1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ. Κανόνας: Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το τετράγωνο του μισού του συντελεστή της x. 2. Προσθέτουμε στο αριστερό μέλος έναν τέτοιο αριθμό που να δημιουργηθεί τέλειο τετράγωνο. Ποιός όμως, θα είναι αυτός ο αριθμός; Έτσι η παραπάνω εξίσωση γίνεται: οπότε βλέπουμε ότι έχουμε την εξίσωση, τετράγωνο διαφοράς δηλ. Σ αυτή τη μορφή ανάγονται όλες οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις και στόχος μας είναι πάντα να φτάσουμε σ αυτή τη μορφή. 1
2 3. Eξάγοντας τις τετραγωνικές ρίζες των δύο μελών έχουμε: Παράδειγμα: Επίλυση της Έχουμε Και Το μισό του 5/2, είναι το 5/4 οπότε προσθέτοντας το Διαιρέσαμε όλους τους παράγοντες με το 2 έχουμε: Eξάγοντας τις τετραγωνικές ρίζες των δύο μελών έχουμε: Οπότε x = 2
3 2) Mέθοδος επίλυσης εξισώσεων Β Βαθμού με τροπή σε γινόμενο παραγόντων. Στη μέθοδο αυτή αναλύουμε σε παράγοντες. Δεν είναι, βέβαια πάντοτε εφικτό αυτό. Έστω Bρίσκουμε τους παράγοντες : (x-1)(x-3) = 0 Και έχουμε x-1= 0 ή x=1 και x-3 = 0 ή x = 3 Αν n ένας πεπερασμένος αριθμός τότε δηλ. το γινόμενο οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού και του μηδέν, είναι μηδέν. Γενικός τύπος για τη λύση της εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω αx²+βx+γ = 0 με α, β, γ R και α 0. Ακολουθώντας τη 1 η μέθοδο που περιγράψαμε έχουμε: αx²+βx = - γ Προσθέτουμε το τετράγωνο του μισού του συντελεστή της x, λαμβάνοντας : Επομένως 3
4 Προσοχή: Το α είναι ο συντελεστής του x², το β ο συντελεστής του x και το γ ο σταθερός όρος. Τα α, β, γ δεν έχουν σχέση με την σειρά των παραγόντων. Tην παραπάνω σχέση θα πρέπει να την θυμόμαστε! Από τα παραπάνω προκύπτει: Διακρίνουσα της εξίσωσης Β βαθμού, λέγεται η αλγεβρική παράσταση: Δ = β 2-4αγ. Λύση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού: Αν Δ > 0 τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες στο R τις ρ 1 ρ 2 = β Δ Αν Δ = 0 τότε η εξίσωση έχει διπλή ρίζα ρ = β Αν Δ < 0 τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο R. Παρατήρηση 1. Η εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν: 4
5 Δ 0. 2. Η εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει δυο πραγματικές και άνισες ρίζες αν οι α και γ είναι ετερόσημοι. 3. H εξίσωση της μορφής: αx 4 +βx 2 +γ = 0 με α,β,γ R και α 0, λέγεται διτετράγωνη και για τη λύση της θεωρούμε : x 2 = y, οπότε αx 4 +βx 2 +γ=0 αy 2 +βy+γ=0. Άθροισμα - γινόμενο ριζών εξίσωσης 2ου βαθμού Έστω η εξίσωση: αx 2 +βx+γ = 0 με α 0, Δ 0 και ρίζες ρ 1, ρ 2. To άθροισμα των ριζών ρ 1, ρ 2 της εξίσωσης: αx 2 +βx+γ = 0 δίνεται από: S = ρ 1 + ρ 2 = - β (1) To γινόμενο των ριζών ρ 1,ρ 2 της εξίσωσης: αx 2 +βx+γ = 0 δίνεται από: Ρ = ρ 1. ρ 2 = γ Οι πιο πάνω τύποι λέγονται τύποι του Vietta. Σύμφωνα με τα πιο πάνω η εξίσωση: αx 2 + βx + γ = 0 μετασχηματίζεται: αx 2 + βx + γ = 0 Οι τύποι του Vieta βρίσκουν το α + β γ άθροισμα και το γινόμενο των ριζών = 0 της εξίσωσης συναρτήσει των x 2 (- )x + γ = 0 συντελεστών α, β, γ χωρίς να την x 2 Sx + P = 0 λύσουμε. 5
6 Πίνακας 1 01. Δυο ρίζες πραγματικές και άνισες 02. Δυο ρίζες ίσες 03. Καμιά πραγματική ρίζα 04. Δυο ρίζες ετερόσημες 05. Δυο ρίζες ετερόσημες ("θετική" μεγαλύτερη) 06. Δυο ρίζες ετερόσημες ("αρνητική" μεγαλύτερη) 07. Δυο ρίζες θετικές 08. Δυο ρίζες θετικές και άνισες 09. Δυο ρίζες θετικές και ίσες 10. Μια ρίζα θετική και η άλλη μηδέν 11. Δυο ρίζες αρνητικές 12. Δυο ρίζες αρνητικές και άνισες 13. Δυο ρίζες αρνητικές και ίσες 14. Μια ρίζα αρνητική και η άλλη μηδέν 15. Μια ρίζα το μηδέν 16. Δυο ρίζες ίσες με μηδέν 17. Δυο ρίζες αντίστροφες 18. Δυο ρίζες αντίθετες 19. Δυο ρίζες ομόσημες 20. Δυο ρίζες ομόσημες και διαφορετικές 21. Δυο ρίζες ομόσημες και ίσες 01. Δ > 0 και α 0 02. Δ = 0 και α 0 03. Δ < 0 04. Ρ < 0 05. Ρ < 0 και S > 0 06. Ρ < 0 και S < 0 07. Δ 0 και Ρ > 0 και S > 0 08. Δ > 0 και Ρ > 0 και S > 0 09. Δ = 0 και S > 0 10. P = 0 και S > 0 11. Δ 0 και Ρ > 0 και S < 0 12. Δ > 0 και Ρ > 0 και S < 0 13. Δ = 0 και S < 0 14. P = 0 και S < 0 15. P = 0 16. Δ = 0 και P = 0 17. Δ 0 και P = 1 18. P < 0 και S = 0 19. Δ 0 και P > 0 20. Δ > 0 και P > 0 και S=0 21. Δ = 0 και P > 0 6