Q U A N T U M E L E C T R O D Y N A M I C S

Q U A N T U M E L E C T R O D Y N A M I C S ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού προγράατος σπουδών. ΙΩΑΝΝΗΣ Ε. ΣΦΑΕΛΟΣ

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κανόνες Feynman. Ελαστική σκέδαση ηλεκτρονίου από εξωτερικό στατικό πεδίο 3. Οαλοποίηση Επανακανονικοποίηση. Υπολογισός διορθωένης ενεργού διατοής στην ελαστική σκέδαση ηλεκτρονίου από εξωτερικό στατικό πεδίο 5. Σκέδαση ηλεκτρονίου ηλεκτρονίου + + 6. ιαδικασία παραγωγής ιονίων : e e 7. Σκέδαση ηλεκτρονίου ποζιτρονίου 8. Υπολογισός πλάτους σκέδασης σε εγαλύτερες τάξεις

. Κανόνες Feynman (i) Σε κάθε κορυφή του διαγράατος αντιστοιχούε τον όρο : -ieγ. Για την ϖερίϖτωση του Σχ., όϖου έχουε ία κορυφή φωτονίουηλεκτρονίου θα έχουε : (-ie) γ (π) δ(p-p -k). Σχ. (ii) Σε κάθε εν δυνάει φωτόνιο ορής k (Σχ. ), αντιστοιχούε -igν τον όρο : id F (k) ν k +iε Σχ. (iii) Σε κάθε εν δυνάει φεριόνιο ορής p (Σχ. 3), αντιστοιχούε τον όρο : is (p) i p+ m / F p-m+iε / p m+ iε (iv) Για τα πραγατικά σωάτια : Σχ. 3 Σχ.

5 Σχ. 5 Αρχικό ηλεκτρόνιο : u(p,s) Σχ. (α) Τελικό ηλεκτρόνιο : u(p,s) Σχ. (β) Αρχικό ποζιτρόνιο : υ (p,s) Σχ. (δ) Τελικό ποζιτρόνιο : υ (p,s) Σχ. (γ) Αρχικό φωτόνιο : ε(k,λ) Σχ. 5(στ) * Τελικό φωτόνιο : ε (k,λ) Σχ. 5(ε)

6. Ελαστική σκέδαση ηλεκτρονίου από εξωτερικό στατικό πεδίο. Σχ. 6 Στο Σχ. 6, βλέπουε το διάγραα Feynman στην χαηλότερης τάξης προσέγγιση. Το πλάτος Feynman, δίνεται από την σχέση : ( o) M ieou ( p ) A/ e( p -p) u( p ) (-) Στην προσέγγιση δεύτερης τάξης, η σκέδαση γίνεται έσω των τεσσάρων διαδικασιών, οι οποίες περιγράφονται από τα παρακάτω διαγράατα Feynman (Σχ. 7). Στο κάθε διάγραα αυτού του σχήατος, πορεί να θεωρηθεί σαν ια τροποποίηση του διαγράατος χαηλότερης τάξης (Σχ. 6), ε τις αντιστοιχίσεις που φαίνονται στο Σχ. 8. Για παράδειγα, το διάγραα Feynman (α - Σχ. 7) προέκυψε, κάνοντας την αντικατάσταση του διαγράατος (α Σχ. 8), στην εισερχόενη γραή του ηλεκτρονίου του διαγράατος ( Σχ. 6 ), κ.ο.κ. Στο Σχ. 8 φαίνονται και οι τρεις απαιτούενες αντικαταστάσεις, από τις οποίες στο (α) έχουε το κοάτι της αυτοενέργειας του ηλεκτρονίου, στο (β) το κοάτι της αυτοενέργειας του φωτονίου (vacuum polarization) και στο (γ) το κοάτι κορυφής, οι αθηατικές περιγραφές των οποίων σύφωνα ε τους κανόνες του Feynman είναι αντίστοιχα : ie o Σ HpL Hie ol H πl d kid F ν HkL γ is F Hp kl γ ν H L

7 Σχ. 7 ν ( ie ) ν ieπ ( q) ( ) Tr d pγ is ( ) ( ) F p+ q γ isf p ( π ) (-3) ( ie ) α β αβ eλ ( p, p) d kγ is ( ) ( ) ( ) F p k γ isf p k γ idf k ( π ) (-) Tα πλάτη Feynman για τα διαγράατα (α),(b),(c),(d) του Σχ. 7 είναι αντίστοιχα : () / (-5) M a ie u(p )A (p - p)is (p)ieσ(p)u(p) o e F o

8 Σχ. 8 M ie u(p )ie Σ (p )is (p )A/ (p - p)u(p) (-6) () o o F e b M ie u ( p ) γ u( p) id ( q) ieπ ( q) A/ ( p - p) u( p) (-7) () λ λ ν c o F o eν (, ) M ie u(p )eλ p p u(p)a (p - p) () d o o e / (-8)

9 3. Οαλοποίηση - Επανακανονικοποίηση Θα περίενε κανείς ότι η χρήση των όρων (-),(-3),(-) να βελτιώνει τα αποτελέσατα. Εν τούτοις όως, τα ολοκληρώατα που εφανίζονται σ αυτούς τους όρους αποκλίνουν, τόσο για τις εγάλες τιές των k,p όσο και για τις πολύ ικρές τιές του k. Κατά συνέπεια, τα αποτελέσατα δεν θα έχουν φυσική έννοια. Eξ άλλου είχε γίνει αντιληπτό ότι οι γραές στα διαγράατα Feynman παριστάνουν γυνά ηλεκτρόνια και όχι πραγατικά ηλεκτρόνια που παρατηρούε στο εργαστήριο. Τα πραγατικά ηλεκτρόνια είναι ντυένα, δηλαδή συνέχεια εκπέπουν και απορροφούν ενδιάεσα φωτόνια. H άρση αυτού του προβλήατος γίνεται σε δύο βήατα : ) Πρώτα η θεωρία «οαλοποιείται», δηλαδή γίνονται επεβάσεις π.χ. ε χρησιοποίηση ιας παραέτρου αποκοπής (cut-off) Λ, σύφωνα ε την οποία η υπό ολοκλήρωση ποσότητα πολλαπλασιάζεται ε ια κατάλληλη συνάρτηση της Λ, έτσι ώστε να οδηγούν σε σύγκλιση τα διάφορα ολοκληρώατα ώστε να ην υπάρχουν αποκλίσεις σε όλες τις τάξεις προσέγγισης. Η αρχική θεωρία επανακτάται, αφήνοντας την συνάρτηση αυτή της Λ να τείνει στην ονάδα. Μια άλλη έθοδος είναι η διαστατική οαλοποίηση(dimensional regularization), ε την οποία οι αποκλίσεις των τετραπλών ολοκληρωάτων παύουν να υφίστανται αν θεωρήσουε τα ολοκληρώατα πάνω σε χώρους d-διαστάσεων και ετά πάρουε το όριο d. ) Μετά ακολουθεί η επανακανονικοποίηση(renormalization), που στηρίζεται στην διαφοροποίηση των πραγατικών σωατίων. Όλα τα άπειρα που εφανίζονταν στα διαγράατα Feynman απορροφώνται σε δύο σταθερές, που είναι η διαφορά στην άζα ( m) εταξύ ενός πραγατικού (m) και ενός γυνού (m o ) ηλεκτρονίου και στην αντίστοιχη διαφορά φορτίου εταξύ ενός πραγατικού (e) ηλεκτρονίου και ενός γυνού (e ο ) ηλεκτρονίου. Α) ιόρθωση φωτονικού διαδότη (photon propagator) Σ αυτήν την διόρθωση κάνουε την αντικατάσταση : id id i Π id (3-) αβ α ν νβ F ( k) F ( k) eo ( k) F ( k) όπου Π ν είναι το ολοκλήρωα που αναφέρθηκε στην εξ. (-3). Αυτό πορεί να γραφεί και ως εξής : ν ν e Tr[ γ ( p+ k/ + m ) γ ( p+ m )] ieπ ( k) d p / / ( π ) [( p + k ) m + i ε ][ p m + i ε ] (3-) Αυτός ο τανυστής δεύτερης τάξης Π ν πορεί να γραφεί ε την γενική ορφή (ε χρήση όνο του k τετρα-διανύσατος):

Π ν ( k) g ν Α ( k ) + k k ν B( k ) (3-3) Αποδεικνύεται έσω της διατήρησης των ρευάτων, ότι οι όροι που είναι ανάλογοι της τετρα-ορής του φωτονίου ηδενίζονται. Έτσι ο όρος Π ν γίνεται : Π ν ( k) g ν Α( k ) (3-) Αν λάβουε υπόψιν και τον όρο χαηλότερης τάξης (βλέπε Σχ. 9) τότε η αντικατάσταση (3-) γίνεται : ig ig ig + ieπ ( k) ig ε ε ε ε αβ αβ α ν νβ k + i k + i k + i k + i οπότε αν αντικαταστήσουε και την (3-) έχουε : (3-5) Σχ. 9 ig ig αβ αβ e Α( k ) k + iε k + iε k + iε Αυτή η έκφραση (3-6) πορεί να γραφεί επίσης : ig ig αβ αβ + k + iε k + iε + e Α( k ) ( e ) (3-6) (3-7) Το δεξί έλος της σχέσης (3-7) αναπαριστάνει τον διαδότη του πραγατικού φωτονίου και έχει πόλο στο σηείο: -e Α ( k ) και δεδοένου ότι το φωτόνιο έχει ηδενική άζα ηρείας, απαιτούε : A Έτσι, πορούε να γράψουε : όπου : και ο A k (3-8) () ( ) A( k ) k A () + k Π ( k ) (3-9) c da( k ) A () A ( k ) k d( k ) ( k ) k για Π ηδενίζεται γραικά ως προς το c την εξ. (3-9) στην εξ. (3-6) και πολλαπλασιάζοντας ε ig ig ig αβ αβ αβ e e e () e ( k ) Α + Π c k + iε k + iε k + iε Ο πολλαπλασιασός ε τον όρο k. Αντικαθιστώντας e, βρίσκουε : (3-) e γίνεται, λόγω εφαρογής των κανόνων Feynman στην περίπτωση των κορυφών. Μία σηαντική παρατήρηση που πορούε να κάνουε στην σχέση (3-), είναι ο πρώτος όρος του δεξιού έλους

που είναι ίσο ε το αριστερό έλος πολλαπλασιασένο ε τον όρο : e Α, δηλαδή είναι σαν τα σωάτια που αλληλεπιδρούν διαέσου του () διορθωένου φωτονικού διαδότη να έχουν φορτίο e αντί του e o, όπου : ή πιο ολοκληρωένα : [ ()] e e e A (3-) / e Z e e e A () ( e ) 3 + (3-) Η σχέση αυτή ορίζει τον επανακανονισό του φορτίου και συνδέει το φορτίο e ενός πραγατικού αλληλεπιδρώντος σωατίου ε το φορτίο e ο του οντέλου του. Για τον υπολογισό διαφόρων φυσικών εγεθών, π.χ. της ενεργού διατοής σε ία σκέδαση θα πρέπει να χρησιοποιούε το πραγατικό φορτίο. Στο όριο που επανακτούε την αρχική θεωρία, ο όρος Π ( k ) θα είναι πεπερασένος, c ενώ το έγεθος Ζ 3 θα αποκλίνει, πράγα όως που δεν έχει καία συνέπεια στα διάφορα προβλεπόενα φυσικά εγέθη, αφού συνδέει το η πραγατικό, άρα και η παρατηρήσιο φορτίο e ο, ε το πραγατικό e. Η φυσική σηασία αυτού του επανακανονισού έγκειται στο γεγονός ότι η ηλεκτροαγνητική αλληλεπίδραση εταξύ φορτισένων σωατίων συνδέεται άεσα ε το φορτίο αυτών, συνεπώς κάποια αλλαγή στην αλληλεπίδραση θα πρέπει να αντανακλάται στο φορτίο. Β) ιόρθωση φεριονικού διαδότη (fermion propagator) Στην περίπτωση (α) του Σχ. 8, είχαε δει την διόρθωση της αυτοενέργειας φεριονίου στον φεριονικό διαδότη, που δίνεται από την εξ. (-). Μετά από κάποιες πράξεις ε την βοήθεια των ταυτοτήτων συστολής παίρνουε : ie p e d k p k/ m π k i ε p k m i ε Σ ( ) / ( ) + ( ) + (3-3) Σ αυτό το ολοκλήρωα βρόχου (loop integral) εφανίζεται υπεριώδης απόκλιση (ultra-violet divergent) στο όριο k. Επίσης η οαλοποίηση και η επανακανονικοποίηση της εξ. (3-3) οδηγεί σε ολοκληρώατα που δεν έχουν όνο υπεριώδη απόκλιση αλλά επίσης και υπέρυθρη απόκλιση(infra-red k. divergent), δηλαδή αποκλίνουν στο όριο Εύκολα πορούε να αφαιρέσουε αυτές τις αποκλίσεις, κάνοντας την αντικατάσταση : ε λ ε ε k + i k + i k Λ + i (3-) όπου λ ία πολύ ικρή υπέρυθρη παράετρος αποκοπής ( λ ) και Λ ια υπεριώδης παράετρος αποκοπής (Λ ).

Σχ. Τελικά ο διορθωένος διαδότης (Σχ. ) θα δίνεται από την αντικατάσταση : i i + i ieσ( p) i p/ m + iε p/ m + iε p/ m + iε p/ m + iε Αν λάβουε υπόψιν την ταυτότητα : η σχέση (3-6) γίνεται : + B + B B +... A B A A A A A A i i + ( e ) p/ m + iε p/ m + eσ ( p) + iε (3-6) (3-7) (3-5) Το αριστερό έλος είναι ο διαδότης του η πραγατικού φεριονίου, που έχει έναν πόλο στο σηείο m o. To δεξί έλος αναπαριστάνει τον διαδότη του πραγατικού φεριονίου, για τον οποίο απαιτούε να έχει πόλο στο σηείο : m m o + δm, όπου m η άζα του πραγατικού φεριονίου και m o η άζα του οντέλου. Η διαφοροποίηση των αζών οφείλεται στην αλληλεπίδραση εταξύ του φεριονικού και φωτονικού πεδίου που εφανίστηκε στην δεύτερης τάξης προσέγγιση. Η σχέση αυτή ορίζει τον επανακανονισό της άζας. Στην δεύτερης τάξης προσέγγιση, εφαρόζοντας την διαδικασία όπως στην (Α) περίπτωση, θέτουε : ε A ( p ) p m Σ ( p) A+ ( p/ m) B+ ( p/ m) Σc ( p) (3-8) Σ. Αντικαθιστώντας αυτή την σχέση στο δεξί έλος της (3-7) / δ m e A (3-9) παίρνουε : Η εξ. (3-7) τότε ανάγεται στην i i + ( e ) p/ m + iε ( p/ m)( + e B) + e ( p/ m) Σ c( p) + iε ( e ) : ή διατηρώντας όνο όρους i i [( e B) eσ c( p)] + ( e ) p m + iε p m+ iε / / (3-) Εφαρόζοντας την ίδια διαδικασία και για το φορτίο παίρνουε την σχέση : e Z e e ( e B) + ( e ) (3-) 6 (3-) Η διαφοροποίηση του φορτίου έχει επίσης ως αιτία την αλληλεπίδραση του φεριονικού πεδίου ε το φωτονικό.

3 Γ) Tροποποίηση κορυφής (διόρθωση διαδικασίας δηιουργίας ζεύγους e + e - ) Θεωρούε την δεύτερης τάξης τροποποίηση κορυφής, όπως φαίνεται στο Σχ.. Η αντικατάσταση είναι : ieγ iγ ( p, p) ie [ γ + e Λ ( p, p)] (3-3) όπου ο όρος Λ (p,p) δόθηκε στην εξ. (-), που πορεί να γραφεί : i d k α ( p, p) Λ γ γ γ α ( π ) k + iε p/ k/ m+ iε p/ k/ m+ iε (3-) όπου m η πραγατική άζα του φεριονίου. Ο όρος Λ (p,p) είναι ταυτόχρονα ε υπέρυθρη και υπεριώδη απόκλιση. Kάνουε τις συντήσεις : Σχ. P/ k/ m+ iε, q/ p/ P/, q/ p/ P/ οπότε χρησιοποιώντας την ταυτότητα (3-6), οι διαδότες φεριονίων στη σχέση (3-) γράφονται : γ γ p k/ m+ iε p k/ m+ iε q + q+ / / / / q/ +... γ q/ +... (3-5) Ορίζουε τον όρο Λ c ( p, p) ως εξής : Λ ( p, p) Lγ +Λ c ( p, p) (3-6) όπου L ια βαθωτή σταθερά. Το κίνητρο για το γράψιο της ( p, p) Λ ε την ορφή της (3-6) είναι γιατί στο όριο Λ, η QED αποκαθίσταται, το L αποκλίνει, αλλά ο όρος Λ c ( p, p) παραένει καλά καθορισένος και πεπερασένος. Αντικαθιστώντας την (3-6) στην εξ. (3-3) βρίσκουε : ieγ iγ ( p, p) ie [ γ ( + e L) + e Λ ( p, p)] (3-7) c

Ορίζουε ια σταθερά Ζ επανακανονικοποίησης του φορτίου : οπότε η (3-7) γράφεται : e ( + ) + ( ) (3-8) 5 e e e L e Z ie iγ p p ie + e Λ p p + e (3-9) 5 γ (, ) [ γ c (, )] ( ) Λαβάνοντας υπόψιν και τις προηγούενες σχέσεις επανακανονισού του φορτίου εξάγουε ότι η συνολική σχέση εταξύ πραγατικού και η φορτίου θα είναι : e ez3z / Z (3-3) Η σχέση (3-3) αποδεικνύεται ότι είναι ισοδύναη ε την σχέση : e ez3 (3-3) Παρατηρούε ότι ο επανακανονισός του φορτίου εξαρτάται όνο από τις διορθώσεις του φωτονικού διαδότη.

5. Υπολογισός διορθωένης ενεργού διατοής στην ελαστική σκέδαση ηλεκτρονίου από εξωτερικό στατικό πεδίο. Είχε αναφερθεί στην, εξ. (-) το πλάτος Feynman στην χαηλότερης τάξης προσέγγιση. Η ενεργός διατοή θα δίνεται από την σχέση : () M u ( s ) A/ e( ) ur ( ) dσ m m dω π π q p - p, και p p. p q p (-) όπου Για παράδειγα, θεωρούε την σκέδαση ηλεκτρονίων από πεδίο Coulomb ενός βαρέως πυρήνα, που αντιετωπίζεται ως σηειακό φορτίο (Mott scattering). Στην βαθίδα Coulomb το δυναικό έχει την ορφή : όπου στον χώρο των ορών γίνεται : A a e Ze ( x),,, π x A a e Ze ( q),,, q (-) (-3) Αντικαθιστούε την (-3) στην (-) και αθροίζοντας και υπολογίζοντας τους έσους όρους πάνω στα spins των ηλεκτρονίων βρίσκουε την η πολωένη ενεργό διατοή : dσ dω ( maz ) q r, s us ( p ) γ ur ( p) ( az) ( az) Tr{( p ) ( ) } ( ) (-) / + m γ p/ + m γ E + p.p + m q q Εισάγοντας την γωνία σκέδασης θ, έχουε : p.p p cos θ, q p - p p sin ( θ / ), p Eυ οπότε η (-) καταλήγει στην σχέση : dσ ( az) [ sin ( / )] υ θ (-5) dω E υ sin ( θ / ) Η σχέση (-5) ας δίνει το πλάτος σκέδασης σχετικιστικών ηλεκτρονίων από ένα πεδίο Coulomb. Στο η σχετικιστικό όριο, αυτή η σχέση ανάγεται στον γνωστό τύπο σκέδασης του Rutherford : dσ ( αζ) (-6) dω mυ sin ( θ / )

6 Στην προσέγγιση δεύτερης τάξης είχαε τα διαγράατα Feynman (Σχ.7). Μετά την επανακανονικοποίηση όνο τα διαγράατα (c) και (d) του (Σχ.7) δίνουν συνεισφορές, οπότε το πλάτος Feynman θα είναι : M ieu ( p ) γ u( p) Ae ( q) + ieu ( p ) γ u( p)[ e Π c ( q )] Ae ( q) + (-7) + ieu ( p )[ e Λc ( p, p)] u( p) Ae ( q) Ξεκινάε τον υπολογισό του όρου e Π c (k ). Κάνουε διαστατική οαλοποίηση της εξ. (3-) που αφορά τον βρόχο αυτοενέργειας του φωτονίου, οπότε παίρνουε : D ν ν eκ D Tr[ γ ( p+ k/ + m) γ ( p+ m)] ie Π ( k) d p / / ( π ) (-8) [( p + k ) m + i ε ][ p m + i ε ] όπου κ είναι ένας παράγοντας κλίακας άζας. Υπολογίζουε το ίχνος ε τη βοήθεια των παρακάτω σχέσεων ίχνους : ν g g D ν (I) ν ν ν γ γ + γ γ g (ΙΙ) λ γλγ DI α λ α γλγ γ ( D ) γ (ΙΙΙ) α β λ α β αβ γλγ γ γ ( D ) γ γ + g α β αβ Τ r( γ γ ) f ( D) g α β γ δ αβ γδ αγ βδ αδ βγ Τ r( γ γ γ γ ) f ( D)[ g g g g + g g ] (ΙV) α β ν Τ r( γ γ... γ γ ) όπου D οι διαστάσεις, Ι ο f(d) f(d) οναδιαίος πίνακας και οι γ-πίνακες είναι f(d) f(d) πίνακες [π.χ. f(d ) ]. Θέτουε: N ν ( p, k) Tr[ γ ( p/ + k/ + m) γ ν ( p/ + m)] οπότε: ν ν ν ν ν N ( p, k) f ( D){( p + k ) p + ( p + k ) p + [ m p( p+ k)] g } Χρησιοποιώντας τον τύπο : dz ab [ b+ ( a b) z] και ε την παραετροποίηση Feynman η εξ. (-8) γράφεται : D ν ν eκ D N ( p, k) ie Π ( k) dz d p ( π ) [ p m + ( k + pk ) z + i ε ] (-) Αν εισάγουε την νέα εταβλητή : q p+ kz (-) η εξ. (-) γίνεται : (-9)

7 D ν ν eκ D N ( q kz, k) ie Π ( k) dz d q ( π ) [ q m + ( z ) k z + i ε ] όπου : (-) ν ν ν ν N ( q kz, k) f ( D){[ q q q g ] [ m k z( z)] g + + ν ν [ z( z)( k k k g )]...} + + (-3) όπου οι τελείες δείχνουν ότι οι γραικοί όροι στο q έχουν παραλειφθεί, δεδοένου ότι αυτοί οι όροι εξαφανίζονται στην ολοκλήρωση (Β). Κάνοντας ία παρένθεση, αναφέρουε τα απαιτούενα ολοκληρώατα D- διαστάσεων : Γ( n D) ( k s+ iε ) Γ( n) s D D / n d k iπ ( ) (Α) n n D / D k d k n ( k s + i ε ) Γ( n D ) k k g d k ( k s+ iε ) Γ( n) s Γ( n D ) D k D / n+ ( ) D d k iπ n n D ( k s+ iε ) Γ( n) s (B) ν ν D D / n+ iπ ( ) n n D / (Γ) ( ) / Από τις εξ. (-),(-3) βρίσκουε : eκ ( ) ( ) (, ) D 3 ν ν ie Π k f D dz Ii k z ( π ) i (-) Με την βοήθεια των ολοκληρωάτων (Α),(Β),(Γ),( ) έχουε : ν ν ν D [ q q q g ] (, ) I k z d q [ q + k z ( z ) m + i ε ] ν D / ig π Γ( D) ( D) (-5) D / [ k z( z) m ] ν ν D I ( k, z) [ m k z( z)] g d q [ q + k z ( z ) m + i ε ]

8 D / iπ Γ( D) ν [ ( )] ν m k z z g I / ( k, z) (-6) D [ k z( z) m ] ν ν ν D I3 ( k, z) [ z( z)( k k k g )] d q [ q + k z ( z ) m + i ε ] D / iπ Γ( D) ν ν z( z)( k k k g ) (-7) [ ( ) ] D / k z z m Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (-5),(-6),(-7) στην σχέση (-) παίρνουε : όπου : ν ν ν Π ( k) ( k k k g ) Π ( k ) (-8) D κ f ( D) Γ( D) ( ) ( k z z ) 3 D / D / dz Π π (-9) [ k z ( z ) m ] Τελικά θέτουε: D n και παίρνουε το όριο την συνάρτηση f ( n) nf () +... και χρησιοποιώντας τις σχέσεις : n / n x nln x+..., Γ( )... n γ + η εξ. (-9) γίνεται : f () Π ( k ) γ lnπ π n k z( z) m dzz( z)ln π κ Συγκρίνοντας την εξ. (-8) ε τις εξ. (3-3) και (3-9) παίρνουε : n. Αναπτύσσοντας (-) Π ( k ) A () +Π c ( k ) (-) και αφού Π c () οι δύο τελευταίες εξισώσεις ας οδηγούν : α k z( z) e Π c( k ) e [ Π( k ) Π ()] dzz( z)ln π m (-) Επανερχόαστε τώρα στην εξ. (-7), όπου στον δεύτερο όρο του αθροίσατος (έχουε τον e Π ( q ), που σύφωνα ε την εξ. (-) ισούται : Για c α q z( z) π m (-) e Π c( q ) dzz( z)ln q << m ο λογάριθος στην (-) αναπτύσσεται, οπότε παίρνουε :

9 q α e Π c( q ) +... 5π m (-3) Στην εξ. (-7) βλέπουε ότι ο πρώτος όρος είναι το πλάτος χαηλότερης τάξης, ενώ ο δεύτερος και τρίτος όρος είναι οι διορθωτικοί όροι ακτινοβολίας ( Π c είναι ο υπέρυθρος πεπερασένος όρος και ο υπέρυθρος αποκλίνων όρος Λ ). Για τον υπολογισό του τρίτου όρου οαλοποιούε την εξ. (3-) για το Λ ( p, p), κάνοντας την αντικατάσταση (3-), οπότε έχουε : όπου : ie d k f ( k) e Λ ( p, p) ( π ) k λ + iε α γ ( p k/ + m) γ ( p k/ + m) γα { / / } [( p k) m + iε ][( p k) m + iε ] λ Λ f ( k) (-5) k Λ + iε (-) c Ενδιαφερόαστε για την υπέρυθρη απόκλιση όταν k και όχι για την υπεριώδη απόκλιση ( k ), οπότε πορούε να παραλείψουε τον Οοίως, απορρίπτουε τους όρους που είναι παράγοντα αποκοπής f ( k ). γραικοί σε k και k στον αριθητή και παρανοαστή έσα στο άγκιστρο της εξ. (-). Χρησιοποιώντας την εξ. Dirac και την p p m η εξ. (-) απλοποιείται, συνεπώς έχουε : ie e u ( p ) Λ ( p, p) u( p) u ( p ) γ u( p ) ( π ) d k ( p p) +... k λ + iε ( p k)( pk) (-6) όπου οι τελείες δείχνουν τους όρους που είναι πεπερασένοι στο όριο λ και εποένως τους παραελούε. Υπολογίζουε το ολοκλήρωα στην εξ. (-6) ε τη βοήθεια της ταυτότητας : P iπδ ( k λ ) k λ + iε k λ iπ P [ ( k ) ( k )] (-7) δ ω λ δ ω λ k λ ω + + λ / ω ( λ + k ). Εκτελώντας την όπου λ k ολοκλήρωση στην (-6) και παραλείποντας την υπέρυθρη πεπερασένη συνεισφορά από το κύριο έρος της εξ. (-7) βρίσκουε : ( p ) Λ (, ) ( p) ( p ) ( p ) (, ) +... (-8) e u p p u e u γ u A p p

όπου : A( p, p) 3 d k ( p p) 3 ( ) ( p k)( pk) π ω λ (-9) Στην εξίσωση (-7) απαιτούε ότι το επανακανονικοποιηένο έρος της εξίσωσης (-8) που δίνεται από την εξ. (3-6) να είναι : e u ( ) Λ ( p, p) u( ) e u ( )[ Λ ( p, p) Lγ ] u( ) p p p p (-3) c Ισχύει όως ότι : u ( P) Λ ( P, P) u( P) Lu ( P) γ u( P ) (-3) οπότε λόγω της (3-6) παίρνουε ότι για ένα ελεύθερο σωατίδιο -ορής Ρ ισχύει : u ( P) Λ c ( P, P) u( P ) (-3) Από τις εξ. (3-6),(-3) και (-8) παίρνουε : e u ( p) Λ ( p, p) u( p) e Lu( p) γ u( p) e u( p) γ u( p ) A( p, p) +... και ια παρόοια εξίσωση ε αντικατάσταση του p από το p, όπου : L A( p, p) +... A( p, p ) +... (-33) Συνδυάζοντας τις εξ. (-8),(-33) καταλήγουε : e u ( p ) Λ ( p, p) u( p) c p γ p 3 d k p p e u ( p ) γ u( p)... 3 + ( π ) ω λ p k pk e u ( ) u( ){ A( p, p) A( p, p ) A( p, p)} +... (-3) Αντικαθιστώντας την εξ. (-3) στην (-7) βρίσκουε το πλάτος Feynman : 3 e d k p p M M o +... 3 ( π ) ω + λ p k pk (-35) όπου Μ ο το πλάτος της χαηλότερης τάξης. Εποένως η ενεργός διατοή είναι : 3 dσ dσ a d k p p +... + dω dω o ( π ) ω λ p k pk (-36) e dσ όπου a και η ενεργός διατοή χαηλότερης τάξης. π dω o

5. Σκέδαση ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου Σχ. Τα αετάβλητα πλάτη των διαγραάτων (Σχ. ) είναι : igν M a u( p, s )( ieγ ) u( p, s ) u ( p, s )( ieγν ) u( p, s) ( p p ) + iε (5-) igν Mβ u ( p, s )( ieγ ) u( p, s ) u ( p, s )( ieγν ) u( p, s) ( ) p p + iε οπότε : M M + M β (5-3) a Τώρα πρέπει να υπολογίσουε την παράσταση : a β Re M M + M + M M (5-) a β (5-) Υποθέτουε ότι, δεν ανιχνεύουε τα τελικά spin των ηλεκτρονίων και η δέση των ηλεκτρονίων είναι η πολωένη. Έτσι έχουε : e γ γ M a M a u ( p, s ) u( p, s ) u( p, s) u( p, s) s s s, s i f i f u ( p, s ) γ u( p, s ) u ( p, s ) γ u( p, s ) [( ) ] ν ν p p

e u(p,s ) γ u(p,s )u(p,s ν ) γ u(p,s ) s i,sf u(p,s ) γ u(p,s )u(p,s ) γ u(p,s ) [(p p ) ] ν Tr Tr (5-5) m m m m [(p p ) ] e p + m p + m p m p m + + γ / ν γ / / / γν γ Re[ u ( p, s ) γ u( p, s ) u( p, s ) γ u( p, s) u ( p, s ) γ u( p, s ) u ( p, s ) γ u( p, s )] ν ν + + + + (5-7) e p m p m p m p m Tr γ / ν γ / γ / ν γ / ( p p ) ( p p ) m m m m Απαλείψαε το Re από την τελευταία σχέση γιατί είναι ια πραγατική παράσταση. Τα ίχνη στις σχέσεις (5-5),(5-7) τα υπολογίζουε ως εξής : Με βάση τις γνωστές σχέσεις από άλγεβρα Dirac: α α αν+ Για περιττό αριθό γ-πινάκων ισχύει : Tr( γ γ... γ ) (i), ν ν Tr( γ γ ) g (ii), Tr( γ γ ν γ ρ γ σ ) ( g ν g ρσ g ρ g νσ + g σ g νρ ) (iii) γ γ (iv), { γ, γ ν } γ γ ν + γ ν γ g ν (v), ν ν γ γ γ γ (vi), λ ν λν γ γ γ γ g (vii), λ ν ρ ρ ν λ γ γ γ γ γ γ γ γ (viii) Άρα έχουε : ρ σ Tr[ γν ( p/ + m) γ ( p/ + m)] Tr[ γν ( γ p ρ + m) γ ( γ p σ + m)] Tr( γ γ γ γ ) p p Tr( γ γ γ ) mp p Tr( γ γ γ ) mp Tr( γ γ ) m ρ σ ρ σ ν ρ σ + ν ρ σ + ν σ + ν κ ρ λ σ κνγ γ λ γ γ ρ σ + + + ν Tr( g g ) p p g m κ ρ λ σ ( γ γ γ γ ) + κν λ ρ σ ν κρ λσ κλ ρσ κσ ρλ gκν gλ g g g g + g g p ρ p σ + gν m g g Tr p p g m ( ) + + σ ( p p g p p p p g m ) ν ν σ ν ν ( gν m + p p ν + p ν p gν p. p ) (5-8a) Tr[ γ ( p m) ( p m)] ν / + γ + / Οοίως :

3 ( g m + p p + p p g p. p ) (5-8b) ν ν ν ν ρ σ ρ γ ( p m) ( p m) p p mp ν / + γ / + γ γ γ γ γ γ + γ γ γ γ + ν ν ν ρ σ ν ν ρ σ + γ γ γ γ mp + γ γ γ m p p m( p p ) m ν ν σ ν ν / γ / + + γ (5-9) Tr γν ( p/ + m) γ ( p/ + m) γν ( p/ + m) γ ( p/ + m) Tr[( p/ γ p/ + m( p + p ) m γ )( p/ + m) γ ( p/ + m)] Tr[ p/ ( p. p mp/ )( p/ + m) + m( p/ + m)( p/ + p/ )( p/ + m) m ( p/ + m)( p/ + m)] 3 p. p p. p + 6 m p. p + 6 m ( p + p ).( p+ p ) + 6 m p. p 3m (5-) Παίρνοντας την σχέση που ας δίνει την ενεργό διατοή ως προς σύστηα κέντρου άζας ( Moller / ' s formula ) : dσ p M ( m) dω Ε Ε p E E Λαβάνοντας υπόψιν : / 6 π ( ) (5-) e a, ( p p ) p ( cos θ ) p sin ( θ / ), π ( p p ) p (+ cos θ ) p cos θ / και αντικαθιστώντας τις σχέσεις (5-8a), (5-8b) και (5-), η ενεργός διατοή στο όριο Ε >> m είναι : dσ a + cos ( θ / ) + sin ( θ / ) + + dω 8E sin ( θ / ) sin ( θ / ).cos ( θ / ) cos ( θ / ) (5-) Ο πρώτος όρος της σχέσης (5-) προέρχεται από το Re M M β a και ο τρίτος από το M β. M a, ο δεύτερος από το

6. ιαδικασία παραγωγής ιονίων : + + e e Σχ. 3 Η αντίδραση αυτή είναι η πιο απλή διαδικασία της QED, αλλά ια από τις πιο σπουδαίες στην Φυσική υψηλών ενεργειών. Στους υπολογισούς ας θα περιοριστούε στην διατήρηση της άζας των ιονίων, αφού η άζα των m ηλεκτρονίων θεωρείται αελητέα λόγω του γεγονότος ότι e. m Χρησιοποιώντας τους κανόνες Feynman στο διάγραα (Σχ. 3) έχουε : s s igν r r im ( p )( ie ) u ( p) u ( k)( ie ν υ γ γ ) υ ( k ) (6-) q Αν ρυθίσουε ελαφρά την σχέση (6-) και αφήσουε τους δείκτες των spin να υπονοούνται θα έχουε : ie im υ ( p ) γ u( p) u ( k) γ ( k ) υ (6-) q Για να υπολογίσουε την διαφορική ενεργό διατοή, χρειαζόαστε ια έκφραση για το M. Αλλά ως γνωστόν : ( υγ u) uγ υ Οπότε η σχέση (6-) γίνεται :

5 e ν M [ υ ( p ) γ u( p) u ( p) γ υ( p )][ u ( k) γ ( k ) ( k ) u( k)] υ υ γν (6-3) q Στα περισσότερα πειράατα, οι δέσες ηλεκτρονίων και ποζιτρονίων είναι η πολωένες, έτσι η έτρηση της ενεργού διατοής βασίζεται στην έση τιή των spins s και s των ηλεκτρονίων και των ποζιτρονίων. Οι ανιχνευτές ιονίων δεν αντιλαβάνονται την πόλωση, έτσι η ετρήσιη ενεργός διατοή είναι ένα άθροισα πάνω στα spins r και r των ιονίων. Συνεπώς θα υπολογίσουε την έκφραση : M ( s, s r, r ) s s r r s s Λόγω των σχέσεων : u ( p) u ( p) p + s s / m, υ ( p) υ ( p) p/ m s θα έχουε : s ( ) s ( ) s ν ( ) s ν υ p γ u p u pγ υ ( p ) Tr[( p/ m) γ ( p/ + m) γ ] (6-) s, s r r r r u ( k) γ υ ( k ) υ ( k ) γν u ( k) Tr[( k / + m) γ ( k / m) γν ] (6-5) r, r Άρα ε την βοήθεια των σχέσεων (6-3),(6-),(6-5) βρίσκουε : e ν M Tr[( p m ) ( ) ] [( ) ( ) ] / e γ p/ + me γ Tr k/ + m γ k/ m γν spins q Κάνουε τώρα τους υπολογισούς των ιχνών στην (6-6) : ν ρ σ ν Tr[( p/ me ) γ ( p/ + me ) γ ] Tr[( γ p ρ me ) γ ( γ pσ + me ) γ ] Tr[( γ ρ γ γ σ γ ν ) p p + ( γ ρ γ γ ν ) p m ( γ γ σ γ ν ) p m m ( γ γ ν )] ρ σ ρ e σ e e ρ σν ρσ ν ρν σ ν + ρ ρ + + ( g g g g g g ) p p g me ν ν σ ν ν ( p p g p pσ + p p g m e ) ν ν ν [ p p + p p g ( p. p + m e )] (6-7) Με όοιο τρόπο βρίσκουε : Tr k/ + m k/ m k k + k k g k k + m (6-8) [( ) γ ( ) γν ] [ ν ν (. )] ν s (6-6) m, Από τις σχέσεις (6-6),(6-7),(6-8) και λαβάνοντας την προσέγγιση e παίρνουε : e + ν ν ν M 6[ p p p p g ( p. p )] spins q k k + k k g k k + m [ ν ν (. )] ν

6 e [ ν ν p p k k p p k k ( p. p )( k. k m ) ν ν p ν p k k p p kν k q ν + + + + + + + ( p. p )( k. k m ) ( p. p )( k. k ) ( p. p )( k. k ) ( p. p )( k. k ) ( p. p ) m ] ν και λόγω των σχέσεων : g g, a b a. b, θα πάρουε : ν e M [( p. k)( p. k ) + ( p. k)( p. k ) + ( p. p ) m ] q spins 8 e [(. )(. ) (. )(. ) p k p k + p k p k + m ( p. p )] (6 9) q ν Σχ. Ως προς σύστηα συντεταγένων κέντρου άζας (CM), σύφωνα ε το Σχ. έχουε : k E m, k. zˆ k cosθ, q ( p+ p ) E, p. p E, p. k p. k E E k cosθ, p. k p. k E + E k cosθ Κατά συνέπεια η σχέση (6-9) γίνεται : 8e M [ E ( E k cos θ ) + E ( E+ k cos θ ) + m E ] 6E spins m m e ( + ) + ( )cos θ (6 ) E E Τώρα εφαρόζουε την σχέση που δίνει την ενεργό διατοή για την τελική κατάσταση δύο σωατιδίων : dσ p M ( p, A pb p, p) (6-) dω E E υ υ ( π ) E CM A B A B CM

7 Για το πρόβληά ας έχουε : υa υb, EA EB ECM /, οπότε λόγω των σχέσεων (6-) και (6-) παίρνουε : dσ dω m Ε. E CM k M E 6π ECM CM spins E m m m e ( ) ( )cos + + θ ECM 6π E E E CM α E m m ( ) ( )cos 3 + + θ E E CM α m m m ( ) ( )cos (6-) + + θ ECM E E E Ολοκληρώνοντας πάνω στο dω sin d d, βρίσκουε την ολική διατοή: θ θ φ π π [( ) ( )( sin )]sin α m m m σολ + + θ θdθdϕ E CM E E E πα m m θ θdθ E E E π [ ( )sin ]sin CM πα m m E E E π π 3 sin d ( )sin d θ θ θ θ CM πα m m ( ) ECM E 3 E πα m m (6-3) + 3ECM E E >> ), οι σχέσεις (6-) και (6-3) Στο όριο των υψηλών ενεργειών ( E m γίνονται : dσ a + dω ( cos θ ) E CM (6-)

8 σ ολ π a 3 m... 3ECM 8 E (6-5)

9 7. Σκέδαση ηλεκτρονίου - ποζιτρονίου Σχ. 5 Στο Σχ. 5 έχουε την αντίδραση σκέδασης ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου, παρατηρούενη ως προς σύστηα αναφοράς κέντρου άζας ( CM ). Σηειώνουε ότι τον z άξονα τον πήραε συβατικά κατά ήκος της αρχικής διεύθυνσης του ηλεκτρονίου, έτσι η γωνία σκέδασης θ είναι η ίδια ε την συνηθισένη πολική γωνία στις σφαιρικές συντεταγένες. Τα διαγράατα Feynman γι αυτή την διαδικασία (Bhahba scattering) φαίνονται στο Σχ. 6. Το εικονικό φωτόνιο είναι χρονοειδές, δηλ. η ορή του έχει την ιδιότητα q >. Για να βρούε την ενεργό διατοή χρησιοποιούε τον τύπο του Moller /, οπότε ο S πίνακας στοιχείων στην περίπτωσή ας θα είναι: e m u( p )( iγ ) u( p ) υ ( q )( iγ ) υ( q ) S fi + [ i V E E E E ( p p ) p p q q u ( p )( iγ ) υ( q ) υ ( q )( iγ ) u( p ) i ]( ) ( p + q p q ) π δ ( p+ q ) (7-) Ο πρώτος όρος αντιπροσωπεύει την άεση σκέδαση ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου. Ο δεύτερος όρος αντιπροσωπεύει την εκηδένιση. Σηειώνουε, ότι το πλάτος είναι αντισυετρικό αυτή τη φορά. H διαφορική ενεργός διατοή για την σκέδαση η πολωένων ηλεκτρονίων-ποζιτρονίων είναι : 3 3 S V Vd p Vd q fi dσ 3 3 VT J ( π ) ( π ) inc

3 e m d p d q 3 3 M fi δ ( p q p q ) ( π ) υ υ E p E p Eq E + (7-) q Tώρα πορούε να προσδιορίσουε τον αετάβλητο πίνακα στοιχείων : ν u ( p ) γ u( p) υ ( q ) γ υ( q ) υ ( q ) γ υ( q ) u ( p ) γ u( p ν ) M fi ( p p ) ν u ( p ) γ u( p) υ ( q) γ υ( q ) u( p ) γ υ( q) υ ( q ) γ u( p ν ) ( p p ) ( p + q ) ν u ( p ) γ υ( q ) υ ( q ) γ u( p ) υ ( q ) γ υ( q ) u ( p ) γ u( p ν ) + ( p + q ) ( p p ) ν u ( p ) γ υ( q ) υ ( q ) γ u( p ) u ( p ) γ υ( q) υ ( q ) γνu( p ) + (7-3) ( p + q ) Χρειαζόαστε τον υπολογισό των δύο πρώτων όρων, αφού οι υπόλοιποι δύο όροι βρίσκονται ετά ε την αντικατάσταση p q. Παίρνοντας τους έσους όρους πάνω στις αρχικές καταστάσεις των spins και αθροίζοντας πάνω στις τελικές καταστάσεις των spins, κάνουε τους υπολογισούς : sp, s,, q s p sq u( p ) ( γ ) u( p ) υ ( q ) ( γ ) υ( q ) υ ( q ) ( γ ν ) υ( q ) u ( p ) ( γ ) u( p ) a ab b c cd d e ef f g ν gh h p/ + m p m q m q m γ / + γ / + + γ γ m ha m bg m fc m de p + m p + m q + m q m ν + Tr / γ / γ Tr γ / γ ν (7-) m m m m ν ( ) ( ) ( ) ( ) ab cd ef ν gh sp, s,, q s p sq u( p ) ( γ ) u( p ) υ ( q ) ( γ ) υ( q ) u( p ) ( γ ν ) υ( q ) υ ( q ) ( γ ) u( p ) a ab b c cd d e ef f g ν gh h p/ + m p m q m q m γ / + γ / + + γ γ m ha m be m fc m dg p + m p + m q + m q m + ν Tr / γ / γ / γ γ ν (7-5) m m m m ν ( ) ( ) ( ) ( ) ab ef cd ν gh Ως προς σύστηα κέντρου άζας (CM) και παραελώντας τους όρους ε m, έχουε : E E E E E, υ υ β, υ υ β, p p q q p. q p. q E cos ( θ / ), (p p ) p. p E sin ( θ / )

3 Σχ. 6 p. q p. q E, p. p q. q E sin ( θ / ) ( p + q ) p. q E όπου Ε είναι η ενέργεια κέντρου άζας του κάθε ηλεκτρονίου και ποζιτρονίου και β η ταχύτητά τους. Οπότε τα ίχνη γίνονται : Tr p / + m p m Tr q m q m ν γ / + γ / + ν γ / + γ m m m m E [ p. q p. q + p. q p. q ] 8 [ + cos ( θ / )] m m (7-6) Tr q / + m p / + m p m Tr q m q m ν γ / + γ / + ν γ / + γ m m m m m E [ q. p p. q + q. q p. p ] 8 [sin ( θ / ) + cos ( θ / )] m m E cosθ + cosθ 8 + m E 8 [+ cos θ ] (7-7) m

3 p m p m q m q m Tr / + ν γ / + γ / + γ / + γν m m m m E p. q p. q 8 cos ( θ / ) (7-8) m m Κατά συνέπειαν, η διαφορική ενεργός διατοή και ο αετάβλητος πίνακας στοιχείων είναι : 3 3 e m d p d q dσ M ( fi δ p q p q ) 8( π ) + (7-9) E β + cos ( θ / ) cos ( θ / ) + cos θ M fi m + sin ( θ / ) sin ( θ / ) Στο ακραίο σχετιστικό όριο έχουε : (7-) dσ a + cos ( θ / ) cos ( θ / ) + cos θ + dω 8E sin ( θ / ) sin ( θ / ) (7-)

33 8. Υπολογισός πλάτους σκέδασης σε εγαλύτερες τάξεις Αναφέρουε εν συντοία : ) igν (8-) p + D( p ) Αναπτύσσουε την D(p ) : D( p ) p d+ p d+... Παίρνοντας το όριο p, έχουε : ig ig ν ν D Z (8-), όπου Z ( + d). ν 3 3 p p ( + d ) p ) i (8-3), όπου : p/ m Σ( p) λ dk Tr{ γ ( k+ p m) λ / + γ } Σ ( p) ie (8-) ( π ) {( k+ p) m } k Ο πίνακας Σ(p) πορεί να εκφραστεί : Σ ( p) A ( p ) I+ A ( p ) γ + A ( p ) p A ( p ) p A ( p ) p p 5 3 / + γ 5/ + 5 ν σ ν A ( p ) + A ( p ) p 3 / (8-5) (οι υπόλοιποι όροι είναι ηδενικοί). Αναπτύσσοντας γύρω από το p mr άζα ( m m+ δ m), βρίσκουε : R Σ ( p) A+ B( p/ m R ) +... (8-6) Σ( p) όπου για p/ mr έχουε : AΣ ( p), B p/ ενώ στο όριο p/ mr έχουε : i i S F ( p) Z (8-7) ( p/ m )( + B) ( p m ) R / R ε Z + B /, όπου m R είναι η επανακανονικοποιηένη

3 3) όπου Γ γ. (8-8) Γ ( p, p) γ + eγ ( p, p). Αλλά για p p, p m R όπου Γ + γ οπότε ( p, p) ( e C) έχουε : γ (8-9) γ Γ ( p, p) e C, + e C. Γ ( p, p) Z ε Z Z e Z, 8 π ε e Ζ 3 6 π ε (8-) Αναφέρουε τώρα, τα πλάτη για κάθε περίπτωση (Σχ. 7) για την σκέδαση ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου : ν ν M u ( p, s )( ieγ ) υ( p, s ) id ( q) u( p, s )( ieγ ) υ ( p, s ) α F igν u( p, s )( ieγ ν ) υ( p, s )( ) u( p, s )( ieγ ) υ ( p, s ) (8-) q + iε ν M u( p, s )[ ieγ ( p, p)] υ( p, s ) id ( q) u( p, s )( ieγ ) υ ( p, s ) β F d k ρ i ν i u( p, s )[ ( ieγ ) ( ieγ ) ( π ) p/ + k/ m+ iε p / + k/ m+ iε ig ig ρσ ν ( ieγ σ ) ] υ( p, s ) ( ieγ ) u( p, s ) υ ( p, s ) (8 ) k + iε q + iε ν νρ ρσ σ M u( p, s )( ieγ ) υ( p, s ) id ( q) iπ ( k) id ( q) u( p, s ) γ F F ( ieγ ) υ ( p, s )

Σχ. 7 35

36 ig ν νρ u( p, s )( ieγ ) υ( p, s ) q + iε d k i i σ ρ Tr ( ieγ ) ( ieγ ) ( π ) k m iε k q m iε / + / + / + igσ υ ( p, s )( ieγ ) u( p, s ) (8-3) q + iε ν ν M u( p, s ) is ( p ) iσ( p )( ieγ ) υ( p, s ) id ( q) δ F u( p, s )( ieγ ) υ ( p, s ) d k i ig ρ σ ρσ u( p, s ) ( ) ( ) ieγ ieγ ( π ) p/ k/ m+ iε k + iε i igν ν υ( p, s )( ieγ ) u( p, s )( ieγ ) υ ( p, s ) p/ m+ iε q + iε F (8-) Υπολογίζουε τώρα το πλάτος σκέδασης ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου ε όλες τις διορθώσεις εν γένει ης τάξης. Θα έχουε : Μπορούε να απαλείψουε τα διαγράατα ε τις προσθήκες αυτοενέργειας στις εξωτερικές γραές, πολλαπλασιάζοντας όως τα υπόλοιπα διαγράατα ε Z για κάθε εξωτερική γραή, δηλαδή πολλαπλασιάζοντας ε ( ) Z ( ) Z ( m m R ) και αντικαθιστώντας την άζα ε την επανακανονικοποιηένη, οπότε παίρνουε :

37 Αλλά προσεγγιστικά για την αυτοενέργεια του φωτονίου ισχύει : οπότε αντικαθιστώντας στην προηγούενη σχέση παίρνουε για το πλάτος σκέδασης ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου ε τον επανακανονικοποιηένο διαδότη φωτονίου : και επειδή : και τελικά, εφόσον Z Z το πλάτος γίνεται : όπου :

38 Αλλά το φυσικό φορτίο του ηλεκτρονίου, όπως ετρείται είναι το επανακανονικοποιηένο φορτίο e, για το οποίο : e Z e. Συνεπώς R R 3 o έχουε : ig ν ν im e u ( p, s )[ ieγ ( p, p )] υ( p, s ) ολ R o q [ Π ( q )] u( p, s )[ ieγ ( p, p )] υ ( p, s ) o e e ig R o ν ν u ( p, s ) Γ ( p, p ) υ( p, s ) u( p, s ) Γ ( p, p ) υ ( p, s ) q [ Π ( q )] (8-5) Αλλά για q >> m ισχύει : a m Π ( q ) x( x)ln dx π m q x( x) a q m x( x) ln ln [ x( x) ] dx π + + m q, n x( x) dx, ln 3 6 x xdx, ( n+ ) ( )[ln ln( )] ( )ln Τελικά : x x x+ x dx x x xdx+ (y-x) 5 + ( y y )ln ydy ( ) 9 8 a q 5 q Π ( q ) ln ( ) 3π + m (8-6) 3 m

39 Αλλά ως γνωστόν ισχύει : a a ( q ), a ( q ) a eff eff Π ( q ) 37 a a ( q m ) eff a q ln 3π Am 5 A exp 3. Συνεπώς η σχέση (8-5) γίνεται : iπ a e g eff R ν im ολ u ( p, s ν ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) p p p s u p s Γ υ Γ p p υ p s q (8-7) όπου όπου: ν iσ q i ν ν ν Γ ( p, p) γ F ( q ) + F ( q ), q p p, σ [ γ, γ ], m ν ν ν ν ν ν ν { γ, γ } γ γ + γ γ g, iσ g γ γ Οι συναρτήσεις F, F ονοάζονται form factors. Για την χαηλότερη τάξη F, F. Στο όριο q αποδεικνύεται ότι : ισχύει : 3 ( ) a q ln m F q, F ( q ) a 3π m 8 π Κατά συνέπεια η σχέση (8-7) γίνεται : { }{, όπου η άζα φωτονίου. ν iπ a e eff R ν α q m 3 iσ q a α q m 3 ν im γ ln γ ln ολ ν q 3π m 8 + m π 3π m 8 ν ig σ q ν a + } u ( p, s ) υ( p, s ) u( p, s ) υ ( p, s ) (8-8) m π F, F και ακολουθώντας την ίδια Στην απλή περίπτωση που διαδικασία όπως αυτήν που αναφέρθηκε στις σελίδες,5 θα έχουε :

ν im π a e u( p, s ) γ υ( p, s ) u( p, s ) γ υ ( p, s ) ολ eff R ν q π a e M (, ) (, ) (, ) (, ) eff R ολ u p s γ υ p s υ p s γ u p s ν q s i, s f ν υ ( p, s ) γ u( p, s ) u( p, s ) γ υ( p, s ) (8-9) π a e eff R M ( ) ( ) ( ) ( ) ολ Tr p m p m Tr p m ν p m / γ γ γ γ ν / / / q Αλλά : Tr ( p/ m) γ ( p m) [ p p p p g ( p. p m )] ν / γ + + ν ν ν ν ν Tr ( p/ m) γ ν ( p m) [ p p p p g ( p. p m )] / γ ν + + οπότε : 6π a e eff R M [ p p + p p g ( p. p + m )] ολ ν ν ν q + + ν ν ν [ p p p p g ( p. p m )] p p p p + p p p p p p p p + m + p p p p + ν ν ν. (. ) ν ν ν + p p p p p p p p + m p. p )( p. p + m ) + ν. (. ) ( ν + + + ( p. p m )( p. p m ) {( p. p )( p. p ) + ( p. p )( p. p ) + ( p. p )( p. p ) ( p. p ) + m [( p. p ) + ( p. p ) + m ]} (8-) Αλλά ως προς σύστηα συντεταγένων (CM) και στο όριο των υψηλών ενεργειών έχουε : p p E p E p p E p E p E E p, q ( p + p ) E, ( p. p )( p. p ) ( E p.p )( E p.p ). +,. + για E E m ( E p. p cos θ )( E p. p cos θ ) E ( cos θ ) ( p. p )( p. p ) ( E p.p )( E p.p ) E (+ cos θ ) Άρα η σχέση (8-) γράφεται : M 3 π a e (+ cos θ ) (8-) ολ eff R οπότε η ενεργός διατοή σύφωνα ε την σχέση που αναφέρθηκε στην σελίδα 6, θα είναι :

dσ E m 3 π a e (+ cos θ ) 3 eff R dω CM 3π ECM a e (+ cos θ ) 8E (8-) eff R