis: A B C D 6 c) < ( ) 5 Moku spręsti tokias Klientas atsidarė sąskaitą banke, kuris moka proc metinių palūkanų Apskaičiuokite: a) kiek pinigų bankas išmokės klientui po 5 metų, jeigu pradinis jo indėlis ra 900 Lt b) kiek pinigų priaugs klientui per 5 metus, jeigu jo pradinis indėlis bus 000 Lt? Savarankiškas darbas (-asis vertinimas) Žinau logaritmo sąvoką Moku nubrėžti logaritminės funkcijos f ( ) = log grafiką Galiu iš grafiko nusakti, kada logaritminė funkcija ra didėjanti, kada mažėjanti, kuriuose intervaluose funkcijos reikšmės teigiamos, kuriuose neigiamos c) 6 ( ) Suprantu ir moku spręsti tokias Išgėrus dozę vaistų, jų koncentracija kraujje sudaro 50 mg/l Vaistų koncentracija kraujje priklauso nuo laiko t Šį jos kitimą apibūdina 0,5t formulė f ( t) = 50,7 čia t reiškiamas valandomis Apskaičiuokite: a) vaistų koncentraciją kraujje po valandų b) po kelių valandų vaistų koncentracija sumažės perpus? Gebu pasinaudoti logaritminės funkcijos savbėmis paprastų uždavinių sprendimams argumentuoti Nubraižkite funkcijos g( ) = log grafiko eskizą ir remdamiesi juo nustatkite, kuris skaičius mažesnis: a) log 6 ar log b) log ar log 0, 5 Nubraižti funkcijų = log ir = log grafikai Įsižiūrėję į juos atlikite tokias a) nustatkite kuris grafikas, kurią funkciją vaizduoja b) nustatkite, kurios funkcijos

15 5 5 Nubrėžkite logaritminės funkcijos ( ) = log grafiką f 5 reikšmė taške = ra didesnė c) išsiaiškinkite, kuriame taške ( ) funkcijų reikšmės sutampa Logaritminės funkcijos apibrėžimo sritis Paprasčiausių logaritminių reiškinių pertvarkmas (pakartoti) Moku rasti funkcijos f () apibrėžimo sritį: a) f ( ) = log ( + 7) b) f ( ) = log (6 ) Moku apskaičiuoti tokių reiškinių reikšmes: a) log 7 7 b) log 6 6 c) lg 0000 d) log e) log Moku rasti funkcijos f () apibrėžimo sritį: a) f ( ) = log ( + ) 6 b) f ( ) = log ( ) 9 + Moku apskaičiuoti tokių reiškinių reikšmes: a) log 9+ log 7 b) lg c) log d) log log Moku rasti funkcijos f () apibrėžimo sritį: a) f ( ) = log (6+ ) 5 b) f ( ) = lg( ) 5 Moku apskaičiuoti tokių reiškinių reikšmes: log 5 6 a) 5 8 (log7 9 ) b) + 7+ (log7 9 ) c) 0 lg0 0 + lg00 ( ) 5

16 Logaritminės lgts, jų sprendimo būdai Paprasčiausios logaritminės nelgbės, jų sprendimo būdai Moku spręsti paprasčiausias logaritmines lgtis: a) log 5 = 0 b) log = (5 ) log c) log + = Moku spręsti paprasčiausias logaritmines lgtis: a) log6 ( + 5) = b) lg = lg(5) lg5 c) lg + lg( + ) = Moku spręsti paprastas logaritmines nelgbes : a) log > 5 b) log () log ( + 8) Savarankiškas darbas (-asis vertinimas) Moku spręsti paprasčiausias logaritmines lgtis: a) log 6log + 8= 5 b) log ( ) = 9 Moku spręsti paprastas logaritmines nelgbes : a) log0, < log 0, (+ ) b) log ( + ) > Suprantu ir moku atlikti tokias Su kuriomis reikšmėmis funkcijos f ( ) = log5 ( 6+ ) grafikas ra žemiau O ašies? 6

17 Laisvai pasirenkamas matematikos modulis Funkcijos Įvadas Šis modulis skiriamas klasių akademinių polinkių mokiniams, siekiantiems gilesnių matematikos žinių, besidomintiems matematika, dalvaujantiems (norintiems dalvauti) matematiniuose konkursuose, olimpiadose Modulis pasirenkamas pačių mokinių Jis padės mokiniams suvokti funkcijas kaip konkrečių funkcijų visumą, sudars sąlgas pajusti, kaip funkcijos persmelkia matematiką ir apskritai visą tikrovę Neabejotinai padės išsamiai pasirengti matematikos valstbiniam egzaminui ir būsimoms studijoms Nuostatos Suvokti, kad kuo daugiau lgčių modelių, jų sprendimo būdų ir algoritmų gebame taikti, tuo didesnį pasirinkimą įgjame spręsti įvairias problemas Suvokti funkcijų grafikų kitimo dėsningumus ir jų pritaikomumą Suprasti funkcijų klasifikavimo sistemą, jų savbių taikmo svarbą sprendžiant matematinius ir praktinius uždavinius Suprasti trigonometrinių funkcijų svarbą, kai tenka spręsti praktines arba tarpdalkines užduotis Suprasti, kaip mokdamiesi matematikos galime tobulinti savo gebėjimus spręsti įvairius uždavinius, ugdtis mokslinę mąstseną, vadovautis racionalaus mąstmo ir veiklos principais Didaktinės nuostatos Ugdmo turins individualizuojamas pagal mokinio pasiekimų lgį Padedama suvokti, kodėl nagrinėjamieji faktai ra svarbūs ir reikalingi Atskleidžiama, kaip susiję tarsi tolimi matematikos klausimai Gilus individualizavimas Nuolatinis įsisavinimo kontroliavimas Atskleidžiama, kaip siejamos naujos žinios su turimomis, parodoma kaip įgtas žinias pritaikti teorinėms, tarpdalkinėms ir praktinėms reikmėms Taikomi mokinių savarankiškumą ir bendradarbiavimą skatinants mokmo metodai: indėlio metodai, projektai, darbas grupėmis, rezultato arba pasekmių metodai Modulio trukmė Šio modulio trukmė 5 valandos Mokinių pasiekimai Nuostatos Suvokti matematinės simbolikos grožį ir universalumą, matematinių modelių ir metodų pritaikomumą įvairiose žmogaus veiklos sritse Suvokti didžiulę funkcijų įvairovę Išsklaidti dažnai pasitaikantį nepasitikėjimą funkcija, kaip sudėtinga matematikos sąvoka Esminiai gebėjimai: Įpratimas taikti funkcinį požiūrį naujoje situacijoje Gebėjimai Žinios ir supratimas Taikti funkcijos savbes sprendžiant praktinio, matematinio ir teorinio turinio uždavinius Analiziniu būdu nustatti didėjimo, mažėjimo ir pastovumo intervalus Nustatti funkcijos lginumą algebriniu būdu Nustatti funkcijos toldumą analiziniu būdu Nubrėžti funkcijos grafiką arba jo eskizą ir atlikti transformacijas Turint funkcijos f() grafiką, nubrėžti funkcijų f( m) ± b, f( ± m), af( ), f(a),,, af( ), f( ) grafikus 5 Nusakti funkcijai atvirkštinės funkcijos egzistavimo sąlgas Iliustruoti ršį tarp funkcijos ir jai atvirkštinės funkcijos grafikų 6 Patikrinti, ar dvi funkcijos ra viena kitai atvirkštinės Rasti atvirkštinę funkciją 7 Paaiškinti funkcijos toldumą 7

18 Taikti trigonometrinių funkcijų (sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento) bei joms atvirkštinių funkcijų savbes Taikti laipsninės, rodiklinės ir logaritminės funkcijos savbes matematinio, praktinio ir teorinio turinio uždaviniams spręsti Analizuoti ir spręsti:funkcines, toldžiųjų funkcijų, diferencijuojamų funkcijų lgtis Mokėti įrodti trigonometrinių funkcijų sąršius ir taikti pertvarkant nesudėtingus trigonometrinius reiškinius Mokėti ir taikti arcsin, arccos, arctg, arcctg apibrėžimus, savbes Nubrėžti trigonometrinių funkcijų grafikus (ir jų eskizus), atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikus, juos transformuoti Spręsti įvairias trigonometrines lgtis ir nelgbes 5 Aprašti trigonometrinėmis funkcijomis, lgtimis ir nelgbėmis nesudėtingas praktines ir matematines situacijas Brėžti laipsninės, rodiklinės ir logaritminės funkcijos grafikus, atlikti jų transformacijas: f( m) ± b, f( ± m), af( ), f(a),,, af( ), f( ) Nusakti ir mokėti įrodti laipsninės, rodiklinės ir logaritminės funkcijų (taip pat pagrindu e) savbes Taikti laipsninės, rodiklinės ir logaritminės funkcijų savbes sudėtingiems uždaviniams spręsti ir sprendimui pagrįsti Sudarti ir spręsti nesudėtingas rodiklines ir logaritmines lgtis, lgčių sistemas bei nelgbes 5Taikti rodiklinės ir logaritminės funkcijų savbes populiacijos augimo, radioaktviojo skilimo, sudėtinių palūkanų uždaviniams spręsti Suprasti ir teisingai apibrėžti sąvokas: funkcinė lgtis, funkcinės lgties sprendins Suvokti funkcinės lgties sprendinių paieškos procesą Spręsti nesudėtingas funkcines lgtis Vertinimas ĮskaitaUždavinio pasirinkta tema sprendimo pristatmas Pristatto darbo aptarimas ir diskusija Turinio apimtis Funkcija Apibrėžimo sritis Grafikas Funkcijos monotoniškumas, didžiausia ir mažiausia reikšmės Funkcijos reikšmių sritis Atvirkštinės funkcijos Iškilosios funkcijos ir nelgbės 5 Lgčių, nelgbių ir jų sistemų ekvivalentumas 6 Simetrinių lgčių sistemos 7 Lgčių ir nelgbių sprendimas taikant funkcijų savbes 8 Trigonometrinės lgts ir nelgbės 9 Trigonometrinių keitinių taikmas sprendžiant uždavinius 0 Funkcinės lgts Įskaita Uždavinio pasirinkta tema sprendimo pristatmas Pristatto darbo aptarimas ir diskusija Teminis planas Tema Funkcija Apibrėžimo sritis Funkcijos reikšmių sritis Grafikas Funkcijos monotoniškumas, didžiausia ir Pamokų Pastabos skaičius 5 Jaunajam matematikui,, 6 p 9, p 8 0, p 0 8

19 mažiausia reikšmės Atvirkštinės funkcijos Jaunajam matematikui p 0 Lgčių, nelgbių ir jų sistemų ekvivalentumas 5 Jaunajam matematikui, 8, 6, 5 p 57 6, 6 5, p 50, p5 60 Trijų ir daugiau kintamųjų lgčių wwwmifvult/ljmm/ sistemos Lgčių ir nelgbių sprendimas taikant funkcijų savbes Trigonometrinės tapatbės, lgts ir nelgbės Jaunajam matematikui 9, 8 p 8, p 58 6 wwwmifvult/ljmm/ Jaunajam matematikui 8,, wwwmifvult/ljmm/ p 78-85, p Funkcinės lgts 7 wwwmifvult/ljmm/ J J Mačs Susipažinkite: funkcinės lgts Alfa + omega, 999 m Nr(7), 5 58 p Įskaita 5 MATEMATIKA modulis Realieji skaičiai ir reiškiniai Sekos Apibendrinamasis darbas 0 m Balandžio 0 d Atsiskaitomojo darbo trukmė val NURODYMAI Apibendrinamojo darbo metu leidžiama naudotis tamsiai mėlnai rašančiu rašikliu, pieštuku, trintuku, braižbos įrankiais ir skaičiuotuvu be tekstinės atminties Koregavimo priemonėmis naudotis draudžiama Bendrojo kurso patenkinamo lgio uždaviniai pažmėti P Stenkitės išspręsti kuo daugiau uždavinių, neatsižvelgdami į tai, pagal kokį mokmosi pasiekimų lgį mokėtės Uždavinių sprendimus raškite aiškiai, tvarkingai ir įskaitomai Atsakmas, pateiktas be sprendimo, bus vertinamas 0 taškų Galite naudotis valstbinio matematikos egzamino formulėmis Linkime sėkmės! P Skaičius paraškite standartine išraiška: a) b) 0,0008 (taškai) P Laurno matematikos pažmių aibė L = {,6,7,8,0}, o Marijos M = {,,,6,7} Raskite L M ir L M (taškai) Apskaičiuokite reiškinių reikšmes: log 7 5 : log 9 (taškai) 7 9

20 5, (taškai) P 5, 6 (taškas) P Duoti skaičiai,, π, 5, 6,() Paraškite: 7 Kokiai skaičių aibei priklauso visi šie skaičiai (taškas) Suraškite šiuos skaičius mažėjimo tvarka (taškas) 5 Lentelėje pateikti dviejų vairavimo mokklų rezultatai Egzaminą Mokkla Mokkla P Papildkite lentelę trūkstamais išlaikiusiųjų Vairuojame Išmok duomenimis ir (taškai) skaičius vairuoti Kuri mokklą Vairuojame baigusių Iš karto 0 0 vairuotojų dalis (procentais) vairavimo Iš karto 70 egzaminą išlaikė iš antro karto? (taškas) Iš karto 0 5 Kuri abiejų vairavimo mokklas baigusių Iš viso 90 vairuotojų dalis (procentais) egzaminą išlaikė iš pirmo karto? (taškas) 6 Suprastinkite reiškinį: P 6 p ( p) 5 8 (taškai) c b+ c 6 b c c (taškai) P 7 Išskaidkite dauginamaisiais: (taškas) 8 Atskliauskite : ( a b)( a b ) (taškai) 9 Ką reikėtų parašti vietoj daugtaškio, kad būtų teisinga lgbė ( a ) + b = a + + b? (taškas) 0 Jei s= gt, tai t = (taškai) Raskite reiškinio apibrėžimo sritį: P 6 (taškas) + a (taškas) Reiškinį ( a+ b) + a+ b išskaidkite dauginamaisiais grupavimo būdu (taškai) Studentas į banką pasidėjo 000 litų Bankas moka 7 procsudėtinių metinių palūkanų Kiek litų atsiėmė studentas po dvejų metų? (taškai) Sūnus dvidešimt ketveriais metais jaunesnis už mamą, o tėtis trejais metais už ją vresnis Kiek tėčiui metų, jei sūnui 0 metų? (taškai) 0

21 5 Penkių skaičių aritmetinis vidurkis ra 7 Pridėjus šeštąjį, visų skaičių aritmetinis vidurkis tapo 7,5 Koks ra šeštasis skaičius? (taškai) 6 Viltės žingsnio ilgis ra 50cm, Agnės 0cm, o Manto 0cm Draugai vienu metu iš tos pačios vietos pradeda eiti ta pačia krptimi 6 Kas kiek metrų jų žingsniai sutaps? (taškai) 6 Kiek žingsnių nužengs kiekvienas iš draugų, kai jų žingsnai sutaps pirmą kartą? (taškas) a, kurios a = 0, a 5 = Raskite šios progresijos skirtumą (taškai) 8 Apskaičiuokite nkstamosios geometrinės progresijos sumą, jei jos pirmasis nars = 6, o vardiklis q = (taškas) P 9 Yra žinomi du pirmieji geometrinės progresijos nariai 68 Raskite kitus keturis jos narius (taškas) n P 0 Seka apibrėžta formule a n = Raskite pirmuosius penkis šios sekos narius (taškas) n + Aritmetinės progresijos n-tasis nars išreikštas formule = 0,5n+ Apskaičiuokite šios P 7 Duota aritmetinė progresija ( ) n progresijos skirtumą ir a 8 (taškai) Duota skaičių seka 8 Kiek ra sekos narių, mažesnių už 00? (taškai) Geometrinės progresijos ( b n) pirmasis nars lgus 6, o vardiklis q = Apskaičiuokite šios progresijos pirmųjų šešių narių sumą (taškai) Aritmetinės progresijos n-tasis nars išreikštas formule a n = 5n Ar skaičius 6 ra šios progresijos nars? Atsakmą pagrįskite (taškai) 5 Agnė treniruojasi bėgimo varžboms Per pirmą treniruotę ji nubėgo km, o per kiekvieną kitą treniruotę 00 metrų daugiau negu prieš tai buvusią Per kelintą treniruotę ji nubėgs 5 km? (taškai) 6 Apskaičiuokite visų dviženklių skaičių sumą (taškai) 7 Suprastinkite reiškinį ( ) ( ) a+ b + a b ir užbrūkšniuokite tą parodtos figūros dalį, kurios plotą jis atitinka a n (taškai)