Σύµβαση Εµπορικού Υπολογισµού έτος µήνες των 30 ηµερών 360 ηµέρες π.χ. έστω, K00, T από / έως /3 και % Τ% 00,0 χιλ. 59 Με ακριβή τρόπο θα ήταν: Ι% 00.940 365 υσκολία: Υπολογισµός ηµερών για συγκεκριµένες ηµεροµηνίες. Υπολογισµός ηµερών: Πόσες ηµέρες µεσολάβησαν µεταξύ ηµεροµηνιών D και D ; Συµβατικά δεν µετράει η πρώτη ηµέρα αλλά µετρά η τελευταία. Έστω ΑΑ(D) ο αύξων αριθµός της ηµέρας ως προς (σταθερή) βάση (βλ. διάγραµµα) ΑΑ(D )AA AA+ AA+nAA(D ) D D + D Είναι AA(D ) - ΑΑ(D ) n Υλοποίηση σε Excel: ενσωµατωµένη συνάρτηση Date (YR, MO, DAY) επιστρέει τον αύξοντα αριθµό της ηµεροµηνίας DAY/MO/YR µε την //900 π.χ. A B C D 3 999 5 8 003 3 Ηµέρες που µεσολάβησαν 68 Date (C;B;A) Date (C;B;A) D-D Άσκηση: Πως γίνεται ο υπολογισµός των ηµερών στο εµπορικό σύστηµα στο Excel; Τραπεζική µέθοδος: (Banker s Rule) Ακριβής υπολογισµός ηµερών Έτος µε 360 ηµέρες Εεξής θα χρησιµοποιούµε για απλούστευση την εµπορική µέθοδο. Εαρµογές: Α. Τράπεζα Α χρησιµοποιεί την ακριβή µέθοδο µε επιτόκιο Α ενώ η τράπεζα Ε την τραπεζική µέθοδο µε επιτόκιο Ε. Ποια τράπεζα προτιµούν οι καταθέτες; d d Είναι I A AK ενώ I E EK 365 360 Για κατάθεση d ηµερών (ίδια και στις δύο) ποσού Κ. Για να προτιµάται η Α πρέπει d d 5 Ι Α >Ι Ε ή A K > EK ή A > E ( + ) E ( +.5%) 365 360 360
Άρα αν Ε 0% η τράπεζα Α πρέπει να δώσει επιτόκια τουλάχιστον,5 0 ( + ) 0,5%. 00 Β. Φορολόγηση τόκων Με την πληρωµή τόκων Ι το δηµόσιο παρακρατά Φf Ι συντελεστής) Άρα Ι καθαρός Ι Φ (-f) Ι (-f) I KT όπου καθ. (-f) έχουµε Ι καθ. καθ. Κ Τ Αν π.χ. 5% και f5% τότε καθ. 5%(-0,5)4,5% (f:σταθερός Τύποι Απλού Τόκου K + I K + KT K [ + T] Λύνοντας τον παραπάνω έχουµε τον τύπο αρχικής αξίας K (γνωστός και ως τύπος αναγωγής σε παρούσα αξία) + T καθώς και τον - K (τύπος απόδοσης) T K Αναγωγή σε παρούσα αξία: Χρήσιµη έννοια Έχω υποχρέωση εκατ. σε 6 µήνες. Μπορώ να τοποθετώ µε Απλό Τόκο προς 0%. Τι ποσό χρειάζοµαι τώρα για να αντιµετωπίσω την µελλοντική υποχρέωση; Τοποθετώ ποσό Κ ώστε έντοκα να γίνει εκατ. Σε 6 µήνες. εκατ. είσπραξη 0 6 0 6 Κ εκατ. Υποχρέωση Κ Άρα µετέτρεψα την µελλοντική σε σηµερινή υποχρέωση ύψους.000.000.000.000 K 95.38 (<.000.000) 6,05 +0% Εξοικονοµήσαµε περίπου τόκους 6 µηνών κεαλαίου εκατ. Για την ακρίβεια κάτι λιγότερο. Πόσο λιγότερο; Τύπος προσέγγισης: Εξετάζουµε την παράσταση f (x) x << + x Είναι (+x)(-x)-x ιαιρώντας µε +x και αναδιατάσσοντας x - x + - x αού x << x + x + x Για xt - T + T
Καλύτερη προσέγγιση: x 4 3 x αντικαθιστούµε + x στο και έχουµε: - x + x - x +... + x + x + x γενικά: + x N j j lm (-) x για x < N 00 j0 Εαρµογή υαίρεσης τύπων αρχικής αξίας Zero Coupon Bonds Γραµµάτια (ηµοσίου) Είναι «τίτλος» χαρακτηριστικών: Ονοµαστική αξία ιάρκεια Τ Απόδοση Τιµή διάθεσης P + T π.χ. γραµµάτιο 0.000 εξαµηνιαίο, απόδοση 5% τιµή διάθεσης; 0 0 P 9,756 +,5% + 5% Quotatons: ίνονται για 00 00 P 97,56,05 Γρήγορος υπολογισµός Αν x µικρό τότε: - x + x ευτερογενής αγορά οµολόγων Στα οµόλογα ΕΝ υπάρχει εγγύηση για επαναγορά πριν τη λήξη τους. Έτσι έχει οργανωθεί αγορά αγοραπωλησιών για οµόλογα διαόρων λήξεων. (ευτερογενής) Η απόδοση µιας πράξης αγοραπωλησίας θα εξαρτηθεί βέβαια από την τιµή πώλησής του στην δευτερογενή αγορά. Στην αρχή του το γραµµάτιο έχει απόδοση απλού τόκου όσο και η ονοµαστική του: t t+τ Ρ Γιατί; p άρα + T αποδ ( -) ( Τ P T -) + T
Σε µεταπώληση αργότερα, ο υπολογισµός είναι: Ρ t t+τ t+τ Ρ P Είναι απόδοση ( -) τ P t t+ τ Όπου P : τιµή πώλησης σε δευτερογενή. P (+ T) Εόσον P ο τύπος γράεται: απ όδ. [ -] + T τ Αν τώρα ορίσουµε ένα ) τέτοιο ώστε P ) ο τύπος γίνεται +ι( Τ τ) + T. ) - τ + (T t) αποδ Στις οικονοµικές στήλες αναέρονται συχνά οι τιµές πωλήσεως γραµµατίων διαόρων λήξεων καθώς και τα επιτόκια που συνεπάγονται. Παράδειγµα: Την //03 τον εξής πίνακα τιµών οµολόγων Zero Coupon (Ονοµαστική 00) Αυτό συνεπάγεται τα εξής επιτόκια //03 ΛΗΞΗ ΤΙΜΗ 3//03 99,0 0/0/04 98,0 0/0/04 97,09 0/05/04 95,4 ΙΑΡΚΕΙΑ (µήνες) ΕΠΙΤΟΚΙΟ %,00,00 3,94 6 0,00 Εαρµογή: Ετήσιο γραµµάτιο απόδοσης 0% πωλείται µετά 3 µήνες προς 9,50. Αν ο επενδυτής µπορούσε να είχε τοποθετήσει τα χρήµατά του σε τραπεζικό λογαριασµό ελεύθερης ανάληψης και επιτοκίου 8%, κέρδισε ή έχασε από την πράξη του γραµµατίου;
Α Λύση: (Εστιάζουµε στην κατάθεση) 00 Το γραµµάτιο αγοράστηκε προς 90, 909. Αν τα χρήµατα είχαν +0% 3 τοποθετηθεί στην κατάθεση, σε 3 µήνες θα είχαν γίνει 90,909 ( + 8%) 9, 77 που είναι ανώτερο των 9,50 που εισπράξαµε από το γραµµάτιο. Β Λύση: (Εστιάζουµε στο γραµµάτιο) Για το γραµµάτιο δώσαµε 90,909 και εισπράξαµε 9,50 σε 3 µήνες, έχοντας απόδοση 9,500 ( 3 90,909 -) 7,00% που είναι λιγότερο από ότι θα είχαµε από την τράπεζα (8%) Άλλη µορή ίδιας άσκησης: Σε 4 µήνες από αγορά ετήσιου γραµµατίου απόδοσης 8% τα επιτόκια πέτουν στο 4%. Αν ρευστοποιήσουµε το γραµµάτιο, τι απόδοση είχαµε στο τετράµηνο; 00 Τιµή αγοράς: 9, 593 + 8% 00 Τιµή πώλησης (Προσοχή!): 97, 403 8 + 4% 97,403 Άρα η απόδοση είναι: αποδ. ( -) 5,584% 4 9,593 Αυτό δείχνει τα δυνητικά κέρδη από αλλαγές στα επιτόκια! Προεξόληση Ιδιωτικών Γραµµατίων Εξωτερική Προεξόληση Για λόγους απλούστευσης οι τράπεζες προεξολούν (αγοράζουν) γραµµάτια σε τιµή που προσδιορίζεται ως εξής: Έστω γραµµάτιο που είναι υπόσχεση πληρωµής ποσού µετά χρόνο Τ. Ορίζεται από την τράπεζα Συντελεστής Προεξόλησης και υπολογίζεται το Προεξόληµα Ε T. Το ποσό εξαγοράς του γραµµατίου είναι P-E, δηλαδή P[- T]. Για µικρά Τ ( Τ) ο τύπος δείχνει αντίστοιχα αποτελέσµατα µε τον Για µεγάλα Τ υπάρχει απόκλιση. (βλ. σχήµα) P + T
Pεσ + T 0 Ρεξ[- Τ] Ισχύει πάντα Ρ εξ Ρ εξ (Γιατί;) Και ο τύπος Ρ εξ [- Τ] έχει νόηµα µόνο για T < Ισοδυναµία ανεισµού Προεξόλησης Μια συνηθισµένη διαδικασία είναι µια τράπεζα να χορηγεί δάνεια µε εγγύηση τα γραµµάτια. Αν το τελικό ποσό του γραµµατίου είναι σε χρόνο Τ και το επιτόκιο δανεισµού, τότε η τράπεζα δανείζει ποσό τέτοιο ώστε η αποπληρωµή του δανείου να πραγµατοποιείται µε τα έσοδα του γραµµατίου στο Τ. Άρα το ποσό του δανείου είναι τόσο ώστε (+ Τ) ή + Τ Γραµµάτιο 0 Τ Αποπληρωµή Καµιά ορά δανείζει ποσό ώστε το να υπερκαλύπτει (π.χ. κατά 50%) την αποπληρωµή τότε (+ Τ) (+50%) και υσικά,50 ( + Τ) Ποιο επιτόκιο δανεισµού και προεξόλησης κάνουν αδιάορη την απόαση του επενδυτή µεταξύ δανεισµού προεξόλησης. Πρέπει: Ρ [- Τ] + Τ Ή Τ ( -) - Τ ιαγραµµατικά: - T και προτιµάται ο δανεισµός αν < - Τ Επιτόκια Ισοδύναµο επιτόκιο δανεισµού * 0 Τ* / Τ-διάρκεια πράξης
Αν η τράπεζα Ε προτείνει προεξόληση µε συντελεστή ενώ µια άλλη τράπεζα Α προτείνει δανεισµό µε επιτόκιο *, προτιµάµε δανεισµό αν * < - Τ για δεδοµένα *, αυτά εξισώνονται αν T T* Για γραµµάτια διάρκειας µικρότερης του Τ * προτιµάµε προεξόληση, διαορετικά δανεισµό. Παράδειγµα: Γραµµάτιο 00 χιλ., διάρκειας 6 µηνών, προεξολείται µε συντελεστή 0% σε σχέση µε δανεισµό προς 3% κάναµε καλά; Τι θα κάναµε αν είχαµε γραµµάτιο διάρκειας 9 µηνών; Αν το επιτόκιο δαν. ήταν %; E 00-0% 0 άρα Ρ00-090. 00 Ενώ 89, 7, άρα καλά κάναµε. + 3% 0,0 Το ισοδύναµο επιτόκιο δανεισµού 6 µηνών είναι,%, οπότε - 0,0 επιτόκιο δανεισµού 0% θα ήταν προτιµότερο. Εόσον T * - 0, 65 ή 7,8 µήνες. 0% 3% Προανώς Τ8 µήνες σηµαίνει ότι πρέπει να προτιµήσουµε δανεισµό. Όντως το 00 ποσό δανεισµού είναι 86, 705 8 + 3% 8 ενώ η προεξόληση δίνει Π 00 ( - 0% ) 86, 667 -