Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες Βασικοί κανόνες πιθανοτήτων Υπό συνθήκη πιθανότητα Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Το θεώρημα Ολικής Πιθανότητας
2-3 2 ΜΑθΗΣΙΑΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη του κεφαλαίου θα πρέπει να είστε σε θέση να: Ορίσετε την πιθανότητα, το δειγματικό χώρο και τα ενδεχόμενα. Διακρίνετε μεταξύ της υποκειμενικής και αντικειμενικής πιθανότητας. Περιγράφετε το συμπληρωματικό ενός ενδεχομένου, την τομή και την ένωση δυο ενδεχομένων. Υπολογίζετε τις πιθανότητες διαφόρων ενδεχομένων. Εξηγήσετε την έννοια της υπό συνθήκη πιθανότητας και τον τρόπο υπολογισμού της.
2-4 2-1 Η πιθανότητα : είναι ένα ποσοτικό μέτρο της αβεβαιότητας είναι ένα μέτρο της δύναμης της πίστης μας για την εμφάνιση ενός όχι βέβαιου ενδεχομένου είναι ένα μέτρο της πιθανότητας εμφάνισης ενός όχι βέβαιου ενδεχομένου παίρνει τιμές μεταξύ του 0 και του 1 (ή μεταξύ του 0% και 100%
2-5 Είδη πιθανοτήτων Αντικειμενική ή Κλασική πιθανότητα Βασίζεται σε ενδεχόμενα με ίδια πιθανότητα εμφάνισης Βασίζεται σε μακροπρόθεσμη σχετική συχνότητα ενδεχομένων δεν βασίζεται σε προσωπικές απόψεις είναι η ίδια για όλους τους παρατηρητές (αντικειμενική παραδείγματα: στρίψιμο ενός νομίσματος, ρίψη ενός ζαριού, επιλογή μιας κάρτας από μια τράπουλα
2-6 Είδη πιθανοτήτων (Συνέχεια Υποκειμενική πιθανότητα Βασίζεται σε προσωπικές απόψεις, εμπειρίες, προκαταλήψεις, διαίσθηση προσωπική κρίση Είναι διαφορετική για όλους τους παρατηρητές (υποκειμενική Παραδείγματα: εκλογές, εισαγωγή στην αγορά ενός νέου προϊόντος, αν θα χιονίσει την επόμενη ημέρα
2-7 2-2 Βασικοί Ορισμοί Σύνολο μια συλλογή στοιχείων ή αντικειμένων Κενό σύνολο (συμβολίζεται με Ένα σύνολο που δεν περιλαμβάνει στοιχεία Γενικό σύνολο (συμβολίζεται με S Ένα σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα δυνατά στοιχεία A Ένα σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία του S που δεν είναι μέλη του συνόλου A Συμπληρωματικό Το συμπληρωματικό ενός συνόλου A είναι
2-8 Συμπληρωματικό ενός ενδεχομένου A A S Διάγραμμα Venn που παρουσιάζει το το συμπληρωματικό ενός ενδεχομένου
2-9 Βασικοί ορισμοί (συνεχίζεται Τομή (και Ένα σύνολο που περιλαμβάνει τα κοινά στοιχεία του A και του Ένωση (ή A Ένα σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία του A ή του ή και των δυο. A
2-10 Σύνολα: η τομή του A με το S A A
2-11 Σύνολα : A ένωση S A A
2-12 Βασικοί ορισμοί (συνεχίζεται Αμοιβαία αποκλειόμενα ή ξένα σύνολα Σύνολα που δεν έχουν κοινά στοιχεία, που δεν έχουν τομή, που η τομή τους είναι το κενό σύνολο Διαμέριση Μια συλλογή αμοιβαία αποκλειόμενων συνόλων που από κοινού περιλαμβάνουν όλα τα πιθανά στοιχεία, ενώ η ένωση τους είναι το σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα δυνατά αποτελέσματα.
Αμοιβαία αποκλειόμενα ή ξένα σύνολα 2-13 Τα σύνολα δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο S A
2-14 Σύνολα: διαμέριση A1 A3 S A2 A4 A5
2-15 Πείραμα Είναι μια διαδικασία που οδηγεί σε ένα από τα πολλά πιθανά αποτελέσματα *, π.χ.: Στρίψιμο νομίσματος Κεφάλι, Γράμματα Ρίψη ζαριού 1, 2, 3, 4, 5, 6 Κάθε δοκιμή ενός πειράματος έχει ένα μόνο αποτέλεσμα. Το ακριβές αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι άγνωστο πριν από μια δοκιμή. * Ονομάζεται επίσης βασικό αποτέλεσμα ή στοιχειώδες ενδεχόμενο * Ονομάζεται επίσης βασικό αποτέλεσμα ή στοιχειώδες ενδεχόμενο
2-16 Ενδεχόμενο: Ορισμός Δειγματικός χώρος ή σύνολο ενδεχομένων Σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων για ένα συγκεκριμένο πείραμα π.χ.: Ρίψη ενός συνήθους ζαριού Ενδεχόμενο S = {1,2,3,4,5,6} Σύλλογή αποτελεσμάτων που έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό π.χ.: το αποτέλεσμα της ρίψης ενός συνήθους ζαριού έχει αποτέλεσμα ζυγό αριθμό A = {2,4,6} Το ενδεχόμενο A πραγματοποιείται αν το αποτέλεσμα ανήκει στο σύνολο A Πιθανότητα ενός ενδεχομένου Άθροισμα των πιθανοτήτων των αποτελεσμάτων από τα οποία αποτελείται (A = (2 + (4 + (6
Ισοπίθανα ενδεχόμενα (Υποθετικά ή Ιδανικά Πειράματα 2-17 Για παράδειγμα: Ρίψη ενός ζαριού Έξι πιθανά αποτελέσματα {1,2,3,4,5,6} Αν έχουν ίδια πιθανότητα εμφάνισης, η πιθανότητα για καθένα είναι 1/6 = 0.1667 = 16.67% ( e 1 n( S Η πιθανότητα για κάθε ισοπίθανο ενδεχόμενο είναι 1 προς τον αριθμό των πιθανών ενδεχομένων Ενδεχόμενο A (ζυγός αριθμός (A = (2 + (4 + (6 = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 ( A ( e για όλα τα e που ανήκουν στο A n( A 3 1 n( S 6 2
Επιλογή μιας κάρτας από μια τράπουλα: Δειγματικός χώρος 2-18 Κούπα Καρό Σπαθί Μπαστούνι 16 52 Ένωση των Κούπα και Άσσος (Κούπα Άσσος n(κούπα Άσσος n( S 4 13 A A A A K K K K Q Q Q Q J J J J 10 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 Ενδεχόμενο Άσσος ( Ά n ( Ά 4 1 n ( S 52 13 Ενδεχόμενο Κόύπα n ( ύ 13 ( ύ n ( S 52 1 4 Η τομή των ενδεχομένων Κούπα και Άσσος είναι το μοναδικό φύλο που κυκλώνεται δυο φορές: Άσσος κούπα n(κούπα Άσσος ( Κούπα Άσσος n( S 1 52
2-19 2-3 Βασικοί Κανόνες Πιθανοτήτων Εύρος τιμών για για το το (A: 0( A 1 Συμπληρωματικό -- Πιθανότητα να να μην μην πραγματοποιηθεί το το A ( A 1 ( A Τομή -- Πιθανότητα να να πραγματοποιηθούν τα τα A και και ( A n( A n( S Αμοιβαία αποκλειόμενα ενδεχόμενα (A (A και και C C :: ( AC 0
Βασικοί Κανόνες Πιθανοτήτων (Συνεχίζεται 2-20 Ένωση Ένωση -- Πιθανότητα να να πραγματοποιηθεί το το A ή το το ή και και τα τα δυο δυο (κανόνας της της ένωσης ένωσης ( A n( A ( A ( ( A n( S Αμοιβαία Αμοιβαία αποκλειόμενα αποκλειόμενα ενδεχόμενα: ενδεχόμενα: Αν Αν τα τα A και και είναι είναι αμοιβαία αμοιβαία αποκλειόμενα αποκλειόμενα ενδεχόμενα, ενδεχόμενα, τότε τότε ( A 0. ( A ( A (
2-21 Σύνολα: (A ένωση S A ( A
2-4 Υπό συνθήκη πιθανότητα 2-22 Υπό Υπό συνθήκη πιθανότητα Πιθανότητα του του A δοθέντος Ανεξάρτητα Ανεξάρτητα ενδεχόμενα: ενδεχόμενα: ( A ( A,όπου ( 0 ( ( A ( A ( A (
Υπό συνθήκη πιθανότητα (συνεχίζεται 2-23 Κανόνες υπό συνθήκη πιθανοτήτων: Κανόνες υπό συνθήκη πιθανοτήτων: ( A ( A έτσι ( A ( A ( ( ( A ( A Αν τα ενδεχόμενα A και D είναι στατιστικά ανεξάρτητα: ( A D ( A ( D A ( D έτσι ( AD ( A ( D
2-24 Πίνακας Διπλής εισόδου - Παράδειγμα 2-2 Μετρήσεις AT& T IM Σύνολο Τηλεπικοινωνίες 40 10 50 Computers 20 30 50 Σύνολο 60 40 100 Πιθανότητες AT& T IM Σύνολο Τηλεπικοινωνίες 0.40 0.10 0.50 Computers 0.20 0.30 0.50 Πιθανότητα ότι η IM αναλαμβάνει ένα έργο δοθέντος ότι είναι έργο τηλεπικοινωνιακό: ( IM T ( IM T ( T 0.10 0.50 0.2 Σύνολο 0.60 0.40 1.00
2-25 2-5 Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Συνθήκες για την στατιστική ανεξαρτησία των ενδεχομένων A και : (Άσσος Κούπα (Άσσος Κούπα (Κούπα 1 1 52 (Άσσος 13 13 52 ( A ( A ( A ( και ( A ( A ( (Κούπα Άσσος (Κούπα Άσσος (Άσσος 1 52 4 52 1 (Κούπα 4 4 13 1 ( Άσσος Κούπα * (Άσσος (Κούπα 52 52 52
0.0976 0.0024 0.06 0.04 ( ( ( ( 0.0024 0.04*0.06 ( ( ( T T T b T T a 0.0976 0.0024 0.06 0.04 ( ( ( ( 0.0024 0.04*0.06 ( ( ( T T T b T T a Τα ενδεχόμενα Television (T και illboard ( υποθέτουμε ότι είναι ανεξάρτητα. Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Παράδειγμα 2-5 2-26
2-27 2-7 Ο νόμος της Ολικής Πιθανότητας Ο νόμος της ολικής πιθανότητας: ( A ( A ( A Χρησιμοποιώντας υπό συνθήκη πιθανότητες έχουμε: ( A ( A ( A ( A ( ( A ( Γενικά, (αν τα i είναι μια διαμέριση: ( A ( A i ( A ( i i
Ο νόμος της ολικής πιθανότητας- Παράδειγμα 2-9 2-28 Ενδεχόμενο U: Η χρηματαγορά θα ανέβει τον επόμενο χρόνο Ενδεχόμενο W: Η οικονομία θα πάει καλά τον επόμενο χρόνο ( U W. 75 ( U W 30 ( W. 80 ( W 1. 8. 2 ( U ( U W ( U W ( U W ( W ( U W ( W (. 75(. 80 (. 30(. 20. 60. 06. 66