ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΥΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΡΗΧΩΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΥΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΡΗΧΩΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΩΑΝΝΑ-ΜΑΡΙΑ Κ.Α. ΤΖΕΒΕΛΙΚΑ Επιβλέπων καθηγητής: Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν ΜΥΤΙΛΗΝΗ 6

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΥΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΡΗΧΩΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ιωάννα-Μαρία Κ.Α. Τζεβελίκα Επιβλέπων καθηγητής: Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν ΜΥΤΙΛΗΝΗ 6

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν που με εμπιστεύτηκε και ανέλαβε την επίβλεψη της διπλωματικής μου εργασίας. Ιδιαίτερα πολύτιμη ήταν η βοήθειά του όσον αφορά τη διάθεση και κατανόηση της βιβλιογραφίας και τη συγγραφή της εργασίας αυτής. Επίσης, θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για τις τελικές παρατηρήσεις και διορθώσεις στο κείμενο της διπλωματικής αλλά και για την υπομονή και συμπαράσταση που έδειξε τα δυο αυτά χρόνια της συνεργασίας μας. Θερμές ευχαριστίες στον κ. Θεοφάνη Καραμπά, Αναπληρωτή Καθηγητή, για τις παρατηρήσεις και τα σχόλιά του, αλλά κυρίως για την πολύτιμη βοήθειά του και εμψύχωση στο κομμάτι του προγραμματισμού. Επίσης, θέλω να ευχαριστήσω τον κ. Βασίλη Ζερβάκη, Επίκουρο Καθηγητή, για την τιμή που μου έκανε να είναι μέλος της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τους γονείς μου για την υποστήριξή τους και την κατανόηση που έδειξαν κατά τη διάρκεια των σπουδών μου καθώς και τους φίλους μου Ελένη και Σωκράτη οι οποίοι με ανέχτηκαν και με ηρεμούσαν κατά τη διάρκεια εκπόνησης της διπλωματικής μου εργασίας.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ.. ii ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ... iii ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ..v ΠΕΡΙΛΗΨΗ.....viii Σελ. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 1.1 Σκοπός της εργασίας..1 1. Στοχαστική θεώρηση των ανεμογενών θαλασσίων κυματισμών.. 1..1 Γενικά... 1.. Το στοχαστικό μοντέλο των Pierson και Longuet-iggins.3 1..3 Πιθανοθεωρητικός χαρακτηρισμός του φαινόμενου πλάτους κύματος..6 1..4 Πιθανοθεωρητικός χαρακτηρισμός του ύψους κύματος.8 1..5 Παραγωγή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας Rayleigh.8. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΥΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΡΗΧΩΣΗΣ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ... 1 3. Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΩΝ BATTJES ΚΑΙ GROENENDIJK....19 3.1 Η σύνθετη κατανομή Weibull..19 3.1.1 Ορισμός.19 3. Βαθμονόμηση και παραμετροποίηση των παραμέτρων του μοντέλου 3..1 Προσέγγιση 3.. Οι εκθέτες της σύνθετης κατανομής Weibull 1 3..3 Κατανομή του κανονικοποιημένου ύψους κύματος. 3..4 Μεταβατικό ύψος κύματος 3 3..4.1 Μεταβατικό ύψος κύματος συναρτήσει του βάθους 4 3..4. Μεταβατικό ύψος κύματος συναρτήσει του βάθους και της κυματικής κλίσης 5 3..5 Μέση τιμή τετραγώνων του ύψους κύματος.7 3.3 Αξιοπιστία του μοντέλου.8

4. Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΩΝ MENDEZ, LOSADA ΚΑΙ MEDINA.. 31 4.1 Θεωρητικό μοντέλο..31 4.1.1 Μετασχηματισμός του ύψους κύματος..31 4.1. Μετασχηματισμός της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας... 3 4.1.3 Μετασχηματισμός της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας σε σημειακό μοντέλο... 34 4.1.4 Στατιστικές παράμετροι του ύψους κύματος.36 4.1.5 Ποσοστό της θραύσης 37 4. Βαθμονόμηση του σημειακού μοντέλου..38 4..1 Εμπειρικό μοντέλο για την παράμετρο κ... 38 4.. Σχέση μεταξύ m και rms.4 4.3 Αξιοπιστία του σημειακού μοντέλου..41 4.4 Μετασχηματισμός της κατανομής του ύψους κύματος κατά μήκος εγκάρσιου μετώπου ακτής.4 4.4.1 Μοντέλο Ι...4 4.4. Μοντέλο ΙΙ..4 5. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ... 44 6. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ... 49 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...74 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.. 75 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A: ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΤΗ FORTRAN 9 ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ.77 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: ΜΗ ΠΛΗΡΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΑΜΜΑ (INCOMPLETE GAMMA FUNCTIONS)..136

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ Λατινικοί χαρακτήρες a κλίση πυθμένα a dc συντελεστής απόσβεσης λόγω θραύσης, A πλάτος κύματος, m m 1 A MGD συντελεστής της τροποποιημένης κατανομής Glukhovskiy b συντελεστής θραύσης B παράμετρος θραύσης c g ταχύτητα ομάδας, d βάθος πυθμένα, m ms 1 d βάθος στο όριο ανοιχτής θάλασσας, m D ρυθμός απώλειας της ενέργειας, Nm s 1 1 E πυκνότητα ενέργειας, f κυματική συχνότητα, Nm 1 s 1 g επιτάχυνση της βαρύτητας, ms 1 ύψος κύματος, m μέσο ύψος κύματος, m s σημαντικό ύψος κύματος, m q ύψος κύματος με πιθανότητα υπέρβασης q, m rms μέση τιμή τετραγώνων του ύψους κύματος, m stable σταθερό ύψος κύματος, m tr μεταβατικό ύψος κύματος, m x κανονικοποιημένο χαρακτηριστικό ύψος κύματος * ο λόγος της μέσης τιμής τετραγώνων του ύψους κύματος προς το βάθος Ir αριθμός Iribarren k εκθέτης της τροποποιημένης κατανομής Glukhovskiy k 1, k εκθέτες της σύνθετης κατανομής Weibull, ( k 1, k 3.6 ) K εμπειρικός συντελεστής απόσβεσης

L c χαρακτηριστικό μήκος κύματος, m m ροπή μηδενικής τάξης, m k ροπή k- τάξης, m m n c πλάτος κορυφών κυμάτων, m n c πλάτος θετικών κορυφών κυμάτων, m t χρόνος, sec T κυματική περίοδος, sec T μέση περίοδος κυματισμών, sec T, κυματική περίοδος που βασίζεται στη ροπή μηδενικής και δεύτερης τάξης, sec T, μέση περίοδος μηδενικής υπέρβασης, sec T c χαρακτηριστική κυματική περίοδος, sec T p περίοδος κορυφής, sec x συντεταγμένη κάθετα προς την ακτή, m z κατακόρυφη συντεταγμένη, m Ελληνικοί χαρακτήρες παράμετρος βαθμονόμησης εμπειρικός συντελεστής για την εκτίμηση του εκθέτη της τροποποιημένης κατανομής Glukhovskiy (.7 ) m εμπειρικός συντελεστής για την παραμετροποίηση της μέσης τιμής τετραγώνων του ύψους κύματος σύμφωνα με το μοντέλο των Mendez et al ( 1.15) rms εμπειρικός συντελεστής για την παραμετροποίηση της μέσης τιμής τετραγώνων του ύψους κύματος σύμφωνα με το μοντέλο των Battjes and Groenendijk ( rms 3.4) tr εμπειρικός συντελεστής για την παραμετροποίηση του μεταβατικού ύψους κύματος tr εμπειρικός συντελεστής για την παραμετροποίηση του μεταβατικού ύψους κύματος m

εμπειρικός συντελεστής για την εκτίμηση του stable, (.4 ) συντελεστής εύρους φάσματος ο οποίος ορίζεται από τις ροπές μηδενικής, δεύτερης και τέταρτης τάξης rms μέσο τετραγωνικό σφάλμα μέση κατεύθυνση των κυματισμών εκθέτης της κατανομής των Mendez et al αδιάστατη παράμετρος συντελεστής εύρους φάσματος που ορίζεται από τις ροπές μηδενικής, πρώτης και δεύτερης τάξης πυκνότητα νερού, βαθμός κορεσμού 3 kg m 1 κυκλική συχνότητα, rad s

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία περιγράφονται και συγκρίνονται μεταξύ τους τρεις κατανομές του ύψους κύματος οι οποίες λαμβάνουν υπόψη τις επιδράσεις του πυθμένα και τη θραύση των κυματισμών. Οι κατανομές αυτές είναι η τροποποιημένη κατανομή Glukhovskiy, η σύνθετη κατανομή Weibull και η κατανομή των Mendez et al. Επιπλέον, γίνεται σύγκριση των κατανομών αυτών με την κατανομή Rayleigh, η οποία χρησιμοποιείται για κυματισμούς σε βαθύ νερό. Περιοχή μελέτης είναι η παραλία του Αγίου Κοσμά και ως δεδομένα χρησιμοποιούνται το σημαντικό ύψος κύματος s, η περίοδος κορυφής T p, το βάθος d και η κλίση πυθμένα a. Τα αποτελέσματα προκύπτουν χρησιμοποιώντας γλώσσα προγραμματισμού Fortran 9 και απεικονίζονται με τη μορφή διαγραμμάτων χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Gragher.

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο τη μελέτη και την περιγραφή των μετασχηματισμών του ύψους κύματος από τα βαθιά νερά στην παράκτια ζώνη, όπου η επίδραση της ρήχωσης καθίσταται σημαντική. Η μελέτη αυτή μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, όπως π.χ., με χρήση των αρχών της ρευστομηχανικής (γραμμικοί και μη γραμμικοί κυματισμοί), μέσω των εξισώσεων Boussinesq, της εξίσωσης ήπιας κλίσης (mild slope equation), της στοχαστικής θεώρησης κλπ. Η προσέγγιση η οποία θα χρησιμοποιηθεί εδώ είναι η στοχαστική. Σε βαθύ νερό οι κυματισμοί παρουσιάζουν γραμμική συμπεριφορά και τα ύψη τους ακολουθούν την κατανομή Rayleigh. Σε ρηχό, όμως, νερό λόγω της επίδρασης του πυθμένα η κατάσταση αυτή αλλάζει εντελώς. Η γραμμική συμπεριφορά παύει να ισχύει και το φαινόμενο της θραύσης περιπλέκει περισσότερο την κατάσταση. Έτσι, λοιπόν, τα μοντέλα κατανομής που θα χρησιμοποιηθούν θα πρέπει να λαμβάνουν υπόψη τις επιδράσεις του πυθμένα και τη θραύση. Τέτοια μοντέλα είναι η τροποποιημένη κατανομή Glukhovskiy, η σύνθετη κατανομή Weibull και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των Mendez et al, τα οποία θα περιγραφούν αναλυτικά σε επόμενα εδάφια. Η περιοχή μελέτης είναι η παραλία του Αγίου Κοσμά για την οποία υπάρχουν δεδομένα από το Ελληνικό Κέντρο Θαλασσίων Ερευνών (ΕΛ.ΚΕ.Θ.Ε.) για τα κυματικά χαρακτηριστικά σε βάθος d m και για κλίση πυθμένα a.1. Χρησιμοποιώντας, λοιπόν, τα μοντέλα που αναφέρθηκαν προηγουμένως διερευνάται η επίδραση του σημαντικού ύψους κύματος s στην κάθε κατανομή για γνωστό βάθος d και κλίση πυθμένα a. Επίσης, γίνεται σύγκριση των κατανομών αυτών με την κατανομή Rayleigh και τέλος, διερευνάται η επίδραση του βάθους στην σύνθετη κατανομή Weibull για σταθερή κλίση πυθμένα. Πριν προχωρήσουμε στη συστηματική μελέτη της επίδρασης της ρήχωσης στην κατανομή του ύψους κύματος F ( h ), κρίνεται σκόπιμο να παρουσιάσουμε συνοπτικά τα βασικότερα σημεία της στοχαστικής θεώρησης των ανεμογενών θαλασσίων κυματισμών.

1. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΝΕΜΟΓΕΝΩΝ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ 1..1 Γενικά Ο Longuet-iggins πρώτος το 195, υποθέτοντας ότι οι κυματισμοί μπορούν να θεωρηθούν ως μια στάσιμη και κανονική στοχαστική διαδικασία, απέδειξε ότι το ύψος κύματος Η κατανέμεται σύμφωνα με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Rayleigh. Η βασική ιδέα της στοχαστικής θεώρησης, η οποία την διαφοροποιεί εντελώς τόσο από τη ντετερμινιστική όσο και από τη στατιστική θεώρηση, είναι η εξής: μια συγκεκριμένη καταγραφή της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας σε ένα σημείο της θεωρείται πλέον μια πραγματοποίηση μέσα από την οικογένεια όλων των δυνατών συναρτήσεων ανύψωσης, οι οποίες θα μπορούσαν να παρατηρηθούν κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Έτσι, το κυματικό πεδίο νοούμενο στοχαστικά, θεωρείται ως μια στοχαστική διαδικασία. Κατά συνέπεια, στα πλαίσια της στοχαστικής θεώρησης, η ανύψωση της επιφάνειας της θάλασσας σε ένα σημείο της αδιατάρακτης επιφάνειας t; ετέρου στο στοχαστικό πεδίο. ορίζεται αφ ενός πάνω στο φυσικό πεδίο και αφ Υπό ορισμένες προϋποθέσεις, η στοχαστική διαδικασία t; μπορεί να θεωρηθεί στάσιμη, εργοδική και, με καλή προσέγγιση, κανονική. Στην περίπτωση που ικανοποιούνται οι τρεις ανωτέρω ιδιότητες, η πιθανοθεωρητική δομή της στοχαστικής διαδικασίας περιγράφεται πλήρως μέσω της κυματικής φασματικής συνάρτησης πυκνότητας ισχύος S nn, όπου είναι η κυκλική συχνότητα. Η φυσική σημασία της κυματικής φασματικής συνάρτησης πυκνότητας ισχύος (ή αλλιώς, για λόγους συντομίας, κυματικό φάσμα) είναι ότι περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο κατανέμεται η κυματική ενέργεια στις επιμέρους αρμονικές συνιστώσες (κυκλικές συχνότητες). Το εμβαδόν της περιοχής που περικλείει το κυματικό φάσμα αποτελεί έναν δείκτη της κατάστασης της θάλασσας και κατά συνέπεια γνωρίζοντας το εμβαδόν αυτό μπορεί να υπολογιστεί το σημαντικό ύψος κύματος s, το οποίο αποτελεί το σημαντικότερο κυματικό χαρακτηριστικό που υποδηλώνει την κατάσταση της θάλασσας (σχήμα 1.1).

Σχήμα 1.1: Κυματική φασματική συνάρτηση πυκνότητας ισχύος για 8.9m. s Το εμβαδόν της περιοχής που περικλείει το φάσμα δίνεται από την εξής σχέση: nn m S d (1.1) όπου m η ροπή μηδενικής τάξης. Η ροπή k -τάξης δίνεται από τη σχέση k mk Snn d με k =, 1,,. (1.) Επιπλέον, το σημαντικό ύψος κύματος ως συνάρτηση του εμβαδού της περιοχής που περικλείει το φάσμα έχει ως εξής: s 4 m. (1.3) Εκτός από το s, μέσω του φάσματος μπορούν να υπολογιστούν και διάφορα άλλα στατιστικά χαρακτηριστικά των κυμάτων, όπως η μέση περίοδος μηδενικής υπέρβασης T, η οποία δίνεται από τη σχέση: T m, (1.4) m όπου m η ροπή δεύτερης τάξης. Τέλος, οι συντελεστές ε και ν εύρους φάσματος δίνονται από τις σχέσεις: m 1 (1.5) mm 4

και m m v 1, (1.6) m 1 όπου m 1 και m 4 οι ροπές πρώτης και τέταρτης τάξης αντίστοιχα. Για η στοχαστική διαδικασία θεωρείται ιδανικά στενής λωρίδας και για 1η στοχαστική διαδικασία θεωρείται ιδανικά πλατειάς λωρίδας. 1.. Το στοχαστικό μοντέλο των Pierson και Longuet-iggins Η ανύψωση t της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας σε ένα σημείο αυτής αποτελεί μια κυματομορφή ακανόνιστου σχήματος η οποία συνίσταται από μια αλληλουχία κορυφών και κοιλάδων που εμφανίζονται σε άτακτα χρονικά διαστήματα (βλέπετε σχήμα 1.). Επιπλέον, η συνάρτηση t εμφανίζεται πολύ διαφορετική από καταγραφή σε καταγραφή. Από στατιστική ανάλυση, όμως, των ίδιων καταγραφών παρατηρήθηκε μια αξιοσημείωτη στατιστική κανονικότητα σε διάφορα στατιστικά μεγέθη αυτών. Σχήμα 1.: Ανύψωση t της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας ως συνάρτηση του χρόνου t. Για να επιτευχθεί το ακανόνιστο σχήμα της κυματομορφής t, θεωρείται μια γραμμική υπέρθεση από συνημιτοειδείς συναρτήσεις (βλέπετε σχήμα 1.3), οπότε η ανύψωση της επιφάνειας της θάλασσας αναπαρίσταται από τη σχέση: N n n n. (1.7) n1 t A cos t

Σχήμα 1.3: Γραμμική υπέρθεση συνημιτονοειδών συναρτήσεων Η ανωτέρω συνάρτηση είναι μια συνήθης (ντετερμινιστική) περιοδική συνάρτηση του χρόνου, με περίοδο π. Για να εισαχθεί η στοχαστικότητα στην παραπάνω σχέση, η φασική γωνία φ θεωρείται ως μια ομοιόμορφα κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή στο διάστημα [,π]. Έτσι λοιπόν, η στοχαστική διαδικασία έχει την εξής μορφή: N n n n, (1.8) n1 t; A cos t όπου β είναι η μεταβλητή επιλογής. Η ανωτέρω σχέση είναι το μοντέλο των Pierson και Longuet-iggins, του οποίου ο ακριβής ορισμός έχει ως εξής: Έστω, Nμια πεπερασμένη ακολουθία τυχαίων μεταβλητών. Θεωρείται n ότι κάθε τυχαία μεταβλητή φ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [,π] και ότι οι τυχαίες μεταβλητές φ n και φ m με n m είναι στατιστικά ανεξάρτητες μεταξύ τους. Οι σπουδαιότερες ιδιότητες της στοχαστικής διαδικασίας είναι οι εξής: i) Η t; ii) Η t; είναι κανονική, είναι στάσιμη: οι στατιστικές παράμετροι της στοχαστικής διαδικασίας παραμένουν σταθερές στο χρόνο,

iii) t; είναι εργοδική: όλη η στατιστική ανάλυση της στοχαστικής διαδικασίας μπορεί να γίνει με μια μόνο πραγματοποίηση της στοχαστικής διαδικασίας, iv) t; έχει μέση τιμή χρόνου και ολότητας ίση με μηδέν. Λόγω της υπόθεσης της εργοδικότητας, οι μέσες τιμές ολότητας πρώτης και δεύτερης τάξης της στοχαστικής διαδικασίας t; μέσες τιμές χρόνου, δηλαδή: ταυτίζονται με τις αντίστοιχες και ; ; ; t E t f t d t, (1.9) t; E t; ft ; td όπου f ; t t, (1.1) είναι η πρωτοτάξια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της διαδικασίας t;. Η ποσότητα t συμβολίζεται ως m n, ενώ η ποσότητα διαδικασίας και συμβολίζεται ως ποσότητες mn και αποτελεί τη μέση τιμή της διαδικασίας και t αποτελεί τη διασπορά της στοχαστικής. Λόγω της στασιμότητας της t; n οι n είναι ανεξάρτητες από τη χρονική μεταβλητή t κατά τη βραχυχρόνια θεώρηση, όπου η κατάσταση της θάλασσας παραμένει αμετάβλητη. Τέλος, λαμβάνοντας υπόψη ότι λόγω της κανονικότητας της στοχαστικής διαδικασίας t;, η πρωτοτάξια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας t f δίνεται από τη σχέση: f t 1 exp, (1.11) προκύπτει ότι η μέση τιμή t της στοχαστικής διαδικασίας είναι ίση με μηδέν. 1..3 Πιθανοθεωρητικός χαρακτηρισμός του φαινόμενου πλάτους κύματος Για τη στοχαστική πρόβλεψη και μελέτη των χαρακτηριστικών των κυματισμών είναι απαραίτητη η ανάπτυξη των συναρτήσεων κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας των χαρακτηριστικών αυτών. Για το λόγο αυτό, σε αυτή την

ενότητα, καθώς και στην επόμενη, γίνεται αναφορά στις συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας του πλάτους κύματος κορυφών κύματος n c και του ύψους κύματος. n c, του πλάτους των θετικών Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής του πλάτους μιας στάσιμης και κανονικής στοχαστικής διαδικασίας με μέση τιμή μηδέν έχει ως εξής: n n n F n ;, m nc c c c c m m m, nc, (1.1) x 1 u όπου x udu και u exp είναι η κανονική αθροιστική συνάρτηση και η κανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, αντίστοιχα και 1. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας F n ;, m nc c ως προς nc και δίνεται η σχέση: f n προκύπτει παραγωγίζοντας την n c n c n c fn n ;, c c m nc m m m m m, (1.13) n. c Οι συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας του πλάτους των θετικών κορυφών κύματος n c δίνονται αντιστοίχως από τις σχέσεις: nc c και 1 F nc ;, m Fn n, nc c c nc 1, (1.14) n c nc n c nc f nc ;, m, n c m 1 m m m m n c. (1.15) Όταν η διαδικασία t; θεωρείται ιδανικά στενής λωρίδας, δηλαδή για, οι σχέσεις (1.1) και (1.13) απλουστεύονται ως εξής: και n c Fn n ;, 1 exp, c c m nc, (1.16) m

n c n c fn n ;, exp, c c m nc, (1.17) m m αντιστοίχως, δηλαδή απλουστεύονται στις συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας Rayleigh. Ομοίως, για οι σχέσεις (1.14) και (1.15) απλουστεύονται στις εξής σχέσεις: και n c F nc ;, m 1exp, n n c c m, (1.18) n c n c f nc ;, m exp, n n c. (1.19) c m m Όταν η διαδικασία t; 1, τότε οι σχέσεις (1.1) και (1.13) γίνονται: θεωρείται ιδανικά πλατειάς λωρίδας, δηλαδή για και n c Fn n ;1,, c c m nc, (1.) m 1 n c Fn n ;1, exp, c c m nc. (1.1) m m Ενώ οι σχέσεις (1.14) και (1.15) γίνονται: και F n ;1, m nc c 1 n c m, n c, (1.) n c f nc ;1, m exp n c m m, n c. (1.3) 1..4 Πιθανοθεωρητικός χαρακτηρισμός του ύψους κύματος Στην ειδική περίπτωση που η στοχαστική διαδικασία θεωρείται ιδανικά στενής λωρίδας, δηλαδή για, η κατανομή πιθανότητας του ύψους κύματος κορυφήςκοιλάδας CT υπολογίστηκε από τον Longuet-iggins το 195 και βρέθηκε να είναι η κατανομή Rayleigh, δηλαδή:

h F h1exp, h, (1.4) rms με αντίστοιχη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: h h f h exp, h, 4m rms (1.5) όπου rms είναι η μέση τιμή τετραγώνων του ύψους κύματος κορυφήςκοιλάδας Η, η οποία για διαδικασίες στενής λωρίδας είναι ίση με 8m. 1..5 Παραγωγή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας Rayleigh Λόγω του ότι οι κυματισμοί σε βαθύ νερό ακολουθούν την κατανομή Rayleigh, κρίθηκε σκόπιμο στην ενότητα αυτή να παρουσιαστεί ο τρόπος με τον οποίο παράγεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Rayleigh. Μια στοχαστική διαδικασία ιδανικά στενής λωρίδας ορίζεται ως η διαδικασία εκείνη της οποίας οι τιμές του φάσματος συγκεντρώνονται γύρω από μια συγκεκριμένη συχνότητα. Έτσι, λοιπόν, η στοχαστική διαδικασία συχνότητα και μπορεί να γραφεί ως: όπου At, t x t έχει σταθερή x t A t cos t t A t cos t cos t sin t sin t, (1.6) είναι τυχαίες μεταβλητές, το πλάτος και η φάση αντίστοιχα. Θεωρώντας ότι η στοχαστική διαδικασία διαδικασία με μέση τιμή μηδέν και διασπορά cos sin, η xt είναι μια κανονική στοχαστική xt μπορεί να γραφεί ως εξής: n n, (1.7) n1 x t a n t b n t όπου T an x t n tdt T cos και T bn x t sin n tdt T. Οι συντελεστές an και bn ακολουθούν κανονική κατανομή με μέση τιμή μηδέν και διασπορά. Αντικαθιστώντας όπου n t n t t στην εξίσωση (1.7) προκύπτει ότι: όπου cos x t x t t x t sin t (1.8) c s

και και x t a cosn tb sin n t (1.9) c n n n1 x t a sin n tb cosn t (1.3) s n n n1 Συγκρίνοντας τις σχέσεις (1.6) και (1.8) προκύπτει ότι: c cos x t A t t (1.31) s sin x t A t t. (1.3) Οι μεταβλητές x t, x t, At, t c s μπορούν να θεωρηθούν ως τυχαίες μεταβλητές x, x, A και, για δεδομένο (σταθερό) χρόνο t. Εφόσον οι μεταβλητές xc και c s xs είναι αθροίσματα κανονικών τυχαίων μεταβλητών, ακολουθούν και αυτές κανονική κατανομή και αποδεικνύεται ότι είναι στατιστικά ανεξάρτητες, κανονικές τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή μηδέν και διασπορά ίση με το εμβαδόν της περιοχής που περικλείει το κυματικό φάσμα, δηλαδή: Ex E x c c s s E x x (1.33) c s E x E x S d Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των μεταβλητών xs μπορεί να γραφεί ως εξής: 1 1 f x, x exp, c s x x x x c s c s Μετασχηματίζοντας τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f, A προκύπτει η εξής σχέση: c xc και (1.34) f x x στη s 1 A f A, exp, A,. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του πλάτους Α έχει ως εξής: (1.35) f A f A d A A A, exp,. (1.36)

Η προαναφερθείσα σχέση είναι η κατανομή Rayleigh, η οποία συχνά γράφεται με την εξής μορφή: A A f A exp, A, (1.37) R R Η παράμετρος R δίνεται από τη σχέση: n 1 R x, (1.38) n i 1 i όπου x i το παρατηρούμενο πλάτος κύματος. σχέση: Τέλος, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της φάσης περιγράφεται από τη 1 f f A, da,. (1.39) Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f είναι μια ομοιόμορφη κατανομή. Αυτό σημαίνει ότι η φάση μιας κανονικής στοχαστικής διαδικασίας στενής λωρίδας παίρνει τιμές (με ίση πιθανότητα) στο διάστημα [,π].

. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΥΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΡΗΧΩΣΗΣ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ Η σχεδόν γραμμική συμπεριφορά των μη θραυόμενων κυματισμών σε βαθύ νερό επιτρέπει την θεωρητική στατιστική περιγραφή των κυματικών χαρακτηριστικών, μέσω της κανονικής κατανομής (κατανομή Gauss, σχήμα.1). Η κατανομή αυτή χαρακτηρίζει την ανύψωση της επιφάνειας της θάλασσας και για την περίπτωση του ύψους κύματος μας δίνει την κατανομή Rayleigh. Η κατανομή αυτή εξαρτάται μόνο από ορισμένες στατιστικές παραμέτρους, όπως π.χ. η μέση τιμή τετραγώνων του ύψους κύματος rms. Σχήμα.1: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Gauss και η αντίστοιχη αθροιστική συνάρτηση κατανομής. Σε ρηχό νερό η κατάσταση αλλάζει σημαντικά, εξαιτίας της ρήχωσης και της θραύσης. Η ρήχωση μπορεί να παραμορφώσει το κυματικό προφίλ, με αποτέλεσμα οι κορυφές να γίνονται οξύτερες και οι κοιλάδες να ρηχαίνουν, σε αντίθεση με τους κανονικούς κυματισμούς σε βαθύ νερό (σχήματα. και.3). Έτσι, λοιπόν, η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας δεν μπορεί να θεωρηθεί πλέον ως μια κανονική γραμμική διαδικασία στενής λωρίδας (σχήμα.4) και για το λόγο αυτό δημιουργούνται προβλήματα στην περιγραφή των στατιστικών χαρακτηριστικών των κυματισμών σε ρηχό νερό. Επιπλέον, η θραύση περιπλέκει ακόμα περισσότερο την κατάσταση. Εάν τα ύψη κύματος ακολουθούν την κατανομή Rayleigh, τα διάφορα χαρακτηριστικά ύψη κύματος, όπως το σημαντικό ύψος κύματος s, που ορίζεται είτε ως ο μέσος όρος του 13 των υψηλότερων κυμάτων ( 1 ) είτε ως τέσσερις 3

φορές η τυπική απόκλιση της ανύψωσης της επιφάνειας του νερού ( 4 m m ) και κάποιο ύψος με χαμηλή πιθανότητα υπέρβασης, π.χ. 1%,.1%, έχουν συγκεκριμένη σχέση και εξάρτηση μεταξύ τους έτσι ώστε εάν γνωρίζουμε την τιμή του ενός να μπορούμε με μια απλή σχέση να παίρνουμε την τιμή κάποιου άλλου. Στην περίπτωση, όμως, που το σχήμα της κατανομής παραμορφώνεται, πράγμα το οποίο συμβαίνει σε ρηχό νερό εξαιτίας της θραύσης και της ρήχωσης, οι σχέσεις αυτές δεν είναι πλέον οι ίδιες. Σχήμα.: Αλλαγή στη μορφή του κυματικού προφίλ από την εξωτερική ζώνη κυματωγής (α,β) στην εσωτερική ζώνη κυματωγής (γ,δ).

Σχήμα.3: Μετασχηματισμοί των κυματικών προφίλ από βαθύ σε ρηχό νερό. Σχήμα.4: Κυματικά προφίλ ανεμογενών κυματισμών: (α) διαδικασία στενής λωρίδας, (β) διαδικασία πλατιάς λωρίδας. Για τη μελέτη, λοιπόν, της κατανομής του ύψους κύματος στη ζώνη κυματωγής (surf zone) ή σε ρηχές παράκτιες περιοχές (shallow foreshore) χρησιμοποιούνται δυο εναλλακτικές προσεγγίσεις. Σύμφωνα με την πρώτη προσέγγιση μια αρχική κατανομή του ύψους κύματος ακολουθεί τη διάδοση του κύματος και μετασχηματίζεται και

αυτή καθώς το κύμα διαδίδεται από ένα όριο ανοιχτής θάλασσας προς ένα συγκεκριμένο σημείο. Αυτό το είδος του μοντέλου ονομάζεται μοντέλο διάδοσης της κυματικής ενέργειας (wave energy propagation model- WEPM) και αποσκοπεί στην φυσική περιγραφή της απώλειας της κυματικής ενέργειας. Σύμφωνα με τη δεύτερη προσέγγιση, η οποία ακολουθείται στην εργασία αυτή, η κατανομή του ύψους κύματος εξαρτάται μόνο από τοπικές παραμέτρους, όπως το τοπικό βάθος πυθμένα, η τοπική κυματική ενέργεια και η κλίση του πυθμένα, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η διάδοση των κυματισμών σε βαθύ νερό. Για να ισχύει η προσέγγιση αυτή θα πρέπει να πληρείται η υπόθεση της αργής εξέλιξης ώστε η εκάστοτε κατανομή να εξαρτάται μόνο από τις τοπικές παραμέτρους. Τα μοντέλα αυτά ονομάζονται σημειακά (point models). Τα προϋπάρχοντα μοντέλα WEPM βασίζονται στην εξίσωση του ισοζυγίου διατήρησης της ενέργειας και η κυματική απόσβεση περιγράφεται μέσω της εξίσωσης απώλειας ενέργειας. Ειδικότερα, ο ρυθμός απώλειας της ενέργειας σύμφωνα με τους Dally, Dean and Dalrymple (1985) δίνεται από τη σχέση: K D Ecg Ecgs, (.1) d όπου K είναι ένας εμπειρικός συντελεστής απόσβεσης, με τιμή.15, και Ecg, s η ροή της ενέργειας που σχετίζεται με ένα σταθερό ύψος κύματος, το οποίο δίνεται από τη σχέση: stable d. (.) Η ποσότητα Γ είναι ένας εμπειρικός συντελεστής με τιμή περίπου.4. Το σταθερό ύψος κύματος είναι το ύψος στο οποίο οι κυματισμοί παύουν να θραύονται και ανασχηματίζονται. Τα στοχαστικά μοντέλα για την περιγραφή των επιφανειακών κυματισμών, τα οποία βασίζονται στην προσέγγιση του κινούμενου υδραυλικού άλματος (bore approach), μετασχηματίζουν ένα αντιπροσωπευτικό στατιστικό ύψος κύματος, συνήθως τη μέση τιμή τετραγώνων του ύψους κύματος rms, προϋποθέτοντας προς τούτο μια σχέση μετασχηματισμού για την κατανομή του ύψους κύματος. Τα μοντέλα αυτά παρόλο που εκτιμούν με ακρίβεια την κυματική ενέργεια, δεν έχουν την δυνατότητα να προβλέψουν το μετασχηματισμό της κατανομής του ύψους κύματος. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με χρήση σημειακών μοντέλων, τα οποία παρουσιάζονται αναλυτικότερα σε επόμενα εδάφια. Στη συνέχεια, θα παρουσιάσουμε

συνοπτικά ορισμένες κατανομές του ύψους κύματος ξεκινώντας από την πιο διαδεδομένη, δηλαδή την κατανομή Rayleigh. Ο Longuet-iggins βασιζόμενος στο γραμμικό μοντέλο των κυματισμών με κυματικό φάσμα στενής λωρίδας απέδειξε ότι τα ύψη αυτών των κυμάτων σε βαθύ νερό ακολουθούν την κατανομή Rayleigh (σχήμα.5), η οποία δίνεται από τη σχέση: όπου h F hprh1exp rms η μέση τιμή των τετραγώνων του ύψους κύματος. rms, (.3) Σχήμα.5: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Rayleigh και η αντίστοιχη αθροιστική συνάρτηση κατανομής. Εφόσον η κατανομή Rayleigh έχει μια μόνο παράμετρο κλίμακας και καμία παράμετρο σχήματος, υπάρχουν διάφοροι γνωστοί λόγοι μεταξύ των χαρακτηριστικών υψών κύματος, π.χ. 1 rms 1.416 και 3 rms.886, όπου 1 ο μέσος όρος του 1/3 των υψηλότερων κυμάτων 3 και η μέση τιμή των υψών κύματος. Τα χαρακτηριστικά ύψη κύματος για το κυματικό φάσμα στενής λωρίδας είναι θεωρητικά ανάλογα με την τυπική απόκλιση της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας του νερού με γνωστές σταθερές αναλογίας, π.χ. rms 8m και 1 4 m. Για τους ανεμογενείς κυματισμούς η υπόθεση του φάσματος στενής λωρίδας δεν ισχύει. Σε βαθύ νερό η κατανομή Rayleigh αποτελεί μια καλή προσέγγιση για το ύψος 3

κύματος που ορίζεται ανάμεσα σε δυο διαδοχικές υπερβάσεις του επιπέδου μηδέν, όμως, οι λόγοι του ύψους κύματος προς την τυπική απόκλιση m πρέπει να μειωθούν. Ο Goda ανέλυσε δεδομένα πεδίου και βρήκε ότι για τους ανεμογενείς 1 κυματισμούς σε βαθύ νερό, ο λόγος 3 είναι περίπου 3.8 αντί 4 που ισχύει για το m κυματικό φάσμα στενής λωρίδας, μια μείωση δηλαδή κατά 5%. Αυτά τα ύψη κύματος ακολουθούν την κατανομή Rayleigh, πράγμα που σημαίνει ότι για τους ανεμογενείς κυματισμούς σε βαθύ νερό, όλοι οι λόγοι του ύψους κύματος προς την τυπική απόκλιση είναι μειωμένοι κατά 5% σε σχέση με αυτούς που δόθηκαν προηγουμένως, δηλαδή rms.95 8m, άρα rms.95 8.69 m. Διάφορες μελέτες έχουν δείξει ότι σε ρηχό νερό το σχήμα της κατανομής Rayleigh αλλάζει με αποτέλεσμα να προκύπτει μια φθίνουσα καμπυλόγραμμη σχέση για τους υψηλότερους κυματισμούς. Ο Glukhovskiy πρότεινε μια κατανομή, η οποία λαμβάνει υπόψη την επίδραση της θραύσης και της ρήχωσης, μετατρέποντας τον εκθέτη της κατανομής Rayleigh σε μια αύξουσα συνάρτηση του ύψους κύματος προς το βάθος, τροποποιώντας έτσι το σχήμα της κατανομής. Έτσι, λοιπόν, η τροποποιημένη κατανομή Glukhovskiy όπως δίνεται από τον Klopman (1996) είναι η εξής: F hpr h1exp A MGD h rms k. (.4) Η σχέση η οποία συνδέει τον συντελεστή Α και τον εκθέτη k έχει ως εξής: k A MGD 1 k. (.5) Ο εκθέτης k είναι συνάρτηση του λόγου του rms προς το βάθος: k 1 * (.6) * rms όπου. (.7) d * Για αρκετά χαμηλούς λόγους ύψους κύματος προς βάθος, το τείνει στο μηδέν και ο εκθέτης k τείνει στο, όπου στην περίπτωση αυτή προκύπτει η

κατανομή Rayleigh. Ο Klopman θεώρησε ότι ισχύει η σχέση rms 8m και ότι η βέλτιστη τιμή για το είναι.7. Όπως και η κατανομή Rayleigh, έτσι και η κατανομή Glukhovskiy αποτελεί μια ειδική περίπτωση της πιο γενικής κατανομής Weibull. Οι Battjes and Groenendijk () παρουσίασαν μια σύνθετη κατανομή Weibull για το ύψος κύματος σε ρηχές παράκτιες περιοχές με δυο εκφράσεις και δυο παραμέτρους σχήματος (βλ. εξ. (3.1)). Οι παράμετροι της κατανομής εκτιμήθηκαν με εργαστηριακά δεδομένα και εκφράστηκαν συναρτήσει τοπικών παραμέτρων, όπως π.χ. το τοπικό βάθος, η τοπική κυματική ενέργεια και η κλίση του πυθμένα. Η παραμετροποίηση των δεδομένων βασίστηκε στην υπόθεση της αργής εξέλιξης έτσι ώστε η κατανομή να εξαρτάται μόνο από τις τοπικές παραμέτρους, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η διάδοση των κυματισμών σε βαθύ νερό. Η υπόθεση αυτή φαίνεται να ισχύει σε ρηχό νερό με μια απλή τοπογραφία πυθμένα, παρόλο που υπάρχει κάποια εξάρτηση από την κλίση του πυθμένα. Το αποτέλεσμα που προέκυψε ήταν ένα σημειακό προγνωστικό μοντέλο για την τοπική κατανομή του ύψους κύματος, χρησιμοποιώντας ως δεδομένα μόνο την τοπική κυματική ενέργεια, το βάθος και την κλίση του πυθμένα. Οι Mendez et al. (4) πρότειναν μια νέα συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για το ύψος κύματος με μια μοναδική σχέση και μια παράμετρο σχήματος (βλ. εξ. (4.)). Ξεκινώντας με την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Rayleigh ως αρχική συνθήκη και θεωρώντας ότι ισχύει η προσέγγιση του κινούμενου υδραυλικού άλματος για την απώλεια της ενέργειας προκύπτει μια νέα μετασχηματισμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, η οποία στη συνέχεια μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση μόνο τοπικών παραμέτρων. Έτσι, προκύπτει ένα νέο σημειακό μοντέλο που εξαρτάται μόνο από τη μέση τιμή τετραγώνων του ύψους κύματος και την παράμετρο σχήματος κ. Τέλος, η παράμετρος κ βαθμονομείται και επαληθεύεται με προϋπάρχοντα εργαστηριακά δεδομένα ως συνάρτηση του λόγου rms d και του αριθμού Iribarren (βλ. εξ. (4.3)). Τα σημειακά μοντέλα των Battjes and Groenendijk () και Mendez et al. (4) χρησιμοποιούνται στην παρούσα εργασία για τη μελέτη του μετασχηματισμού του ύψους κύματος υπό την επίδραση της ρήχωσης και για το λόγο αυτό θα περιγραφούν αναλυτικά σε επόμενα κεφάλαια.

3. Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΩΝ BATTJES ΚΑΙ GROENENDIJK 3.1 Η ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL 3.1.1 Ορισμός Όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενο κεφάλαιο, η αθροιστική συνάρτηση κατανομής του ύψους κύματος των θραυόμενων κυματισμών σε ρηχό νερό έχει μελετηθεί τόσο πειραματικά όσο και θεωρητικά. Ο έλεγχος αυτών των κατανομών χρησιμοποιώντας ρεαλιστικά δεδομένα, στο λογαριθμικό χαρτί (Rayleigh Probability Paper) δείχνει μια ξεκάθαρη μετάβαση από μια γραμμική τάση για τα χαμηλότερα ύψη κύματος σε μια φθίνουσα καμπυλόγραμμη σχέση για τους υψηλότερους κυματισμούς. Εξαιτίας αυτής της απότομης μετάβασης δεν μπορεί να υπάρξει μια κατανομή που να έχει μόνο μια έκφραση και μια παράμετρο σχήματος. Έτσι, λοιπόν, για να ερμηνευτεί η μετάβαση του ύψους κύματος από μια γραμμική σε μια καμπυλόγραμμη σχέση, οι Battjes και Groenendijk () προτείνουν μια σύνθετη κατανομή με δυο εναλλακτικές εκφράσεις, καθεμία από τις οποίες είναι μια κατανομή Weibull που έχει διαφορετικό εκθέτη από την άλλη. Η κατανομή αυτή ονομάζεται σύνθετη κατανομή Weibull (Composite Weibull wave height Distribution, CWD) και δίνεται από την σχέση: k 1 1exp h h tr 1 Pr k 1exp h h tr F h h, (3.1) όπου tr το μεταβατικό ύψος κύματος. Για να είναι συνεχής η παραπάνω συνάρτηση κατανομής, θα πρέπει για h να ισχύει η ισότητα F F tr k1 k tr tr 1, δηλαδή: 1 tr tr. (3.) Οι εκθέτες k1 και k είναι παράμετροι σχήματος και καθορίζουν την καμπυλότητα κάθε τμήματος της κατανομής. Τα 1και είναι παράμετροι κλίμακας. Επειδή οι τιμές των k1 και k δεν συμπίπτουν στο σημείο της μετάβασης, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας παρουσιάζει τοπικά ασυνέχεια. Αυτό αν και δεν

είναι ρεαλιστικό γίνεται αποδεκτό γιατί όλα τα στατιστικά χαρακτηριστικά των υψών κύματος συμπεριφέρονται καλά. 3. ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ 3..1 Προσέγγιση Όπως φαίνεται από την εξ. (3.1), η σύνθετη κατανομή Weibull έχει πέντε παραμέτρους ( k 1, k, 1, και tr ) από τις οποίες οι τέσσερις είναι ανεξάρτητες εξαιτίας της επιβαλλόμενης συνέχειας της συνάρτησης F h στο tr. Οι παράμετροι αυτοί είναι δυνατόν να εκτιμηθούν από τις καταγραφές των δεδομένων που χρησιμοποιούνται για τη βαθμονόμηση του μοντέλου και να εκφραστούν συναρτήσει εξωτερικών μεταβλητών, όπως είναι η κυματική ενέργεια και το βάθος του πυθμένα. Οι παράμετροι κλίμακας 1 και, όπως αναφέρουν οι Battjes και Groenendijk (), ενώ είναι κατάλληλες για την σύνθετη κατανομή Weibull, δεν έχουν άμεση φυσική σημασία. Η μια από τις παραμέτρους 1 και μπορεί να μην χρησιμοποιηθεί, πράγμα το οποίο είναι δυνατό εξαιτίας της ισότητας στη σχέση (3.) ενώ η άλλη αντικαθίσταται από τη μέση τιμή τετραγώνων του ύψους κύματος rms. Έτσι, λοιπόν, οι άγνωστοι που πρέπει να εκτιμηθούν και να παραμετροποιηθούν θα είναι οι εκθέτες k1 και k, το μεταβατικό ύψος κύματος τετραγώνων του ύψους κύματος rms tr και η μέση τιμή. Τέλος, εφόσον εκτιμηθούν οι παράμετροι αυτοί, είναι δυνατόν να καθοριστούν από την σχέση (3.) οι παράμετροι κλίμακας 1και και συνεπώς όλη η σύνθετη κατανομή Weibull. Αρχικά, λοιπόν, γίνονται εκτιμήσεις για τους εκθέτες k1 και k και έτσι παραμένουν μόνο δυο ανεξάρτητες παράμετροι που πρέπει να εκτιμηθούν: το μεταβατικό ύψος κύματος Κανονικοποιώντας όλα τα ύψη κύματος με το tr και η μέση τιμή τετραγώνων του ύψους κύματος rms rms. το ένα από αυτά προσωρινά εξαλείφεται (βλ. υποκεφάλαιο 3..3), οπότε το μεταβατικό ύψος κύματος είναι η μόνη ανεξάρτητη παράμετρος σχήματος της κατανομής των κανονικοποιημένων υψών κύματος που πρέπει να εκτιμηθεί και να παραμετροποιηθεί.

Στη συνέχεια, καθορίζονται σχέσεις μεταξύ των παραμέτρων της κατανομής και των εξωτερικών παραμέτρων, όπως είναι το τοπικό βάθος, κλίση του πυθμένα και m η κυματική ενέργεια. Ο λόγος είναι ένα μέτρο της σχετικής κυματικής d έντασης και ονομάζεται βαθμός κορεσμού (degree of saturation). Οι Battjes και Groenendijk στην προσέγγισή τους χρησιμοποιούν το λόγο αυτό ως την πιο σημαντική ανεξάρτητη κανονικοποιημένη μεταβλητή. Όπως αναφέρουν και οι ίδιοι, αντί του βαθμού κορεσμού θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν διάφοροι λόγοι του ύψους κύματος προς το βάθος πυθμένα, όπως π.χ. s d. Η χρήση, όμως, τέτοιων λόγων μπορεί να προκαλέσει δυσκολίες στους υπολογισμούς εξαιτίας των διαφόρων ορισμών που χρησιμοποιούνται και κυρίως των αγνώστων λόγων μεταξύ των χαρακτηριστικών υψών κύματος. Επιπλέον, λαμβάνεται υπόψη και η κλίση του πυθμένα αλλά δεν θεωρείται τόσο σημαντική παράμετρος όσο ο βαθμός κορεσμού. 3.. Οι εκθέτες της σύνθετης κατανομής Weibull Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, αρχικά γίνονται εκτιμήσεις για τους εκθέτες k 1 και k.διάφορες παρατηρήσεις έδειξαν ότι τα διαγράμματα της αθροιστικής κατανομής στο λογαριθμικό χαρτί είναι σχεδόν ευθείες γραμμές για τα χαμηλότερα ύψη κύματος, δηλαδή για h tr. Αυτό σημαίνει ότι τα συγκεκριμένα ύψη κύματος μπορεί να θεωρηθεί ότι ακολουθούν την κατανομή Rayleigh θέτοντας k1. Χρησιμοποιώντας, λοιπόν, την τιμή k1, γίνονται αρχικές εκτιμήσεις για τον εκθέτη k βασιζόμενες στην οπτική προσαρμογή της σύνθετης κατανομής Weibull στις παρατηρούμενες κατανομές του ύψους κύματος. Οι Battjes και Groenendijk () εκτιμώντας το k συναρτήσει του βαθμού κορεσμού m d με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων παρατήρησαν μια διασπορά στις τιμές του, η οποία ελαττώνεται καθώς αυξάνεται ο βαθμός κορεσμού. Επίσης, παρατήρησαν ότι δεν υπάρχει σημαντική εξάρτηση από την κλίση του πυθμένα. Όπως εξηγούν οι ίδιοι, η μεγάλη διασπορά για τις χαμηλές τιμές του ψ είναι κατανοητή, γιατί για χαμηλό βαθμό κορεσμού η κατανομή θα έπρεπε να αποκλίνει ελάχιστα από την κατανομή Rayleigh. Η τιμή του εκθέτη k για χαμηλές τιμές του ψ

δεν θεωρείται σημαντική. Αντίθετα, για τις υψηλότερες τιμές του η διασπορά είναι σημαντικά χαμηλότερη. Εφόσον, λοιπόν, ενδιαφέρουν κυρίως οι υψηλότερες τιμές του ψ, η υπόθεση ότι ο εκθέτης k είναι σταθερός φαίνεται αρκετά ικανοποιητική. Έτσι, λοιπόν, χρησιμοποιώντας την τιμή k1 και προσαρμόζοντας την σύνθετη κατανομή Weibull με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων σε κάθε μια από τις παρατηρούμενες κατανομές του ύψους κύματος, μπορεί να εκτιμηθεί η βέλτιστη τιμή του εκθέτη k. Οι Battjes και Groenendijk (), σύμφωνα με τα εργαστηριακά δεδομένα που είχαν για την βαθμονόμηση του μοντέλου τους, βρήκαν ότι η βέλτιστη τιμή για τον εκθέτη k είναι 3.6 (βλέπετε σχήμα 3.1). Σχήμα 3.1: Εκθέτης k συναρτήσει του βαθμού κορεσμού για διαφορετικές κλίσεις πυθμένα. Οπότε, εφόσον υπολογίστηκαν οι εκθέτες k 1 και k, παραμένουν μόνο δυο ανεξάρτητες παράμετροι που πρέπει να εκτιμηθούν και να παραμετροποιηθούν. Πριν, όμως, εκτιμηθούν το μεταβατικό ύψος κύματος και η μέση τιμή των τετραγώνων του ύψους κύματος πρέπει να γίνει αναφορά στην κατανομή του κανονικοποιημένου ύψους κύματος. 3..3 Κατανομή του κανονικοποιημένου ύψους κύματος σχέση: Όλα τα ύψη κύματος κανονικοποιούνται με το rms σύμφωνα με την εξής x x. (3.3) rms

Η κανονικοποιημένη μέση τιμή τετραγώνων του ύψους κύματος (ροπή δεύτερης τάξης της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της σύνθετης κατανομής Weibull των κανονικοποιημένων υψών κύματος) πρέπει να είναι ίση με τη μονάδα. Η ροπή αυτή μπορεί να υπολογιστεί από την εξ. (3.1) με αποτέλεσμα να προκύψει η παρακάτω έκφραση για το ax, και ax, rms, ως συνάρτηση των ατελών συναρτήσεων γάμα, (incomplete gama functions) : k1 k tr tr rms 1 1, 1, 1 k1 1 k. (3.4) Εξαιτίας της ισότητας αυτής, αλλά και των σταθερών αριθμητικών τιμών των εκθετών k1 και k, η σύνθετη κατανομή Weibull για τα κανονικοποιημένα ύψη κύματος έχει μόνο μια ανεξάρτητη παράμετρο σχήματος, το κανονικοποιημένο μεταβατικό ύψος κύματος tr. Αυτό σημαίνει ότι όλα τα κανονικοποιημένα χαρακτηριστικά ύψη κύματος είναι συνάρτηση μόνο του tr. Αναλυτικές εκφράσεις για αυτές τις τιμές μπορούν να προκύψουν με απλό τρόπο, με τα αποτελέσματα να εκφράζονται με όρους των συναρτήσεων Γάμμα. Επιπλέον, η πιθανότητα υπέρβασης του ύψους κύματος στο μεταβατικό σημείο είναι και αυτή συνάρτηση μόνο του tr. Οι Battjes και Groenendijk υπολόγισαν τις κανονικοποιημένες τιμές των παραμέτρων κλίμακας 1 και, των υψών 13 και 11 και των υψών με πιθανότητες υπέρβασης %, 1% και.1% ως συνάρτηση του μεταβατικού ύψους κύματος και παρατήρησαν ότι όταν το μεταβατικό ύψος κύματος τείνει στο άπειρο οι τιμές προσεγγίζουν αυτές της κατανομής Rayleigh. 3..4 Μεταβατικό ύψος κύματος Για το σημειακό μοντέλο συσχετίζονται τα tr και την κλίση του πυθμένα και την κυματική ενέργεια. Στο rms με το τοπικό βάθος, tr η κατανομή του ύψους αλλάζει σημαντικά σχήμα. Η μεταβολή αυτή αποδίδεται στη θραύση και τη ρήχωση. Επιπλέον, θεωρείται ότι το tr είναι το όριο στο οποίο οι κυματισμοί αρχίζουν να θραύονται. Οι Battjes και Groenendijk () στην προσέγγιση τους χρησιμοποιούν δυο εκφράσεις για το μεταβατικό ύψος κύματος. Στην πρώτη περίπτωση το tr

εκφράζεται συναρτήσει του βάθους d (σημειακό μοντέλο m,, d a ) ενώ στη δεύτερη περίπτωση λαμβάνεται υπόψη και η κυματική κλίση μέσω του κριτηρίου θραύσης του Miche (σημειακό μοντέλο m, d, a, T, ). 3..4.1 Μεταβατικό ύψος κύματος συναρτήσει του βάθους Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, οι τιμές του μεταβατικού ύψους κύματος καθορίζονται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προσαρμόζοντας την σύνθετη κατανομή Weibull σε κάθε μια κατανομή ύψους κύματος στα δεδομένα τα οποία έχουν συλλεχθεί για τη βαθμονόμηση του μοντέλου σε διαφορετικές κλίσεις πυθμένα. Τα εκτιμώμενα μεταβατικά ύψη κύματος, αδιαστατοποιημένα με το βάθος του πυθμένα, σχεδιάζονται συναρτήσει του βαθμού κορεσμού (βλέπετε σχήμα 3.). Οι Battjes και Groenendijk () παρατήρησαν ότι ο λόγος tr d είναι ανεξάρτητος του ψ, εκτός από τους σχετικά χαμηλούς κυματισμούς, όπου προσεγγιστικά ψ <.6, με διασπορά η οποία αυξάνεται με την αύξηση της κλίσης του πυθμένα. Έτσι, λοιπόν, για ευκολία, η διασπορά και η αποκλίνουσα συμπεριφορά των χαμηλότερων υψών κύματος αγνοούνται και το μεταβατικό ύψος κύματος θεωρείται ότι είναι ανάλογο του βάθους με συντελεστή αναλογίας ( a) που δείχνει την εξάρτηση από την κλίση: tr tr a d. (3.5) Για κάθε κλίση η αντιπροσωπευτική τιμή του tr καθορίζεται ως ο μέσος όρος tr των εκτιμώμενων τιμών του λόγου tr d,βασιζόμενη μόνο στις τιμές του tr d για.6. Οι Battjes και Groenendijk () παρατήρησαν επίσης ότι οι πιο απότομες κλίσεις πυθμένα οδηγούν σε μεγαλύτερες τιμές του tr και επιπλέον σε μεγαλύτερο μεταβατικό ύψος κύματος. Αυτό σημαίνει, όπως αναφέρουν οι ίδιοι, ότι για απότομες κλίσεις λιγότεροι κυματισμοί αποκλίνουν από την κατανομή Rayleigh απ ότι για ηπιότερες κλίσεις. Θεωρώντας, λοιπόν, ότι ο συντελεστής tr μεταβάλλεται γραμμικά με την κλίση του πυθμένα σύμφωνα με τη σχέση: tan tr c1 c a, (3.6) οι Battjes και Groenendijk βρήκαν ότι c1.35 και c 5.8. Έτσι γνωρίζοντας τον συντελεστή tr μπορεί να εκτιμηθεί το τοπικό μεταβατικό ύψος κύματος για δεδομένο

τοπικό βάθος και κλίση πυθμένα (βλέπετε σχήμα 3.3). Σχήμα 3.: Αδιαστατοποιημένο μεταβατικό ύψος κύματος συναρτήσει του βαθμού κορεσμού για διαφορετικές κλίσεις πυθμένα. 3..4. Μεταβατικό ύψος κύματος συναρτήσει του βάθους και της κυματικής κλίσης Η υπόθεση του σταθερού λόγου tr d για δεδομένη κλίση, σύμφωνα με τα αποτελέσματα των Battjes και Groenendijk () υπερεκτιμάει το αδιάστατο μεταβατικό ύψος κύματος για ψ <.6. Οι χαμηλότερες τιμές του ψ παριστάνουν σχετικά χαμηλούς κυματισμούς συγκρινόμενους με το βάθος. Υπό αυτές τις

συνθήκες, οι κυματισμοί περιορίζονται περισσότερο από τη μέγιστη κυματική κλίση, απ ότι από ένα περιορισμένο βάθος. Λαμβάνοντας υπόψη την κυματική κλίση, μπορεί να προκύψει μια καλύτερη προσέγγιση για το μετρούμενο μεταβατικό ύψος κύματος. Σχήμα 3.3: Ο συντελεστής ως συνάρτηση της κλίσης του πυθμένα. tr Ο Miche καθόρισε μια προσεγγιστική έκφραση για το μέγιστο ύψος περιοδικών κυματισμών σταθερής μορφής λαμβάνοντας υπόψη τις επιδράσεις του βάθους και της κυματικής κλίσης. Θεωρώντας, λοιπόν, ότι το μεταβατικό ύψος κύματος συμπεριφέρεται παρόμοια με το μέγιστο ύψος κύματος του Miche, οι Battjes και Groenendijk () πρότειναν την ακόλουθη σχέση: d.14l tanh, (3.7) Lc tr tr c όπου tr ο συντελεστής κλίσης και Lc το χαρακτηριστικό τοπικό μήκος κύματος που δίνεται από τη σχέση: όπου L c gt c d tanh, (3.8) Lc T c χαρακτηριστική κυματική περίοδος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η m περίοδος που χρησιμοποιείται είναι η,, όπου m και m οι ροπές m μηδενικής και δεύτερης τάξης αντίστοιχα.

Για κάθε κλίση πυθμένα η τιμή του tr εκτιμάται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Θεωρώντας ότι ο συντελεστής του πυθμένα (βλέπετε σχήμα 3.4) σύμφωνα με τη σχέση: tr εξαρτάται γραμμικά από την κλίση tan tr c3 c4 a, (3.9) οι Battjes και Groenendijk βρήκαν ότι c3.46 και c4 9.5. Έτσι, λοιπόν, το μεταβατικό ύψος κύματος της σύνθετης κατανομής Weibull μπορεί να καθοριστεί για δεδομένο βάθος, κλίση και κυματική περίοδο,. Σχήμα 3.4: Ο συντελεστής ως συνάρτηση της κλίσης του πυθμένα. 3..5 Μέση τιμή των τετραγώνων του ύψους κύματος Η τέταρτη και τελευταία παράμετρος που πρέπει να εκτιμηθεί και να παραμετροποιηθεί είναι η μέση τιμή των τετραγώνων του ύψους κύματος rms. Για τους ημιτονοειδείς κυματισμούς ο λόγος rms m είναι ίσος με 8, ενώ για τους μη γραμμικούς κυματισμούς με στενές κορυφές και επίπεδες κοιλίες, όπως είναι οι κυματισμοί Stokes και οι κυματισμοί cnoidal, ο λόγος αυτός είναι μεγαλύτερος. Αντίθετα, για κυματικά φάσματα με πεπερασμένο εύρος συχνοτήτων ο λόγος αυτός τείνει να μειωθεί. Για τους κυματισμούς σε βαθύ νερό, με κυματικό φάσμα πλατιάς λωρίδας, ο λόγος rms m είναι περίπου.69, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως. Για να μελετηθεί εμπειρικά η σχέση μεταξύ της μέσης τιμής των τετραγώνων του ύψους

κύματος και της ολικής κυματικής ενέργειας σε ρηχές παράκτιες περιοχές, όπου οι κυματισμοί δεν είναι ημιτονοειδείς και δεν έχουν απαραίτητα κυματικό φάσμα στενής λωρίδας, οι μετρούμενες τιμές του λόγου rms m εκφράζονται συναρτήσει του βαθμού κορεσμού ψ για διαφορετικές κλίσεις. Έχει παρατηρηθεί ότι σε ρηχό νερό οι τιμές του λόγου rms m υπερβαίνουν την τιμή 8, υποδηλώνοντας ότι εκεί υπερισχύουν μη γραμμικές επιδράσεις. Χρησιμοποιώντας την τιμή.69 ως σταθερά οι Battjes και Groenendijk () προτείνουν την παρακάτω σχέση για το m rms rms συναρτήσει του βαθμού κορεσμού :.69 (3.1) rms και προσαρμόζοντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων στα δεδομένα τους βρήκαν ότι rms 3.4 (βλέπετε σχήμα 3.5). Σχήμα 3.5: Ο λόγος m συναρτήσει του βαθμού κορεσμού. rms 3.3 Η ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Για τον έλεγχο της αξιοπιστίας των προτεινόμενων σημειακών μοντέλων, δηλαδή των m, d, a και m, d, a, T,σύμφωνα με την προσέγγιση των Battjes και Groenendijk, γίνεται σύγκριση των προγνωστικών κατανομών των υψών κύματος με τα μετρούμενα δεδομένα που έχουν συλλεχθεί για τη βαθμονόμηση των μοντέλων. Η

ίδια διαδικασία εφαρμόζεται και για την κατανομή Rayleigh και την τροποποιημένη κατανομή Glukhovskiy. Ένας γενικός δείκτης της προσέγγισης της κατανομής του μετρούμενου ύψους κύματος από ένα μοντέλο είναι το σχετικό σφάλμα μέσης τιμής τετραγώνων, που ορίζεται ως εξής: rms, rms 1 K K qcomp, 1 (3.11) k 1 qmeas, όπου Κ ο αριθμός των καταγραφών που χρησιμοποιούνται και με πιθανότητα υπέρβασης q. Οι Battjes και Groenendijk () υπολόγισαν τις τιμές του q το ύψος κύματος rms για ύψη κύματος με πιθανότητες υπέρβασης 5%, 1%, %, 1% και.1% και για διαφορετικές κλίσεις πυθμένα. Μια γενική εικόνα για την προσέγγιση των κατανομών του μετρούμενου ύψους κύματος μπορεί να προκύψει υπολογίζοντας το μέσο όρο των σφαλμάτων rms για κάθε μοντέλο και για τα πέντε ύψη κύματος σε διαφορετικές κλίσεις (βλέπετε σχήμα 3.6). Σύμφωνα με τους Battjes και Groenendijk, τα σημειακά μοντέλα m, d, a και m, d, a, T, της σύνθετης κατανομής Weibull δίνουν την καλύτερη προσέγγιση για τις κατανομές των μετρούμενων υψών κύματος. Σύμφωνα με τα αποτελέσματά τους, η μέση μείωση του σφάλματος rms και για τα δυο σημειακά μοντέλα είναι 6% συγκρινόμενη με την κλασσική κατανομή Rayleigh και 4% συγκρινόμενη με την τροποποιημένη κατανομή Glukhovskiy (με rms 8m και για τις δυο κατανομές). Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, για την εκτίμηση του μεταβατικού ύψους κύματος συναρτήσει του βάθους και της κυματικής κλίσης σύμφωνα με την εξίσωση (3.7), είναι απαραίτητος ο υπολογισμός μιας τέταρτης παραμέτρου, της χαρακτηριστικής περιόδου T,, πράγμα το οποίο αποτελεί μειονέκτημα. Επιπλέον, από τον υπολογισμό του μέσου όρου των σφαλμάτων rms, σύμφωνα με τους Battjes και Groenendijk (), φαίνεται ότι δεν υπάρχουν σημαντικές βελτιώσεις σε σχέση με την εκτίμηση του μεταβατικού ύψους κύματος συναρτήσει μόνο του βάθους με την εξ. (3.5), (το σφάλμα που προκύπτει και στις δυο περιπτώσεις είναι σχεδόν το

ίδιο). Επιπλέον, η πιο απλή παραμετροποίηση του σημειακό μοντέλο m,, d a, δηλαδή τη σχέση tr tr δίνεται χρησιμοποιώντας το a d (εξ. (3.5)). Σχήμα 3.6: Εκτίμηση των τιμών του rms και του rms για πιθανότητες υπέρβασης 5%, 1%, %, 1% και για διαφορετικές κλίσεις πυθμένα.

4. Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΩΝ MENDEZ, LOZADA ΚΑΙ MEDINA 4.1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ 4.1.1 Μετασχηματισμός του ύψους κύματος Υποθέτοντας ότι η γραμμική θεωρία των κυματισμών ισχύει σε ρηχό νερό και λαμβάνοντας υπόψη ότι μονοχρωματικοί κυματισμοί διαδίδονται σε μια ακτογραμμή με ευθύγραμμες και παράλληλες ισοβαθείς καμπύλες, η κυματική απόσβεση εξαιτίας της θραύσης μπορεί να οριστεί σύμφωνα με την εξίσωση διατήρησης της ενέργειας: όπου c g D, (4.1) x 1 8 gh είναι η πυκνότητα της ενέργειας, h το ύψος κύματος, g η επιτάχυνση της βαρύτητας, η πυκνότητα του νερού, cg gd η ταχύτητα της κυματικής ομάδας σε ρηχό νερό, d το βάθος του πυθμένα, x η συντεταγμένη κάθετα προς την ακτή και D ο μέσος ρυθμός απώλειας της ενέργειας ανά μονάδα οριζόντιας περιοχής που προκαλείται από τη θραύση. Για τον ορισμό της απώλειας της ενέργειας έχουν προταθεί αρκετά μοντέλα. Οι Mendez et al. (4) στην προσέγγισή τους χρησιμοποιούν το μοντέλο των Battjes και Janssen (1978) σύμφωνα με το οποίο ο ρυθμός απώλειας της ενέργειας για ένα περιοδικό κυματισμό δίνεται από τη σχέση: 3 f h D g, (4.) 4 d όπου f η κυματική συχνότητα και παράμετρος βαθμονόμησης. Μια παρόμοια έκφραση δίνεται στο μοντέλο των Thornton και Guza ως συνάρτηση της παραμέτρου θραύσης Β (όπου 3 ). Η πληροφορία που αφορά την απώλεια της ενέργειας, τις διαφορές στον τύπο της θραύσης, το βαθμό κορεσμού και το ποσοστό των θραυόμενων κυματισμών παρουσιάζεται με την παράμετρο βαθμονόμησης (ή Β). Παρόλο που η εξ. (4.) είναι ένα μοντέλο απώλειας της ενέργειας για τους θραυόμενους κυματισμούς, οι Mendez et al. (4) αναφέρουν ότι η εφαρμογή της για τους μη θραυόμενους κυματισμούς με χαμηλό λόγο ύψους κύματος προς βάθος πυθμένα δίνει μια αμελητέα απώλεια και μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε αυτή την περίπτωση.

Το όριο ανοιχτής θάλασσας επιλέχτηκε να είναι εκεί που αρχίζει η θραύση των κυματισμών. Επιπλέον, θεωρείται ότι στο όριο αυτό το νερό είναι ρηχό. Για μια επίπεδη παραλία η βαθυμετρία της οποίας ορίζεται ως d x d ax, όπου a είναι η κλίση και d το βάθος του πυθμένα στο όριο αυτό, μια ημι-εμπειρική λύση της εξ. (4.1) είναι η εξής: bh h, (4.3) a h 1 dc όπου h το ύψος κύματος στο όριο ανοιχτής θάλασσας, d b d 1 4, (4.4) ο συντελεστής ρήχωσης σύμφωνα με το νόμο του Green και a dc 3 4 f b 1, (4.5) 3a gd ο συντελεστής απόσβεσης λόγω θραύσης. Πρέπει, επίσης, να σημειωθεί ότι το ύψος κύματος h και οι συντελεστές adc b εξαρτώνται από τη θέση x. και 4.1. Μετασχηματισμός της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας Οι κυματισμοί συνήθως περιγράφονται από μια από κοινού συνάρτηση κατανομής του ύψους κύματος h και της περιόδου Τ. Για να απλοποιηθεί η ανάλυση θεωρείται ότι το κυματικό φάσμα είναι στενής λωρίδας και ότι οι κυματισμοί έρχονται από την ίδια κατεύθυνση, έτσι ώστε όλα τα ύψη κύματος της κατανομής να σχετίζονται με μια μέση συχνότητα f (ή μέση περίοδο κατεύθυνση, η οποία επιλέγεται να είναι. 1 ) και μια μέση f Οι Mendez et al. (4) χρησιμοποιώντας την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Rayleigh για το ύψος κύματος ως μια αρχική συνθήκη fhκαι θεωρώντας ότι ο μη γραμμικός μετασχηματισμός που ορίζεται από την εξ. (4.3) ισχύει για κάθε κυματισμό h, υπολόγισαν τη μετασχηματιζόμενη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σε ένα δεδομένο σημείο στη ζώνη θραύσης σύμφωνα με τη σχέση :

όπου f h f h h h, (4.6) h h fh exp, h, (4.7) rms, rms, με rms, η μέση τιμή τετραγώνων του ύψους κύματος στο όριο ανοιχτής θάλασσας, και h h b a h, (4.8) dc h b h b a h dc. (4.9) Έτσι, λοιπόν, αντικαθιστώντας τις σχέσεις (4.7), (4.8) και (4.9) στην εξ. (4.6) και μετά από μετασχηματισμό των μεταβλητών προκύπτει η μετασχηματιζόμενη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των Mendez et al. (4), η οποία είναι η εξής: f h bh h b exp, 3 h, b a h a rms, b adch rms dc dc, (4.1) Η τιμή h στην κατανομή Rayleigh αντιστοιχεί σε ένα μέγιστο ύψος κύματος max b adc στη νέα συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, το οποίο αποτελεί και το άνω όριο της συνάρτησης αυτής. Η εξ. (4.1) λαμβάνει υπόψη τη διάδοση των κυματισμών σε βαθύ νερό, εφόσον συμπεριλαμβάνει την αρχική τιμή rms,, το συντελεστή ρήχωσης b και τον συντελεστή απόσβεσης εξαιτίας της θραύσης adc μεταξύ του ορίου στην ανοιχτή θάλασσα και του τοπικού σημείου. Η μέση τιμή τετραγώνων του ύψους κύματος είναι συνάρτηση των τριών αυτών παραμέτρων,,, rms f rms, adc b και δίνεται από τη σχέση: ba dc rms h f h dh b rms,, (4.11) η οποία χρησιμοποιείται για το μετασχηματισμό της εξ. (4.1) σε σημειακό μοντέλο. Στην εξ. (4.11) το λ δίνεται από τη σχέση adc, και το ν(λ) από την σχέση: 1 1 exp 3 f 1 f, (4.1) rms o