K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole 2 Λογικές συναρτήσεις 3 Θεωρήματα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 2 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Γενικά Κάθε άλγεβρα Boole είναι μια αλγεβρική δομή η οποία αποτελείται από ένα σύνολο και δύο ή περισσότερες πράξεις (+,, κλπ) οι οποίες μπορούν να επενεργήσουν στα στοιχεία αυτού του συνόλου Ανάλογα με την επιλογή του συνόλου και τον τρόπο ορισμού των πράξεων, μπορούμε να έχουμε διαφορετικές άλγεβρες Boole Στη συνέχεια θα μελετήσουμε την δίτιμη άλγεβρα Boole, δηλαδή εκείνη που ορίζεται σε ένα σύνολο δύο μόνο στοιχείων 1 1 Στο εξής, με τον όρο άλγεβρα Boole θα εννοούμε την δίτιμη άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 3 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Στοιχεία Τα στοιχεία της άλγεβρας Boole είναι τα μέλη του συνόλου Β={0,1} Θα πρέπει να τονίσουμε πως, στην άλγεβρα Boole τα σύμβολα 0 και 1 δεν αντιστοιχούν στους γνωστούς μας αριθμούς Με όρους προτασιακής λογικής το στοιχείο 0 αντιστοιχεί προς την έννοια του ψευδούς, ενώ το στοιχείο 1 αντιστοιχεί προς την έννοια του αληθούς Αντίστοιχα, με όρους της θεωρίας συνόλων, το στοιχείο 0 είναι συναφές με το κενό σύνολο ( ) ενώ το στοιχείο 1 είναι συναφές με το καθολικό σύνολο (U) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 4 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Πράξεις Το σύνολο B={0,1} εφοδιάζεται με τις εξής πράξεις: Συμπλήρωμα (ΟΧΙ, NOT) Το συμπλήρωμα ενός στοιχείου x του συνόλου B συμβολίζεται με x και ορίζεται ως εξής: { 1, αν x = 0 x = 0, αν x = 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 5 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Πράξεις Άσκηση Να αποδείξετε πως το σύνολο Β είναι κλειστό ως προς την πράξη του συμπληρώματος: x B, x B Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 6 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Πράξεις Σύζευξη (ΚΑΙ, AND) Έστω x και y στοιχεία του συνόλου B Η πράξη της σύζευξης των στοιχείων x και y συμβολίζεται με x y και ορίζεται ως εξής: { 1, αν x = 1 και y = 1 x y = 0, αλλιώς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 7 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Πράξεις Άσκηση Να αποδείξετε πως το σύνολο Β είναι κλειστό ως προς την πράξη της λογικής σύζευξης Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 8 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Πράξεις Διάζευξη (Ή, OR) Έστω x και y στοιχεία του συνόλου B Η πράξη της διάζευξης των στοιχείων x και y συμβολίζεται με x+y και ορίζεται ως εξής: { 1, αν x = 1 ή y = 1 x + y = 0, αλλιώς Ισοδύναμα, η πράξη της διάζευξης μπορεί να περιγραφεί ως εξής: { 0, αν x = 0 και y = 0 x + y = 1, αλλιώς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 9 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Πράξεις Άσκηση Να αποδείξετε πως το σύνολο Β είναι κλειστό ως προς την πράξη της λογικής διάζευξης Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 10 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Πίνακες αλήθειας βασικών πράξεων Οι πίνακες αλήθειας αποτελούν εναλλακτικό τρόπο ορισμού και περιγραφής των βασικών πράξεων της άλγεβρας Boole, αλλά και οποιασδήποτε λογικής συνάρτησης Ο πίνακας αλήθειας ο οποίος περιγράφει μια πράξη περιλαμβάνει όλες τους δυνατούς συνδυασμούς τιμών των ορισμάτων της, καθώς και την τιμή την οποία επιστρέφει η συνάρτηση για καθέναν από τους συνδυασμούς αυτούς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 11 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Πίνακες αλήθειας βασικών πράξεων Συμπλήρωμα (ΟΧΙ, NOT) Ο πίνακας αλήθειας ο οποίος περιγράφει την πράξη του συμπληρώματος προκύπτει από τη σχέση ορισμού της πράξης και έχει ως εξής: x x 0 1 1 0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 12 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Πίνακες αλήθειας βασικών πράξεων Σύζευξη (ΚΑΙ, AND) Ο πίνακας αλήθειας ο οποίος περιγράφει την πράξη της σύζευξης προκύπτει από τη σχέση ορισμού της πράξης και έχει ως εξής: x y x y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 13 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Πίνακες αλήθειας βασικών πράξεων Διάζευξη (Ή, OR) Ο πίνακας αλήθειας ο οποίος περιγράφει την πράξη της διάζευξης προκύπτει από τη σχέση ορισμού της πράξης και έχει ως εξής: x y x+y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 14 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Ιδιότητες των πράξεων Για τις πράξεις της δίτιμης άλγεβρας Boole ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες, οι οποίες και δικαιολογούν τον χαρακτηρισμό της ως αλγεβρικής δομής Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 15 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Ιδιότητες των πράξεων Κλειστότητα των πράξεων x B, x B (κλειστότητα ως προς την πράξη του συμπληρώματος) x, y B, x y B (κλειστότητα ως προς την πράξη της σύζευξης) x, y B, x + y B (κλειστότητα ως προς την πράξη της διάζευξης) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 16 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Ιδιότητες των πράξεων Αντιμεταθετικότητα Τόσο η πράξη της σύζευξης όσο και η πράξη της διάζευξης είναι αντιμεταθετικές, ισχύουν δηλαδή τα ακόλουθα: x, y B, x y = y x (αντιμεταθετικότητα ως προς την πράξη της σύζευξης) x, y B, x + y = y + x (αντιμεταθετικότητα ως προς την πράξη της διάζευξης) Θα πρέπει να σημειωθεί πως η αντιμεταθετικότητα δεν έχει νόημα για την πράξη του συμπληρώματος, καθώς αυτή δέχεται ένα και μοναδικό όρισμα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 17 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Ιδιότητες των πράξεων Ουδέτερο στοιχείο Το ουδέτερο στοιχείο για την πράξη της σύζευξης ( ) είναι το 1, ενώ για την πράξη της διάζευξης (+) είναι το 0 Συγκεκριμένα: x B, x 1 = x (ουδέτερο στοιχείο ως προς την πράξη της σύζευξης) x B, x + 0 = x (ουδέτερο στοιχείο ως προς την πράξη της διάζευξης) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 18 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Ιδιότητες των πράξεων Επιμεριστικότητα Η πράξη της σύζευξης είναι επιμεριστική ως προς την πράξη της διάζευξης και αντίστροφα Συγκεκριμένα, ισχύουν τα ακόλουθα: x, y, z B, x (y + z) = x y + x z (επιμεριστικότητα της σύζευξης ως προς τη διάζευξη) x, y, z B, x + (y z) = (x + y) (x + z) (επιμεριστικότητα της διάζευξης ως προς τη σύζευξη) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 19 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Προτεραιότητα των πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων + και της άλγεβρας Boole συμβαδίζει με την προτεραιότητα των αντίστοιχων πράξεων της στοιχειώδους άλγεβρας Προηγείται, δηλαδή, η πράξη της σύζευξης ( ) και έπεται η πράξη της διάζευξης (+) Επίσης, όπου δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης, το σύμβολο της πράξης της σύζευξης ( ) μπορεί να παραλείπεται Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 20 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Προτεραιότητα των πράξεων Παράδειγμα Έστω η έκφραση x y + y + xyz Θα βρούμε την τιμή της έκφρασης για x = 0, y = 1 και z = 0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 21 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Προτεραιότητα των πράξεων Άσκηση Έστω η έκφραση x + y + (y z + 1) z Να βρεθεί η τιμή της έκφρασης για x = 0, y = 1 και z = 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 22 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Δευτερογενείς πράξεις NAND Η λογική πράξη NAND ορίζεται ως το συμπλήρωμα του αποτελέσματος της πράξης της σύζευξης, δηλαδή x y x y x y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 23 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Δευτερογενείς πράξεις NOR Η λογική πράξη NOR ορίζεται ως το συμπλήρωμα του αποτελέσματος της πράξης της διάζευξης, δηλαδή x + y x y x + y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 24 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Δευτερογενείς πράξεις XOR x y x y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 25 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Δευτερογενείς πράξεις XNOR x y x y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 26 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Modulo-2 πράξεις Γενικά, η modulo-2 εκδοχή μιας αριθμητικής πράξης ορίζεται ως εξής: ( ) x y (x y) %2 = υπόλ 2 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 27 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Modulo-2 πράξεις Η λογική πράξη XOR ταυτίζεται με την modulo-2 πρόσθεση: x y x +y x y=(x +y) %2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 28 / 60

Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Modulo-2 πράξεις Η λογική πράξη AND ταυτίζεται με τον modulo-2 πολλαπλασιασμό: x y x y x y=(x y) %2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 29 / 60

Λογικές συναρτήσεις Περιεχόμενα 1 Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole 2 Λογικές συναρτήσεις 3 Θεωρήματα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 30 / 60

Λογικές συναρτήσεις Γενικά Με τον όρο λογική συνάρτηση εννοούμε μια μονοσήμαντη σχέση η οποία απεικονίζει ένα ή περισσότερα στοιχεία του συνόλου B = {0, 1} (τα ορίσματα της συνάρτησης) σε ένα στοιχείο του ίδιου συνόλου (την τιμή της συνάρτησης) Κάθε λογική συνάρτηση μπορεί να οριστεί είτε με τη βοήθεια ενός τύπου ο οποίος συνδέει την τιμή της συνάρτησης με τις τιμές των ορισμάτων της μέσω των βασικών πράξεων της άλγεβρας Boole, είτε με τη βοήθεια του πίνακα αλήθειας ο οποίος παρέχει την τιμή της συνάρτησης για κάθε συνδυασμό τιμών των ορισμάτων της Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 31 / 60

Λογικές συναρτήσεις Ορισμός λογικής συνάρτησης Παράδειγμα Έστω η λογική συνάρτηση δύο μεταβλητών (ορισμάτων) x και y με τύπο f(x, y) = x + y Θα βρούμε τον πίνακα αλήθειας ο οποίος περιγράφει τη συνάρτηση f Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 32 / 60

Λογικές συναρτήσεις Ορισμός λογικής συνάρτησης Παράδειγμα Έστω λογική συνάρτηση f η οποία ορίζεται από τον πιο κάτω πίνακα αλήθειας Θα βρούμε τον τύπο της λογικής συνάρτησης x y f 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 33 / 60

Λογικές συναρτήσεις Ορισμός λογικής συνάρτησης Ερώτηση Είναι μοναδική η λογική συνάρτηση η οποία αντιστοιχεί σε δοσμένο πίνακα αλήθειας; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 34 / 60

Λογικές συναρτήσεις Ορισμός λογικής συνάρτησης Ερώτηση Έστω λογική συνάρτηση f με n ορίσματα (μεταβλητές) Ποιες οι διαστάσεις του πίνακα αλήθειας ο οποίος την περιγράφει; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 35 / 60

Λογικές συναρτήσεις Ορισμός λογικής συνάρτησης Άσκηση Δίνεται η λογική συνάρτηση f(x, y, z) = x + y z Να βρεθεί ο πίνακας αλήθειας της συνάρτησης Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 36 / 60

Λογικές συναρτήσεις Ορισμός λογικής συνάρτησης Άσκηση Να βρείτε τους πίνακες αλήθειας όλων των δυνατών λογικών συναρτήσεων με δύο ορίσματα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 37 / 60

Λογικές συναρτήσεις Ορισμός λογικής συνάρτησης Άσκηση Δίνονται οι λογικές συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται από τους τύπους f(x, y) = x y και g(x, y) = x + y + x x Να βρείτε τους αντίστοιχους πίνακες αλήθειας και να αποδείξετε πως οι δύο συναρτήσεις ταυτίζονται Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 38 / 60

Θεωρήματα Περιεχόμενα 1 Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole 2 Λογικές συναρτήσεις 3 Θεωρήματα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 39 / 60

Θεωρήματα Γενικά Οι προτάσεις ή οι σχέσεις που μπορούν να αποδειχθούν με βάση τα αξιώματα 2 της άλγεβρας Boole ονομάζονται θεωρήματα Οι ιδιότητες των πράξεων στις οποίες έχουμε ήδη αναφερθεί αποτελούν θεωρήματα, καθώς η ισχύς τους μπορεί να αποδειχθεί, όπως θα δείξουμε στη συνέχεια 2 Οι ορισμοί των βασικών πράξεων αποτελούν αξιώματα της άλγεβρας Boole Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 40 / 60

Θεωρήματα Απόδειξη ιδιοτήτων και θεωρημάτων Παράδειγμα Θα αποδείξουμε την επιμεριστικότητα της διάζευξης ως προς τη σύζευξη: x, y, z B, x + (y z) = (x + y) (x + z) Για την απόδειξή μας θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των πινάκων αλήθειας Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 41 / 60

Θεωρήματα Απόδειξη ιδιοτήτων και θεωρημάτων Παρατήρηση Η μεθοδολογία την οποία εφαρμόσαμε στο προηγούμενο παράδειγμα είναι γενική, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη οποιασδήποτε ταυτότητας Πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να θεωρήσουμε τα δύο μέλη μιας ταυτότητας ως δύο διαφορετικές λογικές συναρτήσεις, να βρούμε τους πίνακες αλήθειας για κάθε συνάρτηση ξεχωριστά, και να επιβεβαιώσουμε την ισχύ της ταυτότητας αν οι πίνακες αλήθειας ταυτίζονται Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 42 / 60

Θεωρήματα Απόδειξη ιδιοτήτων και θεωρημάτων Παράδειγμα Θα αποδείξουμε πως η μονάδα αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο της πράξης της σύζευξης: x B, 1 x = x Για την απόδειξή μας θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της άλγεβρας των συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 43 / 60

Θεωρήματα Απόδειξη ιδιοτήτων και θεωρημάτων X = U X U Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 44 / 60

Θεωρήματα Απόδειξη ιδιοτήτων και θεωρημάτων Παράδειγμα Θα αποδείξουμε πως το μηδέν αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο της πράξης της διάζευξης: x B, 0 + x = x Για την απόδειξή μας θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της άλγεβρας των συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 45 / 60

Θεωρήματα Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα x + 1 = 1 x 1 = x x + 0 = x x 0 = 0 x + x = 1 x x = 0 x + x = x x x = x x = x x + xy = x x (x + y) = x x + y = x y x y = x + y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 46 / 60

Θεωρήματα Βασικές ιδιότητες και θεωρήματα Άσκηση Να αποδειχθούν οι ιδιότητες και τα θεωρήματα της προηγούμενης διαφάνειας Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 47 / 60

Θεωρήματα Δυισμός Στην άλγεβρα Boole, κάθε ταυτότητα μπορεί να μετατραπεί στην αντίστοιχή της με την εναλλαγή των πράξεων + και, με την ταυτόχρονη εναλλαγή των 0 και 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 48 / 60

Θεωρήματα Δυισμός Παράδειγμα Θα αποδείξουμε την ταυτότητα x + xy = x + y, και θα διατυπώσουμε τη δυική της μορφή την οποία και θα αποδείξουμε Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 49 / 60

Θεωρήματα Δυισμός Παρατήρηση Πολλές φορές, η απόδειξη της δυικής μορφής μιας ταυτότητας είναι ευκολότερη σε σχέση με την απόδειξη της ίδιας της ταυτότητας Αποδεικνύοντας την ισχύ της δυικής ταυτότητας, μπορούμε να είμαστε βέβαιοι για την ισχύ της δοσμένης ταυτότητας, λόγω του δυισμού των ταυτοτήτων της άλγεβρας Boole Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 50 / 60

Θεωρήματα Δυισμός Άσκηση Αφού αποδείξετε την ταυτότητα (x + y) (x + z) = x + y z, να διατυπώσετε τη δυική της μορφή την οποία και να αποδείξετε Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 51 / 60

Θεωρήματα Ασκήσεις Άσκηση Να συμπληρώσετε την ταυτότητα: αʹδίνεται ότι 2014 i=1 n x = x + x + + x }{{} n φορές i=1 x = αʹ Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 52 / 60

Θεωρήματα Ασκήσεις Άσκηση Να συμπληρώσετε την ταυτότητα: 2014 i=1 x 2014 i=1 y = Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 53 / 60

Θεωρήματα Ασκήσεις Άσκηση Να συμπληρώσετε την ταυτότητα: 2014 i=1 ( x + x + x ) = Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 54 / 60

Θεωρήματα Ασκήσεις Άσκηση Να αποδείξετε την ταυτότητα x y = x y + x y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 55 / 60

Θεωρήματα Ασκήσεις Άσκηση Να αποδείξετε την ταυτότητα x y = x y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 56 / 60

Θεωρήματα Ασκήσεις Άσκηση Να αποδείξετε την ταυτότητα x y = x y + x y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 57 / 60

Θεωρήματα Ασκήσεις Άσκηση Να αποδείξετε την ταυτότητα x y = x y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 58 / 60

Θεωρήματα Ασκήσεις Άσκηση Να αποδείξετε την ταυτότητα x y = x y = x y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 59 / 60

Θεωρήματα Ασκήσεις Άσκηση Να αποδείξετε την ταυτότητα x y = x y Όμοια για την ταυτότητα x y = x y Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 4+5: Άλγεβρα Boole 60 / 60