Μεηξήζεηο Αβεβαηόηεηεο Μεηξήζεσλ

Μεηξήζεηο Αβεβαηόηεηεο Μεηξήζεσλ 1. Σθνπόο Σθνπόο ηνπ καζήκαηνο είλαη λα εμνηθεησζνύλ νη ζπνπδαζηέο κε ηηο βαζηθέο έλλνηεο πνπ ζρεηίδνληαη κε ηε ζεσξία Σθαικάησλ, όπσο ην ζθάικα, ηελ αβεβαηόηεηα ηεο κέηξεζεο θαη ηα ζεκαληηθά ςεθία, ώζηε λα θαηαλνήζνπλ ηνπο πεξηνξηζκνύο θάησ από ηνπο νπνίνπο εθηειείηαη κηα κέηξεζε, ηε ζεκαζία ηνπ ηξόπνπ παξνπζίαζεο ηνπ απνηειέζκαηνο κηαο κέηξεζεο θαη ηέινο λα αλαπηύμνπλ ηελ ηθαλόηεηα λα αμηνινγνύλ ηηο κεηξήζεηο ηνπο θαη λα εξκελεύνπλ ηα δεδνκέλα ηνπο. 2. Γεληθά Οη εξγαζηεξηαθέο αζθήζεηο Φπζηθήο απνζθνπνύλ ζην λα δηδαρζεί ν ζπνπδαζηήο ηηο κεζόδνπο θαη ηηο πην βαζηθέο ηερληθέο ηεο πεηξακαηηθήο θπζηθήο. Να εμνηθεησζεί κε ηηο ζπζθεπέο κεηξήζεσλ θαη λα θαηαιάβεη ηε ρξήζε ηνπο. Να κάζεη λα παίξλεη θαη λα επεμεξγάδεηαη κεηξήζεηο ώζηε λα επαιεζεύζεη κόλνο ηνπ πεηξακαηηθά έλα κέξνο ηεο ύιεο πνπ δηδάρζεθε ζεσξεηηθά θαη γεληθά λα απνθηήζεη απηνπεπνίζεζε ζρεηηθά κε ηελ ηθαλόηεηά ηνπ λα κεηξήζεη θαη λα ζπζρεηίζεη θπζηθά κεγέζε. Η ζεσξία ζθαικάησλ είλαη ζπλδεδεκέλε κε ηε δηαδηθαζία ιήςεο θαη επεμεξγαζίαο ησλ κεηξήζεσλ. Η γλώζε βαζηθώλ ελλνηώλ θαη ππνινγηζκώλ πνπ ζρεηίδνληαη κε ηε ζεσξία ζθαικάησλ είλαη απαξαίηεην εξγαιείν πνπ βνεζά ζηνλ ηξόπν ιήςεο αμηόπηζησλ κεηξήζεσλ, ζηελ αμηνιόγεζε θαη ηελ επεμεξγαζία ησλ κεηξήζεσλ, αιιά θαη ηε ζσζηή εξκελεία ησλ απνηειεζκάησλ. Δηδηθόηεξα, ε ζεσξία ζθαικάησλ εθηόο από ηε ρξήζε ηεο γηα ηνπο ζθνπνύο ηνπ εξγαζηεξίνπ θπζηθήο, ζπκβάιιεη γεληθόηεξα ζηελ εθπαίδεπζε ελόο ηερλνιόγνπ κεραληθνύ, ν νπνίνο ζα θιεζεί λα εθηειέζεη κεηξήζεηο πνπ αθνξνύλ ζηε: δηάγλσζε ηεο ιεηηνπξγίαο ελόο ζπζηήκαηνο. ζύγθξηζε θαη ηαμηλόκεζε κεγεζώλ. πηζηνπνίεζε θαη ηνλ έιεγρν πνηόηεηαο. ιήςε απνθάζεσλ από έλα ζύζηεκα θαη αλάδξαζε ζε έλα ζύζηεκα απηνκάηνπ ειέγρνπ. 3. Σύληνκν ζεσξεηηθό κέξνο 3.1 Αβεβαηόηεηεο κέηξεζεο Η αθξίβεηα θάζε κέηξεζεο πεξηνξίδεηαη από δηάθνξνπο παξάγνληεο όπσο νη αηέιεηεο θαη ε πεπεξαζκέλε ηθαλόηεηα ησλ νξγάλσλ κέηξεζεο, ε πεπεξαζκέλε ηθαλόηεηα ηνπ πεηξακαηηζηή θαη νη απξόβιεπηεο κεηαβνιέο ησλ ζπλζεθώλ κέηξεζεο. Τν απνηέιεζκα κηαο κέηξεζεο είλαη κόλν κηα πξνζέγγηζε ή εθηίκεζε ηεο ηηκήο ηεο θπζηθήο πνζόηεηαο πνπ ππόθεηηαη ζε κέηξεζε. Τν απνηέιεζκα είλαη πιήξεο κόλν όηαλ ζπλνδεύεηαη από κηα πνζνηηθή έθθξαζε ηεο αβεβαηόηεηάο ηνπ. Ψο ζθάικα νξίδεηαη ε δηαθνξά κεηαμύ κεηξνύκελεο θαη «αιεζνύο» ή πξαγκαηηθήο αιιά άγλσζηεο ηηκήο ελόο κεηξνύκελνπ κεγέζνπο Μ.Πηλακούτα Σελίδα 1

Σθάικα ύ ή ή ή Ψο αβεβαηόηεηα νξίδεηαη ε πνζνηηθή έθθξαζε ηεο «ακθηβνιίαο» πνπ ππάξρεη ζρεηηθά κε ην απνηέιεζκα ηεο κέηξεζεο. Δίλαη δειαδή έλα κέηξν ηεο αμηνπηζηίαο ηεο κέηξεζεο. Σεκεηώλεηαη όηη ζε πνιιά ζπγγξάκκαηα, ε αβεβαηόηεηα ησλ κεηξήζεσλ αλαθέξεηαη σο "ζθάικα" (error). Σηελ πξαγκαηηθόηεηα δελ είλαη ζθάικα ή ιάζνο κε ηελ θνηλή έλλνηα ηνπ όξνπ γηαηί είλαη θάηη πνπ δελ κπνξεί λα απνθεπρζεί. Σηηο ζεκεηώζεηο απηέο γίλεηαη πξνζπάζεηα ην ζθάικα θαη ε αβεβαηόηεηα λα ρξεζηκνπνηνύληαη κε ηνλ ηξόπν πνπ έρεη νξηζηεί δηεζλώο ζηνλ νδεγό ISO-GUM (Guide for the Uncertainty of Measurement). Οη αβεβαηόηεηεο ζην απνηέιεζκα κηαο κέηξεζεο πξνέξρνληαη από δηάθνξνπο παξάγνληεο θαη ρσξίδνληαη ζε δύν ηύπνπο αλάινγα κε ηνλ ηξόπν πνπ ππνινγίδνληαη. Τύπνπ Α. Οθείινληαη ζε ηπραία κεηαβνιή παξαγόλησλ θαη ππνινγίδνληαη κε ζηαηηζηηθέο κεζόδνπο (Γλσζηά θαη σο Τπραία Σθάικαηα) Τύπνπ Β. Υπνινγηζκόο αβεβαηόηεηαο κε άιινπο ηξόπνπο. Σηελ θαηεγνξία απηή ππάγνληαη ηα ιεγόκελα Σπζηεκαηηθά ζθάικαηα, ε αβεβαηόηεηα έκκεζεο κέηξεζεο θαη ε ζύλζεηε αβεβαηόηεηα. Τηο πεξηζζόηεξεο θνξέο ε αβεβαηόηεηα είλαη ζύλζεηε έρεη δειαδή ζπληζηώζα πνπ νθείιεηαη ζε ηπραίνπο παξάγνληεο θαη ζπληζηώζα πνπ νθείιεηαη ζε ζπζηεκαηηθά θαηλόκελα. Πξηλ αλαθεξζνύκε πην αλαιπηηθά ζηνπο ηύπνπο αβεβαηόηεηαο θαη ηνλ ηξόπν ππνινγηζκνύ ηνπο, ζα πξέπεη λα δνύκε θάπνηα ραξαθηεξηζηηθά πνπ ζρεηίδνληαη κε ηελ αμηνπηζηία ηεο κέηξεζεο. Σρήκα 1: Αθξίβεηα θαη αμηνπηζηία Η αμηνπηζηία ηεο κέηξεζεο ζρεηίδεηαη κε ην πόζν ιεπηνκεξήο είλαη ε κέηξεζε θαη πόζε επαλαιεπηηθόηεηα έρεη όηαλ γίλνπλ επαλαιακβαλόκελεο κεηξήζεηο ηνπ ηδίνπ κεγέζνπο θάησ από ίδηεο ζπλζήθεο κέηξεζεο. Γηα ηελ θαηαλόεζε ηεο δηαθνξάο κεηαμύ αθξίβεηαο θαη αμηνπηζηίαο, ρξεζηκνπνηείηαη ζπρλά ην παξάδεηγκα κε ηνπο ζηόρνπο ζθνπνβνιήο θαη ηα ίρλε ησλ βειώλ. Τα ίρλε ησλ βειώλ αληηζηνηρνύλ ζηηο Μ.Πηλακούτα Σελίδα 2

ηηκέο ελόο κεγέζνπο πνπ ιακβάλνληαη κε επαλαιακβαλόκελεο κεηξήζεηο θάησ από ίδηεο ζπλζήθεο. Σην ζρήκα 1 θαίλεηαη ε αληηζηνηρία ησλ ζέζεσλ ησλ ηρλώλ κε ηελ αθξίβεηα θαη ηελ αμηνπηζηία ηεο κέηξεζεο. 3.2 Σεκαληηθά ςεθία θαη αθξίβεηα νξγάλσλ Όια ηα όξγαλα έρνπλ όξην ζηηο κεηξεηηθέο ηνπο δπλαηόηεηεο. Έρνπλ πάληα κηα ειάρηζηε πνζόηεηα κέρξη ηελ νπνία κπνξνύλ λα κεηξήζνπλ. Σεκαληηθά ςεθία κηαο κέηξεζεο ζεσξνύληαη όια ηα ςεθία πνπ κπνξνύκε λα δηαβάζνπκε κε απόιπηε βεβαηόηεηα ζπλ έλα θαη κόλν έλα, ην ηειεπηαίν, πνπ είλαη από εθηίκεζε θαη επνκέλσο είλαη αβέβαην. Η αμηνπηζηία κηαο κέηξεζεο ζπλδέεηαη κε ηνλ αξηζκό ησλ ζεκαληηθώλ ςεθίσλ πνπ πεξηέρεη. Μηα κέηξεζε ελόο κεγέζνπο είλαη πεξηζζόηεξν αμηόπηζηε από κηα άιιε εάλ είλαη πην ιεπηνκεξήο, δειαδή αλ πεξηέρεη πεξηζζόηεξα ζεκαληηθά ςεθία. Γηα παξάδεηγκα έζησ όηη κεηξήζεθε ε δηάκεηξνο ελόο ζύξκαηνο κε έλα δηαζηεκόκεηξν θαη βξέζεθε λα είλαη 2.3 mm. Τν ίδην ζύξκα κεηξήζεθε κε έλα κηθξόκεηξν ην νπνίν έδσζε απνηέιεζκα 2.285 mm. Σην παξάδεηγκά καο ε κέηξεζε κε ην κηθξόκεηξν έρεη 4 ζεκαληηθά ςεθία θαη είλαη πεξηζζόηεξν αμηόπηζηε από ηε κέηξεζε κε ην δηαζηεκόκεηξν πνπ έρεη 2 ζεκαληηθά ςεθία. Σην ζρήκα 2 θαίλνληαη δύν ράξαθεο ππνδηαηξεκέλνη κε δηαθνξεηηθό ηξόπν. Τν απνηέιεζκα κε ηνλ ράξαθα α) είλαη 2.5 δεδνκέλνπ όηη ν δείθηεο είλαη κεηαμύ 2 θαη 3. Τν 2 ην γλσξίδνπκε κε απόιπηε βεβαηόηεηα ελώ ην 5 πξνέξρεηαη από ππνθεηκεληθή εθηίκεζε, άξα θέξεη αβεβαηόηεηα. Γελ έρεη λόεκα επνκέλσο λα πνύκε όηη ε κέηξεζε είλαη 2,56 αθνύ αθόκα θαη ην 5 είλαη αβέβαην. Με ηνλ ράξαθα απηό κπνξνύκε λα κεηξήζνπκε δηαθνξνπνηήζεηο ηνπ κεγέζνπο πνπ βξίζθνληαη κεηαμύ 2.0 θαη 3.0. Η κέηξεζε απηή έρεη 2 ζεκαληηθά ςεθία. Σρήκα 2: Καηαγξαθή ζεκαληηθώλ ςεθίσλ Τν απνηέιεζκα κε ηνλ ράξαθα β) είλαη πεξηζζόηεξν ιεπηνκεξέο γηαηί έρεη πεξηζζόηεξεο ππνδηαηξέζεηο. Γεδνκέλνπ όηη ν δείθηεο είλαη κεηαμύ 2.4 θαη 2.5, ην απνηέιεζκα εθηηκάηαη όηη είλαη 2.45. Τν 2.4 ην γλσξίδνπκε κε απόιπηε βεβαηόηεηα ελώ ην 5 πξνέξρεηαη από ππνθεηκεληθή εθηίκεζε, άξα θέξεη αβεβαηόηεηα. Με ηνλ ράξαθα απηό κπνξνύκε λα κεηξήζνπκε δηαθνξνπνηήζεηο ηνπ κεγέζνπο πνπ βξίζθνληαη κεηαμύ 2.40 θαη 2.50, θάηη πνπ δελ κπνξνύκε λα θάλνπκε κε ηνλ ράξαθα α). Σηελ πεξίπησζε απηή ε κέηξεζε έρεη 3 ζεκαληηθά ςεθία. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 3

3.2.1 Σεκαζία ηνπ ηξόπνπ γξαθήο ηνπ απνηειέζκαηνο κηαο κέηξεζεο Πξαγκαηνπνηώληαο κηα κόλν κέηξεζε κε έλα όξγαλν πνπ θέξεη ππνδηαηξέζεηο, ε αβεβαηόηεηα ηεο κέηξεζεο κπνξεί λα είλαη ε κηθξόηεξε ππνδηαίξεζε ηνπ νξγάλνπ ή άιιν θιάζκα ηεο (ζπλήζσο κηζή ππνδηαίξεζε). Σηελ πεξίπησζε ςεθηαθώλ νξγάλσλ, δίδεηαη από ηνλ θαηαζθεπαζηή. Ο ηξόπνο κε ηνλ νπνίν γξάθνπκε ην απνηέιεζκά καο, πξέπεη λα δείρλεη ηελ αμηνπηζηία κε ηελ νπνία κεηξήζεθε. Γεληθά ην ηειεπηαίν ςεθίν κηαο κέηξεζεο είλαη πάληα αβέβαην. Γηα παξάδεηγκα αλ ην απνηέιεζκα κηαο κέηξεζεο κήθνπο δνζεί κε ηελ κνξθή α) 52 mm, ζεσξνύκε όηη ην ηειεπηαίν ςεθίν, είλαη ην ςεθίν πνπ θέξεη αβεβαηόηεηα θαη επνκέλσο ε αιεζήο ηηκή κπνξεί λα βξίζθεηαη κε κεγάιε πηζαλόηεηα ζην δηάζηεκα κεηαμύ 51 έσο 53 mm, (52±1), ζεσξώληαο όηη ε θαιιίηεξε εθηίκεζε πνπ κπνξώ λα θάλσ είλαη κε ±1 ειάρηζηε ππνδηαίξεζε. Αλ όκσο δνζεί κε ηελ κνξθή β) 52.0, ε αβεβαηόηεηα βξίζθεηαη ζην ηξίην ζεκαληηθό ςεθίν θαη ε αιεζήο ηηκή κπνξεί λα βξίζθεηαη κε κεγάιε πηζαλόηεηα ζην δηάζηεκα κεηαμύ 51.9 έσο 52.1 mm, (52.0 ± 0.1). 3.2.2 Καλόλεο θαζνξηζκνύ ζεκαληηθώλ ςεθίσλ Όηαλ ζην απνηέιεζκα κηαο κέηξεζεο ππάξρεη ππνδηαζηνιή, σο ζεκαληηθά ςεθία (ζπληνκνγξαθία ζς) κεηξάλε όια ηα ςεθία από ην πξώην κε κεδεληθό θαη δεμηά π.ρ 2.3 (2 ζς), 2.30 (3 ζς),0.2 (1 ζς), 0.02 (1 ζς) 0.020 (2 ζς). Όηαλ δελ ππάξρεη ππνδηαζηνιή σο ζεκαληηθά κεηξάλε όια ηα ςεθία από ην πξώην αξηζηεξά ςεθίν κέρξη ην ηειεπηαίν κε κεδεληθό. π.ρ 15 (2 ζς),15000 (2 ζς), 15050 (4 ζς) Οη δπλάκεηο ηνπ 10 δελ αμηνινγνύληαη σο ζεκαληηθά ςεθία. 2,1*10-3 (2 ζς), 0.0021 (2 ζς). Γεληθά είλαη πην εύρξεζην θαη θνκςό λα εθθξάδνπκε ηα απνηειέζκαηά καο κε ηάμεηο κεγέζνπο όπσο 5.6*10-3 αληη 0.0056. Δπεηδή πνιιέο θνξέο έλα κέγεζνο ππνινγίδεηαη έκκεζα (γηα παξάδεηγκα ε ηαρύηεηα ελόο θηλεηνύ) ρξεζηκνπνηώληαο κεηξήζεηο άιισλ κεγεζώλ (ηελ απόζηαζε X πνπ δηάλπζε ην θηλεηό θαη ην ρξόλν t) πνπ ιήθζεθαλ κε δηαθνξεηηθή αμηνπηζηία, πξέπεη λα έρνπκε ππόςε καο όηη ην απνηέιεζκα πνπ πξνθύπηεη από πξόζζεζε αθαίξεζε πνιιαπιαζηαζκό ή δηαίξεζε αξηζκώλ, πεξηνξίδεηαη πάληα από ηνλ αξηζκό κε ηε κηθξόηεξε αμηνπηζηία. Όηαλ πξνζζέηνπκε ε αθαηξνύκε δπν αξηζκνύο θξαηάκε ζην απνηέιεζκα όζα ΓΔΚΑΓΙΚΑ έρεη ν αξηζκόο κε ηα ιηγόηεξα δεθαδηθά. Παξάδεηγκα: 2.37 1. 2 3. 57 2.37+1.2 =3.6 θαη όρη 3.57 Όηαλ πνιιαπιαζηάδνπκε ε δηαηξνύκε δπν αξηζκνύο θξαηάκε ζην απνηέιεζκα όζα ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ςεθία έρεη ν αξηζκόο κε ηα ιηγόηεξα ζεκαληηθά ςεθία. Παξάδεηγκα: Μ.Πηλακούτα Σελίδα 4

3.21 0.02 0.0642 3.21*0.02=0.06 θαη όρη 0.0642 (όπνπ κε θόθθηλν θαίλνληαη ηα αβέβαηα ςεθία) Πνιιέο θνξέο πξέπεη λα θάλνπκε ζηξνγγπινπνίεζε ηνπ απνηειέζκαηόο καο. Ο θαλόλαο πνπ αθνινπζνύκε είλαη: Δάλ ην ηειεπηαίν ςεθίν πνπ ζα θξαηήζνπκε αθνινπζείηαη από ςεθίν πνπ είλαη κηθξόηεξν από 5, κέλεη σο έρεη. Δάλ ην ςεθίν πνπ αθνινπζεί είλαη κεγαιύηεξν από 5 ηόηε ην ςεθίν πνπ ζα θξαηήζνπκε απμάλεηαη θαηά κηα κνλάδα. Με απηό ηνλ ηξόπν έρνπλ ζηξνγγπινπνηεζεί ηα παξαπάλσ απνηειέζκαηα ππνινγηζκώλ. Γηα ηελ πεξίπησζε πνπ ην ηειεπηαίν ςεθίν πνπ ζα θξαηήζνπκε αθνινπζείηαη από ην ςεθίν 5, ζην εξγαζηήξην Φπζηθήο ζπκθσλνύκε ηα εμήο: εάλ ην ςεθίν είλαη άξηην κέλεη σο έρεη (π.ρ ην 6.45 γίλεηαη 6.4) ελώ αλ είλαη πεξηηηό απμάλεηαη θαηά κηα κνλάδα (π.ρ ην 6.75 γίλεηαη 6.8). 3.3 Σύγθξηζε Μεηξήζεσλ Γεληθά αλ δελ μέξνπκε πνηα είλαη ε αβεβαηόηεηα (ζθάικα) κηαο κέηξεζεο, δελ κπνξνύκε λα απνθαζίζνπκε: αλ ππάξρεη δηαθξηηή δηαθνξά κεηαμύ δύν δηαθνξεηηθώλ ηηκώλ ηνπ ίδηνπ κεγέζνπο (βι. παξάδεηγκα 1). αλ ε κεηξνύκελε ηηκή ραξαθηεξίδεη πρ ην α ή β πιηθό (βι. παξάδεηγκα 2). αλ ε απόθιηζε ηεο κέηξεζεο ελόο κεγέζνπο σο πξνο ηε ζεσξεηηθή ηνπ ηηκή είλαη απνδεθηή κέζα ζηα πιαίζηα ηεο αβεβαηόηεηαο (βι. παξάδεηγκα 3). Παξάδεηγκα 1: Σην ζρήκα 3 θαίλεηαη ε ζύγθξηζε δύν κεηξήζεσλ ηεο ίδηαο αληίζηαζεο. Κάζε κέηξεζε πεξηιακβάλεη κηα βέιηηζηε εθηίκεζε, πνπ ζπκβνιίδεηαη κε κηα ηειεία θαη έλα εύξνο πηζαλώλ ηηκώλ, πνπ ζπκβνιίδεηαη κε κηα θαηαθόξπθε γξακκή. Σρήκα 3 : Γύν κεηξήζεηο ηεο ίδηαο αληίζηαζεο. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 5

Σηελ πεξίπησζε α) ππάξρεη ζεκαληηθή δηαθνξά κεηαμύ ησλ δύν κεηξήζεσλ, ελώ ζηελ πεξίπησζε β) δελ ππάξρεη ζεκαληηθή δηαθνξά κεηαμύ ησλ δύν ηηκώλ δηόηη ππάξρεη επηθάιπςε ηνπ εύξνπο ησλ πηζαλώλ ηηκώλ (κε δηαθξηηέο κεηξήζεηο). Παξάδεηγκα 2: Έζησ όηη ππνινγίζακε ηελ ππθλόηεηα ελόο κεηάιινπ θαη βξήθακε 7.9 g/cm 3 Από ηε βηβιηνγξαθία, ε ππθλόηεηα ηνπ ζηδήξνπ είλαη 7.25 g/cm 3 θαη ηνπ ραιθνύ 8.22 g/cm 3. Αλ δελ μέξνπκε ηελ αβεβαηόηεηα πνπ ζπλνδεύεη ηε κέηξεζή καο, δελ κπνξνύκε λα απαληήζνπκε πνην είλαη ην πιηθό πνπ κεηξήζακε. Αλ μέξνπκε όηη ε αβεβαηόηεηα είλαη πρ 0.4 g/cm 3 ηόηε κπνξνύκε λα πνύκε όηη είλαη ν ραιθόο Αλ όκσο ην ζθάικα είλαη 0.8 g/cm 3 δελ κπνξνύκε λα απαληήζνπκε, θαη ζε απηή ηελ πεξίπησζε πξέπεη λα βξνύκε ηξόπν λα βειηηώζνπκε ηελ αμηνπηζηία ηνπ πεηξάκαηόο καο. Παξάδεηγκα 3: Έζησ όηη ζε έλα πείξακα ππνινγίζακε ηελ επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο θαη βξήθακε 10.24 m/s 2. Αλ δελ ππνινγίζνπκε ηελ αβεβαηόηεηα ζηε κέηξεζε δελ κπνξνύκε λα απνθαλζνύκε αλ ε δηαθνξά ζε ζρέζε κε ηελ ζεσξεηηθή ηηκή 9.81 m/s 2 νθείιεηαη ζηελ αβεβαηόηεηα ή αλ πξέπεη λα αλαδεηήζνπκε θάπνηα ζπζηεκαηηθή αβεβαηόηεηα. 3.4 Αβεβαηόηεηεο Τύπνπ Α (ζηαηηζηηθνύ ραξαθηήξα) Οθείινληαη ζε ηπραίνπο παξάγνληεο πνπ ζρεηίδνληαη κε ηελ επίδξαζε ηνπ πεξηβάιινληνο (ζόξπβνο, κεηαβνιή ζεξκνθξαζίαο, παξεκβνιέο), ηηο αηέιεηεο νξγάλσλ, ηελ αιιειεπίδξαζε νξγάλνπ-κεηξνύκελνπ κεγέζνπο θαζώο θαη ζε ππνθεηκεληθνύο παξάγνληεο πνπ επεξεάδνπλ ην απνηέιεζκα ησλ κεηξήζεσλ. Με επαλαιακβαλόκελεο κεηξήζεηο ηνπ θπζηθνύ κεγέζνπο κε ην ίδην όξγαλν θάησ από ίδηεο ζπλζήθεο, πεξηνξίδνπκε ηελ επίδξαζε ησλ αβεβαηνηήησλ πνπ νθείινληαη ζε ηπραίνπο παξάγνληεο. Δάλ Φ ην κέγεζνο ην νπνίν κεηξήζεθε Ν θνξέο θαη Φη ην απνηέιεζκα θάζε κέηξεζεο, ε κέζε ηηκή ηνπ δίδεηαη από ηε ζρέζε: 1 X XI Έηζη, ζεσξνύκε όηη ε "Καιύηεξε" ηηκή γηα ηε κέηξεζε είλαη ν κέζνο όξνο πνπ πξνέθπςε από ην ζύλνιν ησλ κεηξήζεσλ. Θεσξώληαο όηη ε δηαθνξνπνίεζε ζηηο κεηξήζεηο νθείιεηαη ζε ηπραίνπο παξάγνληεο, νη κεηξήζεηο πεξηγξάθνληαη από κηα θαλνληθή θαηαλνκή πηζαλνηήησλ. Σηελ θαλνληθή θαηαλνκή ε κέζε ηηκή είλαη ε ηηκή κε ηελ κεγαιύηεξε ζπρλόηεηα εκθάληζεο. Όηαλ ην πιάηνο ηεο θαηαλνκήο είλαη κηθξό ζε ζύγθξηζε κε ηελ κέζε ηηκή, ν κέζνο όξνο αληηπξνζσπεύεη, ζρεηηθά θαιά, έλα κεγάιν πνζνζηό ησλ κεηξήζεσλ ελώ όηαλ ην πιάηνο ηεο θαηαλνκήο είλαη κεγάιν ζε ζύγθξηζε κε ηελ κέζε ηηκή, ν κέζνο όξνο δελ αληηπξνζσπεύεη θαιά ην ζύλνιν ησλ κεηξήζεσλ. Έηζη, ην πιάηνο ηεο θαηαλνκήο ησλ κεηξήζεσλ κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί σο κέηξν ηεο αβεβαηόηεηαο ησλ κεηξήζεώλ καο. 1 Μ.Πηλακούτα Σελίδα 6

Σρήκα 4: Καλνληθή θαηαλνκή Τππηθή απόθιηζε. Η αβεβαηόηεηα πνπ πξνθύπηεη από ηηο επαλαιακβαλόκελεο κεηξήζεηο ελόο θπζηθνύ κεγέζνπο, κπνξεί λα εθθξαζηεί κε δηάθνξνπο ηξόπνπο. Σην εξγαζηήξην θπζηθήο ρξεζηκνπνηνύκε σο κέηξν ηεο αβεβαηόηεηαο, ηε ιεγόκελε ηππηθή αβεβαηόηεηα ηεο κέζεο ηηκήο πνπ ζπλδέεηαη κε ηελ ηππηθή απόθιηζε ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο θαη ππνινγίδεηαη από ηελ ζρέζε: όπνπ ε κέζε ηηκή, Ν ην πιήζνο ησλ κεηξήζεσλ θαη ρ ην απνηέιεζκα θάζε i κέηξεζεο. Αλαγξάθνληαο ην απνηέιεζκά καο κε ηελ κνξθή: χ±σ(χ) νξίδεηαη έλα δηάζηεκα σ(χ) γύξσ από ηε κέζε ηηκή, ζην νπνίν πεξηκέλνπκε λα βξνύκε έλα κεγάιν κέξνο ησλ κεηξήζεσλ ηνπ κεγέζνπο Φ κε κηα πηζαλόηεηα ~68%. Ή δηαθνξεηηθά, ζεκαίλεη όηη ε πηζαλόηεηα πνπ έρεη κηα λέα ζεηξά κεηξήζεσλ ηνπ ηδίνπ κεγέζνπο λα έρεη κέζε ηηκή κέζα ζην εύξνο ηηκώλ ± σ(χ)γύξσ από ηε κέζε ηηκή είλαη 68%. Έλα απνηέιεζκα κέηξεζεο ζεσξείηαη επηζηεκνληθά απνδεθηό, κόλν εάλ αλαθέξεηαη καδί κε ην δηάζηεκα αβεβαηόηεηαο πνπ θαιύπηεη ηελ «πξαγκαηηθή ηηκή» ηνπ κεηξνύκελνπ κεγέζνπο κε κηα δεδνκέλε πηζαλόηεηα. Γηα λα ζπγθξίλνπκε ηελ ζηαηηζηηθή αβεβαηόηεηα ηνπ απνηειέζκαηόο καο, κε ηελ «απνδεθηή» ηηκή, ρξεζηκνπνηνύκε ηε ζρεηηθή αβεβαηόηεηα (γλσζηή σο ζρεηηθό ζθάικα) : σ(χ) σ σχ%= *100 (3) χ Μ.Πηλακούτα Σελίδα 7 N 2 χ-χι 1 σ(χ)= (2) Ν(Ν-1)

Σεκεηώλεηαη όηη αλ θάλνπκε κόλν κηα κέηξεζε ηόηε ηελ αβεβαηόηεηα ηελ εθηηκνύκε κε βάζε ηελ κηθξόηεξε ππνδηαίξεζε ηνπ νξγάλνπ θαη ηελ ζπγθξίλνπκε κε ηελ ηηκή ηνπ κεγέζνπο πνπ κεηξήζακε. Η ζρεηηθή αβεβαηόηεηα είλαη πνιύ ρξήζηκε γηα ηελ ζύγθξηζε ηεο πνηόηεηαο δύν δηαθνξεηηθώλ κεηξήζεσλ. Γηα παξάδεηγκα έζησ όηη κεηξήζεθε ην πιάηνο ελόο βηβιίνπ κε κία κεηξνηαηλία θαη βξέζεθε 16.8 cm, αλ εθηηκνύκε όηη ε αβεβαηόηεηα είλαη ± 0.1 cm, ην ζρεηηθό ζθάικα είλαη % 0.1*100/168=0.6%. Με ηελ ίδηα κεηξνηαηλία κεηξήζεθε ην ύςνο κηαο πόξηαο θαη βξέζεθε 215.7 cm. Θεσξεηηθά ε αβεβαηόηεηα ηεο δεύηεξεο κέηξεζεο είλαη επίζεο ± 0.1 cm. Τν ζρεηηθό ζθάικα όκσο ζηελ πεξίπησζε απηή είλαη 0.05% πνπ είλαη πνιύ κηθξόηεξν ζε ζρέζε κε ηελ κέηξεζε ηνπ βηβιίνπ. Γεληθά γηα δνζκέλε αβεβαηόηεηα, ε κέηξεζε κε ηελ κηθξόηεξε ζρεηηθή αβεβαηόηεηα είλαη πεξηζζόηεξν αμηόπηζηε. Παξάδεηγκα ππνινγηζκνύ αβεβαηόηεηαο κέζεο ηηκήο. Σηνλ παξαθάησ πίλαθα έρνπλ θαηαγξαθεί 10 ηηκέο πνπ πξνέθπςαλ θαηά ηε κέηξεζε ηνπ πάρνπο ελόο πιαθηδίνπ. Υπνινγίζηεθε ε κέζε ηηκή, νη απνθιίζεηο από ηελ κέζε ηηκή θαη ηα ηεηξάγσλά ηνπο. Τέινο ν ππνινγηζκόο ηεο αβεβαηόηεηαο ηεο κέζεο ηηκήο (ζθάικα κέζεο ηηκήο) έδσζε απνηέιεζκα: σ(χ)=0.004216 mm. Πίλαθαο 1: Τξόπνο ππνινγηζκνύ ηεο αβεβαηόηεηαο ζηαηηζηηθνύ ηύπνπ Παξαηεξνύκε όηη ζηε κέζε ηηκή θξαηήζεθε έλα παξαπάλσ ςεθίν (3 δεθαδηθά) ζε ζρέζε κε απηά πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ άζξνηζε ησλ κεηξήζεώλ καο. Γεληθά όηαλ ρξεζηκνπνηνύκε έλα απνηέιεζκα γηα ζπλερόκελνπο ππνινγηζκνύο όπσο είλαη νη απνθιίζεηο από ηελ κέζε ηηκή, θξαηάκε έλα ςεθίν παξαπάλσ θαη θάλνπκε ηε ζηξνγγπινπνίεζε ζην ηέινο γηα λα κελ αιινησζεί ην απνηέιεζκά καο από ζπλερόκελεο ζηξνγγπινπνηήζεηο. Δπίζεο ην ηειηθό απνηέιεζκα ηεο αβεβαηόηεηαο πξέπεη λα ζηξνγγπινπνηεζεί κε βάζεη ηελ αμηνπηζηία κε ηελ νπνία έγηλαλ νη κεηξήζεηο. Γηα αξηζκό κεηξήζεσλ κηθξόηεξν από 20 κπνξνύκε λα θξαηήζνπκε ζηελ Μ.Πηλακούτα Σελίδα 8

αβεβαηόηεηα ΜΟΝΟ ΔΝΑ ζεκαληηθό ςεθίν. Δπεηδή ζην εξγαζηήξην Φπζηθήο ν αξηζκόο ησλ κεηξήζεσλ πνπ ιακβάλνπκε είλαη ζπλήζσο θάησ από 10 (ιόγσ ρξνληθώλ πεξηνξηζκώλ), πάληα ζηξνγγπινπνηνύκε ηελ αβεβαηόηεηα ζην πξώην κε κεδεληθό ςεθίν. Ο επηζηεκνληθά ζσζηόο ηξόπνο παξνπζίαζεο ηεο κέζεο ηηκήο καδί κε ηελ αβεβαηόηεηά ηεο είλαη: όζα δεθαδηθά ςεθία έρεη ε αβεβαηόηεηα, ηόζα λα έρεη θαη ε κέζε ηηκή. Έηζη ην απνηέιεζκα πνπ πξνθύπηεη από ηηο 10 επαλαιήςεηο ηεο κέηξεζεο ηνπ πάρνπο ηνπ πιαθηδίνπ (Πίλαθαο 1), είλαη: χ±σ(χ)=(8.260 ±0.004) mm Μεηά ηελ ζηξνγγπινπνίεζε ηεο αβεβαηόηεηαο ζην πξώην ζεκαληηθό ςεθίν ζ(ρ)=0.004 mm ε αβεβαηόηεηα έρεη ηξία δεθαδηθά ςεθία, έηζη θαη ε κέζε ηηκή δηαηεξεί ηα ηξία δεθαδηθά ςεθία. Απηό ην απνηέιεζκα ζεκαίλεη όηη κε πηζαλόηεηα 68% ε πξαγκαηηθή καο ηηκή βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα από 8.256 mm έσο 8.264 mm. 3.5 Αβεβαηόηεηεο Τύπνπ Β 3.5.1 Σπζηεκαηηθέο αβεβαηόηεηεο Οη ζπζηεκαηηθέο αβεβαηόηεηεο (ζε πνιιά βηβιία αλαθέξνληαη σο ζπζηεκαηηθά ζθάικαηα) είλαη αβεβαηόηεηεο πνπ κπνξνύλ λα εληνπηζζνύλ θαη λα απνθεπρζνύλ ή λα δηνξζσζνύλ. Οθείινληαη ζπλήζσο ζε κε ηθαλνπνηεηηθή ή ιαλζαζκέλε βαζκνλόκεζε νξγάλσλ, ζε ιαλζαζκέλεο ελέξγεηεο ηνπ πεηξακαηηζηή, ηεο κεζόδνπ αλάιπζεο θιπ. Οη ζπζηεκαηηθέο αβεβαηόηεηεο δίλνπλ ζηαζεξά κεγαιύηεξεο ή ζηαζεξά κηθξόηεξεο ηηκέο από ηηο «πξαγκαηηθέο». Δληνπίδνληαη δε ζπγθξίλνληαο ηηο ηηκέο ηνπ κεγέζνπο πνπ καο ελδηαθέξεη κε ηηκέο πνπ ιακβάλνληαη κε δηαθνξεηηθή ηερληθή, κε άιιν πεηξακαηηζηή θιπ. Φαξαθηεξηζηηθό παξάδεηγκα ζπζηεκαηηθήο αβεβαηόηεηαο είλαη ε πεξίπησζε κηαο δπγαξηάο ηεο νπνίαο ε βειόλα πξηλ ηε κέηξεζε είλαη δεμηόηεξα ή αξηζηεξόηεξα ηνπ κεδελόο (Σρήκα 5). Απηό είλαη έλα ζθάικα πνπ παξνπζηάδεηαη ζε πνιιά όξγαλα ζηξεπηήο βειόλαο θαη νλνκάδεηαη κεηαηόπηζε ηνπ κεδελόο. Σηα πεξηζζόηεξα όξγαλα ππάξρεη ηξόπνο επαλαθνξάο ηεο βειόλαο ζην κεδέλ. Δάλ δελ δηνξζώλεηαη άκεζα ηόηε πξέπεη λα ππνινγηζηεί ε δηαθνξά (ζθάικα κεηαηόπηζεο κεδελόο) θαη λα πξνζηεζεί ή λα αθαηξεζεί από ην απνηέιεζκα ηεο κέηξεζεο. Δάλ ε βειόλα είλαη αξρηθά δεμηά ηνπ κεδελόο, ε δπγαξηά ζα δείρλεη κεγαιύηεξε ηηκή από ηελ πξαγκαηηθή, άξα ζα πξέπεη λα εθηηκήζνπκε ηε κεηαηόπηζε ηνπ κεδελόο θαη λα ην αθαηξνύκε από ηηο κεηξήζεηο καο. Δάλ ε βειόλα είλαη αξρηθά αξηζηεξά ηνπ κεδελόο, ε δπγαξηά ζα δείρλεη κηθξόηεξε ηηκή από ηελ πξαγκαηηθή, άξα ζα πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ηε κεηαηόπηζε κεδελόο θαη λα ηελ πξνζζέηνπκε ζηηο κεηξήζεηο καο. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 9

Σρήκα 5: Σπζηεκαηηθή αβεβαηόηεηα - κεηαηόπηζε κεδελόο 3.5.2 Γηάδνζε αβεβαηόηεηαο Αβεβαηόηεηα έκκεζεο κέηξεζεο Οη κεηξήζεηο πνπ γίλνληαη ζην εξγαζηήξην ζπρλά δελ κεηξνύλ άκεζα ηε θπζηθή πνζόηεηα πνπ καο ελδηαθέξεη, αιιά ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηνλ έκκεζν ππνινγηζκό ηεο. Σηελ πεξίπησζε απηή ε κέηξεζε νλνκάδεηαη "έκκεζε". Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο αβεβαηόηεηαο ζηηο έκκεζεο κεηξήζεηο, ρξεζηκνπνηνύληαη νη αβεβαηόηεηεο ησλ άκεζα κεηξνπκέλσλ πνζνηήησλ, όπσο εμεγείηαη ζηε ζπλέρεηα. Έζησ ην θπζηθό κέγεζνο πνπ καο ελδηαθέξεη πεξηγξάθεηαη από κηα ζπλάξηεζε f (x,y,w) θαη ηα κεηξνύκελα κεγέζε είλαη ηα x, y, w ησλ νπνίσλ νη αβεβαηόηεηεο είλαη δx, δy θαη δw. Η θάζε αβεβαηόηεηα ζπλεηζθέξεη ζηελ ζπλνιηθή αβεβαηόηεηα ηνπ κεγέζνπο πνπ ππνινγίδεηαη έκκεζα. Η ζπλεηζθνξά ηεο θάζε κηαο θαζνξίδεηαη από ηηο παξαθάησ ζρέζεηο πνπ πξνθύπηνπλ από ην γηλόκελν ηεο κεξηθήο παξαγώγνπ ηεο ζπλάξηεζεο σο πξνο ηελ θάζε κεηαβιεηή, επί ηελ επηκέξνπο αβεβαηόηεηα ηεο κεηαβιεηήο. f f f fx x fy y fw w x y w Η αβεβαηόηεηα ηνπ έκκεζα κεηξνύκελνπ κεγέζνπο δίδεηαη από ηελ ζρέζε : 2 2 2 f f f f x y w (4) x y w Παξάδεηγκα ππνινγηζκνύ αβεβαηόηεηαο έκκεζεο κέηξεζεο. Έζησ όηη ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ηηκή κηαο σκηθήο αληίζηαζεο R(V,I), εθαξκόδνληαο ζηα άθξα ηεο κηα ηάζε V θαη κεηξώληαο ην ξεύκα Ι πνπ ηε δηαξξέεη. Η ηηκή ηεο αληίζηαζεο ππνινγίδεηαη κε ηνλ λόκν ηνπ ΟΗΜ R=V/I. Έζησ όηη ε αβεβαηόηεηα ζηελ κέηξεζε ηεο ηάζεο είλαη δv θαη ε αβεβαηόηεηα ζηελ κέηξεζε ηνπ ξεύκαηνο είλαη δi. Θεσξώληαο όηη δελ έρνπκε θάπνην ζπζηεκαηηθό ζθάικα ζηηο κεηξήζεηο καο, ε αβεβαηόηεηα πνπ νθείιεηαη ζηελ κέηξεζε ηεο ηάζεο (κεξηθή αβεβαηόηεηα ηάζεο) πξνθύπηεη από ηε ζρέζε: R V Rv V (5) V I Μ.Πηλακούτα Σελίδα 10

H αβεβαηόηεηα πνπ νθείιεηαη ζηελ κέηξεζε ηνπ ξεύκαηνο (κεξηθή αβεβαηόηεηα ξεύκαηνο) πξνθύπηεη από ηε ζρέζε: R V RI I I (6) 2 I I Η αβεβαηόηεηα ζηελ ηηκή ηεο σκηθήο αληίζηαζεο δίδεηαη από ηελ ζρέζε: θαη ην απνηέιεζκα δίδεηαη κε ηελ κνξθή R±δR. Τηο πεξηζζόηεξεο θνξέο ε αβεβαηόηεηα είλαη ζύλζεηε, γηαηί κπνξεί λα νθείιεηαη ζε έλα ζπλδπαζκό από ηπραίνπο παξάγνληεο, ζπζηεκαηηθά ζθάικαηα, αβεβαηόηεηεο θιίκαθαο νξγάλσλ πνπ δίδνληαη από ηνλ θαηαζθεπαζηή θιπ. Κύξηα ζεκεία πεξηιεπηηθά 2 2 2 2 R R V V R V I I (7) 2 V I I I Η αθξίβεηα κηαο κέηξεζεο καο ιέεη πόζν θνληά ζηελ ηηκή πνπ ζεσξνύκε «πξαγκαηηθή» βξίζθεηαη ε κέηξεζή καο. Κάζε κέηξεζε θέξεη πάληα κηα αβεβαηόηεηα. Η αβεβαηόηεηα νξίδεηαη σο ε πνζνηηθή έθθξαζε ηεο «ακθηβνιίαο» πνπ ππάξρεη ζρεηηθά κε ην απνηέιεζκα ηεο κέηξεζεο. Λακβάλνληαο πνιιέο κεηξήζεηο ηνπ ηδίνπ κεγέζνπο γηα λα ππνινγίζνπκε κέζε ηηκή, κεηώλνπκε ηελ αβεβαηόηεηα ηύπνπ Α. Αιιάδνληαο ηελ ηερληθή κέηξεζεο κπνξεί λα πεξηνξηζηεί ή λα εθκεδεληζηνύλ αβεβαηόηεηεο ηύπνπ Β. Τν απνηέιεζκα κηαο κέηξεζεο γξάθεηαη πάληα καδί κε ηελ αβεβαηόηεηα πνπ ηε ζπλνδεύεη θαη ηηο κνλάδεο ηεο. ( ) (8.260 0.004) mm Τν παξαπάλσ απνηέιεζκα ζεκαίλεη όηη ε πξαγκαηηθή ηηκή βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα από 8.256 mm έσο 8.264 mm κε πηζαλόηεηα 68%. (Υπελζύκηζε: Γελ κπνξνύκε πνηέ λα κάζνπκε ηελ πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ κεγέζνπο Φ) * Οη ζεκεηώζεης ασηές θαιύπηοσλ κόλο ηης πιέολ γεληθές περηπηώζεης σποιογηζκού αβεβαηόηεηας ποσ ζα ζσλαληήζεη θάποηος ζε έλα εργαζηήρηο γεληθής θσζηθής. Αλ ζσλαληήζεηε θάποηα περίπηωζε ποσ τρήδεη περεηαίρω δηεσθρίλεζες, ζσδεηήζηε ηελ κε ηολ θαζεγεηή ζας. Μ.Πηλακούτα Σελίδα 11

4. Δξσηήζεηο 1. Πόζα ζεκαληηθά ςεθία έρνπλ νη αξηζκνί 13600, 0.120, 0.0045; 2. Τη δηαθξίλεη έλα «ηπραίν ζθάικα» από έλα ζπζηεκαηηθό ζθάικα; 3. Γηα ηνλ πξνζδηνξηζκό ηεο δηακέηξνπ d δηαθόξσλ δνθηκίσλ έγηλαλ 10 κεηξήζεηο ζε θάζε δνθίκην κε ζθνπό ηνλ ππνινγηζκό ηεο κέζεο ηηκήο ηεο δηακέηξνπ, θαζώο θαη ηεο αληίζηνηρεο αβεβαηόηεηαο ζ( ). Να δηνξζσζνύλ νη πην θάησ εθθξάζεηο ηνπ ηειηθνύ απνηειέζκαηνο θάζε δνθηκίνπ ώζηε λα πάξνπλ ηελ επηζηεκνληθά απνδεθηή κνξθή. ±ζ( )= (15.619 ± 0. 43) mm ±ζ( )= (16.623 ± 0.004) mm ±ζ( )= (16.632 ± 0.99) mm ±ζ( )= (14.615 ± 0.043) mm Βηβιηνγξαθία 1. John R. Taylor, «An Introduction to Error Analysis : The Study of Uncertainties in Physical Measurements», 2nd ed. (Univ. Science Books, 1997) 2. B.N. Taylor and C.E. Kuyatt, «Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results» (NIST Technical Note 1297, 1994) 3. «Σθάικαηα Μεηξήζεσλ» από ην βηβιίν, Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο Οκάδα Φπζηθώλ ΤΔΙ Πεηξαηά, (Mαθεδνληθέο Δθδόζεηο). 4. «Θεσξία Σθαικάησλ» από ην βηβιίν Δξγαζηεξηαθέο Αζθήζεηο Φπζηθήο Ι Οκάδα Φπζηθώλ ΤΔΙ Αζήλαο, (Mαθεδνληθέο Δθδόζεηο). 5. Young H., University Physics, Addison-Wesley (Δθδόζεηο Παπαδήζε 1990). 6. www.mathman.gr 7. http://www.batesville.k12.in.us/physics/apphynet/measurement/measure ment_intro.html Μ.Πηλακούτα Σελίδα 12

Φύιιν Δξγαζίαο Μεηξήζεηο Σθάικαηα Αβεβαηόηεηα 1. Να γξάςεηε ην πιήζνο ησλ ζεκαληηθώλ ςεθίσλ πνπ έρεη θάζε έλαο από ηνπο αθόινπζνπο αξηζκνύο: Αξηζκόο ΣΧ Αξηζκόο ΣΧ Αξηζκόο ΣΧ Αξηζκόο ΣΧ 3,26 2,650 8,001 4,20x10 3 3,260 0,0089 16 4,20x10-3 0,26 0,1 32001 3200 2. Να ζηξνγγπινπνηεζνύλ νη παξαθάησ αξηζκνί ζηα ηξία θαη ζηε ζπλέρεηα ζηα δύν ζεκαληηθά ςεθία: Αξηζκόο 3 ΣΧ 2 ΣΧ Αξηζκόο 3 ΣΧ 2 ΣΧ 7,6310 3,0026 *10 3 5,215 3,5026 *10 2 4,934 15606 16,0982 4,953 1,4276 0,003264 3. Γηα ηνλ πξνζδηνξηζκό ηεο δηακέηξνπ d δηαθόξσλ δνθηκίσλ έγηλαλ 10 κεηξήζεηο ζε θάζε δνθίκην θαη ππνινγίζηεθε ε κέζε ηηκή ηεο δηακέηξνπ, θαζώο θαη ε αληίζηνηρε αβεβαηόηεηα ζ( ). Να γξαθνύλ ηα απνηειέζκαηα κε ηνλ επηζηεκνληθά απνδεθηό ηξόπν ±ζ( )= θαη ζ( )= 0, 44 mm θαη ζ( )= 0, 031 mm θαη ζ( )= 0,0055 mm θαη ζ( )= 1 mm θαη ζ( )= 11,9 mm Μ.Πηλακούτα Σελίδα 13

4. Καηά ηε κέηξεζε ηνπ κήθνπο ελόο αληηθεηκέλνπ ειήθζεζαλ νη παξαθάησ κεηξήζεηο: α/α x i (cm) x (cm) Γx i = x -x i (cm) 1 14,25 2 14,26 3 14,22 4 14,28 5 14,24 6 14,25 7 14,22 8 14,26 9 14,23 10 14,24 (Γx i ) 2 (cm 2 ) Να ππνινγηζζνύλ: α ) Η κέζε ηηκή ηνπ κήθνπο ηνπ αληηθεηκέλνπ. β ) H αβεβαηόηεηα ζ ) (ή ζθάικα κέζεο ηηκήο). γ ) Η επί ηνηο εθαηό αβεβαηόηεηα ζ% δ ) Να γξαθνύλ ηα απνηειέζκαηα ζηηο παξαθάησ κνξθέο: ζ( )= ±ζ%= Μ.Πηλακούτα Σελίδα 14