ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές τι σταθερός όρος του πολυωνύμου, τι σταθερό και τι μηδενικό πολυώνυμο; Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Μονώνυμο του x καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό. Για παράδειγμα, οι παραστάσεις: x, - 4 x 5, 0x 4, x και οι αριθμοί, -, 0 είναι μονώνυμα του x. Καλούμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής: α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + + α 1 x + α 0,όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α 0, α 1,, α ν είναι πραγματικοί αριθμοί. Τα πολυώνυμα τα συμβολίζουμε συνήθως με P(x), Q(x), κτλ. Τα μονώνυμα α ν x ν, α ν-1 x ν-1,, α 1 x, α 0 λέγονται όροι του πολυωνύμου και οι αριθμοί α ν, α ν-1,, α 1, α 0 συντελεστές αυτού. Ειδικότερα ο α 0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου. Τα πολυώνυμα της μορφής α 0, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονται σταθερά πολυώνυμα. Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο.. Πως ορίζεται η ισότητα δύο πολυωνύμων; Η ισότητα μεταξύ δυο πολυωνύμων ορίζεται ως εξής: μ ν Δυο πολυώνυμα α μ x μ + + α 1 x + α 0 και β ν x ν + + β 1 x + β 0, με θα λέμε ότι είναι ίσα όταν: α 0 = β 0, α 1 = β 1,, α ν = β ν και α ν+1 = α ν+ = = α μ = 0

Για παράδειγμα τα πολυώνυμα 0x 4 + 0x + x - x + 1 και x - x + 1 είναι ίσα. Επίσης τα πολυώνυμα αx + βx + γ και x + είναι ίσα αν και μόνο αν γ =, β = και α = 0.. Τι καλείται μηδενικό πολυώνυμο,τι βαθμός πολυωνύμου και τι βαθμό έχει το μηδενικό πολυώνυμο; Έστω τώρα ένα πολυώνυμο P(x) = α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + + α 1 x + α 0 Αν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν, τότε το Ρ(x) είναι ίσο με το πολυώνυμο 0 (μηδενικό πολυώνυμο). Αν όμως ένας από τους συντελεστές του είναι διαφορετικός από το μηδέν, τότε το Ρ(x) παίρνει τη μορφή: α k x k + α k-1 x k-1 + + α 1 x + α 0, με α k 0 Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός k λέγεται βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x). Είναι φανερό ότι κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Έτσι για παράδειγμα το πολυώνυμο P(x) = -4x + x - 7 είναι ου βαθμού, ενώ το Q(x) = 7 είναι μηδενικού βαθμού. 4. Τι καλείται αριθμητική τιμή του πολυωνύμου και τι ρίζα; Έστω ένα πολυώνυμο P(x) = α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + + α 1 x + α 0. Αν αντικαταστήσουμε το x με ένα ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ, τότε ο πραγματικός αριθμός P(ρ) = α ν ρ ν + α ν-1 ρ ν-1 + + α 1 ρ + α 0 που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Αν είναι Ρ(ρ) = 0, τότε ο ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου. Για παράδειγμα, η τιμή του πολυωνύμου P(x) = -x + x 4x + 1,για x = 1 είναι P(1) = -1 + 1 + 4 1 + 1 = 6, ενώ για x = -1 είναι P(-1) = -(-1) + (-1) + 4(-1) + 1=0, που σημαίνει ότι ο -1 είναι ρίζα του πολυώνυμου Ρ(x). 5. Τι γνωρίζετε για το σταθερό πολυώνυμο; Το σταθερό πολυώνυμο c έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x και Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x, Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή ότι: Αν ένα πολυώνυμο έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x, τότε αυτό είναι το σταθερό πολυώνυμο c και Αν δυο πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x, τότε τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα.

6. Τι γνωρίζετε για τις πράξεις πολυωνύμων; Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, όπως φαίνεται στα επόμενα παραδείγματα: 1. i) (x + x - 5x + 7) + (4x - 5x + ) = x + x - 5x + 7 + 4x - 5x + = (1 + 4)x + ( - 5)x - 5x + (7 + ) = 5x - x - 5x + 10 [Πολυώνυμο ου βαθμού] ii) (x - x + 1) + (-x + x - ) = x - x + 1 - x + x - = -x + x - [Πολυώνυμο ου βαθμού] iii) (x - x - 1) + (-x + x + 1) = = x - x - 1 - x + x + 1 = 0 [Μηδενικό πολυώνυμο]. (x + x - 5x + 7) - (4x - 5x + ) = x + x - 5x + 7-4x + 5x - = -x + 7x - 5x + 4 [Πολυώνυμο ου βαθμού]. (x + 5x)(x + x - 1) = x (x + x - 1) + 5x(x + x - 1) = x 5 + x - x + 10x 4 + 15x - 5x = x 5 + 10x 4 + x + 14x - 5x [Πολυώνυμο 5 ου βαθμού] 7. Τι γνωρίζετε για τον βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο πολυωνύμων ; Για το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο πολυωνύμων αποδεικνύεται ότι: Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων. Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. 8. i) Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο P(x) = (λ - 1)x + (λ - λ + )x + λ - 1 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες τα πολυώνυμο Q(x) = λ x + (λ - )x + και R(x) = (5λ - 6)x + (λ - 4)x + λ + 1 είναι ίσα. 4

i) To Ρ(x) θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ - 1 = 0, λ - λ + = 0 και λ - 1 = 0 Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ = 1. Επομένως για λ = 1 το πολυώνυμο Ρ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο. ii) Τα Q(x) και R(x) θα είναι ίσα για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ = 5λ - 6, λ - = λ - 4 και = λ + 1 Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ =. Επομένως για λ = τα πολυώνυμα Q(x) και R(x) είναι ίσα. 9. Αν P(x) = x + x + α - 1, να βρεθούν οι τιμές του α R για τις οποίες ισχύει Ρ(-1) = -1. Έχουμε P(-1) = 1 (-1) + (-1) + α - 1 = 1 α - 4 = 0 α = - ή α = Επομένως οι ζητούμενες τιμές είναι οι: -,. 5

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A Oμάδας 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x : i) 1 ii) x x x x iii) 1 x x iv) Πολυώνυμα του x είναι οι παραστάσεις 1. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = Να βρεθούν τα πολυώνυμα: x, 1 4 x x 4x 1 x 5x και Q(x) = x x x x x 1. i) Ρ(x) + Q(x) ii) Ρ(x) Q(x) iii) Ρ(x).Q(x) iv) i) Ρ(x) + Q(x) = x 5x + x x 1 = ii) Ρ(x) Q(x) = ( x 5x ) ( = x 10x 4 x 9x = x x 19 x + 1 iii) Ρ(x).Q(x) = ( x 5x ) ( x x 1) = 5 4 = x 5x 5x 14x x iv) x x 1) 5 4 x x x x x x 5x 15x 5x x 6x P x = (x 5x ) = = 4 x 5x 410x 0x 4x 4 x 10x 9x 0x 4. Να βρείτε για ποιες τιμές του μϵr, το πολυώνυμο Ρ(x) = (4 )x 4( )x 1 4 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Πρέπει: 4 = 0 4 = 0 1 και = 0 4 και 1 = 0 (4 1) = 0 1 μ = 0 ή μ = 0 ή μ = 0 ή μ = 1 4 1 = 0 1 4 ή μ = P x 1 (1) 1 = 0 4 1 = 0 4 6

μ = 1 1 = 0 μ = 1 μ = 1 ή μ = () 1 () Οι (1), (), () συναληθεύουν για μ = 1 4. Να βρείτε για ποιες τιμές του αϵr, τα πολυώνυμα Ρ(x) = ( )x x και Q(x) = x x ( 1)x 1 είναι ίσα. Πρέπει: = και 1 = και 0 = 1 και = 1 Η μοναδική τιμή = 1 επαληθεύει τις άλλες τρεις εξισώσεις, άρα είναι η ζητούμενη. 5. i) Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς που δίνονται, είναι ρίζες του πολυωνύμου Ρ(x) = P( 1) = x x x 7, x = 1, x = 1 1 1. 1 7 = + 7 = 0. Άρα ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x). P( 1) =. 1. 1 +. 1 + 7 = + + 7 = 8 0 Άρα ο αριθμός 1 δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x). 5.ii) Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς που δίνονται, είναι ρίζες του 4 πολυωνύμου Q(x) = x 1, x = 1, x = 1, x = 4 Q(-1) = ( 1) 1 = 1 + 1 = 0 Άρα ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x). Q(1) = 1 + 1 = 0 Άρα ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x). Q() = 4 + 1 = 81 + 1 = 80 0 Άρα ο αριθμός δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x). 6. Να βρείτε για ποιες τιμές του kϵr, το είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) = x kx 5x k Το είναι ρίζα του Ρ(x) Ρ() = 0 k 5. k = 0 8 4k + 10 + k = 0 k = 18 k = 6 7.Για ποιες τιμές του αϵr, η τιμή του πολυωνύμου Ρ(x) = για x = 1 είναι ίση με 1. 5x x 7

Ρ( 1) = 1 5 1 1 = 1 5 = 0 + = 0 Δ = 9 8 = 1, = 1 = 1 = ή 1 8

Β Oμάδας 1.Να βρείτε τους πραγματικούς α, β, γ, για τους οποίους το πολυώνυμο f(x) = x 7x 5 παίρνει τη μορφή f(x) = x(x 1) x f(x) = x(x 1) x = x x x = x ( )x Πολυώνυμο x 7x 5 και 7 και 5 και 7 και 5 και 10 και 5 x ( )x = πολυώνυμο. Να βρείτε τους πραγματικούς α, β, γ, για τους οποίους το πολυώνυμο P(x) = x x x 6 έχει ρίζες το και το. Το ρίζα του P(x) Το ρίζα του P(x) Ρ( ) = 0 Ρ() = 0 6 = 0 6 = 0 8 4 6 = 0 81 + 9 + 6 = 0 4 + 4α β 6 = 0 9α + β = 75 4α β = 0 α + β = 5 () α β = 15 (1) Σύστημα των (1), () : 15 5 15 15 5 15 510 15 ( ) 15 415 19. Να βρείτε τους πραγματικούς λ και μ, για τους οποίους το πολυώνυμο P(x) = x x x 6 έχει ρίζα το 1 και ισχύει Ρ( ) = 1. Το P(x) έχει ρίζα το 1 Ρ(1) = 0.1 1.1 6 = 0 6 = 0 8 (1) 9

Ρ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 6 = 1 ( 8).4 6 = 1 16 + 4λ μ + 6 = 1 4λ μ = λ μ = 1 () Σύστημα των (1), () : 8 1 8 1 1 8 1 9 1 1 ( ) 1 5 4. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου P(x) = για τις διάφορες τιμές του λϵr. α) Όταν 9 4 0 9 4 τότε ο βαθμός του P(x) είναι. β) Όταν 9 4 0 = 0 9 4 (9 4 )x (9 4)x, 0 λ 0 και λ 0 και λ + 0 λ 0 και λ και λ λ 0 και λ και λ = 0 = 0 λ = 0 ή λ = 0 ή λ + = 0 λ = 0 ή λ = ή λ = λ = 0 ή λ = ή λ = β 1 ) Για λ = 0, P(x) = 4x + οπότε ο βαθμός του P(x) είναι 1 β ) Για λ =, P(x) = 0.x + 0.x + 0 = 0 μηδενικό πολυώνυμο, που δεν έχει βαθμό 10

β ) Για λ =, P(x) = 0.x + 0.x + = + = 4 σταθερό πολυώνυμο, άρα έχει βαθμό 0. 5. Να βρείτε πολυώνυμο P(x), για το οποίο ισχύει x 1 P(x) = x 9x x 1 Το γινόμενο x 1 P(x) είναι πολυώνυμο σα γινόμενο δύο πολυωνύμων και ο βαθμός του είναι, αφού ισούται με το πολυώνυμο Άρα ο βαθμός του P(x) είναι. Επομένως P(x) = x x με 0 x 1 P(x) = x 1 ( x x ) = x x x + x 9x x 1 x 9x x 1 x x = x ( )x ( )x = x 9x x 1 x 9x x 1 x 9x x 1. α = και β + α = 9 και γ + β = και γ = 1 α = 1 και β + 1 = 9 και. 1 + β = και γ = 1 β = 10 β = 5 β = 5 Άρα P(x) = x 5x 1 11

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Πως ορίζεται η αλγοριθμική ή Ευκλείδεια διαίρεση μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών ; Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικής διαίρεσης μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών. Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι: Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ και δ με δ 0, υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π και υ, τέτοιοι ώστε : Δ = δπ + υ, 0 υ < δ (1) Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Ο Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης.. Πως ορίζεται η ταυτότητα της διαίρεσης για πολυώνυμα; (Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ(x) 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x), τέτοια ώστε: Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x), όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). Όπως και στη διαίρεση μεταξύ φυσικών αριθμών το Δ(x) λέγεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x)πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης.. Πως μπορούμε να προσδιορίσουμε το πηλίκο π(x) και το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Δ(x) με ένα πολυώνυμο δ(x) Για να προσδιορίσουμε το πηλίκο π(x) και το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Δ(x) με ένα πολυώνυμο δ(x), ακολουθούμε μια διαδικασία, ανάλογη με εκείνη της διαίρεσης των θετικών ακεραίων. 4. Να γίνει η διαίρεση του πολυωνύμου x - 5x + x - 1 με το πολυώνυμο x -. Παρακάτω περιγράφεται βήμα προς βήμα η διαδικασία της διαίρεσης του πολυωνύμου x - 5x + x - 1 με το πολυώνυμο x -. 1. Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και γράφουμε τα δυο πολυώνυμα. Βρίσκουμε τον πρώτο όρο x του πηλίκου διαιρώντας τον πρώτο όρο x του διαιρετέου με τον πρώτο όρο x του διαιρέτη. 1

. Πολλαπλασιάζουμε το x με x - και το γινόμενο x - x το αφαιρούμε από το διαιρετέο. Βρίσκουμε έτσι το πρώτο μερικό υπόλοιπο -x + x - 1. 4. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα και με νέο διαιρετέο το -x + x - 1. Βρίσκουμε έτσι το δεύτερο μερικό υπόλοιπο -4x - 1. 5. Τέλος επαναλαμβάνουμε τα βήματα και με νέο διαιρετέο το -4x - 1. Βρίσκουμε έτσι το τελικό υπόλοιπο -1 και το πηλίκο x - x - 4. Παρατηρούμε ότι ισχύει η ισότητα: x - 5x + x - 1 = (x - ) (x - x - 4) + (-1) (διαιρετέος) = (διαιρέτης) (πηλίκο) + (υπόλοιπο) που εκφράζει την ταυτότητα της διαίρεσης. 5. Να γίνει η διαίρεση (4x 4 + x - x 1) : (x + x) Παρατηρήστε ότι συμπληρώσαμε την δύναμη x με συντελεστή το μηδέν. 1

6. Να γίνει η διαίρεση (x + x - x 1):(x 1) 7. Πότε τελειώνει μία διαίρεση πολυωνύμων ; Η διαίρεση πολυωνύμων τελειώνει, όταν το υπόλοιπο γίνει μηδέν ή ο βαθμός του γίνει μικρότερος από το βαθμό του διαιρέτη. 8. Πότε μια διαίρεση λέγεται τέλεια; Γενικά, αν σε μια διαίρεση είναι υ(x) = 0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται Δ(x) = δ(x) π(x) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) ή ακόμη ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x). 9. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ=ρ(ρ) Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο x - ρ γράφεται. P(x) = (x - ρ)π(x) + υ(x) Επειδή ο διαιρέτης x - ρ είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ. Έτσι έχουμε: P(x) = (x - ρ)π(x) + υ και, αν θέσουμε x = ρ, παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 + υ = υ Επομένως P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ) 10. Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. Έστω ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). Τότε P(x) = (x - ρ)π(x) Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(x) = 0, 14

που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x). Αντιστρόφως: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) = 0. Τότε από τη σχέση P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ) παίρνουμε P(x) = (x - ρ)π(x), που σημαίνει ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x). 11. Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα x + και x - 1 είναι παράγοντες του πολυωνύμου P(x) = x + x - x + Το x + γράφεται x - (-). Επειδή P(-) = (-) + (-) - (-) + = 0, το - είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, το x + είναι παράγοντας του Ρ(x). Επειδή P(1) = 1 + 1-1 + = 0, το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x - 1 δεν είναι παράγοντας του Ρ(x). 1. Για ποιες τιμές του λ R: i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = x - x + x - 1 με το x + λ είναι το μηδέν. ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) = λ x 4 + λx - με το x - 1 είναι το 1. i) Επειδή x + λ = x - (-λ), το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ είναι υ = Ρ(-λ). Επομένως, για να είναι υ = 0 αρκεί: P(-λ) = 0 (-λ) - (-λ) + (-λ) - 1 = 0 -λ - λ - λ - 1 = 0 λ + λ + λ + 1 = 0 (λ + 1) = 0 λ = -1 ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 1 είναι υ = Q(l). Επομένως, για να είναι υ = 1 αρκεί: Q(1) = 1 λ 1 4 + λ1 - = 1 λ + λ - 4 = 0 λ = 1 ή λ = -4 1. Να γίνει η διαίρεση του P(x) = x - 8x + 7x + με ένα πολυώνυμο της μορφής x ρ και κατόπιν να περιγραφεί η διαδικασία του σχήματος Horner...Η Ευκλείδεια διαίρεση του Ρ(x) με το x-ρ είναι η ακόλουθη: 15

Η παραπάνω διαίρεση μπορεί να παρουσιασθεί εποπτικά με τον ακόλουθο πίνακα που είναι γνωστός ως σχήμα του Horner Συντελεστές του P(x) -8 7 ρ ρ (ρ - 8)ρ [(ρ - 8)ρ + 7]ρ ρ - 8 (ρ - 8)ρ + 7 [(ρ - 8)ρ + 7]ρ + Συντελεστές Πηλίκου Υπόλοιπο Για την κατασκευή του πίνακα αυτού εργαζόμαστε ως εξής: - Στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου Ρ(x) και στην πρώτη θέση της τρίτης γραμμής τον πρώτο συντελεστή του Ρ(x). Στη συνέχεια ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής: - Κάθε στοιχείο της δεύτερης γραμμής προκύπτει με πολλαπλασιασμό του αμέσως προηγούμενου στοιχείου της τρίτης γραμμής επί ρ. - Κάθε άλλο στοιχείο της τρίτης γραμμής προκύπτει ως άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων της πρώτης και δεύτερης γραμμής. Το τελευταίο στοιχείο της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το (x - ρ), δηλαδή η τιμή του πολυωνύμου Ρ(x) για x = ρ. Τα άλλα στοιχεία της τρίτης γραμμής είναι οι συντελεστές του πηλίκου της διαίρεσης. 14. Με το σχήμα Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = x 5 + x 4 + 6x - 1 με το x -. 16

Με το σχήμα Horner 0 0 6-1 ρ = 6 18 6 7 156 9 18 6 78 14 Συμπληρώσαμε με 0 τους συντελεστές των δυνάμεων του x που δεν υπάρχουν Επομένως το πηλίκο της διαίρεσης είναι π(x) = x 4 + 9x + 18x + 6x + 78 και το υπόλοιπο υ = Ρ() = 14. 15. Τι καλείται ανηγμένη μορφή του πολυωνύμου ; Ανηγμένη μορφή του πολυωνύμου ονομάζεται η μορφή εκείνη του πολυωνύμου στην οποία οι φθίνουσες δυνάμεις του χ που λείπουν από ένα πολυώνυμο συμπληρώνονται με μηδέν συντελεστή. Π.χ. 5χ 5 +χ = 5χ 5 +0χ 4 +χ +0χ +0χ+0 16. Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (4x - 8αx + 4α ) : (x - α). Το σχήμα Horner με διαιρετέο το 4x - 8αx + 4α και διαιρέτη το x - α δίνει: 4-8α 4α α 4α -4α 4-4α 0 Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0 17. Αν ν είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί η ταυτότητα: (x ν - α ν ) = (x - α)(x ν-1 + x ν- α + x ν- α + + α ν-1 ) Το σχήμα Horner με διαιρετέο το x ν - α ν και διαιρέτη το x - α δίνει 1 0 0 0 -α ν ρ = α α α α ν-1 α ν 1 α α α ν-1 0 17

Επομένως το υπόλοιπο της διαίρεσης (x ν - α ν ) : (x - α) είναι μηδέν, ενώ το πηλίκο είναι το πολυώνυμο π(x) = x ν-1 + αx ν- + α x v- + + α ν-1 Τέλος, από την ταυτότητα της διαίρεσης προκύπτει ότι: x ν - α ν = (x - α)π(x) + 0 ή x ν - α ν = (x - α)(x ν-1 + x ν- α + x ν- α + + α ν-1 ) 18. Να εξεταστεί για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού ν το x + α είναι παράγοντας του x ν + α ν, α 0. Γι' αυτές τις τιμές του ν, το x ν + α ν να γίνει γινόμενο της μορφής (x + α)π(x). Αν θέσουμε P(x) = x ν + α ν, τότε P(-α) = (-α) ν + α ν. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν ν άρτιος, τότε P(-α) = α ν + α ν = α ν 0, που σημαίνει ότι το -α δεν είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x + α δεν είναι παράγοντας του x ν + α ν. Αν ν περιττός, τότε P(-α) = -α ν + α ν = 0, που σημαίνει ότι το -α είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x + α είναι παράγοντας του x ν + α ν. Στη συνέχεια, με το σχήμα Horner για ν περιττό βρίσκουμε την ταυτότητα: x ν + α ν = (x + α)(x ν-1 - x ν- α + x ν- α - + α ν-1 ) 18

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A. Oμάδας 1.i) Να κάνετε τη διαίρεση ( x 6x 17x 0 ) : ( x ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. x 6x 17x 0 x x 9x x 17x 0 x 9x 8x 0 8x 4 44 x x 8 H ταυτότητα της διαίρεσης είναι x 6x 17x 0 = ( x )( x x 8 ) + 44 4 1.ii) Να κάνετε τη διαίρεση ( x 81) : ( x ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 4 x 81 x 4 x x x 81 x 9x 9x 81 9x 7x 7x 81 7x 81 0 H ταυτότητα της διαίρεσης είναι x x 9x 7 4 x 81 = ( x )( 5 x x 9x 7 ) 1.iii) Να κάνετε τη διαίρεση ( 4x 0x 16x 15 ) : ( 6x 5 ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 5 4x +0x 16x 15 6x 5 5 4x 0x 16x 15 40 16x + 5 4x 8 19

H ταυτότητα της διαίρεσης είναι 5 4x 0x 16x 15 = ( 6x 5 )( 4x ) 8 5 4 1.iv) Να κάνετε τη διαίρεση ( x 4x 5x x ) : ( x x ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 4 x 4x 5x x x x 4 x 4x 6x x x x x x 1 x 1 H ταυτότητα είναι 4 x 4x 5x x = ( x x )( x 1) + x 1 1.v) Να κάνετε τη διαίρεση διαίρεσης. Είναι x 1 = x x x 1 4 x : x 1 και να γράψετε την ταυτότητα της 4 x 4 x x x x x x x x x 9x 9x 6x 8x x x x 1 H ταυτότητα της διαίρεσης είναι 4 x = ( x x x 1)( x ) + 6x 8x 4 x = x 1 ( x ) + 6x 8x 5 1.vi) Να κάνετε τη διαίρεση ( x 7) : ( x 1) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 5 x 7 x 1 x x 5 x 7 x H ταυτότητα της διαίρεσης είναι 5 x 7 = ( ) x + x 7 x 1 80 50 0.Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης ( 18x 6x 4x ) : ( x 1) 80 50 0 Έστω Ρ(x) = 18x 6x 4x. υ = Ρ( 1) = 18 1 80 50 0 6 1 4 1 = 18 6 + 4 = 14 0

. Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το x 1 είναι παράγοντας του 4 g(x) = k x kx 4 Πρέπει και αρκεί g(1) = 0 4 k 1 k1 4 = 0 k k 4 = 0 Δ = 9 + 16 = 5 k = 5 = 1 ή -4 4.i) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x 75x 50 ) : ( x 10 ) 1 0 75 50 10 10 100 50 1 10 5 0 Άρα π(x) = x 10x 5 και υ = 0 4.ii) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x 51 ) : ( x 8) 1 0 0 51 8 8 64 51 1 8 64 0 Άρα π(x) = x 8x 64 και υ = 0 4.iii) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο 5 της διαίρεσης ( x 1) : ( x 1) 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Άρα π(x) = 4 x x x x 1 και υ = 4.iv) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο 4 της διαίρεσης x : ( x ) 1

0 0 0 0 6 1 4 48 6 1 4 48 Άρα π(x) = x 6x 1x 4 και υ = - 48 4.v) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο 1 της διαίρεσης ( 4x 16x x 15) : ( x ) 1 4 16 15 7 15 4 14 0 0 Άρα π(x) = 5. Αν Ρ(x) = 4x 14x 0 και υ = 0 x x x 409, να βρείτε το Ρ( 11) 1 409 11 0 41 0 1 4840 Άρα Ρ(-11) = 4840 6.i) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο x είναι παράγοντας του 4 Ρ(x) = x 5x 144 1 0 5 0 144 9 48 144 1 16 48 0 υ = 0 άρα το x είναι παράγοντας του Ρ(x) = 4 x 5x 144 1 6.ii) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο x είναι παράγοντας του 4 4 Ρ(x) = 16x 8x 9x 14x 4

16 8 9 14 4 1 4 4 1 4 16 4 8 16 0 υ = 0 άρα το 1 4 x είναι παράγοντας του Ρ(x) = 16x 8x 9x 14x 4 4 6.iii) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x) = x x Είναι x 1 = x (1 ) 1 0 1 1 1 1 + 1 0 υ = 0 άρα το x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x) = x x 7. Αν ν είναι ένας άρτιος θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι το x y είναι παράγοντας του x y. Θεωρούμε τα Ρ(x) = x y, π(x) = x y = x ( y) ως πολυώνυμα του x Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : π(x) είναι υ = Ρ(-y ) = y y Αλλά y y αφού ν άρτιος. Άρα υ = 0 Επομένως το x y είναι παράγοντας του x y. 8. Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της μορφής x. i) 4 Ρ(x) = 4x 7x 1 ii) Q(x) = i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : ( x ) είναι 4 υ = Ρ(ρ ) = 4 7 1 > 0 Επομένως το x δεν είναι παράγοντας του Ρ(x) ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης Q(x) : ( x ) είναι 6 υ = Q(ρ ) = 5 4 < 0 Επομένως το x δεν είναι παράγοντας του Q(x) 6 5x x 4

9.Αν ο ν είναι περιττός θετικός ακέραιος, τότε το x 1 είναι παράγοντας του x 1. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης ( x 1) : ( x 1) 1 0 0 0.0 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 1. 1 0 υ = 0 το x 1 είναι παράγοντας του x 1. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι 1 x x x... x 1. Άρα η ταυτότητα της διαίρεσης ( x 1) : ( x 1) είναι x 1 = ( x 1)( 1 x x x... x 1) 10.i) Να κάνετε τη διαίρεση ( x x 8 ) : ( x) x x 8 x x 6 x x 4 4x 8 4x 8 0 10.ii) Να κάνετε τη διαίρεση ( x x x ) : ( x ) x x x x x x x x 0 x 4

Β. Oμάδας 1. Να αποδείξετε ότι, αν το ν είναι παράγοντας του μ, τότε και το x είναι παράγοντας του x, (μ, ν θετικοί ακέραιοι). ν είναι παράγοντας του μ μ = k.ν, όπου k θετικός ακέραιος. Τότε x = το x k x = ( x k k k = x = ) x x... k1 k k1 είναι παράγοντας του x.. i) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x, α 0 είναι υ = Ρ( ). ii) Να βρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυμο με το x. i) Με την ταυτότητα της διαίρεσης Ρ(x) : (αx + β) έχουμε Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1) x διαιρείται Η (1) για x = Ρ( ).= Ρ( ).= + υ Ρ( ).= 0. + υ Ρ( ). = υ + υ ii) Έστω Ρ(x) = x Tο πολυώνυμο x διαιρείται με το x το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : ( x ) είναι 0, Ρ( ). = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 ( ) = 0 και λόγω του i), 5

β = 0 ή β = 0 ή = 0 β = 0 ή α = β ή α = - β. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 4 Ρ(x) = x 6x 5x x διαιρείται με το ( x 1)( x ) και να βρείτε το πηλίκο. Σχήμα Horner για τη διαίρεση Ρ(x) : ( x 1) 6 5 1 4 1 4 1 0 Οπότε Ρ(x) = ( x 1)( x 4x x ) Θέτουμε x 4x x = π(x). Τότε Ρ(x) = ( x 1) π(x) (1) Σχήμα Horner για τη διαίρεση π(x) : ( x ) 4 1 4 0 0 1 0 Οπότε π(x) = ( x )( x 1) (1) Ρ(x) = ( x 1)( x )( x 1) το Ρ(x) διαιρείται με το ( x 1)( x ) και το πηλίκο είναι x 1 4. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x) = παράγοντες όλους τους παράγοντες του Είναι x x x = x ( x x 1). Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου Άρα οι ρίζες του x x x είναι 0, 1, και οι παράγοντές του είναι x, x 1, Ρ(0) = x 1 x x 1, ν 0 έχει x x x. x x 1, 1 και 1 x 1 0 1 0.0 1 = 1 0 0 1 = 0 το πολυώνυμο x - 0 = x είναι παράγοντας του Ρ(x) Ρ( 1) = 11 ( 1).( 1) 1 = 0 1 + 1 = 0 το πολυώνυμο x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x) 1 6

1 1 1 1 1 1 Ρ( ) = ( ) 1 ( ) ( ) 1 = 1 το πολυώνυμο x είναι παράγοντας του Ρ(x) 11 = 0 5. Να υπολογίσετε τους α,βϵr, για τους οποίους το Ρ(x) = παράγοντα το x 1. 1 x x 1 έχει Το Ρ(x), για να έχει παράγοντα το x 1, πρέπει να έχει παράγοντα και το x 1 Ρ(1) = 0 1.1.1 1 = 0 Ρ(x) = 1 x ( 1)x 1 = 1 = 0 ( 1). (1) Τότε 1 x x x 1 = x (x 1) (x 1) = 1 x (x 1) (x 1)(x x... 1) 1 = (x 1) x x x... 1 1 Θέτουμε x x x... 1 = π(x). Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x). Το Ρ(x), για να έχει παράγοντα το x 1, πρέπει, το π(x) να έχει παράγοντα το x 1 1 π(1) = 0.1 1 1... 1 Η (1) ( 1) = 0 (1 1... 1) = 0 = 0 7

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. Ποιες εξισώσεις μάθαμε να λύνουμε σε προηγούμενες τάξεις ; Τι καλούμαι πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν τι ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης και πως λύνεται αυτή; Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων αx + β = 0, αx + βx + γ = 0 και αx 4 + βx + γ = 0, με α 0 Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυμο, οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις. Συγκεκριμένα: Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής α v x ν + α v-1 x ν-1 + + α 1 x + α 0 = 0, α v 0 Για παράδειγμα, οι εξισώσεις x - 5x + x - = 0 και -x 6 + 5x + 1 = 0 είναι πολυωνυμικές εξισώσεις ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως. Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου P(x) = α v x ν + α v-1 x ν-1 + + α 1 x + α 0, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0. Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου και ου βαθμού, έτσι και για τις πολυωνυμικές εξισώσεις ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσής τους. Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυτού του βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ. Τέλος, έχει αποδειχθεί ότι γενικός τρόπος επίλυσης για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4 δεν υπάρχει. Για τους λόγους αυτούς, για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου από, θα περιοριστούμε στην γνωστή μας παραγοντοποίηση. Η επίλυση μια εξίσωσης με τη μέθοδο αυτή στηρίζεται στην ισοδυναμία P 1 (x) P (x) P k (x) = 0 (P 1 (x) = 0 ή P (x) = 0 ή P k (x) = 0) Δηλαδή, για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση Ρ(x) = 0, παραγοντοποιούμε το Ρ(x) και αναγόμαστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βαθμού.. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα ακέραιων ριζών. Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος ; Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α v x ν + α v-1 x ν-1 + + α 1 x + α 0 = 0, με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. Απόδειξη Αν o ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουμε α v ρ ν + α v-1 ρ ν-1 + + α 1 ρ + α 0 = 0 α 0 = -α v ρ ν - α v-1 ρ ν-1 - - α 1 ρ 8

α 0 = ρ(-α v ρ ν-1 - α v-1 ρ ν- - - α 1 ) Επειδή οι ρ, α 1, α,, α ν είναι ακέραιοι έπεται ότι και -α v ρ ν-1 - α v-1 ρ ν- - - α 1 είναι ακέραιος. Tο αντίστροφο του θεωρήματος δεν αληθεύει. Με άλλα λόγια μπορεί ένας ακέραιος ρ να είναι διαιρέτης του α 0, χωρίς αυτός να είναι κατ' ανάγκη και ρίζα της εξίσωσης. Να λυθεί η εξίσωση x - x + x + = 0. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες ±1, ± του σταθερού όρου. Με το σχήμα Horner εξετάζουμε αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμο P(x) = x - x + x + Έχουμε: 1-1 ρ = 1 1 - -1 P(1) = 1 0 Άρα το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x) 1 - -1 1 1-1 ρ = -1-1 4-5 P(-1) = - 0 Άρα το -1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x) 1-4 5-1 - 1 ρ = - - P() = 0 Άρα το είναι ρίζα του Ρ(x) 1-1 -1 0 Επομένως το x - είναι παράγοντας του Ρ(x). Συγκεκριμένα από το τελευταίο σχήμα έχουμε P(x) = (x - )(x - x - 1) οπότε η εξίσωση γράφεται (x - )(x - x - 1) = 0 και έχει ρίζες τους αριθμούς, και 9

4. Να λυθεί η εξίσωση x 4 + 5x + 9x + 8x + 4 = 0. Οι διαιρέτες του 4 είναι οι: ±1, ±, ±4. Επειδή όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι θετικοί, οι διαιρέτες 1,, και 4 αποκλείεται να είναι ρίζες της. Επομένως οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι -1, -, και -4. βρίσκουμε Ρ(-1) = 1 0, ενώ για ρ = - έχουμε: 1 5 9 8 4 ρ = - - -6-6 -4 1 0 P(-) = 0 Άρα το - είναι ρίζα του P(x) 1 ρ = - - - - 1 1 1 0 Q(-) = 0 Άρα το - είναι ρίζα του Q(x) Επομένως είναι x + x + x + = (x + )(x + x + 1) και η αρχική εξίσωση γράφεται (x + ) (x + x + 1) = 0 Η τελευταία έχει μια μόνο διπλή ρίζα τον αριθμό -. 5. Πως βρίσκουμε το πρόσημο ενός γινομένου πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων πολυωνύμων Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = A(x) B(x)... Φ(x) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες A(x),B(x),..., Φ(x) είναι της μορφής αx + β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής αx + βx + γ (τριώνυμα). Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P(x). 6. Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x R το πρόσημο του γινομένου P(x) = (x 1) (x + x 6) (x + x + 1). 0

Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής : Επειδή x 1 0 x 1 το x 1 είναι θετικό για x >1, μηδέν για x =1 και αρνητικό για x <1. Επειδή x + x 6 0 (x + ) (x ) 0 x ή x το x + x 6 είναι θετικό για x < και για x >, μηδέν για x = και για x = και αρνητικό για < x <. Επειδή x + x + 1 έχει διακρίνουσα = 1 8 = 7 < 0, το τριώνυμο αυτό είναι θετικό για κάθε x R. Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων. Ώστε το γινόμενο P(x) είναι θετικό για < x < 1 και για x >, ενώ είναι αρνητικό για x < και για 1< x <. Τέλος είναι μηδέν για x = για x =1 και για x =. ΣΧΟΛΙΟ : Οι ανισώσεις της μορφής A(x) B(x)... Φ(x) > 0 (<0) λύνονται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο. Για παράδειγμα η ανίσωση (x 1) (x + x 6) (x + x + 1) Προκειμένου να λύσουμε την ανίσωση αυτή αρκεί να βρούμε τις τιμές του x R για τις οποίες το γινόμενοp(x) = (x 1) (x + x 6) (x + x + 1) είναι αρνητικό. Από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα προσήμου του P(x) διαπιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν x (, ) (1,). 7. Να λυθεί η ανίσωση x - x + x + > 0. Αν εργαστούμε όπως στο ερώτηση, η ανίσωση γράφεται (x - )(x - x - 1) > 0 ή (x - )(x - )(x ) > 0. Τοποθετούμε τις ρίζες του P(x) = x - x + x + σε άξονα και παρατηρούμε ότι: Στο 1ο από δεξιά διάστημα (, + ) το Ρ(x) είναι θετικό, αφού όλοι οι παράγοντες είναι θετικοί. Στο επόμενο διάστημα (, ) το Ρ(x) είναι αρνητικό, αφού ένας μόνο παράγοντας, ο x -, είναι αρνητικός. Αν συνεχίσουμε έτσι, βρίσκουμε το πρόσημο του Ρ(x) σε όλα τα διαστήματα όπως φαίνεται στο σχήμα. Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι τα x R, με < x < ή x >. 1

8. Ποιο θεώρημα προσδιορίζει προσεγγιστικά τις ρίζες μιας εξίσωσης ; Δώστε γεωμετρική ερμηνεία. Όταν ο ακριβής προσδιορισμός των ριζών μιας εξίσωσης είναι δύσκολος ή αδύνατος, τότε χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι για να προσδιοριστούν με προσέγγιση οι ρίζες αυτές. Μια τέτοια προσεγγιστική μέθοδος, στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ : Έστω η συνάρτηση f(x) = α v x ν + α v-1 x ν-1 + + α 1 x + α 0 Αν για δυο πραγματικούς αριθμούς α, β με α < β οι τιμές f(α), f(β) της συνάρτησης είναι ετερόσημες, τότε υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 μεταξύ των α, β. Το παραπάνω θεώρημα ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής: Αν η γραφική παράσταση της f περνάει από δυο σημεία Α (α, f(α)) και Β(β,f(β)) που βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x x, τότε αυτή τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β. 9. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση x - x + l = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα μεταξύ των αριθμών 1 και. Στη συνέχεια να βρεθεί μια ρίζα με προσέγγιση δεκάτου. Έστω η συνάρτηση f(x) = x - x + l 1 o βήμα: Έχουμε: ο βήμα: Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία 1,1, 1,, 1,9 και παρατηρούμε ότι: Επομένως υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,5, 1,6) ο βήμα: Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία στο διάστημα (1,5, 1,6) και έχουμε: Επομένως υπάρχει μια ρίζα ρ στο διάστημα (1,5, 1,54) δηλαδή ισχύει 1,5 < ρ < 1,54. Άρα με προσέγγιση δεκάτου είναι ρ = 1,5.

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου A Ομάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση 5x 4 6x 4 5x 6x 0 5x x 5x 6 0 x 0 ή x 0 ή x 0 ή 4 6x 5x 6 0 5x 6 x x 0 ή 5 6 6 x ή 5 x 6 5 1.ii)Να λύσετε την εξίσωση x x 9x 18 0 x x 9x 18 0 x x 9 x 0 1.iii) Να λύσετε την εξίσωση 5 4 x 5x x 5x 1.iv) Να λύσετε την εξίσωση 6 6 x 64 = 0 x = 64 ( x )( x 9) = 0 x = 0 ή x 9 = 0 x ή x 9 x ή x ή x 5 4 x 5x x 5x 5 4 x 5x x 5x 0 x (x 5x x 5) 0 x 0 ή x 0 ή x 5x x 5 0 x(x 1) 5(x 1) 0 x 0 ή ( x 1)(x 5 ) = 0 x 0 ή x 1 = 0 ή x 5 = 0 x 0 ή x 1 ή x 5 x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5 x 6 x 64 = 0 x 64 ή x 64 x ή x 1.v) Να λύσετε την εξίσωση x x 0

Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου : 1, 1,, Σχήμα Horner με ρ = 1 1 1 0 1 Άρα το 1 είναι ρίζα και το x x είναι το πηλίκο 1 Δ = 4 8 = 4 < 0 1 0 Επομένως δεν έχουμε άλλες ρίζες 1.vi) Να λύσετε την εξίσωση x 7x 6 0 α) x 1 = 0 x 1 x 7x 6 0 x x 6x 6 0 x x 1 6 x 1 0 xx 1x 1 6x 1 0 x 1 x x 6 0 β) x x 6 = 0 Δ = 1 + 4 = 5 15 x = ή 1.vii) Να λύσετε την εξίσωση (x 1) + 1 = 0 (x 1) = 1 x 1 1 x 1 1 (x 1) + 1 = 0 x 1 1 x 0 1.viii) Να λύσετε την εξίσωση 7 x 1x x 1x 0 7 x 1x x 1x 0 (x ) (1 x) α) x = 0 x β) (1 x) = 0 1 x (x ) (1 x) x = 0 1 x 1 x γ) x 1 = 0 x 1 7(x ) (1 x) = 0 ( 1x 14 1 x ) = 0 (x ) (1 x) ( x 1 ) = 0 4

1.ix) Να λύσετε την εξίσωση x 8 = 7( x 5x 6) + 9x 6 Βρίσκουμε χωριστά x 8 = x = ( x )( x x 4 ) x 5x 6 = ( x )( x ) 9x 6 = 9( x 4) = 9( x )( x ) Η δοσμένη εξίσωση γράφεται ( x )( x x 4 ) = 7( x )( x ) + 9( x )( x ) = 0 ( x )( x x 4 ) 7( x )( x ) 9( x )( x ) = 0 ( x )[ x x 4 7 ( x ) 9 ( x )] = 0 ( x )( x x 4 7 x 1 9 x + 18) = 0 ( x )( x 18 x + 1) = 0 α) x = 0 x β) x 18 x + 1 = 0 Δ = 4 4 = 0 18 0 x = 18 80 = 9 80 1.x) Να λύσετε την εξίσωση 4 x x 6x 4 0 4 x x 6x 4 0 (x ) x ( x ) = 0 ( x )( x ) x ( x ) = 0 ( x )( x x ) = 0 ( x )( x x ) = 0 α) x = 0 x x ή x β) x x = 0 x = 1 ή x =.i) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης x x x 0 Έστω Ρ(x) = x x x Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου : 1, 1,, Ρ(1) = 1 + 1 + = 1 0 Ρ( 1) = Ρ() = 1 1 1 = 1 1 + = 0. = 8 1 + 4 = 0 ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x),άρα και της εξίσωσης Ρ( ) = = 8 1 + = - 0 0 5

.ii) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης x 8x 15x 4 0 Έστω Ρ(x) = x 8x 15x 4 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 4 : 1, 1,,, 4, 4 Ρ(1) =.1 8.1 15.1 4 = + 8 15 + 4 = 0 ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x),άρα και της εξίσωσης Ρ( 1) =.( 1) 8.( 1) 15.( 1) 4 = + 8 +15 + 4 = 4 0 Ρ() = Ρ( ) = Ρ(4) = Ρ( 4) =. 8. 15. 4 = 4 + 0 + 4 = 0 0 ( ) 8( ) 15.( ) 4 = 4 + + 0 + 4 0.4 8.4 15.4 4 =. 64 + 8.16 60 + 4 0.( 4) 8.( 4) 15.( 4) 4 =.( 64) + 8. 16 + 60 + 4 = 19 + 18 + 64 = 0 ο αριθμός 4 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x), άρα και της εξίσωσης..iii) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης x 10x 1 0 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 1: 1,,, 4, 6, 1 Σχήμα Horner για ρ = 1 0 10 1 4 1 1 6 0 Ο αριθμός είναι ρίζα, και το πηλίκο είναι x x 6 Λύνουμε την εξίσωση x x 6 = 0 8 Δ = 4 + 4 = 8 x = 7 1 7 Άρα η μοναδική ακέραια ρίζα της εξίσωσης είναι ο.iv) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης x x 7x 6 0 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 6: 1,,, 6, Οι θετικοί διαιρέτες δε μπορούν να είναι ρίζες, αφού καθιστούν το πρώτο μέλος της εξίσωσης θετικό. Σχήμα Horner για ρ = 1 1 7 6 1 1 1 6 1 1 6 0 Ο αριθμός 1 είναι ρίζα, και το πηλίκο 6

είναι x x 6 Δ = 1 4 = < 0 Άρα δεν έχουμε άλλες ρίζες 4.i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. Αν η εξίσωση είχε ακέραια ρίζα, αυτή η ρίζα θα ήταν διαιρέτης του σταθερού όρου, δηλαδή θα ήταν 1 ή. Ελέγχουμε αν επαληθεύουν την εξίσωση 4 1.1 = 1 + 4 = 0 4 ( 1).( 1) = 1 = 4 0 4. = 16 + 6 = 0 0 4 ( ).( ) = 16 6 = 8 0 Άρα η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες 4.ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x 6x 4x 5 = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. Αν η εξίσωση είχε ακέραια ρίζα, αυτή η ρίζα θα ήταν διαιρέτης του σταθερού όρου 5, δηλαδή θα ήταν 1 ή 5. Ελέγχουμε ποιος επαληθεύει την εξίσωση 4.1.1 6.1 4.1 5 = + 6 4 + 5 = 14 0 4.( 1).( 1) 6.( 1) 4.( 1) 5 = + + 6 + 4 +5 > 0 4.5.5 6.5 4.5 5 > 0 4.( 5).( 5) 6.( 5) 4.( 5) 5 > 0 Άρα η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες 4.i) Να λύσετε την ανίσωση x x x 6 > 0 x x x 6 > 0 x ( x +) + ( x +) > 0 ( x +)( x +) > 0 ( x + > 0) x + > 0 x > 4 4.ii) Να λύσετε την ανίσωση x 6x x 0x 1 0 Το 1 είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου 1 6 0 1 1 1 5 17 1 1 5 17 1 0 7

Η ανίσωση γράφεται ( x 1)( x 5x 17x 1) 0 Το 1 είναι προφανής ρίζα του πηλίκου 1 5 17 1 1 1 4 1 1 4 1 0 Η ανίσωση γράφεται ( x 1)( x 1)( x 4x 1) 0 Το τριώνυμο x 4x 1 έχει Δ = 16 5 = 6 < 0, άρα είναι ομόσημο του α = 1 δηλαδή θετικό για κάθε x. Επομένως η ανίσωση γράφεται x 1 0 x 1 = 0 x = 1 4.iii) Να λύσετε την ανίσωση x x < 0 Το 1 είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου 1 0 1 1 1 1 1 0 Η ανίσωση γράφεται ( x 1)( x x ) < 0 Το τριώνυμο x x έχει Δ = 1 + 8 = 9 και ρίζες, 1 Επομένως η ανίσωση γράφεται ( x 1) ( x 1) ( x + ) < 0 x 1 ( x ) < 0 Για x = 1, η ανίσωση δεν επαληθεύεται. Για x 1, είναι x 1 > 0, άρα η ανίσωση γίνεται x + < 0 x < 4 4.iv) Να λύσετε την ανίσωση x x x x 6 0 Το 1 είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου 1 1 1 6 1 1 6 1 6 0 Η ανίσωση γράφεται ( x + 1)( x x x 6) 0 και επειδή ( x + 1) x x x ( x + 1)( x )( x +) 0 x + > 0 θα έχουμε ( x + 1)( x ) 0 0 8

Τριώνυμο με ρίζες 1,, ομόσημο του α = 1, άρα ο x εκτός των ριζών, δηλαδή x 1 ή x 5.i) Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα xx και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f( x ) = x x 5x Αναζητάμε τις τιμές του x για τις οποίες είναι f( x ) = 0, δηλαδή αναζητάμε τις ρίζες της εξίσωσης x x 5x = 0 Πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου, δηλαδή 1, 5 6 6 1 0 Η εξίσωση γίνεται ( x )( x x 1) = 0 Το τριώνυμο έχει Δ = 9 1 = 1 < 0, άρα δεν έχει ρίζες. Η εξίσωση γίνεται x = 0 x = Άρα ο άξονας xx και η γραφική παράσταση της f τέμνονται στο σημείο (, 0) 5.ii) Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα xx και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g( x ) = 4x x 1 Αναζητάμε τις τιμές του x για τις οποίες είναι g( x ) = 0, δηλαδή αναζητάμε τις ρίζες της εξίσωσης 4x x 1 = 0 Προφανής ρίζα ο 1 4 0 1 1 4 4 1 4 4 1 0 Η εξίσωση γίνεται ( x 1)( 4x 4x 1) = 0 ( x 1)x 1 = 0 x 1 = 0 ή x + 1 = 0 x = 1 ή x = 1 1 x = 1 ή x = διπλή ρίζα Άρα ο άξονας xx και η γραφική παράσταση της g τέμνονται στο σημείο (1, 0) 1 και εφάπτονται στο, 0 9

6. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της 4 πολυωνυμικής συνάρτησης f( x ) = x 5x x x βρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. Αναζητάμε τις τιμές του x για τις οποίες είναι f( x ) < 0, δηλαδή 4 x 5x x x < 0 1 5 1 1 x ( x 5x x 1) < 0 1 4 1 1 4 1 0 Η ανίσωση γράφεται x ( x 1)( x 4x 1) < 0 Δ = 16 + 4 = 0 4 0 Ρίζες του τριωνύμου x = 4 5 = 5 ή 5 Η ανίσωση γράφεται x ( x 1)[ x ( 5)][ x ( 5)] < 0 x 5 0 1 5 f(x) + + + Άρα τα ζητούμενα διαστήματα είναι ( 5, 0), (1, 5) 7.i) Να λύσετε την εξίσωση 4 Θέτουμε x y Η δοσμένη εξίσωση γίνεται α) y = 16 β) y = 1 8 4 x 15x 16 = 0 y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = 1 4 x = 16 x = ή x = 4 x = 1 που είναι αδύνατη 7.ii) Να λύσετε την εξίσωση x 1 6 9x 1 Θέτουμε x 1 = y Η δοσμένη εξίσωση γίνεται + 8 = 0 y 9y 8= 0 y = 8 ή y = 1 α) y = 8 x 1 = 8 x 1 = x = β) y = 1 x 1 = 1 x 1 = 1 x = 40

7.iii) Να λύσετε την εξίσωση x 6 x1 + 5 x x1 Περιορισμός: x 1 0 x 1 Θέτουμε x x 1 Η δοσμένη εξίσωση γίνεται 6y 5y 6 = 0 Δ = 5 + 144 = 169 y = 5 169 1 α) y = β) y = 5 1 8 = = ή 18 = ή 1 1 1 x x 1 = x = x + x = x x 1 = x = x 5x = x = 8. Να βρεθεί μια ρίζα της εξίσωσης προσέγγιση δεκάτου. 5 x 5x = 0 στο διάστημα (0, 1) με Θέτουμε f(x) = x 5x. Βρίσκουμε τις τιμές f ( 0,1 ), f ( 0, ),... ( 0,9 ). Διαπιστώνουμε ότι οι τιμές f ( 0,5 ), f ( 0,6 ) είναι ετερόσημες. Άρα η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,5, 0,6). Βρίσκουμε τις τιμές f ( 0,51 ), f ( 0,5 ),... ( 0,59 ). Διαπιστώνουμε ότι οι τιμές f ( 0,56 ), f ( 0,57 ) είναι ετερόσημες. Άρα η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,56, 0,57). Επομένως, η ζητούμενη ρίζα είναι ο αριθμός 0,60. 41

Β Oμάδας 1 1 1 4 1.i) Να λύσετε την εξίσωση x x x = 0 10 5 5 1 1 1 4 x x x = 0 x 5x x 8 = 0 10 5 5 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1,, 4, 8 1 5 8 1 1 6 8 1 6 8 0 Η εξίσωση γράφεται ( x 1)( x 6x 8) = 0 Δ = 6 = 4 Ρίζες του τριωνύμου: Ρίζες της εξίσωσης: 1,, 4 6 4 = 6 = ή 4 5 5 1.ii) Να λύσετε την εξίσωση x x x = 0 6 5 5 x x x = 0 6x 5x 44x 15 = 0 6 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1,, 5, 15, διαιρέτες του 15 6 5 44 15 18 9 15 6 1 5 0 Η εξίσωση γράφεται ( x )( 6x 1x 5 ) = 0 Δ = 169 + 10 = 89 1 89 Ρίζες του τριωνύμου: = 1 1 Ρίζες της εξίσωσης:,, 5 1 17 1 = 4 1 ή 0 = 1 1 ή 5. Να βρείτε για ποιες τιμές των α, βϵr το Ρ(x) = 4 x x x 16x 1 έχει παράγοντες τους x + 1 και x. Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0 x + 1 παράγοντας του Ρ(x) Ρ( 1) = 0 4 1 1 1 16 1 1 = 0 1 16 1 = 0 5 (1) 4

x παράγοντας του Ρ(x) Ρ() = 0 4 16. 1 = 0 16 8 4 1 = 0 8 4 = 8 = 7 () Λύνουμε το σύστημα των (1), () και βρίσκουμε α = 4 και β = 1 Για αυτές τις τιμές των α, β έχουμε Ρ(x) = 1 4 1 16 1 1 4 x 4x x 16x 1 1 4 1 1 4 1 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x x 4x 1 ) 1 4 1 10 1 1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x )( x 5x 6) Ρίζες του τριωνύμου:, Τελικά, οι ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 είναι 1,,,.. Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες, η εξίσωση x x kx = 0 έχει μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1,, διαιρέτες του. α) Όταν x = 1, τότε β) Όταν x = 1 τότε γ) Όταν x =, τότε δ) Όταν x =, τότε 1 1 k.1 = 0 k = ( 1) ( 1) k.( 1) = 0 1 1 k + = 0 k = 1 k. = 0 7 9 + k + = 0 k = 1 k = 7 ( ) ( ) k.( ) = 0 7 9 k + = 0 k = k = 11 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x = 0, νϵn,, λϵn*, δεν έχει ακέραιες ρίζες. 4

Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1,, διαιρέτες του. α) Όταν x = 1, τότε 1 1 = 0 λ = 1 λ = 1 άτοπο β) Όταν x = 1, τότε ( 1) ( 1) = 0 ) αν ν άρτιος τότε 1 λ = 0 λ = 1 λ = 1 1 άτοπο ) αν ν περιττός τότε 1 λ = 0 λ = λ = άτοπο γ) Όταν x =, τότε = 0 4λ = άτοπο, αφού τα δύο μέλη είναι ετερόσημα δ) Όταν x = -, τότε ( ) ( ) = 0 ( ) 4 = 0 4λ = ( ) δ 1 ) αν ν άρτιος τότε 4λ = άτοπο, αφού τα δύο μέλη είναι ετερόσημα δ ) αν ν περιττός τότε 4λ = + λ = 1 + άτοπο, αφού το δεύτερο μέλος δεν είναι ακέραιος. 6 4 5. Αν Ρ(x) = x 5x 10x k, να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x). Για αυτές τις τιμές του k να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0. x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x) Ρ(1) = 0 6 4 1 5.1 10.1 k = 0 1 5 10 + k = 0 k = 14 6 4 Η εξίσωση Ρ(x) = 0 γίνεται x 5x 10x 14 = 0 Θέτουμε x y, οπότε y 5y 10y 14 = 0 1 5 10 14 1 1 4 14 1 4 14 0 Η εξίσωση γίνεται (y 1)( y 4y 14 ) = 0 Δ = 16 +56 = 7 Ρίζες του τριωνύμου y 4y 14 : 4 7 = 4 6 = + ή α) για y = 1, θα έχουμε β) για y = + θα έχουμε γ) y = θα έχουμε x 1 x = 1 ή x = 1 x = + x = x = άτοπο, αφού < 0 44

6. Για να κατασκευάσουμε ένα ανοικτό κουτί από ένα ορθογώνιο χαρτόνι με διαστάσεις 5dm και 9dm, κόβουμε ίσα τετράγωνα από κάθε γωνία του και γυρίζουμε προς τα πάνω τις πλευρές του. Να βρείτε τις διαστάσεις του κουτιού, αν είναι γνωστό ότι αυτές εκφράζονται σε dm με ακέραιους αριθμούς και ακόμη ότι ο όγκος του είναι 1 dm. Οι διαστάσεις του κουτιού θα είναι 9 x, 5 x, x και ο όγκος του (9 x)( 5 x) x = 1 4x 8x 45x 1 0 Οι πιθανές θετικές ακέραιες ρίζες και μικρότερες του 5 είναι οι διαιρέτες 1 και του σταθερού όρου 1. 4 8 45 1 1 4 4 1 4 4 1 0 Η εξίσωση γίνεται (x 1)( 4x 4x 1) = 0 Δ = 576 6 = 40 που δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Επομένως η εξίσωση δεν έχει άλλη ακέραια ρίζα εκτός του 1. Οι διαστάσεις του κουτιού είναι 1, 9.1 = 7, 5.1 =. 7. Η συγκέντρωση μιας χημικής ουσίας στο αίμα t ώρες μετά από ενδομυϊκή ένεση δίνεται από τον τύπο c = 4 t t. Η συγκέντρωση είναι μέγιστη, όταν t 50 t t 00t 00 = 0. Να υπολογίσετε με προσέγγιση δεκάτου το χρόνο t καθώς και τη μέγιστη συγκέντρωση. 4 t t 00t 00 = 0 Με δοκιμές μπορούμε να έχουμε 4 < ( 100) < 5 (4,6) < (4,64) < ( 100) < ( 100) < (4,7) (4,65) t (t + ) 100(t + ) = 0 (t + )( t 100) = 0 t + = 0 ή t 100 = 0 t = ή t = 100 t = (απορρίπτεται, t 0 ) ή t = 100 x x Επομένως ο χρόνος με προσέγγιση δεκάτου είναι t 4,6..(4,6) 4,6 Η μέγιστη συγκέντρωση είναι c = = 100 50. 1,16 4,6 150 = 68,08 0,45 150 45

8. Αν ο όγκος του διπλανού σχήματος είναι 6 m, να βρείτε το x. Θα έχουμε την εξίσωση x. x. ( x + 1) = 6 x ( x + 1) 6 = 0 x x 6 = 0 Με επαλήθευση, ο είναι προφανής ρίζα 1 x x x 1 1 0 6 1 6 1 4 1 0 Η εξίσωση γράφεται ( x )( x 4x 1 ) = 0 Δ = 16 48 < 0, άρα το τριώνυμο δεν έχει ρίζες. Επομένως, η εξίσωση γράφεται x = 0 x = 9. Ένα παγόβουνο σύρεται από την Ανταρκτική προς την Αφρική. Αν ο όγκος του V, μετά από ν ημέρες, δίνεται από τον τύπο 500 V = (000 100 0 ), να βρείτε μετά πόσο χρόνο το παγόβουνο θα λιώσει τελείως. 500 V = 0 (000 100 0 ) = 0 000 100 0 = 0 100(0 ν) + (0 ν) = 0 (0 ν)(100 + ) = 0 0 ν ν = 0 ημέρες. 10. Σε χρόνο t δευτερολέπτων μετά την πρόσκρουση φορτηγού σε κιγκλίδωμα του δρόμου, η παραμόρφωση σε mm του κιγκλιδώματος δίνεται από τον τύπο d = 15t( t 6t 9 ). Σε πόσο χρόνο μετά την πρόσκρουση η μπάρα του κιγκλιδώματος θα επανέλθει στην αρχική της θέση; Με την προϋπόθεση ότι η η παραμόρφωση αποκαθίσταται στον ίδιο χρόνο που συνέβη, θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση d = 0 15t( t 6t 9 ) = 0 t 6t 9 = 0. Με επαλήθευση, ο είναι προφανής ρίζα 1 0 6 9 9 9 1 0 Η εξίσωση γράφεται ( t )( t t ) = 0 46

Δ = 9 1 = < 0, άρα το τριώνυμο δεν έχει ρίζες. Επομένως, η εξίσωση γράφεται t = 0 t = 11. Ένα πακέτο σχήματος (ορθογωνίου) παραλληλεπιπέδου, για να σταλεί με το ταχυδρομείο, πρέπει το άθροισμα του μήκους του με την περίμετρο μιας κάθετης τομής του να μην υπερβαίνει τα 108 cm. Να βρεθούν οι διαστάσεις του πακέτου, αν γνωρίζουμε ότι ο όγκος του είναι 11664 cm. 11664 Θα έχουμε την εξίσωση xy = 11664 y = x και την ανίσωση y + 4x 108 11664 + 4x 108 x 11664 + 4 x 108x y x x x 108x + 11664 0 4 x 7x + 916 0 Με επαλήθευση βρίσκουμε ότι ο 9 είναι ρίζα του πολυωνύμου 1 7 0 916 9 9 4 916 1 6 4 0 Η ανίσωση γράφεται ( x + 9)( x 6x 4 ) 0 ( x + 9)x 18 0 x + 9 0 ή x 18 = 0 x 9 ή x = 18 Οι τιμές x 9 δεν είναι δεκτές, αφού x > 0. 11664 11664 Άρα οι διαστάσεις είναι 18, 18 και y = = = 6 x 18 1. i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία Α(1, ) και Β 1, 1. ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία αυτή τέμνει την καμπύλη y = x x για τα x που είναι ρίζες της εξίσωσης x x 5x = 0. iii) Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους Γ. 47

i) Έστω ε : y x η ευθεία ΑΒ. = λ 1 + β λ = β 1 = λ 1 + β 1 = λ +β 1 = β + β β = λ = β = (- ) = + = 5 Άρα ε : y 5x ii) Οι συντεταγμένες των κοινών σημείων των δύο γραμμών είναι οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεών τους y 5x και y = x x iii) 1 1 5 1 x x x = 5x x 5x = 0 1 1 0 Η εξίσωση γράφεται ( x 1)( x x ) = 0 Δ = 4 + 1 = 16 Ρίζες του τριωνύμου: 4 = 1 ή. Παρατηρούμε ότι ο 1 είναι διπλή ρίζα της εξίσωσης, άρα το κοινό σημείο των δύο γραμμών με τετμημένη 1 είναι σημείο επαφής. Το σημείο τομής τους έχει τετμημένη και τεταγμένη y = 5.( ) = 18. Άρα Γ(, 18) 1. Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει μικρά δοχεία για χυμούς φρούτων. Το τμήμα σχεδιασμού του εργοστασίου έλαβε τρεις παραγγελίες: x α) Ο πρώτος πελάτης θέλει κουτιά που να χωρούν 00ml και με διαστάσεις, που να διαφέρουν κατά 1cm. Να αποδειχθεί ότι το τμήμα έχει να λύσει την εξίσωση x x x 00 = 0. Μπορείτε να τους βοηθήσετε να βρουν το x με προσέγγιση ενός mm; β) Ο δεύτερος πελάτης θέλει τενεκεδάκια κυλινδρικά που να χωρούν 1lit και να έχουν ύψος 10cm μεγαλύτερο από το μήκος της ακτίνας τους. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση αυτή τη φορά είναι r 10r 18 = 0 και να βρεθεί το r με με προσέγγιση ενός mm. χυμός ροδάκινο x+1 r+10 χυμός μήλο r x+ γ) Ο τρίτος πελάτης ζήτησε κουτιά σε σχήμα τετραγωνικής πυραμίδας, που να χωρούν 50ml, με πλευρά βάσης 5cm μεγαλύτερη από το ύψος. Να βρεθεί η εξίσωση και στη συνέχεια μια κατά προσέγγιση τιμή του ύψους h (προσέγγιση χιλιοστού). χυμός αχλάδι h+5 h 48

α) Θα έχουμε την εξίσωση x ( x +1)( x +) = 00 x x x 00 = 0 Θέτουμε f(x) = x x x 00 Οι τιμές f(4) = 80, f(5) = 10 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα x με 4 < x < 5 Οι τιμές f(4,9) = 0,5, f(5) = 10 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα x με 4,9 < x < 5 Οι τιμές f(4,9) = 0,5, f(4,91) = 0,5 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα x με 4,90 < x < 4,91 Άρα x 4,9 cm = 49 mm β) Θα έχουμε την εξίσωση π r (r + 10) = 1000 1000 r 10r Θέτουμε g(r) = r 10r 18 r r 10r = 18 10r 18 = 0 Οι τιμές g(4) = 94, g(5) = 57 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα r με 4 < r < 5 Οι τιμές g(4,6) = 9,07, g(4,7) = 6,7 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα r με 4,6 < r < 4,7 Οι τιμές g(4,65) = 1,4, g(4,66) = 0,4 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα r με 4,65 < r < 4,66 Άρα r = 4,7 cm = 47 mm γ) Θα έχουμε την εξίσωση Θέτουμε q(h) = 1 h 5 h = 50 ( h 10h 5) h = 750 h 10h 5h 750 = 0 h 10h 5h 750 Οι τιμές q(6) = 4, q(7) = 58 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα h με 6 < h < 7 Οι τιμές q(6,0) = 4, q(6,1) = 1,58 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα h με 6,0 < h < 6,1 Οι τιμές q(6,09) = 101, q(6,10) = 1,58 είναι ετερόσημες, άρα υπάρχει ρίζα h με 6,09 < h < 6,10 Άρα h = 6,1cm = 61mm 49

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Υπάρχουν εξισώσεις, οι οποίες δεν είναι πολυωνυμικές, αλλά με κατάλληλη διαδικασία η λύση τους ανάγεται στη λύση πολυωνυμικών 1. Να λυθεί η εξίσωση x + - = 0. Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x R με x 0 και x 1/. Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε: x + - = 0 χ(χ-1)x + χ(χ-1) - χ(χ-1) = χ(χ-1) 0 x 4 - x + x - 1 = 0 x (x - 1) + x - 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0 Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς 1/ και -1. Λόγω των περιορισμών δεκτή είναι μόνο η x = -1.. Να λυθεί η εξίσωση = x -. Η εξίσωση ορίζεται για x 0. Αν υψώσουμε και τα δυο μέλη της στο τετράγωνο, προκύπτει η εξίσωση x = x - 4x + 4, η οποία γράφεται x - 5x + 4 = 0 και έχει ως ρίζες τις x 1 = 4 και x = 1. Οι τιμές αυτές του x, αν και ικανοποιούν τον περιορισμό x 0 δεν είναι και οι δύο ρίζες της αρχικής εξίσωσης, Πράγματι αν θέσουμε τις τιμές αυτές στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε: Για x = 4 : 4 = 4 - που είναι αληθής ισότητα. Για x = 1 : 1 = 1 - που δεν είναι αληθής ισότητα. Άρα η αρχική εξίσωση έχει ως μοναδική ρίζα την x = 4. ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω παράδειγμα προκύπτει ότι, αν υψώσουμε τα μέλη μιας εξίσωσης στο τετράγωνο, τότε η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να έχει και άλλες ρίζες εκτός από τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Είναι λοιπόν απαραίτητο σε τέτοιες περιπτώσεις να κάνουμε επαλήθευση των ριζών που βρίσκουμε και να απορρίπτουμε όσες από αυτές δεν επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.. Να λυθεί η εξίσωση - x =. Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x R με x - 7. Γι' αυτά τα x διαδοχικά έχουμε: (απομονώνουμε το ριζικό) = x + (υψώνουμε στο τετράγωνο) ( ) = (x + ) x + 7 = x + 4x + 4 x + x - = 0 Η τελευταία εξίσωση έχει ως ρίζες τους αριθμούς - και 1. Από τις ρίζες αυτές διαπιστώνουμε με επαλήθευση ότι μόνο η x = l είναι ρίζα της αρχικής. 50

4. Να λυθεί η εξίσωση - = 1. Η εξίσωση ορίζεται για τα x R, για τα οποία ισχύουν x + 6 0 και x + 4 0, δηλαδή για τα x -. Γι' αυτά τα x διαδοχικά έχουμε: (απομονώνουμε το ριζικό) = 1 + (υψώνουμε στο τετράγωνο) ( ) = (1 + ) x + 6 = 1 + + x + 4 x + 1 = (υψώνουμε στο τετράγωνο) (x + 1) = 4(x + 4) x - x + 15 = 0 Η τελευταία εξίσωση έχει ως ρίζες τους αριθμούς - και 5. Από τις ρίζες αυτές διαπιστώνουμε με επαλήθευση ότι μόνο η x = 5 είναι ρίζα της αρχικής. ΣΧΟΛΙΟ Εξισώσεις όπως αυτές των, και 4, όπου παραστάσεις του x βρίσκονται κάτω από ριζικά, ανήκουν σε μια κατηγορία εξισώσεων που λέγονται ά ρ ρ η τ ε ς. Ανισώσεις της μορφής A(x)B(x) > 0 (<0) Όπως γνωρίζουμε το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι ομόσημα. Επομένως : αφού, καμία από τις λύσεις της A(x) B(x) > 0 και της A(x) B(x) < 0 δεν μηδενίζει το Β(x). ΣΧΟΛΙΟ Μία ανίσωση της μορφής A(x) / B(x) 0 αληθεύει για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως A(x) B(x) 0 και B(x) 0. 5. Να λυθεί η ανίσωση (x 4x + ) / (x + x 4) 0. Οι ρίζες του τριωνύμου x 4x + είναι οι 1 και, ενώ του τριωνύμου x + x 4 είναι οι 1 και 4. Περιορισμοί : χ 1 και χ -4 Συντάσσουμε τον πίνακα προσήμου του γινομένου : P(x) = (x 4x + )(x + x 4) 51

Άρα η ανίσωση αληθεύει όταν x (, 4) [,+ ). 5