Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο αποτελεί εκπαιδευτικό υλικό για τις ανάγκες του μαθήματος Αλγεβρικές Δομές Ι, Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκού Έτους 2013-2014, και τελεί υπο συνεχή επεξεργασία.

2 Π Μέρος 1. Ασκήσεις Προς Λύση 3 Μέρος 2. Προτεινόμενες Ασκήσεις Προς Λύση 41 Μέρος 3. Επίλυση Επιλεγμένων Ασκήσεων 81 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέματα 275 I. Θεωρία Ομάδων 275 1. Σχέσεις Μερικής Διάταξης, Απεικονίσεις, Σχέσεις Ισοδυναμίας και Διαμερίσεις 275 1.1. Σχέσεις μερικής διάταξης 275 1.2. Το διάγραμμα Hasse ενός μερικώς διατεταγμένου συνόλου 277 1.3. Απεικονίσεις και Σχέσεις Ισοδυναμίας 278 1.4. Πεπερασμένα και Άπειρα Σύνολα 280 1.5. Σχέσεις ισοδυναμίας 281 1.6. Διαμερίσεις 283 1.7. Διαμερίσεις και Σχέσεις Ισοδυναμίας 284 1.8. Απεικονίσεις και Σχέσεις Ισοδυναμίας 285 2. Πράξεις 291 2.1. Ο πίνακας πράξης (ή πίνακας Cayley) μιας αλγεβρικής δομής της μορφής (X, ) 292 2.2. Ο Γενικός Προσεταιριστικός Νόμος 293 2.3. Επαγόμενες Πράξεις 294 2.4. Πράξεις συμβιβαστές με σχέσεις ισοδυναμίας 295 3. Ομάδες: Βασικές Ιδιότητες 299 3.1. Δυνάμεις Στοιχείων 300 3.2. Βασικές Ιδιότητες Ομάδων 302 3.3. Ο Πίνακας Cayley μιας Ομάδας 304 4. Παραδείγματα Ομάδων 307 4.1. Βασικά Παραδείγματα Ομάδων 307 4.2. Πίνακες Cayley ομάδων με πλήθος στοιχείων 4 309 4.3. Συμμετρικές Ομάδες 312 4.4. Ευθέα Γινόμενα Ομάδων 315 4.5. Η Ομάδα αντιστρεψίμων στοιχείων ενός Μονοειδούς 316 4.6. Η ομάδα των ισομετριών του R n 318 4.7. Η ομάδα των ισομετριών τού R 2 323 4.8. Η ομάδα των ισομετριών ενός επίπεδου γεωμετρικού σχήματος Σ 324 5. Υποομάδες 328 5.1. Υποομάδες και οι βασικές τους ιδιότητες 328 5.2. Ομάδες και Υποομάδες προερχόμενες από την ομάδα Z των ακεραίων 331 5.3. Παραδείγματα Υποομάδων 331 5.4. Η ομάδα των τετρανίων (quaternions) 333

5.5. Τομή υποομάδων και υποομάδες παραγόμενες από υποσύνολα 333 5.6. Η κυκλική υποομάδα η οποία παράγεται από ένα στοιχείο μιας ομάδας 335 6. Τάξη Στοιχείου και Ομάδας - Κυκλικές Ομάδες 337 6.1. Κυκλικές Ομάδες 337 6.2. Τάξη Στοιχείου και Ομάδας 337 6.3. Η Ομάδα των n-οστών ριζών της μονάδας 342 6.4. Κυκλικές Ομάδες Μικρής Τάξης 343 6.5. Ομάδες στρέψης και ομάδες ελεύθερης στρέψης 345 6.6. Τάξη Γινομένου Στοιχείων μιας Ομάδας 346 7. Ταξινόμηση Κυκλικών Ομάδων και των Υποομάδων τους 351 7.1. Υποομάδες και Γεννήτορες Άπειρων Κυκλικών Ομάδων 352 7.2. Υποομάδες και Γεννήτορες Πεπερασμένων Κυκλικών Ομάδων 354 7.3. Κυκλικές Ομάδες - Ευθέα Γινόμενα 359 7.4. Ταξινόμηση Κυκλικών Ομάδων 361 8. Το Θεώρημα του Lagrange και οι Εφαρμογές του 365 8.1. Υποομάδες και Σχέσεις Ισοδυναμίας 365 8.2. Το Θεώρημα του Lagrange 367 8.3. Οι Υποομάδες της S 3 369 8.4. Το αντίστροφο του Θεωρήματος του Lagrange και η Εναλλάσσουσα Ομάδα A 4 370 8.5. Εφαρμογές του Θεωρήματος Lagrange (I) 372 8.6. Εφαρμογές του Θεωρήματος Lagrange (II) 374 9. Χαρακτηρισμοί Πεπερασμένων Κυκλικών Ομάδων 377 9.1. Τάξη στοιχείων τα οποία μετατίθενται σε μια ομάδα 377 9.2. Χαρακτηρισμοί Κυκλικών Ομάδων 380 9.3. Εφαρμογή στην Πολλαπλασιαστική Ομάδα ενός Σώματος 382 10. Οι ομάδες τάξης pq, όπου p, q είναι πρώτοι αριθμοί 383 10.1. Ομάδες τάξης 2p 383 10.2. Ομάδες τάξης pq 386 11. Ομάδες Μεταθέσεων (Μετατάξεων) 388 11.1. Οι πρώτες έννοιες 388 11.2. Τροχιές και ανάλυση σε κύκλους 392 11.3. Εκτιμώντας τάξεις μεταθέσεων (μετατάξεων) στην (S n, ). Διαμερίσεις του n 403 11.4. Άρτιες και περιττές μεταθέσεις (μετατάξεις) 405 12. Κανονικές (Ορθόθετες) Υποομάδες 411 12.1. Κανονικές Υποομάδες 411 12.2. Κανονικές Υποομάδες και Σχέσεις Ισοδυναμίας 414 12.3. Παραδείγματα Κανονικών Υποομάδων 416 13. Τρία Χαρακτηριστικά (Αντι-)Παραδείγματα 421 13.1. Ομάδες Hamilton 421 13.2. Μεταβατική ιδιότητα κανονικότητας υποομάδων 422 14. Ομάδες-πηλίκα 425 14.1. Η ομάδα πηλίκο μιας ομάδας ως προς μια κανονική υποομάδα 425 14.2. Το Θεώρημα Cauchy για πεπερασμένες αβελιανές ομάδες 428 15. Ομομορφισμοί Ομάδων 431 3

4 15.1. Βασικές ιδιότητες και Παραδείγματα 431 15.2. Ομομορφισμοί και Υποομάδες 434 15.3. Δομικές Ιδιότητες Ομάδων - Κριτήρια (Μη)-Ισομορφίας 438 15.4. Ομομορφισμοί και Κανονικές Υποομάδες 441 15.5. Το Θεώρημα του Cayley 442 16. Ταξινόμηση Κυκλικών Ομάδων και οι Ομάδες Αυτομορφισμών τους 449 16.1. Ταξινόμηση Άπειρων Κυκλικών Ομάδων 449 16.2. Ταξινόμηση Πεπερασμένων Κυκλικών Ομάδων 450 16.3. Κριτήριο Ισομορφίας Κυκλικών Ομάδων 451 16.4. Ομάδες Ομομορφισμών Κυκλικών Ομάδων 452 16.5. Ομάδες Αυτομορφισμών Κυκλικών Ομάδων 460 17. Τα Θεωρήματα Ισομορφισμών και οι Εφαρμογές τους 463 17.1. Το Πρώτο Θεώρημα Ισομορφισμών 463 17.2. Το Δεύτερο Θεώρημα Ισομορφισμών 466 17.3. Το Τρίτο Θεώρημα Ισομορφισμών 468 17.4. Το Θεώρημα Αντιστοιχίας 469 IΙ. Θεωρία Δακτυλίων 473 Μέρος 5. Βιβλιογραφία 474

Μέρος 1. Ασκήσεις Προς Λύση 5 Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: x R y x y Q Να δείξετε ότι η R είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο R, και να περιγράψετε το σύνολο πηλίκο R/R. Ασκηση 2. Στο σύνολο των ρητών αριθμών Q ορίζουμε μια σχέση R Q Q ως εξής: x R y x y Z Να δείξετε ότι η R είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο Q, και υπάρχει μια 1-1 και επί επεικόνιση f : Q/R Q [0, 1) Ασκηση 3. Θεωρούμε το υποσύνολο S = { z C z = 1 } του συνόλου C μη-μηδενικών μιγαδικών αριθμών. Στο C ορίζουμε μια σχέση R ως εξής: z R w zw 1 S 1. Να δείξετε ότι η R είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο C, και ακολούθως νa περιγραφεί το σύνολο-πηλίκο C /R. 2. Είναι το υποσύνολο S κλειστό ως προς την πράξη πολλαπλασιασμού στο σύνολο C ; 3. Είναι η πράξη πολλαπλασιασμού στο σύνολο C συμβιβαστή με την σχέση ισοδυναμίας R; Ασκηση 4. Να εξεταστεί, ποια από τα ακόλουθα υποσύνολα τού καρτεσιανού γινομένου Z Z ορίζουν μια σχέση ισοδυναμίας φ επί του συνόλου των ακεραίων αριθμών Z και για κάθε σχέση ισοδυναμίας φ να προσδιοριστούν οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναμίας καθώς και η προκύπτουσα διαμέριση του συνόλου Z: (1) g 1 = {(z, z) z Z}, των

6 (2) g 2 = {(z, z + 1) z Z}, (3) g 3 = {(z + 1, z) z Z}, (4) g 4 = g 1 g 2, (5) g 5 = g 1 g 2 g 3 (6) g 6 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, (7) g 7 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 1)}, (8) g 8 = g 1 g 7, (9) g 9 = g 1 g 7 {(7, 8), (8, 7)}, (10) g 10 = g 1 g 7 {(3, 4), (4, 3)}. Ασκηση 5. Έστω X ένα μη-κενό σύνολο και {R i } i I μια οικογένεια σχέσεων ισοδυναμίας επί του X. 1. Να δείξετε ότι η τομή R = i I R i είναι μια σχέση ισοδυναμίας επί του X. 2. Να εξετάσετε αν η ένωση R = i I R i είναι σχέση ισοδυναμίας επί του X. Ασκηση 6. Θεωρούμε το σύνολο X = { 1, 2, 3, 4}. 1. Έστω η σχέση R = { (1, 1), (2, 1), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3), (4, 1), (2, 3) } X X Να βρεθεί η μικρότερη σχέση ισοδυναμίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R. 2. Έστω η σχέση R = { (1, 1), (2, 3), (4, 1) } X X Να βρεθεί η μικρότερη σχέση ισοδυναμίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R. Ασκηση 7. Να περιγραφούν όλες οι πιθανές σχέσεις ισοδυναμίας επί ενός συνόλου X με πλήθος στοιχείων X = 1, X = 2, X = 3, και X = 4. Ασκηση 8. 1. Στο σύνολο N N, όπου N = { 0, 1, 2, 3, }, ορίζουμε τη σχέση R: (a, b), (c, d) N N : (a, b) R (c, d) a + d = b + c Δείξτε ότι η R είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο N N και περιγράψτε το σύνολο πηλίκο (N N)/R. 2. Στο σύνολο Z Z ορίζουμε τη σχέση S: (x, y), (a, b) Z Z : (x, y) S (a, b) xb = ya Δείξτε ότι η S είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο Z Z σύνολο πηλίκο (Z Z )/S. και περιγράψτε το Ασκηση 9. Θεωρούμε το σύνολο CS(Q) των ακολουθιών Cauchy ρητών αριθμών. Υπενθυμίζουμε ότι μια ακολουθία (r n ) n N, r n Q, n N, ρητών αριθμών ονομάζεται ακολουθία Cauchy ακριβώς τότε όταν ε > 0, n 0 N : m, n n 0 είναι r n r m < ε.

Στο σύνολο CS(Q) ορίζουμε τη σχέση R CS(Q) CS(Q) ως εξής: (r n ) n N R (r n) n N η (r n r n) n N είναι μια μηδενική ακολουθία: lim (r n r n) = 0 (1) Να δειχθεί ότι η R είναι μια σχέση ισοδυναμίας επί τού CS(Q). (2) Να περιγραφεί το σύνολο πηλίκο CS(Q)/R. Ασκηση 10. Έστω K ένα σώμα (K = Q, R, C), και έστω H(t) ένα τυχόν πολυώνυμο υπεράνω του K. Στο σύνολο των πολυωνύμων K[t], ορίζουμε μια σχέση R ως εξής: P(t), Q(t) K[t] : P(t) R Q(t) H(t) P(t) Q(t) (1) Να δείξετε ότι η σχέση R είναι μια σχέση ισοδυναμίας επί του K[t]. (2) Να εξετασθεί αν η σχέση R είναι συμβιβαστή με τις πράξης πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πολυωνύμων. (3) Αν K = R και H(t) = t 2 + 1, ποιό είναι το σύνολο πηλίκο R[t]/R; Ασκηση 11. Εξετάστε στις παρακάτω περιπτώσεις αν, η διμελής πράξη επί του συνόλου G είναι προσεταιριστική, μεταθετική, υπάρχει ουδέτερο στοιχείο και αν, κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο. (1) G = Z και a b = ab. (2) G = Z και a b = a b. (3) G = R + και a b = ab. (4) G = Q και a b = ab. (5) G = R και a b = ab. (6) G = Z + και a b = 2 ab. (7) G = Z + και a b = a b. (8) G = C και a b = a + b. Ασκηση 12. Έστω G = R \ { 1} (δηλαδή G είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από το 1), και ορίζουμε x, y G : x y = x + y + xy Να δείξετε ότι η παραπάνω απεικόνιση είναι μια πράξη επί του G. Να εξετασθεί αν η πράξη είναι προσεταιριστική ή μεταθετική. Να εξετασθεί αν υπάρχει στοιχείο e G έτσι ώστε: x e = x = e x, x G. Αν ένα τέτοιο στοιχείο υπάρχει, είναι μοναδικό; Σ αυτή την περίπτωση να εξετασθεί αν για κάθε x G, υπάρχει y G έτσι ώστε: x y = e = y x. Τέλος να εξετασθεί αν η εξίσωση: έχει (μοναδική) λύση στο σύνολο G. a x = b Ασκηση 13. Έστω ότι K συμβολίζει ένα από τα ακόλουθα σώματα Q, R, C, και έστω M m n (K) το σύνολο των m n πινάκων με στοιχεία από το K. Υπενθυμίζουμε ότι δύο πίνακες A, B M m n (K) καλούνται ισοδύναμοι αν υπάρχει αντιστρέψιμος n n πίνακας P και αντιστρέψιμος m m πίνακας Q έτσι ώστε: Q 1 A P = B 7

8 (1) Δείξτε ότι ορίζοντας: A B ο πίνακας Α είναι ισοδύναμος με τον B αποκτούμε μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο M m n (K). (2) Να περιγραφεί το σύνολο πηλίκο M m n (K)/. (3) Είναι η πρόσθεση, και ο πολλαπλασιασμός πινάκων (όταν m = n), συμβιβαστή πράξη με την σχέση ισοδυναμίας πινάκων;

Α Δ Ι Α - Φ 2 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 9 Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 14. Έστω (G, ) μια ομάδα και υποθέτουμε ότι: a b c = e για κάποια a, b, c G, όπου e είναι το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας. Να δείξετε ότι: b c a = e. Ασκηση 15. Έστω (G, ) μια ομάδα με ταυτοτικό στοιχείο e. Αν το σύνολο G έχει άρτιο πλήθος στοιχείων, να δείξετε ότι υπάρχει ένα στοιχείο a e στην G τέτοιο ώστε a a = e. Ασκηση 16. Έστω R = R \ {0} το σύνολο των μη-μηδενικών πραγματικών αριθμών. Ορίζουμε τη διμελή πράξη : R R R επί τού R, ως εξής: a b := a b (1) Δείξτε ότι η προσεταιριστική. (2) Δείξτε ότι υπάρχει ένα αριστερό ταυτοτικό στοιχείο και ένα δεξιό αντίστροφο στοιχείο για την πράξη. (3) Είναι το ζεύγος (R, ) ομάδα; (4) Ποιά είναι η σημασία της άσκησης; Ασκηση 17. Έστω (G, ) μια ομάδα με ταυτοτικό στοιχείο e. Αν ισχύει x x = e, x G δείξτε ότι η G είναι αβελιανή. Ασκηση 18. Να δείξετε ότι το ανοιχτό διάστημα ( 1, 1) := { x R 1 < x < 1 } της πραγματικής ευθείας αποτελεί ομάδα με πράξη: x y = x + y 1 + xy Ασκηση 19. Έστω (G, ) μια ομάδα με ταυτοτικό στοιχείο e. Αν το σύνολο G έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, να δείξετε ότι για κάθε a G, υπάρχει ακέραιος n Z +, ο οποίος γενικά εξαρτάται από το a, έτσι ώστε: a n := a a a = e (το a εμφανίζεται σαν παράγοντας n φορές). Επιπλέον να δείξετε ότι υπάρχει Ν Z + : a N = e, a G.

10 Ασκηση 20. Έστω (G, ) μια ομάδα και a, b G. Να δείξετε ότι (a b) 1 = a 1 b 1 αν και μόνον αν a b = b a. Να συμπεράνετε ότι η G είναι αβελιανή αν και μόνον αν (a b) 1 = a 1 b 1, a, b G. Ασκηση 21. Έστω (M, ) ένα μονοειδές, δηλαδή είναι μια προσεταιριστική πράξη επί του συνόλου M, και υπάρχει ουδέτερο στοιχείο e στο σύνολο M για την πράξη. (1) Να δείξετε ότι το ζεύγος (U(M), ), όπου U(M) = { x M x M : x x = e = x x } είναι το σύνολο των αντιστρεψίμων στοιχείων του μονοειδούς (M, ), είναι ομάδα. (2) Να βρεθούν οι ομάδες (U(N), ), (U(Z), ) και (U(Z n, ) των μονοειδών (N, ), (Z, ), (Z n, ), όπου είναι ο συνήθης πολλαπλασιασμός. (3) Δείξτε ότι το ζεύγος (Z Z, ), όπου (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = (x 1 y 1, x 2 y 2 ) ένα ένα μεταθετικό μονοειδές και προσδιορίστε την αβελιανή ομάδα (U(Z Z), ). Ασκηση 22. Βρείτε όλους τους πιθανούς πίνακες Cayley ομάδων με 4 στοιχεία. Ασκηση 23. Δείξτε με ένα παράδειγμα, ότι είναι δυνατόν η εξίσωση x x = e να έχει περισσότερες από δύο λύσεις, σε κάποια ομάδα (G, ) με ταυτοτικό στοιχείο e. Ασκηση 24. Θεωρούμε τους ακόλουθους αντιστρέψιμους πίνακες πραγματικών αριθμών: 0 0 1 0 0 0 0 1 A = 0 0 0 1 1 0 0 0, Β = 0 0 1 0 1 0 0 0 GL 4(R) 0 1 0 0 0 1 0 0 και έστω G = { A n GL 4 (R) n Z } και G = { B n GL 4 (R) n Z } Να δείξετε ότι τα ζεύγη (G, ) και (G, ), όπου είναι ο πολλαπλασιασμός πινάκων, είναι αβελιανές ομάδες. Πόσα στοιχεία έχουν οι ομάδες G και G ;

Ασκηση 25. Μελετήστε τη δομή της ομάδας (Z 6, +), και συμπληρώστε τον πίνακα Cayley + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [4] [5] Ασκηση 26. Θεωρούμε το σύνολο απεικονίσεων G = { α 0, α 1, α 2, β 1, β 2, β 3 : Q \ {0, 1} Q \ {0, 1} } όπου: α 0 (x) = x, α 1 (x) = 1 1 x, α 2(x) = x 1 x β 1 (x) = 1 x, β 2 (x) = 1 x, β 3 (x) = x x 1 Να δείξετε ότι το ζεύγος (G, ), όπου είναι πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων, αποτελεί μια μη-αβελιανή ομάδα. Να συμπληρώσετε τον αντίστοιχο πίνακα της ομάδας G. 11 Ασκηση 27. Έστω μια προσεταιριστική πράξη επί του μη-κενού συνόλου G. Υποθέτουμε ότι: (1) Υπάρχει ένα στοιχείο e G: e x = x, x G. (2) Για κάθε x G, υπάρχει ένα στοιχείο x G: x x = e. Να δείξετε ότι το ζεύγος (G, ) είναι ομάδα. Ασκηση 28. Γνωρίζουμε ότι αν (G, ) είναι μια ομάδα, τότε οι εξισώσεις a x = b και x a = b έχουν (μοναδική) λύση για κάθε a, b G. Αντίστροφα: να δείξετε ότι αν είναι μια προσεταιριστική πράξη επί του μη-κενού συνόλου G και οι παραπάνω εξισώσεις έχουν λύση για κάθε a, b G, τότε υπάρχει ταυτοτικό στοιχείο e G για την πράξη και το ζεύγος (G, ) είναι μια ομάδα. Ασκηση 29. 1. Στο σύνολο G = R R ορίζουμε μια πράξη ως εξής: : G G G, (a, b) (c, d) = (ac, ad + b) Να δείξετε ότι το ζεύγος (G, ) είναι ομάδα. 2. Να δείξετε ότι το σύνολο G = { f: R R f(x) = ax + b, a, b R, a 0 } εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων είναι ομάδα. 3. Παρατηρείτε κάποια σχέση μεταξύ των ομάδων, G και G ;

12 Α Δ Ι Α - Φ 3 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 8 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 30. (1) Ας είναι T το σύνολο των μιγαδικών αριθμών με μέτρο ίσο με 1, δηλαδή T = {z C z = 1}. Να δειχθεί ότι το T αποτελεί υποομάδα τής ομάδας (C, ). (2) Να δείξετε ότι το υποσύνολο U των μιγαδικών αριθμών z με z n = 1, για κάποιο n N, δηλαδή U = {z C n N, τέτοιο ώστε z n = 1}, αποτελεί υποομάδα τής (T, ). (3) Αν n 1 είναι ένας φυσικός αριθμός, να δείξετε ότι το σύνολο U n των μιγαδικών αριθμών z με z n = 1, δηλαδή U n = {z C z n = 1}, αποτελεί υποομάδα τής (U, ). (4) Να δείξετε ότι η ομάδα U n είναι κυκλική. Ασκηση 31. Για κάθε μια από τις παρακάτω ομάδες να βρεθούν τουλάχιστον δύο μη-τετριμμένες γνήσιες υποομάδες. (1) (Z, +), (2) (Q, +), (3) (C, ), (4) (8Z, +), (5) (S 3, ), (6) (GL(2, Q), ). Ασκηση 32. (1) Δείξτε ότι αν H και K είναι δύο υποομάδες μιας αβελιανής ομάδας (G, ), τότε το υποσύνολο H K = {hk G h H, k K} είναι μια υποομάδα της G. (2) Να αποδείξετε με τη βοήθεια ενός αντιπαραδείγματος ότι αυτό δεν αληθεύει όταν η ομάδα (G, ) δεν είναι αβελιανή. (3) Έστω n, m 1 δύο φυσικοί αριθμοί και H = nz = n και K = mz = m οι κυκλικές υποομάδες της προσθετικής ομάδας (Z, +), οι οποίες παράγονται από τους φυσικούς αριθμούς n και m αντίστοιχα. Να προσδιορισθεί η ομάδα H + K. Ασκηση 33. Δείξτε ότι κάθε μη-κενό πεπερασμένο υποσύνολο H μιας ομάδας G το οποιο είναι κλειστό στην πράξη της ομάδας είναι υποομάδα της G. Να δείξετε με ένα αντιπαράδειγμα ότι γενικά το παραπάνω αποτέλεσμα δεν ισχύει αν το υποσύνολο είναι άπειρο.

13 Ασκηση 34. Έστω S(A) = {f: A A f : 1-1 και επί} η ομάδα των «1-1» και «επί» απεικονίσεων επί ενός μη κενού συνόλου A, με πράξη την σύνθεση απεικονίσεων. Αν X είναι ένα πεπερασμένο μη κενό υποσύνολο του A, δείξτε ότι το υποσύνολο Η = {f S(A) f(x) X} είναι μια υποομάδα της S(Α). Αληθεύει ο ισχυρισμός αν το υποσύνολο X είναι άπειρο; Ασκηση 35. Έστω (G, ) μια αβελιανή ομάδα με ταυτοτικό στοιχείο e. Ας είναι n N ένας πάγιος¹ φυσικός αριθμός. Να δειχθεί ότι το υποσύνολο H της G που αποτελείται από τα στοιχεία g G με την ιδιότητα g n = e είναι μια υποομάδα της G. Ισχύει το παραπάνω αποτέλεσμα αν η ομάδα δεν είναι αβελιανή; Αν ισχύει να το αποδείξετε, διαφορετικά να δώσετε αντιπαράδειγμα. Ασκηση 36. (1) Αν H και K είναι υποομάδες μιας ομάδας G, τότε η ένωση H K είναι υποομάδα της G αν και μόνον αν είτε H K ή K H. (2) Δεν υπάρχει ομάδα η οποία είναι ένωση δύο γνήσιων υποομάδων της. (3) Yπάρχει ομάδα η οποία είναι ένωση τριών γνήσιων υποομάδων της; Ασκηση 37. Σημειώστε αν είναι σωστό ή λάθος. (1) Ο προσεταιριστικός νόμος ισχύει σε κάθε ομάδα. (2) Είναι δυνατόν να υπάρξει ομάδα στην οποία να μην ισχύει ο νόμος της διαγραφής. (3) Κάθε ομάδα είναι υποομάδα του εαυτού της. (4) Κάθε ομάδα έχει ακριβώς δυο μη γνήσιες υποομάδες. (5) Στο μάθημα, δεν έχουμε δώσει ακόμα παράδειγμα ομάδας που να μην είναι αβελιανή. (6) Κάθε σύνολο αριθμών που είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση είναι και ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό. (7) Μπορούμε να ορίσουμε την υποομάδα ως «υποσύνολο μιας ομάδας». (8) Κάθε υποσύνολο οποιασδήποτε ομάδας είναι υποομάδα με την επαγόμενη πράξη. Ασκηση 38. Έστω (G, ) μια ομάδα, και H = {H i H i G} i I μια οικογένεια υποομάδων της G. (1) Να δείξετε ότι η τομή H = i I H i είναι μια υποομάδα της G. (2) Έστω n, m 1 δύο φυσικοί αριθμοί και H 1 = nz = n και H 2 = mz = m οι κυκλικές υποομάδες της προσθετικής ομάδας (Z, +), οι οποίες παράγονται από τους φυσικούς αριθμούς n και m αντίστοιχα. Να προσδιορισθεί η ομάδα nz mz. ¹σταθερά δοσμένος

14 Ασκηση 39. Έστω ότι (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) είναι δύο ομάδες. Να δειχθεί ότι το καρτεσιανό γινόμενο G 1 G 2 εφοδιασμένο με την πράξη : (G 1 G 2 ) (G 1 G 2 ) G 1 G 2, ((a 1, a 2 ), (b 1, b 2 )) (a 1 1 b 1, a 2 2 b 2 ) αποτελεί μια ομάδα. (Η συγκεκριμένη ομάδα ονομάζεται το ευθύ γινόμενο των ομάδων G 1 και G 2.) Ασκηση 40. Θεωρούμε την ομάδα ευθύ γινόμενο Z 2 Z 2 της προσθετικής ομάδας (Z 2, +) με τον εαυτό της. Να σχηματιστεί ο πίνακας πράξης της Z 2 Z 2 και να αποδειχτεί ότι δεν πρόκειται για κυκλική ομάδα. Ασκηση 41. Θεωρούμε τις ομάδες (Z 2, +), (Z 3, +) και το ευθύ γινόμενό τους Z 2 Z 3. Να σχηματιστεί ο πίνακας πράξης της Z 2 Z 3 και να αποδειχτεί ότι πρόκειται για κυκλική ομάδα. Ακολούθως να εξετάσετε, αν ο ισχυρισμός «Σε κάθε κυκλική ομάδα, κάθε στοιχείο είναι γεννήτορας» είναι αληθής ή όχι. Ασκηση 42. Να προσδιοριστούν όλοι οι γεννήτορες της ομάδας (Z 10, +). Ασκηση 43. Δείξτε ότι μια ομάδα που δεν έχει γνήσιες μη τετριμμένες υποομάδες είναι κυκλική. Ασκηση 44. Έστω (G, ) μια κυκλική ομάδα και a ένας γεννήτορας της G, δηλαδή G = a. Να δείξετε ότι και το στοιχείο a 1 είναι γεννήτορας της G. Ακολούθως να δείξετε ότι μια ομάδα G έχει ακριβώς έναν γεννήτορα αν και μόνον αν η G είναι κυκλική τάξης 2.

Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 15 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 45. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου (1) a = [2] 3, (G, ) = (Z 3, +), (2) a = i, (G, ) = (C, ), (3) a = 1 + i 3, (G, ) = (C, ), (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), (5) cos(2π/7) + isin(2π/7), (G, ) = (C, ). (6) a = [6] 10, (G, ) = (Z 10, +), (7) a = [6] 15, (G, ) = (Z 15 ), +), (8) a = [10] 12, (G, ) = (Z 12 ), +), (9) a = [77] 210, (G, ) = (Z 210 ), +), (10) a = [40] 210, (G, ) = (Z 210 ), +), (11) a = [70] 210, (G, ) = (Z 210 ), +). Ασκηση 46. Έστω (G, ) μια ομάδα. (1) x, a G: o(x 1 ax) = o(a) = o(xax 1 ) (2) a, b G: o(ab) = o(ba) (3) Αν H είναι μια υποομάδα της G, τότε x G, το σύνολο x 1 Hx είναι μια υποομάδα της G με τάξη o(x 1 Hx) = o(h) Ασκηση 47. Βρείτε το πλήθος των γεννητόρων μιας κυκλικής ομάδας με τάξη: (α ) 5, (β ) 8, (γ ) 12, (δ ) 60 Ασκηση 48. (1) Οι γεννήτορες της κυκλικής πολλαπλασιαστικής ομάδας U n όλων των n-στών ριζών της μονάδας στο C καλούνται πρωταρχικές n-οστές ρίζες της μονάδας. Βρείτε τις πρωταρχικές n-οστές ρίζες της μονάδας για n = 4, n = 17, n = 24, και n = 31. (2) Να ευρεθούν όλοι οι γεννήτορες των ομάδων (Z 10, +), (Z 12, +) και (Z 15, +). Ασκηση 49. (1) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποομάδας [25] 30 της ομάδας (Z 30, +).

16 (2) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποομάδας [30] 42 της ομάδας (Z 42, +). (3) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποομάδας i της ομάδας C των μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών με πράξη τον πολλαπλασιασμό. (4) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποομάδας 1 + i της ομάδας C των μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Ασκηση 50. Ποιες είναι οι δυνατές τάξεις για τις υποομάδες των επόμενων κυκλικών ομάδων; (α ) (Z 6, +), (β ) (Z 8, +), (γ ) (Z 12, +), (δ ) (Z 60, +), (ε ) (Z 17, +) Ασκηση 51. Βρείτε όλες τις υποομάδες των παρακάτω ομάδων και σχεδιάστε το διάγραμμα Hasse από τις υποομάδες τους. (α ) (Z 12, +), (β ) (Z 36, +), (γ ) (Z 8, +) Ασκηση 52. Έστω G = { g 1 = e, g 2,, g n } μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα. (1) Δείξτε ότι: (g 1 g 2 g n ) 2 = e και g G: g n = e. (2) Τι συμβαίνει αν η τάξη της G είναι περιττός αριθμός? Ασκηση 53. Έστω (G, ) μια πεπερασμένη ομάδα η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη:² Αν H, K είναι οποιεσδήποτε υποομάδες της G, τότε : είτε H K ή K H Να δειχθεί ότι η G είναι κυκλική ομάδα που η τάξη της ισούται με τη δύναμη ενός πρώτου αριθμού. Ασκηση 54. Θεωρούμε την ομάδα (U(Z 20 ), ) των αντιστρέψιμων κλάσεων ισοδυναμίας των ακεραίων Z κατά μόδιο (mod) 20 με πράξη τον πολλαπλασιασμό των κλάσεων κατά μόδιο (mod) 20. Στην παρούσα Άσκηση [ ] συμβολίζει [ ] 20. (1) Να δειχθεί ότι U(Z 20 ) = { [1], [3], [7], [9], [11], [13], [17], [19] } (2) Να δειχθεί ότι για κάθε στοιχείο u U(Z 20 ) ισχύει u 8 = [1]. (3) Να λυθεί ως προς x εξίσωση [17] ( 108) x [7] 333 = [3] 1. Ασκηση 55. Να δειχθεί ότι μια ομάδα η οποία διαθέτει ακριβώς δύο υποομάδες είναι κυκλική τάξης p, όπου ο p είναι ένας πρώτος αριθμός. ²μια τέτοια ομάδα καλείται μονοσειριακή (uniserial)

Ασκηση 56. Έστω (G, ) μια ομάδα και a, b είναι δύο στοιχεία της με ab = ba. Αν οι τάξεις o(a), o(b) είναι πεπερασμένες και (o(a), o(b)) = 1, τότε η τάξη του στοιχείου ab ισούται με o(a) o(b): max{o(a), o(b)} < & (o(a), o(b)) = 1 & ab = ba = o(ab) = o(a) o(b) 17 Ασκηση 57. Έστω (G, ) μια ομάδα και H, K δύο κυκλικές υποομάδες της G. (1) Αν η G είναι αβελιανή και H = 10 και K = 14, να δειχθεί ότι η G διαθέτει μια υποομάδα L τάξης L = 70. (2) Αν H = 14 και K = 15, να περιγραφεί η υποομάδα H K. Ασκηση 58. (1) Έστω G μια κυκλική ομάδα τάξης n. Για κάθε διαιρέτη m n, να προσδιορισθεί το πλήθος των στοιχείων της G με τάξη m. (2) Δείξτε ότι, με εξαίρεση δύο, όλες οι κυκλικές ομάδες έχουν άρτιο πλήθος γεννητόρων. Ασκηση 59. (1) Έστω p και q πρώτοι αριθμοί. Βρείτε το πλήθος των γεννητόρων της κυκλικής ομάδας Z pq καθώς και το διάγραμμα Hasse των υποομάδων της. (2) Έστω p ένας πρώτος αριθμός. Βρείτε το πλήθος των γεννητόρων της κυκλικής ομάδας Z p r, όπου r 1, καθώς και το διάγραμμα Hasse των υποομάδων της. Ασκηση 60. (1) Να δειχθεί ότι ότι η ομάδα (Q, +) των ρητών αριθμών με πράξη την συνήθη πρόσθεση δεν είναι κυκλική ομάδα. (2) Να δειχθεί ότι η ομάδα των πραγματικών αριθμών (R, +) με πράξη την συνήθη πρόσθεση δεν είναι κυκλική ομάδα. Ασκηση 61. Σημειώστε αν είναι σωστό (Σ) ή λάθος (Λ). (1) Κάθε κυκλική ομάδα είναι αβελιανή. (2) Κάθε αβελιανή ομάδα είναι κυκλική (3) Κάθε στοιχείο μιας κυκλικής ομάδας παράγει την ομάδα. (4) Για κάθε n N, υπάρχει τουλάχιστον μια αβελιανή ομάδα με τάξη n. (5) Κάθε ομάδα τάξης 4 είναι κυκλική. (6) Για κάθε γεννήτορα [a] 20 της Z 20, υπάρχει ένα στοιχείο b [a] 20, το οποίο είναι πρώτος αριθμός. (7) Η S 3 είναι κυκλική ομάδα. (8) Όλες οι υποομάδες της S 3 είναι κυκλικές. (9) Κάθε κυκλική ομάδα τάξης > 2 έχει τουλάχιστον δυο διαφορετικούς γεννήτορες. Ασκηση 62. Στις παρακάτω προτάσεις, δώστε παράδειγμα ομάδας με την ιδιότητα που περιγράφεται ή εξηγήστε γιατί δεν υπάρχει τέτοιο παράδειγμα. (1) Μια πεπερασμένη ομάδα η οποία δεν είναι κυκλική.

18 (2) Μια άπειρη ομάδα η οποία δεν είναι κυκλική. (3) Μια κυκλική ομάδα η οποία έχει μόνο έναν γεννήτορα. (4) Μια άπειρη κυκλική ομάδα η οποία έχει τέσσερις γεννήτορες. (5) Μια πεπερασμένη κυκλική ομάδα η οποία έχει τέσσερις γεννήτορες. Ασκηση 63. Δείξτε ότι μια ομάδα η οποία έχει πεπερασμένο πλήθος υποομάδων είναι πεπερασμένη ομάδα. Ασκηση 64. Για κάθε a, b, c R, θεωρούμε το σύνολο H = { D(a, b, c) M 3 3 (R) a, b, c R }, όπου D(a, b, c) = 1 a b 0 1 c 0 0 1 Να δείξετε ότι το υποσύνολο H είναι μια υποομάδα της ειδικής γραμμικής ομάδας SL 3 (R) και ακολούθως να βρεθούν όλα τα στοιχεία πεπερασμένης τάξης στην H.

Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 19 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 65. Θεωρούμε τις ακόλουθες (κυκλικές) υποομάδες της S 3 : ( ) 1 2 3 ( ) 1 2 3 H = & K = 1 3 2 2 3 1 Να βρεθούν οι δεξιές και αριστερές πλευρικές κλάσεις (δεξιά και αριστερά σύμπλοκα) των υποομάδων H, K στην S 3. Ασκηση 66. (1) Να ευρεθούν οι πλευρικές κλάσεις (τα σύμπλοκα) της υποομάδας 5 = 5Z στην ομάδα (Z, +). (2) Να ευρεθούν οι πλευρικές κλάσεις (τα σύμπλοκα) της υποομάδας 9 = 9Z στην ομάδα (Z, +) και της 9 = 9Z στην (υπο)ομάδα 3 = 3Z της (Z, +). (3) Να ευρεθούν οι πλευρικές κλάσεις (τα σύμπλοκα) της υποομάδας [6] 12 στην ομάδα (Z 12, +) και της [6] 12 στην (υπο)ομάδα [2] 12 της (Z 12, +). Ασκηση 67. Έστω η ομάδα (Z 12, +). Θεωρούμε την ομάδα ευθύ γινόμενο (Z 12 Z 12, )³, και έστω V το ακόλουθο υποσύνολο τής Z 12 Z 12 : V = { ([a] 12, [b] 12 ) Z 12 Z 12 όπου: 3 a & 3 b } Δείξτε ότι το σύνολο V είναι μια υποομάδα τής Z 12 Z 12 και υπολογίστε τον δείκτη [Z 12 Z 12 : V]. Ασκηση 68. Θεωρούμε τη διεδρική ομάδα (D 4, ) και ας είναι τ οποιαδήποτε στερεά κίνηση που προκύπτει από ανάκλαση ως προς άξονα συμμετρίας που κείται επί του επιπέδου του τετραγώνου. Να υπολογιστούν οι αριστερές πλευρικές κλάσεις (τα αριστερά σύμπλοκα) της τ στην D 4. Ασκηση 69. Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα και ότι H G είναι μια υποομάδα της. ³Υπενθυμίζουμε ότι η πράξη τής Z 12 Z 12 ορίζεται ως ([a] 12, [b] 12 ) ([a ] 12, [b ] 12 ) = ([a + a ] 12, [b + b ] 12 ).

20 (1) Να δειχθεί ότι το πλήθος των αριστερών συμπλόκων (πλευρικών κλάσεων) της H στην G ισούται με το πλήθος των δεξιών συμπλόκων (πλευρικών κλάσεων) της H στην G. (2) Να δοθεί παράδειγμα ομάδας (G, ) και υποομάδας H της G, έτσι ώστε a G και ah Ha. (3) Να δειχθεί ότι αν μια ομάδα (G, ) είναι αβελιανή, τότε για κάθε a G ισχύει: ah = Ha. Ασκηση 70. Βρείτε τον δείκτη [G : H] της υποομάδας H G στις ακόλουθες περιπτώσεις: (1) H = nz και G = Z. (2) H = {(x, y) R R x = y} και G = R R. Τέλος βρείτε μια υποομάδα H της πολλαπλασιαστικής ομάδας (R, ) έτσι ώστε: [R : H] = 2. Ασκηση 71. Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα και H, K G δύο υποομάδες τής G οι οποίες έχουν ως τάξη τον ίδιο πρώτο αριθμό p. Αν H K, τότε δείξτε ότι H K = {e G }. Ασκηση 72. Αν (G, ) είναι μια ομάδα με τάξη o(g) < 300, η οποία έχει δύο υποομάδες H, K με τάξεις αντιστοίχως o(h) = 24 και o(k) = 54, τότε ποια είναι η τάξη o(g) της G; Ασκηση 73. Έστω ότι p, q είναι πρώτοι αριθμοί, και (G, ) μια ομάδα. Να δειχθεί ότι: (1) Αν η τάξη της G είναι pq, τότε κάθε γνήσια υποομάδα H της G είναι κυκλική. (2) Αν η G είναι αβελιανή με τάξη pq και p q, τότε η G είναι κυκλική. (3) Υπάρχουν αβελιανές ομάδες τάξης p 2 οποίες δεν είναι κυκλικές. Ασκηση 74. Έστω ότι (G, ) είναι μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα και m είναι το μέγιστο τού συνόλου M = {o(a) N a G} των τάξεων των στοιχείων τής G: m = max { o(a) N a G } Να δειχθεί ότι a G: a m = e G. Ασκηση 75. Ο εκθέτης μιας ομάδας G, αν υπάρχει, ορίζεται να είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός m έτσι ώστε: g m = e, g G, και συμβολίζεται με exp(g). Αν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός, ορίζουμε exp(g) =. (1) Δείξτε ότι ο εκθέτης υπάρχει για κάθε πεπερασμένη ομάδα G. (2) Υπάρχουν άπειρες ομάδες με πεπερασμένο εκθέτη. (3) Αν η G = {g 1, g 2,, g n } είναι πεπερασμένη αβελιανή, δείξτε ότι: (αʹ) exp(g) = [ o(g 1 ), o(g 2 ),, o(g n ) ]

21 (βʹ) Δείξτε ότι υπάρχει στοιχείο g G: o(g) = exp(g). Ασκηση 76. Έστω (G, ) μια ομάδα και H, K δύο υποομάδες της G. Αν a, b είναι δύο στοιχεία τής G, να δείξετε ότι: (1) ah = bk = H = K. (2) Δεν είναι πάντοτε αληθής η συνεπαγωγή: ah = Kb = H = K⁴. Ασκηση 77. Έστω GL 2 (R) η ομάδα των αντιστρέψιμων 2 2 πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, και θεωρούμε τα ακόλουθα υποσύνολά της: G = { X a,b M 2 2 (R) a, b R & a = 0 } & H = { X 1,b M 2 2 (R) b R }, ( ) a b όπου X a,b = 0 1 (1) Δείξτε ότι: H G GL 2 (R). (2) Δείξτε ότι: A G: A H = H A. (3) Περιγράψτε το σύνολα πηλίκο G/H. Ασκηση 78. Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα και ότι H, K είναι υποομάδες της με K H. Αν ο δείκτης [G : K] είναι πεπερασμένος, τότε να δειχθεί ότι οι δείκτες [G : H] και [H : K] είναι πεπερασμένοι και ισχύει [G : K] = [G : H] [H : K]. Ασκηση 79. (Η Πρόταση Poincaré) Αν H, K είναι δύο υποομάδες μιας ομάδας G⁵, των οποίων ο δείκτης στην G είναι πεπερασμένος, τότε και ο δείκτης τής H K στην G είναι επίσης πεπερασμένος. Επιπλέον: Μ.Κ.Δ.([G : H], [G : K]) = 1 = [G : H K] = Ε.Κ.Π.([G : H], [G : K]) ⁴Χρησιμοποιείστε, ως αντιπαράδειγμα, υποομάδες και στοιχεία τής συμμετρικής ομάδας (S 3, ). ⁵Η G δεν είναι απαραίτητα πεπερασμένη ομάδα.

22 Α Δ Ι Α - Φ 6 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013 Ασκηση 80. Θεωρούμε τα ακόλουθα στοιχεία της (S 6, ): ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 σ =, τ =, μ =. 3 1 4 5 6 2 2 4 1 3 6 5 5 2 4 3 1 6 (1) Να προσδιοριστούν οι χ τροχιές στις οποίες διαμερίζεται το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5, 6}, όταν χ = σ, τ, και μ. (2) Να προσδιοριστούν οι τάξεις o(σ), o(τ), και o(μ). (3) Να προσδιοριστεί η ανάλυση σε αποσυνδετούς (ξένους) κύκλους των μεταθέσεων σ, σ 2, σ 3, σ 4, σ 5, σ 6 (Τι παρατηρείτε;). (4) Να υπολογιστούν τα στοιχεία: σ τ σ 1, σ 1 τ σ, τ σ τ 1, μ τ μ 1, μ 3 τ 7 μ 3. (5) Να επιλυθεί ως προς x η εξίσωση: x σ x 1 = (1 2 3 4 5 6). (6) Να δειχθεί ότι η ως προς x εξίσωση: x σ x 1 = τ δεν διαθέτει λύση. Ασκηση 81. (1) Έστω σ S n ένα στοιχείο της συμμετρικής ομάδας S n, n 2. Να δειχθεί ότι η τάξη του σ είναι 2 αν και μόνον αν η μετάθεση σ είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων ξένων (αποσυνδετών) ανά δύο. (2) Έστω τ S 7 ένα στοιχείο της συμμετρικής ομάδας S 7 για το οποίο γνωρίζουμε ότι: τ 4 = (2 1 4 3 5 6 7). Να βρεθεί η μετάθεση τ και να γραφεί ως γινόμενο ξένων (αποσυνδετών) κύκλων και αντιμεταθέσεων. Ασκηση 82. Θεωρούμε τις μεταθέσεις (μετατάξεις) της συμμετρικής ομάδας S 8 : ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 τ = και σ = 2 1 4 5 3 7 8 6 3 4 6 8 7 1 5 2 (a) Να γραφούν οι μεταθέσεις σ και τ ως γινόμενα ξένων κύκλων. (b) Να προσδιοριστούν οι τάξεις των μεταθέσεων τ και σ. (c) Να υπολογιστεί η μετάθεση σ 2013. (d) Να εξεταστεί αν, υπάρχει μετάθεση ρ S 8 τέτοια, ώστε: ρτρ 1 = σ. Αν υπάρχει, να βρείτε μια τέτοια μετάθεση.

Ασκηση 83. Θεωρούμε τη συμμετρική ομάδα S n, n 3. (1) Κάθε κύκλος στην S n μπορεί να γραφεί ως γινόμενο το πολύ n 1 αντιμεταθέσεων. (2) Κάθε μετάθεση στην S n η οποία δεν είναι κύκλος, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο το πολύ n 2 αντιμεταθέσεων. (3) Κάθε περιττή μετάθεση στην S n μπορεί να γραφεί ως γινόμενο 2n + 3 αντιμεταθέσεων. (4) Κάθε άρτια μετάθεση στην S n μπορεί να γραφεί ως γινόμενο 2n + 8 αντιμεταθέσεων. 23 Ασκηση 84. (1) Να δείξετε ότι κάθε μετάθεση σ A n, n 3, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο 3-κύκλων. (2) Να βρεθούν τα αριστερά σύμπλοκα (πλευρικές κλάσεις) της κυκλικής υποομάδας H = (1 2 3) στην A 4. Ασκηση 85. (1) Να υπολογιστεί ο πίνακας πράξης της εναλλάσσουσας υποομάδας A 4 της (S 4, ). (2) Να δειχθεί ότι n, n 4, η εναλλάσσουσα υποομάδα A n της (S n, ) δεν είναι αβελιανή (μεταθετική). Ασκηση 86. Να δείξετε ότι η εναλλάσουσα ομάδα A 4 έχει υποομάδες τάξης 1, 2, 3, 4 και 12, αλλά δεν έχει υποομάδα τάξης 6⁶. Ασκηση 87. Να βρεθεί το διάγραμμα Hasse της εναλλάσσουσας ομάδας A 4. Ασκηση 88. Να δειχθεί ότι το πλήθος των άρτιων μεταθέσεων (μετατάξεων) μιας υποομάδας H της (S n, ) ισούται ή με o(h) ή με o(h)/2. Ασκηση 89. Να δειχθεί ότι το πρόσημο ε(σ) μιας μετάθεσης (μετάταξης ) σ της (S n, ) ισούται πάντοτε με το πρόσημο της ε(σ 1 ) της σ 1. Ασκηση 90. Έστω ότι σ και τ είναι δύο στοιχεία της (S n, ), n 2. Να δειχθεί ότι: (1) το στοιχείο στσ 1 τ 1 είναι πάντοτε στοιχείο της εναλλάσσουσας υποομάδας A n, (2) το στοιχείο στσ 1 ανήκει στην A n, αν και μόνο αν, το στοιχείο τ ανήκει στην A n. ⁶Επειδή 6 12 = A 4, αυτό δείχνει ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος του Lagrange.

24 Ασκηση 91. (1) Να βρεθεί το κέντρο Z(S n ) της συμμετρικής ομάδας S n ⁷. (2) Να βρεθεί το κέντρο Z(A n ) της εναλλάσσουσας ομάδας A n. Ασκηση 92. (1) Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της (S n, ), n 2, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο αντιμεταθέσεων της μορφής (1 i). (2) Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της S n, n 2, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο (δυνάμεων) των μεταθέσεων (1 2) και (1 2 n). Ασκηση 93. Να υπολογιστεί η ομάδα συμμετριών του ρόμβου: 1 4 2 3 ⁷Υπενθυμίζουμε ότι το κέντρο Z(G) μιας ομάδας G ορίζεται να είναι η υποομάδα Z(G) = {g G gh = hg, h G}.

Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 25 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Ασκηση 94. Βρείτε όλα τα σύμπλοκα (πλευρικές κλάσεις) της υποομάδας H G της ομάδας G και περιγράψτε την ομάδα πηλίκο στις ακόλουθες περιπτώσεις: (1) H = 4Z Z. (2) Η = 4Z 2Z. (3) H = [18] 36 Z 36. Ασκηση 95. Έστω H μια κανονική (ορθόθετη) υποομάδα μιας ομάδας G. Αν x, y G, να δείξετε ότι: xy H yx H ( ) Ισχύει η παραπάνω ισοδυναμία αν η H δεν είναι κανονική υποομάδα της G; Αν ισχύει να το αποδείξετε, και αν δεν ισχύει να δώσετε αντιπαράδειγμα. Ασκηση 96. Έστω G μια ομάδα και H μια πεπερασμένη υποομάδα της G με την ιδιότητα ότι η H είναι η μοναδική υποομάδα της G με τάξη o(h). Να δείξετε ότι η H είναι κανονική (ορθόθετη). Ασκηση 97. Έστω η διεδρική ομάδα D 4 τάξης 8, την οποία θεωρούμε ως υποομάδα της S 4 : D 4 = { Id 4, ρ, ρ 2, ρ 3, σ, σρ, σρ 2, σρ 3 }, όπου ρ = ( 1 2 3 4 ) και σ = ( 2 4 ) και έστω η υποομάδα H = { Id 4, σρ } της D 4. (1) Βρείτε όλα τα αριστερά σύμπλοκα (αριστερές πλευρικές κλάσεις) της υποομάδας H στην D 4. (2) Βρείτε όλα τα δεξιά σύμπλοκα (δεξιές πλευρικές κλάσεις) της υποομάδας H στην D 4. (3) Είναι H κανονική (ορθόθετη) υποομάδα της D 4 ; Ασκηση 98. Να βρεθεί ο δείκτης της υποομάδας H στην ομάδα G στις ακόλουθες περιπτώσεις: (1) H = [3] 24 Z 24.

26 (2) H = (2 3) S 3. (3) H = (1 3) D 4. Σε ποιές από τις παραπάνω περιπτώσεις η υποομάδα H είναι κανονική (ορθόθετη) υποομάδα της G; Ασκηση 99. Έστω G μια ομάδα και H = {H i i I} μια οικογένεια κανονικών υποομάδων της G. Να δείξετε ότι η τομή i I H i της οικογένειας H είναι μια κανονική υποομάδα της G. Ασκηση 100. Έστω G μια πεπερασμένη ομάδα και H μια κανονική υποομάδα της G. Αν ( [G : H], o(h) ) = 1 τότε να δείξετε ότι⁸: x G : x o(h) = e = x H Ασκηση 101. Αν G είναι μια ομάδα, να δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (1) Η ομάδα G είναι αβελιανή. (2) Η ομάδα πηλίκο G/Z(G) είναι κυκλική. Αν Η είναι μια υποομάδα της G έτσι ώστε H Z(G), τότε όπως γνωρίζουμε η H είναι κανονική υποομάδα της G. Αν η ομάδα πηλίκο G/H είναι κυκλική, είναι η G αβελιανή; Ασκηση 102. Θεωρούμε την κανονική (ορθόθετη) υποομάδα Z της προσθετικής ομάδας R. Να βρεθούν όλα τα στοιχεία πεπερασμένης τάξης της ομάδας πηλίκο R/Z. Ασκηση 103. Έστω ότι φ : G L είναι ένας ομομορφισμός ομάδων. (1) Να δειχθεί ότι αν, H είναι μια υποομάδα τής G, τότε η εικόνα φ(h) είναι μια υποομάδα τής L. (2) Να δειχθεί ότι αν, K είναι μια υποομάδα τής L, τότε η προεικόνα φ 1 (K) = {g G φ(g) K} είναι μια υποομάδα τής G. Ασκηση 104. Σε καθεμιά από τις επόμενες περιπτώσεις να εξεταστεί αν, η απεικόνιση που ορίζεται είναι ομομορφισμός ομάδων και όταν είναι, τότε να υπολογιστεί ο πυρήνας του. (1) φ : Z Z, φ(z) = z 1. (2) φ : R R, φ(r) = r και όπου η πράξη τής R = R \ {0} είναι ο πολλαπλασιασμός πραγματικών αριθμών. ⁸Όπως ήδη γνωρίζουμε, χωρίς καμμία προϋπόθεση, ισχύει και η αντίστροφη συνεπαγωγή: για κάθε πεπερασμένη ομάδα H και για κάθε στοιχείο της x H: x o(x) = e.

(3) φ : R GL 2 (R), ( ) 1 r φ(r) =. 0 1 (4) φ : G G, φ(g) = g 1. (5) φ : Z 6 Z 2, φ([z] 6 ) = [z] 2. (6) φ : Z 7 Z 2, φ([z] 7 ) = [z] 2. 27 Ασκηση 105. Δώστε παράδειγμα μη-τετριμμένου ομομορφισμού, η δικαιολογήστε γιατί δεν υπάρχει μη-τετριμμένος ομομορφισμός, f: G H, όπου: (1) f : Z 12 Z 5. (2) f : Z 12 Z 4. (3) f : Z 2 Z 4 Z 2 Z 5. (4) f : Z 3 Z. (5) f : Z 3 S 3. (6) f : Z S 3. (7) f : Z Z 2Z. (8) f : 2Z Z Z. (9) f : D 4 S 3. (10) f : S 3 S 4. (11) f : S 4 S 3. (12) f : V 4 V 4. Ασκηση 106. Έστω G μια ομάδα. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (1) Η G είναι αβελιανή. (2) Η απεικόνιση f : G G, f(x) = x 1 είναι ομομορφισμός. (3) Η απεικόνιση g : G G, f(x) = x 2 είναι ομομορφισμός. (4) Η απεικόνιση h : G G G, h(x, y) = xy είναι ομομορφισμός. Ασκηση 107. (1) Πόσοι ομομορφισμοί ομάδων Z Z υπάρχουν; (2) Πόσοι μονομορφισμοί ομάδων Z Z υπάρχουν; (3) Πόσοι επιμορφισμοί ομάδων Z Z υπάρχουν; (4) Πόσοι ομομορφισμοί ομάδων Z Z 2 υπάρχουν; (5) Πόσοι ομομορφισμοί ομάδων Z 2 Z υπάρχουν; Ασκηση 108. Να δείξετε ότι: (1) Υπάρχουν μονομορφισμοί ομάδων f: G G οι οποίοι δεν είναι ισομορφισμοί. (2) Υπάρχουν επιμορφισμοί ομάδων f: G G οι οποίοι δεν είναι ισομορφισμοί. Ασκηση 109. Έστω H και K δύο κανονικές υποομάδες μιας ομάδας G. (1) Να δείξετε ότι HK = KH και το υποσύνολο HK είναι μια κανονική υποομάδα της G. (2) Να δείξετε ότι η υποομάδα H K είναι κανονική υποομάδα της H και της K. (3) Αν H K = {e}, τότε να δείξετε ότι: hk = kh, h H, k K, και υπάρχει ένας ισομορφισμός: = HK H K Ασκηση 110. Έστω G μια άπειρη ομάδα. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

28 (1) Η G είναι κυκλική. (2) Κάθε υποομάδα H {e} της G είναι ισόμορφη με την G.

Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 29 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου 2013 Ασκηση 111. Έστω GL n (R) η ομάδα των αντιστρεψίμων n n πινάκων πραγματικών αριθμών. Αν SL n (R) = { A GL n (R) det(a) = 1 }, να δείξετε ότι το σύνολο SL n (R) είναι μια κανονική υποομάδα της GL n (R), και ακολούθως να περιγράψετε την ομάδα πηλίκο: GL n (R) / SL n (R) Ασκηση 112. Θεωρούμε την πολλαπλασιαστική ομάδα GL 2 (R) των αντιστρέψιμων πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς. (1) Να δείξετε ότι το υποσύνολο G = {( a b 0 d είναι υποομάδα της GL 2 (R). (2) Να δείξετε ότι το υποσύνολο ) M2 2 (R) ad 0 } ) M2 2 (R) b R } H = {( 1 b 0 1 είναι κανονική (ορθόθετη) υποομάδα της G. (3) Να κατασκευάσετε έναν ισομορφισμό H = R (4) Να δειχθεί ότι η ομάδα πηλίκο G/H είναι αβελιανή. Ασκηση 113. Θεωρούμε το σύνολο απεικονίσεων G = { τ a,b : R R τ a,b (x) = ax + b, a, b R, a 0 } το οποίο είναι ομάδα με πράξη την σύνθεση απεικονίσεων. (1) Να δείξετε ότι το υποσύνολο H = { τ 1,b G b R } είναι κανονική (ορθόθετη) υποομάδα της G. (2) Να προσδιορίσετε την ομάδα πηλίκο G/H.

30 Ασκηση 114. Έστω η πολλαπλασιαστική ομάδα C των μη-μηδενικών μιγαδικών αριθμών. (1) Αν T = {z C z = 1} C είναι η ομάδα του κύκλου, να δειχθεί ότι η ομάδα-πηλίκο C /T είναι ισόμορφη με την πολλαπλασιαστική ομάδα R + των θετικών πραγματικών αριθμών. (2) Να δείξετε ότι το σύνολο G = {( ) a b M2 2 (R) (a, b) (0, 0) } b a εφοδιασμένο με την πράξη πολλαπλασιασμού πινάκων είναι ομάδα και υπάρχει ισομορφισμός: G = C Ασκηση 115. Βρείτε την τάξη της δοθείσας ομάδας πηλίκο: (1) Z 6 / [3]6 (2) (Z 4 Z 12 ) / ( [2] 4 [2] 12 ) (3) (Z 4 Z 2 ) / ([2] 4, [1] 2 ) (4) (Z 3 Z 5 ) / ({[0] 3 } Z 5 ) (5) (Z 2 S 3 ) / ([1] 2, (123)) Ασκηση 116. Βρείτε την τάξη του στοιχείου: (1) [5] 12 + [4] 12 στην ομάδα πηλίκο Z 12 / [4]12 (2) [26] 60 + [12] 60 στην ομάδα πηλίκο Z 60 / [12]60 (3) ([2] 3, [1] 6 ) + ([1] 3, [1] 6 ) στην ομάδα πηλίκο (Z 3 Z 6 ) / ([1] 3, [1] 6 ) (4) ([2] 6, [0] 8 ) + ([4] 6, [4] 8 ) στην ομάδα πηλίκο (Z 6 Z 8 ) / ([4] 6, [4] 8 ) Ασκηση 117. Αποδείξτε τους παρακάτω ισομορφισμούς: (1) (Z 2 Z 4 ) / ([0] 2, [1] 4 ) = Z2 (2) (Z 2 Z 4 ) / ([0] 2, [2] 4 ) = Z2 Z 2 (3) (Z 2 Z 4 ) / ([1] 2, [2] 4 ) = Z4 (4) (Z Z Z 8 ) / (0, 4, [0] 8 ) = Z Z4 Z 8 (5) (Z Z) / (2, 2) = Z2 Z Ασκηση 118. Αν G και H είναι πεπερασμένες κυκλικές ομάδες, να δείξετε ότι η ομάδα ευθύ γινόμενο G H είναι κυκλική αν και μόνον αν: Επιπλέον να δείξετε ότι: (o(g), o(h)) = 1 ( ) Z n Z m = Znm (n, m) = 1 ( )

Ασκηση 119. Να εξετασθεί αν η ομάδα ευθύ γινόμενο G 1 G 2 δύο κυκλικών ομάδων G 1 και G 2 είναι επίσης κυκλική. 31 Ασκηση 120. (1) Δείξτε ότι το σύνολο Aut(G) όλων των αυτομορφισμών μιας ομάδας G είναι ομάδα με πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων. (2) Να προσδιορισθεί η ομάδα αυτομορφισμών Aut(G), όταν: (αʹ) G είναι μια άπειρη κυκλική ομάδα. (βʹ) G είναι μια πεπερασμένη κυκλική ομάδα. Ασκηση 121. Να βρεθεί η αριστερή κανονική αναπαράσταση της ομάδας του Klein. Ασκηση 122. Έστω f : G G ένας ομομορφισμός ομάδων. (1) Αν H είναι μια κανονική υποομάδα της G, να δείξετε ότι η f(h) είναι μια κανονική υποομάδα της Im(f) = f(g). (2) Αν K είναι μια κανονική υποομάδα της G, να δείξετε ότι η f 1 (K) είναι κανονική υποομάδα της G. Ασκηση 123. (Δ Θ Ι ) Έστω G μια ομάδα, H G μια υποομάδα της G, και N G μια κανονική υποομάδα της G. Να δείξετε ότι: (1) Το υποσύνολο HN = {hn G h H & n N} είναι μια υποομάδα της G και N HN. (2) H N H, και υπάρχει ένας ισομορφισμός ομάδων: HN / N = H / (H N) Αν η ομάδα G είναι προσθετική, τότε ο παραπάνω ισομορφισμός έχει την ακόλουθη μορφή: H + N / N = H / (H N) Ως εφαρμογή να δείξετε ότι, αν G = Z, H = 3Z, Ν = 4Z, τότε υπάρχει ισομορφισμός: 3Z / 12Z = Z 4 Πρόβλημα 1. Ως γενίκευση της Εφαρμογής της Άσκησης 10, να εξετάσετε αν υπάρχει ισομορφισμός [n, m]z / mz = nz / (n, m)z όπου n, m Z +. Ασκηση 124. (1) Έστω G μια ομάδα και g G. Να δείξετε ότι η απεικόνιση i g : G G, x i g (x) = gxg 1 είναι αυτομορφισμός, ο οποίος καλείται ο εσωτερικός αυτομορφισμός της G μέσω του g.

32 (2) Υπολογίστε τις υποομάδες i (123) (H) και i (23) (K) για τις υποομάδες H = (12) και K = (132) της ομάδας S 3. Ασκηση 125. ⁹ Έστω G μια πολλαπλασιαστική ομάδα και = S G ένα μη-κενό υποσύνολο της G. (1) Το υποσύνολο S = { H G S H } είναι η μικρότερη υποομάδα της G η οποία περιέχει το S. Η υποομάδα S καλείται η υποομάδα της G η οποία παράγεται από το S. (2) Να δείξετε ότι: S = { s a1 1 sa 2 2 san n G n 0, a i Z, s i S } Αν η ομάδα G είναι προσθετική, τότε η παραπάνω ισότητα έχει την ακόλουθη μορφή: S = { a 1 s 1 + a 2 s 2 + + a n s n G n 0, a i Z, s i S } Ασκηση 126. (1) Έστω S ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχείων της προσθετικής αβελιανής ομάδας Q. Να δείξετε ότι η υποομάδα S η οποία παράγεται από το S είναι άπειρη κυκλική. (2) Έστω T ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχείων της προσθετικής αβελιανής ομάδας Q/Z. Να δείξετε ότι η υποομάδα T η οποία παράγεται από το T είναι πεπερασμένη κυκλική. Ασκηση 127. Να δοθούν παραδείγματα: (1) Άπειρης ομάδας G, όλα τα στοιχεία της οποίας έχουν πεπερασμένη τάξη. (2) Ομάδας G η οποία να μην έχει στοιχεία πεπερασμένης τάξης > 1 αλλά να έχει μια ομάδα-πηλίκο G/H, της οποίας όλα τα στοιχεία να έχουν πεπερασμένη τάξη. (3) Άπειρης ομάδας G η οποία να έχει μια κανονική υποομάδα H όλα τα στοιχεία της οποίας έχουν πεπερασμένη τάξη, και η ομάδα πηλίκο G/H να μην έχει στοιχεία πεπερασμένης τάξης. ⁹Η παρούσα Άσκηση συμπίπτει με Άσκηση 8 του Φυλλαδίου Προτεινομένων Ασκήσεων 3.

Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 33 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Ασκηση 128. Έστω (R, +, ) μια τριάδα η οποία ικανοποιεί όλα τα αξιώματα του ορισμού δακτυλίου με μονάδα, εκτός από την μεταθετικότητα της πρόσθεσης. Να δείξετε οτι ισχύει η μεταθετικότητα της πρόσθεσης και η τριάδα (R, +, ) είναι ένας δακτύλιος. Ασκηση 129. Ποια από τα επόμενα σύνολα μαζί με τις αναφερόμενες πράξεις αποτελούν δακτύλιους; (1) R = { a + b 3 a, b Z } μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών (2) R = { a + bi a, b Q }, όπου i 2 = 1, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού {( ) μιγαδικών } αριθμών a b (3) R = a, b R μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού {( πινάκων ) } 0 a a b (4) R = a, b R μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πινάκων b a (5) R = { A M 2 (R) Det(A) = 0 } μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πινάκων (6) R = { m n Q n περιττός} μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού ρητών αριθμών (7) R = { ri r R }, όπου i 2 = 1, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών {( ) } u v Ασκηση 130. Να δειχθεί ότι το σύνολο πινάκων H = u, v C M v u 2 (C) εφοδιασμένο με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πινάκων αποτελεί έναν δακτύλιο διαίρεσης. Ο δακτύλιος H καλείται ο δακτύλιος διαίρεσης των τετρανίων του Hamilton. Ασκηση 131. Έστω (R, +, ) ένας δακτύλιος. Να δείξετε ότι το υποσύνολο Z(R) = { r R r x = x r, x R }

34 είναι ένας υποδακτύλιος του R. Ο υποδακτύλιος Z(R) καλείται κέντρο του δακτυλίου R. Ασκηση 132. Να υπολογιστεί το κέντρο Z(H) του δακτυλίου των τετρανίων του Hamilton και να δείξετε ότι: Z(H) = Z(M 2 (R)). Ασκηση 133. Να προσδιοριστούν όλοι οι διαιρέτες του μηδενός των επόμενων δακτυλίων: (1) Z 4, (2) Z 8, (3) Z 11, (4) Z 4 Z 4 Ασκηση 134. Έστω R ένας δακτύλιος με μονάδα. (1) Αν για κάθε r R ισχύει r 2 = r, να δείξετε ότι ο R είναι μεταθετικός. (Ένας δακτύλιος για τον οποίο ισχύει r 2 = r για κάθε r R, καλείται δακτύλιος του Boole). (2) Αν για κάθε r R ισχύει r 3 = r, να δείξετε ότι ο R είναι μεταθετικός. Ασκηση 135. Να δειχθεί ότι οι επόμενοι δακτύλιοι αποτελούν ακέραιες περιοχές: (1) Z[i] = { a + bi a, b Z }, όπου i 2 = 1, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών (2) Q(i) = { a + bi a, b Q }, όπου i 2 = 1, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών (3) Z( 5) = { a + b 5 a, b Z }, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών (4) Q( 2, 3) = { a + b 2 + c 3 + d 2 3 a, b, c, d Q }, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών Ασκηση 136. Έστω (R, +, ) ένας δακτύλιος με τουλάχιστον δύο στοιχεία και ο οποίος ικανοποιεί την επιπλέον ιδιότητα ότι για κάθε a R, a 0, υπάρχει μοναδικό στοιχείο b R έτσι ώστε aba = a. Να δειχθεί ότι: (1) ο R δεν διαθέτει διαιρέτες του μηδενός. (2) bab = b. (3) ο R διαθέτει μοναδιαίο στοιχείο. (4) ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ασκηση 137. Να προσδιοριστούν τα αντιστρέψιμα στοιχεία των επόμενων δακτυλίων: (1) Z 10, (2) Z 2 Z 4, (3) Z[i], όπου i 2 = 1, (4) Z Z, (5) H. Ασκηση 138. Ποιοι από τους επόμενους δακτύλιους είναι σώματα; (1) Z[i], (2) Q Q, (3) Z 13. Ασκηση 139. Ποια είναι η χαρακτηριστική των επόμενων δακτυλίων; (1) Z 10 Z 8, (2) C, (3) Z Z, (4) H, (5) Z 2 Z Z 3.

Ασκηση 140. Να δειχθεί ότι σε ένα σώμα F χαρακτηριστικής p > 0 ισχύει a, b F: (a + b) p = a p + b p. Ασκηση 141. Έστω R ένας δακτύλιος, όχι απαραίτητα με μονάδα. Να δείξετε ότι το σύνολο Z R = { (n, r) n Z & r R } εφοδιασμένο με τις πράξεις: (n, r) + (m, s) = (n + m, r + s) και (n, r) (m, s) = (nm, ns + rm + rs) είναι ένας δακτύλιος με μονάδα. Ασκηση 142. Θεωρούμε τον δακτύλιο πινάκων M 2 (Z 2 ). (1) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). (2) Βρείτε όλα τα αντιστρέψιμα στοιχεία του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). (3) Να βρεθεί η χαρακτηριστική του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). Ασκηση 143. Έστω R ένας πεπερασμένος δακτύλιος με μονάδα. Να δείξετε ότι ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης αν και μόνον ο R δεν έχει διαιρέτες του μηδενός. Ασκηση 144. Έστω R ένας δακτύλιος με μονάδα. Αν ένα στοιχείο a R έχει περισσότερα από ένα δεξιά αντίστροφα στοιχεία (δηλαδή στοιχεία a R έτσι ώστε αα = 1 R ) τότε να δείξετε ότι το a έχει άπειρα δεξιά αντίστροφα στοιχεία. Ασκηση 145. Έστω R μια ακέραια περιοχή και υποθέτουμε ότι: nr = 0, για κάποιο r R, r 0 και κάποιο n Z +, n 0. Να δείξετε ότι: char(r) = p για κάποιον πρώτο διαιρέτη p του n. Ασκηση 146. Έστω R ένας δακτύλιος με περισσότερα από ένα στοιχεία. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση ax = b έχει λύση για κάθε 0 a R και για κάθε b R. Να δείξετε ότι ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. 35

36 Α Δ Ι Α - Φ 10 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014 Ασκηση 147. Να δώσετε παράδειγμα ομομορφισμού δακτυλίων f: R S, όπου R και S είναι δακτύλιοι με μονάδα, έτσι ώστε: (1) f(1 R ) 1 S. (2) ο δακτύλιος R να περιέχει αντιστρέψιμο στοιχείο x και το στοιχείο f(x) S να μην είναι αντιστρέψιμο. Ασκηση 148. Έστω R και S δακτύλιοι με μονάδα και έστω f : R S ένας μημηδενικός ομομορφισμός δακτυλίων. Να δείξετε ότι f(1 R ) = 1 S, σε κάθε μια από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (1) Ο ομομορφισμός f είναι επιμορφισμός. (2) Ο δακτύλιος S είναι δακτύλιος διαίρεσης. (3) Ο δακτύλιος S δεν έχει διαιρέτες του μηδενός. Αν ισχύει f(1 R ) = 1 S, τότε να δείξετε ότι: (α) για κάθε αντιστρέψιμο στοιχείο x R, το στοιχείο f(x) S είναι αντιστρέψιμο και f(x) 1 = f(x 1 ), και (β) ο ομομορφισμός δακτυλίων f : R S επάγει έναν ομομορφισμό ομάδων f : U(R) U(S) μεταξύ των (πολλαπλασιαστικών) ομάδων των δακτυλίων R και S αντίστοιχα. Ασκηση 149. (1) Να δοθεί παράδειγμα μη-μεταθετικού δακτυλίου R, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες I έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο R/I να είναι μεταθετικός. (2) Να δοθεί παράδειγμα δακτυλίου R χωρίς μονάδα, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες I έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο R/I να έχει μονάδα. (3) Να δοθεί παράδειγμα δακτυλίου R με διαιρέτες του μηδενός, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες I έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο R/I να μη έχει διαιρέτες του μηδενός. (4) Να δοθεί παράδειγμα δακτυλίου R χωρίς διαιρέτες του μηδενός, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες I έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο R/I να έχει διαιρέτες του μηδενός. (5) Βρείτε έναν υποδακτύλιο του του δακτυλίου Z Z, ο οποίος να μην είναι ιδεώδες του Z Z.