Martingales. Κεφάλαιο Εισαγωγή. 4.2 εσευένη έση τιή

Κεφάλαιο 4 Martingales 4.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα εισαγάγουε την έννοια της δεσευένης έσης τιής για διακριτές τυχαίες εταβλητές και θα δούε πότε χαρακτηρίζουε ια στοχαστική διαδικασία διακριτού χρόνου ως martingale. Μια βασική ιδιότητα που έχει ια martingale είναι ότι η αναενόενη τιή της ένει σταθερή στον χρόνο ακόα και όταν αυτή υπολογίζεται για έναν φραγένο χρόνο διακοπής. Οπως θα δούε, αυτή η ιδιότητα είναι ένα πολύ ισχυρό υπολογιστικό εργαλείο, ιδιαίτερα όταν η στοχαστική διαδικασία συβαίνει να είναι ταυτόχρονα αρκοβιανή. Παρόοιο υλικό πορείτε να βρείτε στις εξαιρετικές αναφορές [2], [8] και [9]. 4.2 εσευένη έση τιή Στην παράγραφο αυτή θα ορίσουε τη δεσευένη έση τιή ως προς ια διακριτή τυχαία εταβλητή. Ας υποθέσουε λοιπόν ότι οι X, Y είναι τυχαίες εταβλητές, ορισένες στον ίδιο χώρο πιθανότητας, που παίρνουν τιές στα αριθήσια σύνολα X, Y αντίστοιχα. Ας συβολίζουε ε p XY την από κοινού σ..π. των X και Y, δηλαδή p XY (x, y) =P X = x, Y = y, x X, y Y. Οι περιθώριες σ..π. των X, Y πορούν εύκολα να υπολογιστούν από την από κοινού σ..π. ως εξής. p X (x) =P X = x = y Y P X = x, Y = y, x X και p Y (y) =P Y = y = x X P X = x, Y = y, y X. Υποθέτουε χωρίς βλάβη ότι p Y (y) > 0 για κάθε y Y, αφού, αν p Y (y) =0, πορούε να αφαιρέσουε ένα τέτοιο y από το Y. Ηδεσευένηπιθανότητατουενδεχοένου{X = x} δεδοένου του ενδεχοένου {Y = y} είναι P X = x Y = y = P X = x, Y = y P Y = y. Ηδεσευένηπιθανότητατουενδεχοένου{X = x} ως προς την τυχαία εταβλητή Y είναι ια τυχαία εταβλητή, που είναι συνάρτηση της Y και η τιή της, όταν Y = y, είναι P X = x Y = y. Εχει σηασία να έχουε κατά νου ότι η δεσευένη πιθανότητα ως προς ια τυχαία εταβλητή είναι εν γένει ια τυχαία 50

εταβλητή και όχι ένας αριθός. ΗτιήτηςαλλάζειανάεσαστασηείατουδειγατικούχώρουΩ. Αν όως θεωρήσουε τη διαέριση του Ω Ω = {ω Ω : Y (ω) =y} = = y}, y Y y Y{Y τότε, σε καθένα από τα ενδεχόενα {Y = y}, ητιήτηςp X = x Y παραένει σταθερή και ίση προς P X = x Y = y. Εχουε λοιπόν ότι P X = x Y = p(x Y ), όπου p(x y) =P X = x Y = y = P X = x, Y = y P,y Y. Y = y Παρατηρήστε ότι, για κάθε y Y, η p( y) είναι ια σ..π. στον X. Εποένως, πορούε να φανταζόαστε την P X = Y ως ια τυχαία σ..π. Ορισός: Εστω X ια πραγατική, διακριτή, τυχαία εταβλητή, ε E X <. Ορίζουε τη δεσευένη έση τιή (conditional expectation) της X ως προς τη διακριτή τυχαία εταβλητή Y, ως την αναενόενη τιή της X, υπολογισένη ε βάση την τυχαία σ..π. P X = Y, δηλαδή E X Y = x X x P X = x Y. (4.1) ΗσυνθήκηE X < εξασφαλίζει ότι το δεξί έλος είναι πεπερασένο. Παρατηρήστε ότι η E X Y, ως γραικός συνδυασός των P X = x Y, είναι κι αυτή ια πραγατική τυχαία εταβλητή, ηοποίαείναι συνάρτηση της Y. Αυτή η συνάρτηση, g(y )=E X Y, έχει τη σταθερή τιή g(y) = x X x P X = x Y = y σε καθένα από τα ενδεχόενα {Y = y}. Παράδειγα 27 Ρίχνετε ένα ζάρι και στη συνέχεια στρίβετε τόσα κέρατα όσα η ένδειξη του ζαριού, Y {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Αν X {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} είναι το πλήθος των κεφαλών που θα φέρετε, τότε η δεσευένη κατανοή της X, δεδοένου ότι Y = y, είναι διωνυική bin(y, 1 2 ), δηλαδή P X = x y 1 Y = y = x 2 y. ΗδεσευένηέσητιήτηςX ως προς την Y είναι ια τυχαία εταβλητή, που στο ενδεχόενο {Y = y} έχει την τιή y y 1 x x 2 y = y 2. Εποένως, E X Y = Y 2. x=0 Θεώρηα 11 Η g(y )=E X Y της σχέσης (4.1) είναι η οναδική συνάρτηση της Y για την οποία E Xh(Y ) = E g(y )h(y ), για κάθε συνάρτηση h : Y [0, 1]. (4.2) 51

Απόδειξη: Θα δείξουε πρώτα ότι η g(y )=E X Y της (4.1) έχει την ιδιότητα (4.2). Πράγατι, από τον ορισό της δεσευένης πιθανότητας και το Θεώρηα Fubini-Tonelli έχουε E Xh(Y ) = xh(y) P X = x, Y = y x X y Y = xh(y) P X = x Y = y P Y = y x X y Y = h(y) x P X = x Y = y P Y = y y Y x X = y Y h(y)g(y) P Y = y = E g(y )h(y ). Θα δείξουε τώρα ότι η g είναι η οναδική συνάρτηση της Y που έχει την ιδιότητα (4.2). Εστω φ(y ) ια συνάρτηση της Y για την οποία E Xh(Y ) = E φ(y )h(y ) για οποιαδήποτε συνάρτηση h : Y [0, 1]. Επιλέγοντας 1, αν Y = y h y (Y )= 0, αν Y = y παίρνουε xp X = x, Y = y = φ(y)p Y = y. x X Εποένως, για κάθε y Y, έχουε φ(y) = x X x P X = x, Y = y P Y = y = g(y). Το παραπάνω θεώρηα ας δίνει έναν εναλλακτικό ορισό της δεσευένης έσης τιής ο οποίος έχει δύο πλεονεκτήατα. Αφενός, δεν κάνει αναφορά στο είδος των τυχαίων εταβλητών X, Y, ενώ ο αρχικός ορισός υποθέτει ότι οι X, Y έχουν διακριτή κατανοή. Αφετέρου, απλοποιεί συχνά τις αποδείξεις ισχυρισών που αφορούν στη δεσευένη έση τιή, όπως θα δούε και στο ακόλουθο θεώρηα. Θεώρηα 12 Θεωρούε Y,Z διακριτές τυχαίες εταβλητές. Ηδεσευένηέσητιήέχειτιςπαρακάτω ιδιότητες. 1. E c 1 X 1 + c 2 X 2 Y = c 1 E X 1 Y + c 2 E X 2 Y, για κάθε c 1,c 2 R. 2. E E X Y = E X. 3. Αν οι X, Y είναι ανεξάρτητες, τότε η E X Y είναι σταθερή και έχει την τιή E X. 4. Αν η f : Y R είναι φραγένη συνάρτηση, τότε E Xf(Y ) Y = f(y )E X Y. 5. E X Y E X Y. 6. E E X Y,Z Y = E X Y. 52

7. Αν X 1 X 2, τότε E X 1 Y E X2 Y. Απόδειξη: Σε όλη την απόδειξη η h είναι ια συνάρτηση h : Y [0, 1]. Για την (1), αν g 1 (Y )=E X 1 Y και g 2 (Y )=E X 2 Y, από τη γραικότητα της έσης τιής έχουε ότι E (c 1 X 1 + c 2 X 2 )h(y ) = c 1 E X 1 h(y ) + c 2 E X 2 h(y ) Εποένως, από το Θεώρηα 4.2, = c 1 E g 1 (Y )h(y ) + c 2 E g 2 (Y )h(y ) = E (c 1 g 1 (Y )+c 2 g 2 (Y ))h(y ). E c 1 X 1 + c 2 X 2 Y = c 1 g 1 (Y )+c 2 g 2 (Y )=c 1 E X 1 Y + c 2 E X 2 Y. Για την (2), αρκεί να επιλέξουε h(y )=1στο Θεώρηα 4.2. Για την (3), έχουε E Xh(Y ) = E X E h(y ) = E E X h(y ). ΗπρώτηισότηταισχύειλόγωτηςανεξαρτησίαςτωνX, Y και η δεύτερη γιατί η E X είναι ια σταθερά. Από το Θεώρηα 4.2 έχουε λοιπόν ότι E X Y = E X. Υπενθυίζουε ότι, όταν η Y είναι σταθερή, τότε είναι ανεξάρτητη από κάθε άλλη τυχαία εταβλητή, εποένως E X Y = E X, για οποιαδήποτε τυχαία εταβλητή X. Για τον ίδιο λόγο, έχουε ότι E c Y = c, για οποιαδήποτε τυχαία εταβλητή Y και c R. Για την (4), λόγω της γραικότητας (ιδιότητα 1), αρκεί να υποθέσουε ότι η f είναι η αρνητική και φραγένη από το 1. Πράγατι, αν f + = max{f,0}, f = max{ f,0} και M =sup f, έχουε ότι f = M f + M f M όπου οι f ± /M είναι η αρνητικές και φραγένες από το 1. Σε αυτή την περίπτωση, εφόσον η f h είναι κι αυτή ια συνάρτηση από το Y στο [0, 1], το Θεώρηα 4.2 δίνει ότι για κάθε h : Y [0, 1] έχουε E Xf(Y ) h(y ) = E Xf h(y ) = E g(y )f h(y ) = E g f(y )h(y ), όπου g(y )=E X Y. Εποένως, E Xf(Y ) Y = f(y )E X Y. Για την (5), παρατηρήστε ότι, αν ορίσουε το θετικό και το αρνητικό έρος της X ως X + = max{x, 0} 0 και X = max{ X, 0} 0 αντίστοιχα, τότε X = X + X και X = X + + X. Εποένως, από την τριγωνική ανισότητα, έχουε E X Y = E X + Y E X Y E X + Y + E X Y = E X Y., Για την (6), αν ορίσουε G(Y,Z)=E X Y,Z, έχουε αρχικά από τις ιδιότητες (5) και (1), ότι E G(Y,Z) E E X Y,Z = E X <. ΗδεσευένηέσητιήE G(Y,Z) Y είναι λοιπόν καλά ορισένη. Από το Θεώρηα 4.2, αρχικά για την G(Y,Z) και στη συνέχεια για τη X, έχουε ότι E G(Y,Z)h(Y ) = E Xh(Y ) = E g(y )h(y ). Εποένως, E G(Y,Z) Y = g(y )=E X Y. Τέλος για την (7), από τη γραικότητα της δεσευένης έσης τιής (ιδιότητα 1), αρκεί να δείξουε ότι X 0 E X Y 0. 53

Αν τώρα g(y )=E X Y και h(y )= {g(y ) < 0} 0, τότε, από το Θεώρηα 4.2 0 E Xh(Y ) = E g(y )h(y ) = E g(y ) {g(y ) < 0} 0. Προκειένου όως να έχουε ισότητα στην τελευταία ανισότητα, θα πρέπει P g(y ) < 0 =0. Παράδειγα 28 Πενήντα φοιτητές από το ΕΜΠ, εβδοήντα φοιτητές από το ΕΚΠΑ και 30 φοιτητές από το ΟΠΑ παίρνουν έρος σ ένα διαγώνισα. Αν επιλέξουε τυχαία έναν από τους φοιτητές, πορούε να θεωρήσουε ως δειγατικό χώρο του πειράατος τύχης το σύνολο των φοιτητών και τότε το πανεπιστήιο προέλευσής τους Y είναι ια τυχαία εταβλητή ορισένη σε αυτόν τον χώρο, ενώ ο βαθός τους στο διαγώνισα X είναι ια άλλη τυχαία εταβλητή. Η E X Y είναι ια τυχαία εταβλητή, που δίνει σε όλους τους φοιτητές του Πανεπιστηίου Y τον έσο όρο M(Y ) των φοιτητών του Y. Τότε η ιδιότητα 2 του Θεωρήατος 12 σηαίνει ότι ο έσος όρος M των βαθών όλων των φοιτητών δίνεται από τη M = 50 70 30 M(EMΠ)+ M(EKΠA)+ 150 150 150 M(OΠA), δηλαδή ο έσος όρος των βαθών όλων των φοιτητών πορεί να υπολογιστεί και ως ένας ζυγισένος έσος των έσων βαθών κατά πανεπιστήιο, ε βάρη τις πιθανότητες ο τυχαία επιλεγένος φοιτητής να προέρχεται από κάθε πανεπιστήιο. 4.3 Martingales Σε αυτή την παράγραφο θα δούε πότε χαρακτηρίζουε ια στοχαστική διαδικασία διακριτού χρόνου ως martingaleκαι κάποιες βασικές ιδιότητες αυτών των διαδικασιών. Θυηθείτε από το Κεφάλαιο 2 ότι, αν έχουε ια ακολουθία από διακριτές τυχαίες εταβλητές, όπως π.χ. στην περίπτωση ιας στοχαστικής διαδικασίας διακριτού χρόνου {X n } n N0 και το ενδεχόενο A εξαρτάται όνο από τις τιές των X 0,...,X n, γράφουε A. Για κάθε n N 0, η Y n =(X 0,...,X n ) είναι ια τυχαία εταβλητή ε τιές στον διακριτό χώρο X n+1. Θα συβολίζουε τη δεσευένη έση τιή ιας τυχαίας εταβλητής Z ως προς την Y n ε E Z. Εποένως, η E Z = E Z X 0,...,X n είναι ια τυχαία εταβλητή που εξαρτάται όνο από τις X 0,...,X n. Ορισός: Αν ια τυχαία εταβλητή X είναι συνάρτηση των X 0,...,X n, θα λέε ότι η X είναι - ετρήσιη. Ορισός: Αν, για ια στοχαστική διαδικασία {M n } n N0 ητυχαίαεταβλητήm n είναι -ετρήσιη για κάθε n N 0, θα χαρακτηρίζουε την {M n } n N0 προσαροσένη (adapted) στην { } n N0. Ορισός: Θα χαρακτηρίζουε ια στοχαστική διαδικασία {M n } n N0 ε τιές στο R ως -martingale, αν για κάθε n N 0 έχουε 1. E M n <, 2. E M n+1 = Mn. Ηπρώτησυνθήκητουορισούυπάρχειαπλώςγιαναείναικαλάορισένηηδεσευένηέσητιήπου εφανίζεται στη δεύτερη. Η ουσία του ορισού βρίσκεται στη δεύτερη συνθήκη. Αυτό που χαρακτηρίζει ια martingale είναι ότι, ε δεδοένο οτιδήποτε έχει συβεί έχρι τη χρονική στιγή n, ηαναενόενητιή της ετά το επόενο βήα είναι ίδια ε τη σηερινή, όπως ακριβώς συβαίνει, σε κάθε γύρο ενός δίκαιου παιχνιδιού, ε την περιουσία κάποιου που στοιχηατίζει σ αυτό. Παρατηρήστε επίσης ότι, από την ιδιότητα 2 του ορισού, ια διαδικασία που είναι -martingale, είναι πάντα προσαροσένη στην { } n N0. 54

Παράδειγα 29 Ενας απλός, συετρικός τυχαίος περίπατος {S n } n N0 στο Z είναι martingale. Πράγ- ατι, αν S 0 = x Z, έχουε ότι για κάθε n N S n = S n 1 + X n = x + n X k, όπου η {X n } n N είναι ια ακολουθία ανεξάρτητων, ισόνοων τυχαίων εταβλητών, που παίρνουν τις τιές +1 ή -1, ε πιθανότητα 1 2 καθειά. Εχουε λοιπόν ότι S n x + n<, ενώ E S n+1 = E Sn + X n+1 = E Sn + E Xn+1 = Sn + E X n+1 = Sn. Ηδεύτερηισότηταπροκύπτειαπότηνιδιότητα1 του Θεωρήατος 12, ενώ η τρίτη ισότητα από τις ιδιότητες 3 και 4 του ίδιου θεωρήατος. Παράδειγα 30 Αν {S n } n N0 είναι ο απλός, συετρικός τυχαίος περίπατος του προηγούενου παραδείγατος, τότε η διαδικασία {M n } n N0 ε M n = Sn 2 n είναι martingale. Πράγατι, εφόσον S n x +n, έχουε ότι E M n ( x + n) 2 <. Από τις ιδιότητες 1, 3 και 4 του Θεωρήατος 12, έχουε τώρα ότι E Sn+1 2 = E S 2 n +2S n X n+1 + Xn+1 2 = S 2 n +2S n E X n+1 + E 1 = S 2 n +2S n E X n+1 +1=S 2 n +1. Αφαιρώντας n +1από τα δύο έλη, παίρνουε ότι E M n+1 = Mn. Παράδειγα 31 Εστω z (0, 1). Για τον απλό, συετρικό, τυχαίο, περίπατο των προηγούενων παραδειγάτων θα εξετάσουε αν, για κάποια σταθερά α = α(z) > 0, ηδιαδικασία{m n } n N0 ε M n = α Sn z n είναι martingale. Ηπρώτησυνθήκητουορισούελέγχεταιεύκολαόπωςσταπροηγούεναπαραδείγατα. Τώρα, από τις ιδιότητες 3 και 4 του Θεωρήατος 12 E M n+1 = E α S n α X n+1 z n+1 = z n+1 α Sn E α X n+1 k=1 = zm n E α X n+1 = 1 2 zm 1 n α +. α Εποένως, η {M n } n N0 είναι martingale, αν και όνο αν α + 1 α = 2 z α = 1 ± 1 z 2. z Παράδειγα 32 Αν η Z είναι ια τυχαία εταβλητή ε E Z <, τότε η M n = E Z είναι martingale. Πράγατι, από τις ιδιότητες 5 και 2 του Θεωρήατος 12, έχουε E M n = E E Z E E Z = E Z <. Επιπλέον, από την ιδιότητα 6 του Θεωρήατος 12, για κάθε n N 0 έχουε E M n+1 = E E Z +1 = E Z = Mn. 55

Παράδειγα 33 (ετασχηατισός martingale) Εστω {M n } n N0 ια -martingale. Θεωρούε ια στοχαστική διαδικασία {φ n } n N0 προσαροσένη στην { } n N0, τέτοια ώστε, για κάθε n N 0 ητυχαία εταβλητή φ n είναι φραγένη από ια σταθερά C n. Ορίζουε (φ M) 0 =0και για n N n 1 (φ M) n = φ k (M k+1 M k ). Η {(φ M) n } n N0 είναι ια martingale. Ηιδιότητα1 δεν είναι δύσκολο να ελεγχθεί, ενώ E (φ M) n+1 = E (φ M)n +φ n (M n+1 M n ) =(φ M)n +φ n E M n+1 M n =(φ M)n, όπου στη δεύτερη ισότητα χρησιοποιήσαε ότι η φ n είναι -ετρήσιη ώστε, από την ιδιότητα 4 του Θεωρήατος 12, να τη βγάλουε εκτός της δεσευένης έσης τιής. Εστω ότι παίζουε ένα τίιο παιχνίδι όπου πριν από κάθε γύρο ποντάρουε κάποια νοίσατα. Σε κάθε γύρο κερδίζουε ή χάνουε ε πιθανότητα 1/2. Αν κερδίσουε σε κάποιον γύρο, ας επιστρέφεται το στοιχηά ας στο διπλάσιο, διαφορετικά χάνουε όσα νοίσατα στοιχηατίσαε. Αν πριν από κάθε γύρο ποντάρουε ένα νόισα, ηπεριουσίααςθαείναιέναςτυχαίοςπερίπατοςστουςακεραίους M n = x + n X k. Στην παραπάνω σχέση x είναι το αρχικό πλήθος των νοισάτων ας, ενώ οι τυχαίες εταβλητές X k παριστάνουν το κέρδος ας κατά τον γύρο k και έχουν έση τιή 0. Αν τώρα πριν από τον γύρο k +1 ποντάρουε φ k νοίσατα, τότε η εταβολή της περιουσίας ας θα είναι φ k X k+1 = φ k (M k+1 M k ) και ηπεριουσίααςετάτονn-οστό γύρο θα είναι x +(φ M) n. Μπορούε να επιτρέψουε στο ποντάρισά ας να εξαρτάται απ ό,τι έχει συβεί έχρι τη στιγή που ποντάρουε, αλλά όχι απ ό,τι θα συβεί στο έλλον. Εποένως, για κάθε k N 0, η φ k είναι ια τυχαία εταβλητή, που εξαρτάται όνο από τις X 1,X 2,...,X k, είναι δηλαδή F k -ετρήσιη. Το προηγούενο παράδειγα ας διδάσκει ότι, ακόα κι αν ποντάρουε χρησιοποιώντας τη σοφία που έχουε κάθε φορά σωρεύσει, ηπεριουσίααςθαείναικαιπάλι ια martingale. Το ακόλουθο θεώρηα ας διδάσκει ότι δεν πορούε να αυξήσουε την αναενόενη περιουσία ας ποντάροντας έξυπνα. Θεώρηα 13 Αν η διαδικασία {M n } n N0 είναι martingale, τότε E M n+k F k = Mk, για κάθε k N 0 και n N. Ειδικότερα, E M n = E M0, για κάθε n N. Απόδειξη: Εστω k N 0. Θα αποδείξουε τον ισχυρισό ε επαγωγή επί του n. Για n =1οισχυρισός συπίπτει ε την ιδιότητα 2 του ορισού ιας martingale. Εστω τώρα ότι E M n+k Fk = Mk για κάποιο n N. Από την ιδιότητα 6 του Θεωρήατος 12, έχουε E M n+k+1 F k = E E M n+k+1 +k Fk = E M n+k F k = Mk, όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από την επαγωγική υπόθεση. Ειδικότερα, για k = 0 έχουε E M n F 0 = M0. Το ζητούενο προκύπτει τώρα από την ιδιότητα 2 του Θεωρήατος 12, παίρνοντας την αναενόενη τιή των δύο ελών. Σύφωνα ε το προηγούενο θεώρηα, ηαναενόενητιήιαςmartingale είναι η ίδια σε όποια χρονική στιγή n N 0 κι αν την υπολογίσουε. Ενα κεντρικό αποτέλεσα στη ελέτη των martingale είναι ότι ηπαραπάνωιδιότηταπαραένεισεισχύακόακιαναυτήηχρονικήστιγήείναιέναςφραγένοςχρόνος διακοπής. 56 k=1

Θεώρηα 14 επιλεκτικής διακοπής (optional stopping) Αν η διαδικασία {M n } n N0 είναι -martingale και ο τυχαίος χρόνος T είναι φραγένος χρόνος διακοπής της {X n } n N0, τότε E M T = E M0. Απόδειξη: Εστω N ένα άνω φράγα του χρόνου T. Εχουε τότε ότι 1= N {T = k} και E N M T = E M T {T = k} = N E M k {T = k}. (4.3) Από το Θεώρηα 13 έχουε ότι E M N F k = Mk, για k =0, 1,...,N 1. Εφόσον ο T είναι χρόνος διακοπής, η {T = k} εξαρτάται όνο από τις X 0,...,X k και παίρνει τιές στο διάστηα [0,1]. Εποένως, από το Θεώρηα 4.2 έχουε ότι Αντικαθιστώντας τώρα στην (4.3) έχουε ότι E M N {T = k} = E M k {T = k}. E N M T = E M N {T = k} = E M N = E M0, όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει πάλι από το Θεώρηα 13. Παρατήρηση 1: Το προηγούενο θεώρηα ας διδάσκει ότι δεν πορούε να αυξήσουε την αναενόενη περιουσία ας σ ένα τίιο παιχνίδι ακολουθώντας ια στρατηγική εξόδου που πορεί να εξαρτάται απ ό,τι έχει συβεί στο παρελθόν, αλλά οφείλει να έχει ολοκληρωθεί έχρι κάποια συγκεκριένη χρονική στιγή N. Παρατήρηση 2: ΗυπόθεσηότιοχρόνοςδιακοπήςT είναι φραγένος είναι ουσιαστική. εν πορεί εν γένει να αντικατασταθεί από την ασθενέστερη συνθήκη P T< =1, όπως φαίνεται στο παράδειγα που ακολουθεί. Παράδειγα 34 Θεωρούε έναν απλό, συετρικό, τυχαίο περίπατο {S n } n N0 στο Z, που ξεκινά από το ηδέν. Εστω T 1 =inf{k 0:X k =1} οχρόνοςπρώτηςάφιξηςτουπεριπάτουστο1. Οπως είδαε στο Παράδειγα 14, ο T 1 είναι χρόνος διακοπής, ενώ, από το Παράδειγα 17, ο {S n } n N0 είναι επαναληπτικός. Το Λήα 4 δίνει λοιπόν ότι P 0 T1 < =1. Είναι φανερό όως ότι στο ενδεχόενο {T 1 < } έχουε S T1 =1, εποένως E S T1 =1, ενώ E S0 =0. Παρατήρηση 3: Στην πράξη είναι σπάνιο να πορεί να εξασφαλίσει κανείς ότι ένας ενδιαφέρων χρόνος διακοπής T είναι φραγένος. Σύφωνα όως ε το Παράδειγα 13, οσταθερόςχρόνοςn N είναι χρόνος διακοπής, ενώ, αξιοποιώντας το Πόρισα 1, οχρόνοςt N =min{t,n} είναι χρόνος διακοπής και είναι προφανώς φραγένος από το N. Εφαρόζουε λοιπόν συνήθως το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής για τον T N και προσπαθούε να περάσουε το αποτέλεσα που παίρνουε στον αρχικό χρόνο διακοπής T, στέλνοντας το N στο άπειρο. Θα δούε πώς ακριβώς δουλεύει αυτή η διαδικασία στα παραδείγατα που ακολουθούν. Παράδειγα 35 Ενας απλός, συετρικός τυχαίος περίπατος {S n } n N0 ξεκινάει από το x Z. Αν a, b Z, ε a < x < b και T a,t b είναι οι χρόνοι πρώτης άφιξης στα a, b αντίστοιχα, θέλουε να υπολογίσουε την πιθανότητα P x Tb <T a. 57

Είδαε στο Παράδειγα 29 ότι η {S n } n N0 είναι martingale, οπότε άεσα προκύπτει ότι και η {M n } n N0 ε M n = S n a είναι martingale. Οπως είδαε στο παράδειγα 14 οι T a,t b, αλλά και ο χρόνος T = T a,b = T a T b =inf k 0:S k {a, b} είναι χρόνοι διακοπής. Θα εφαρόσουε το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής για τη martingale {M n } n N0 και τον φραγένο χρόνο διακοπής T N. Εχουε λοιπόν x a = E x M0 = Ex MT N = Ex MT {T<N} + E x MN {T N}. Παρατηρήστε τώρα ότι M T =0στο ενδεχόενο {T a <T b N}, ενώ M T = b a στο ενδεχόενο {T b <T a N}. Εχουε λοιπόν ότι x a =(b a) P x Tb <T a N + E x MN {T N}. (4.4) Παρατηρήστε τώρα ότι η ακολουθία ενδεχοένων B N = {T b <T a N} είναι αύξουσα και N B N = {T b <T a }. Εποένως, αν στείλουε το N στο άπειρο, οπρώτοςπροσθετέοςστοδεξίέλοςτείνειστο (b a)p x Tb <T a. Σε ό,τι αφορά στον δεύτερο προσθετέο παρατηρήστε ότι στο ενδεχόενο CN = {T N} οπερίπατοςέχριτηχρονικήστιγήn δεν έχει βγει από το σύνολο {a, a+1,...,b 1,b}. Εποένως, E x MN {T N} max{ a, b } Px T N max{ a, b } Px T =, αφού η ακολουθία ενδεχοένων C N είναι φθίνουσα, ε N C N = {T = }. Οπως έχουε δει όως οαπλός, συετρικός τυχαίος περίπατος είναι επαναληπτικός, εποένως P x T = =0. Παίρνοντας λοιπόν N στην (4.4) παίρνουε ότι P x Tb <T a = x a b a. Παράδειγα 36 Στο προηγούενο παράδειγα θέλουε να υπολογίσουε τον αναενόενο χρόνο ε- ξόδου του περιπάτου από το σύνολο {a, a + 1,...,b 1,b}. Θα χρησιοποιήσουε τη martingale του Παραδείγατος 30 και τον φραγένο χρόνο διακοπής T a,b N, όπου T a,b =inf k 0:S k {a, b} είναι οχρόνοςπρώτηςάφιξηςστοσύνολο{a, b}. Εχουε λοιπόν για κάθε N N ότι x 2 = E x M0 = Ex MTa,b N = Ex S 2 Ta,b N Ex Ta,b N. (4.5) Οπως και στο προηγούενο παράδειγα, lim E x S 2 Ta,b N = a 2 P x Ta <T b + b 2 P x Tb <T a = x(a + b) ab. N Για να υπολογίσουε το όριο του E x Ta,b N, πορούε είτε να επικαλεστούε το Θεώρηα ονότονης σύγκλισης της Θεωρίας Μέτρου (δείτε το Πόρισα 1.6 στο [8]), είτε να χρησιοποιήσουε το ακόλουθο χρήσιο αποτέλεσα από τις Πιθανότητες. Αν X είναι ια τυχαία εταβλητή που παίρνει ε πιθανότητα 1 τιές στους η αρνητικούς ακεραίους, όπως π.χ. η T a,b και η T a,b N στο παράδειγά ας, τότε Εχουε λοιπόν ότι E X = P X>k. E x Ta,b N = P x Ta,b N>k = 58 N 1 P x Ta,b >k.

Εποένως, lim E x Ta,b N N 1 = lim P x Ta,b >k = N N Παίρνοντας το όριο N στην (4.5) παίρνουε P x Ta,b >k = E x Ta,b. E x Ta,b =(x a)(b x). Στην ειδική περίπτωση όπου a = b = R και x =0, αν συβολίσουε ε T R =inf{k 0: S k R} τον χρόνο άφιξης του περιπάτου στο { R, R}, έχουε E 0 TR = R 2. Βλέπουε λοιπόν ότι ο αναενόενος χρόνος έχρι ο απλός, συετρικός τυχαίος περίπατος να διανύσει απόσταση R, είναι R 2. Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό των διαχυτικών διαδικασιών, που δεν έχουν την τάση να ετακινούνται προς κάποια κατεύθυνση και η ετακίνησή τους συβαίνει όνο ως αποτέλεσα τυχαίων διακυάνσεων. Παράδειγα 37 Μπορούε, χρησιοποιώντας το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής, να υπολογίσουε α- κόα και την κατανοή του χρόνου T R στο προηγούενο παράδειγα. Θυηθείτε από το Παράδειγα 31 ότι, για z (0, 1), ηδιαδικασίαα Sn z n είναι martingale, αν α = 1 ± 1 z 2. z Παρατηρήστε ότι οι παραπάνω τιές του α είναι η ία αντίστροφη της άλλης. Εύκολα επίσης ελέγχεται ότι το άθροισα δύο martingale είναι οοίως ια martingale. Εποένως, ηδιαδικασία{m n } n N0, ε M n = α Sn + α Sn z n, είναι martingale. Εφαρόζοντας το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής γι αυτήν τη martingale και τον φραγ- ένο χρόνο διακοπής T R N, έχουε α x + α x = E x M0 = Ex MTR N = Ex MTR {T R N} + E x MN {T R >N}. (4.6) Παρατηρήστε τώρα ότι, στο ενδεχόενο T R >N, οπερίπατοςβρίσκεταιέσαστοσύνολοi R = { R,..., R} τη χρονική στιγή N. Χρησιοποιώντας ότι α k + α k α R + α R για κάθε k I R και ότι z (0, 1) έχουε ότι E x MN {T R >N} (α R + α R )P x TR >N 0, καθώς N. Επιπλέον, από τον ορισό του χρόνου διακοπής T R, έχουε ότι M TR =(α R + α R )z T R. Εποένως, E x MTR {T R N} =(α R + α R )E x z T R {T R N} =(α R + α R ) (α R + α R ) N z k P x TR = k z k P x TR = k =(α R + α R )E x z T R. Παίρνοντας το όριο καθώς N στη σχέση (4.6) έχουε λοιπόν ότι όπου α(z) = 1 1 z 2 z. E x z T R α x (z)+α x (z) = α R (z)+α R, z (0, 1), (z) 59

4.4 Martingales και αρκοβιανές αλυσίδες Στην παράγραφο αυτή θα δούε πώς πορούε να υπολογίσουε, ε τη βοήθεια του Θεωρήατος επιλεκτικής διακοπής, πολλές ενδιαφέρουσες ποσότητες που εφανίζονται όταν ελετάε αρκοβιανές αλυσίδες. Ας ξεκινήσουε ε έναν απλό υπολογισό. Εστω {X n } n N0 ια αρκοβιανή αλυσίδα στον αριθήσιο χώρο καταστάσεων X. Θεωρούε ια συνάρτηση f : X R, τέτοια ώστε E f(x n ) < για κάθε n N 0. Από τη αρκοβιανή ιδιότητα έχουε ότι E f(x n+1 ) = E f(xn+1 ) X n. Αυτή η δεσευ- ένη έση τιή είναι, όπως είδαε, ια τυχαία εταβλητή, ηοποίαείναισυνάρτησητηςx n, και η τιή της στο ενδεχόενο {X n = x} είναι E f(x n+1 ) X n = x = y X p(x, y)f(y). Εποένως, E f(x n+1 ) = p(x n,y)f(y). (4.7) y X Θεώρηα 15 Αν E f(x n ) < για κάθε n N 0, τότε η στοχαστική διαδικασία {Mn f } n N0 M f 0 = f(x 0) και n 1 Mn f = f(x n ) Lf(X k ), για κάθε n N είναι -martingale. ε Απόδειξη: Παρατηρήστε αρχικά ότι Lf(X k )= p(x k,y) f(y) f(x k ) = p(x k )f(y) f(x k ) p(x k,y)=e f(x k+1 ) f(xk ). y X y X y X Εχουε εποένως M f n+1 M f n = f(x n+1 ) f(x n ) Lf(X n )=f(x n+1 ) E f(x n+1 ) και M f n = M f 0 + n k=1 M f k M f k 1 = f(x0 )+ n f(x k ) E f(x k ) Fk 1. k=1 Από την τριγωνική ανισότητα παίρνουε ότι E M f n <, ενώ E M f n+1 = M f n + E M f n+1 M n f = M f n. Χρησιοποιώντας το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής, κάθε martingale που πορούε να γράψουε ας δίνει ια πληροφορία για τη συπεριφορά της στοχαστικής διαδικασίας που ελετάε. Το Θεώρηα 15 ας προσφέρει έναν συστηατικό τρόπο για να κατασκευάζουε martingale που σχετίζονται ε ια αρκοβιανή ανέλιξη που θέλουε να αναλύσουε. Επιλέγοντας κατάλληλα τη συνάρτηση f, πορούε να κάνουε χρήσιους υπολογισούς. 60

Αυτή η ιδέα ρίχνει καινούργιο φως στα αποτελέσατα του Κεφαλαίου 3. Για παράδειγα, αν επιλέξουε ως f τη λύση του ΠΣΤ 3.2 Lf(x) =0, αν x/ A B f(x) =1, αν x A (4.8) f(x) =0, αν x B και εφαρόσουε το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής για τον χρόνο διακοπής T N = T A B N, παίρνουε ότι T f(x) =E x M f N 1 T N = Ex f(xtn ) Lf(X k ) = E x f(xtn ), για κάθε N N, όπου στην τελευταία ισότητα χρησιοποιήσαε ότι πριν τον χρόνο T N, ηαλυσίδαοπωσδήποτεβρίσκεται εκτός των A και B, οπότε Lf(X k )=0στο παραπάνω άθροισα. Προσέξτε ότι η εξίσωση που η f ικανοποιεί εκτός των A και B, επιλέχθηκε ακριβώς ώστε να απλοποιήσει την παραπάνω έκφραση. Προσέξτε ακόη ότι οι συνοριακές συνθήκες για την f έχουν έτσι επιλεγεί, ώστε περνώντας στο όριο (όταν αυτό είναι δυνατόν) το δεξί έλος να ας δίνει την πιθανότητα P x TA <T B. Ανάλογα πορεί να σκεφτεί κανείς και για τη λύση f του ΠΣΤ 3.13 Lf(x) = 1, αν x/ A f(x) =0, αν x A. Εδώ έχουε επιλέξει την εξίσωση που ικανοποιεί η f εκτός του A, ώστε το άθροισα T N 1 Lf(X k )=T N να εφανίζει την ποσότητα της οποίας την αναενόενη τιή θέλουε να βρούε. Επιπλέον, οι ηδενικές συνοριακές συνθήκες εξασφαλίζουν ότι δεν θα έχουε άλλους ανεπιθύητους όρους. Παράδειγα 38 Στον απλό, συετρικό τυχαίο περίπατο θέλουε να υπολογίσουε τον αναενόενο αριθό των επισκέψεων στο ηδέν πριν από τον χρόνο εξόδου T R =inf{k 0: S k = R}, δηλαδή την E x V (TR ) T R 1 = E x δ 0 (X k ). Θα θέλαε να χρησιοποιήσουε το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής για τη martingale{m f n } n N0, όπου η f είναι ια συνάρτηση που ικανοποιεί το ΠΣΤ Lf(x) = δ 0 (x), αν x <R Πράγατι, ε αυτή την επιλογή έχουε ότι f(x) =0, T N 1 Lf(X k )= T R 1 αν x >R. δ 0 (X k ) (4.9) 61

Επιπλέον, λόγω των συνοριακών συνθηκών, θα έχουε ηδενική συνεισφορά από όρους της ορφής f(x TR ). εν είναι ιδιαίτερα δύσκολο να βρούε ια συνάρτηση ε αυτές τις ιδιότητες. Ησυνθήκη Lf(x) =0 f(x + 1) + f(x 1) f(x) =0 f(x+1) f(x) =f(x) f(x 1), x=1, 2,...,R 1, 2 επιβάλλει η f να είναι γραική για x 0. Για να ικανοποιήσουε ταυτόχρονα τη συνοριακή συνθήκη στο R, θα πρέπει εποένως να έχουε f(x) =A(R x) για x =0, 1,...,R. Οοίως, θα πρέπει f(x) = B(R + x), για x =0, 1,..., R. Θέτοντας x =0στους δύο κλάδους παίρνουε ότι f(0) = AR = BR, εποένως έχουε A = B και f(x) =A(R x ), x { R, R +1,...,R 1,R}. Θα υπολογίσουε τώρα τη σταθερά A, ώστε Lf(0) = 1. Εχουε όως Lf(0) = f(1) + f( 1) 2 f(0) = A, εποένως f(x) =R x. Εφαρόζουε τώρα το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής για τη {M f n } n και τον χρόνο διακοπής T R N. R x = E x M f T R N = Ex f(xtr N) + E x V (TR N) = E x R XN {T R >N} T R N 1 + E x δ 0 (X k ). ΟπρώτοςόροςτουδεξιούέλουςφράσσεταιαπότηνRP x TR >N RP x TR = =0, αφού η ακολουθία ενδεχοένων C N = {T R >N} είναι φθίνουσα και N C N = {T R = }. Για τον δεύτερο όρο, πορούε είτε να χρησιοποιήσουε το Θεώρηα ονότονης σύγκλισης (Πόρισα 1.6 στο [8]), είτε να ελέγξουε, ε τη βοήθεια του Θεωρήατος Fubini-Tonelli, ότι Εχουε τότε ότι T R N 1 E x δ 0 (X k ) = N 1 E x δ0 (X k ) {T R >k}. lim E T R N 1 x δ 0 (X k ) = E x δ0 (X k ) {T R >k} T R 1 = E x δ 0 (X k ). N Εποένως, T R 1 E x δ 0 (X k ) = R x. Παράδειγα 39 Μπορούε να χρησιοποιήσουε τις παραπάνω ιδέες για να δείξουε ότι ο απλός, συετρικός τυχαίος περίπατος στο Z d είναι παροδικός για d>2. Θυηθείτε ότι όταν d =1ή 2, οαπλός, συετρικός, τυχαίος περίπατος είναι επαναληπτικός. Για x =(x 1,...,x d ) Z d ορίζουε x 2 = 62 d i=1 x 2 i

και V (x) = x α,x= 0, V(0) = 1. Αν 0 < α <d 2, πορεί κανείς να ελέγξει ότι υπάρχει ια σταθερά L = L(α,d) > 0, τέτοια ώστε LV (x) 0, όταν x >L. Αν ξεκινήσουε τον περίπατο από κάποιο x Z d, ε x >Lκαι ορίσουε T L =inf{k 0: X k L} να είναι ο χρόνος πρώτης άφιξης του περιπάτου στη σφαίρα ε κέντρο το 0 και ακτίνα L, το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής δίνει ότι Επιπλέον, x α = V (x) =E x V (XTL N) T L N 1 E x LV (X k ) E x V (XTL N) E x V (XTL N) = E x V (XTL ) {T L N} + E x V (XN ) {T L >N} L α P x TL N. Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις, παίρνουε ότι P x TL N L α. x Εφόσον τώρα η ακολουθία ενδεχοένων C N = {T L N} είναι αύξουσα και N C N = {T L < }, παίρνοντας το όριο καθώς N έχουε ότι P x TL < L α < 1, x εποένως ο περίπατος είναι παροδικός. Θεώρηα 16 Εστω A X και g : A R ια φραγένη συνάρτηση. Αν P x TA < =1για κάθε x A c, τότε το ΠΣΤ Lf(x) =0, αν x/ A (4.10) f(x) =g(x), αν x A έχει το πολύ ια φραγένη λύση, που δίνεται από την f(x) =E x g(xta ). Απόδειξη: Το ότι η E x g(xta ) λύνει το ΠΣΤ (4.10) αποδεικνύεται ε ανάλυση πρώτου βήατος, ε τρόπο εντελώς ανάλογο ε το Θεώρηα 7 του Κεφαλαίου 3. είξτε το για εξάσκηση. Για τη οναδικότητα, ας υποθέσουε ότι η f είναι φραγένη και ικανοποιεί το ΠΣΤ 4.10. Από το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής έχουε ότι f(x) =E x f(xta N) T A N 1 E x Lf(X k ) = E x f(xta N) = E x g(xta ) {T A N} + E x f(xn ) {T A >N}. Από την υπόθεση έχουε ότι P x TA = =0. Αν λοιπόν η σταθερά M είναι ένα κοινό φράγα των f και g, τότε E x g(xta ) {T A >N} + E x f(xn ) {T A >N} 2MPx TA >N 0. 63

Εποένως, παίρνοντας N έχουε ότι f(x) =E x g(xta ). Το παραπάνω Θεώρηα λειτουργεί προς δύο κατευθύνσεις. Αν πορούε να λύσουε το ΠΣΤ 4.10, τότε έχουε έναν τρόπο για να υπολογίσουε την E x g(xta ). Αντίστροφα, αν θέλουε να λύσουε το ΠΣΤ 4.10, που συχνά είναι ια εξίσωση διαφορών σε πολλές διαστάσεις, πορούε να βρούε τη λύση προσεγγιστικά, προσοοιώνοντας τροχιές ιας αρκοβιανής αλυσίδας ε γεννήτορα L και εκτιώντας τη έση τιή E x g(xta ) ε εθόδους Monte Carlo. 4.5 Ασκήσεις Άσκηση 51 Μπορούε να φανταστούε ια συνεχή συνάρτηση X :[0, 1) R ως ια τυχαία εταβλητή ορισένη στον δειγατικό χώρο Ω =[0, 1). Εφοδιάζουε τον Ω ε το σύνηθες έτρο που δίνει στα διαστήατα [a, b) πιθανότητα b a. Ορίζουε τώρα στον Ω την τυχαία εταβλητή Y, ε τιές στο {0, 1,...,9} και τύπο Y (x) =k αν k k+1 10 x< 10, k =0, 1,...,9. Υπολογίστε ε τη βοήθεια του Θεωρήατος 4.2 την E X Y. Άσκηση 52 Ρίχνουε δύο ζάρια. Ανάλογα ε το άθροισα των ζαριών Y, επιλέγουε τυχαία έναν αριθό X από το σύνολο {1, 2,...,Y}. Υπολογίστε την E X Y και επιβεβαιώστε την ιδιότητα 2 του Θεωρήατος 12. Άσκηση 53 (ανισότητα Jensen) Αν η f : R R είναι ια κυρτή συνάρτηση, ηγραφικήτηςπαράσταση είναι πάνω από την εφαπτοένη της σε οποιοδήποτε σηείο (x 0,f(x 0 )) του γραφήατος της f. Εποένως, για κάθε x 0,x R, f(x) f(x 0 )+f ±(x 0 )(x x 0 ). Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας δείξτε ότι, αν E X < και Y είναι ια διακριτή τυχαία εταβλητή, τότε E f(x) Y f E X Y. Μια ειδική περίπτωση αυτής της ανισότητας είναι η ιδιότητα 5 του Θεωρήατος 12, αφού η x x είναι κυρτή. Άσκηση 54 Ας θεωρήσουε τον δειγατικό χώρο Ω =[0, 1) και την τυχαία εταβλητή Z : Ω R ε τύπο Z(x) =x 2,x Ω. Ας θεωρήσουε επίσης την ακολουθία τυχαίων εταβλητών {X n } n N0, όπου X n (x) = k 2 n,x [ k 2 n, k +1 2 n ),, 1,...,2n 1. Φτιάξτε τις γραφικές παραστάσεις των X 0,X 1,X 2,X 3. Στη συνέχεια, ε τη βοήθεια της Άσκησης 51, βρείτε τις M n = E Z X 0,...,X n για n =1, 2, 3 και ζωγραφίστε τις γραφικές παραστάσεις τους. Άσκηση 55 Ορίζουε τη στοχαστική διαδικασία {S n } n N0, ε S 0 = x>0 και S n = S n 1 X n, n N, όπου η {X n } n N είναι ια ακολουθία από ανεξάρτητες τυχαίες εταβλητές, ε P X n = u = q (0, 1), P X n = d =1 q, για κάθε n N, όπου u, d > 0. Βρείτε την ικανή και αναγκαία συνθήκη που πρέπει να πληρούν οι παράετροι u, d, q, ώστε η {S n } n N0 να είναι martingale. Είναι η στοχαστική διαδικασία {log S n } n N0 martingale; 64

Άσκηση 56 ίνεται ένας περίπατος {S n } n N0 στους ακεραίους, ε S 0 = x Z και S n = x + n X k,n N, k=1 όπου οι {X k } k N είναι ανεξάρτητες, ισόνοες τυχαίες εταβλητές ε E X k = µ = 0. διαδικασία {M n } n N0, ε M n = S n µn είναι martingale. είξτε ότι η Άσκηση 57 Ρίχνετε ένα ζάρι ώσπου το άθροισα των ζαριών σας να φτάσει ή να ξεπεράσει τον αριθό ν N. Αν N N είναι ο αριθός των ζαριών που θα χρειαστεί να ρίξετε ώσπου να συβεί αυτό, δείξτε ότι E N > 2ν 7. Άσκηση 58 Για τον απλό, συετρικό τυχαίο περίπατο στους ακεραίους {S n } n N0, υπολογίστε τη σταθερά α ώστε η διαδικασία {M n } n N0 ε να είναι martingale. M n = S 3 n αns n Άσκηση 59 Εστω z (0, 1). Για έναν απλό τυχαίο περίπατο στους ακεραίους, ε p(x, x + 1) = p (0, 1) και p(x, x 1) = 1 p για κάθε x Z, δείξτε ότι η στοχαστική διαδικασία {M n } n N0, ε είναι martingale, αν και όνο αν M n = α Sn z n, n N 0, α = 1 ± 1 4p(1 p)z 2. 2pz Στη συνέχεια, χρησιοποιήστε το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής, για να δείξετε ότι, αν S 0 = x N, η γεννήτρια συνάρτηση του χρόνου πρώτης άφιξης στο 0, T 0 =inf{k 0:S k =0} είναι η ψ(z) =E x z T 0 1 x 1 4p(1 p)z 2 =,z (0, 1). 2pz ΗγεννήτριασυνάρτησηέχειόλητηνπληροφορίαγιατηνκατανοήτουχρόνουT 0. Π.χ. έχουε P x T0 < =lim z 1 ψ(z) = 1 1 2p x 1,p 1 = 2 x 2p,p> 1 2. Υπολογίστε ε τη βοήθεια της ψ(z) και των παραγώγων της, τη έση τιή και τη διασπορά του T 0. Άσκηση 60 Μπορούε να επλουτίσουε τη γκάα των martingale που σχετίζονται ε ια αρκοβιανή αλυσίδα {X n } n N0 θεωρώντας συναρτήσεις που εξαρτώνται και από τον χρόνο. είξτε κατ αναλογία ε το Θεώρηα 15 ότι, αν E f(n, X n ) < για κάθε n N 0, τότε η στοχαστική διαδικασία {Mn f } n N0, ε M f 0 = f(0,x 0) και 1 p p είναι -martingale. n 1 Mn f = f(n, X n ) (f(n +1,X k ) f(n, X k )+Lf(X k )), για n N 65

Άσκηση 61 Για να βρούε τη γεννήτρια συνάρτηση ενός χρόνου άφιξης T A =inf{k 0:X k A} ψ(z) =E z T A, z (0, 1), πορούε να θεωρήσουε ια συνάρτηση f : N 0 X R ε τύπο f(n, x) =z n h(x). Ποιο ΠΣΤ πρέπει να ικανοποιεί η συνάρτηση h : X R, ώστε εφαρόζοντας το Θεώρηα επιλεκτικής διακοπής για τη martingale της προηγούενης άσκησης να βρίσκουε την ψ(z); Μπορείτε τώρα να βρείτε όνοι σας γιατί επιλέξαε τη συγκεκριένη martingale στο Παράδειγα 37; Άσκηση 62 Θεωρήστε τον απλό, συετρικό τυχαίο περίπατο στους ακεραίους και τη συνάρτηση f : Z Z, f(k) =k 4. είξτε ότι Lf(k) =6k 2 +1 και συπεράνετε ότι η διαδικασία {M n } n N0, ε M 0 =0 και n 1 M n = Xn 4 Xn 2 6 είναι martingale. Αν X 0 =0και T R =inf{k 0: { R +1,...,R 1}, υπολογίστε την T N E k=1 X 2 k Xk 2, για n N, X k = R} είναι ο χρόνος πρώτης εξόδου από το Άσκηση 63 Παίζουε ένα ευνοϊκό παιχνίδι στο οποίο σε κάθε γύρο ε πιθανότητα p ( 1 2, 1) διπλασιάζουε το στοίχηά ας και ε πιθανότητα 1 p χάνουε το ποσόν που στοιχηατήσαε. Ξεκινάε ε αρχική περιουσία S 0 > 0 και αέσως πριν τον n-οστό γύρο πορούε να στοιχηατήσουε οποιοδήποτε ποσόν C n εταξύ του 0 και της περιουσίας ας έχρι εκείνη τη στιγή S n 1. Εποένως, αέσως ετά το n-οστό γύρο η περιουσία ας θα είναι S n = S n 1 + C n X n, όπου οι {X k } k N είναι ανεξάρτητες, ισόνοες τυχαίες εταβλητές, που παίρνουν την τιή +1 ε πιθανότητα p και την τιή -1 ε πιθανότητα 1 p. Η C n πρέπει να ικανοποιεί την ανισότητα 0 C n S n 1 και πορεί να εξαρτάται από τα αποτελέσατα των προηγούενων γύρων, θα πρέπει όως οπωσδήποτε να είναι 1 -ετρήσιη. Οσκοπόςαςείναιναβρούειαστρατηγικήπουεγιστοποιείτοναναενόενορυθό εγέθυνσης. r n = 1 n E log(s n /S 0 ). είξτε ότι, ανεξαρτήτως της στρατηγικής βάσει της οποίας επιλέγουε τα στοιχήατά ας, ηστοχαστική διαδικασία {M n } n N0 ε τύπο ικανοποιεί την ανισότητα M n = log(s n ) nh(p), όπου H(p) =p log p +(1 p) log(1 p) + log 2 E M n+1 Mn και συπεράνετε ότι r n H(p) για κάθε n N. Βρείτε τώρα ια στρατηγική (έναν τρόπο να επιλέγετε τα στοιχήατά σας {C n } n N ), τέτοια ώστε η {M n } n N0 να είναι martingale και δείξτε ότι ε αυτή τη στρατηγική έχουε 1 lim N n log Sn = H(p), ε πιθανότητα 1. S 0 66

4.6 Αριθητικά πειράατα Άσκηση 64 Θεωρούε το δισδιάστατο πλέγα hz 2 = {hz : z Z 2 }. Αν f : hz 2 R, ηδιακριτή Λαπλασιανή της f δίνεται από τον τύπο h f(x, y) = f(x + h, y)+f(x h, y)+f(x, y + h)+f(x, y h) 4f(x, y) h 2. Θέλουε να υπολογίσουε τη λύση του προβλήατος συνοριακών τιών h f(x, y) =0, αν x, y < 1 f(x, y) = sin(πx) sin(πy), αν x =1, ή y =1, για h =0.01, σύφωνα ε το αποτέλεσα του Θεωρήατος 4.10. Ηρουτίναsrw2d.py προσοοιώνει N = 10.000 βήατα ενός απλού, συετρικού τυχαίου περιπάτου στο Z 2 και υπολογίζει την αναενόενη τιή E X N ε τη έθοδο Monte Carlo. Προσοοιώνοντας ονοπάτια ενός απλού, συετρικού τυχαίου περιπάτου στο Z 2, εκτιήστε την τιή της λύσης του παραπάνω ΠΣΤ στο σηείο (1/2,1/4). Θα χρειαστεί να αλλάξετε τον κώδικα ώστε η προσοοίωση να σταατάει όχι τη συγκεκριένη χρονική στιγή N, αλλά στον χρόνο άφιξης του περιπάτου στο σύνορο. Άσκηση 65 Σκοπός αυτής της άσκησης είναι να οπτικοποιήσουε την κίνηση ιας αρκοβιανής αλυσίδας. Κατεβάστε τον οδηγό και ακολουθήστε τα βήατα που περιγράφονται εκεί. είξτε τα διαδοχικά στιγιότυπα ενός γκέι τένις, τρέχοντας τον κώδικα tennis.py που λύνει την Άσκηση 49. 67