ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2 Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων ηµήτρης Ψούνης
2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα 2. Ορισµός για κατευθυνόµενα γραφήµατα 3. Θεώρηµα Υπολογισµού Μονοπατιών 2. Πίνακας Προσπτώσεως 1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα 2. Ορισµός για κατευθυνόµενα γραφήµατα Γ. Λυµένες Ασκήσεις. Ασκήσεις 1. Ασκήσεις Κατανόησης 2. Ερωτήσεις 3. Εφαρµογές
3 Α. Σκοπός του Μαθήµατος Επίπεδο Α Νέοι Ορισµοί (Πίνακας Γειτνίασης Πίνακας Πρόσπτωσης) Ασκήσεις: Ερωτήσεις Ασκήσεις: Ασκήσεις Κατανόησης Επίπεδο Β Ασκήσεις: Εφαρµογές Επίπεδο Γ Ασκήσεις: Λυµένες Ασκήσεις
B. Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 1. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα Ορισµός: Ο πίνακας γειτνίασης (ή µητρώο σύνδεσης) ενός µη κατευθυνόµενου γραφήµατος G=(V,E) µε V =n είναι ένας n x n τετραγωνικός πίνακας που ορίζεται ως: Α, 1,, 0,, 4 Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα γειτνίασής του: 0 1 1 1 1 0 1 0 Α 1 1 0 0 1 0 0 1
B. Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 2. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα γειτνίασης σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη: Συµµετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο κορυφές 5 Το στοιχείο, είναι 0: αν δεν υπάρχει η ακµή που συνδέει τις, 1: αν υπάρχει η ακµή που συνδέει τις, κορυφές Άθροισµα των στοιχείων της γραµµής i ισούται µε d ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: n 2 Άθροισµα των στοιχείων της στήλης j ισούται µε d Άθροισµα όλων των στοιχείων του πίνακα ισούται µε d 2
B. Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα Ορισµός: Ο πίνακας γειτνίασης (ή µητρώο σύνδεσης) ενός κατευθυνόµενου γραφήµατος G=(V,E) µε V =n είναι ένας n x n τετραγωνικός πίνακας που ορίζεται ως: 6 Α, 1,, 0,, Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα γειτνίασής του: 0 0 1 0 1 0 1 0 Α 0 0 0 0 1 0 0 1
B. Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα γειτνίασης σε κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη: κορυφές 7 Το στοιχείο, είναι 0: αν δεν υπάρχει η ακµή από την στην 1: αν υπάρχει η ακµή από την στην κορυφές Άθροισµα των στοιχείων της γραµµής i ισούται µε έξω βαθµό κορυφής! " ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: n 2 Άθροισµα των στοιχείων της στήλης j µε έσω βαθµό κορυφής! # Άθροισµα όλων των στοιχείων του πίνακα ισούται µε! "
B. Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 3. Θεώρηµα (υπολογισµού µονοπατιών) Θεώρηµα (υπολογισµού µονοπατιών): Το στοιχείο $,% του πίνακα Α & (ο πίνακας γειτνίασης υψωµένος στην k δυναµη) δίνει πόσα µονοπάτια µήκους k υπάρχουν από την κορυφή στην κορυφή 8 Πόρισµα 1: Το στοιχείο $,% του πίνακα A(Α ( (Α & δίνει πόσα µονοπάτια µήκους το πολύ k υπάρχουν από την κορυφή στην κορυφή Πόρισµα 2: Αν ένα µη διαγώνιο στοιχείο $,% του πίνακα A(Α ( (Α # (όπου n= V ) είναι 0, τότε το γράφηµα δεν είναι συνδεόµενο.
B. Θεωρία 2. Πίνακας Πρόσπτωσης 1. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα Ορισµός: Ο πίνακας πρόσπτωσης (ή µητρώο εφαπτόµενων ακµών) ενός µη κατευθυνόµενου γραφήµατος G=(V,E) µε V =n, E =m είναι ένας n x m πίνακας που ορίζεται ως: Α *, + 1,, -./01, 233 -/. 4,5 6 0, 773ώ5 9 Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα πρόσπτωσής 6 6 6 6 6 9 6 6 6 6 6 9 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 Α 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
10 B. Θεωρία 2. Πίνακας Πρόσπτωσης 2. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα πρόσπτωσης σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη: Ακµές 6 Το στοιχείο, είναι 0: αν η ακµή 6 δεν είναι άκρο της 1: αν η ακµή 6 είναι άκρο της Κορυφές Άθροισµα των στοιχείων της γραµµής i ισούται µε d ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: nm Μία στήλη έχει: 2 άσσους n-2 µηδενικά Άθροισµα όλων των στοιχείων του πίνακα ισούται µε 2
B. Θεωρία 2. Πίνακας Πρόσπτωσης 2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα Ορισµός: Ο πίνακας πρόσπτωσης (ή µητρώο εφαπτόµενων ακµών) ενός κατευθυνόµενου γραφήµατος G=(V,E) µε V =n, E =m είναι ένας n x m πίνακας που ορίζεται ως: 1,,-./01, 233 /;, 4,56 Α *, : <1,,-./01, 233 =2/5 4,56 0, 773ώ5 Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα πρόσπτωσής 11 6 6 6 6 9 6 6 6 6 6 9 6 0 <1 <1 1 0 <1 0 1 0 1 Α 0 0 0 <1 <1 1 1 0 0 0
12. Ασκήσεις Άσκηση Κατανόησης 1 ιαπιστώστε τι ιδιότητα έχουν τα γραφήµατα που αντιστοιχούν στους ακόλουθους πίνακες γειτνίασης (θεωρούµε ότι n 2) 0, $?% 1. Α a, + 2, $% 1, $?% 2. Α a, + 0, $% 3. Α a, : 1, $%(1,%1,,C<1 1, $%<1,%2, C 0, 773D5
13. Ασκήσεις Άσκηση Κατανόησης 2 ιαπιστώστε τι ιδιότητα έχουν τα γραφήµατα που αντιστοιχούν στους ακόλουθους πίνακες γειτνίασης (θεωρούµε ότι n:άρτιος 2) 0 $% 1. Α a, 1, $?%,1E$E,1E%E 1, $?%, F$EC, F%EC 0, 773D5 0, 1E$E,1E%E 2. Α a, G0, F$EC,F%EC 1, 773D5
14. Ασκήσεις Άσκηση Κατανόησης 3 Να σχεδιαστεί ένα απλό συνδεδεµένο µη-κατευθυνόµενο γράφηµα, χωρίς ανακυκλώσεις, για το οποίο ο πίνακας γειτνίασης και ο πίνακας πρόσπτωσης είναι ίδιοι όταν τηρείται η ίδια διάταξη των κορυφών και στους δύο πίνακες (εξαιρείται το τετριµµένο γράφηµα).
15. Ασκήσεις Άσκηση Κατανόησης 4 Για µη-κατευθυνόµενο γράφηµα χωρίς ανακυκλώσεις, αν Μ είναι ο πίνακας πρόσπτωσης, να εξετάσετε τι αναπαριστούν (i) τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Μ Μ Τ, και (ii) τα µη διαγώνια στοιχεία του Μ Μ Τ. Υπενθυµίζεται ότι Μ Τ είναι ο ανάστροφος πίνακας του Μ.
16. Ασκήσεις Ερωτήσεις 1 Στο ακόλουθο γράφηµα εξετάστε αν ισχύουν οι ακόλουθες Προτάσεις που αφορούν τον πίνακα γειτνίασης Α του γραφήµατος: 1. Το άθροισµα των στοιχείων του πίνακα ισούται µε 8 2. Το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του Α 2 ισούται µε 8 3. Το στοιχείο (2,2) του πίνακα Α 3 ισούται µε 2 4. Κανένα στοιχείο του πίνακα Α+Α 2 δεν είναι ίσο µε 0
17. Ασκήσεις Ερωτήσεις 2 Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης και Π ο πίνακας πρόσπτωσης ενός µη κατευθυντικού (µη κατευθυνόµενου) απλού γραφήµατος. 1. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Α είναι ίσο µε το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης στήλης. 2. Ο αριθµός των άσσων του Α είναι άρτιος. 3. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Π είναι ίσο µε το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης στήλης. 4. Είναι δυνατόν να υπάρχει στήλη στον Π µόνο µε µηδενικά.
18. Ασκήσεις Ερωτήσεις 3 Έστω K n το πλήρες γράφηµα µε n 3 κορυφές, Α ο πίνακας γειτνίασης του K n, και Μ ο πίνακας πρόσπτωσης του K n. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι; 1. Ο πίνακας γειτνίασης Α περιέχει µόνο 1. 2. Ο αριθµός των στοιχείων του πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε n 2 (n 1) / 2. 3. Ο αριθµός των 0 στον πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε 3. 4. Το αθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του Α ισούται µε n
19. Ασκήσεις Εφαρµογή 1 Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης του Κ 5. Συµβολίζουµε µε d n την κοινή τιµή των διαγωνίων στοιχείων του Α n και µε a n την κοινή τιµή των µη διαγωνίων στοιχείων του Α n. είξτε µε µαθηµατική επαγωγή ότι ισχύουν τα εξής (α) a n+1 =d n +3a n (β) d n+1 =4a n
20. Ασκήσεις Εφαρµογή 2 Γράψτε τον πίνακα γειτνίασης Α για το γράφηµα G που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήµα και εξετάστε τη σχέση (i) των διαγώνιων στοιχείων του πίνακα Α 2 µε τους βαθµούς των κορυφών του G και (ii) του ίχνους του πίνακα Α 3 (ίχνος ενός πίνακα είναι το άθροισµα των διαγώνιων στοιχείων του) µε τον αριθµό των τριγώνων (κύκλων µήκους 3) του G. V 2 G V 1 V 3 V 4 V 5