Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: N Αρχή D Alembert: ( F i m i "" r ) δ r i i = 0 i=1 για σύστημα με k ολόνομους δεσμούς και n=n-k γενικευμένες συντεταγμένες q i : d r i = θεωρώντας δυνητικές μετατοπίσεις (dt=0): δ r i = καταλήξαμε: n i=1 d dt T q i T Q i δ q i = 0 q i και ορίσαμε την γενικευμένη δύναμη: Q i = N j=1 F j r j q i d T εφόσον δq i ανεξάρτητα: dt q i T Q i = 0 q i V Για συντηρητικές δυνάμεις F = V Q i = j r j n j=1 n j=1 r i q j dq j r i q j δ q j + r i t χωρίς δυνάμεις δεσμών r j q i = V q i
Τι θα δούμε σήμερα q Αρχή D Alembert σε συστήµατα µε δυνάµεις τριβής q Αρχή του Hamilton Ø θα εξάγουμε και πάλι τις εξισώσεις Lagrange q Εύρεση των δυνάμεων δεσμών: Ø πολλαπλασιαστές Lagrange (Lagrange multipliers)
Δυνάμεις τριβής ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 3 Όταν βγάλαμε τις εξισώσεις Lagrange αποφύγαμε τις δυνάμεις τριβής. Στην ακρίβεια αυτό που κάναμε ήταν να διαχωρίσουμε τη ολική δύναμη σε κάθε υλικό σημείο σε F i F (e) i + f i και υποθέσαμε ότι: f i δ r i = 0 όπου f i οι δυνάμεις δεσμών i Δηλαδή συμπεριλάβαμε στην F i όλες τις δυνάμεις για τις οποίες F i δ r i 0 Σε μια τουλάχιστον πρακτική περίπτωση, μπορούμε να συμπεριλάβουμε δυνάμεις τριβής στο φορμαλισμό Lagrange. Ø Δυνάμεις τριβής ανάλογες της ταχύτητας: F = 1 2 i k x v 2 ix + k y v 2 2 ( iy + k z v iz ) F fi x = k x v ix Εμφανίζεται συχνά (π.χ. αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση) Επομένως: F fi a = F v ia όπου α =x,y,z Διανυσματικά: F fi a = v F Η γενικευμένη δύναμη σ αυτή την περίπτωση είναι: Q j = i F fi r i q j Q j = F r i i r i q j Δυναμική ενέργεια Rayleigh Θυμηθείτε ότι: r i q j = r i q j i
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 4 Δυνάμεις τριβής Επομένως καταλήγουμε ότι: Θέτοντας: Q j = i q j L = T V όπου V από συντηρητικές δυνάµεις καταλήγουµε: d T dt q j T + V + F = 0 d L q j q j q j dt q j L + F = 0 q j q j F Ø O όρος εξαρτάται από την γενικευμένη ταχύτητα αλλά q j δεν εισέρχεται στην παράγωγο ως προς χρόνο του 1 ου όρου Ποια είναι η φυσική σημασία αυτής της συνάρτησης F Θεωρήστε το έργο που παράγει το σύστημα ενάντια στην τριβή: dw f = F f d r = F f vdt = F fa v a dt = k a v a 2 dt dw f dt = 2 1 2 a k a v a 2 = 2F a=x,y,z Δηλαδή: 2F είναι ο ρυθμός διάχυσης της ενέργειας. F a
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 5 Μή συντηρητικές δυνάμεις q Μια δύναμη F είναι συντηρητική αν ικανοποιεί τις ακόλουθες 2 συνθήκες: Ø Η F εξαρτάται μόνο από τη θέση του σωματιδίου όχι από την ταχύτητά του F = F( v, r ή το χρόνο t, ή κάποια άλλη μεταβλητή Δηλαδή ) Ø Για δυο οποιαδήποτε σημεία 1 και 2, το έργο W(1->2) που παράγεται από τη δύναμη F είναι το ίδιο για οποιαδήποτε διαδρομή μεταξύ 1 και 2 q Η πρώτη συνθήκη ισοδυναμεί με το να γράψουμε F = U(r) 2 q Η δεύτερη συνθήκη, ότιw 12 = F d r ανεξάρτητο της διαδρομής 1 ικανοποιείται αν ο στροβιλισμός της δύναμης είναι 0 δηλαδή: F = 0 q Όταν οι δυνάμεις που δρουν σε ένα σύστημα είναι συντηρητικές τότε όπως ξέρουμε η μηχανική ενέργεια διατηρείται.
Δυναμική ενέργεια εξαρτώμενη από το χρόνο F = 0 q Μερικές φορές μπορεί να έχουμε και επομένως δεν ικανοποιείται η πρώτη συνθήκη q Μπορούμε και πάλι να F = U ορίσουμε μια δυναμική ενέργεια με την ιδιότητα F = 0 ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 6 U = U( r,t) Επομένως μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτησηu = U( r,t) U( r,t) r = F( r 1,t) d r F( r,t) = U( r,t) τέτοια ώστε r 0 Ø Στην περίπτωση αυτή όμως: du( r,t) = U U U dx + dy + x y z dz + U t dt du( r,t) = F d r + U t dt Η μεταβολή στη κινητική ενέργεια είναι: dt = dt dt dt = m v " ( v )dt = F d r Προσθέτοντας τις 2 σχέσεις έχουμε: d T + U αλλά η F εξαρτάται από το χρόνο Ø Στην περίπτωση αυτή η ολική μηχανική ενέργει, E, δεν διατηρείται q Το γεγονός ότι σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα έργου κάποια στιγμή t είναι ανεξάρτητο της διαδρομής ( ) = de = U t dt E δεν διατηρείται
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 7 Χώρος μορφής configuration space ü H εξίσωση Euler-Lagrange γενικεύεται για ένα αυθαίρετο αριθμό εξαρτημένων μεταβλητών q i (t) Ø Η ανεξάρτητη μεταβλητή στη μηχανική είναι ο χρόνος t. ü Οι γενικευμένες συντεταγμένες q 1,,q n περιγράφουν πλήρως την κατάσταση του συστήματος σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή Ø Σκεφθείτε ένα χώρο n-διαστάσεων χώρος μορφής Ø Κάθε σημείο στο χώρο αυτό (q 1,,q n ) αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη κατάσταση του συστήματος Ø Καθώς το σύστημα εξελίσσεται χρονικά à διαδρομή στο χώρο μορφής πραγματικός χώρος θεσεογραφικός χώρος
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 8 Ολοκλήρωμα δράσης q Ένα σύστημα κινείται σύμφωνα με q j =q j (t) j=1,,n q To ολοκλήρωμα S του οποίου η στάσιμη τιμή προσδιορίζει την εξέλιξη ενός μηχανικού συστήματος καλείται ολοκλήρωμα δράσης q Η ολοκληρώσιμη ποσότητα είναι η Lagrangian L και είναι ολοκληρώνοντας L(q, q,t) = L(q(t), q(t),t) = L(t) S = Ldt Δράση ή ολοκλήρωμα δράσης q Η δράση εξαρτάται από ολόκληρη την διαδρομή από το στο Ø H εκλογή των συντεταγμένων q j δεν επηρεάζει Ø Η δράση είναι ανεξάρτητη κάτω από μετασχηματισμούς συντεταγμένων
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 9 Η αρχή του Hamilton Tο ολοκλήρωμα δράσης ενός φυσικού συστήματος είναι στάσιμο για την πραγματική διαδρομή S = L(q(t), q(t),t)dt δs = δ L(q(t), q(t),t)dt = 0 Ø Αυτό είναι ισοδύναμο με τις εξισώσεις Lagrange Επομένως έχουμε 3 ισοδύναμους φορμαλισμούς Ø Εξισώσεις του Newton εξαρτώνται πλήρως από x-y-z συντεταγμένες q Οι εξισώσεις Lagrange είναι ίδιες για οποιεσδήποτε γενικευμένες συντεταγμένες Ø Η αρχή του Hamilton δεν αναφέρεται σε συντεταγμένες Τα πάντα βρίσκονται στο ολοκλήρωμα δράσης
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 10 Στάσιμο ή στατικό ολοκλήρωμα q Φανταστείτε δυο διαδρομές οι οποίες είναι πολύ κοντά μεταξύ τους Η διαφορά τους είναι απειροελάχιστη q Στάσιμο ολοκλήρωμα σημαίνει ότι η διαφορά των ολοκληρωμάτων δράσης είναι μηδέν κατά πρώτη προσέγγιση ως προς δq(t) Ø Ανάλογο του «πρώτη παράγωγος = 0» v Σχεδόν ίδιο σα να λέμε «ελάχιστο» δs = L(q + δq, q + δ q,t)dt L(q, q,t)dt = 0 Θα μπορούσε να ναι και μέγιστο χώρος μορφής q(t) q(t)+δq(t) Τα ακραία σημεία της διαδρομής 1 και 2 είναι σταθερά: δq( ) = δq( ) = 0
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 11 Απειροελάχιστη μεταβολή τροχιάς q Τι είναι δq(t); Ø Είναι αυθαίρετη... Σχεδόν χώρος μορφής Ø Πρέπει να είναι μηδέν στα και Ø Συμπεριφέρεται πολύ καλά q(t) Συνεχής, μη απειριζόμενη συνεχείς 1 ες και 2 ες παράγωγοι q Πρέπει να τη συρρικνώσουμε σε μηδέν q(t)+δq(t) Ø Το τέχνασμα είναι να την γράψουμε ως δq(t) = aη(t) q(t,α) = q(t)+αη(t) Ø α είναι μια παράμετρος, την οποία θα κάνουμε να πηγαίνει στο 0 Ø η(t) είναι μια καλώς συμπεριφερόμενη αυθαίρετη συνάρτηση Ø η( ) = η( ) = 0 Η δράση θα ναι S(a) L( q(t, a), q(t, a),t )dt Εξαρτάται από το η(t)
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 12 Λογισμός μεταβολών q Ορίσαμε S(a) q Αν η δράση είναι στάσιμη ds(a) da = L q dq da + L q L( q(t, a), q(t, a),t )dt d q da dt ds(a) da a=0 = 0 Για οποιοδήποτε η(t) = πράξεις L q d dt =η(t) L q Αυθαίρετη συνάρτηση q(t,a) = q(t) + aη(t) dq da dt Ο 2 ος όρος με ολοκλήρωση κατά μέρη δίνει: L d q q da dt = L d dq q dt da dt = L dq d L dq q da t1 dt q da dt 0 Επειδή dq da = η(t) και η( ) = η( ) = 0
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 13 Εξίσωση Lagrange Θεμελιώδες Λήμμα: x 2 M ( x)η( x)dx = 0 x 1 q Παίρνουμε: t L q d 2 L dt q η(t)dt = 0 για κάθε η(x) M (x) = 0 για x 1 < x < x 2 L q d dt π.χ. α-παράγωγος στο α=0 δs ds da da = d L(q(t, a), q(t, a),t)dt a=0 da δq dq da da = η(t)da a=0 ( ) da H αρχή του Hamilton μπορεί να γραφεί L q = 0 q Για συντομία χρησιμοποιούμε το συμβολισμό δ για τις απειροελάχιστες μεταβολές Εξίσωση Lagrange δs L q d dt L q δqdt
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 14 Δουλεύοντας με n-συντεταγμένες q Η προηγούμενη μεθοδολογία µπορεί να αναπτυχθεί για περισσότερες συντεταγμένες q à q 1,,q n δ S i L q i d dt L q i δ q i dt =0 για κάθε i Υπόθεση: δq 1,δq 2, είναι αυθαίρετα και ανεξάρτητα Ø Δεν ισχύει για x-y-z συντεταγμένες αν υπάρχουν δεσμοί Ø Ισχύει για γενικευμένες συντεταγμένες αν το σύστημα είναι ολόνομο
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 15 Η αρχή του Hamilton δs = δ L(q, q,t)dt = 0 Ø H δράση S, περιγράφει όλη την κίνηση του συστήματος Είναι αρκετό να εξαγάγουμε τις εξισώσεις κίνησης Ø Η δράση S, δεν εξαρτάται από την εκλογή των συντεταγμένων Ο φορμαλισμός Lagrange είναι αναλλοίωτος από εκλογή συντεταγμένων Οι εξισώσεις Lagrange και η αρχή του Hamilton είναι ισοδύναμες Ωστόσο: Οι εξισώσεις Lagrange είναι διαφορικές εξισώσεις. Μας λένε πως θα εξελιχθεί χρονικά το σύστημα παίρνοντας κάθε φορά απειροστά χρονικά βήματα Η αρχή του Hamilton είναι ολοκληρωτική. Απαιτεί το σύστημα να λάβει υπόψην διάφορες κινήσεις από την αρχή ως το τέλος του χρονικού διαστήματος και να επιλέξει την διαδρομή που κάνει το ολοκλήρωμα δράσης στάσιμο
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 16 Η αρχή του Hamilton Πτώση σώματος σε βαρυτικό πεδίο Σώμα σε ηρεμία αφήνεται να πέσει κάτω από την επίδραση της βαρύτητας y t δy και δ y μικρές μεταβολές δ y από την πραγματική θέση και ταχύτητα δy t y Η δυναμική ενέργεια: mgy Η κινητική ενέργεια: my 2 2 Η μεταβολή στη δράση θα είναι: t my δ S = δ 2 2 L dt = δ 2 mgy dt δ S = ( myδ y mgδ y )dt Ολοκλήρωση κατά τμήματα: myδ ydt = my d dt δ ydt = myδ y t1 αλλά: δ y ( ) = δ y( ) = 0 Επομένως το δs γίνεται: δ S = myδ ydt L = my 2 d dt δ y = d dt d dt δ y = δ y myδ ydt = myδ ydt 2 mgy ( y + δ y) dy dt ( myδ y + mgδ y)dt δ S = ( my + mg)δ ydt = 0 my + mg ( ) = 0 που για να ισχύει για τυχαία δy πρέπει: my = mg Ελεύθερη πτώση
ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 17 Η αρχή του Hamilton Πτώση σώματος σε βαρυτικό πεδίο Μπορούμε να δείξουμε ότι όποια διαδρομή διαφέρει από την πραγματική θα δώσει ολοκλήρωμα δράσης που δεν έχει στατική τιμή Θεωρούμε μεταβολή της y σύμφωνα με την παραμετρική μορφή: y( a,t) = y( 0,t) + aη ( t) για α=0 y = y( 0,t) = y( t) η αληθής λύση η( t) συνεχής και παραγωγίσημη στο [, ], η( ) = η( ) = 0 ( ) = L y( a,t), y ( a,t),t dt ( ) όπου: y ( 0,t) = gt L = m gt + a 2 η ( t) + g aη ( t) H δράση είναι συνάρτηση του α: S a y ( a,t) = y ( 0,t) + a η t H Lagrangian είναι: L = m y2 2 gy S a ( ) = m g 2 ag t η ( t) + η( t) ( ) + 1 2 a2 η 2 t dt t ag t η ( t) + η( t) dt = ag t d 2 η( t) dt + η( t) dt t Επομένως: S( a) = m g 2 + 1 2 2 a2 η 2 ( t) dt = mg2 3 Αλλά: a2 η 2 ( t)dt 2 > 0 και επομένως: S( a) = 0 a a=0 2 0 t = agtη( t) 2 t1 t 3 3 ( 2 ) + a2 2 agη ( t)dt+ agη ( t)dt η 2 ( t)dt για α=0 και επομένως S έχει στατική τιμή μόνο για την αληθινή λύση
y 0 Παράδειγμα ΦΥΣ 211 - Διαλ.07 18 Υποθέστε ότι ένα υλικό σημείο κινείται ακολουθώντας μια ημιτονοειδή τροχιά από το σημείο x=0 στο x=x 1 κατά το χρονικό διάστημα Δt. To σωματίδιο κινείται ελεύθερα (δεν υπάρχει πεδία δυνάμεων). Δείξτε ότι το πλάτος της ημινοειδούς τροχιάς είναι 0, που δηλώνει ότι το σωματίδιο κινείται σε ευθεία τροχιά x 1 x Από την στιγµή που το σωµατίδιο δεν υπόκειται σε δυνάµεις, η κίνησή του δίνεται από: x = υ x t Κάθε άλλη µορφή κίνησης πρέπει να περατωθεί σε χρόνο: Δt = t = x υ x Αλλάζουµε κάθε πιθανή ηµιτονοειδή τροχιά: ( ) x = υ x t και y = ±ηsin πυ x t x 1 Η Lagrangian θα είναι: L = T V = 1 2 m υ 2 x + nπυ 2 x x 1 cos 2 x 1 υ x Άρα: S = L dt = mυ xx 1 + mπ 2 υ x η 2 V x 1 0 2 4x 1 υ x H τροχία αλλάζει καθώς αλλάζουµε το δη ώστε: δ S = Πρέπει να επαληθεύεται για κάθε δη. Οπότε η = 0 πυ x t x 1 mπ 2 υ x 2x 1 V η το πλάτος της ηµιτονοειδούς τροχιάς ηδη = 0