δικαιολογήσετε γιατί αναπτύσσεται ΗΕ στα άκρα αγωγού που κινείται σε µαγνητικό πεδίο

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Λ. ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η µελέτη του νόµου του Faraday σε ολοκληρωτική και διαφορική µορφή, καθώς και φαινοµένων που προκύπτουν από αυτόν, όπως η αυτεπαγωγή και η αµοιβαία επαγωγή. Ακόµα, σκοπός του κεφαλαίου είναι η εισαγωγή της έννοιας της ενέργειας µαγνητικού πεδίου χρησιµοποιώντας το φαινόµενο της αυτεπαγωγής. Προσδοκώµενα αποτελέσµατα Με την ολοκλήρωση της µελέτης του κεφαλαίου, θα µπορείτε να: δικαιολογήσετε γιατί αναπτύσσεται ΗΕ στα άκρα αγωγού που κινείται σε µαγνητικό πεδίο διατυπώσετε το νόµο του Faraday και να εξετάσετε το ενδεχόµενο απόδειξής του χρησιµοποιώντας τη δύναµη Lorentz διατυπώσετε το νόµο του Lenz και να δώσετε ένα παράδειγµα ορίσετε τη σταθερά αυτεπαγωγής και να δικαιολογήσετε γιατί είναι ανεξάρτητη του ρεύµατος ορίσετε το συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής και να προσδιορίσετε τη συµµετρία του προσδιορίσετε πώς εξαρτάται η πυκνότητα ενέργειας µαγνητικού πεδίου από την ένταση µαγνητικού πεδίου προσδιορίσετε την ενέργεια που βρίσκεται αποθηκευµένη σε δεδοµένο µαγνητικό πεδίο. Έννοιες κλειδιά νόµος Faraday αυτεπαγωγή αµοιβαία επαγωγή νόµος του Lenz

µαγνητική ροή ενέργεια µαγνητικού πεδίου ηλεκτρεγερτική δύναµη ΕΝΟΤΗΤΑ 8.1: Ο νόµος του Faraday Έχοντας ολοκληρώσει στα προηγούµενα κεφάλαια τη µελέτη στατικού ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου, θα ξεκινήσουµε τη µελέτη των φαινοµένων που εµφανίζονται όταν E x, t B x, t. υπάρχει χρονική εξάρτηση των πεδίων ( ) και ( ) Η ηλεκτροµαγνητική επαγωγή είναι παραγωγή ηλεκτρικού πεδίου από ένα χρονικά µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο. Πειραµατικά αυτό διαπιστώνεται µε χρήση ενός αγώγιµου κλειστού βρόχου σε περιοχή όπου υπάρχει µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο. Τότε, το παραγόµενο ηλεκτρικό πεδίο προκαλεί µετρήσιµο ρεύµα στο βρόχο (Faraday, 1831). Μια ειδική περίπτωση ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής αποτελεί η εµφάνιση ηλεκτρεγερτικής δύναµης λόγω κίνησης αγωγού σε στατικό µαγνητικό πεδίο. Η κίνηση αυτή του αγωγού προκαλεί µαγνητικές δυνάµεις στα φορτία του αγωγού και εµφάνιση ρεύµατος, που µπορεί να θεωρηθεί ότι προκαλείται από επαγωγικό ηλεκτρικό πεδίο. Η ηλεκτρεγερτική δύναµη (ΗΕ ) κατά µήκος κλειστού βρόχου C ορίζεται ως:

όπου F είναι η δύναµη που ασκείται στο φορτίο q. F. dl є = (8.1) q C Θα υπολογίσουµε την ΗΕ λόγω µαγνητικών δυνάµεων κατά την κίνηση αγώγιµου βρόχου σε στατικό µαγνητικό πεδίο. Η µαγνητική δύναµη σε δοκιµαστικό φορτίο q στο βρόχο είναι: F = q v B Άρα, η ΗΕ που αναπτύσσεται στο βρόχο είναι: є = v B dl= B dl v (8.) C ( ) ( ) όπου χρησιµοποιήσαµε γνωστή διανυσµατική ταυτότητα. Γράφοντας C δ x v = δt, όπου δ x η µετακίνηση του διανύσµατος δ l κατά τη διάρκεια του χρόνου δ t, εµφανίζεται στην (8.) το εξωτερικό γινόµενο dl δ x, που είναι η στοιχειώδης επιφάνεια που διαγράφεται κατά την κίνηση του βρόχου C από τη θέση C ( t ) στη θέση C ( t δ t) dl. + από το διάνυσµα Έστω δσ η επιφάνεια που διαγράφεται από ολόκληρο το βρόχο κατά την κίνησή του από C ( t ) σε C ( t + δ t) και S ( t ) ( S ( t δt) ) ( ) ( ( δ )) C t C t + t. + επιφάνεια που έχει ως όριο το βρόχο Εφαρµόζοντας το νόµο του Gauss στην κλειστή επιφάνεια που περικλείεται από τις S(t), δσ, S(t+δt), έχουµε: B dα= 0= B d Α+ B d A B d A (8.3) S( t+δt) S ( t ) όπου το ( ) του τελευταίου όρου προκύπτει ώστε το διάνυσµα της κλειστής επιφάνειας να δείχνει πάντα προς το εξωτερικό του περικλειόµενου χώρου. Από την (8.3) έχουµε: δ r B δ Φ = B d A B d A Α= dφ δσ S( t+ δt) S ( t ) και, εποµένως, από τις (8.) και (8.4) παίρνουµε: (8.4)

δφ d dφ δt dt dt r є = = B d A= (8.5) S ( t) όπου Φ είναι η µαγνητική ροή µέσα από την επιφάνεια S ( t ) που έχει ως όριο το βρόχο C ( t ). Οι διαστάσεις της µαγνητικής ροής είναι: Tm = Wb (Weber). Στην περίπτωση που µελετήσαµε η ΗΕ προκαλείται λόγω κίνησης αγωγού σε στατικό µαγνητικό πεδίο. Το αποτέλεσµα όµως (8.5) µπορεί να γενικευτεί ακόµα και όταν η µαγνητική ροή µέσω του βρόχου µεταβάλλεται για άλλους λόγους, και όχι λόγω κίνησης του βρόχου (π.χ. λόγω µεταβολής του µαγνητικού πεδίου και χωρίς αναγκαστική κίνηση του βρόχου). Στην περίπτωση, βέβαια, που η µεταβολή της ροής δεν οφείλεται σε κίνηση των φορτίων αλλά σε µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο µε ακίνητα φορτία (Σχήµα 8.1), οι δυνάµεις που προκαλούν την ΗΕ δεν είναι µαγνητικές (αφού η µαγνητική δύναµη απαιτεί κίνηση φορτίων), αλλά οφείλονται σε ηλεκτρικό πεδίο που επάγεται λόγω µεταβαλλόµενου µαγνητικού πεδίου. Τα δύο είδη δυνάµεων ενοποιούνται στα πλαίσια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, που θα δούµε σε επόµενο κεφάλαιο, και µπορούν και τα δύο να αποδοθούν σε ηλεκτρικό πεδίο που επάγεται λόγω µεταβαλλόµενου µαγνητικού πεδίου. Σχήµα 8.1: Μεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο επάγει ηλεκτρικό πεδίο Το φαινόµενο αυτό περιγράφει ο νόµος του Faraday, που µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Μεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο επάγει ηλεκτρικό πεδίο. Το ηλεκτρικό πεδίο που επάγεται προκαλεί ΗΕ є σε κλειστό βρόχο C, που δίνεται από τη σχέση: dφ є = (8.6) dt όπου Φ είναι η µαγνητική ροή µέσα από οποιαδήποτε επιφάνεια S που έχει όριο την καµπύλη C που περιγράφει το βρόχο. Η (8.6) ισχύει ανεξάρτητα από το αίτιο που

προκαλεί τη µεταβολή της µαγνητικής ροής (κίνηση βρόχου, µεταβολή µαγνητικού πεδίου, παραµόρφωση βρόχου κτλ.). Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.1 Ένας κυκλικός βρόχος ακτίνας 10 cm είναι τοποθετηµένος στο επίπεδο xy µέσα σε πεδίο B = 0.5 cos 377t 3yˆ + 4 zˆ T. Βρείτε τη διαφορά δυναµικού που παρατηρείται Β, όπου ( )( ) στο κύκλωµα. εδοµένου ότι Φ= B d A και ως προς E ( x, t) και B( x, t) S Αυτό αποδεικνύεται ως εξής. Για την ΗΕ έχουµε: є = E dl η (8.6) είναι µια ολοκληρωτική εξίσωση C. Η (8.6) µπορεί όµως να γραφεί και σε διαφορική µορφή. є = E dl= E d A (8.7) S ( ) όπου χρησιµοποιήσαµε το θεώρηµα του Stokes. Αντίστοιχα, το δεξί µέλος της (8.6) γράφεται: dφ B = d A dt t S (8.8) όπου η χρονική παράγωγος µπορεί να µπει µέσα στο ολοκλήρωµα, αφού η επιφάνεια S είναι σταθερή στο χρόνο. Η επιφάνεια S όµως είναι αυθαίρετη (αν και έχει καθορισµένο όριο C), και εποµένως από τις (8.7) και (8.8) προκύπτει ότι B Ε = t (8.9) Η εξίσωση (8.9) είναι η διαφορική µορφή του νόµου του Faraday που συσχετίζει τη µεταβολή του E στο χώρο µε τη χρονική µεταβολή του B. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8. είξτε ότι µια άλλη µορφή του νόµου του Faraday είναι και η: A E = (όπου A = διανυσµατικό δυναµικό) t

Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.3 Οµογενές και σταθερό µαγνητικό πεδίο 10 mwb/m έχει διεύθυνση κατά µήκος του άξονα z ενός ορθοκανονικού συστήµατος συντεταγµένων. Κυκλικός αγωγός τοποθετείται στο επίπεδο xy και έχει ακτίνα η οποία µειώνεται µε ρυθµό 100 m/s. Αν η αρχική ακτίνα ήταν µήκους 100 mm, προσδιορίστε το παραγόµενο ηλεκτροµαγνητικό πεδίο ως συνάρτηση του χρόνου. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.4 Στο παρακάτω Σχήµα 8. ορθογώνιο συρµάτινο κύκλωµα αντίστασης 30 mω περιστρέφεται µε ταχύτητα ω= rad/s σε οµογενές µαγνητικό πεδίο B = 10y ˆ mwb / m. Υπολογίστε το παραγόµενο ρεύµα. Σχήµα 8. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.5 Ένα ορθογώνιο κύκλωµα είναι τοποθετηµένο στο µαγνητικό πεδίο ενός απείρου αγωγού που µεταφέρει ρεύµα Ι, όπως φαίνεται στο Σχήµα 8.3. Υποθέστε ότι το κύκλωµα µετακινείται σταθερά προς τον άξονα x. Προσδιορίστε τη στιγµιαία παραγόµενη τάση στο κύκλωµα.

Σχήµα 8.3 Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.6 Ένα λεπτό φύλλο µετάλλου, αγωγιµότητας σ, είναι στερεωµένο στο επίπεδο xz, σε µεταβαλλόµενο µε το χρόνο µαγνητικό πεδίο: B = ( B cos β x cosh β y cos ωt) yˆ m Προσδιορίστε το παραγόµενο ηλεκτρικό πεδίο σε σηµείο (x,z) του φύλλου µετάλλου. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.7 ίνεται ένας ευθύγραµµος αγωγός Οα µήκους l στο επίπεδο xy. Ο αγωγός περιστρέφεται γύρω από το σηµείο Ο µε γωνιακή ταχύτητα ω m σε ένα µαγνητικό πεδίο B = B zˆ 0. Βρείτε την παραγόµενη τάση στον αγωγό. Ποιος είναι ο θετικός πόλος; Σχήµα 8.4

Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.8 Μια µαγνητική ράβδος κινείται προς τα δεξιά, όπως φαίνεται στο Σχήµα 8.5. Περιγράψτε το ηλεκτρικό πεδίο στο P. Σχήµα 8.5 Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.9 Υποθέστε ότι το µαγνητικό πεδίο µεταξύ του βόρειου, Ν, και του νότιου, S, πόλου ενός ηλεκτροµαγνήτη είναι B = γtk. Βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο. Ο νόµος του Faraday αποτελεί θεµελιώδη νόµο του ηλεκτροµαγνητισµού. Είναι µια γενίκευση της σχέσης (8.5) για την ΗΕ που προκαλείται λόγω κίνησης φορτίων σε µαγνητικό πεδίο. Η γενίκευση αυτή όµως είναι θεµελιώδης και δεν µπορεί να προκύψει ως λογική αναγκαιότητα από την (8.5), που βασίζεται απλώς στη δύναµη Lorentz. Σύµφωνα µε το νόµο του Faraday (8.9), το ηλεκτρικό πεδίο που επάγεται από το µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο τείνει να δηµιουργήσει ρεύµατα που το µαγνητικό πεδίο τους αντιτίθεται στη µεταβολή του B. Το πόρισµα αυτό είναι γνωστό ως νόµος του Lenz και µπορεί να γίνει κατανοητό ως εξής: τοποθετώντας τον αντίχειρα του δεξιού χεριού B αντίθετα στη µεταβολή του µαγνητικού πεδίου, τα δάχτυλα περιστρέφονται κατά t µήκος του επαγόµενου ηλεκτρικού πεδίου και, εποµένως, του προκαλούµενου ηλεκτρικού ρεύµατος. Το µαγνητικό πεδίο που προκαλείται από το επαγόµενο αυτό ρεύµα είναι προς την κατεύθυνση του αντίχειρα και, εποµένως, τείνει να αναιρέσει τη B µεταβολή του µαγνητικού πεδίου. Τα ρεύµατα που επάγονται σε αγωγούς που t κινούνται σε µαγνητικά πεδία έχουν φορά τέτοια ώστε να δέχονται µαγνητικές δυνάµεις από το πεδίο οι οποίες τείνουν να επιβραδύνουν την κίνηση του αγωγού στο µαγνητικό

πεδίο. Τα ρεύµατα αυτά λέγονται ρεύµατα eddy και η φορά τους, που καθορίζεται από το νόµο του Lenz, προκαλεί «µαγνητικό φρενάρισµα» του κινούµενου αγωγού. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.10 Ένας τετραγωνικός αγώγιµος βρόχος (µεγέθους l l, αντίστασης R) σύρεται έξω από την περιοχή µεταξύ του βόρειου και του νότιου πόλου ενός ηλεκτροµαγνήτη, όπως φαίνεται στο Σχήµα 8.6. Εκτιµήστε την εφαρµοζόµενη δύναµη F για σταθερή ταχύτητα v. Σχήµα 8.6 ΕΝΟΤΗΤΑ 8.: Αυτεπαγωγή Έστω κλειστός αγώγιµος βρόχος που διαρρέεται από ρεύµα I. Το παραγόµενο µαγνητικό πεδίο και, εποµένως, η µαγνητική ροή που διαρρέει το βρόχο είναι ανάλογη του I, από το νόµο Biot-Savart: Φ = LI (8.10) όπου η σταθερά αναλογίας L λέγεται αυτεπαγωγή και είναι ανεξάρτητη από το ρεύµα I, αλλά εξαρτάται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του βρόχου. Η αυτεπαγωγή µετριέται σε Ηenry (1 H=1 T m /A). Αν µεταβληθεί το ρεύµα, επάγεται ΗΕ στο βρόχο: dφ di є = = L (8.11) dt dt Η ΗΕ αυτεπαγωγής (8.11) έχει τέτοια φορά ώστε το παραγόµενο ρεύµα να αντιτίθεται στη µεταβολή του I που την προκάλεσε. Στο φαινόµενο της αυτεπαγωγής µπορεί να βασιστεί και µια κλασική εξήγηση των ιδιοτήτων των διαµαγνητικών υλικών που αναπτύσσουν µαγνήτιση αντίθετη προς το εξωτερικά εφαρµοζόµενο µαγνητικό πεδίο (δείτε PS, σελ. 375).

Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.11 Βρείτε το συντελεστή αυτεπαγωγής ενός σωληνοειδούς, κάνοντας οποιεσδήποτε προσεγγίσεις χρειάζονται. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.1 Ο διακόπτης στο Σχήµα 8.7 είναι γυρισµένος στην άλλη θέση, την t=0. Βρείτε το ρεύµα I(t) στο πηνίο για t>0. Σχήµα 8.7 Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.13 Ένας δακτύλιος Rowland αποτελείται από ένα σιδηροµαγνητικό τοροειδές, µε οµοιόµορφο πηνίο σύρµατος (n σπείρες ανά µονάδα µήκους) τυλιγµένο οµοιόµορφα γύρω του. Καθώς το ρεύµα I στο σύρµα µεταβάλλεται µε µικρά βήµατα I, η µεταβολή του µαγνητικού πεδίου B στον πυρήνα µετριέται µε ένα «ροόµετρο». Εξηγήστε πώς θα φτιαχτεί το ροόµετρο. ΕΝΟΤΗΤΑ 8.3: Αµοιβαία επαγωγή Έστω ένα σύστηµα Ν αλληλεπιδρώντων αγώγιµων βρόχων C1, C,..., C N µε σταθερά ρεύµατα I1, I,..., I N. Η µαγνητική ροή µέσα από το βρόχο C i είναι της µορφής: όπου L i είναι η αυτεπαγωγή και οι Φ = L I + M I i i i i i i M i είναι σταθερές που εξαρτώνται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του συστήµατος των βρόχων και λέγονται συντελεστές αµοιβαίας επαγωγής. Η µαγνητική ροή Φ i στο βρόχο i, λόγω του µαγνητικού πεδίου που προκαλείται από το ρεύµα γράφεται ως: I του βρόχου, είναι ανάλογη του I, λόγω του νόµου Biot-Savart, και

όπου A ( x ) i Φ i= M i I = BdSi= A ( xi ) dli (8.1) Si Ci είναι το διανυσµατικό δυναµικό που προκαλείται από το Ι, και χρησιµοποιήσαµε το θεώρηµα του Stokes. Από τη σχέση (6.3), που δίνει το διανυσµατικό δυναµικό συναρτήσει της πυκνότητας ' ρεύµατος J ( x ), ολοκληρώνοντας στην κάθετη διατοµή του αγωγού και i χρησιµοποιώντας την παραλληλία µεταξύ dl και J ( xi '), έχουµε: µ I 0 dl A ( xi ) = 4π (8.13) C x x Αντικαθιστώντας την (8.13) στην (8.1) και απαλείφοντας το I, παίρνουµε: µ dl 0 i dl M i= 4π C i C x x Η εξίσωση (8.14) δίνει το συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής και λέγεται εξίσωση του Neumann. είχνει ότι ο του συστήµατος και ότι υπάρχει η συµµετρία M i = M i. i i (8.14) M i µεταξύ των βρόχων i και M i εξαρτάται µόνο από τη γεωµετρία Η συµµετρία αυτή σηµαίνει ότι µαγνητική ροή µέσα από το βρόχο i λόγω µοναδιαίου ρεύµατος στο βρόχο ισούται µε τη µαγνητική ροή στο βρόχο λόγω µοναδιαίου ρεύµατος στο βρόχο i. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.14 Έστω ότι το κύκλωµα στο παρακάτω Σχήµα 8.8 είναι σταθερό ( u =0). Υποθέστε ότι το ρεύµα είναι I = I sin ωt 0 στον ευθύγραµµο αγωγό. Βρείτε το συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής Μ µεταξύ του αγωγού και του κυκλώµατος.

Σχήµα 8.8 ΕΝΟΤΗΤΑ 8.4: Ενέργεια µαγνητικού πεδίου Η αύξηση του ρεύµατος από την τιµή I = 0 µέχρι I σε αγώγιµο βρόχο µηδενικής αντίστασης απαιτεί ενέργεια για την εξουδετέρωση της ΗΕ αυτεπαγωγής που αντιτίθεται στην αύξηση του ρεύµατος, λόγω του νόµου του Lenz. Η ισχύς αυτεπαγωγής που πρέπει να εξουδετερωθεί κατά την αύξηση του ρεύµατος είναι: di P = Iє = I L (8.15) dt Το έργο που πρέπει να δαπανηθεί για την εξουδετέρωση αυτής της ισχύος είναι: I ' ' 1 (8.16) 0 W= Pdt= LI di = LI Το έργο αυτό αποθηκεύεται ως ενέργεια στο µαγνητικό πεδίο του βρόχου. Εποµένως, η ενέργεια µαγνητικού πεδίου του βρόχου (η οποιουδήποτε συστήµατος µε αυτεπαγωγή L) που διαρρέεται από ρεύµα I είναι: 1 U = LI (8.17) Θα εκφράσουµε την ενέργεια αυτή συναρτήσει της έντασης του µαγνητικού πεδίου του βρόχου B( x) : Η µαγνητική ροή Φ στο βρόχο ισούται µε LI, και εποµένως: Φ= LI= BdS= A dl (8.18) S C

Αντικαθιστώντας την (8.18) στην (8.17), η ενέργεια µαγνητικού πεδίου γράφεται: 1 1 = = (8.19) 3 U M IA dl A Jd x V C όπου στην τελευταία ισότητα θέσαµε I = JdA (όπου da η στοιχειώδης επιφάνεια της κάθετης διατοµής του αγωγού) και χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι J και dl είναι παράλληλα. Η εξίσωση (8.19) είναι ανάλογη µε την εξίσωση U E 1 για την ηλεκτροστατική ενέργεια. 3 = ρvd x (.38) Για να εκφράσουµε την U M συναρτήσει του µαγνητικού πεδίου B, γράφουµε: J A = H A = ε H A = ε H A ε H A ( ) ( ) ( ) ik k i ki k i ik k i = + ( H A) H ( A) (8.0) Αντικαθιστώντας την (8.0) στην (8.19) και εφαρµόζοντας το θεώρηµα Gauss στο ολοκλήρωµα όγκου του πρώτου όρου, βρίσκουµε ότι το ολοκλήρωµα αυτό ισούται µε τη ροή του H A µέσα από επιφάνεια στο άπειρο (όριο του όγκου) και, εποµένως, µηδενίζεται, αφού, από υπόθεση, τα πεδία στο άπειρο µηδενίζονται. Ο δεύτερος όρος που αποµένει οδηγεί σε συνολική µαγνητική ενέργεια: U M 1 = Εποµένως, η πυκνότητα µαγνητικής ενέργειας είναι: 1 1 um ( x) = H ( x) B( x) = B( x) µ Η απόδειξη των (8.1) και (8.) βασίστηκε στη σχέση 3 H Bd x (8.1) (8.) Φ = LI, που προκύπτει από την αναλογία µεταξύ του µαγνητικού πεδίου και του ρεύµατος στα πλαίσια του νόµου Biot- Savart. Η αναλογία αυτή όµως ισχύει σε γραµµικά µαγνητικά υλικά όπου η µαγνητική διαπερατότητα µ είναι σταθερά ανεξάρτητη του ρεύµατος. Σε µη γραµµικά υλικά, όπως οι σιδηροµαγνήτες, όπου µ = µ ( I ), η ενέργεια µαγνητικού πεδίου προκύπτει από το ολοκλήρωµα

δw = Ε Iδ t = IδΦ = δφh dl = δβ HSdl (8.3) 3 = δb Hd x V όπου δ W η µεταβολή της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου λόγω µεταβολής του πεδίου κατά δ B. Η (8.3) δεν οδηγεί στην (8.) για µη γραµµικά υλικά, διότι για τα υλικά αυτά δεν ισχύει η απλή γραµµική σχέση B = µ H. Άσκηση αυτοαξιολόγησης 8.15 Πόση ενέργεια είναι αποθηκευµένη σε ένα σωληνοειδές µε I=1 A, N=1000 σπείρες, l=10 cm και A=3.14 cm ; Λύσεις Ασκήσεων αυτοαξιολόγησης Λύση 8.1 Έχουµε: d d є = B ds= ( 0.5 cos 377 t)( 3yˆ + 4zˆ) π( 0.10) zˆ dt dt = ( ) 0.5 377 4π 0.10 sin377t = 3.69sin 377t (V) Λύση 8. Αντικαθιστούµε B = A στη σχέση (8.9) και έχουµε: E = ( A) = A t t και εποµένως: E = A t Λύση 8.3 Η ροή διαµέσου του αγωγού είναι Φ = B π, από όπου προκύπτει η ΗΕ ως: m z ( r ) dφm dr є = = πβ zr = π (0.010)(0.100)( 100) = 0.68 V dt dt

Λύση 8.4 Σε χρόνο t η ροή του πεδίου του κυκλώµατος δίνεται από: Φ = LWB cosθ ( t) και εποµένως η ΗΕ που αναπτύσσεται είναι: dφm dφm dθ є = = = Β LWω sinθ dt dθ dt ( 10 )( 0.010)( 0.00)( ) sinθ = 4sinθ = (µv) και το αντίστοιχο ρεύµα είναι: I E = = θ = R 0.00 6 4 10 sin 0.sin ma θ Λύση 8.5 Το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο θα προκληθεί µόνο στις δύο πλευρές που είναι παράλληλες µε τον άξονα y. Οπότε, αν η ταχύτητα κατά µήκος του x είναι u (t), η παραγόµενη ΗΕ είναι: µ 0Ι µ 0Ι µ 0Ιlwu є = є1 є = lu lu = π x w π ( x + w) π ( x w ) ( ) Λύση 8.6 Εύκολα δείχνεται ότι E = E = 0. Από τη διαφορική µορφή του νόµου του Faraday έχουµε: B E E E = xˆ + yˆ = xˆ 0 + yˆ t y x t x y z z B y όπου όλες οι παράγωγοι υπολογίζονται για y=0. Η εξίσωση x ικανοποιείται επιλέγοντας Ε z =Ε z (x). Τότε, η εξίσωση στη διεύθυνση ŷ δίνει: dez dx B y = t y= o = ωb m cos βxsinωt ή E z ωbm = β sin βxsinωt Λύση 8.7 Το ηλεκτρικό πεδίο σε σηµείο P του περιστρεφόµενου αγωγού σε ακτίνα r είναι: E ( r) = u ( r) B = rω B r 0 ˆ

και εποµένως η αναπτυσσόµενη ΗΕ είναι: l 1 є = rωmb0 dr= ωmb0l 0 και ο θετικός πόλος είναι στο άκρο a, αφού το επαγώµενο ηλεκτρικό πεδίο είναι ακτινικό προς ˆr. Λύση 8.8 Σχήµα 8.9 Θεωρήστε έναν κύκλο C που περνάει από το P, κάθετο στο µαγνήτη, όπως φαίνεται στο Σχήµα 8.9. Η ροή µέσα από τον κύκλο αυξάνει καθώς ο µαγνήτης πλησιάζει τον κύκλο, και εποµένως επάγεται ηλεκτρικό πεδίο E. Λόγω συµµετρίας, η διεύθυνση του E είναι εφαπτοµενική στον κύκλο. Από το νόµο του Lenz, η κατεύθυνση του E είναι προς το εσωτερικό της σελίδας (έτσι αντιτίθεται στην αύξηση της ροής). Όταν ο βόρειος πόλος του µαγνήτη περάσει µέσα στον κύκλο, το ηλεκτρικό πεδίο στο P θα µειωθεί στο 0, γιατί η ροή γίνεται κατά προσέγγιση σταθερή µέχρι να περάσει και ο νότιος πόλος από τον κύκλο. Όταν και ο νότιος πόλος βγει από τον κύκλο, το ηλεκτρικό πεδίο επανεµφανίζεται, αλλά µε αντίθετη φορά (προς το εξωτερικό της σελίδας), γιατί η ροή µέσα από τον κύκλο µειώνεται. Λύση 8.9 Το ηλεκτρικό πεδίο είναι αζιµουθιακό: E x = E r ϕ ( ) ( ) ˆ ϕ διότι το E περιστρέφεται γύρω από τη µεταβολή του B. Για να το βρούµε ποσοτικά, χρησιµοποιούµε το νόµο του Faraday B E = t απ όπου προκύπτει ότι deϕ Eϕ 1 + = γ E ( r) r ˆ ϕ = γ ϕ dr r

όπου r είναι η απόσταση από το κέντρο. Λύση 8.10 Ο ρυθµός µεταβολής της ροής είναι dφ da = B = Blv dt dt Έτσι, το ρεύµα στο βρόχο είναι: E Blv I = = R R Η µαγνητική δύναµη στο κοµµάτι του βρόχου που είναι κάθετο στην ταχύτητα είναι Fm = IlB, µε κατεύθυνση προς τα αριστερά, λόγω του νόµου του Lenz. Εποµένως, η δύναµη που θα πρέπει να εφαρµοστεί για σταθερή ταχύτητα v είναι: l B F = Fm = v R Λύση 8.11 είτε PS, σελ. 373. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι: µ L = l N A 0 Λύση 8.1 E0 Αρχικά το ρεύµα είναι. Χρησιµοποιώντας τον κανόνα του Kirchoff, που λέει ότι η R πτώση τάσης κατά µήκος του κυκλώµατος είναι 0, βρίσκουµε µια διαφορική εξίσωση για το ρεύµα I ( t ). Η λύση της είναι εκθετική µείωση του ρεύµατος µε χρονική σταθερά L R. 1 Λύση 8.13 Το ροόµετρο βασίζεται στην ηλεκτροµαγνητική επαγωγή. Ένα δευτερεύον σωληνοειδές περιελίσσεται γύρω από το δακτύλιο. Υποθέστε ότι το σωληνοειδές έχει Ν στροφές και επιφάνεια Α. Όταν το I αυξάνει κατά I, το πεδίο αυξάνει κατά B και η ροή µέσω του δευτερεύοντος πηνίου αυξάνεται κατά ( ) δευτερεύον πηνίο είναι το ολοκληρωµένο ρεύµα B NA. Το φορτίο που διέρχεται µέσα από το

E 1 B NA Q = Idt = dt = Φ = R R R όπου R είναι η αντίσταση του δευτερεύοντος πηνίου.

Λύση 8.14 Η µαγνητική ροή βρίσκεται εύκολα υπολογίζοντας το επιφανειακό ολοκλήρωµα του µαγνητικού πεδίου του ευθύγραµµου αγωγού στο εσωτερικό του κλειστού αγωγού. ιαιρώντας µε την ένταση του ρεύµατος, βρίσκουµε το συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής Μ. Λύση 8.15 Το µαγνητικό πεδίο είναι: µ B = 0NI l Εποµένως, η ενέργεια είναι: B 3 µ 0 N I A 3 U= d x= = 1.97 10 J µ l 0 είτε ακόµα PS, τα παραδείγµατα του Κεφαλαίου 10, µε έµφαση στα: Example 1 (σελ. 364), Example (σελ. 364), Example 4 (σελ. 367), Example 6 (σελ. 373), Example 7 (σελ. 375), Example 9 (σελ. 379), Example 11 (σελ. 383). Ερωτήσεις 1. Γιατί αναπτύσσεται ΗΕ στα άκρα αγωγού που κινείται σε µαγνητικό πεδίο;. Μπορεί να αποδειχθεί ο νόµος του Faraday χρησιµοποιώντας τη δύναµη Lorentz; 3. ιατυπώστε το νόµο του Lenz και δώστε ένα παράδειγµα. 4. Γιατί η σταθερά αυτεπαγωγής είναι ανεξάρτητη του ρεύµατος; 5. Ποια συµµετρία έχει ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής; 6. Πώς εξαρτάται η πυκνότητα ενέργειας µαγνητικού πεδίου από την ένταση µαγνητικού πεδίου; Άλυτες ασκήσεις είτε PS, τις άλυτες ασκήσεις του Κεφαλαίου 10, µε έµφαση στις: 10.1, 10.6, 10.8, 10.1, 10.14, 10.16, 10.18, 10.0, 10.4, 10.5, 10.9.