Βελτιστοποίηση εναλλακτών θερμότητας Το πρώτο βήμα για την εύρεση των βέλτιστων διαστάσεων ή/και συνθηκών λειτουργίας, είναι ο καθορισμός του μεγέθους που θα βελτιστοποιηθεί, δηλαδή της αντικειμενικής συνάρτησης. Σε έναν εναλλάκτη θερμότητας, το μέγεθος αυτό μπορεί να είναι η επιφάνεια εναλλαγής ή η κατανάλωση μιας βοηθητικής παροχής. Σε μεγάλες βιομηχανικές εγκαταστάσεις με πολλές διεργασίες εναλλαγής θερμότητας, αντιμετωπίζεται συχνά και το πολυπλοκότερο πρόβλημα της συνολικής βελτιστοποίησης. Στην περίπτωση αυτή αποφασίζεται ποιά ρεύματα θα έρθουν σε επαφή μεταξύ τους και με ποια σειρά ώστε το συνολικό να ελαχιστοποιείται. Δημοφιλές παράδειγμα μεθοδολογίας τέτοιας βελτιστοποίσης είναι η τεχνολογία pinch. Στο πλαίσιο του παρόντος μαθήματος θα απασχοληθούμε μόνον με απλές βελτιστοποιήσεις. Tα παραδείγματα που θα παρουσιαστούν είναι η επιλογή βέλτιστης συχνότητας καθαρισμού εξατμιστήρα που αναπτύσσει αποθέσεις και βέλτιστης παροχής νερού ψύξης σε έναν συμπυκνωτή. Είναι γενικά χρήσιμο να θυμάται κανείς ότι οι μαθηματικά βέλτιστες λύσεις πρέπει να ελέγχονται προσεκτικά από τον μηχανικό και να θεωρούνται καταρχήν ως ενδεικτικές. Συχνά, μία τέτοια λύση προσκρούει σε βασικές σχεδιαστικές αρχές που δεν μπορούν εύκολα να ποσοτικοποιηθούν, ή δεν είναι πραγματοποιήσιμη με τον διαθέσιμο εξοπλισμό (πχ. βέλτιστη διάμετρος σωληνώσεων μεταξύ δύο τιμών λίστας τυποποιημένων διαμέτρων). Αποθέσεις σε εξατμιστήρα Κατά την εξάτμιση υδατικού διαλύματος για παραγωγή ενός τελικού προϊόντος, η θερμορροή μειώνεται σταδιακά με το χρόνο λόγω ανάπτυξης των αποθέσεων. H χρονική μεταβολή της αντίστασης αποθέσεων περιγράφεται από τη σχέση R f = a + bt (7.1) που αντιστοιχεί σε ρυθμό ανάπτυξης αποθέσεων που φθίνει με το χρόνο, αλλά βραδύτερα από την ασυμπτωτική συμπεριφορά της εξίσωσης (1.8). Aν ο καθαρισμός της συσκευής απαιτεί χρονικό διάστημα t c, το ερώτημα είναι ποιο είναι το βέλτιστο διάστημα, t ο, συνεχούς λειτουργίας (το χρονικό διάστημα μεταξύ διαδοχικών καθαρισμών) που μεγιστοποιεί το συνολικό ποσό θερμότητας που εναλλάσσεται και συνεπώς και το ποσό προϊόντος που παράγεται. Eίναι διαισθητικά φανερό ότι λειτουργία της συσκευής με πολλές αποθέσεις προσφέρει όλο και λιγότερη θερμορροή και συνεπώς πρέπει να υπάρχει μέγιστο για ενδιάμεση τιμή του χρόνου t ο.
Aν θεωρηθεί ότι η κύρια αντίσταση στη μετάδοση θερμότητας οφείλεται στις αποθέσεις, και ότι η επιφάνεια εναλλαγής, A, και η μέση διαφορά θερμοκρασίας, ΔT, παραμένουν σταθερές, τότε η στιγμιαία θερμορροή είναι Q = UAΔT = AΔT a + bt και το συνολικό ποσό θερμότητας για χρόνο λειτουργίας t ο βρίσκεται με ολοκλήρωση ίσο με Q total = Qdt = 2AΔT b ( a + bt 0 a) H μέση απόδοση της συσκευής σε κάθε κύκλο λειτουργίας-καθαρισμού είναι (7.2) (7.3) Q Η = Q total (t 0 + t c ) (7.4) H μόνη μεταβλητή στην ανωτέρω εξίσωση είναι ο χρόνος λειτουργίας, t ο. Mηδενίζοντας την παράγωγο ως προς t ο, ο βέλτιστος χρόνος λειτουργίας βρίσκεται ίσος με (t 0 ) max = t c + 4a b t c (7.5) H λύση αυτή καθορίζει το χρονοδιάγραμμα καθαρισμού ώστε ο εξατμιστήρας να εργάζεται περισσότερο αποδοτικά. Σχεδιασμός ψύκτη Κατά τη διαστασιολόγηση ενός ψύκτη για ορισμένο θερμικό καθήκον, υπάρχει η δυνατότητα σχεδιασμού με μεγάλη παροχή νερού ψύξης, οπότε μεταβάλλεται λίγο η θερμοκρασία του νερού μεταξύ εισόδου-εξόδου, ή με μικρή παροχή, οπότε λαμβάνει χώρα μεγάλη μεταβολή). Αντίστοιχα, επηρεάζεται η μέση λογαριθμική διαφορά θερμοκρασίας και ο ολικός συντελεστής συναγωγής του εναλλάκτη, με αποτέλεσμα να αλλάζει η απαιτούμενη επιφάνεια εναλλαγής. Μεγάλη παροχή νερού οδηγεί σε μείωση της επιφάνειας, δηλαδή του μεγέθους της συσκευής, και αντίστροφα. Το παραπάνω παράδειγμα είναι αντιπροσωπευτικό μιας μεγάλης κατηγορίας βελτιστοποιήσεων συσκευών, όπου αύξηση των λειτουργικών δαπανών (εδώ, κόστος νερού ψύξης) συνδυάζεται με μείωση των πάγιων δαπανών. Στην περίπτωση αυτή, αντικειμενικός στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού ετήσιου κόστους, που περιλαμβάνει τις λειτουργικές δαπάνες και την απόσβεση των πάγιων δαπανών. Χρησιμοποιούμε τον εξής συμβολισμό:
w = παροχή νερού ψύξης (kg/h) t 1, t 2 = θερμοκρασία εισόδου (σταθερή) και εξόδου του νερού ψύξης T 1, T 2 = θερμοκρασία εισόδου και εξόδου του προς ψύξη ρευστού C w C A K F θ = κόστος νερού (δρχ/kg) = κόστος προμήθειας εναλλάκτη ανά m 2 επιφάνειας εναλλαγής = ετήσιες δαπάνες απόσβεσης, συντήρησης κλπ. ως ποσοστό του κόστους προμήθειας = χρόνος λειτουργίας (h/έτος) Mε βάση τα παραπάνω, το συνολικό ετήσιο κόστος λειτουργίας είναι: C T = wc w θ + K F AC A (7.6) Ως ανεξάρτητη μεταβλητή στη διαδικασία βελτιστοποίησης θα χρησιμοποιήσουμε τη θερμοκρασία εξόδου, t 2, του νερού. Mε βάση τη μεταβλητή αυτή, η παροχή του νερού εκφράζεται ως w = Q c p (t 2 t 1 ) Για απλή αντιρροή (οι δείκτες 1 και 2 συμβολίζουν τις δύο άκρες του εναλλάκτη), η απαιτούμενη επιφάνεια εναλλαγής είναι A = Q U ln[(t 2 t 2 ) (T 1 t 1 )] (T 2 t 2 ) (T 1 t 1 ) Αντικαθιστώντας τις (7.7) και (7.8) στην (7.6), αγνοώντας την μεταβολή του ολικού συντελεστή συναγωγής και μηδενίζοντας την παράγωγο dc T/dt 2, προκύπτει η εξής εξίσωση για την βέλτιστη θερμοκρασία, (t 2) opt εξόδου του νερού: UC w θ [ (T 2 t 2 ) (T 1 t 1 ) ] 2 = ln( T 2 t 2 ) (1 T 1 t 1 ) c p K F C A t 2 t 1 T 1 t 1 T 2 t 2 H παραπάνω εξίσωση προφανώς λύνεται μόνον αριθμητικά. (7.7) (7.8) (7.9) Το κόστος προμήθειας ανά μονάδα επιφάνειας του εναλλάκτη βρίσκεται από διαγράμματα όπως του Σχήματος 7.1. Επειδή τέτοιες πληροφορίες κόστους είναι πολύτιμες για τις προκαταρκτικές τεχνικοοικονομικές μελέτες και συνήθως δεν είναι διαθέσιμες για την παρούσα χρονολογία, χρησιμοποιούνται παλιές τιμές που ανάγονται με χρήση κατάλληλων δεικτών.
Σχήμα 7.1: Kόστος προμήθειας εναλλακτών αυλών-κελύφους από ανθρακοχάλυβα διαφόρων Σχήμα 7.2: Διάφοροι δείκτες κόστους για την χρονική αναπροσαρμογή των τιμών εξοπλισμού και εγκαταστάσεων.
Κοστολόγηση εναλλακτών θερμότητας Στο Σχήμα 7.2 φαίνονται οι τιμές του δείκτη Chemical Engineering Plant Cost Index (CEPCI), ο οποίος χρησιμοποιείται για χρονική αναγωγή του κόστους συσκευές διεργασιών. Το κόστος ενός εναλλάκτη θερμότητας προκύπτει από τη σύνθεση διαφόρων παραμέτρων, ξεκινώντας από την τιμή βάσης, C B, και καταλήγοντας στο συνολικό κόστος εγκατεστημένης μονάδας, C BM. Το κόστος βάσης υπολογίζεται από κατάλληλη ανά τύπο εναλλάκτη συσχέτιση με βάση μόνον την επιφάνεια εναλλαγής, Α. Παραδείγματα για εναλλάκτες αυλών-κελύφους είναι τα παρακάτω. Εναλλάκτης διπλού σωλήνα: C B=exp[7,1248-0,16(lnA)] (7.10) Εναλλάκτες αυλών-κελύφους Σταθερής κεφαλής: C B=exp[11,0545-0,9228(lnA)+0,09861 (lna) 2 ] Πλωτής κεφαλής: C B=exp[11,667-0,8709(lnA)+0,09005 (lna) 2 ] Τύπου U: C B=exp[11,147-0,9186(lnA)+0,09790(lnA) 2 ] (7.11) όπου Α η επιφάνεια εναλλαγής θερμότητας σε ft 2 και C B το κόστος βάσης το έτος 2000 (CEPCI I B=394). Το κόστος βάσης διορθώνεται σύμφωνα με τον τύπο C p = F P F M F L C B (I I B ) (7.12) για το έτος (I/I B), το υλικό κατασκευής (F M), την πίεση λειτουργίας (F P) και το μήκος των αυλών (F L), ώστε να δώσει το κόστος προμήθειας C p. Για τους συντελεστές αυτούς ισχύει ότι με την πίεση Ρ σε psia, με την επιφάνεια, Α, σε ft 2 και F P = 0,09803 + 0,018 ( P 2 P ) + 0,0017 ( 100 100 ) F Μ = a + 0,09803 ( A 100 ) b (7.13) (7.14) 17 0,25 L F L = ( ) 12 (7.15) με το μήκος, L, σε ft. Οι συντελεστές a και b της εξίσωσης (7.14) λαμβάνουν για διάφορα υλικά τις τιμές του Σχήματος 7.3. Το κόστος προμήθειας αποτελεί όμως μία μόνον συνιστώσα του συνολικού κόστους εγκατεστημένης μονάδας. Οι υπόλοιπες δαπάνες αφορούν κυρίως τα υλικά και τις υποδομές εγκατάστασης, τις αμοιβές των συνεργείων και τις έμμεσες δαπάνες. Ένα παράδειγμα τέτοιου
είδους κοστολόγησης φαίνεται στο Σχήμα 7.4, όπου παρατηρούμε ότι οι υπόλοιπες δαπάνες υπολογίζονται ως ποσοστό του κόστους προμήθειας και να αθροίζονται σε έναν συντελεστή, F BM, που μπορεί να ληφθεί ως σταθερός για ένα συγκεκριμένο είδος συσκευής. Έτσι, το συνολικό κόστος εγκατεστημένης μονάδας είναι C ΒΜ = F ΒΜ C p (7.13) όπου, στην περίπτωση μας, F BM=3,17 για εναλλάκτης αυλών-κελύφους, F BM=1,80 για εναλλάκτη διπλού σωλήνα και F BM=2,17 για εναλλάκτη αυλών-πτερυγίων. (7.14) (7.14) Σχήμα 7.3: Συντελεστές a και b διόρθωσης κόστους βάσης για τα υλικά κατασκευής. Σχήμα 7.4: Λοιπές δαπάνες συνολικού κόστους εγκατεστημένης συσκευής.