Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί Ενότητας Στόχος της ης Ενότητας είναι η εξοικείωση του φοιτητή με τις (εισαγωγικές) έννοιες της τυχαίας μεταβλητής, του δείγματος, της δειγματοληψίας, της κατανομή του μέσου και του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος.

Περιεχόμενα Ενότητας Τυχαία μεταβλητή Δείγμα και δειγματοληψίας Αξιοπιστία δείγματος Στατιστικά δείγματος Κατανομή του μέσου και του Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Λυμένες Ασκήσεις με έμφαση στις εφαρμογές του Κεντρικού Οριακού θεωρήματος 5

Δειγματοληψία και κατανομές δειγματοληψίας Πληθυσμός : σύνολο των ατόμων ή πραγμάτων ή παρατηρήσεων για τα οποία θέλουμε να εξάγουμε συμπεράσματα σχετικά με κάποια χαρακτηριστικά ή ιδιότητές τους. Παράδειγμα Πληθυσμός της Αθήνας. Προς μελέτη χαρακτηριστικά : κατανομή της ηλικίας ή του εισοδήματος των πολιτών μέσο εισόδημα το ποσοστό ηλικιών μεταξύ 35 και 5 6

Παράδειγμα 0.000 λαμπτήρες υπόκεινται σε ποιοτικό έλεγχο. Προφανώς ο πληθυσμός είναι το σύνολο των 0.000 λαμπτήρων, ενώ χαρακτηριστικά προς μελέτη είναι το ποσοστό των ελαττω-ματικών, η μέση διάρκεια καλής λειτουργίας, η κατανομή της διάρκειας καλής λειτουργίας κτλ. 7

S Κανόνας απεικόνισης Χ: τυχαία μεταβλητή S : Δειγματοχώρος x ευθεία πραγματικών R αριθμών R S Χαρακτηριστικό υπό μελέτη Χ: τυχαία μεταβλητή Πληθυσμός x R Σχεδόν πάντα, μετατροπή πληθυσμών ατόμων ή αντικειμένων σε πληθυσμούς παρατηρήσεων, δηλ. σε ποσοτικά μεγέθη (αριθμούς) 8

Ηλικία και εισόδημα οικογένειας ( κ, κ,, ) πληθυσμός Αθήνας κ Ηλικία X ( x, x,, ) x ( ο, ο,, ) νοικοκυριά Αθήνας ο m Εισόδημα οικογένειας Y ( y, y,, ) y m Μέσο εισόδημα : m m y 9

Μέση διάρκεια ( x, x, x ), 000 ζωής 0 καλός X ( Λ, Λ,, Λ000 ) ελαττωματικός T πληθυσμός λαμπτήρων ( t, t, t ), 000 Μέση διάρκεια ζωής : 000 000 t Ποσοστό ελαττωματικών 000 000 x 0

Παράμετροι πληθυσμού Πληθυσμός : ( ω, ω ω ) Χαρακτηριστικό υπό μελέτη, 3 X ( x, x x ), 3 X : τυχαία μεταβλητή ορισμένη στον πληθυσμό f (x) : συνάρτηση πυκνότητας πληθυσμού F(x) : συνάρτηση κατανομής πληθυσμού Οι παράμετροι της Χ ονομάζονται παράμετροι πληθυσμού, π.χ. E { X } µ : μέση τιμή πληθυσμού VAR { X } σ : διασπορά πληθυσμού

Δίδεται πληθυσμός λαμπτήρων, εκ των οποίων γνωρίζουμε ότι οι τρεις πρώτοι είναι ελαττωματικοί. Να υπολογιστούν τα χαρακτηριστικά του πληθυσμού. f(x) Παράδειγμα υπολογισμού (, Λ, Λ Λ ) Λ ( 0, 0, 0, ) 3, X 0 κ α λ ό ς ε λ α τ τ ω μ α τ ι κ ό ς E { X } 0 + 0 + 0 + F (x) VAR { } { } X E X E { X } 6 3 6 x E { X } σ 3

Παράδειγμα χαρακτηριστικών Δίδεται πληθυσμός 5 φοιτητών με βαθμολογία 3,, 5, 6, 7. Να υπολογιστούν τα χαρακτηριστικά του πληθυσμού. ( Φ, Φ, Φ3, Φ, Φ5 ) Χ : βαθμολογία ( 3,, 5, 6, 7 ) f(x) F(x) 5 3 5 6 7 x E { X } ( 3 + + 5 + 6 + 7 ) 5 5 VAR { X } ( + + 0 + + ) σ 5 3

Βασικές μεθοδολογίες Στην πράξη τα χαρακτηριστικά του πληθυσμού είναι άγνωστα και προκύπτουν σαν αποτέλεσμα παρατηρήσεων. Διακρίνουμε δύο βασικές μεθοδολογίες συλλογής παρατηρήσεων : Α π ο γ ρ α φ ή Δ ε ι γ μ α τ ο λ η ψ ί α

Απογραφή Ε ξ α ν τ λ η τ ι κ ή έρευνα όλων των στοιχείων του πληθυσμού απόλυτα αντιπροσωπευτική χρονοβόρα και χρηματοβόρα διαδικασία, προκειμένου για μεγάλους πληθυσμούς ( απώλεια επικαιρότητας ) ανέφικτη σε άπειρους πληθυσμούς ανέφικτη όταν η παρατήρηση απαιτεί «καταστροφική διαδικασία» Βασικά μόνο σε μικρά δείγματα ή στα πλαίσια δημογραφικών απογραφών. 5

Δειγματοληψία Δειγματοληψία (samplg) είναι η διαδικασία λήψης ενός δείγματος, δηλ. η παρατήρηση ενός υποσυνόλου του πληθυ-σμού. Το πλήθος των στοιχείων του δείγματος καλείται μέγεθος ή τάξη δείγματος. (, x,, x ) : x δείγμα τάξης οικονομική και γρήγορη γενίκευση των συμπερασμάτων στον πληθυσμό συνεπάγεται αβεβαιότητα. Η δυνατότητα μέτρησης της αβεβαιότητας εξαρτάται από τον τρόπο συλλογής του δείγματος 6

Τυχαία δειγματοληψία Τυχαία και Κατευθυνόμενη Δειγματοληψία! Κάθε μέλος του πληθυσμού έχει την ίδια πιθανότητα να συμπεριληφθεί στο δείγμα Μέτρηση αβεβαιότητας κατά τη γενίκευση Δείγμα Πληθυσμός, είναι δυνατή με τους κανόνες της πιθανοθεωρίας Κατευθυνόμενη δειγματοληψία! Επιλογή σύμφωνα με υποκειμενικά κριτήρια του αναλυτή / ερευνητή Μέτρηση αβεβαιότητας δεν είναι δυνατή Ακρίβεια αποτελεσμάτων εξαρτάται από την ικανότητα του αναλυτή 7

Πληθυσμός : Ορισμός της ιδιότητας υπό μελέτη Τυχαίο Δείγμα : ω, ω, ω, ) ( 3 X κατανεμημένη κατά f(x) Δείγμα : x, x, x,, x ) ( 3 0 Δείγμα : x, x, x,, x ) Δείγμα 3 :. Χ καλείται τυχαίο δείγμα αν : ( 3 ( 3 ( X X, X,, ), 3 X, X, X,, X ) είναι ανεξάρτητες f f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( ) X X X x συνάρτηση πυκνότητας δείγματος ( ) ( )! x, x, x f x x x, x, x,, x ) ( 3.... X 8

Επανάθεση Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ο Λ Η Ψ Ι Α Μ Ε Ε Π Α Ν Α Θ Ε Σ Η τυχαία δειγματοληψία οδηγεί σε τυχαίο δείγμα ανεξαρτησία λόγω επανάθεσης ισονομία λόγω μη αλλαγής αρχικού πληθυσμού Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ο Λ Η Ψ Ι Α Χ Ω Ρ Ι Σ Ε Π Α Ν Α Θ Ε Σ Η τυχαία δειγματοληψία δ ε ν οδηγεί σε τυχαίο δείγμα Ισχύει η ισονομία αλλά όχι ή ανεξαρτησία Αν μέγεθος δείγματος μέγεθος πληθυσμού < 0,, υποθέτουμε ανεξαρτησία με καλή προσέγγιση 9

Παράδειγμα συνάρτησης πυκνότητας Από πληθυσμό 000 λαμπτήρων επιλέγεται δείγμα τάξεως 3. Αν η διάρκεια ζωής των λαμπτήρων ακολουθεί την εκθετική κατανομή : f ( x) 0, x 0, e, x 0 Να δοθεί η συνάρτηση πυκνότητας του δείγματος. ( x3 Έστω : x, x, ) ( x, x, x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f 3 3 3 0, ( ) ( x + x+ x3 ) 0, e Η μόνη παραδοχή : τυχαία δειγματοληψία 0

Αξιοπιστία δείγματος Ιδανικό δείγμα αυτό που αποτελεί μια μ ι κ ρ ο γ ρ α φ ί α του πληθυσμού (αντιπροσωπευτικό δείγμα). Διακρίνουμε δύο είδη σφαλμάτων : σφάλμα δειγματοληψίας τυχαίο σφάλμα λόγω του περιορισμένου μεγέθους του δείγματος αναπόφευκτο αλλά μετρήσιμο, εφόσον το δείγμα είναι τυχαίο μειώνεται με την τάξη του δείγματος

Συστηματικό σφάλμα συστηματικό σφάλμα (σφάλμα μεροληψίας) σφάλμα που προέρχεται από ατέλειες κατά την διαδικασία της δειγματοληψίας μη μετρήσιμο, π.χ. ασαφείς ερωτήσεις ερωτηματολογίου, μη υπολογισμός ατόμων που αρνούνται να απαντήσουν, αποκλεισμός (ακούσιος) ατόμων του πληθυσμού

Στατιστικά δείγματος Έστω ( Χ, Χ,.., Χ ) τυχαίο δείγμα από την τυχαία μεταβλητή Χ, ορισμένη σε κάποιο πληθυσμό. Κάθε πραγματική συνάρτηση : Y g ( X X ),, X καλείται σ τ α τ ι σ τ ι κ ό δ ε ί γ μ α τ ο ς Το στατιστικό, ως συνάρτηση τυχαίων μεταβλητών, είναι προφανώς τυχαία μεταβλητή. Η συνάρτηση κατανομής της, καλείται κατανομή δειγματοληψίας 3

Παραδείγματα στατιστικών δειγματικός μέσος δειγματική διασπορά X X S ( X X ) δειγματική αναλογία Έστω p η αναλογία (ποσοστό) ατόμων ενός πληθυσμού που παρουσιάζουν μια ιδιότητα (π.χ. ελαττωματικά - μη ελαττωματικά, καπνίζοντες - μη καπνίζοντες) ( ω ω, ω, ) :, 3 πληθυσμός X 0 ( x, x,, x ) : άτομο έχει την ιδιότητα άτομο δεν έχει την ιδιότητα Δείγμα τάξης

Συνέχεια παραδειγμάτων Έχουμε : P ( X ) p, P ( X 0) p { X } 0 ( p ) + p p E X p X κ Πλήθος στοιχείων του δείγματος με την υπό μελέτη ιδιότητα τάξη δείγματος 5

Έστω f (x) η κατανομή της Χ ορισμένης σε ένα πληθυσμό και τυχαίο δείγμα τάξης. Ο δειγματικός μέσος Χ X ( X, X,, ) X είναι τυχαία μεταβλητή με τις εξής ιδιότητες : E { X } E X } E { X + X + + X } Δειγματικός μέσος E { X } { }! E µ του πληθυσμού X 6

Διασπορά δειγματικού μέσου H διασπορά του δειγματικού μέσου είναι : VAR { } X VAR σ X } x [ VAR { X } + VAR { X } + + VAR { X }] Ανεξαρτησία των X Διασπορά πληθυσμού Ισονομία VAR { X } VAR { X } σ x σ! 7

Κεντρικό οριακό θεώρημα Αν ο πληθυσμός είναι κανονικός δηλ. Ν ( μ, σ ), τότε ο δειγματικός μέσος έχει δειγματοληπτική κατανομή επίσης κανονική, δηλ. Χ ~ N µ, σ Αν ο πληθυσμός έχει οιαδήποτε κατανομή με μ Ε { Χ } και σ VAR { Χ }, τότε ο δειγματικός μέσος είναι ασυμπτωτικά κανονικός ( ), δηλ. ~ Χ N µ, σ! Πρακτικά για > 5.30 Κεντρικό οριακό θεώρημα! 8

Κατανομή για μεγάλες τιμές f (x) Κατανομή πληθυσμού µ Ε { X } x Δειγματοληπτική κατανομή δειγματικού μέσου για μεγάλα ( x) f x > x 9

Στην περίπτωση τυχαίας δειγματοληψίας από πεπερασμένο πληθυσμό χωρίς επανάθεση (άρα όχι τυχαίο δείγμα), έχουμε : { Χ } µ Χωρίς τυχαίο δείγμα σ E αλλά VAR { Χ } σ x N N όπου : Ν μέγεθος πληθυσμού μέγεθος δείγματος διόρθωση για μικρά δείγματα Προφανώς για Ν, έχουμε : VAR { Χ } Προφανώς για Ν (άπειρος πληθυσμός), το δέιγμα είναι πλέον τυχαίο και ισχύει το κεντρικό οριακό θεώρημα. σ 30

Το βάρος ατόμων είναι 80, 8, 78 και 76 kg. 3 α) Να βρεθούν τα χαρακτηριστικά του πληθυσμού β) Από τον παραπάνω πληθυσμό επιλέγουμε τυχαίο δείγμα τάξης. Να βρεθούν τα χαρακτηριστικά του δειγμα- τικού μέσου γ) Να επαναληφθεί το β, αν το δείγμα συλλέγεται χωρίς επανάθεση α) ( A, A, A A ) 3, f ( x) F( x) Παράδειγμα Χ : βάρος ( 80, 8, 78, 76 ) 76 78 80 8 x 3

Συνέχεια παραδείγματος E { X } P ( X x ) x 76 + 78 + 80 + 8 79 VAR { X } σ P ( X x ) ( x µ ) ( 76 79 ) + ( 78 79 ) + ( 80 79 ) + + 9 ( 8 79 ) ( 9 + + + ) 0 5 3

β) Ο δειγματικός μέσος ισούται με : Χ X Χ Δεδομένου ότι η δειγματοληψία γίνεται με επανάθεση, όλα τα δυνατά δείγματα μεγέθους είναι 6. ( x, ) x ( 76, 76 ) ( 76, 78 ) ( 76, 80 ) ( 76, 8 ) ( 78, 78 ) ( 78, 80 ) ( 78, 8 ) ( 80, 80 ) ( 80, 8 ) Ο δειγματικός Χ 76 77 78 79 78 79 80 80 8 X ( 8, 8 ) ( 78, 76 ) ( 80, 76 ) ( 8, 76 ) ( 80, 78 ) ( 8, 78 ) ( 8, 80 ) μέσος 8 77 78 79 79 80 8 33

Β ά ρ ο ς Βάρος και Πιθανότητα f x [ ] x Π ι θ α ν ό τ η τ α [ P ( X x ) ] 76 6 77 6 3 6 6 3 6 6 78 79 80 8 8 ( x ) 6 3 6 6 6 6 76 77 78 79 80 8 8 x 3

E 7 { Χ } x P ( X x ) Υπολογισμοί + 76 80 6 3 6 + + 77 6 8 6 + + 78 8 3 6 6 + 79 79 6 + Αναμενόμενο επειδή : E { X } E { X } VAR + 7 { X } ( x 79 ) P ( X x ) 3 9 + + 6 6 6 + 9 6 6,5 + 6 0 + 3 6 + VAR Αναμενόμενο επειδή : { } { X } VAR X 5 0 με 35

( x, x ) ( 76, 78 ), ( 78, 76 ) f x Δείγματα τάξης ( 76, 78 ), ( 78, 76 ) ( 76, 8 ), ( 8, 76 ) ( 78, 80 ), ( 80, 78 ) ( 78, 8 ), ( 8, 78 ) ( 80, 8 ), ( 8, 80 ) ( x ) x 77 78 79 79 80 8 γ) Τώρα τα δείγματα τάξης είναι : 3 6 6 77 78 79 80 8 36 x

{ } + + + + 6 8 6 80 6 79 6 78 6 77 X E 79 { } + + + + 6 6 6 0 6 6 X VAR 3 5 3 5 5 N N σ διόρθωση μικρού δείγματος Υπολογισμοί δειγμάτων 37

To βάρος Χ ενός συσκευασμένου προϊόντος ακολουθεί την κανονική κατανομή. ( N 500, ) Να προσδιοριστούν : Παράδειγμα α) Η πιθανότητα σε τυχαίο δείγμα τάξεως 0 ο δειγματικός μέσος να βρίσκεται στο διάστημα [9, 506]. β) Η πιθανότητα του ιδίου γεγονότος για δείγμα τάξης 5 α) P ( 9 < X 506 ) P 9 500 0 σ x < Χ µ σ x Z 506 500 0 P Φ 0 < Z 0 Φ 0 0 Φ,58 Φ,58 0, ( ) ( ( ) ) 886 0,93 38

Ερώτημα β β) Τώρα σ x 5 5 ( 9 < Χ < ) P 506 P 9 500 5 Ζ σ x 506 500 5 (,5 ) 0, 9876 Φ 0,9938 Προφανώς για (άπειρο δείγμα), η παραπάνω πιθανότητα 39

Κατανομή δειγματοληψίας δειγματικής διασποράς Έστω f (x) η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ, ορισμένης σε ένα πληθυσμό με E { X } µ και VAR { } X σ, και ( X X, X,, ) τυχαίο δείγμα μεγέθους., 3 X H δειγματική διασπορά S ( X X ) είναι τυχαία μεταβλητή με τις εξής ιδιότητες : 0

{ } S σ E! Επειδή : Υπολογισμός Ε{S } ( ) [ ( ) ( ) ] X X X µ X µ [ ( ) ( ) ( ) + ( ) X µ X µ X µ X µ ] ( X ) ( Χ µ ) ( µ ) + ( Χ µ ) X µ X µ ( X µ ) ( X µ ) ( ) ( ) + ( ) µ X µ X µ X

( µ ) ( Χ µ ) X Αισιόδοξες εκτιμήσεις E { ( ) ( ) } { ( ) } X µ X µ E Σ X µ E ( X µ ) { } σ σ σ { S } E ( X Χ ) σ ( ) σ E Διαίρεση με αντί - οδηγεί σε αισιόδοξες εκτιμήσεις (μικρά )

Συνέχεια παραδείγματος (76, 78, 80, 8) όπου : E { X } 79 E { Χ }; VAR{ X } σ 5 μέση τιμή πληθυσμού διασπορά πληθυσμού δειγματική διασπορά : S ( X X ) Τάξη δείγματος 3

( x, x ) x ( 76, 76 ) 76 0 ( 76, 78 ) 77 ( 76, 80 ) 78 8 ( 76, 8 ) 79 8 ( 78, 78 ) 78 0 ( 78, 80 ) 79 ( 78, 8 ) 80 8 ( 80, 80 ) 80 0 ( 80, 8 ) 8 ( 8, 8 ) 8 0 ( 78, 76 ) 77 ( 80, 76 ) 78 8 ( 8, 76 ) 79 8 ( 80, 78 ) 79 ( 8, 78 ) 80 8 ( 8, 80 ) 8 Σ S 80 P P P P ( S 0 ) ( S ) ( S 8 ) 6 6 6 6 ( S 8 ) 6 E { S } 0 + + 6 6 + 6 6 6 80 8 + 8 5 σ 6 6 6 f S ( s ) Συνέχεια υπολογισμών 6 8 8 s

Στατιστικό δείγμα τάξης Στη περίπτωση στατιστικού δείγματος τάξης, έχουμε προφανώς μεταβλητές, X, X,, X Προκειμένου για το στατιστικό X ( Δειγματικός μέσος ) X οι μεταβλητές X, X,, X δεν υπόκεινται σε κανένα περιορισμό, άρα έχουμε βαθμούς ελευθερίας. Προκειμένου για το στατιστικό S ( X X ) ( Δειγματική διασπορά ) οι μεταβλητές πρέπει να πληρούν τη σχέση (δέσμευση) του δειγματικού μέσου, άρα έχουμε - βαθμούς ελευθερίας 5

Τυχαίο μέγεθος Εάν ο πληθυσμός έχει κανονική κατανομή, Ν ( μ, σ ), τότε το τυχαίο μέγεθος S ( )! έχει κατανομή χ με - βαθμούς ελευθερίας σ στη πράξη χρησιμοποιούμε την τυχαία μεταβλητή S σ ( ), η οποία είναι απαλλαγμένη από μονάδες βαθμοί ελευθερίας πλήθος ελεύθερων επιλογών στα πλαίσια προσδιορισμού ενός συνόλου μεταβλητών αριθμός μεταβλητών - αριθμός δεσμεύσεων π.χ. α + β + γ 0 : τρείς μεταβλητές, α, β, γ μία δέσμευση βαθμοί ελευθερίας 6

Γέννεση : Αν Αν Αν X N ( 0, ) X χ N ( 0, ) X X ( 0, ) ~ ~ X ~, X,, X ~ X, + χ X ~ N X + + + X X S σ ~ χ βαθμοί ελευθερίας σαν δείκτης ( ) ( ) ( X X ) σ σ ( X Χ ) Αν Χ (πληθυσμός) Ν ( μ, σ ), τότε τα κατά Ν ( 0, ) ( ) Η κατανομή χ S σ κατανεμημένο κατά X X σ χ είναι κατανε-μημένα 7

Παραδείγμα α α) Δεδομένου ότι ο πληθυσμός είναι κατανεμημένος κανονικά, έχουμε : S s s ( ) 9 χ 9 σ 9 9 ~ κατανομή χ με 9 βαθμούς ελευθερίας Αν το βάρος συσκευασίας ακολουθεί την Ν ( 50, 9 ), προσδιορίστε διάστημα που θα εμπερικλείει την δειγματική διασπορά με πιθανότητα 95% για δείγματα τάξης 0. f χ ν 0,95 0,05 0,05 χ 9 ; 0,05 χ 9 ; 0,975 χ ν Πίνακας, 7 Πίνακας 9 8

Συνέχεια παραδείγματος α P (,7 < χ 9 ) 0, 95 9 P P,7,7 < S 9 9 0,95 ( 9 < S 9 9 ) 0, 95 P (, 3 < S 7 ) 0, 95 Άρα το διάστημα που εμπερικλείει την δειγματική διασπορά με πιθανότητα 95 % είναι : [, 3 ; 7 ] σημαντική αβεβαιότητα, δεδομένου ότι : E { } S σ 8 9

β) Παράδειγμα β Πως μεταβάλλεται το διάστημα αν δεκαπλασιάσουμε το δείγμα ; Τώρα έχουμε : S σ ~ ( ) 99, S χ S 9 99 Π ί ν α κ α ς χ χ 99 99 ; ; 0,05 0,975 7, 30 P P ( 7, < χ 30 ) 0, 95 99 ( 7, <, S 30 ) 0, 95 P ( 60 < S 06 ) 0, 95 Διάστημα : [ 60, 06 ] σημαντική μείωση της αβεβαιότητας! 50

Παράδειγμα γ Έστω S η διακύμανση που υπολογίζεται σε τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από την τυχαία μεταβλητή Χ ~ Ν ( 00, 50 ). Ποια η πιθανότητα η S να είναι μεγαλύτερη από 7,7. P ( S > 7, 7 ) ( S > 7, ) P 7 σ σ χ 50 P ( > 9,7 ) 0, 05 χ 5

Άσκηση ερώτημα α Ένα κανονικό νόμισμα ρίχνεται φορές και έστω, Χ : πλήθος εμφάνισης «κεφαλής» α) Να υπολογιστούν τα μεγέθη X και VAR E { } { X } Έχουμε : Χ Χ με δειγματική αναλογία Χ 0 δειγματική διασπορά «γράμματα» «κεφαλή» Ε Ε { Χ } 0 +, VAR,.., { Χ } Ε { Χ } { Χ } Ε{ Χ } Ε{ Χ } ( ) { } ( ) { } ( ) Χ VAR Χ VAR { Χ } 5 VAR

Β)Αν 00, να βρεθεί η πιθανότητα, ότι το Χ/ δεν διαφέρει από την θεωρητική τιμή περισσότερο από 0%. Η θεωρητική τιμή είναι Ζητείται η πιθανότητα : P Χ Ασκηση ερώτημα β 0, Ε Χ 0% του 0,5 Από το κεντρικό οριακό θεώρημα, έχουμε : Χ Χ Σ Χ ~ Ν ( ) ; Ν 0,5 ; ( 0,05 ) ( ) Χ X P 0, P 0, 0, 53

P Ασκηση ερώτημα γ Χ 0, 0,05 0,05 Ν ( 0,) P Φ 0, 0,05 Ζ ~ ( Ζ ) Φ ( ) Φ ( ) ( ) ( Φ ( ) ) Φ ( ) 0, 95 0,977 γ) Υπολογίστε την μικρότερη τιμή του, ώστε η παραπάνω πιθανότητα να αυξηθεί σε 99 %. Έχουμε : Χ ~ Ν 0,5 ; 5

Ζητούμε το ελάχιστο, ώστε : P P Συνέχεια ερωτήματος γ Χ 0, 0, 0, Ρ Χ Ζ 0, 0,99 ( 0, Ζ 0, ) Φ ( 0, ) Φ ( 0, ) 0, 99 Φ Φ ( 0, ) ( 0, ) 0,,575 0,99,99 0,995 Φ 66 ( 0, ) 55

Άσκηση Η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κατανομή Posso με λ 5. α) ( Ε{ Χ } VAR{ Χ } λ ) Σε τυχαίο δείγμα τάξεως 3, ποια η πιθανότητα ο δειγματικός μέσος να εμπερικλείεται στο διάστημα [,5 ; 5,5 ]. Δεδομένου ότι το δείγμα είναι αρκετά μεγάλο, σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα έχουμε : όπου : Χ X ~ Ν ( µ, σ ) { } VAR { X } Χ λ και σ µ Ε 5 x λ x 5 3 0,56 56

Ζητούμε την πιθανότητα : P,5 5 Χ 5 5,5 5 (,5 Χ 5,5 ) P 0,56 0,56,66 Ν ( 0, ) Ζ ~ 0,56,66 (,66 Ζ,66 ) Φ (,66) Φ (, ) P 66 (, 66 ) 0, 79 Φ β) Πως μεταβάλλεται η παραπάνω πιθανότητα αν τετραπλασιάσουμε το δείγμα 5 σ λ σ 0, 98 x Ασκηση ερώτημα β x 3 0,897 P,5 5 0,98 Ζ 5,5 5 0,98 Φ,5 +, 5 (,5 ) Φ (,5 ) Φ (,5 ) 0, 988 0,99 57

Άσκηση 3 Γαλακτοκομική επιχείρηση συσκευάζει βούτυρο σε πακέτα των 50 gr. Αγορανομική επιτροπή ελέγχει καθημερινά το βάρος συσκευασίας σε τυχαίο δείγμα τάξης 9. Αν επιβάλλεται πρόστιμο 00 χιλ. δρχ. κάθε μέρα που το βάρος που παρατηρείται είναι μικρότερο από α gr., το δε βάρος των πακέτων ακολουθεί κατανομή Ν ( 50 ; 8 ), υπολογίστε το α, ώστε το μέσο ετήσιο πρόστιμο να είναι 365.000 δρχ. Για το μέσο ετήσιο πρόστιμο έχουμε : 365 p 00.000 365.000 ημέρες p πρόστιμο Πιθανότητα ο αγορανομικός έλεγχος να δώσει τιμή μικρότερη του α 365.000 365 00.000 0,0 58

Λύση άσκησης 3 Ισχύει : Ζ ~ Ν ( 0, ) Χ p ~ P Ν 50, ( Χ α ) P 3 3 8 9 Ν ( 50 ; 3 ) 0, 0 Χ 50 α 50 0,0 0, 0 Ζ 0,99 Ζ 0,0 Ζ 0, 99,33 α 50 3,33 α 3 x 59

Δίνεται η κατανομή πιθανοτήτων της τυχαίας μεταβλητής Χ : ημερήσια ζήτηση κάποιου προϊόντος : Χ Πιθανότητα : : 0 Άσκηση 3 5 6 0, 0, 6 0, 5 0, 8 0, 0, 0 0, 07 α) Αν πάρουμε τυχαίο δείγμα τάξης 5,5, ποιό είναι το διάστημα στο οποίο με πιθανότητα 95%, θα βρίσκεται η δειγματική μέση τιμή x P ( ) x P ( x ) x P ( x ) 0 3 5 6 x 0, 0,6 0,5 0,8 0, 0,0 0,07 0 0 0,6 0,50 0,5 0,8 0,50 0, 0,6,00,6,9,50,5,6 9, 7 60

Λύση της ασκησης µ x P σ ( x ), 6 x P Σ µ ( x ) 9,7,6, 96 Λόγω του κεντρικού οριακού θεωρήματος, έχουμε : Χ ~ 55 X,6,96 55 ~ Ν,96 ( µ, σ ) Ν,6 ; Ν ˆ x Z ( 0, ) σ x,3 55 0 P Ζ Χ,6 0,3 0,5 Ζ 0,975 0,95,96,96 Ζητούμενο διάστημα : [,6,96 0,3 ;,6 +,96 0,3 ] [,5 ; 3,055 ] 6

Απάντηση ερωτήματος β β) Δικαιολογείται στο παραπάνω υπολογισμό να χρησιμοποιηθεί η κατανομή Studet ; Τι επίδραση έχει η τάξη του δείγματος στην επιλογή Studet - Gauss στο παραπάνω παράδειγμα ; Τι επίδραση έχει γενικά η επιλογή της κατανομής Studet στο εύρος του διαστήματος και γιατί ; όχι, γιατί η διασπορά είναι γνωστή ουδεμία στην προκειμένη περίπτωση το εύρος αυξάνει, γιατί σωστή επιλογή της Studet συνεπάγεται μη γνωστή διασπορά, οπότε η αύξηση της αβεβαιότητας εκφράζεται με μεγαλύτερο διάστημα 6

Αν στα ανώτερα διοικητικά στελέχη επιχειρήσεων, η αναλογία των γυναικών ισούται με p 0,, υπολογίστε : α) Το διάστημα που εμπεριέχει την δειγματική αναλογία με πιθανότητα 99% σε τυχαίο δείγμα τάξης 00 Έχουμε : p Ν p ; p ˆ ~ ( p ) Άσκηση 5 00 κεντρικό οριακό θεώρημα pˆ ~ Ν 0, ; 0, 0,8 00 Ν ( 0, ; 0 ) [ ] 0, ± Ζ 0,995 0 Διάστημα :,565 [ 0, ± 0,053 ] [ 0,87 ; 0,53 ] 63

Ασκηση 5 ερώτημα β Β)Δώστε σχηματικά τις γραφικές παραστάσεις της κατανομής της δειγματικής αναλογίας για 00 και 00. Ερμηνεύστε την ύπαρξη αρνητικών αναλογιών καθώς και την επίδρασή τους στα αποτελέσματα f 00 pˆ 00 0, Η υπόθεση της κανονικής κατανομής συνπάγεται τόσο την ύπαρξη αρνητικών, όσο και την ύπαρξη αναλογιών >. Για μεγάλες τάξεις δείγματος, η διασπορά είναι μικρή. Το ποσοστό της κατανομής για τιμές pˆ > και pˆ < 0 είναι αμελητέο. 6 pˆ

Γ) Υπολογίστε την πιθανότητα P ( S < 0,) και δώστε τις παραδοχές σας. Το μέγεθος μένες κατά S χ σ ~ σε δείγμα τάξης 00 αν ο πληθυσμός είναι κατανεμη- Ν ( μ, σ ), πράγμα που δεν ισχύει στην προκειμένη περίπτωση ( Πληθυσμός κατανεμημένος διωνυμικά: άνδρας - γυναίκα ). Με την παραδοχή κανονικού πληθυσμού : P Πίνακας : P Ασκηση 5 ερώτημα γ S ( ) ( ) 0, ( ) S 0, P S σ σ ( ) 0, 99 < P ( Χ < 6,5 ) P 99 ; p Χ 99 ; 0,005 σ 67 ( S 0, ) < 0, 005 0, 0,8 65

Άλυτες ασκήσεις 66

Άλυτες ασκήσεις συνέχεια 67

Τέλος Ενότητας