CHƯƠNG 1: HÀM GIẢI TÍCH

CHƯƠNG : HÀM GIẢI TÍCH. SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TÍNH. Dạg đại số của số phức: Ta gọi số phức là mộ biểu hức dạg ( j) rg đó và là các số hực và j là đơ vị ả. Các số và là phầ hực và phầ ả của số phức. Ta hườg í hiệu: j R R( j) Im Im( j) Tập hợp các số phức được í hiệu là C. Vậ: C { j R, R} rg đó R là ập hợp các số hực. Nếu a có, ghĩa là số hực là rườg hợp riêg của số phức với phầ ả bằg. Nếu a j và đó là mộ số huầ ả. Số phức j được gọi là số phức liê hợp của j. Vậ R( ) R(), Im( ) Im(),. Số phức - - - j là số phức đối của j. Hai số phức j và j gọi là bằg hau ếu và.. Các phép íh về số phức: a. Phép cộg: Ch hai số phức j và j. Ta gọi số phức ( ) j( j ) là ổg của hai số phức và. Phép cộg có các íh chấ sau: (gia há) ( ) ( ) (ế hợp) b. Phép rừ: Ch số phức j và j. Ta gọi số phức ( - ) j( - j ) là hiệu của hai số phức và. c. Phép hâ: Ch số phức j và j. Ta gọi số phức. ( - ) j( ) là ích của hai số phức và. Phép hâ có các íh chấ sau:,. (íh gia há) (. ).. (. ) (íh ế hợp) ( ).. (íh phâ bố) (-.) -.. j.j - d. Phép chia: Ch số phức j và j. Nếu hì ồ ại mộ số phức j sa ch.. Số phức:

j được gọi là hươg của hai số phức và.. Phép âg lê luỹ hừa: Ta gọi ích của số phức là luỹ hừa bậc của và í hiệu:.l Đặ w ( j) hì h địh ghĩa phép hâ a íh được Rw và Imw h và. Nếu w hì gược lại a ói là că bậc của w và a viế: w f. Các ví dụ: Ví dụ : j - j j.j -.j -j Ví dụ : (j) (-5j) 5-j j j 5j ( 5j)( j) 7 j 7 j j j Ví dụ : ( j) ( j) R Ví dụ 4: Tìm các số hực hả mã phươg rìh: ( - j)( j) ( - j)( j) 5 6j Câ bằg phầ hực và phầ ả a có: 6 7 7 Ví dụ 5: Giải hệ phươg rìh: jε ε j Ta giải bằg cách dùg phươg pháp Cramr và được ế quả: j j j j j ( j)( j) 4 j j 5 5 j j (j )( j) j ε j j 5 5 Ví dụ 6: Chứg mih rằg ếu đa hức P() là mộ đa hức của biế số phức với các hệ số hực:

P() a a - a hì P () P() Thậ vậ a hấ là số phức liê hợp của ổg bằg ổg các số phức liê hợp của ừg số hạg, số phức liê hợp của mộ ích bằg ích các số phức liê hợp của ừg hừa số. D vậ: a D đó: P() a. a a a P() Từ ế quả à su ra ếu đa hức P() có các hệ số hực và ếu α là mộ ghiệm phức của ó ức P(α) hì α cũg là ghiệm của ó, ức P( α ).. Biểu diễ hìh học: Ch số phức j. Trg mặ phẳg O a ác địh điểm M(,) gọi là ạ vị của số phức. Ngược lại ch điểm M rg mặ phẳg, a biế ạ độ (,) và lập được số phức j. D đó a gọi O là mặ phẳg phức. Ta cũg có hể biểu diễ số phức bằg mộ vc ơ ự d có ạ độ là (,). 4. Mđu và argum của số phức : Số phức có ạ vị là M. Ta gọi độ dài r của vc ơ OM là mđu của và í hiệu là. Góc ϕ ác địh sai hác π được gọi là argum của và í hiệu là Arg: r OM Arg ( O,OM) ϕ π đặc biệ, rị số của Arg ằm giữa -π và π gọi là giá O rị chíh của Arg và í hiệu là arg. Trườg hợp hì Arg hôg ác địh. Giữa phầ hực, phầ ả, mđu và argum có liê hệ: rcsϕ rsiϕ r g ϕ arg acrg π acrg π acrg Với ừ địh ghĩa a có: hi hi hi > <, <, < ϕ r M

π hi > arg π hi < Hai số phức bằg hau có mđu và argum bằg hau.. Từ cách biểu diễ số phức bằg vc ơ a hấ số phức ( - ) biểu diễ hảg cách ừ điểm M là ạ vị của đế điểm M là ạ vị của. Từ đó su ra r biểu hị đườg rò âm O, bá íh r. Tươg ự - r biểu hị đườg rò âm, bá íh r; - > r là phầ mặ phức gài đườg rò và - < r là phầ rg đườg rò đó. Hơ ữa a có các bấ đẳg hức am giác: ; - - Từ địh ghĩa phép hâ a có:. r.r [(csϕ csϕ - siϕ siϕ ) - j(siϕ csϕ siϕ csϕ )] r.r [cs(ϕ ϕ ) jsi(ϕ ϕ )] Vậ:.. Arg(. ) Arg Arg π Tươg ự, ếu hì: r [cs(ϕ - ϕ ) jsi(ϕ - ϕ )] r Arg 5. Các ví dụ: Arg Arg π Ví dụ : j Ví dụ : Viế phươg rìh đườg rò A( ) B C D với các hệ số A, B, C, D là các số hực rg mặ phẳg phức. Ta đặ j ê j. Mặ hác. j( ) j Tha và phươg rìh a có: A B( ) Cj( ) 4

ha A E E D 6. Dạg lượg giác của số phức: Nếu biểu diễ số phức h r và ϕ a có: j r(csϕ jsiϕ) Đâ là dạg lượg giác số phức. Ví dụ: - (csπ jsiπ ) Các phép hâ chia dùg số phức dưới dạg lượg giác rấ iê lợi. Ta có: r csϕ jsi ϕ r. ( ) ( csψ jsi ψ) r r [ cs( ϕ ψ) jsi( ϕ ψ) ] r [ cs( ϕ ψ) jsi( ϕ ψ) ] r Áp dụg côg hức rê để íh ích hừa số, ức là. a có: [r(csϕ jsiϕ)] r (csϕ jsiϕ) Đặc biệ hi r a có côg hức Mivr: (csϕ jsiϕ) (csϕ jsiϕ) Tha ϕ bằg -ϕ a có: (csϕ - jsiϕ) (csϕ - jsiϕ) Ví dụ: Tíh các ổg: s csϕ csϕ csϕ siϕ siϕ siϕ Ta có j jsiϕ jsiϕ jsiϕ Đặ csϕ jsiϕ và h côg hức Mivr a có: s j Vế phải là mộ cấp số hâ gồm số, số hạg đầu iê là và côg bội là. D đó a có: cs( ) ϕ jsi( ) ϕ cs ϕ jsi ϕ s j cs ϕ jsi ϕ [ cs( ) ϕ cs ϕ] [ cs( ) ϕ cs ϕ] j[si( ) ϕ si ϕ] (cs ϕ ) jsi ϕ j[si( ) ϕ si ϕ] (cs ϕ ) jsi ϕ. (cs ϕ ) jsi ϕ (cs ϕ ) jsi ϕ Như vậ: cs( ) ϕ.csϕ cs ϕ cs( ) ϕ csϕ si( ) ϕ.si ϕ si s R(s j) (csϕ ) si ϕ cs( ) ϕ.csϕ si( ) ϕ.si ϕ cs( ) ϕ csϕ csϕ csϕ cs( ) ϕ cs ϕ ( csϕ) ϕ 5

Tươg ự a íh được Im(sj) Khi biểu diễ số phức dưới dạg lượg giác a cũg dễ íh được că bậc của ó. Ch số phức r(csϕ jsiϕ) a cầ ìm că bậc của, ghĩa là ìm số phức ζ sa ch: ζ rg đó là số guê dươg ch rước. Ta đặ ζ ρ(csα jsiα) hì vấ đề là phải ìm ρ và α sa ch: ρ (csα jsiα) r(csϕ jsiϕ) Nghĩa là ρ r và α ϕ ϕ π Kế quả là: ζ r ; α Cụ hể, că bậc của là số phức: ϕ ϕ ζ r cs jsi ϕ π ϕ π ζ r cs jsi...... ϕ ( ) π ϕ ( ) π ζ r cs jsi với là số guê và chỉ cầ lấ số guê liê iếp (,,,...,-) vì ếu lấ hai số guê hơ ém hau hì a có cùg mộ số phức. 7. Tạ vị của số phức ổg, hiệu, ích và hươg hai số phức: a. Tạ vị của ổg và hiệu: Tạ vị của ổg hai số phức là ổg ha hiệu vc ơ biểu diễ số phức đó. b. Tạ vị của ích hai số phức: Ta có hể ìm ạ vị của ích hai số phức bằg phươg pháp dựg hìh. Ch hai số phức và hư hìh vẽ. Ta dựg rê cạh O am giác O đồg dạg với am giác O. Như vậ O là ích của hai số phức và. Thậ vậ, d am giác O đồg dạg với am giác O ê a có: ha. c. Tạ vị của hươg hai số phức: Việc ìm hươg hai số phức đưa về ìm ích.. Vì vậ a chỉ cầ ìm w. Trước hế a giả hiế < (hìh a) Ta ìm w h các bước sau: - vẽ đườg rò đơ vị và 6

- dựg ại đườg vuôg với O và cắ đườg rò đơ vị ại s - vẽ iếp uế với đườg rò ại s và cắ O ại. - d Os & Os đồg dạg ê a có - lấ w đối ứg với. Trườg hợp > a vẽ hư hìh b: - vẽ đườg rò đơ vị và - ừ vẽ iếp uế với đườg rò ại s - dựg ại s đườg vuôg với O cắ O ại - d Os và Os đồg dạg ê a có - lấ w đối ứg với. s s O w w a b ϕ 8. Dạg mũ của số phức: Nhờ côg hức Eulr j csϕ jsi ϕ a có hể biểu diễ số phức dưới dạg số mũ: r jϕ jarg π j 4 Ví dụ j Biểu diễ số phức dưới dạg mũ rấ iệ lợi hi cầ hâ ha chia các số phức: r r r jϕ r r j( ϕα) j( ϕα) r jα 9. Mặ cầu Rima: Ta é mộ mặ cầu S âm (,,.5), bá íh.5 (iếp úc với mặ phẳg O ại O). Mặ phẳg O là mặ phẳg phức với O là rục hực và O là rục ả. Đạ hẳg ối điểm j có ạ vị là N của mặ phẳg phức với điểm P(,, ) của mặ cầu cắ mặ cầu ại điểm M(a, b, c). Ta gọi M là hìh chiếu 7

ổi của điểm lê mặ cầu S với cực P. Phép áh ạ à lập ê mộ ươg ứg mộ - mộ giữa ấ cả các điểm của mặ phẳg và của mặ cầu S hủg ại P. Vì các điểm P, M, và N cùg ằm rê mộ đườg hẳg ê a có: OT a b PM c ON PN P a b c ha c M a b a jb ha: ; ; c c c (a b ) Từ đó: O b ( c) a T và d : a b c - c N c su ra: c ha: c ; a ; b Hìh chiếu ổi có íh chấ đág lưu ý sau: mỗi đườg rò của mặ phẳg (đườg hẳg cũg được ci là đườg rò có bá íh ) chuể hàh mộ đườg rò rê mặ cầu và gược lại. Thậ vậ để ý ; a hấ mỗi đườg rò của j mặ phẳg hả mã mộ phươg rìh dạg: j A B( ) C( ) D Trg đó A, B, C, D là các số hực hỏa mã A, B C > 4AD, đặc biệ đối vơsi đườg hẳg A. Áp dụg các gái rị của,, a có: (A - D)c Ba Cb D đâ là mộ đườg rò rê mặ cầu S.. HÀM MỘT BIẾN PHỨC. Khái iệm về miề và biê của miề: a. Điểm rg của mộ ập: Giả sử E là ập hợp điểm rg mặ phẳg phức và là mộ điểm huộc E. Nếu ồ ại mộ số ε lâ cậ của ằm hà à rg E hì được gọi là điểm rg của ập E. b. Biê của mộ ập: Điểm ζ huộc E ha hôg huộc E được gọi là điểm biê của ập E ếu mọi hìh rò âm ζ đều chứa cả hữg điểm huộc E và hôg huộc E. Tập hợp các điểm biê của ập E được gọi là biê của ập E. Nếu điểm η hôg huộc E và ồ ại hìh rò âm η hôg chứa điểm à của E hì η được gọi là điểm gài của ập E. 8

Ví dụ: Xé ập E là hìh rò <. Mọi điểm của E đều là điểm rg. Biê của E là đườg rò. Mọi điểm η > là điểm gài của E. c. Miề: Ta gọi miề rê mặ phẳg phức là ập hợp G có các íh chấ sau: - G là ập mở, ghĩa là chỉ có các điểm rg. - G là ập liê hôg, ghĩa là qua hai điểm uỳ ý huộc G, ba giờ cũg có hể ói chúg bằg mộ đườg cg liê ục ằm gọ rg G. Tập G, hêm hữg điểm biê gọi là ập í và í hiệu là G. Miề G gọi là bị chặ ếu ồ ại mộ hìh rg bá íh R chứa G ở bê rg. a b c Trê hìh a là miề đơ liê, hìh b là miề hị liê và hìh c là miề am liê. Hướg dươg rê biê L của miề là hướg mà hi đi rê L h hướg đó hì phầ của miề G ề với gười đó luô ằm bê rái. π π Ví dụ : Vẽ miề < arg < 6 π π Ta vẽ ia Ou sa ch (O, Ou ). Sau đó vẽ ia Ou sa ch (O, Ou ). 6 Mọi điểm ằm rg u Ou đều có argum hả mã điều iệ bài á. Ngược lại các điểm có argum ằm giữa π π Vậ miề < arg < 6 u π π và đều ỏ rg góc u Ou 6 là phầ mặ phẳg giới hạ bởi hai cạh Ou và Ou u O - O Ví dụ : Vẽ miề R > - Mọi điểm ằm bê phải đườg hẳg - đều hả mã R > -. Ngược lại mọi điểm có phầ hực lớ hơ - đều ằm bê phải đườg hẳg -. Vậ miề R > - là ửa mặ phẳg phức gạch ché rê hìh vẽ. 9

. Địh ghĩa hàm biế phức: a. Địh ghĩa: Giả sử E là mộ ập hợp điểm rê mặ phẳg phức. Nếu có mộ qu luậ ch ứg với mỗi số phức E mộ số phức ác địh w hì a ói rằg w là mộ hàm số đơ rị của biế phức ác địh rê E và ý hiệu: w f(), E () Tập E được gọi là miề ác địh của hàm số. Nếu ứg với mộ giá rị E a có hiều giá rị của w hì a ói w là mộ hàm đa rị. Sau à hi ói đế hàm số mà hôg ói gì hêm hì đó là mộ hàm đơ rị. Ví dụ: Hàm w ác địh rg à bộ mặ phẳg phức rừ điểm Hàm w ác địh rg à bộ mặ phẳg phức rừ điểm ±j vì hi ±j Hàm w ác địh rg à bộ mặ phẳg phức. Đâ là mộ hàm đa rị. Chẳg hạ, với a có w. Vì cs j si ê w có hai giá rị: w cs jsi π π w cs jsi cs π jsi π ê ứg với a có hai giá rị w và w - b. Phầ hực và phầ ả của hàm phức: Ch hàm w f() ghĩa là ch phầ hực u và phầ ả v của ó. Nói hác đi u và v cũg là hai hàm của. Nếu j hì có hể hấ u và v là hai hàm hực của các biế hực độc lập và. Tóm lại. ch hàm phức w f() ươg đươg với việc ch hai hàm biế hưc u u(, ) và v v(, ) và có hể viế w f() dưới dạg: w u(, ) jv(, ) () Ta có hể chuể về dạg () hàm phức ch dưới dạg (). Ví dụ : Tách phầ hực và phầ ả của hàm phức w Ta có: j j j w j ( j)( j) Vậ: u v Ví dụ : Tách phầ hực và phầ ả của hàm w Ta có: w ( j) j j j ( ) j( ) Vậ: u v

Ví dụ : Ch hàm w j( ). Hã biểu diễ w h j và - j Vì và ê: j w Rú gọ a có: w ( j)( 4 j ( ) j ) ( j) j Ví dụ 4: Ch w - j. Hã biểu diễ w h Ta có: Ha: w j j j w. Phép biế hìh hực hiệ bởi hàm biế phức: Để biểu diễ hìh học mộ hàm biế số hực a vẽ đồ hị của hàm số đó. Để mô ả hìh học mộ hàm biế số phức a hôg hể dùg phươg pháp đồ hị ữa mà phải làm hư sau: Ch hàm biế phức w f(), E. Lấ hai mặ phẳg phức O (mặ phẳg ) và uov (mặ phẳg w). Ví mỗi điểm E a có mộ điểm w f( ) rg mặ phẳg w. Ch ê về mặ hìh học, hàm w f( ác địh mộ phép biế hìh ừ mặ phẳg sag mặ phẳg w. Điểm w được gọi là ảh của và là ghịch ảh của w. Ch đườg cg L có phươg rìh ham số (), (). Ảh của L qua phép biế hìh w f() u(, ) jv(, ) là ập hợp các điểm rg mặ phẳg w có ạ độ: u u[(), ()] () v v[(), ()] Thôg hườg hì ảh của đườg cg L là đườg cg Γ có phươg rìh ham số () Muố được phươg rìh qua hệ rực iếp giữa u và v a hử rg (). Muố ìm ảh của mộ miề G a ci ó được qué bởi họ đườg cg L.Ta ìm ảh Γ của L. Khi L qué ê miề G hì Γ qué ê miề là ảh của G. 4. Các hàm biế phức hườg gặp: a. Ví dụ : Hàm w ( > ) Đặ r jϕ, w ρ jθ r jϕ. Ta có ρ r, θ ϕ π. Vậ đâ là mộ phép c dã ha phép đồg dạg với hệ số

v w u b. Ví dụ : w jα (α R) Đặ r jϕ, w ρ jθ r jϕ jα r j(αϕ). Ta có ρ r, θ ϕ α π. Như vậ đâ là phép qua mặ phẳg mộ góc α. w v r r u c. Ví dụ : w b với b b jb Đặ j w u jv, a có: u b ; v b Vậ đâ là mộ phép ịh iế w b b d. Ví dụ 4: w a b với a jα là phép biế hìh uế íh guê. Nó là hợp của ba phép biế hìh: - phép c dã s - phép qua s jα - phép ịh iế w b. Ví dụ 5: w Đặ r jϕ, w ρ jθ a có: ρ r ; θ ϕ π. Mỗi ia ϕ biế hàh ia argw ϕ, mỗi đườg rò r biế hàh đườg rò w r. Nếu D {: < ϕ < π } hì f(d) {-w: < θ < π } ghĩa là ửa mặ phẳg phức có Im > biế hàh à bộ mặ phẳg phức w.

f. Ví dụ 6: w. Đặ r jϕ, w ρ jθ a có: ρ r ; θ ϕ π. Miề D {: < ϕ < π } được biế đơ diệp lê chíh ó, ghĩa là ửa mặ phẳg phức Im > được biế hàh ửa mặ phẳg phức Imw >. g. Ví dụ 7: w Với hì w có giá rị hác hau. Đặ r jϕ, w ρ jθ a có: ρ r ; ϕ π π θ. Miề D {: < ϕ < π } có ảh là ba miề: B w : < θ < ; π π π B w : < θ < π ; B w : < θ <. ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC. Giới hạ của hàm biế phức: Địh ghĩa giới hạ và liê ục của hàm biế phức cũg ươg ự hư hàm biế hực. a. Địh ghĩa : Giả sử f() là hàm ác địh rg lâ cậ của (có hể rừ ). Ta ói số phức A là giới hạ của f() hi dầ ới ếu hi - hì f()-a. Nói hác đi, với mọi ε > ch rước, luô luô ồ ại δ > để hi - < δ hì f()-a < ε. Ta í hiệu: lim f() A Dễ dàg hấ rằg ếu f() u(,) jv(,) ; j ; A α jβ hì: lim f() A lim u(, ) α lim v(, ) β Trg mặ phẳg phức, hi dầ ới ó có hể iế h hiều đườg hác hau. Điều đó hác với rg hàm biế hực, hi dầ ới, ó iế h rục O. b. Địh ghĩa : Ta ói số phức A là giới hạ của hàm w f() hi dầ ra vô cùg, ếu hi hì f() - A. Nói hác đi, với mọi ε > ch rước, luô luô ồ ại R > để hi > R hì f() - A < ε. Ta í hiệu: lim f() A c. Địh ghĩa : Ta ói hàm w f() dầ ra vô cùg hi dầ ới, ếu hi - hì f(). Nói hác đi, với mọi M > ch rước lớ uỳ ý, luô luô ồ ại δ > để hi - < δ hì f() > M. Ta í hiệu: lim f() d. Địh ghĩa 4: Ta ói hàm w f() dầ ra vô cùg hi dầ ra vô cùg, ếu hi hì f(). Nói hác đi, với mọi M > ch rước lớ uỳ ý, luô luô ồ ại R > để hi > R hì f() > M. Ta í hiệu: lim f()

. Hàm liê ục: Ta địh ghĩa hàm liê ục hư sau: Địh ghĩa: Giả sử w f() là mộ hàm số ác địh rg mộ miề chứa điểm. Hàm được gọi là liê ục ại ếu lim f() f( ) Dễ hấ rằg ếu f( ) u(, ) jv(, ) liê ục ại j hì u(, ) và v(, ) là hữg hàm hực hai biế, liê ục ại (, ) và gược lại. Hàm w f() liê ục ại mọi điểm rg miề G hì được gọi là liê ục rg miề G. Ví dụ: Hàm w liê ục rg à bộ mặ phẳg phức vì phầ hực u - và phầ ả v luô luô liê ục.. Địh ghĩa đạ hàm: Ch hàm w f() ác địh rg mộ miề chứa điểm j. Ch mộ số gia j. Gọi w là số gia ươg ứg của hàm: w f( ) - f() w Nếu hi ỉ số dầ ới mộ giới hạ ác địh hì giới hạ đó được gọi là đạ hàm của hàm w ại và í hiệu là f () ha w ( ) ha dw. Ta có: d w f ( ) f () f '() lim lim (4) Về mặ hìh hức, địh ghĩa à giốg địh ghĩa đạ hàm của hàm biế số hực. w Tu hiê ở đâ đòi hỏi phải có cùg giới hạ hi h mọi cách. Ví dụ : Tíh đạ hàm của w ại. Ta có : w ( ) -. w w Khi hì. D vậ đạ hàm của hàm là. Ví dụ : Hàm w j có đạ hàm ại hôg Ch mộ số gia j. Số gia ươg ứg của w là: w j w w w Nếu hì hi đó w ; ê lim w w w hì -j hi đó w -j ; ê lim j w Như vậ hi ch h hai đườg hác hau ỉ số có hữg giới hạ hác hau. Vậ hàm đã ch hôg có đạ hàm ại mọi.. Điều iệ hả vi: Như hế a phải ìm điều iệ để hàm có đạ hàm ại. Ta có địh lí sau: 4

Địh lí: Nếu hàm w f() u(, ) jv(, ) có đạ hàm ại, hì phầ hực u(, ) và phầ ả v(, ) của ó có đạ hàm riêg ại (, ) và các đạ hàm riêg đó hả mã hệ hức: u v u v ; (5) (5) là điều iệ Cauch - Rima. Đâ là điều iệ cầ. Ngược lại ếu các hàm số u(, ) và v(, ) có các đạ hàm riêg liê ục, hả mã điều iệ C - R hì hàm w f() có đạ hàm ại j và được íh h côg hức: f () u jv Đâ là điều iệ đủ. Ta chứg mih điều iệ cầ: Giả sử f () ồ ại, ghĩa là giới hạ của ỉ số: w u(, ) jv(, ) u(, ) v(, ) j [ u(, ) u(, ) ] j[ v(, ) v(, ) ] u j v j j bằg f () hi h mọi cách. Đặc biệ hi hì: w u v j Trg đó u u là số gia riêg của u đối với. Ch, h giả hiế hì vế rái dầ ới f (). D đó vế phải cũg có giới hạ là f (). Từ đó su ra: u u có giới hạ là v v có giới hạ là và: u v f () j (6) Tươg ự, hi hì: w u j v v u j j v u Ch a có: f () j (7) S sáh (6) và (7) a có: u v v u j j Từ đâ a rú ra điều iệ C - R: u v v u ; 5

Tiếp h a chứg mih điều iệ đủ: Giả sử các hàm u(, ) và v(, ) có các đạ hàm riêg liê ục ại (, ) và các đạ hàm đó hả mã điều iệ C - R. Ta cầ chứg mih w có giới hạ du hấ hi h mọi cách. Ta viế: j v j u w (8) Từ giả hiế a su ra u(, ) và v(, ) hả vi, ghĩa là: u u u α α v v v β β Trg đó α, α, β, β hi, (ức là ). Tha và (8) các ế quả à a có: j v v j u u w β β α α ( ) ( ) j j j j v j v j u u β α β α D điều iệ C - R, a có hể lấ j làm hừa số chug rg ử số của số hạg hứ hấ bê vế phải: ( ) ( ) ( ) u j u j u j j u j u j u j u u v j v j u u Vậ: ( ) ( ) j j j u j u w β α β α (9) Chú ý là hi, hì số hạg hứ bê vế phải dầ ới. Thậ vậ: j j ( ) j j j β α β α Khi, hì α và β, Vậ ( ) j j β α Tươg ự a chứg mih được rằg ( ) j j β α 6

Ch ê ếu ch h mọi cách hì vế phải của (9) sẽ có giới hạ là u u j. Vậ vế rái cũg dầ ới giới hạ đó, ghĩa là a đã chứg mih rằg ồ ại u u f () j. D điều iệ C - R ê a có hể íh đạ hàm bằg hiều biểu hức hác hau: u v v u u u v v f () j j j j Ví dụ : Tìm đạ hàm của hàm số w cs j si. Hàm có đạ hàm ại mọi điểm vì điều iệ C - R luô luô hả mã. Thậ vậ: u cs, v si u cs v u si v dw d cs j si w Ví dụ : Tìm đạ hàm của hàm w j( ) u v u v, u v Ví dụ : Xé sự hả vi của hàm w ( - ) j. u v u v Vì ; ại mọi điểm hữu hạ. w hả vi ại mọi điểm và. Ví dụ 4: Xé sự hả vi của hàm w.r j. D hệ phươg rìh: u v u v chỉ hả mã ại điểm (, ) ê w chỉ hả vi ại 4. Các qu ắc íh đạ hàm: Vì địh ghĩa đạ hàm của hàm biế phức giốg địh đạ hàm của hàm biế hực, ê các phép íh đạ hàm của ổg, ích, hươg hàm hợp hà à ươg ự hư đối với hàm hực. Giả sử các hàm f() và g() có đạ hàm ại. Khi đó: [ f() g() ] f () g () 7

[ f().g() ] f ().g() g ().f() f () f '().g() f ().g' () g() g () Nếu w f(), ϕ(ζ) đều là các hàm có đạ hàm, hì đạ hàm của hàm hợp w f[ϕ(ζ)] là: dw dw d. dζ d dζ Nếu f() là hàm đơ diệp có hàm gược là h(w), hì: f '(), h' (w) h' (w) 5. Ý ghĩa hìh học của đạ hàm: Giả hiế hàm w f() có đạ hàm ại mọi điểm rg lâ cậ điểm và f ( ). a. Ý ghĩa hìh học của Arg f ( ): Phép biế hìh w f() biế điểm hàh điểm w f( ). Gọi M là ạ vị của và P là ạ vị của w. Ch mộ đườg cg bấ ì đi qua M và có phươg rìh là () () j(). Giả sử: ( ) ( ) j ( ) ghĩa là haí số ( ) và ( ) hôg đồg hời riệ iêu hi. Vậ đườg cg L có iếp uế ại M mà a gọi là M T. Γ L v M P T P τ M O O u Gọi Γ là ảh của đườg cg L qua phép biế hìh. Hiể hiê đườg cg đi qua điểm P và có phươg rìh w w() f[()]. Th côg hức đạ hàm hàm hợp a có w ( ) f ( ). ( ). Th giả hiế hì f ( ), ( ) ê w ( ). Như vậ ại P, đườg cg Γ có iếp uế P τ. Bâ giờ a lấ là điểm hác huộc L. Nó có ảh là w Γ. Th địh ghĩa đạ hàm: w w lim f ( ) () w w Gọi M, P lầ lượ là ạ vị của và w hì đẳg hức rê được viế là: Vậ Argf ( ) lim Arg lim[ Arg(w w ) Arg( )] 8

Argf ( ) lim Ou,P P P P P Γ ( ) lim ( O,M M) M M P L Vì hi P P, cá uế P P dầ ới iếp uế P τ với Γ; hi M M, cá uế M M dầ ới iếp uế M T với L ê: Argf ( ) Ou,P τ O,M T () ( ) ( ) ha: ( Ou,P τ ) Argf ( ) ( O,M T) Từ đó su ra Argf ( ) là góc mà a cầ qua iếp uế M T với đườg cg L ại M để được hướg của iếp uế P τ với đườg cg Γ ại P. Bâ giờ a é hai đườg cg bấ ì L và L đi qua M, lầ lượ có iếp uế ại M là M T và M T. Gọi Γ và Γ là ảh của L và L qua phép biế hìh w f(). Γ và Γ lầ lượ có iếp uế ại P là P τ và P τ. Th ế quả rê: ( Ou, P τ) ( O, M T) Argf ( ) D () được hiế lập với L và Γ bấ ì ê: Argf ( ) ( Ou, P τ' ) ( O, MT' ) Từ đó su ra: Ou,P τ Ou,P τ O,M T O,M T ( ) ( ) ( ) ( ) Vậ góc giữa hai đườg cg L và L bằg góc giữa hai ảh Γ và Γ cả về độ lớ và hướg. Ta ói phép biế hìh w f() bả à góc giữa hai đườg cg ha phép biế hìh w f() là bả giác. b. Ý ghĩa của f ( ) : D () a có: f ( ) lim w w lim w w lim P P P P lim M M M M Với - há hỏ hì w cũg há hỏ và a có: f ( ) P P MM ha: P P f ( ).M M (5) Nếu f ( ) > hì P P > M M và a có mộ phép biế hìh dã. Nếu f ( ) < hì P P < M M và a có mộ phép biế hìh c. Côg hức (5) đúg với mọi cặp M và P ê a ói f ( ) là hệ số c dã của phép biế hìh ại. Trê đâ a đã giả hiế f ( ). Nếu f ( ) hì ế quả rê hôg đúg ữa. Ví dụ: Xé hàm w. Qua phép biế hìh à, ửa rục dươg O (arg ), có ảh là ửa rục dươg π Ou(argw ). Nửa rục O dươg arg có ảh là ửa rục Ou âm (argw π). 9

Như vậ góc giữa hai ia O và O hôg được bả à qua phép biế hìh. Sở dĩ hư vậ vì w (). 6. Hàm giải ích: a. Địh ghĩa : Giả sử G là mộ miề mở. Nếu hàm w f() có đạ hàm f () ại mọi điểm huộc G hì ó được gọi là giải ích rg miề G. Hàm số w f() được gọi là giải ích ại điểm ếu ó giải ích rg mộ miề lâ cậ à đó của. Trê ia a chỉ địh ghĩa hàm số giải ích rg mộ miề mở. Giả sử miề G giới hạ bởi đườg cg í L. Nếu hàm w f() giải ích rg mộ miề mở chứa G, hì để ch gọ a ói ó giải ích rg miề í G. b. Địh ghĩa : Nhữg điểm ại đó w f() hôg giải ích, được gọi là các điểm bấ hườg của hàm số đó. Ví dụ:- Hàm w giải ích rg à C - Hàm w cs j si giải ích rg à C - Hàm w hôg giải ích C - w giải ích rg à C rừ. Điểm là điểm bấ hươg du hấ của hàm - Hàm w R chỉ hả mã điều iệ C - R ại. Vậ ó hôg giải ích rg à C. c. Tíh chấ của hàm giải ích: - Tổg, ích của hai hàm giải ích là mộ hàm giải ích - Thươg của hai hàm giải ích là mộ hàm giải ích rừ điểm làm ch mẫu số riệ iêu. - Hợp của hai hàm giải ích là mộ hàm giải ích. - Hàm gược của mộ hàm giải ích đơ diệp có đạ hàm hác hôg là mộ hàm giải ích đơ diệp. Ví dụ: - w là mộ hàm giải ích rg à C vì ó là ổg của hai hàm giải ích rg C - w giải ích ại mọi điểm rừ ±j 7. Qua hệ giữa hàm giải ích và hàm điều hà: Ch hàm w f () u(, ) jv(, ) giải ích rg miề đơ liê G. Phầ hực u(, ) và phầ ả v(, ) là hữg hàm điều hà rg G, ghĩa là chúg hả mã phươg rìh Laplac: u u v v u v (, ) G Thậ vậ, h giả hiế, điều iệ C - R hả mã, ức là: u v u v Lấ đạ hàm hai vế của đẳg hức hứ hấ h và đạ hàm hai vế đẳg hức hứ hai h a có:

u v u v u u Cộg hai đẳg hức a có: u v v Tươg ự a chứg mih được: v Ngược lại, ch rước hai hàm điều hà bấ ì u(, ) và v(, ) hì ói chug, hàm w u(, ) jv(, ) hôg giải ích. Muố w u jv giải ích hì u và v phải là hai hàm điều hà liê hợp, ghĩa là hả mã điều iệ C - R. Vì ch rước mộ hàm điều hà, a có hể ìm được hàm điều hà liê hợp với ó ê ch rước phầ hực ha phầ ả của mộ hàm giải ích a ìm được hàm giải ích đó. Phươg pháp ìm hàm v(, ) điều hà liê hợp với u(, ) ch rước rg mộ miề đơ liê G hư sau: D điều iệ C - R a biế được các đạ hàm riêg của v(, ) là: v u v u Vậ bài á được đưa về ìm hàm v(, ) biế rằg rg miề đơ liê G ó có vi phâ : dv v d v d u d u d Bài á à có ghĩa vì vế phải là vi phâ à phầ. Thậ vậ, ếu đặ P u và Q u hì A M(,) Q P điều iệ u u được hả M mã. Th ế quả giải ích hì: v(, ) (,) u d u d C O (, ) Trg đó ích phâ (hôg phụ huộc đườg đi) được lấ dọc h đườg bấ ì ằm rg G, đi ừ điểm (, ) đế điểm (, ), cò C là mộ hằg số uỳ ý. Nếu ích phâ được íh dọc h đườg gấp húc M AM hì: v(, ) (6) u (, )d u (, )d C Ví dụ : Ch hàm u -. Tìm v(,) và f() Đâ là mộ hàm điều hà rg à mặ phẳg vì u (,). Th (6) a chọ v(, ) d d C C Vâ: f() u jv - j( C) ( j - ) ( j) jc ( j) ( j) jc jc f() là mộ hàm giải ích rg à C. Ví dụ : Ch hàm u(, ) l( ). Tìm f()

Đâ là mộ hàm điều hà rg à bộ miề G rừ điểm gốc ạ độ. Dùg (6) a ác địh được hàm điều hà liê hợp: v(,) Arg( j) C Vì Arg ác địh sai hác π, ê v(, ) là mộ hàm đa rị.

CHƯƠNG : PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN. KHÁI NIỆM VỀ BIẾN HÌNH BẢO GIÁC. Phép biế hìh bả giác: a. Địh ghĩa: Mộ phép biế hìh được gọi là bả giác ại ếu ó có các íh chấ: - Bả à góc giữa hai đườg cg bấ ì đi qua điểm (ể cả độ lớ và hướg) - Có hệ số c dã hôg đổi ại điểm đó, ghĩa là mọi đườg cg đi qua đều có hệ số c dã hư hau qua phép biế hìh. Nếu phép biế hìh là bả giác ại mọi điểm của miề G hì ó được gọi là bả giác rg miề G. b. Phép biế hìh hực hiệ bởi hàm giải ích: Ch hàm w f() đơ diệp, giải ích rg miề G. D ý ghĩa hìh học của f () a hấ rằg phép biế hìh được hực hiệ bởi hàm w f() là bả giác ại mọi điểm mà f (). Nếu chỉ é rg mộ lâ cậ hỏ của điểm, hì phép biế hìh bả giác là mộ phép đồg dạg d íh chấ bả à góc. Các góc ươg ứg rg hai hìh là bằg hau. Mặ hác ếu m hệ số c dã là hôg đổi hì ỉ số giữa hai cạh ươg ứg là hôg đổi. Ngược lại gười a chứg mih được rằg phép biế hìh w f() đơ diệp là bả giác rg miề G hì hàm w f() giải ích rg G và có đạ hàm f ().. Bổ đề Schwar: Giả sử hàm f() giải ích rg hìh rò < R và f(). Nếu ) M với mọi mà < R hì a có: M f (), < R R jα M Trg đó đẳg hức ả ra ại với < < R chỉ hi f (), α hực. R. Nguê lí đối ứg: Trước hế a hừa hậ mộ íh chấ đặc biệ của hàm biế phức mà hàm biế số hực hôg có, đó là íh du hấ, được phá biểu hư sau: Giả sử hai hàm f() và g() cùg giải ích rg miề D và hả mã f() g() rê mộ cug L à đó ằm rg D, hi đó f() g() rê à miề D. Giả sử D và D ằm ề hau và có biê chug là L v O D L D O w B T B u

Giả sử f () giải ích rg D và f () giải ích rg D. Nếu f () f () rê L hì a gọi f () là hác riể giải ích của f () qua L sag miề D. Th íh du hấ của hàm giải ích ếu f () cũg là hác riể giải ích của f () qua L sag miề D hì a phải có f () f () rg D. Cách hah hấ để ìm hác riể giải ích của mộ hàm ch rước là áp dụg guê lí đối ứg sau đâ: Giả sử biê của miề D chứa mộ đạ hẳg L và f () biế bả giác D lê B rg đó L chuể hàh đạ hẳg T huộc biê của B. Khi đó ồ ại hác riể giải ích f () của f () qua L sag miề D ằm đối ứg với D đối với L. Hàm f () biế bả giác D lê B ằm đối ứg với B đối với T và hàm: f() rg D f () f() f() L f () rg D biế bả giác D hàh B. Nguê lí đối ứg hườg dùg để ìm phép biế hìh bả giác hai miề đối ứg ch rước.. CÁC PHÉP BIẾN HÌNH QUA CÁC HÀM SƠ CẤP. Phép biế hìh uế íh: Xé hàm uế íh w a b rg đó a, b là các hằg số phức. Giả hiế a. Nếu a a jα hì w a jα b. Phép biế hìh uế íh là bả giác rg à mặ phẳg phức vì f () a C. Hàm uế íh có hể ci là hợp của hàm sau: - ζ ( a > ) - ω jα.ζ (α Arga) - w ω b Nếu biểu diễ các điểm ζ, ω, w rg cùg mộ mặ phẳg hì dựa và ý ghĩa hìh học của phép hâ và phép cộg các số phức a su ra rằg: - điểm ζ hậ được ừ điểm bằg phép c dẫ với hệ số - điểm ω hậ được ừ điểm ζ bằg phép qua âm O, góc qua α. - điểm w hậ được ừ điểm ω bằg phép ịh iế ác địh bởi vc ơ biểu diễ số phức b. Như vậ muố được ảh w của a phải hực hiệ liê iếp mộ phép c dã, mộ phép qua và mộ phép ịh iế. Tích của phép biế hìh rê là mộ phép đồg dạg. Vậ phép biế hìh uế íh là mộ phép đồg dạg. Nó biế mộ hìh bấ ì hàh mộ hìh đồg dạg với hìh ấ. Đặc biệ, ảh của mộ đườg rò là mộ đườg rò, ảh của mộ đườg hẳg là mộ đườg hẳg. Ví dụ: Tìm hàm w f() biế hìh am giác vuôg câ A( j), B(7 j), C(5 4j) hàh am giác vuôg câ có đỉh ại O, B (-j) và C ( - j) ω w O α ζ 4

C O A B 7 O B C Vì các am giác ABC và O B C đồg dạg ê phép biế hìh được hực hiệ bằg mộ hàm bậc hấ w a b. Phép biế hìh à có hể phâ ích hàh các phép biế hìh liê iếp sau đâ: * phép ịh iế ừ A về gốc, ác địh bằg vc ơ (- - j). Phép ịh iế à được ác địh bởi hàm ζ - ( j) π * phép qua quah gốc mộ góc, ứg với hàm j π ω ζ O B * phép c dã âm O, hệ số, được hực hiê bằg hàm AB 4 w ω j Vậ: w j π ( j) ( j) j j. Phép ghịch đả: a. Địh ghĩa: Hai điểm A và B được gọi là đối ứg đối với đườg rò C âm O, bá íh R ếu chúg cùg ằm rê mộ ửa đườg hẳg uấ phá ừ O và hả mã đẳg hức: OA.OB R R R R Dĩ hiê, vì OB. R ê ếu OA < R > hì OB > R. Ngược lại OA OA OA ếu OA > R hì OB < R. Nghĩa là rg hai điểm A và B hì mộ điểm ằm rg và mộ điểm ằm gài đườg rò. Nếu A ằm rg đườg rò hì muố được B ẻ đườg AH OA và sau đó vẽ iếp uế HB. H H O A B O B A 5

Nếu A ằm gài đườg rò hì muố được điểm B a vẽ iếp uế AH, sau đó ẻ HB OA. b. Địh lí : Nếu A và B đối ứg với đườg rò C và C là đườg rò bấ ì đi qua A và B hì C và C rực gia với hau. Chứg mih: Gọi I là âm và r là bá íh của C. Kí hiệu P C O là phươg ích của điểm O đối với đườg rò C. Th giả hiế vì A và B đối ứg qua C ê D OA.OB R. Mặ hác h cách íh phươg ích a có: O B P C O OA.OB OI - r C A Từ đó su ra: I R OI - r ha: OI R r OD ID. C Vậ OD DI c. Địh lí : Giả sử hai đườg rò C và C cùg rực gia với đườg rò C. Nếu C và C cắ hau ại A và B hì hai điểm A và B đối ứg qua C Chứg mih: Gọi I và I lầ lượ là âm của đườg rò C và C ; r và r là bá íh của C chúg. Gọi R là bá íh của đườg rò C. Ta có: P C O OI r O A B P C O OI r C Nhưg d giả hiế rực gia a có: OI R r r OI R C Vâ: P C O P C O Vì điểm O có cùg phươg ích với cả hai đườg rò C và C ê O ằm rê rục đẳg phươg AB của cặp vòg rò đó. Mặ hác d P C O OA.OB R ê A và B đối ứg qua C. d. Phép biế hìh w : Phép biế hìh à đơ diệp, biế mặ phẳg phức mở rộg (ức mặ phẳg phức có bổ sug hêm điểm ) lê mặ phẳg phức mở rộg w. Ảh của điểm là điểm w. Ngược lại ảh của điểm là điểm w. Vì w ê phép biế hìh bả giác ại và. O w 6

Ta sẽ êu ra cách ìm ảh của mộ điểm bấ ì. Chú ý là hai điểm và w đối ứg hau qua đườg rò đơ vị vì Arg Arg Arg. Mặ hác.. Vậ muố được w, a dựg w đối ứg với qua đườg rò đơ vị rồi lấ đối ứg qua rục hực. Nói hác đi, phép biế hìh w là ích của hai phép đối ứg: * phép đối ứg qua đườg rò đơ vị * phép đối ứg qua rục hực. Tíh chấ của phép biế hìh: Phép biế hìh w biế: * mộ đườg rò đi qua gốc ạ độ hàh mộ đườg hẳg * mộ đườg rò hôg đi qua gốc ạ độ hàh mộ đườg rò * mộ đườg hẳg đi qua gốc ạ độ hàh mộ đươg hẳg * mộ đườg hẳg hôg đi qua gốc ạ độ hàh mộ đườg rò đi qua gốc ạ độ. Nếu ci đườg hẳg là mộ đườg rò có bá íh vô hạ hì íh chấ rê được phá biểu gọ lại là: Phép biế hìh w biế mộ đườg rò hàh mộ đườg rò. Chứg mih: Xé đườg cg C có phươg rìh: A( ) B C D Trg đó A, B, C, D là hữg hằg số hực. Viế phươg rìh ấ dưới dạg phức a có: A E E D () Trg đó E B - jc Nếu A, D hì C là đườg rò đi qua gốc ạ độ. Nếu A hì C là đườg hẳg. Nếu A D hì C là đườg hẳg đi qua gốc ạ độ. Ảh của C qua phép biế hìh w là đườg cg L có phươg rìh: E E A. D w w w w ha: Dw w Ew Ew A () Nếu D hì L là đườg hẳg. Nếu D A hì L là đườg hẳg đi qua gốc ạ độ. Nếu A hì L là đườg rò đi qua gốc ạ độ. Giả sử và là hai điểm đối ứg với hau qua đườg rò C. Khi đó ếu gọi w và w và L là ảh của, và C qua phép biế hìh ứg hau qua C. Nói hác đi, phép biế hìh đườg rò. w hì w và w đối w bả à íh đối ứg qua mộ 7

Chứg mih: Lấ đườg rò bấ ì P và Q qua và.th địh lí hì P và Q cùg rực gia với C. Qua phép biế hìh, P và Q sẽ biế hàh hai đườg rò L và L cắ hau ại w và w. Vì phép biế hìh bả giác ê L và L rực gia với C. Th địh lí hì w và w sẽ đối ứg với hau qua L. Ví dụ : Tìm ảh của hìh rò < qua phép biế hìh w Dễ dàg hấ rằg ảh của đườg rò a ( < a < ) là đườg rò w. Khi a biế hiê ừ đế, hì giảm ừ đế. Trg hi đườg rò a a a qué ê hìh rò < hì ảh của ó qué ê miề w >. Tóm lại ảh của miề < là miềm w >. Ảh của đườg rò là đườg rò w. Ví dụ : Tìm ảh của bá ih OB: arg π/6; < qua phép biế hìh w / M B O O B N Lấ M bấ ì rê OB. Thực hiệ liê iếp phép đối ứg qua đườg rò đơ vị và phép đối ứg qua rục hực a được ảh N của ó ằm rê ửa đườg hẳg sa ch: OM.ON Khi M chạ ừ O đế B, N chạ ừ đế B. a b. Phép biế hìh phâ uế íh w : Phép biế hìh chỉ có ý ghĩa hi c c d và d hôg đồg hời riệ iêu. Ta hôg é rườg hợp ad bc vì đâ là rườg hợp ầm hườg. Thậ vậ ếu ad bc hì a có hể viế: a b ad bd b b w. c d cb db d d d b Tức là mọi đều có cùg mộ ảh w. c d Vậ a chỉ é các rườg hợp ad - bc. Nếu c a được hàm uế íh đã é: a b w d d a b ch ê a giả hiế c. Phép biế hìh w là đơ diệp và biế à bộ mặ c d 8

d phẳg mở rộg lê mặ phẳg mở rộg w. Mỗi điểm có ảh là điểm c a b dw b w. Ngược lại, giải h w, a được hàm gược ; ức là mỗi c d cw a a dw b d điểm w có ghịch ảh là. Ảh của điểm là điểm w. c cw a c a Ảh của điểm là w c ad bc Vì w ê phép biế hìh phâ uế íh bả giác ại mọi điểm (c d) d và. Phâ ích biểu hức của w a được: c a b ac bc ac ad bc ad a(c d) bc ad w c d c(c d) c(c d) c(c d) a bc ad. c c c d Từ đó su ra phép biế hìh phâ uế íh là ích của phép biế hìh: ζ c d phép biế hìh uế íh ω phép ghịch đả ζ bc ad a w. ω phép biế hìh uế íh c c Vì mỗi phép biế hìh hàh phầ đều biế mộ đườg rò hàh mộ đườg rò và bả à íh đối ứg của điểm đối với đườg rò ê phép biế hìh phâ uế íh cũg có các íh chấ ấ. Phép biế hìh phâ uế íh ổg quá chứa 4 ham số a, b, c, d hưg hực chấ chỉ có ham số là độc lập. Thậ vậ, với giả hiế c, a có: a b w c c d c a b d Nếu a đặ a, b, d hì a có: c c c a b w d Vậ muố phép biế hìh phâ uế íh hà à ác địh, a phải ch điều iệ. Chẳg hạ a có hể buộc ó biế điểm ch rước, và lầ lượ hàh điểm w, w và w. Khi đó các ham số a, b và d là ghiệm của hệ: 9

w d b a w d b a w d b a Giải hệ à a íh được a, b và d rồi ha và d b a w a được hàm phải ìm dưới dạg đối ứg:. w w w w. w w w w (4) Ví dụ : Tìm phép biế hìh bả giác biế ửa mặ phẳg rê lê hìh rò đơ vị sa ch a với Ima > hàh w Th íh bả à vị rí điểm đối ứg hì điểm a phải chuể hàh điểm w. Vậ phép biế hìh phải ìm có dạg: a a w Vì chuể hàh mộ điểm à đó rê đườg rò w ê su ra ha jα. Vậ: a a w j α Ví dụ : Biế hìh rò đơ vị hàh chíh ó sa ch a với a < hàh w. Th íh bả à vị rí đối ứg hì điểm a b ằm đối ứg với a qua đườg rò phải chuể hàh điểm w. Phép biế hìh cầ ìm có dạg: a a K b a w Trg đó và K là các hằg số à đó. Vì hì w ê a có: K a a K ê K iα và: a a w j α Ví dụ : Biế ửa mặ phẳg rê hàh chíh ó Phép biế hìh à được hực hiệ bằg hàm phâ uế íh biế điểm, và rê rục hực h chiều dươg của mặ phẳg hàh điểm w, w, w rê rục hực h chiều dươg của mặ phẳg w.

4. Phép biế hìh Giucvsi: Ta gọi hàm phức w là hàm Giucvsi. hàm à có rấ hiều ứg dụg rg ĩ huậ. Nó có mộ điểm bấ hườg hữu hạ là. Đạ hàm của ó là w, w ại các điểm ±. Vậ phép biế hìh Giucvsi bả giác ại mọi điểm hữu hạ hác với điểm O và ±. Ta hã ìm miề đơ diệp của hàm. Giả sử hưg: ha ( ) (5) Ta hấ rằg đẳg hức (5) ả ra hi.. Vậ phép biế hìh sẽ đơ diệp rg mọi miề hôg chứa hai điểm ghịch đả của hau. Chẳg hạ miề < là miề đơ diệp của hàm số; miề > cũg là mộ miề đơ diệp hác. Ví dụ : Tìm ảh của phép biế hìh Giucvsi của: * đườg rò h < h < * đạ hẳg Arg α, < * hìh rò đơ vị < * ửa mặ phẳg rê, ằm gài hìh rò đơ vị âm O. Ta đặ r jϕ. Hàm Giucvsi được viế hàh: jϕ w u jv r r(csϕ jsi ϕ) (csϕ jsi ϕ) jϕ r r Tách phầ hực và phầ ả a có: u r cs ϕ v r si ϕ Từ đó su ra ảh của đườg rò r h có phươg rìh ham số là: u h csϕ h v h si ϕ h si ϕ h h Trg đó ϕ là ham số. Đó là mộ lip (γ), có âm O và các bá rục a h và h b h, iêu cự c a b h h. Các iêu điểm h 4 h 4 h của lip là F (-, ) và F (, ). Khi ϕ biế hiê ừ đế π, điểm chạ dọc đườg rò h h hướg dươg rg hi ảh w ươg ứg của ó chạ rê llip h hướg âm của mặ phẳg.

Vì hi < ϕ < π hì v < và hi π <ϕ < π hì v > ê ảh của ửa đườg rò rê là ửa lip dưới, ảh của ửa đườg rò dưới là lip rê. Chú ý là hi h hì các bá rục a, b của lip dầ ra, ghĩa là ếu đườg rò h càg hỏ hì ảh của ó có các bá rục càg lớ. Khi h hì a và b, ghĩa là ếu đườg rò h càg dầ và đườg rò đơ vị hì lip ảh dẹ dầ và iế ới đạ ép F F (sở dĩ gọi là đạ ép vì F F đồg hời là ảh của ửa cug rò đơ vị rê và ửa cug rò đơ vị dưới). Ta qu ước bờ rê của đạ là ảh của ửa cug rò đơ vị ằm rg ửa mặ phẳg dưới; bờ dưới của đạ hẳg là ảh của ửa cug rò đơ vị ằm rg ửa mặ phẳg rê. Nếu gọi L là ảh của đạ hẳg: Arg α < hì phươg rìh ham số của L là: u r csα r v r si α r Khử r rg các phươg rìh à a có: u v (6) cs α si α Đâ là mộ hprbl có các iêu điểm rùg với F và F. v O F O F u Nếu < α < π hì ảh (L) là háh hprbl (6) ằm rg góc phầ ư hứ ư. Khi điểm chạ rê đạ bá íh ừ gốc ạ độ ới đườg rò đơ vị hì ảh w của ó chạ rê háh hprbl ằm rg góc phầ ư hứ ư ừ ới rục hực O u. Khi ch h biế hiê ừ đế hì đườg rò h sẽ qué ê hìh rò <. Ảh (γ) của L rg mặ phẳg w sẽ qué ê mặ phẳg w, bỏ đi lá cắ dọc đạ F F. Bờ dưới của lá cắ là ảh của cug rò đơ vị rê. Bờ rê của lá cắ là ảh của cug rò đơ vị dưới. Nửa hìh rò đơ vị rê có ảh là ửa mặ phẳg dưới. Ngược lại ửa hìh rò đơ vị dưới có ảh là ửa mặ phẳg rê.

Tươg ự hư ở câu đầu iê ảh của ửa đườg rò rê: r h (h > ) < ϕ < π có phươg rìh ham số là: u h csϕ h < ϕ < π v h si ϕ h Đâ là mộ cug llip ằm rg ửa mặ phẳg rê, có các bá rục là a h h và b h h Khi ửa đườg rò rê âm O, bá íh h qué ê phầ ửa mặ phẳg rê ằm gài đườg rò đơ vị hì ảh của ó qué ê ửa mặ phẳg rê Im > m hìh vẽ). v - O - O u Ví dụ : Tìm phép biế hìh biế ửa hìh đơ vị, Im > hàh ửa mặ phẳg rê. Dễ hấ rằg phép biế hìh phải ìm là hợp của hai phép: jπ w 5. Hàm luỹ hừa w : Ta é hàm w với guê dươg, lớ hơ ha bằg. Nếu r(csα jsiα) hì w r (csα jsiα). Vậ ảh của ia Arg α là ia Argw α hậ được bằg cách qua ia Arg α quah gốc ạ độ góc ( - )α. ảh của đườg rò R là đườg rò w R. Ảh của mặ phẳg là mặ phẳg w. Tu hiê phép biế hìh ừ mặ phẳg lê mặ phẳg w hôg đơ diệp vì ếu hai π số phức và có cùg môđu và có argum sai hác hau mộ số guê lầ hì.

Muố hàm w đơ diệp rg mộ miề G à đó hì miề G à phải hôg chứa π bấ ì cặp điểm à có cùg môđu và có argum sai hác hau góc. Chẳg hạ π miề quạ < arg < là mộ miề đơ diệp của hàm w. Ảh của miề quạ à, qua phép biế hìh, là mặ phẳg w, bỏ đi mộ lá cắ dọc h ửa rục hực u >. Bờ rê của lá cắ là ảh của ia arg và bờ dưới của lá cắ là ảh của ia π arg. π π Miề quạ < arg < cũg là mộ miề đơ diệp hác của hàm. Ảh của miề quạ à qua phép biế hìh là mặ phẳg w, bỏ đi mộ lá cắ dọc h ửa rục hực âm. Hàm w giải ích rg à mặ phẳg, vì a có: dw C d Phép biế hìh w bả giác ại mọi điểm. 6. Hàm w : Đâ là hàm gược của hàm w. Nó là mộ hàm đa rị vì với mỗi số phức r(csϕ jsiϕ) có că bậc ch bởi: w ϕ π ϕ π r cs jsi,,, K Tạ vị của số phức à là các đỉh của mộ đa giác đều cạh âm O. Giả ử điểm vạch hàh mộ đườg cg í L hôg ba quah gốc ạ độ O, uấ phá ừ. L w O C Γ O Γ w Γ w Khi đó điểm w rg đó là mộ giá rị à đó của că hức mà a chọ rước sẽ vạch ê đườg cg í Γ, uấ phá ừ w vì hi uấ phá ừ chạ mộ vòg rê C hì Arg biế hiê ừ giá rị ba đầu Arg rồi qua về đúg giá rị ấ. Các giá rị că hức hác với giá rị đã chọ sẽ vạch ê đườg cg í Γ, được su ra ừ Γ bằg cách qua các góc π/ quah gốc ạ độ. 4

Bâ giờ a giả hiế điểm vạch ê đườg cg í C ba quah gốc ạ độ mộ vòg h hướg dươg, uấ phá ừ điểm. Trg rườg hợp à, hi chạ mộ vòg hì arum của ăg hêm π. D vậ argum của w ăg hêm π/. Điểm w sẽ vạch ê mộ đườg cg liê ục ừ điểm w ới π π w w cs jsi. Nghĩa là w đi ừ giá rị w của că hức ới mộ giá rị hác của că hức. D đó điểm w chỉ rở về vị rí uấ phá sau hi chạ vòg rê C. Điều đó chứg ỏ rằg muố ách được mộ hàm đơ rị liê ục ừ hàm đa rị w hì miề ác địh E của hàm đơ rị à hôg được chứa bấ ì mộ đườg cg í à ba quah gốc O. Muố vậ a có hể lấ E là mặ phẳg phức cắ di mộ lá cắ γ ừ gốc ạ độ ra. Chẳg hạ, có hể chọ γ là ửa rục O dươg. Khi đó các hàm đơ rị ách ra ừ hàm đa rị w, mà a hườg gọi là các háh đơ rị cuả hàm w là hữg hàm biế phức biế E(mặ phẳg phức với lá cắ dọc h ửa rục O dươg) lê mỗi hìh quạ: π < arg < π 4π < arg < LL Muố chọ ra mộ háh ác địh rg háh rê a có hể buộc háh à phải lấ mộ giá rị w hi với w là că bậc à đó của. Mỗi háh đơ rị của hàm w rg miề ác địh E có đạ hàm: ( ) (w ) w ê ó là hàm giải ích rg E. Nếu a hôg dùg lá cắ γ hì hôg hể ách được các háh đơ rị vì hi điểm vạch ê đườg cg í hì điểm w sẽ chuể ừ háh ọ sag háh ia. Vì vậ O cò được gọi là điểm rẽ háh của hàm đa rị w. Ví dụ: Xé hàm đa rị w π 4π Gọi O là ia Argw ; O là ia Argw. Nhữg háh đơ rị của của hàm w là các phép biế hìh đơ diệp, biế mặ phẳg phức, bỏ đi lá cắ dọc h ửa rục O dươg lê mỗi góc uo, O, Ou. ϕ ϕ Nháh w r(csϕ jsi ϕ) r cs jsi với < ϕ < π biế hai điểm A và B ằm lầ lượ ở bờ rê và bờ dưới của lá cắ hàh hai điểm A huộc π ia argw và B huộc ia arg w. Điều đó chứg ỏ ửa rục O là đườg giá đạ của háh à. 5

v O A B B O A u 7. Hàm mũ: a. Địh ghĩa: Ta gọi hàm phức có phầ hực u(,) cs và phầ ả v(,) si là hàm mũ biế phức và í hiệu là. w j (cs jsi) () Ch a có w, ghĩa là hi hực a có hàm biế hực đã biế. Ta ói rằg hàm mũ w là hác riể của hàm mũ hực ừ rục hực ra à bộ mặ phẳg phức. Th địh ghĩa rê a có: w và Argw π, guê () b. Các phép íh về hàm mũ:. () ( ), guê Ta chứg mih côg hức đầu iê. Các côg hức sau cũg ươg ự. Ta có: j ; j Th địh ghĩa a có: (cs jsi ) và (cs jsi ). (cs jsi ) (cs jsi ). cs( ) jsi( ) Vậ: Ha: [ ] Th địh ghĩa hàm mũ phức a có: ( ) j( ). c. Chu ỳ của hàm mũ: Th đih ghĩa, a có: jπ csπ jsiπ ( guê) Th () hì: jπ. jπ (4) Côg hức à ch hấ rằg hàm w là hàm uầ hà với chu ỳ jπ. Vậ hai điểm ằm rê mộ đườg sg sg với rục ả và các hau mộ hảg bằg bội số của jπ hì có cùg ảh. Cầ chú ý là ếu hì: 6

jπ jπ vì: và - jπ d. Côg hức Eulr: Trg (), ch a có côg hức Eulr: j cs jsi (6) Tha bằg - a có: j cs jsi (7) Nhờ có côg hức Eulr mà số phức r(csϕ jsiϕ) viế được dưới dạg mũ r jϕ. Ta có: r(csϕ jsiϕ) r jϕ Ví dụ: cs jsi j π π π j j cs jsi j π π π j 4 cs jsi 4 4 4 4 4 jarcg 4j 5 cs arcg jsi arcg 5 j (cs jsi) -j cs - jsi f. Tíh giải ích của hàm w : Hàm w giải ích rg à bộ mặ phẳg vì, điều iệ C - R được hả mã: ( cs ) ( si ) ( cs ) ( si ) ( cs ) j ( si ) w () g. Phép biế hìh w : Vì w ê ảh của đườg hẳg C là C đườg rò w. Vì là mộ giá rị của Argw, ê đườg hẳg C có ảh là ia Argw C. Khi C biế hiê ừ đế π ( < C < π) hì đườg C sẽ qué ê miề G là băg < < π. Ảh của đườg hẳg C là ia Argw C sẽ qué ê miề là ảh của G. Rõ ràg là mặ phẳg w, bỏ đi lá cắ dọc h ửa rục hực u dươg; bờ rê của lá cắ à ứg với đườg, bờ dưới của lá cắ là ảh của đườg π. Phép biế hìh ừ băg G lê miề là mộ phép biế hìh đơ diệp. Tươg ự, phép biế hìh w cũg biế mọi băg π < < ()π( guê), có chiều rộg, lê miề ói rê. Phép biế hìh w biế cả mặ phẳg lê mặ phẳg w, hưg hôg đơ diệp. (5) 7

Thậ vậ, ghịch ảh của mọi điểm w gồm vô số điểm, vì ếu huộc ghịch ảh của w, ức là w hì các điểm jπ cũg huộc ghịch ảh của w vì jπ. v π C C O O u 8. Hàm lga: a. Địh ghĩa: hàm gược của hàm w được gọi là hàm lga và í hiệu là: w L b. Phầ hực và phầ ả của hàm w L: Đặ w L u jv, hì h địh a có: ujv Vậ u ha u l và v Arg. Tóm lại: w L l jarg (9) ha: w l j(arg π) () Hàm w L là mộ hàm đa rị. Với mỗi giá rị của có vô số giá rị của w. Các giá rị à có phầ hực bằg hau cò phầ ả hơ ém hau mộ bội số guê của π. Ảh của điểm là hữg điểm w ằm rê đườg hăg sg sg với rục ả và cách hau mộ đạ có độ dài bằg bội số guê của π. b. Tách háh đơ rị: Để ách mộ háh đơ rị của hàm w L, a làm hư sau. Trg côg hức () a giả sử là mộ số guê cố địh. Khi đó a có mộ háh đơ rị của hàm lga và í hiệu là (w). Nháh à biế miề -π < arg < π của mặ phẳg (ức là mặ phẳg với lá cắ dọc h ửa rục < ) lê băg ( - )π < Im < ( )π của mặ phẳg w. Nếu hôg vẽ mộ lá cắ đi ừ điểm ra, hì hi điểm vạch ê mộ đườg cg í quah gốc O h hướg dươg, argum của sẽ ăg hêm π, và hư vậ a sẽ đi ừ háh đơ rị à sag háh đơ rị hác. Vậ điểm O cũg là mộ điểm rẽ háh của hàm đa rị w L. đặc biệ, ếu rg () a chọ hì sẽ được mộ háh đơ rị được gọi là háh chíh của hàm đa rị w L. Nháh à được í hiệu là l: l l jarg () Nếu là số hực dươg > hì arg, ê l l, ghĩa là giá rị chíh của hàm lga rùg với hàm biế hực l. Nói hác đi, l là hác riể của hàm hực l, ừ rục hực > ra mặ phẳg phức. Ví dụ: Tíh L(-); l(-) ; l( j) ; Lj * L(-) l - j[arg(-) π] j(π π) j( )π * l(-) l - jarg(-) jπ 8

* Vì j ; arg( j) 4 π ê l( j) l j 4 π l j 4 π π π * Vì j ; argj ê L j π d. Tíh chấ giải ích: Nháh đơ rị w l là mộ hàm giải ích rg mặ phẳg phức, bỏ đi lá cắ dọc h ửa rục <. Th côg hức íh đạ hàm của hàm gược a có: (l ) w w ( ). Các phép íh: Hàm L có các íh chấ: L(. ) L L L L L L( ) L jπ Ta chứg mih, chẳg hạ, côg hức đầu: L(. ) l. jarg(. ) l ( l jarg) ( l jarg ) L L l j 9. Hàm lượg giác: a. Địh ghĩa: Từ côg hức Eulr a có: j j j j cs cs j j j j si si j Các hàm lượg giác biế số phức được địh ghĩa hư sau: j j j j si cs j [ Arg Arg ] j j j j si cs g c g j j j j cs j( ) si Vì j và -j là hữg hàm đơ rị ê các hàm lượg giác biế phức cũg là các hàm đơ rị. b. Đạ hàm của các hàm lượg giác: Vì j và -j là hữg hàm giải ích rg à C ê các hàm lượg giác biế phức w cs và w si cũg là các hàm giải ích rg à C. Ta có: j j j j j j (si ) [( ) ( ) ] [ j j ] [ ] cs j j Tươg ự a có: (cs) -si () () 9

Hàm w g giải ích ại mọi điểm có cs. Xé phươg rìh cs. Ta có: j j cs ha: j jπ. D đó: j jπ jπ Phươg rìh à có ghiệm là: π π π Như vậ g giải ích ại mọi điểm π. Ta dễ dàg íh được: ( g) cs Tươg ự : (c g) si c. Tíh chấ: Hàm lươg giác biế số phức có các íh chấ sau: cs(-) cs si(-) -si g(-) -g cs( π) cs si( π) si rg( π) g j( ) j( ) j j Thậ vậ: cs( ) [ ] [ ] cs j( π) j( π) j j cs( π) [ ] [ ] cs vì jπ -jπ Tươg ự a chứg mih được các íh chấ cò lại. d. Các phép íh: Ta có các côg hức qu biế: si cs si( ) si cs si cs cs cs - si (5) si si si cs Ta chứg mih, chẳg hạ, côg hức đầu iê: si cs cs - j si (cs jsi)(cs - jsi) j. -j Ví dụ : Tíh csj Th địh ghĩa: cs j,54 Qua ví dụ à a hấ có hữg số phức có cs >. Điều à hôg hể ả ra đối với số hực. Ví dụ : Giải phươg rìh si si với là số phức ch rước. Phươg rìh rê được viế hàh: si - si, ha: si si si cs 4

Ch si a có π. Vậ ghiệm của phươg rìh π Ch cs π a có π, vậ ghiệm của phươg rìh π - π Tóm lại ghiệm của phươg rìh là: π và π - π.. Hàm hprbl: a. Địh ghĩa: Các hàm hprbl biế phức được địh ghĩa h các côg hức sau: sh ch ch sh h ch (6) ch sh Nhữg hàm à là hác riể của hàm hprbl biế hực ừ rục hực ra mặ phẳg phức. Dễ dàg hấ rằg hàm ch là hàm chẵ cò các hàm sh, h, ch là các hàm lẻ. Vì uầ hà với chu ì jπ ê các hàm sh và ch cũg uầ hà với chu ì jπ. Hàm h uầ hà với chu ì jπ. Thậ vậ: sh h (7) ch Dễ dàg iểm ra hấ h( jπ) h b. Các phép íh: Ta có các côg hức giốg hư rg giải ích hực: ch sh - ch - sh ch - sh (8) sh( ) sh ch sh ch ch ch sh.... c. Qua hệ với các hàm lượg giác: Từ địh ghĩa a su ra: sij jsh csj ch d. Tách phầ hực và phầ ả của hàm lượg giác và hàm hprbl: Ta có: si si( j) sicsj sijcs sich jshcs Tươg ự: cs csch - jsish sh shcs jsich () ch chcs jsish. Đạ hàm của hàm hprbl: Các hàm w sh và w ch giải ích rg à bộ mặ phẳg và có đạ hàm: (sh) ch (ch) sh Hàm w h giải ích rg à mặ phẳg rừ ại điểm mà ha - π, ức là: 4

π j π Ta có: ( h) ch Ví dụ : Tíh si( - j) Ta có: si( - j) si.csj - sijcs si.ch - jsh.cs Th (9) hì csj ch, sij sh. Tra bảg số a có si si57 9,845 cs,546 ch,76 sh,669. Kế quả là: si( - j),845,76 - j,546,669,659 -,9595j π π Ví dụ : Ch phép biế hìh w si. Tìm ảh của băg < < Trước hế a ìm ảh của đườg hẳg C. Th (): u(, ) R(si) sich v(, ) Im(si) cssh ê phươg rìh ham số của đườg hẳg C là: u(, ) si Cch là ham số - < < () v(, ) cs Csh Nếu C hì các phươg rìh () biểu diễ rục ả u. Nếu C hì ó biểu diễ mộ cug hprbl. Thậ vậ, hử C rg () a được: u v () si C cs C π Ta được cug hprbl bê phải ếu < C < và cug hprbl bê rái ếu π < C <. Hprbl () có iêu rục là rục hực, các iêu điểm F (w -) và F (w ), các bá rục là sic và csc. Tiệm cậ của ó là cặp đườg hẳg v ±cgcu. Ch C biế hiê ừ π đế π π π, đườg hẳg C sẽ qué băg < <. Ảh π π của C rg mặ phẳg w sẽ qué ê miề G là ảh của băg < <. Chú ý là π h () hì ảh của đườg hẳg có phươg rìh ham số u ch, v và π đó là ia F u.tươg ự a có ảh của đườg hẳg là ia F u. Vậ miề G là mặ phẳg w bỏ đi hai ia F u và F u. v 4

. Hàm lượg giác gược:hàm gược của siw được í hiệu là w Arcsi. Ta có: jw jw jw si w jw j j ha: jw - j jw - Ta m đâ là phươg rìh bậc hai đối với jw. Giải ra a có: jw j Vậ jw L( j ) ha: w L( j ) j Như vậ: w Arcsi jl( j ) () Tíh đa rị của hàm w Arcsi được su ra ừ íh lưỡg rị của că hức và íh đa rị của hàm lga. Tươg ự a địh ghĩa: w Arccs là hàm gược của csw w Arcg là hàm gược của gw w Arccg là hàm gược của cgw Lập luậ ươg ự rê a có: w Arccs jl( ) j j w Arcg L (4) j j j w Arc c g L j Ví dụ : Tíh Arcsij Th () a có: Arc si j jl( ± ) Nếu rước că lấ dấu a có: Arcsi j jl( ) j[ l( ) j( π) ] π jl( ) Nếu rước că lấ dấu - a có: Arc si j jl( ) j l( ) j( π π) ( ) π jl( [ ] ) 4

Viế gộp lại a có: Arcsi j π jl ( ) guê [ ] Ví dụ: Tíh Arcgj Th (4) a có: j j j ( ) π Arcg j L L l j( ) π π l j Ví dụ : Giải phươg rìh 4cs 5 5 5 5 5 5 Ta có: cs, Arccs jl ± jl ± 4 4 4 6 4 4 Nếu rước că lấ dấu a có: 5 jl jl j l j( ) ( ) π jl 4 4 π π Nếu rước că lấ dấu - a có: 5 jl jl( ) j[ l j( π π) ] ( ) π jl 4 4 Tóm lại: ( ) π ± jl. Hàm hprbl gược: Ta gọi w Arsh là hàm gược của shw w Arsh là hàm gược của shw w Arsh là hàm gược của shw Biểu diễ các hàm à qua lgari a có: Arsh L( ) Arch L( ) Arch L π Ví dụ: Arshj Lj j π. Hàm luỹ hừa phức ổg quá w : Giả sử a là mộ số phức bấ ỳ, a α jβ. Ta địh ghĩa: a al (5) Đặ r jϕ a có: L lr j(ϕ π). D đó: a αlr-β(ϕπ) j[(αϕπ)βlr] Trg đó là mộ số guê uỳ ý. Từ biểu hưc rê a hấ, ếu β hì hàm a có vô số rị.tạ vị của chúg ằm rê đườg rò w αlr-β(ϕπ),, ±, ±, ±,... 44

cò argum của chúg là: α(ϕ π) βlr,,, ±, ±, ±,... Nếu β, ghĩa là a là mộ số hực hì các ạ vị của a ằm rê vòg rò w αlr r α và argum của α là αϕ πα p Có hể chứg mih được rằg ếu α là mộ số hữu ỉ, chẳg hạ α, hì chỉ có q q ạ vị hác hau của α. Trg rườg hợp à hàm w α là hữu hạ rị. Nếu α là mộ số vô ỷ hì hàm w α là vô số rị. Ta cũg có hẻ ách được háh đơ rị của hàm w a. Điểm là điểm rẽ háh của ó. Ví dụ: Tìm j j và j Th địh ghĩa a có: j j j jlj ( j)l π j π j π π ( j)(l jπ) (lπ) j(l 4π) (lπ) [ cs(l ) jsi(l ) ]. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC Muố làm mộ bài á về phép biế hìh bả giác a phải biế vậ dụg các phép biế hìh cơ bả. Nếu là phép đồg dạg, a dùg hàm uế íh. Muố biế mộ cug rò hàh cug rò (ha đườg hẳg) a dùg hàm phâ uế íh. Muố biế mộ góc hàh ửa mặ phẳg a dùg hàm luỹ hừa. Muố biế mộ băg sg sg với rục hực lê ửa mặ phẳg a ghĩ ới hàm mũ. Côg hức Schwar - Chrisphll ch phép biế đa giác hàh ửa mặ phẳg. Hàm Giucvsi biế miề gài đườg rò đơ vị lê mặ phẳg bỏ đi lá cắ dọc h đạ [ -, ] π Ví dụ : Tìm phép biế hìh đơ diệp và bả giác biế miề hìh quạ < arg < 6 lê hìh rò đơ vị w < sa ch ảh của các điểm, lầ lượ là các điểm w và w j v w O π/6 B A B ω O A jπ O u 45

Dễ dàg hấ hàm ω 6 π biế miề quạ < arg < lê ửa mặ phẳg ω rê 6 ( < arg < π ). Mặ hác a lại biế phép biế hìh, biế ửa mặ phẳg rê lê hìh rò đơ vị w < là: j ω a w ϕ ω a π Vậ phép biế hìh miề quạ < arg < lê hìh rò đơ vị có dạg 6 6 j a w ϕ. 6 a Ta sẽ ác địh ϕ và a sa ch các điều iệ phụ được hỏa mã. Từ w( jϕ/ ) ha jπ jπ jϕ a w su raa j, a j. Vậ: jπ a 6 j j w ϕ 6 j Cuối cùg, phép biế hìh phải ìm là: 6 j w j 6 j Ví dụ : Tìm phép biế hìh, biế ửa mặ phẳg rê của hìh rò đơ vị G{ <. Im > } lê mặ phẳg rê A - O B A A A O B A v ζ A ω w O A B A O u 46

Ta dùg hàm phâ uế íh ζ biế điểm hàh điểm ζ, điểm - hàh điểm ζ. Như vậ đạ AA được biế hàh ửa rục hực âm. D íh chấ bả giác, cug rò ABA được biế hah ửa rục ả rê. Vậ hàm ζ đã biế π π miề G hàh góc phầ ư hứ hai < arg ζ < π. Thực hiệ phép qua mộ góc quah gốc ạ độ bằg phép biế đổi ω -jζ a được góc phầ ư hứ hấ π < arg ζ <. Sau đó a đặ w ω a sẽ ăg góc ở đỉh A lê gấp đôi để biế hàh ửa mặ phẳg rê Imw >. Tóm lại phép biế hìh phải ìm là: w ( jζ) ζ Ví dụ : Tìm phép biế hìh bả giác biế miề G < j > ức miề giới hạ bởi đườg rò đơ vị âm O và đườg rò âm ại w.5j, bá íh.5, hàh miề D là băg - < Rw < v A B(j) I B A C R A Nếu a dùg mộ hàm phâ uế íh biế điểm j hàh điểm w hì hai j đườg rò và sẽ biế hàh hai đườg hẳg sg sg. Hàm phâ uế íh có hể chọ là ζ j j Ta có ζ ( ) ( j), ζ( ) ( j), ζ() j, ζ( j) j j Từ đó a su ra ảh của đườg rò là đườg hẳg Im ζ, ảh của đườg O ζ B A - O w u 47

j rò là đườg hẳg Im ζ. Miề G đã được biế hàh băg < Imζ <. Bâ giờ a chỉ cầ hực hiệ phép đồg dạg ức là phép biế hìh uế íh để biế miề D hàh mặ phẳg w: j w 4j ζ 4jζ 4 j Tóm lại w 4j là phép biế hìh phải ìm. j j Ví dụ 4: Trg mặ phẳg ch cug rò AB: A là ạ vị của a, B là ạ vị của -a, rug điểm H của cug rò AB là ạ vị của jh. Trg mặ phẳg w ch đườg rò Γ đi qua hai điểm w ±a và âm ại w jh. Hã ìm mộ phép biế hìh bả giác biế miề gài G của cug AB(ức là mặ phẳg có mộ lá cắ dọc h cug AB) hàh miề D là miề bê gài hìh rò Γ. Chú ý là với các giả hiế đã ch, iếp uế ại mú B với cug AB ạ với rục h O mộ góc (π - α) với α arcg. Cò rg mặ phẳg w iếp uế với đườg rò Γ ại w a ạ với rục Ou mộ góc a π α. a Ta dùg hàm ζ biế cug AB hàh ia B A rg mặ phẳg ζ. Qua a phép biế hìh à ảh của B là B rùg với gốc ạ độ. Ảh của A là A. Vì dζ dζ > vậ arg ê ia A B cũg ghiêg với rục hực mộ góc d a a d a (π-α). Qua phép biế hìh à, miề gài của cug rò AB được biế hàh miề G là miề gài của ia B A (ức là mặ phẳg ζ có mộ lá cắ dọc h A B ) v A a H(jh) O α/ B -a π-α Γ N(-a) O E α/ C(a) w π/-α/ u 48

A ζ E N O η-α B O C π/-α/ ω N Về phía mặ phẳg w, a cũg hực hiệ mộ phép biế hìh phâ uế íh để biế cug rò Γ hàh đườg hẳg. Phép biế hìh được chọ là: w a ω w a Qua phép biế hìh à, đườg rò Γ biế hàh đườg hẳg C E N đi qua gốc. dζ Ảh của C là C rùg với gốc ạ độ. Ảh của N là N. Vì > ê dw a π α đườg hẳg C E N cũg ạ với rục hực góc. Miề gài của đườg rò Γ được biế hàh miề D là ửa mặ phẳg ω ằm bê phải đườg hẳg N C E. Nhờ phép biế hìh ζ ω miề D được biế hàh miề G. Qua phép bìh phươg à đườg hẳg C N gộp lại hàh ia B A. Tóm lại, miề G bê gài cug rò AB rg mặ phẳg được biế hàh miề D là miề gài đườg rò Γ hờ phép biế hìh: a w a a w a Từ đó rú ra: a w ha w a w Ví dụ 5: Tìm phép biế hìh biế miề D { -V < Imw < V } của mặ phẳg w lê miề G là mặ phẳg bỏ đi hai lá cắ Im ±jh và R <. Ta sẽ ìm phép biế hìh biế băg < Imw < V lê ửa mặ phẳg Imw > bỏ đi lá cắ I jh sa ch ảh của rục hực Imw là Im. Sau đó dùg guê lí đối ứg. v w a O E B w V C C u ω A E C π A O B C 49