Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Πολυδιάστατες Κυματομορφές Σήματος
Ανακεφαλαίωση Καθένα από τα Μ σύμβολα αντιστοιχίζεται σε μια αναλογική κυματομορφή Οι κυματομορφές ορίζονται σε ένα N-D χώρο σήματος (Ν Μ) Μονοδιάστατα Σήματα (ευθεία) PAM Δισδιάστατα Σήματα (επίπεδο) PSK QAM Πολυδιάστατα Σήματα (Ν-D χώρος) θα περιοριστούμε σε αμοιβαία ορθογώνιες κυματομορφές (επομένως Ν=Μ ) 2
Ν-D Ορθογώνιες Κυματομορφές Βασικής Ζώνης Μπορούν να κατασκευαστούν με διάφορους τρόπους Μπορεί να επικαλύπτονται στο χρόνο ή όχι Μπορεί να έχουν ίση ή διαφορετική ενέργεια, αλλά για πρακτικούς λόγους επιλέγονται ίσης ενέργειας Μπορούν να παραχθούν με τη διαδικασία Gram-Schmidt ή και άλλους τρόπους Παράδειγμα: οι ακολουθίες Hadamard που παράγονται αναδρομικά όπως παρακάτω και δημιουργούν πίνακα με ορθογώνιες στήλες H 1 1 H, n Hn 1 1 H Hn Hn 2 2n 3
Παράδειγμα 1 4
Παράδειγμα 2 5
Pulse Position Modulation (PPM) Στο δεύτερο παράδειγμα, η ψηφιακή πληροφορία αποτυπώνεται στη θέση που τοποθετείται ο παλμός Η ιδιαίτερη αυτή σηματοδοσία καλείται διαμόρφωση παλμών κατά θέση (Pulse Position Modulation - PPM) Τα σήματα βασικής ζώνης δίνονται ως s t Ag t m1 T M, m1,, M m T m1 T M t mt M Ο παλμός g T (t) έχει διάρκεια Τ/Μ και κατάλληλο σχήμα 6
Γεωμετρική Αναπαράσταση PPM Όλα τα σήματα PPM είναι ίσης ενέργειας E s t dt A E T 2 2 s 0 m g Μ συναρτήσεις βάσεις m t 1 E g 1, 1 g t m T M m T M t mt M T 0, ύ Στο χώρο σημάτων οι Μ-αδικές κυματομορφές PPM αναπαρίστανται ως s1 A Es 0 0 s M 0 0 0 A E s 7
Γεωμετρική Αναπαράσταση PPM (2) Όλα τα διανύσματα είναι ορθογώνια μεταξύ τους Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων στον Μ-D χώρο είναι 2 2 mn sm sn 2 s d A E Όλα τα σημεία είναι ισαπέχοντα Ερώτηση (γενικά για Ν-D συστήματα διαμόρφωσης): Έχει νόημα η κωδικοποίηση Gray; 8
Παράδειγμα Γεωμετρική αναπαράσταση ορθογώνιων σημάτων Μ=Ν=3, Α=1 9
Ν-D Ορθογώνια Ζωνοπερατά Σήματα Παράγονται κατά το γνωστό τρόπο τα αντίστοιχα σήματα βασικής ζώνης διαμορφώνουν ένα φέρον Ορθογωνιότητα T 0 m n u t u t dt u t s t cos 2 f t m m c 1/ 1 T 1 T fc T s cos 4 0 2 0 m t sn t dt s 2 0 m t sn t fctdt Η ενέργεια της ζωνοπερατής κυματομορφής είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης κυματομορφής βασικής ζώνης 10
Frequency Shift Keying (FSK) M-PPM: επιτυγχάνουν ορθογωνιότητα στο πεδίο του χρόνου μέσω μη επικαλυπτόμενων παλμών Εναλλακτική Λύση: ορθογωνιότητα στο πεδίο των συχνοτήτων διαμόρφωση κατά συχνότητα φέροντος Η απλούστερη μορφή είναι η μεταλλαγή ολίσθησης συχνότητας (frequency shift keying - FSK) 11
Δυαδικό FSK Είναι το απλούστερο FSK Χρησιμοποιούνται δύο φέροντα σήματα με συχνότητες f 1, f 2 με Δf=f 2 -f 1 για μετάδοση δυαδικής πληροφορίας Κυματομορφές Σήματος: 2E u t cos 2 ft, 0 t T b 1 1 Tb 2E u t cos 2 f t, 0 t T b 2 2 Tb Η συχνοτική απόσταση Δf επιλέγεται ώστε να επιτευχθεί ορθογωνιότητα b b 12
M-αδικό FSK Μεταδίδονται k=log 2 M bits/σύμβολο Κυματομορφές 2Es um t cos 2 fc mf t, T m0,, M 1, 0 t T E s =ke b, ενέργεια συμβόλου Τ=kT b, περίοδος συμβόλου Δf=f m -f m-1, απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών συχνοτήτων (και πάλι η Δf είναι επιλεγμένη έτσι ώστε όλες οι κυματομορφές να είναι ορθογώνιες μεταξύ τους) Όλες οι κυματομορφές έχουν την ίδια ενέργεια E s 13
Συντελεστής Διασυσχέτισης Ένα μέτρο ομοιότητας δύο κυματομορφών σήματος είναι ο λεγόμενος συντελεστής διασυσχέτισης 1 T sin(2 m n f T) u t u t dt E 2 mn f T mn 0 m n s 14
Συντελεστής Διασυσχέτισης (2) Παρατηρήσεις: 1. Οι κυματομορφές είναι ορθογώνιες όταν το Δf είναι πολλαπλάσιο του 1/(2Τ) 2. Το ελάχιστο Δf για ορθογωνιότητα είναι 1/(2Τ) 3. Για Δf=1/(2Τ) το μεταδιδόμενο σήμα εμφανίζει ασυνέχειες της φάσης στα όρια των συμβόλων οδηγούν σε άπλωμα του φάσματος 4. Η τιμή Δf=1/Τ είναι η ελάχιστη που επιτυγχάνει ταυτόχρονα ορθογωνιότητα μεταξύ φερουσών και επίσης συνέχεια φάσης ωστόσο απαιτείται διπλάσιο εύρος ζώνης > Ειδικές μορφές FSK μπορούν να επιτύχουν συνέχεια φάσης ακόμη και με Δf=1/(2Τ) 15
Γεωμετρική Αναπαράσταση Μ-FSK Αντίστοιχη του M-PPM Συναρτήσεις βάσεις m 2 cos2 t T f m f t c Διανύσματα s1 Es 0 0 s M 0 0 0 E s Ίση απόσταση μεταξύ όλων των διανυσμάτων dmin 2E s 16