Οµογενής κύβος ακµής α ισορροπεί επί ακλό νητης σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R, µε το κέντρο µάζας του ακριβώς πάνω από την κορυφή Α της επιφάνειας. Εάν µεταξύ του κύβου και της σφαιρικής επιφάνειας υπάρχει επαρκής τριβή, ώστε να αποφεύγεται η ολίσθηση του κύβου όταν αυτός εκτραπεί, να βρεθεί η συνθήκη που εξασφαλίζει ευσταθή ισορροπία του κύβου. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε ότι ο κύβος µετατοπίζεται, κυλιόµενος χωρίς ολίσθηση επί της σφαιρικής επιφάνειας, από την θέση ισορροπίας του σε µια θέση που καθορίζεται από την γωνία φ που σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση η ευθεία ΟΑ, που συνδέει το κέντρο Ο της σφαιρικής επιφάνειας µε το σηµείο επαφής της Β µε τον κύβο (σχ. ). Κατά την µετατόπιση αυτή το αρχικό σηµείο επαφής Α του κύβου µε την σφαιρική επιφάνεια φέρεται στην θέση Α το δε µήκος του τόξου ΑΒ είναι ίσο µε το µήκος ΒΑ, αφού δεχθή καµε ότι ο κύβος κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Έτσι θα έχουµε την σχέση: AB =A'B=C C = R" () Σχήµα όπου C το κέντρο µάζας του κύβου και Γ το σηµείο τοµής της προέκτασης της ακτίνας ΟΒ µε την ευθεία συµµετρίας (ε) του κύβου. Η βαρυτική δυνα µική ενέργεια U(φ) του κύβου, µε επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο Ο, υπολογίζεται από την σχέση: () U() = mg( C" + ## $ ) = mg( C#%µ + O#' U() = mg[ R"µ + ( R + #/) $% ] ()
όπου m η µάζα του κύβου και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Στην θέση ισορροπίας του κύβου πρέπει η πρώτη παράγωγος της U(φ) ως προς φ να µη δενίζεται, δηλαδή πρέπει να ισχύει: du() d () = 0 mg[ Rµ" + R$%" - ( R + /) µ" ] = 0 R$ - %µ/ = 0 = 0 (3) Για να είναι η ισορροπία του κύβου ευσταθής, πρέπει η δεύτερη παράγωγος της U(φ) ως προς φ στην θέση φ=0 να είναι θετική, δηλαδή πρέπει να ισχύει: " d U() % $ ' # d =0 > 0 mg -( R + r)$ + % + R/r '( ( $ + R$ / r) ) * + > 0 $ = 0 R- / > 0 R > / (4) Η (4) αποτελεί την συνθήκη ώστε η ισορροπία του κύβου στην κορυφή της σφαιρικής επιφάνειας να είναι ευσταθής. Είναι προφανές, ότι για R<α/ η δεύτερη παράγωγος της U(φ) ως προς φ στην θέση φ=0 είναι αρνητική και εποµένως η ισορροπία του κύβου ασταθής. P.M. fysikos Οµογενές ηµισφαιρικό σώµα ακτίνας r ισορρο πεί επί ακλόνητης σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R, µε το κέντρο µάζας του C ακριβώς πάνω από την κορυφή Α της επιφάνειας. Εάν µεταξύ του σωµατος και της σφαιρικής επιφάνειας υπάρχει επαρ κής τριβή, ώστε να αποφεύγεται η ολίσθηση του σώµατος όταν αυτό εκτραπεί, να βρεθεί η συνθήκη που εξασφαλίζει ευσταθή ισορ ροπία του σώµατος. Δίνεται ότι, το κέντρο µάζας C του ηµισφαι ρικού σώµατος βρίσκεται στον άξονα συµµετρίας του σε απόσταση 3r/8 από το γεωµετρικό του κέντρο. ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι το ηµισφαιρικό σώµα µετατοπίζεται, κυλιόµενο χωρίς ολίσθηση επί της σφαιρικής επιφάνειας, από την θέση ισορροπίας του σε µια θέση που καθορίζεται από την γωνία φ που σχηµατίζει µε την κατα κόρυφη διεύθυνση η ευθεία ΟΑ, που συνδέει το κέντρο Ο της σφαιρικής επιφάνειας µε το σηµείο επαφής της Β µε το ηµισφαιρικό σώµα (σχ. ). Κατά την µετατόπιση αυτή το αρχικό σηµείο επαφής Α του σώµατος µε την σφαι ρική επιφάνεια φέρεται στην θέση Α το δε µήκος του τόξου ΑΒ είναι ίσο µε το µήκος του τόξου ΒΑ, αφού δεχθήκαµε ότι το σώµα κυλίεται χωρίς ολίσ θηση. Έτσι θα έχουµε την σχέση: AB = A B R = r" = R" / r ()
όπου θ η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στο τόξο Α Β του ηµισφαιρικού σώµατος. Η βαρυτική δυναµική ενέργεια U(φ) του σώµατος, µε επίπεδο ανα φοράς το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο Ο, υπολογίζεται από την σχέση: U() = mg K" - K# [ ] = mg KO$% - KC$% ( + ') () U() = mg[ ( R + r)$ - %$( + )] U() = mg[ ( R + r)$ - %$( + R / r) ] () Σχήµα όπου m η µάζα του κύβου, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και α=3r/8. Στην θέ ση ισορροπίας του κύβου πρέπει η πρώτη παράγωγος της U(φ) ως προς φ να µηδενίζεται, δηλαδή πρέπει να ισχύει: du() d () = 0 [ µ (" + R" / r) ] = 0 (3) mg - ( R + r)µ" + # + R/r H (3) αληθεύει για = 0 για να είναι δε η ισορροπία του του ηµισφαιρικού σώµατος ευσταθής, πρέπει η δεύτερη παράγωγος της U(φ) ως προς φ στην θέση φ=0 να είναι θετική, δηλαδή πρέπει να ισχύει: " d U() % $ ' # d =0 > 0 mg -( R + r)$ + % + R/r '( ( $ + R$ / r) ) * + > 0 $ = 0 [ ] > 0 -( R + r) + ( + R/r) > 0 ( R + r) ( r + R) /r - ( r + R)/r > ( r + R) > r R > r - r R > r - 3r / 8 3r / 8 R > 5r 3 (4)
Η (4) αποτελεί την συνθήκη, ώστε η ισορροπία του ηµισφαιρικού σώµατος στην κορυφή της σφαιρικής επιφάνειας να είναι ευσταθής. Είναι προφανές, ότι για R<5r/3 η δεύτερη παράγωγος της U(φ) ως προς φ στην θέση φ=0 είναι αρνητική και εποµένως η ισορροπία του σώµατος ασταθής. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (3) τα σώµατα Σ, Σ έχουν αντίστοιχες µάζες m, m, οι τροχαλίες Α και Γ έχουν αµελη τέα µάζα και µέγεθος, το δε νήµα που διέρχεται από τα αυλάκια τους είναι αβαρές και µη εκτατό και µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σ αυτά. i) Nα βρείτε την µέγιστη προς τα κάτω µετατόπιση της κινητής τρο χαλίας Γ, όταν αφεθεί ελεύθερη στο µέσον Μ της ευθείας ΑΒ. ii) Nα καθορίσετε την θέση και το είδος ισορροπίας του συστήµα τος. Δίνεται το µήκος ΑΒ=L. ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι αρχικά το σύστηµα κρατείται στην θέση, όπου η τροχαλία Γ βρίσκεται στο µέσο Μ της ΑΒ και ότι κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερο. Τότε το σώµα Σ θα κατέρχεται κατακόρυφα και το Σ θα ανέρχε ται και όταν η απόσταση λάβει την µέγιστη τιµή της ma θα µηδενισθούν Σχήµα 3 στιγµιαία οι ταχύτητές τους και στην συνέχεια θα αναστραφεί η κίνησή τους. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής του θέσεως και της θέσεως = ma παίρνουµε την σχέση: -m g - m g S - L m [ ] = -m g - m g ma - m g S - L + ma [ ] ( S - L) = m ma + m S - L + ma
-Lm = m ma - m L + ma m L + ma = m ma + Lm 4m L ( + ma )= m ma + 4m m L ma + 4L m 4m ( - m ) ma µε m >m. = 4m m L ma ma = 4m m L 4m - m () ii) Στην κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος η κινητή τροχαλία Γ δέχεται τις τάσεις T, T των νηµάτων ΑΓ και ΒΓ αντιστοίχως, που είναι ίσες κατά µέτρο αφού µεταξύ της τροχαλίας και του νήµατος που περιβάλλει το αυλά κι της δεν υπάρχει τριβή και την τάση T 3 του κατακόρυφου νήµατος εξάρ τησης του σώµατος Σ, που είναι ίση µε το βάρος του m g. Η θέση ισορρο πίας της τροχαλίας Γ βρίσκεται ακριβώς κάτω από το µέσο Μ της ευθείας ΑΒ, διότι τότε µόνο είναι δυνατόν η συνισταµένη των T, T να είναι αντίθετη της δύναµης m g (σχ. 4). Λόγω της ισορροπίας της τροχαλίας Γ θα ισχύει: = m g T $ = m g () Σχήµα 4 όπου φ η γωνία κλίσεως των νηµάτων ΑΓ και ΒΓ ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση. Όµως, όταν το συστηµα ισορροπεί το µέτρο της T είναι ίσο µε m g, διότι µεταξύ της τροχαλίας Γ και του νήµατος που περιβάλλει το αυλά κι της δεν υπάρχει τριβή, οπότε η () γράφεται: m = m m + " # + L/ 0 = m 4m 0 0 + L = m
4m 0 = m 0 + m L 4m ( - m ) 0 = m L 0 = m L 4m - m (3) όπου 0 η απόσταση της τροχαλίας Γ από το µέσο Μ που καθορίζει και την θέση ισορροπίας του συστήµατος. Συγκρίνοντας τις () και (3) εύκολα διαπι στώνουµε ότι ma > 0, που σηµαίνει ότι αν η τροχαλία Γ εκρατείτο αρχικά ακίνητη στην θέση Μ και ξαφνικά αφηνόταν ελεύθερη θα κινιόταν επιταχυ νόµενη προς τα κάτω επί της µεσοκαθέτου επί την ΑΒ, η επιτάχυνσή της θα µηδενιζόταν στην θέση ισορροπίας της και στην συνέχεια όταν θα βρισκόταν κάτω από την θέση ισορροπίας της η επιτάχυνση της θα άλλαζε φορά κατευθυνόµενη προς τα πάνω. Ανάλογα θα συµβαίνουν και µε το σώµα Σ, δηλαδή αυτό θα κινιόταν κατακόρυφα επιταχυνόµενο προς τα πάνω και η επιτάχυνσή του θα µηδενιζόταν στην θέση ισορροπίας του, στην συνέχεια δε θα άλλαζε φορά µε κατεύθυνση προς τα κάτω. Ας υποθέσουµε τώρα ότι η τροχαλία Γ εκτρέπεται από την θέση ισορροπίας της λίγο προς τα κάτω, οπότε το Σ θα εκτραπεί λίγο προς τα πάνω. Αφήνοντας το σύστηµα ελεύ θερο η µεν τροχαλία Γ σύµφωνα µε τα προηγούµενα θα αποκτήσει επιτά χυνση προς τα πάνω το δε Σ θα αποκτήσει επιτάχυνση προς τα κάτω, δηλαδή το σύστηµα τείνει να επιστρέψει στην θέση ισορροπίας του, που σηµαίνει ότι η ισορροπία του είναι ευσταθής. ος Τρόπος: Η βαρυτική δυναµική ενέργεια του συστήµατος, µε επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο που περιέχει την ΑΒ, όταν η τροχαλία Γ βρίσκεται σε απόσταση από το Μ, υπολογίζεται από την σχέση: U = -m g( + ) - m g( S - A" ) U = -m g( + ) - m g( S - + L ) (3) όπου α η απόσταση του σώµατος Σ από την τροχαλία Γ και S το συνολικό µήκος του νήµατος. Στην θέση ισορροπίας του συστήµατος η πρώτη παρά γωγος της U() ως προς είναι µηδενική δηλαδή θα έχουµε την σχέση: d du $ # = 0 -m g + m g + L % = 0 m = m 0 m = 4m 0 0 + L 0 + L -/ $ = 0 % =0 m ( 0 + L ) = 4m 0 0 = m L 4m - m (4) δηλαδή επανευρίσκουµε την σχέση (), που καθορίζει την θέση ισορροπίας του συστήµατος. Για να καθορίσουµε το είδος ισορροπίας θεωρούµε την δεύ τερη παράγωγο της U() ως προς στην θέση = 0, οπότε θα έχουµε:
d U $ m g + L - m g / + L # = # d % # + L = 0 d d U $ # = m g 0 + L - 0 % = 0 0 + L d d U $ # = m g 0 + L - 0 % = 0 0 + L d d U $ # = % = 0 m = gl 3 / ( 0 + L ) 3 / (4) 3 / $ % = 0 m gl m L / 4m [ ( - m ) + L ] > 0, εφ όσον m >m 3 /. H (5) εγγυάται ότι η ισορροπία του συστήµατος είναι ευσταθής. P.M. fysikos Ένα µικρό αλλά πολύ έξυπνο ποντίκι είναι κλεισµένο σε σφαιρικό κλουβί ακτίνας R, που έχει δυνατότητα να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Μια λεπτή ράβδος ΑΒ µήκους R 3, είναι συγκολληµένη στο κλουβι ώστε να αποτελεί οριζόντια χορδή αυτού. Το ποντίκι είναι γυµνασµένο, ώστε όταν του δοθεί εντολή αρχίζει να κινείται κατα µήκος της ράβδου ξεκινώντας από το άκρο της Α και ρυθµίζει την κίνησή του, ώστε το σύστηµα κλουβί-ράβδος να παραµένει ακίνητο. Nα βρεθεί η εξίσωση κίνησης του ποντικιού στο σύστηµα αναφο ράς του κλουβιού. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το όλο σύστηµα κάποια στιγµή που η αποµάκρυνση του ποντικιού, σε σχέση µε το µέσον Ο της ράβδου ΑΒ, είναι. Οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχεται το σύστηµα είναι το βάρος w K του κλουβιού, το βάρος w της ράβδου, το βάρος w του ποντικιού και τέλος η δύναµη από τον άξονα περιστροφής του κλουβιού που αναλύεται στην κατακόρυφη συνιστώ σα Q y και στην οριζόντια συνιστώσα Q (σχ. 5). Επειδή το κλουβί και η ράβ δος είναι ακίνητα σώµατα το δέ ποντίκι έχει οριζόντια κίνηση, το κέντρο µάζας C του συστήµατος κινείται οριζόντια µε την κίνησή του να επηρεά ζεται µόνο από την συνιστώσα Q. Εάν C είναι η -συντεταγµένη του κέν τρου µάζας C, σύµφωνα µε τον ορισµό του κέντρου µάζας θα έχουµε την σχέ ση: m " C = m # + m $ 0 + m K 0 C = m d C m dt = m d m dt () όπου m ολ η ολική µάζα του συστήµατος και m Π, m Ρ, m Κ οι µάζες του πον
τικιού, της ράβδου και του κλουβιού αντιστοίχως, Εφαρµόζοντας για το κέν τρο µάζας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: m " d C dt = Q () m " m # m " d dt = Q m d dt = Q () Eξάλλου αν εξετάσουµε µόνο το ποντίκι παρατηρούµε ότι, αυτό δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής από την ράβδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N, που εξουδετερώνει το βάρος του και την στατική τριβή Σχήµα 5 Σχήµα 6 Σχήµα 7 T που αποτελεί την δύναµη, µέσω της οποίας ρυθµίζει την κίνησή του (σχ. 6). Εφαρµόζοντας για το ποντίκι τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε: m d dt = T (3) Τέλος εξετάζοντας το σύστηµα κλουβί-ράβδος διαπιστώνουµε ότι εκτός από τις δυνάµεις w K, w, Q, Q y δέχεται την δύναµη επαφής από το ποντίκι που αναλύεται στην οριζόντια δύναµη T, αντίθετη της T και την κατακό ρυφη δύναµη N, αντιθετή της N (σχ. 7). Επειδή το σύστηµα ισορροπεί το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών όλων των παραπάνω δυνάµεων περί το κέντρο Ο του κλουβιού είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει: " (O) = 0 T ( OK) + N = 0 T R - 3R /4 + N = 0 TR/ + m g = 0 T = -m g/r (4) όπου η αλγεβρική τιµή της αποµάκρυνσης του ποντικιού. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: m d dt = - m g R d dt + g R = 0 (5) H (5) αποτελεί την τυπική διαφορική εξίσωση µιας αρµονικής ταλάντωσης
µε κυκλική συχνότητα ω, για την οποία ισχύει: = g/r = g/r (6) Mε αρχικές συνθήκες κίνησης του ποντικιού (0)=-R/ και v(0)=0, η λύση της (5) έχει την µορφή: = - R µ "t + # (6) $ ' ) % ( = - R $ % g R t ' ) (7) ( H (7) αποτελεί την ζητούµενη εξίσωση κίνησης του ποντικιού. P.M. fysikos Mικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στην µια άκρη δύο ακριβώς όµοιων λεπτών συρµάτων, των οποίων οι άλλες άκρες συνδέονται προς δύο σταθερά σηµεία Α και Β που βρίσκονται επί οριζόντιας ευθείας σε απόσταση d µεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχήµα (8). Το σφαιρίδιο αρχικά ισορροπεί επί κατακορύφου επιπέδου µε τα σύρµατα να είναι αρκετά τεντωµένα, απέχει δε από την ΑΒ απόσταση α. Κάποια στιγµή το σφαιρίδιο εκτρέπεται κάθετα προς την ΑΒ κατά 0, µε 0 <<α και αφήνεται ελεύθερο. Εάν στην διάρκεια της κίνησης του σφαιριδίου η τάση κάθε σύρµατος διατηρεί περίπου σταθερό µέτρο, να δείξετε ότι η κίνηση αυτή είναι αρµονική ταλάντωση και να βρείτε την περίοδό της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) To σφαιρίδιο πριν εκτραπεί ισορροπεί στην θέση Ο δεχόµενο το βάρος του w και τις δυνάµεις Q, Q από τα τεντωµένα σύρµατα ΑΟ και ΒΟ αντιστοίχως. Λόγω της ισορροπίας του σφαιριδίου θα ισχύουν οι σχέσεις: Σχήµα 8 Q = Q " Q y + Q y = w # Q $ 0 = Q $ 0 ' Q %µ$ 0 + Q %µ$ 0 = mg (
Q = Q Q µ" 0 # $ = mg % Q = mg µ" 0 () όπου Q, Q οι οριζόντιες και Q y, Q y οι κατακόρυφες συνιστώσες των δυνάµεων Q, Q αντιστοίχως και φ 0 η γωνία των δύο συρµάτων µε την οριζόντια ευθεία ΑΒ (σχ. 8). Όταν το σφαιρίδιο εκτραπεί από το Ο κάθετα προς την ΑΒ, οι δυνάµεις Q, Q από τα σύρµατα θα διατηρούν περίπου σταθερό µέτρο ίσο µε Q, θα αλλάξουν όµως διεύθυνση διατηρώντας την συµµετρία τους ως προς την µεσοκάθετο επί την ΑΒ, οι δε κατακόρυφες συνιστώσες τους θα αυξηθούν διότι η γωνία των συρµάτων µε την ΑΒ θα αυξηθεί. Εξετάζοντας το σφαιρίδιο στην θέση Σ, όπου η αποµάκρυνσή του από την θέση ισορροπίας του είναι (σχ. 9) παρατηρούµε ότι στην θέση αυτή το σφαιρίδιο δέχεται συνισταµένη δύναµη που κατευθύνεται προς το Ο, η δε αλγεβρική της τιµή είναι: Σχήµα 9 F = mg - Q " y - Q " y = mg - Q " y = mg - Q " #µ ( $ 0 + %$ ) () F = mg - Q "µ (# 0 + $# ) F = mg - mg "µ (# "µ# 0 + $# ) () 0 Όµως από την Τριγωνοµετρία είναι γνωστή η ταυτότητα: µ (" 0 + #") = µ" 0 $%#" + $%" 0 µ#" ' µ" 0 + $%" 0 #" (3) όπου τέθηκε ηµδφ φ και συνδφ, διότι η γωνία Δφ είναι πολύ µικρή αφού η εκτροπή του σφαιριδίου από την θέση ισορροπίας του είναι µικρή. Η () λόγω της (3) γράφεται: F = mg - mg ("µ# "µ# 0 + $%# 0 '#) = mg - mg - mg $%# 0 '# 0 "µ# 0 F = -mg$ 0 %$ = -mgd%$ / (4)
Eφαρµόζοντας στο σκιασµένο τρίγωνο τον νόµο των ηµιτόνων έχουµε: µ = L µ $ / - # 0 + [ ] " = L #$% " 0 + " " = L #$%" 0 #$%" - µ" 0 µ" " = L #$%" 0 - µ" 0 " " = L d/l - #" / L d L - L = L d = L " + #" " = d / L + # $ d / L (5) όπου L το µήκος των συρµάτων όταν το σφαιρίδιο είναι στο Ο, που κατα το πρόβληµα θεωρείται πολύ µεγάλο σε σχέση µε το. Συνδυάζοντας τις σχέ σεις (4) και (5) παίρνουµε: µε F = - mgd " mgd k = d + L = - mgd " # % $ d + " ( = -k (6) ' Η σχέση (6) εγγυάται ότι το σφαιρίδιο εκτελεί κατακόρυφη αρµονική ταλάν τωση µε σταθερά επαναφοράς k και γωνιακή συχνότητα ω που δίνεται από την σχέση: = k m = mgd "m d + " = d g " ( d + " ) P.M. fysikos