ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Γ Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
1. Παραδείγματα εφαρμογής του Κριτηρίου Ευστάθειας μέσω του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών 3.3.1 Παράδειγμα 1 ο Ζητείται ο χαρακτηρισμός ως προς την ευστάθεια ενός συστήματος που έχει το ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων, με μεταβλητή απολαβή του ενισχυτή > 0, συνάρτηση μεταφοράς στον ευθύ κλάδο G(s) = 1/[ (s+1) 3 ] και μοναδιαία αρνητική ανάδραση H(s) = 1 : X(s) - G(s) Y(s) H(s) = 1 Η ΣΜΑΒ του συστήματος αυτού είναι η GH () s. 3 3 2 ( s 1) s 3s 3s 1 Έχει n = 3 πόλους και συγκεκριμένα τριπλό πόλο στο (-1, 0) (τρεις αφετηρίες x στο ίδιο σημείο) και m = 0 (πεπερασμένα) μηδενικά, άρα n m = 3 μηδενικά στο άπειρο, στα άκρα των τριών ασυμπτώτων ε 0, ε 1, ε 2 με κλίσεις 60 ο, 180 ο και 300 ο, αντίστοιχα. Το σημείο τομής των ασυμπτώτων είναι το (-1, 0). Το ανοιχτό διάστημα (, 1) του οριζόντιου άξονα xx ανήκει στο ΓΤΡ. Δεν έχει σημείο θλάσης. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ο ΓΤΡ του συγκεκριμένου συστήματος, όπως χαράχθηκε στο περιβάλλον Matlab με τις εντολές: Root Locus plot for system with Open-Loop Transfer Function GH(s) = / [(s+1)^3] = / (s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1) >> GH = tf([1], [1 3 3 1]); >> rlocus(gh) Διακρίνουμε ότι ο ΓΤΡ έχει τρεις κλάδους, οι οποίοι έχουν χαραχθεί με κόκκινο, πράσινο και μπλε χρώμα, αντίστοιχα:
Ως προς την ευστάθεια, παρατηρούμε ότι: (i) Ο 1 ος πόλος του κλειστού συστήματος κινείται πάνω στον πρώτο κλάδο του ΓΤΡ (κόκκινη γραμμή στο ΓΤΡ). Ξεκινά από την αφετηρία του (σημείο x στο (- 1, 0) για = 0) και καθώς το αυξάνει κινείται προς το τέρμα του (σημείο o στο (, 0) για -> ) παραμένοντας πάντα στο ΑΜΗ. Άρα ο πρώτος πόλος του κλειστού συστήματος είναι ευσταθής πόλος (χωρίς συνθήκη). (ii) Ο 2 ος πόλος του κλειστού συστήματος κινείται πάνω στο δεύτερο κλάδο του ΓΤΡ (πράσινη γραμμή στο ΓΤΡ). Ξεκινά από την αφετηρία του (σημείο x στο (-1, 0) για = 0) και, καθώς το αυξάνει, εγκαταλείπει τον οριζόντιο άξονα ακολουθώντας την πράσινη καμπύλη (εδώ πρόκειται για ευθεία) και κινείται προς το τέρμα του (σημείο o στο άκρο της ασύμπτωτης ε 2 με κλίση 300 o = - 60 o ). Για κάποια συγκεκριμένη τιμή του, διασχίζει τον κατακόρυφο άξονα, οπότε περνά στο ΔΜΗ και γίνεται ασταθής. Άρα ο 2 ος πόλος του κλειστού συστήματος είναι Ευσταθής υπό Συνθήκη. (iii) Ο 3 ος πόλος του κλειστού συστήματος κινείται πάνω στο τρίτο κλάδο του ΓΤΡ (μπλε γραμμή στο ΓΤΡ). Ξεκινά από την αφετηρία του (σημείο x στο (-1, 0) για = 0) και, καθώς το αυξάνει, εγκαταλείπει τον οριζόντιο άξονα ακολουθώντας την μπλε καμπύλη (εδώ πρόκειται για ευθεία) και κινείται προς το τέρμα του (σημείο o στο άκρο της ασύμπτωτης ε 0 με κλίση 60 o ). Για συγκεκριμένη τιμή του, διασχίζει τον κατακόρυφο άξονα, οπότε περνά στο ΔΜΗ και γίνεται ασταθής. Άρα ο 3 ος πόλος του κλειστού συστήματος είναι Ευσταθής υπό Συνθήκη. Παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάνει από 0 προς άπειρο, όλοι οι πόλοι του κλειστού συστήματος κινούνται εντελώς συμμετρικά ως προς τον οριζόντιο άξονα. Ειδικά ο 2 ος και ο 3 ος πόλος διατηρούν πάντα συζυγείς μιγαδικές τιμές. Με βάση τα ανωτέρω, αποκλείονται οι δύο πρώτες περιπτώσεις του Κριτηρίου Ευστάθειας και γίνεται δεκτή η τρίτη περίπτωση, δηλαδή το κλειστό σύστημα είναι Ευσταθές Υπό Συνθήκη.
3.3.2 Παράδειγμα 2 ο Ζητείται ο χαρακτηρισμός ως προς την ευστάθεια ενός συστήματος που έχει το ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων, με μεταβλητή απολαβή του ενισχυτή > 0, συνάρτηση μεταφοράς στον ευθύ κλάδο G(s) = 1/[ s(s+2)] και μοναδιαία αρνητική ανάδραση H(s) = 1 : X(s) - G(s) Y(s) H(s) = 1 Η ΣΜΑΒ του συστήματος αυτού είναι η GH () s 2 s( s 2) s 2s Έχει n = 2 πόλους στα σημεία (0, 0) και (-2, 0) και m = 0 (πεπερασμένα) μηδενικά, άρα n m = 2 μηδενικά στο άπειρο, στα άκρα των τριών ασυμπτώτων ε 0, ε 1 με κλίσεις 90 ο και 270 ο, αντίστοιχα. Το σημείο τομής των ασυμπτώτων είναι το (-1, 0). Το ανοιχτό διάστημα ( 2, 0) του οριζόντιου άξονα xx ανήκει στο ΓΤΡ. Υπάρχει ένα σημείο θλάσης εντός του διαστήματος αυτού και συγκεκριμένα στο μέσον του, στο ( 1, 0). Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ο ΓΤΡ του συγκεκριμένου συστήματος, όπως χαράχθηκε στο περιβάλλον Matlab με τις εντολές:. Root Locus plot for system with Open-Loop Transfer Function GH(s) = / [s(s+2)] = / (s^2 + 2 s) >> GH = tf([1], [1 2 0]); >> rlocus(gh) Διακρίνουμε ότι ο ΓΤΡ έχει δύο κλάδους, οι οποίοι έχουν χαραχθεί με πράσινο και μπλε χρώμα, αντίστοιχα:
Ως προς την ευστάθεια, παρατηρούμε ότι: (i) Ο 1 ος πόλος του κλειστού συστήματος κινείται πάνω στον πρώτο κλάδο του ΓΤΡ (πράσινη γραμμή στο ΓΤΡ). Ξεκινά από την αφετηρία του (σημείο x στο (-2, 0) για = 0) και, καθώς το αυξάνει, κινείται αρχικά πάνω στον οριζόντιο άξονα, μέχρι το σημείο θλάσης (-1, 0) όπου συναντάται με τον 2 ο πόλου που έρχεται από την αντίθετη κατεύθυνση. Καθώς το συνεχίζει να αυξάνει, εγκαταλείπει τον οριζόντιο άξονα ακολουθώντας την πράσινη γραμμή (εδώ πρόκειται για ευθεία) και κινείται κατακόρυφα προς το τέρμα του (σημείο o στο άκρο της ασύμπτωτης ε 1 με κλίση 270 o ). Σε όλη αυτή τη διαδρομή παραμένει στο ΑΜΗ. Άρα ο 1 ος πόλος του κλειστού συστήματος είναι Ευσταθής (χωρίς Συνθήκη). (ii) Ο 2 ος πόλος του κλειστού συστήματος κινείται πάνω στο δεύτερο κλάδο του ΓΤΡ (μπλε γραμμή στο ΓΤΡ). Ξεκινά από την αφετηρία του (σημείο x στο (0, 0) για = 0) και, καθώς το αυξάνει, κινείται αρχικά πάνω στον οριζόντιο άξονα, μέχρι το σημείο θλάσης (-1, 0) όπου συναντάται με τον 1 ο πόλου που έρχεται από την αντίθετη κατεύθυνση. Καθώς το συνεχίζει να αυξάνει, εγκαταλείπει τον οριζόντιο άξονα ακολουθώντας την μπλε γραμμή (εδώ πρόκειται για ευθεία) και κινείται προς το τέρμα του (σημείο o στο άκρο της ασύμπτωτης ε 0 με κλίση 90 o ). Σε όλη αυτή τη διαδρομή παραμένει στο ΑΜΗ. Άρα ο 2 ος πόλος του κλειστού συστήματος είναι Ευσταθής (χωρίς Συνθήκη). Παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάνει από 0 προς άπειρο, οι πόλοι του κλειστού συστήματος κινούνται εντελώς συμμετρικά ως προς τον οριζόντιο άξονα, στην αρχή πάνω του και στη συνέχεια (μετά το σημείο θλάσης) πάντα σε συζυγείς μιγαδικές τιμές.
Με βάση τα ανωτέρω, αποκλείεται η πρώτη περίπτωση του Κριτηρίου Ευστάθειας και γίνεται δεκτή η δεύτερη περίπτωση, δηλαδή το κλειστό σύστημα είναι Ευσταθές (χωρίς Συνθήκη). 3.3.3 Παράδειγμα 3 ο Ζητείται ο χαρακτηρισμός ως προς την ευστάθεια ενός συστήματος που έχει το ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων, με μεταβλητή απολαβή του ενισχυτή > 0, συνάρτηση μεταφοράς στον ευθύ κλάδο G(s) = 1/[ s 2 (s+1)] και μοναδιαία αρνητική ανάδραση H(s) = 1 : X(s) - G(s) Y(s) H(s) = 1 Η ΣΜΑΒ του συστήματος αυτού είναι η GH () s s ( s 1) s s 2 3 2. Έχει n = 3 πόλους και συγκεκριμένα διπλό πόλο στο (0, 0) (δύο αφετηρίες x στο ίδιο σημείο) και ένα πόλο στο (-1, 0) και m = 0 (πεπερασμένα) μηδενικά, άρα n m = 3 μηδενικά στο άπειρο, στα άκρα των τριών ασυμπτώτων ε 0, ε 1, ε 2 με κλίσεις 60 ο, 180 ο και 300 ο, αντίστοιχα. Το σημείο τομής των ασυμπτώτων είναι το (-1/3, 0). Το ανοιχτό διάστημα (, 1) του οριζόντιου άξονα xx ανήκει στο ΓΤΡ. Δεν έχει σημείο θλάσης. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ο ΓΤΡ του συγκεκριμένου συστήματος, όπως χαράχθηκε στο περιβάλλον Matlab με τις εντολές: Root Locus plot for system with Open-Loop Transfer Function GH(s) = / [s^2(s+1)] = / (s^3 + s^2) >> GH = tf([1], [1 1 0 0]); >> rlocus(gh)
Διακρίνουμε ότι ο ΓΤΡ έχει τρεις κλάδους, οι οποίοι έχουν χαραχθεί με κόκκινο, πράσινο και μπλε χρώμα, αντίστοιχα: Ως προς την ευστάθεια, παρατηρούμε ότι: (i) Ο 1 ος πόλος του κλειστού συστήματος κινείται πάνω στον πρώτο κλάδο του ΓΤΡ (κόκκινη γραμμή στο ΓΤΡ). Ξεκινά από την αφετηρία του (σημείο x στο (- 1, 0) για = 0) και καθώς το αυξάνει κινείται προς το τέρμα του (σημείο o στο (, 0) για -> ) παραμένοντας πάντα στο ΑΜΗ. Άρα ο 1 ος πόλος του κλειστού συστήματος είναι ευσταθής (χωρίς συνθήκη). (ii) Ο 2 ος πόλος του κλειστού συστήματος κινείται πάνω στο δεύτερο κλάδο του ΓΤΡ (πράσινη γραμμή στο ΓΤΡ). Ξεκινά από την αφετηρία του (σημείο x στο (0, 0) για = 0) και, καθώς το αυξάνει, εγκαταλείπει τον οριζόντιο άξονα ακολουθώντας την πράσινη καμπύλη και κινείται προς το τέρμα του (σημείο o στο άκρο της ασύμπτωτης ε 2 με κλίση 300 o = - 60 o ). Σε όλη τη διαδρομή του κινείται μέσα στο ΔΜΗ. Άρα ο 2 ος πόλος του κλειστού συστήματος είναι ασταθής (χωρίς συνθήκη). (iii) Ο 3 ος πόλος του κλειστού συστήματος κινείται πάνω στο τρίτο κλάδο του ΓΤΡ (μπλε γραμμή στο ΓΤΡ). Ξεκινά από την αφετηρία του (σημείο x στο (0, 0) για = 0) και, καθώς το αυξάνει, εγκαταλείπει τον οριζόντιο άξονα ακολουθώντας την μπλε καμπύλη και κινείται προς το τέρμα του (σημείο o στο άκρο της ασύμπτωτης ε 0 με κλίση 60 o ). Σε όλη τη διαδρομή του κινείται μέσα στο ΔΜΗ. Άρα ο 3 ος πόλος του κλειστού συστήματος είναι ασταθής (χωρίς συνθήκη). Παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάνει από 0 προς άπειρο, όλοι οι πόλοι του κλειστού συστήματος κινούνται εντελώς συμμετρικά ως προς τον οριζόντιο άξονα. Ειδικά ο 2 ος και ο 3 ος πόλος διατηρούν πάντα συζυγείς μιγαδικές τιμές.
Με βάση τα ανωτέρω, γίνεται δεκτή η πρώτη περίπτωση του Κριτηρίου Ευστάθειας δηλαδή το κλειστό σύστημα είναι Ασταθές (χωρίς Συνθήκη).