ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cetive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schödinge για το κεντρικό δυναμικό Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3 e k V ) ( Αποδεικνύεται ότι οι λύσεις της ακτινικής εξίσωσης Schödinge επιβάλλουν όπως η ενέργειά τους υπακούει την σχέση ) ( ) ( R V E m d dr d R d (Κουλομπική) Δυναμική Ενέργεια: o k 4 Οι λύσεις των ακτινικών κυματοσυναρτήσεων απαιτούν ειδικές τεχνικές. Αποδεικνύεται ότι είναι γινόμενα πολυώνυμων κι ασυμπτωτικών όρων κι εξαρτώνται από τους κβαντικούς αριθμούς n,. Παραθέτουμε μερικές από αυτές. n ke E o n όπου kme o η ακτίνα Boh ev n 3.6 n =,,3, ο κύριος κβαντικός αριθμός Ίδιο με το αποτέλεσμα του Boh!!! /3 3/ 3 / 3/, / 3/ / 3/ ) ( 7 3 3 3 e R e R e R e R
Το φυσικό νόημα των κβαντικών αριθμών { n } Κύριος κβαντικός αριθμός Καθορίζει την ενέργεια δέσμευσης του ηλεκτρονίου. Παίρνει τις ακέραιες τιμές n =,, 3,... { } Τροχιακός κβαντικός αριθμός Καθορίζει το μέγεθος της στροφορμής του ηλεκτρονίου. Παίρνει τις ακέραιες τιμές =,,, 3,..., (n -). { m } Μαγνητικός κβαντικός αριθμός Καθορίζει το μέγεθος της προβολής της στροφορμής του ηλεκτρονίου σε προτιμητέο άξονα. Παίρνει τις ακέραιες τιμές m = -, -+,..., -,. Κάθε κατάσταση του ηλεκτρονίου του ατόμου του υδρογόνου καθορίζεται πλήρως από τους τρεις κβαντικούς αριθμούς n,, m. Αυτοί καθορίζουν την ενέργεια και την κυματοσυνάρτηση της κατάστασης. Οι ενέργεια των καταστάσεων εξαρτάται μόνο από τον κύριο κβαντικό αριθμό n. Εκφυλισμός : Συμπτωματικός Εκφυλισμός. Οφείλεται στην συναρτησιακή μορφή (ιδιομορφία ) του Κουλομπικού δυναμικού V() ~/. m : Περιστροφικός Εκφυλισμός. Οφείλεται στην σφαιρική συμμετρία του δυναμικού (κι όχι στη συναρτησιακή του μορφή). Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
Το φυσικό νόημα των κβαντικών αριθμών Βαθμός εκφυλισμού d n :,,,3,..., ( n ) : m,,..., ( ) καταστάσεις d n ( ) n Ο εκφυλισμός κάθε υδρογονικής ενεργειακής κατάστασης {n,, m } είναι n Φασματοσκοπικός συμβολισμός των καταστάσεων: {n: στοιβάδα, : υποστοιβάδα } n Σύμβολο Στοιβάδας Σύμβολο Υποστοιβάδας Σύμβολισμός Κατάστασης K s s L p p 3 M d 3d 4 N 3 f 4f smt peope don't fi Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
Διάγραμμα ενεργειακών επιπέδων Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3 Ενεργός Δυναμική Ενέργεια ) ( ) ( ) ( R m ke E m d dr d R d R V E m d dr d R d () V eff ) ( ) ( m ke V eff
Ψευδοκυματοσυνάρτηση R() d R d dr d m ( ) d m d d d E V ( ) R R V R ER d d Είναι όμως eff d d ( R) R d d m d d ( R) V eff ( R) E( R) Μονοδιάστατη εξίσωση Schödinge που ικανοποιεί η κυματοσυνάρτηση R() για το δυναμικό V eff. Το φυσικό νόημα της R() Πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε σφαιρικό φλοιό με ακτίνες και P( ) R( ) d R( ) d P( ) R( ) Ακτινική πυκνότητα πιθανότητας ( ή ακτινική κατανομή πιθανότητας ) Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
..8 n=, = Ακτινικές Κυματοσυναρτήσεις.6.4. R R. s Αριθμός κόμβων: n -.8.6.4.. 3 4 5 6 7 8 9 /.8..7 n=, = n=, =.6.5 R R.5 R R.4.3 s. p..5... -. -. 4 6 8 4 6 8 -.5 4 6 8 4 6 8 / / Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
.4 Ακτινικές Κυματοσυναρτήσεις.3. 3s n=3, = R 3 R 3 Αριθμός κόμβων: n -.. -. 5 5 5 3 /.3.5... 3p n=3, = R 3 R 3.5. 3d n=3, = R 3 R 3.5.. -. 5 5 5 3 -.5 5 5 5 3 / / Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
Γενική λύση κυματοσυνάρτησης κεντρικών πεδίων: Θεμελιώδης Κατάσταση nm m (,, ) R ( ) Y (, ) / Θεμελιώδης κατάσταση (n=, =, m =): (,, ) R( ) Y (, ) e Πιθανότερη απόσταση για να βρεθεί το ηλεκτρόνιο. d d P d 3/ / ( ) e 3 d d 4 d n / e 3/ Η πιθανότερη απόσταση για να βρεθεί το ηλεκτρόνιο στο άτομο του υδρογόνου είναι η ακτίνα Boh!,8 Μέση απόσταση <> του ηλεκτρονίου από τον πυρήνα.,6 < > <> n=, = R 4 3 / 3 P ) d e d 3 (,4, Μέγεθος ατόμου (κατά σύμβαση): Η ακτίνα Boh n, 3 4 5 6 / Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
Τροχιακό Κβαντική κατάσταση Κυματοσυνάρτηση Τροχιακό s (n=, =, m =) Τροχιακά s (n, =, m =) / (,, ) ( ) (, ) 3/ R Y e 4 s τροχιακά Σφαιρική Συμμετρία Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
Τροχιακό Κβαντική κατάσταση Κυματοσυνάρτηση Τροχιακό p (n=, =, m =) m m (,, ) R( ) Y (, ) Ψ R n R Y m Y nm Ψ [Ψ p ] z P z z z + - Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3 Κυματοσυναρτήσεις πραγματικής μορφής ) cos( 4 ),, ( / 3/ e i e e ) sin( 8 ),, ( / 3/, Πραγματική μορφή (προσανατολισμός κατά μήκος του άξονα z) Μιγαδική μορφή Μπορούμε να εργαστούμε ως εξής ) )cos( sin( 4 ] [ / 3/, x p e ) )sin( sin( 4 ] [ / 3/, y p e i Πραγματική μορφή (προσανατολισμός ) y x z y p x p z p p p p,, ],[ ],[ ] [,,, Εξαιτίας του εκφυλισμού των καταστάσεων μπορούμε να επιλέξουμε να εργαστούμε με κυματοσυναρτήσεις πραγματικής μορφής αντί για μιγαδικής έτσι ώστε να έχουμε καλύτερη γεωμετρική οπτική των κυματοσυναρτήσεων ή
Κυματοσυναρτήσεις πραγματικής μορφής Σφαιρικές Αρμονικές πραγματικής μορφής =, p καταστάσεις =, d καταστάσεις Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
Τροχιακά 3p z 3d xz 4p z 4d xz Το κόκκινο και μπλε χρώμα συμβολίζουν την φάση της κυματοσυνάρτησης Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
Τροχιακά Το κόκκινο και μπλε χρώμα συμβολίζουν την φάση της κυματοσυνάρτησης Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
Υδρογονοειδή άτομα 7 Ατομικά ιόντα με ένα ηλεκτρόνιο που φέρουν φορτίο Ζ, π.χ. He, O,. Κουλομπική Δυναμική Ενέργεια Ze V ( ) k Ενέργειες Καταστάσεων E n ke o Z n 3.6 Z n ev Κυματοσυναρτήσεις: προκύπτουν από αυτές του υδρογόνου με την αντικατάσταση / Z π.χ. 3/ Z Z/ (,, ) e cos( ) 4 Ακτίνα Boh (άσκηση) n Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση. διαθέσιμη εδώ. http://ecouse.uoi.g/couse/view.php?id=4.
Σημείωμα Αναφοράς Copyight Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής. «Σύγxρονη Φυσική II. Το άτομο του Υδρογόνου». Έκδοση:.. Ιωάννινα 4. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecouse.uoi.g/couse/view.php?id=4.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cetive Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4. [] ή μεταγενέστερη. [] https://cetivecommons.og/icenses/by-s/4./