ΔΥΚΛΔΙΓΗΣ 2008 ΛΥΣΔΙΣ ΘΔΜΑΤΩΝ

1 ΔΥΚΛΔΙΓΗΣ 008 ΛΥΣΔΙΣ ΘΔΜΑΤΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1 Αλ ηζρύεη όηη 8x10y 1, λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 008 x 5y 8x 60 y. (1 ος τρόπος) 008 x 5y 8x 60y x y x y x y x y 008 5 6 8 10 008 8 10 6 8 10 008 161 000. ( ος τρόπος) 008 x 5y 8x 60y 008 16x 0y 8x 60y 008 6x 80y 008 8 8x 10y 008 81 000. Πρόβλημα Σε κία αηειή δηαίξεζε ελόο ηξηςήθηνπ θπζηθνύ αξηζκνύ a κε ηνλ αξηζκό 5, ην πειίθν είλαη κεγαιύηεξν θαηά 5 ηνπ εμαπιάζηνπ ηνπ ππνινίπνπ. Πνηεο είλαη νη δπλαηέο ηηκέο ηνπ αξηζκνύ a ; Αλ είλαη ην πειίθν θαη είλαη ην ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο, ηόηε ζύκθσλα κε ηελ ππόζεζε ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπκε 6 5 θαη a 5 6 5, 1,,, a 1 5, 1,,,. Η ηηκή 0 απνθιείεηαη γηαηί ε δηαίξεζε είλαη αηειήο. Γηα 1, ιακβάλνπκε a 11 5 56. Γηα, ιακβάλνπκε a 1 5 87. Γηα, ιακβάλνπκε a 1 5 118 Γηα, ιακβάλνπκε a 1 5 19. Άξα νη δπλαηέο ηηκέο ηνπ ηξηςήθηνπ αξηζκνύ a είλαη : a 118 ή a 19. Πρόβλημα Γίλεηαη ην ηξίγσλν ABC θαη ε επζεία πνπ πεξλάεη από ην C θαη είλαη παξάιιειε πξνο ηελ πιεπξά AB. Δπηπιένλ δίλεηαη όηη CD CE AB. Σηελ πξνέθηαζε ηεο AB πξνο ην B παίξλνπκε επζύγξακκν ηκήκα BF AB. α) Να βξεζνύλ ηα ηξίγσλα πνπ ππάξρνπλ ζην ζρήκα θαη έρνπλ ίζν εκβαδόλ. Να δηθαηνινγήζεηε πιήξσο ηελ απάληεζή ζαο. F B Α E C D

β) Τη κέξνο ηνπ εκβαδνύ ηνπ ζρήκαηνο AFED είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ABC ; α) Τα ηεηξάπιεπξα ABCD θαη BFEC έρνπλ ηηο απέλαληη πιεπξέο ηνπο παξάιιειεο, νπόηε είλαη παξαιιειόγξακκα. Άξα ζα έρνπλ ηηο απέλαληη πιεπξέο ηνπο ίζεο, δειαδή είλαη AD BC FE. Έηζη ηα ηξίγσλα ABC, BFE, BEC θαη ACD έρνπλ ίζεο βάζεηο. Α D B K C F Λ E Τα ηξίγσλα ABC θαη ACD έρνπλ πξνο ηηο ίζεο βάζεηο ηνπο ύςε ίζα πξνο ην ύςνο ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ABCD σο πξνο ηε βάζε BC. Οκνίσο ηα ύςε ησλ ηξηγώλσλ BFE, BEC πξνο ηηο ίζεο βάζεηο ηνπο είλαη ίζα. Δπηπιένλ, αλ AK BC θαη FE, ηόηε ηα ηξίγσλα ABK θαη BF είλαη ίζα, αθνύ είλαη νξζνγώληα πνπ έρνπλ ίζεο ππνηείλνπζεο θαη ABK ˆ BF ˆ (εληόο ελαιιάμ ζηηο παξάιιειεο BC, EF κε ηέκλνπζα ηε BF ). Άξα ζα έρνπλ θαη ΑΚ = BΛ Δπνκέλσο ηα ηξίγσλα ABC, BFE, BEC θαη ACD έρνπλ ίζα ύςε πξνο ηηο ίζεο βάζεηο ηνπο, νπόηε ζα έρνπλ θαη ίζα εκβαδά. (β) Δπεηδή AFED ABC ACD BFE BEC ABC έπεηαη όηη ABC ABC 1. AFED Πρόβλημα (α) Να απνδείμεηε όηη θάζε εμαςήθηνο ζεηηθόο αθέξαηνο ηεο κνξθήο όπνπ ab, ςεθία, δηαηξείηαη κε ην. (β) Να πξνζδηνξίζεηε ηνπο εμαςήθηνπο ζεηηθνύο αθέξαηνπο ηεο κνξθήο όπνπ ab, ςεθία, νη νπνίνη δηαηξνύληαη κε ην 5 θαη ην 9. (α) Τν άζξνηζκα ησλ ςεθίσλ ηνπ αξηζκνύ Α είλαη ν αξηζκόο a b a b a b a b a b, ABC πνπ είλαη πνιιαπιάζην ηνπ, νπόηε ν αξηζκόο Α δηαηξείηαη κε ην. ababab, ababab, (β) Γηα λα δηαηξείηαη ν αξηζκόο Α κε ην 5, πξέπεη θαη αξθεί ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ b λα είλαη 0 ή 5. Έηζη δηαθξίλνπκε ηηο πεξηπηώζεηο:

Αλ 0, b ηόηε a 0 a. Δπνκέλσο ν αξηζκόο Α δηαηξείηαη κε ην 9, όηαλ ν a είλαη πνιιαπιάζην ηνπ 9. Δπεηδή ν a είλαη ςεθίν a,6,9, νπόηε πξνθύπηνπλ νη κεγαιύηεξν ηνπ 0, απηό ζπκβαίλεη όηαλ αξηζκνί 000 ή Α=606060 ή 909090. Αλ 5 b, ηόηε ην άζξνηζκα ησλ ςεθίσλ ηνπ Α είλαη a 5 είλαη πνιιαπιάζην ηνπ 9, όηαλ 5,6,9,1 a θαη a, νπόηε αθνύ 1 9 έπεηαη όηη a 1,,7. Έηζη πξνθύπηνπλ νη αξηζκνί Α=151515 ή Α=555 ή Α=757575. Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πρόβλημα 1. Αλ ηζρύεη όηη 1b6a 1, λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 5 1 b 5a 7b 156 a. 1 5 1 b 5a 7b 156a 1 5 1 1b 6a 61b 6a 1 5 1 5 1 1 5 1 1 1 61 0. 1 1 6 1 6 Πρόβλημα. Τξία ζρνιεία λνίθηαζαλ έλα αζιεηηθό θέληξν γηα ηηο αλάγθεο ηνπ καζήκαηνο ηεο Γπκλαζηηθήο θαη ζα πιεξώλνπλ 000 επξώ κεληαίσο. Τα ρξήκαηα πνπ ζα πιεξώλεη θάζε ζρνιείν είλαη αλάινγα πξνο ηνλ αξηζκό ησλ εκεξώλ πνπ ζα ρξεζηκνπνηεί ην αζιεηηθό θέληξν. Τν πξώην ζρνιείν ζα ρξεζηκνπνηεί ην αζιεηηθό θέληξν 1 κέξεο ην κήλα, ην δεύηεξν ζρνιείν ζα ρξεζηκνπνηεί ην αζιεηηθό θέληξν 10 κέξεο ην κήλα θαη ην ηξίην ζρνιείν θαηά ην 1 ησλ εκεξώλ ηνπ πξώηνπ ζρνιείνπ ζπλ κέξεο αθόκα. Πόζν ζα θνζηίζνπλ ζε θάζε ζρνιείν νη ηξεηο πξώηνη κήλεο; Τν ηξίην ζρνιείν ζα ρξεζηκνπνηεί ην αζιεηηθό θέληξν γηα 1 1 8 εκέξεο. Αλ x, y θαη z είλαη ην κεληαίν θόζηνο γηα ην πξώην, δεύηεξν θαη ηξίην ζρνιείν, αληίζηνηρα, ηόηε x y z, 1 10 8 νπόηε ιακβάλνπκε x 1, y 10, z 8 θαη έρνπκε x y z 000 1 10 8 000 100. Άξα έρνπκε:

x 100 x 1100 100 επξώ ην κήλα, ζα πιεξώλεη ην πξώην ζρνιείν, νπόηε 1 γηα ηνπο ηξεηο κήλεο ζα πιεξώζεη 600 επξώ. y 100 y 1100 1000 επξώ ην κήλα, ζα πιεξώλεη ην δεύηεξν ζρνιείν, 10 νπόηε γηα ηνπο ηξεηο κήλεο ζα πιεξώζεη 000 επξώ. z 100 z 8100 800 επξώ ην κήλα, ζα πιεξώλεη ην ηξίην ζρνιείν, νπόηε γηα 8 ηνπο ηξεηο κήλεο ζα πιεξώζεη 00 επξώ. Πρόβλημα Σην δηπιαλό ζρήκα ην επζύγξακκν ηκήκα BC είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ θαη είλαη αθόκα AB 7 θαη AC 6. α) Να βξεζεί ην κήθνο ηεο δηακέηξνπ ηνπ θύθινπ. β) Να βξεζεί ην κήθνο ηεο δηακέζνπ θαη ηνπ ύςνπο ηνπ ηξηγώλνπ ABC πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ πιεπξά BC. γ) Αλ E είλαη ην εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ θαη E x είλαη ην εκβαδόλ ηνπ κέξνπο ηεο επηθάλεηαο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ πνπ βξίζθεηαη εμσηεξηθά ηνπ ηξηγώλνπ ABC, λα απνδείμεηε όηη E x E. A C O D B α) Δπεηδή είλαη A ˆ 90, από ην Ππζαγόξεην ζεώξεκα έρνπκε: BC AB AC 6 7 6 7 6. Άξα είλαη BC 8. 8 β) Η δηάκεζνο AO ηζνύηαη κε ηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ, νπόηε είλαη AO. Γηα ηελ εύξεζε ηνπ ύςνπο AD ρξεζηκνπνηνύκε ηνπο ηύπνπο γηα ην εκβαδόλ ηνπ νξζνγώληνπ ηξηγώλνπ ABC θαη έρνπκε: AB AC BC AD 1 7 7 ABC 8 AD 6 7 AD. 8 γ) Έρνπκε E R 16. Η επηθάλεηα ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ πνπ βξίζθεηαη εμσηεξηθά ηνπ ηξηγώλνπ ABC έρεη 6 7 Ex E ABC 16 16 6 7, νπόηε E x 16 6 7 8 18 7 16 18 7 E 16. 567 8 9 7 6 817, 6 εκβαδόλ

5 πνπ ηζρύεη, γηαηί είλαη,1 9, ελώ 567 9. 6 Πρόβλημα Έζησ ν ηξηςήθηνο ζεηηθόο αθέξαηνο αξηζκόο abc, όπνπ abc,, ςεθία κε a 0. Αλ ελαιιάμνπκε ην πξώην κε ην ηξίην ςεθίν ηνπ, ηόηε πξνθύπηεη ν αθέξαηνο Β πνπ είλαη κηθξόηεξνο από ηνλ Α θαηά 96. Δπηπιένλ, αλ από ηνλ Α αθαηξέζνπκε 1 πξνθύπηεη αξηζκόο πνπ ηζνύηαη κε 50 θνξέο ην άζξνηζκα ησλ ςεθίσλ ηνπ Α. Να βξείηε ηνλ αξηζκό Α. Δίλαη abc 100a 10b c, νπόηε κεηά ηελ ελαιιαγή πξώηνπ θαη ηξίηνπ ςεθίνπ πξνθύπηεη ν αξηζκόο cba 100c 10b a, νπόηε από ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπκε: 96 99 a c 96 a c c a. (1) Δπηπιένλ δίλεηαη όηη 1 50 a b c 100a 10b c 1 50a 50b 50c 50a 0b 9c 1, νπόηε, ιόγσ ηεο (1), ιακβάλνπκε 50a 0b 9 a 1 a 0b 155. () Δπεηδή ν αθέξαηνο a είλαη ςεθίν κεγαιύηεξν ηνπ κεδελόο, έπεηαη όηη 156 16 1 a 9 1 0b 155 9 156 0b 16 b, 0 0 νπόηε ιακβάλνπκε b. Έηζη από ηηο (1) θαη () πξνθύπηεη a 5 θαη c 1. Άξα ν δεηνύκελνο αξηζκόο είλαη ν Α=51. Πρόβλημα 1 (α) Να απινπνηήζεηε ηελ παξάζηαζε Α ΛΥΚΔΙΟΥ K x y x y 6x y y. (β) Να απνδείμεηε όηη ν αξηζκόο 0000 199996 00000 6 είλαη θύβνο αθεξαίνπ. (α) Έρνπκε (β) Έρνπκε x y x y 6x y y x x y xy y x x y xy y 6x y y x x y xy y x x y xy y 6x y y y.

6 0000 199996 00000 6 00000 00000 600000, νπόηε, αλ ζέζνπκε x 00000 θαη y ζηελ πξνεγνύκελε παξάζηαζε, απηή γίλεηαη y. Πρόβλημα Αλ γηα ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο ab, ηζρύεη όηη a b a b ab, λα βξεζνύλ νη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο x a x b x 0. Έρνπκε a b a b ab a b ab a b 0 Τόηε ε εμίζσζε γίλεηαη 1 a b b a 0 a b b a 0 a b. x a x b x 0 x x x 0 x x x x xx 0, αθνύ ηζρύεη όηη x x x 0, 0 όπσο πξνθύπηεη άκεζα από ηελ ηαπηόηεηα ησλ θύβσλ. Η ηειεπηαία παξαγνληνπνίεζε κπνξεί επίζεο λα πξνθύςεη εύθνια, κεηά από πξάμεηο. Άξα ε εμίζσζε είλαη ηζνδύλακε κε ηελ x x x 0 x 0 ή x 0 ή x 0 x 1 ή x ή x 0. Πρόβλημα Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ κε πιεπξέο θαη. Να απνδείμεηε όηη ην κέζνλ Μ ηεο πιεπξάο ΑΒ έρεη ηελ ηδηόηεηα : ην άζξνηζκα είλαη ην ειάρηζην δπλαηό γηα ηηο δηάθνξεο ζέζεηο ηνπ ζεκείνπ Μ πάλσ ζηελ επζεία ΑΒ. Γ Γ Α Μ Β Δ

7 Τν ηξίγσλν ΜΒΓ είλαη νξζνγώλην ηζνζθειέο (ΜΒ = BΓ = ), νπόηε ˆ 5. Δπεηδή είλαη ˆ ˆ 90 180 ˆ 5 180, ε πξνέθηαζε ηεο ΓΜ ηέκλεη ηελ πξνέθηαζε ηεο ΓΑ πξνο ην Α, έζησ ζην ζεκείν Δ. Τα ηξίγσλα ΜΒΓ θαη ΜΑΔ είλαη ίζα, γηαηί είλαη νξζνγώληα θαη έρνπλ θαη ˆ ˆ (σο θαηά θνξπθή). Άξα ζα έρνπλ θαη. Τόηε όκσο θαη ηα ηξίγσλα ΑΜΓ θαη ΑΜΔ είλαη ίζα, γηαηί είλαη νξζνγώληα ζην Α θαη έρνπλ ηελ πιεπξά ΑΜ θνηλή θαη ΑΔ = ΑΓ. Άξα ζα έρνπλ θαη ΓΜ = ΔΜ, νπόηε. (1) Έζησ ηώξα ηπρόλ ζεκείν ηεο επζείαο ΑΒ δηαθνξεηηθό από ην ζεκείν Μ. Τόηε πξνθαλώο ηα νξζνγώληα ηξίγσλα θαη είλαη ίζα, νπόηε ζα έρνπλ θαη. () Δπεηδή ε γξακκή είλαη ηεζιαζκέλε, ελώ ε γξακκή ΔΜΓ είλαη επζεία πνπ έρεη ηα ίδηα άθξα κε ηελ ηεζιαζκέλε, από ηηο (1) θαη () έπεηαη όηη. Πρόβλημα Αλ νη αξηζκνί x, y, z είλαη ηέηνηνη ώζηε x 0, y 1 0, z 0 θαη x y z, λα απνδείμεηε όηη x y 1 y 1 z xz. x y 1 y z x z Γηα πνηεο ηηκέο ησλ x, y, z ηζρύεη ε ηζόηεηα; Δπεηδή ηα θιάζκαηα ηνπ πξώηνπ κέινπο ηεο δεηνύκελεο αληζόηεηαο παξνπζηάδνπλ ζηνλ αξηζκεηή ην άζξνηζκα δύν ζεηηθώλ αξηζκώλ θαη ζηνλ παξαλνκαζηή ην γηλόκελό ηνπο, ζεσξνύκε ηε γλσζηή αληζόηεηα a b ab,, γηα θάζε ab,, (1) ε νπνία αιεζεύεη, αθνύ είλαη ηζνδύλακε κε ηελ πξνθαλή αληζόηεηα a b 0. Η ηζόηεηα αιεζεύεη όηαλ a b. Γηα ab, ζεηηθνύο, από ηελ (1) ιακβάλνπκε ab a b, () a b ελώ ε ηζόηεηα αιεζεύεη όηαλ a b. Από ηελ () γηα a x, b y 1 ιακβάλνπκε x y1 x y1 () x y1 θαη νκνίσο πξνθύπηνπλ νη αληζόηεηεο y1 z yz, () yz xz xz. (5) xz Με πξόζζεζε θαηά κέιε ησλ (), () θαη (5) ιακβάλνπκε

8 x y 1 y 1 z x z ( x y z) 6 x y 1 y z x z x y 1 y 1 z xz 6. x y 1 y z x z Η ηζόηεηα αιεζεύεη όηαλ x y 1 z, νπόηε από ηελ ζρέζε x y z πξνθύπηεη όηη x x 1 x x 6 x θαη y1, z 0. Β ΛΥΚΔΙΟΥ Πρόβλημα 1 Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε x x. (1 ος τρόπος) Θα αλαδεηήζνπκε ιύζεηο πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ αλίζσζε x 0 x. Δπεηδή θαη ηα δύν κέιε ηεο εμίζσζεο είλαη ζεηηθά, ε δεδνκέλε εμίζσζε είλαη ηζνδύλακε κε ηελ x x x x x 9 7 0. (1) Οη πηζαλέο αθέξαηεο ιύζεηο ηεο (1) είλαη νη : 1, -1,, -, 11, -11,, -. Δύθνια δηαπηζηώλνπκε όηη ε ν αθέξαηνο 1 είλαη ξίδα ηεο εμίζσζεο θαη κέζσ ηνπ ζρήκαηνο Horner θαηαιήγνπκε ζηελ εμίζσζε x 1 x x 5x 0. Χξεζηκνπνηώληαο θαη πάιη ην ζρήκα Horner γηα x, γηα ην πνιπώλπκν x x 5x θαηαιήγνπκε ζηελ εμίζσζε x 1 x x x 11 0 αθνύ ην ηξηώλπκν x x x x x 1 ή ή 11 0 x1 ή x, x11 0 έρεη δηαθξίλνπζα 5 0. ος τρόπος Οκνίσο πξέπεη x. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό y x, γηα x. Τόηε ιακβάλνπκε y 0 θαη y x, ελώ ε δεδνκέλε εμίζσζε γίλεηαη x y. Έηζη έρνπκε ην ζύζηεκα x y y κε x x θαη y 0.

9 Με αθαίξεζε ησλ δύν εμηζώζεσλ θαηά κέιε ιακβάλνπκε x y y x x y x y 0 x y 0 ή x y 0 x y ή x y. Η εμίζσζε x y είλαη αδύλαηε ιόγσ ησλ πεξηνξηζκώλ Γηα x y έρνπκε ηελ εμίζσζε x x x x x x 0 1 ή. x θαη y 0. Πρόβλημα Σε έλα ηνπξλνπά πνδνζθαίξνπ ζπκκεηέρνπλ n νκάδεο νη νπνίεο ζα παίμνπλ όιεο κεηαμύ ηνπο κία κόλν θνξά. Γηα ηε λίθε κηαο νκάδαο δίλνληαη βαζκνί, γηα ηελ ηζνπαιία βαζκνί θαη γηα ηελ ήηηα 1 βαζκόο. Αλ ζην ηέινο ηνπ ηνπξλνπά ν ζπλνιηθόο αξηζκόο ησλ βαζκώλ πνπ ζπγθέληξσζαλ όιεο νη νκάδεο είλαη 6, λα βξεζεί ν αξηζκόο n ησλ νκάδσλ πνπ ζπκκεηείραλ. Έζησ όηη ζπκκεηέρνπλ n νκάδεο. Η 1 ε νκάδα παίδεη κε ηηο ππόινηπεο n -1 νκάδεο, νπόηε δηεμάγνληαη n -1 αγώλεο. Η ε νκάδα παίδεη κε ηηο ππόινηπεο n - νκάδεο, νπόηε δηεμάγνληαη n - αγώλεο. Η ε νκάδα παίδεη κε ηηο ππόινηπεο n - νκάδεο, νπόηε δηεμάγνληαη n - αγώλεο.... Η (n-1) ε νκάδα παίδεη κε ηελ ηειεπηαία 1 νκάδα, νπόηε δηεμάγεηαη 1 αγώλαο. Άξα ν ζπλνιηθόο αξηζκόο ησλ αγώλσλ είλαη: 1 ( n 1). (1) Αλ γξάςνπκε ηηο ηζόηεηεο 1... n n1 n n 1... 1 θαη ηηο πξνζζέζνπκε θαηά κέιε, ηόηε ιακβάλνπκε n1 n n 1 n 1 1 n 1 n. Σε θάζε αγώλα ν ζπλνιηθόο αξηζκόο ησλ βαζκώλ πνπ δίλνληαη ζηηο δύν νκάδεο πνπ ζπκκεηέρνπλ (αλεμάξηεηα από ην απνηέιεζκα) είλαη. Άξα ν ζπλνιηθόο αξηζκόο ησλ αγώλσλ είλαη: 6 = 91. () Από ηηο ζρέζεηο (1) θαη () έρνπκε: ( n -1) n 91 ( n-1) n 7 1 ( n -1) n 1 1 n 1. Άξα ζπκκεηείραλ 1 νκάδεο. Πρόβλημα. Αλ γηα ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο x, y, z ηζρύεη x y z x y 6z 1 0, λα πξνζδηνξίζεηε ην κέγηζην ζεηηθό αξηζκό m πνπ είλαη ηέηνηνο ώζηε: x y z m 0.

10 Έρνπκε x y z x y 6z 1 0 x x 1 y y z 6z 9 1 ( x 1) ( y ) ( z ) 1 θαη ζέηνληαο ax 1, y θαη z, έρνπκε ηειηθά Ιζρύεη όκσο ε αληζόηεηα 1. ( ) ( ), πνπ είλαη ηζνδύλακε κε ηε γλσζηή αληζόηεηα. Η ηζόηεηα ηζρύεη όηαλ. Δπνκέλσο έρνπκε ( ) 1 x y z 6 - x y z 6 - x y z 6-0. Δπεηδή ε ηζόηεηα ηζρύεη γηα x 1 y z, έπεηαη όηη ν δεηνύκελνο κέγηζηνο ζεηηθόο αξηζκόο είλαη ν m 6-. Πρόβλημα Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε ˆ ˆ 90, θαη. (i) Να απνδείμεηε όηη:. (ii) Να βξείηε ζεκείν Μ πάλσ ζηελ επζεία ΑΒ γηα ην νπνίν ην άζξνηζκα είλαη ην ειάρηζην δπλαηό. (iii) Γηα ην ζεκείν Μ πνπ ζα βξείηε, λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΓΜΓ. Γ Γ Ο Α Μ Ν Β Δ (i) Σύκθσλα κε ηηο ππνζέζεηο ηνπ πξνβιήκαηνο θαη ην Ππζαγόξεην ζεώξεκα έρνπκε 1, 5 5, νπόηε 1 5 1 5 8 6 5 1 5, πνπ ηζρύεη.

11 (ii) Αλ Δ είλαη ην ζπκκεηξηθό ηνπ Γ σο πξνο ηελ επζεία ΑΒ θαη ην επζύγξακκν ηκήκα ΔΓ ηέκλεη ηελ επζεία ΑΒ ζην ζεκείν Μ, ηόηε θαη. (1) Σηε ζπλέρεηα ζεσξνύκε ηπρόλ ζεκείν Ν πάλσ ζηελ επζεία ΑΒ, δηαθνξεηηθό από ην Μ, νπόηε ζα ηζρύεη ΓΝ = ΝΔ θαη. () Δπεηδή ε γξακκή ΔΜΓ είλαη επζεία, ελώ ε γξακκή ΔΝΓ έρεη ηα ίδηα άθξα κε ηελ ΔΜΓ θαη είλαη ηεζιαζκέλε, έπεηαη όηη. Άξα ην ζεκείν Μ είλαη ηέηνην ώζηε ην άζξνηζκα ΓΜ + ΜΓ λα είλαη ην ειάρηζην δπλαηό. (iii) Δπεηδή είλαη θαη,, ην ηεηξάπιεπξν ΓΔΒΓ είλαη παξαιιειόγξακκν. Αλ νη δηαγώληνη ηνπ ΓΔΒΓ ηέκλνληαη ζην Ο, ηόηε ην Ο είλαη ην κέζνλ ηεο ΓΒ θαη ε ΔΟ είλαη δηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ ΓΔΒ. Δπίζεο ε ΑΒ είλαη δηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ ΓΔΒ, αθνύ ηζρύεη ΑΓ =ΑΔ =. Άξα ην ζεκείν ηνκήο Μ ησλ δύν δηακέζσλ ηνπ ηξηγώλνπ ΓΔΒ είλαη ην βαξύθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΓΔΒ, νπόηε ζα ηζρύεη:. Άξα έρνπκε: 1 1. Γηαθνξεηηθά έρνπκε θαη 1 1. Γ ΛΥΚΔΙΟΥ Πρόβλημα 1 Δάλ ν z είλαη κηγαδηθόο κε Re( z),im( z) 0 θαη λα απνδείμεηε όηη z 1. 6z 5z 6 z z, (1 ος τρόπος) Αλ ζέζνπκε ηόηε έρνπκε w 6z 5z 6 z z, 6z 5z 6 6z 5z 6 z z z z w w,

1 ε νπνία κεηά από ηηο πξάμεηο θαη ιακβάλνληαο ππόςε όηη ηζόηεηα z 1 z z 0 z 1, αθνύ ιόγσ ηεο ππόζεζεο Re( z), Im( z) 0 έπεηαη όηη z zz z θαηαιήγεη ζηελ z 0. ( ος τρόπος) Δθηειώληαο ηε δηαίξεζε έρνπκε, 6 z 5 z 6 z z z z z δειαδή ηζνδύλακα z z z 1 1 1 z z. z z z z z Άξα έρνπκε z 1 1 1 1 1 0 1 0. z z z z z z z z z z Όκσο, ιόγσ ηεο ππόζεζεο Re( z), Im( z) 0 έπεηαη όηη z z 0, νπόηε ηειηθά ιακβάλνπκε z 1 z 1. Πρόβλημα Να ιύζεηε ην ζύζηεκα x xy y 1 x x y y (Σ) Η εμίζσζε x xy y 1 είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εμίζσζε x y xy 1 ( 1), ε νπνία από ηελ ηαπηόηεηα ηνπ Euler είλαη ηζνδύλακε κε ηηο εμηζώζεηο x y1 0 ή x y 1. Άξα έρνπκε x y 1 x y 1 (Σ) 1 ή. x x y y x x y y Τν ζύζηεκα έρεη ηε ιύζε xy, 1, 1, ελώ x y 1 x y 1 1 x y x y 0 x yx xy y x y 0 x y 1 x y 1 ή x y 0 x xy y x y 0 1 1 x y 1 xy,, ή x y xy x y 0 1 1 x y 1 1 1 x, y, ή x, y, 0 ή x, y 1, 0 ή x, y 0,1. xy

1 Πρόβλημα Γίλεηαη ε αθνινπζία κε, γηα ηελ νπνία ηζρύεη: - 1 1, γηα θάζε. Να απνδείμεηε όηη ην γηλόκελν δύν νπνησλδήπνηε δηαδνρηθώλ όξσλ ηεο αθνινπζίαο είλαη επίζεο όξνο ηεο αθνινπζίαο. Δθαξκόδνληαο ηελ αλαδξνκηθή ζρέζε 1 1, γηα 1,,,( 1) έρνπκε: Γηα 1 έρνπκε 1 1 1 Γηα έρνπκε 1... Γηα 1 έρνπκε: 1 ( 1) 1. Πξνζζέηνληαο θαηά κέιε ηηο παξαπάλσ ηζόηεηεο ιακβάλνπκε: 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 1 1. (1) 1, όπνπ 1a1. () Γηα ην γηλόκελν δύν νπνησλδήπνηε δηαδνρηθώλ όξσλ ηεο αθνινπζίαο έρνπκε: m ( m1) m ( m m 1 m m 1 m m m m m m m m m m m m m. m m Πρόβλημα Έζησ εζσηεξηθό ζεκείν νμπγσλίνπ ηξηγώλνπ. Οη επζείεο, θαη ηέκλνπλ ηηο πιεπξέο, θαη ζηα ζεκεία, θαη αληίζηνηρα, ώζηε, θαη. Αλ ζέζνπκε x ( ), y ( ) θαη z ( ),λα απνδείμεηε όηη: x y z x y x z y z. Από ην δεδνκέλν ζεκείν ζεσξνύκε παξάιιειε πξνο ηε πνπ ηέκλεη ην ύςνο ζην ζεκείν. Τόηε πξνθαλώο ( ) ( ). Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη πξνθαλώο. (1) Από ηε ζρέζε (1) έρνπκε: 1 1 (ΤΓΒ) (ΤΑΒ). ()

1 Από ηε ζρέζε ( 1 ) έρνπκε επίζεο: 1 1 ( ) ( ) () Πξνζζέηνληαο ηηο ζρέζεηο () θαη () έρνπκε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θαη ζε ζπλδπαζκό κε ηε ζρέζε ( ) ( ), παίξλνπκε ηειηθά : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Με όκνην ηξόπν απνδεηθλύνπκε όηη; ( ) ( ) ( ) θαη ( ) ( ) ( ). Δπεηδή έρνπκε ζέζεη x ( ), y ( ) θαη z ( ), από ηηο ηξεηο ηειεπηαίεο αληζώζεηο, έρνπκε: 0 x y z, 0 y x z θαη 0 z x y. () Αξθεί ηώξα λα απνδείμνπκε όηη: x y z x y x z y z x y z x y y z x z ( xz ) x z y ( xz ) 0 x z xz y x z xz y 0 ( x z ) y ( x z ) y 0 0 x y z x z yx y z x y z 0 x y z x z yx y z y z x 0, πνπ ηζρύεη, ιόγσ ησλ ζρέζεσλ ().