Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 2: Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Ζκεξνκελία δηεμαγσγήο: 12/5/2005

Transcript

1 Δξγαζηεξηαθή άζθεζε : Μέηξεζε ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο κε ηε κέζνδν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο Ζκεξνκελία δηεμαγσγήο: /5/005 ΕΙΑΓΩΓΗ Ζ εξγαζηεξηαθή άζθεζε πεξηιακβάλεη έλα πείξακα θαη ζθνπόο ηεο είλαη ν πξνζδηνξηζκόο ηεο επηηάρπλζεο ηεο βαξύηεηαο από κεηξήζεηο ηεο πεξηόδνπ ησλ ηαιαληώζεσλ ελόο θπζηθνύ εθθξεκνύο σο ζπλάξηεζε ηεο ζέζεο ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ. Τν ξόιν ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο εδώ παίδεη κηα θπιηλδξηθή ξάβδνο από νξείραιθν. Δπίζεο, κπνξνύκε λα επηιέμνπκε ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο ξάβδνπ κέζσ ελόο δαθηπιίνπ πνπ κπνξεί λα ζηεξεσζεί ζε νπνηνδήπνηε ζεκείν ηεο ξάβδνπ. d Ζ εμίζσζε θίλεζεο ηνπ θπζηθνύ εθθξεκνύο είλαη: I p MgL sin () dt όπνπ Η p ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζώκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο p, Μ ε κάδα ηνπ ζώκαηνο θαη L ε απόζηαζε ηνπ άμνλα p από έλαλ άμνλα πνύ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ ζώκαηνο. Αλ ζεσξήζνπκε όηη γηα κηθξέο γσλίεο ζ ηζρύεη sinζ ζ ε πεξίνδνο ηνπ θπζηθνύ I p εθθξεκνύο δίλεηαη: T () MgL L Ζ παξαπάλσ ζρέζε κπνξεί λα πάξεη ηε κνξθή Τ= () όπνπ gl I Κ = (4) ε αθηίλα αδξάλεηαο ηνπ ζώκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα πνπ πεξλά MgL από ην θέληξν κάδαο ηνπ ζώκαηνο θαη είλαη παξάιιεινο ζηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ. ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΙΑ Σην εξγαζηήξην κεηξήζεθε ην κήθνο ηεο ξάβδνπ Ζ=(800,)m θαη ε δηάκεηξόο ηεο δ=(,90,)m άξα ε αθηίλα ηεο ξάβδνπ είλαη a=δ/=(,00,05)m ζηηο παξαπάλσ κεηξήζεηο έρνπκε πάξεη ζθάικα αλάγλσζεο 0,m γηαηί ηόζε ήηαλ ε αθξίβεηα κέηξεζεο ηνπ ππνδεθάκεηξνπ πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε. Αθνύ ηνπνζεηήζεθε ν δαθηύιηνο ζε απόζηαζε 4m πάλσ από ην θέληξν ηεο ξάβδνπ, κεηξήζεθε ε πεξίνδνο ησλ ηαιαληώζεσλ γηα αξρηθή γσλία εθηξνπήο ηνπ εθθξεκνύο κηθξόηεξε ησλ 5 ν. Ο νιηθόο ρξόλνο γηα πιήξεηο ηαιαληώζεηο κεηξήζεθε: Τ=(6,7,00)se άξα Τ=(,670,000)se. Δπίζεο, κεηξήζεθε θνξέο ν ρξόλνο κηαο πεξηόδνπ. Τα απνηειέζκαηα ησλ κεηξήζεσλ δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Πίνακας i T i (se),4870,00

2 ,5750,00,4040,00 4,,00 5,760,00 6,56,00 7,40,00 8,5980,00 9,460,00,6,00 Ζ κέζε ηηκή ηεο πεξηόδνπ είλαη: T _ T i i =,55se ( T i T ) i Καη ε ηππηθή απόθιηζε ηεο κηαο κέηξεζεο είλαη: =0,se Tν ζθάικα κέηξεζεο ηεο πεξηόδνπ Τ γηα Ν ηαιαληώζεηο ζα δίλεηαη από ηνλ ηύπν: 0, se δτ= (5) Σηε ζπλέρεηα, κεηξήζεθε ν ζπλνιηθόο ρξόλνο t 40 ηαιαληώζεσλ ηεο ξάβδνπ. Γηα θ=5 ν είλαη t=4,046se, άξα Τ=,60. Τν ηππηθό ζθάικα ζηε κέηξεζε ηνπ ρξόλνπ t είλαη ε ηππηθή απόθιηζε ηεο κηαο κέηξεζεο πνπ ππνινγίζακε παξαπάλσ, δειαδή δt=0,se θαη ην ζθάικα ζηελ πεξίνδν Τ είλαη δτ=δt/40=0,00se, άξα Τ=(,60,00)se. Γηα θ=0 ν είλαη t=6,555se, άξα Τ=,664se. Σε απηή ηελ πεξίπησζε από ηε ζρέζε (5) είλαη επίζεο δτ=0,00se άξα Τ=(,6640,00)se Αλάκεζα ζηηο πεξηόδνπο ηνπ εθθξεκνύο γηα θ=5 ν θαη γηα θ=0 ν έρνπκε κηα δηαθνξά 0,06se, ε νπνία είλαη θνξέο κεγαιύηεξε από ην ζθάικα κέηξεζεο ηεο πεξηόδνπ. Γηα θύιηλδξν αθηίλαο a θαη κήθνπο H είλαη K = H / a / 4, άξα ζηελ πεξίπησζή καο όπνπ a=0,0m θαη H=0,8m ε ζεσξεηηθή πξόβιεςε είλαη: Κ =0,094m. H πεξίνδνο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ εθθξεκνύο γηα νπνηνδήπνηε πιάηνο δίλεηαη από ηε L 9 4 ζρέζε: T sin sin... (6). gl 4 64 Αλ ζηελ (6) ζέζνπκε όπνπ Κ =0,m, L=0,04m θαη g=9,8m/se (όπσο πξνβιέπεηαη ζεσξεηηθά), γηα γσλία ζ=5 ν είλαη Τ=,5se, θαη κε ηα ίδηα δεδνκέλα θαη γηα γσλία ζ=0 ν από ηελ (6) έρνπκε Τ=,69, δειαδή ε ζεσξεηηθά πξνβιεπόκελε δηαθνξά αλάκεζα ζηηο πεξηόδνπο είλαη 0,06se, ε νπνία είλαη κηθξόηεξε από ηε δηαθνξά πνπ πξνθύπηεη από ηηο πεηξακαηηθέο κεηξήζεηο. Παξαηεξνύκε όηη ππάξρεη κηα αζπκθσλία κεηαμύ ηεο δηαθνξάο ζηηο πεξηόδνπο πνπ κεηξήζεθε θαη ηεο πξνβιεπόκελεο. Απηό νθείιεηαη ζε ηξηβέο πνπ είρακε ζην ζεκείν ζηήξημεο ηεο ξάβδνπ θαη ζηελ αληίζηαζε ηνπ αέξα, ε νπνία ζεσξήζεθε ακειεηέα. Μηα άιιε πεγή ζθάικαηνο είλαη όηη ζηνλ ππνινγηζκό ηεο πεξηόδνπ αληί ηεο ζρέζεο (6) ρξεζηκνπνηήζακε ηελ () θαη ππνζέζακε όηη sinζ ζ, θάηη πνπ ζηελ πεξίπησζε πνπ ζ=0 ν δελ ηζρύεη κε αθξίβεηα. Δπίζεο ζθάικαηα _

3 ππήξμαλ θαη ζηε κέηξεζε ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο ιόγσ ηνπ ζθάικαηνο αλάγλσζεο ηνπ κνηξνγλσκνλίνπ πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε. Σηε ζπλέρεηα, κεηξάκε ηηο πεξηόδνπο ηαιάλησζεο ηνπ εθθξεκνύο γηα πιάηε κηθξόηεξα ησλ 5 ν θαη γηα δηαθνξεηηθέο ζέζεηο ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο, αξρίδνληαο από έλα ζεκείν πνπ βξίζθεηαη 4m θάησ από ην θέληξν κάδαο ηνπ θπιίλδξνπ θαη ηειεηώλνληαο ζην άθξν ηνπ. Τα απνηειέζκαηα ησλ κεηξήζεσλ θαηαρσξνύληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: Α/Α L (m) 0,04 0,00 0,08 0,00 0, 0,00 0,6 0,00 0,0 0,00 0,4 0,00 0,8 0,00 0, 0,00 0,6 0,00 0,40 0,00 N Πίνακας t (se) 6,8 0, 7,76 0, 5, 0, 4,4 0,,60 0,,55 0,,49 0,,94 0, 4,4 0, 4,54 0, T (se),64 0,0,78 0,0,5 0,0,4 0,0,6 0,0,6 0,0,5 0,0,9 0,0,4 0,0,45 0,0 x=l y=lt /4π (m ) (m se ) 0,006 0,007 8,0-5,9-4 0,0064 0,0064,6-4, -4 0,044 0,0069,4-4, -4 0,056 0,008, -4,5-4 0,0400 0,009 4,0-4,7-4 0,0576 0,0 4,8-4,0-4 0,0784 0,09 5,6-4, -4 0,4 0,057 6,4-4,8-4 0,96 0,085 7, -4, -4 0,600 0,04 8,0-4,6-4 Σηε κέηξεζε ηνπ κήθνπο L έρνπκε πάξεη ην ζθάικα αλάγλσζεο ηνπ ππνδεθάκεηξνπ, ελώ ηα ζθάικαηα ζην t θαη ην T βξέζεθαλ από ηε ζρέζε (5) γηα Ν=. Τα ζθάικαηα γηα ην x θαη ην y, ηα νπνία ζα ρξεζηκνπνηεζνύλ αξγόηεξα ζε έλα δηάγξακκα δίλνληαη από ηηο παξαθάησ ζρέζεηο πνπ πξνθύπηνπλ από ηε δηάδνζε ζθαικάησλ: δx=lδl θαη δy= = 4 y L L ( L) (LTT ) y T T T 4 L LT T 4 Σην δηάγξακκα θαίλεηαη ε κεηαβνιή ηεο πεξηόδνπ Τ ζπλαξηήζεη ηεο κεηαβνιήο ηεο απόζηαζεο L ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ εθθξεκνύο από ηνλ άμνλα

4 πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ. Tα ζθάικαηα ζηηο ηηκέο ηνπ Τα θαη ηνπ L είλαη πνιύ κηθξά γηα λα θαίλνληαη ζην δηάγξακκα. Από ην δηάγξακκα έρεη ππνινγηζηεί ηξεηο θνξέο ην g από ηξεηο δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηεο πεξηόδνπ Τ κε ηνλ εμήο ηξόπν: Γηα Τ =,4se γλσξίδνπκε όηη ην αληίζηνηρν κήθνο ηνπ απινύ εθθξεκνύο είλαη L ν =(ΑΒ)+(ΒΓ)=0,46m. Όκσο γηα ην απιό εθθξεκέο ηζρύεη: L Τ= o 4 g= g T L o Δπίζεο γλσξίδνπκε όηη άξα g =,m/se. K =(ΑΒ) (ΑΓ)=0,048m άξα K =0,m Γηα Τ =,4se από ην δηάγξακκα έρνπκε L o =(ΓΔ)+(ΔΕ)=0,49m άξα 4 L g = o =9,7m/se θαη K =(ΓΔ) (ΓΕ)=0,048m άξα K =0,m T Γηα Τ =,49se είλαη L o =(ΖΘ)+(ΘΗ)=0,5m άξα g =9,07m/se θαη K =(ΖΘ) (ΖΗ)=0,046m άξα K =0,m Από ηηο παξαπάλσ κεηξήζεηο, ε κέζε ηηκή γηα ην g δίλεηαη: _ g =9,64m/se ( g i g) i θαη ην ζθάικα ηεο κέζεο ηηκήο δg= =0,0m/se Άξα g=(9,64±0,0)m/se Με όκνην ηξόπν βξίζθνπκε θαη όηη Κ =0,67m θαη δκ =0,00m δειαδή Κ =(0,67±0,00)m. _ Σηε ζπλέρεηα ζα γίλεη ν ππνινγηζκόο ηνπ g θαη ηνπ Κ σο εμήο: LT K Ζ ζρέζε () κπνξεί λα γίλεη: L, ε νπνία είλαη ηεο κνξθήο y=α+βx 4 g g κε x=l LT K, y=, α= θαη β=/g. Έηζη ζα είλαη δπλαηό λα ζρεδηάζνπκε ην 4 g δηάγξακκα ηνπ y ζπλαξηήζεη ηνπ x από ην νπνίν ζα βξεζεί κηα επζεία κε θιίζε β=/g ε νπνία ηέκλεη ηνλ άμνλα y ζην ζεκείν y=α από ην νπνίν ζε ζπλδπαζκό κε ηελ ηηκή ηνπ g πνπ πξνθύπηεη από ηελ θιίζε, κπνξεί λα πξνζδηνξηζηεί ε Κ. Σηελ έθηε θαη έβδνκε ζηήιε ηνπ πίλαθα έρνπλ ππνινγηζηεί νη ηηκέο γηα ηα x θαη y από ηηο νπνίεο έρεη ζρεδηαζηεί ην δηάγξακκα. παξαηεξνύκε όηη ε ζρέζε αλάκεζα ζην x θαη ην y είλαη γξακκηθή. Με ηε κέζνδν ησλ ειάρηζησλ ηεηξαγώλσλ κπνξνύκε λα βξνύκε κηα θαιύηεξε επζεία πνπ αληηζηνηρεί ζηε ζεηξά ησλ πεηξακαηηθώλ κεηξήζεσλ πνπ απεηθνλίδνληαη ζην δηάγξακκα. Τν πξώην πεηξακαηηθό ζεκείν έρεη αγλνεζεί ζηε ράξαμε ηεο επζείαο γηαηί παξνπζηάδεη κεγάιε απόθιηζε από απηήλ. Δίλαη πνιύ πηζαλό λα έρεη γίλεη θάπνην ιάζνο ζηηο κεηξήζεηο πνπ αληηζηνηρνύλ ζην ζεκείν απηό. Έηζη έρνπκε: 4

5 [x]= x i =0,644 i [y]= i y i =0,4 είλαη: α=([y][x ]-[x][yα])/(n[x ]- [x] )=0,0055 β=(n[xy]-[x][y])/(n[x ]-[x] )=0,0990 δα=0,000 θαη δβ=0,00 θαη έρνπκε: α=0,0055±0,000 θαη β=0,0990±0,00 ε επζεία πνπ πξνθύπηεη είλαη ε y=0,0055+0,099x [xy]= x y =0,098 i i [x] =0,775 Όκσο g=/β δειαδή g=/β=(/0,099)m/se =,m/se θαη δg=δ(/β)=(/β ) δβ=0,m/se άξα g=(,±0,)m/se i Δπίζεο είλαη Κ = / =0,59m θαη K K ( ) ( ) δκ = a 4 Κ =(0,59±0,00)m =0,00m άξα ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Χξεζηκνπνηήζεθαλ δύν κέζνδνη γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ g θαη ηνπ K. Από ηε κειέηε ηνπ δηαγξάκκαηνο βξήθακε όηη g=(9,64±0,0)m/se θαη Κ =(0,67±0,00)m, ελώ από ην δηάγξακκα πξνέθπςε όηη g=(,±0,)m/se θαη Κ =(0,59±0,00)m. Τα απνηειέζκαηα πνπ πξνέθπςαλ από ηε δεύηεξε κέζνδν είλαη κεγαιύηεξα από εθείλα πνπ πξνέθπςαλ από ηελ πξώηε κέζνδν θαη έρνπλ κηθξόηεξα ζθάικαηα. Δίλαη ζαθέο όηη ε δεύηεξε κέζνδνο, ζηελ νπνία έγηλε ρξήζε ηεο κεζόδνπ ησλ ειάρηζησλ ηεηξαγώλσλ είλαη πην αμηόπηζηε. Σηελ πξώηε κέζνδν δελ ζπκπεξηιήθζεθαλ ζηνπο ππνινγηζκνύο ηα ζθάικαηα ηεο πεξηόδνπ δτ θαη ηνπ κήθνπο δl, ελώ είλαη πηζαλό λα ππάξρνπλ αξθεηά ζθάικαηα ιόγσ έιιεηςεο αθξίβεηαο ηεο θακπύιεο πνπ πεξλά από ηα πεηξακαηηθά ζεκεία ηνπ δηαγξάκκαηνο. Ζ ηηκή γηα ηελ επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο πνπ πξνέθπςε κε ηε κέζνδν ησλ ειάρηζησλ ηεηξαγώλσλ (g=(,±0,)m/se ) είλαη θαηά 0,m/se κεγαιύηεξε από ηελ ηηκή πνπ αλακέλεηαη ζηελ Αζήλα (9,800m/se ). H δηαθνξά απηή είλαη αξθεηά κεγάιε θαη νη ηηκέο γηα ην g δε ζπκθσλνύλ κέζα ζηα όξηα ηνπ ζθάικαηνο δg. Οη θπξηόηεξεο πεγέο ζθάικαηνο ζην ηειηθό απνηέιεζκα είλαη ζθάικαηα ζηελ αλάγλσζε ηεο απόζηαζεο L ιόγσ αλαθξίβεηαο ηνπ ππνδεθάκεηξνπ θαη ζθάικαηα θαηά ηε κέηξεζε ηεο πεξηόδνπ Τ ηεο ηαιάλησζεο ηνπ εθθξεκνύο. Δπίζεο ε αζπκθσλία αλάκεζα ζην απνηέιεζκα θαη ζηελ αλακελόκελε ηηκή νθείιεηαη θαη ζην γεγνλόο όηη ζεσξήζεθε ακειεηέα ε αληίζηαζε ηνπ αέξα θαη νη δπλάκεηο ηξηβήο ζην ζεκείν ζηήξημεο ηεο ξάβδνπ. Ζ κέζε ηηκή γηα ην Κ ηεο ξάβδνπ πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε ππνινγίζηεθε παξαπάλσ (ζειίδα ): Κ =0,094m. Τν ζθάικα δκ δίλεηαη: δκ = K H K 0,0009m άξα είλαη Κ =(0,0940,0009)m / / 4 4 / / 4 = 5

6 Ζ ηηκή απηή είλαη πην θνληά ζηελ πεηξακαηηθή ηηκή ηνπ Κ πνπ βξέζεθε κε ηε κέζνδν ησλ ειάρηζησλ ηεηξαγώλσλ, όκσο δελ ζπκθσλεί κε απηήλ ζηα όξηα ηνπ ζθάικαηνο δκ. Απηό νθείιεηαη ζηηο πξνζεγγίζεηο πνπ έγηλαλ αιιά θαη ζηα ζθάικαηα αλάγλσζεο ησλ κεγεζώλ πνπ αλαθέξζεθαλ παξαπάλσ. 6