α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός ημιάξονας. OI i β.. Τετμημένη σημείίου Aν στον άξονα, με μοναδιαίο διάνυσμα OI i πάρουμε το σημείο Μ τότε ο μοναδικός αριθμός R που υπάρχει έτσι """" ώστε OM i,λέγεται τετμημένη του Μ και συμβολίζεται με Μ(). Ο i I Μ() γ.. Kαρτεσιιανό επίίπεδο Αν πάνω σε ένα επίπεδο πάρουμε δύο κάθετους άξονες και με κοινή αρχή το Ο και μοναδιαία διανύσματα i και j αντίστοιχα τότε ορίζουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ή ένα σύστημα συντεταγμένων ή ένα καρτεσιανό επίπεδο, το οποίο συμβολίζουμε με (0, i, j) ή Ο. j Ο i 3
δ.. Συντεταγμένες σημείίου Αν στο καρτεσιανό επίπεδο Ο πάρουμε ένα τυχαίο σημείο Μ και φέρουμε MA και MB τότε για τους πραγματικούς αριθμούς και που αντιστοιχούν στα Α και Β έχουμε ότι: το είναι η τετμημένη του Μ. το είναι η τεταγμένη του Μ. Οι μοναδικοί αριθμοί, λέγονται συντεταγμένες του Μ και γράφουμε Μ(, ). B() j Ο i M(, ) A() ε.. Συντεταγμένες διιανύσματος Συντεταγμένες ενός διανύσματος α του επιπέδου καλούμε το μοναδικό ζεύγος πραγματικών αριθμών (, ) για το οποίο ισχύει: α i + i. ηλαδή κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων i και j. B j OM OA+ OB α i + i α Ο M(, ) A i OM α ΟΑ i ΟΒ i στ.. Ίσα διιανύσματα ύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν τις αντίστοιχες συντεταγμένες τους ίσες. ηλαδή: Aν α (1,1) και (, ) τότε ισχύει: α β 1 και 1 β 4
η.. Συντεταγμένες γραμμιικού συνδυασμού διιανυσμάτων Aν πάρουμε τα διανύσματα α (1,1) και β (,) έχουμε: i) α + β (1 +, 1 + ) ii) λα (λ,λ ), για κάθε λ R 1 1 iii) λα + μβ (λ + μ,λ + μ ) για κάθε λ, μ R 1 1 τότε θ.. Συντεταγμένες μέσου τμήματος Aν πάρουμε τα σημεία Α (1, 1) και Β(, ) και (, ) οι συντεταγμένες του μέσου του ΑΒ τότε ισχύει: 1 + + 1 B B(, ) Μ(,) Α( 1, 1 ) 1 + 1 + δηλαδή (,), O ιι.. Συντεταγμένες διιανύσματος με γνωστά άκρα Aν έχουμε τα σημεία Α(1, 1) και Β(, ) του επιπέδου γνωρίζουμε ότι είναι: OA (, ) και ΟΒ (, ) Oπότε: 1 1 AB OB OA (, ) (, ) AB ( 1, 1) 1 1 ηλαδή : Oι συντεταγμένες (, ) του """ διανύσματος ΑΒ δίνονται από τις σχέσεις O Α( 1, 1 ) Β(, ) 1 και 1 5
κ.. Μέτρο διιανύσματος Αν α (,) είναι ένα διάνυσμα του επιπέδου τότε καλούμε μέτρο του τον πραγματικό θετικό αριθμό που δίνεται: α Β α M(, ) α + Ο Α (OM) (OA) + (OB) α + λ.. Απόσταση δύο σημείίων Αν πάρουμε τα σημεία Α(1, 1) και Β(, ) του επιπέδου τότε η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο: A( 1, 1 ) Β(, ) d(a,b) AB ( ) + ( ) 1 1 O μ.. Συνθήκη παραλληλίίας διιανυσμάτων Αν έχουμε τα διανύσματα α (1,1) και β (,) του επιπέδου, τότε είναι παράλληλα αν και μόνο αν η ορίζουσα των συντεταγμένων τους είναι ίση με μηδέν. ηλαδή: 1 1 α // β det(α,β) 0 Π.χ i) τα διανύσματα α (,1) και β ( 6, 3) είναι παράλληλα 1 γιατί: det( α,β) 6 + 6 0 6 3 ii) Τα διανύσματα α (3,) και β (5,4) δεν είναι παράλληλα 3 γιατί: det( α,β) 1 10 0 5 4 6
μ.. Συντελεστής διιεύθυνσης διιανύσματος Αν έχουμε το διάνυσμα α (,) με, 0, δηλαδή δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα τότε τον αριθμό λ που δίνεται ως πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος τον καλούμε συντελεστή διεύθυνσης του α. ηλαδή: λ ξ.. Παρατηρήσειις i) Αν είναι 0 τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του α και είναι α //. ii) Αν φ είναι η θετική γωνία που σχηματίζει ο ημιάξονας Ο αν στραφεί γύρω από το Ο κατά την θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ (ΟΑ α) τότε είναι : λ εφ ω Α(, ) Ο ω 0 ω < π iii) Αν έχουμε τα διανύσματα α (1,1) και β (,) τότε χρησιμοποιώντας τους συντελεστές διεύθυνσής τους λ1 και λ αντίστοιχα έχουμε μια άλλη συνθήκη παραλληλίας. ηλαδή: α // β λ 1 λ 7
1. ίνονται τα σημεία Α(4, -), Β(-6, 4) και Γ(0, ). Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος 5 α ΑΒ ΒΓ Βρίσκουμε πρώτα τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB """ ΒΓ. Έτσι έχουμε: """ AB ( 6 4,4 + ) ( 10,6) """ ΒΓ (0 + 6, 4) (6, ) Oπότε: 5 5 α ΑΒ ΒΓ ( 10,6) (6, ) ( 5,15) (6, ) ( 31,17) """ και. ίνονται τα διανύσματα α (,3) και β ( 1,). Να γράετε το διάνυσμα γ (5,6) ως γραμμικό συνδυασμό των α και β Αρκεί να βρούμε πραγματικούς αριθμούς λ και κ έτσι ώστε: γ κα + λβ. Οπότε: (5, 6)κ(, 3)+λ(-1, ) (5, 6)(κ-λ, 3κ+λ) κ λ 5 3κ + λ 6-1 D 4 + 3 7 3 5-1 Dκ 10+ 6 16 6 5 Dλ 1 15 3 3 6 D 16 D 3 D 7 D 7 κ λ Αρα κ, λ τότε 16 3 γ α β 7 7 8
3. ίνονται τα σημεία του επιπέδου Α(-, 3), Β(3, 8) και Γ(-, -4). α) Να βρείτε το σημείο έτσι ώστε το ΑΒΓ να είναι παραλληλόγραμμο. β) Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων του παραλληλογράμμου. α) Έστω (, ) οι συν/νες του και Κ το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου ΑΒΓ. Οπότε έχουμε: το Κ είναι μέσο της ΑΓ άρα: K Κ A Α + + Γ Γ 3 4 1 (, ) Α(-, 3) Β(3, 8) Κ Γ(-, -4) ηλαδή Κ 1, Το Κ είναι μέσο και της Β άρα : K K B B + + 3 + 1 3 + 4 3 7 1 3 4 4 ηλαδή (-7, -4) β) Είναι d(a,γ ) (ΑΓ) ( ) + ( ) Γ Α Γ A + + + ( ) ( 4 3) 0 49 7 d(β,) (Β) ( ) + ( ) Β B ( 7 3) + ( 4 8) ( 10) + ( 1) 100 + 144 44 9
4. ίνονται τα σημεία Α(-1, ), Β(3, -) και Γ(5, 4). Να βρείτε: α) τις συντεταγμένες του σημείου αν Α ΑΒ β) τις συντεταγμένες του συμμετρικού του Α ως προς το Β. α) Έστω (, ) οι συν/νες του σημείου. Οπότε για τα διανύσματα Α και ΑΒ έχουμε: Α ( + 1, ) και ΑΒ (3 ( 1), ) (4, 4). Από την Α ΑΒ έχουμε: (+1, -)-(4, -4) (+1, -)(-8, 8) + 1 8 9, οπότε (-9, 10) 8 10 β) Έστω Α το συμμετρικό του Α ως προς το Β και (, ) οι συντεταγμένες του. A Β A Από τη συμμετρία έχουμε ότι το Β είναι μέσο του ΑΑ οπότε: χα + χα 1+ Α χβ 3 Α 7 Α + Α + Α Α 6 Β Άρα Α (7, -6) 30
5. ίνονται τα σημεία Α (+1, ), B(1, -) και Γ(3, ). Nα βρείτε την τιμή του Β και Γ είναι συνευθειακά. R για την οποία τα σημεία Α, Για να είναι τα Α, Β, Γ συνευθειακά αρκεί να είναι """ """ Για τις συντεταγμένες των AB και ΑΓ έχουμε: AB // ΑΓ. AB (1 1, ) (, 4) και ΑΓ (3 1, ) (, ) Οπότε : 4 ΑΒ//ΑΓ det(αβ, ΑΓ) 0 0 + ( ) + 4( + ) 0 + + 4 4 8 8 0 + 4 4 8 0 + 0 ( + )( 1) 0 ή 1 31
6. ίνονται τα διανύσματα α (, 4), β (6,8) και γ (5, 0). i) Να αποδείξετε ότι ανά δύο τα διανύσματα δεν είναι συγγραμικά. ii) Nα αναλύσετε το γ σε γραμμικό συνδυασμό των α και β. i) 4 Είναι det( α,β) 16 + 4 40 0, οπότε τα α, β 6 8 δεν είναι συγγραμικά. 4 Είναι det( β,γ) 140 + 0 60 0, οπότε τα α, γ 5 0 δεν είναι συγγραμικά. 6 8 Είναι det( β,γ) 10 40 80 0, οπότε τα β, γ 5 0 δεν είναι συγγραμικά. i) Έστω οι πραγματικοί αριθμοί λ και μ έτσι ώστε: γ λα+ μβ (5, 0) λ(, 4) + μ(6,8) (5,0) (λ, 4λ) + (6μ,8μ) (5,0) (λ + 6μ, 4λ + 8μ) 30 λ 6μ 5 4λ 1μ 10 ( ) + + + 0μ 30 μ 0 4λ + 8μ 0 4λ + 8μ 0 λ + 6μ 5 λ 6μ 5 + 3 μ 3 3 μ μ 3 λ + 6 5 λ 4 λ 3 Oπότε είναι: γ α + β 3 Tα διανύσματα α και β λέγονται συνιστώσες του γ και είναι παράλληλες προς τα διανύσματα α και β αντίστοιχα. 3
7. ίνονται τα σημεία Α(5, -1), Β(1, 1) και Γ(, 3) i) Nα αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι κορυφές τριγώνου. ii) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. i) Για να είναι τα σημεία Α, Β και Γ κορυφές τριγώνου αρκεί να αποδείξουμε ότι δεν είναι συνευθειακά. ηλαδή αρκεί να """ """ αποδείξουμε ότι τα διανύσματα AB και ΑΓ συγγραμικά. Έχουμε: ΑΒ (1 5,1 + 1) ( 4,) ΑΓ ( 5,3 + 1) ( 3,4) 4 οπότε: det( AB, AΓ) 16 + 6 10 0 3 4 δεν είναι ηλαδή τα ΑΒ, ΑΓ δεν είναι παράλληλα Τα Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά. Άρα είναι κορυφές τριγώνου. ii) Έχουμε: (AB) ( ΑΓ) (ΒΓ) AB ΑΓ ΒΓ ( 4) ( 3) 1 + + + 4 5 0 (ΑΒ) 9 + 16 5 (ΑΓ) (ΒΓ) 0 5 5 Oπότε: (ΑΓ) (ΑΒ) +(ΒΓ). ηλαδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία τη Β. 33
8. Αν α (, + 4), β ( - 3 +, - 3 + - ), γ (3, - ) και δ ( 3,4) τότε: i) Nα βρείτε τις συντεταγμένες ( 1, 1 ) του διανύσματος u α + β + γ ii) Να βρείτε τη σχέση ανάμεσα στα και έτσι ώστε u // δ. iii) Να υπολογιστούν τα και αν είναι u 0. i) Είναι : u α + β + γ (, ) (, + 4) + ( 3 +, 3 + ) + (3, ) 1 (, ) (3 4 + 3, + 4 8) 1 1 1 ii) 3 4 + 3 + 4 8 u//δ det(u,δ) 0 0 3 4 1 16+ 1 6 + 1 4 0 6 4 1 0 3 6 0 u 0 (, ) (0,0) (3 4 + 3, - + 4-8) (0, 0) iii) 1 1 3-4 3 0 3 4 3 + + 5 - + 4-8 0 + 4 8 3χ 4 3 5 5 5 3 5 4 3 15 4 3 4 18 5 5 18 9 4 34
1. Έστω τα διανύσματα α (3,5) και β (, 4). Να γράετε το διάνυσμα γ (,7) ως γραμμικό συνδυασμό των α και β.. ίνονται τα σημεία Α(, 1), Β(5, -3) και Γ(-4, -7). Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου P αν ισχύει AP 3 ΒΓ. 35
3. Έστω τα σημεία Α(-1, 3), Β(4, ), Γ(6, 1) και (, ), R. Να βρείτε τα, αν το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραμμο. 4. ίνονται τα σημεία Α(3, -) Β(-5, 6) και Γ(λ+1, 3). Να βρείτε το λ R ώστε i) το συνευθειακά ΓΑ// ii) τα σημεία Α, Β, Γ να είναι 36
5. ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, 4), Β(-, 1) και Γ(-3, 7). Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους G του ΑΒΓ. 37