Ανάλυση Κυκλωμάτων Μέθοδοι Ανάλυσης Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr
Εισαγωγή Οι απλές μέθοδοι ανάλυσης που αναφέρθηκαν ως τώρα δεν μπορούν να εφαρμοστούν κατά τρόπο αποτελεσματικό σε πολύπλοκα κυκλώματα Έτσι θα περιγράψουμε δύο γενικότερες μεθόδους ανάλυσης των κυκλωμάτων, τη μέθοδο των απλών βρόχων (mesh current method) και τη μέθοδο των κόμβων (node voltage method) Οι μέθοδοι αυτές είναι άμεση συνέπεια των νόμων του Κirchhoff και παρέχουν μια εσωτερική περιγραφή των ηλεκτρικών κυκλωμάτων
Μέθοδος των απλών βρόχων (1/5) Θεωρούμε το παθητικό κύκλωμα του σχήματος το οποίο είναι μετασχηματισμένο στο πεδίο της συχνότητας. Το κύκλωμα περιέχει μόνον ανεξάρτητες πηγές τάσης και έχει b = 5 κλάδους και n t = 4 κόμβους. Από όλους τους δυνατούς βρόχους του κυκλώματος επιλέγουμε τους απλούς βρόχους (mesh) ένας βρόχος λέγεται απλός, όταν το εσωτερικό του δεν περιέχει άλλους κλάδους. Χαρακτηριστικό των απλών βρόχων είναι ότι έχουν μόνον έναν κοινό κλάδο μεταξύ τους.
Μέθοδος των απλών βρόχων (2/5) Θεωρούμε ότι κάθε απλός βρόχος διαρρέεται από ένα ρεύμα J i (i = 1, 2, 3,, n), που λέγεται ρεύμα απλού βρόχου. Το ρεύμα απλού βρόχου έχει φορά αναφοράς τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. Η φορά αυτή είναι και η φορά αναφοράς του απλού βρόχου. Η γνώση των ρευμάτων των απλών βρόχων εξασφαλίζει τη γνώση όλων των μεταβλητών του κυκλώματος.
Μέθοδος των απλών βρόχων (3/5) I J, I J, I J J, I J, I J 1 1 2 1 3 1 2 4 2 5 2 V Z I Z J, V Z I Z ( J J ), V Z I Z J 2 2 2 2 1 3 3 3 3 1 2 4 4 4 4 2 Θεωρώντας θετικές τις τάσεις των κλάδων των οποίων οι φορές αναφοράς συμπίπτουν με τη φορά αναφοράς του βρόχου, οι εξισώσεις απλών βρόχων είναι: βρόχος 1: V V V 0, s1 2 3 βρόχος 2 : V V V 0. 3 4 s5
Μέθοδος των απλών βρόχων (4/5) με αντικατάσταση προκύπτει το σύστημα: ( Z Z ) J Z J V, 2 3 1 3 2 s1 Z J ( Z Z ) J V. 3 1 3 4 2 s5 το οποίο με τη βοήθεια της συμβολικής γραφής των πινάκων, αποκτά τη μορφή: Z2 Z3 Z3 J1 Vs1 Z Z Z J V 3 3 4 2 s5
Μέθοδος των απλών βρόχων (5/5) πίνακας σύνθετων αντιστάσεων Γενικότερα Z11 Z12 J1 Vs1 πίνακας τάσεων Z Z J V 21 22 2 s5 πίνακας ρευμάτων Ο πίνακας σύνθετων αντιστάσεων απλών βρόχων Z m είναι συμμετρικός. Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου Z ii (i = 1, 2) είναι το άθροισμα των σύνθετων αντιστάσεων των κλάδων που σχηματίζουν τον βρόχο i. Τα στοιχεία Z ik (i, k = 1, 2, i k), που βρίσκονται εκατέρωθεν της κυρίας διαγωνίου, είναι το αρνητικό άθροισμα των σύνθετων αντιστάσεων που είναι κοινές στους βρόχους i και k. Oι πηγές τάσης με φορά αναφοράς τη φορά του βρόχου, στον οποίο ανήκουν, είναι θετικές.
Παράδειγμα 1 Θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος, όπου όλες οι αντιστάσεις είναι 1Ω και όλες οι πηγές έχουν τάση 50V. Να υπολογιστούν τα ρεύματα και οι τάσεις σε κάθε κλάδο του κυκλώματος
Παράδειγμα 2 Θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος, όπου οι αντιστάσεις είναι 1Ω, η επαγωγική αντίδραση j1ω και η χωρητική αντίδραση - j1ω. Οι τάσεις των πηγών τάσης είναι V s1 = 10 30 o V και V s5 = 10 0 o V. Να υπολογιστούν τα ρεύματα και οι τάσεις σε κάθε κλάδο του κυκλώματος
Μέθοδος των σύνθετων βρόχων (1/2) H μέθοδος των απλών βρόχων είναι μια συστηματική μέθοδος ανάλυσης των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Το γεγονός αυτό καθιστά την κατάστρωση των εξισώσεων απλών βρόχων εύκολη. Για την κατάστρωση των εξισώσεων αυτών αρκεί η απλή εποπτεία του κυκλώματος. Όμως, συνήθως, οι συστηματικές μέθοδοι δεν είναι οι απλούστερες δυνατές μέθοδοι, όταν η επεξεργασία γίνεται με το χέρι. Οι συστηματικές μέθοδοι υπερτερούν σημαντικά έναντι άλλων μη συστηματικών μεθόδων, όταν γίνεται χρήση υπολογιστών. Στην περίπτωση της μεθόδου των απλών βρόχων, αν η μέθοδος οδηγεί σε σχετικά μεγάλο όγκο υπολογισμών, είναι δυνατό να επιλέξουμε άλλους βρόχους, όχι αποκλειστικά απλούς. Ακόμη, είναι δυνατό να επιλέξουμε απλούς βρόχους, αλλά να θεωρήσουμε, για τους διάφορους βρόχους, διαφορετικές φορές αναφοράς.
Μέθοδος των σύνθετων βρόχων (2/2) Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μέθοδος των σύνθετων πλέον βρόχων μπορεί να είναι περισσότερο αποτελεσματική από τη μέθοδο των απλών βρόχων. Όμως, η χρήση σύνθετων βρόχων δεν αποτελεί συστηματική μέθοδο και συνεπώς δεν μπορεί να εφαρμοστεί κατά γενικό τρόπο. Η μέθοδος των σύνθετων βρόχων εφαρμόζεται κατά περίπτωση, ανάλογα με το κύκλωμα και τα αποτελέσματα που επιδιώκει η ανάλυση.
d V CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt dt m Μέθοδος R των σύνθετων βρόχων Παράδειγμα Zs Z1 Z3 Z1 Zs J1 Vs Z Z Z Z Z J 0 1 1 2 D 2 2 Zs Z2 Z s Z2 Z4 J3 Vs Συνθήκη ισορροπίας: I D J2 0 Δουλεύοντας με απλούς βρόχους;
d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Μέθοδος των κόμβων (1/4) Η μέθοδος των κόμβων είναι άμεση εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff Θεωρούμε το παθητικό κύκλωμα του σήματος, το οποίο έχει μόνο πηγές ρεύματος. Το κύκλωμα αυτό έχει n t = 3 κόμβους και περιγράφεται από n = n t - 1 = 2 γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις κόμβων. Από τις τρεις εξισώσεις κόμβων του κυκλώματος θεωρείται περιττή η εξίσωση που αναφέρεται στον κόμβο αναφοράς Ως κόμβος αναφοράς θεωρείται ο κόμβος 3
d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Μέθοδος των κόμβων (2/4) V E, V E E, V E 1 1 2 1 2 3 2 I Y E, I Y ( E E ), I Y E 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 Θεωρούμε θετικά τα ρεύματα που φεύγουν από έναν κόμβο και αρνητικά τα ρεύματα που φθάνουν σε αυτόν. Έτσι, οι εξισώσεις κόμβων είναι: κόμβος 1: I I I 0, s1 1 2 κόμβος 2 : I I I 0. 2 3 s2
d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Μέθοδος των κόμβων (3/4) ( Y Y ) E Y E I, ή 1 2 1 2 2 s1 Y E ( Y Y ) E I. 2 1 2 3 2 s2 με τη βοήθεια της συμβολικής γραφής των πινάκων, αποκτά τη μορφή: Y1 Y2 Y2 E1 Is1 Y Y Y E I 2 2 3 2 s2
Μέθοδος των κόμβων (4/4) πίνακας σύνθετων αγωγιμοτήτων Γενικότερα Y 11 Y12 Y1n E1 Js1 Y21 Y22 Y2n E2 Js2 Y Y Y E J n1 n2 nn n sn Ο πίνακας των σύνθετων αγωγιμοτήτων κόμβων είναι συμμετρικός πίνακας πηγών ρεύματος πίνακας τάσεων κόμβων Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου Y ii (i = 1, 2,...,n) είναι το άθροισμα των σύνθετων αγωγιμοτήτων των κλάδων που συνδέονται στον κόμβο i Τα στοιχεία Y ik (i, k = 1, 2,..., n, i k), που βρίσκονται εκατέρωθεν της κυ ρίας διαγωνίου, είναι το αρνητικό άθροισμα των σύνθετων αγωγιμοτήτων που εί ναι κοινές στους κόμβους i και k Τέλος, το στοιχείο J si του διανύσματος J s είναι το άθροισμα των πηγών ρεύμα τος που καταλήγουν στον κόμβο i. Θετικές θεωρούνται οι πηγές ρεύματος των οποίων το ρεύμα φθάνει στον κόμβο και αρνητικές όσων το ρεύμα φεύγει από τον κόμβο
d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) I συνωt Μέθοδος m των κόμβων Παράδειγμα Στο κύκλωμα του σχήματος οι αντιστάσεις είναι 1Ω, η επαγωγική αντίδραση j1ω και η χωρητική αντίδραση -j1ω. Τα ρεύματα των πηγών ρεύματος είναι I s1 = 10 30 A και I s3 = 10 0 A. Να βρεθούν οι τάσεις των κόμβων και τα ρεύματα των κλάδων
d dt V R m CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt Κυκλώματα με δύο είδη πηγών Η μέθοδος των βρόχων "προσφέρεται", όταν οι ανεξάρτητες πηγές του κυκλώματος είναι πηγές τάσης και η μέθοδος των κόμβων, όταν είναι πηγές ρεύματος. Αν σε ένα κύκλωμα συνυπάρχουν τα δύο είδη πηγών, πρέπει όλες οι πηγές να γίνουν του ίδιου είδους. Μόνο για πραγματικές πηγές.
d V CVm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt dt m Σύγκριση R των μεθόδων βρόχων και κόμβων Η μέθοδος των βρόχων και η μέθοδος των κόμβων είναι ισοδύναμες μέθοδοι, όταν το μέγεθος του κυκλώματος είναι μικρό. Η επιλογή ανάμεσα στις δύο γίνεται με κριτήριο τον όγκο των μαθηματικών πράξεων που απαιτεί η ανάλυση. Το πλήθος των εξισώσεων κόμβων είναι n t -1, ενώ των εξισώσεων βρόχων είναι b - (n t -1). Όταν υπάρχουν πηγές τάσης προσφέρεται η μέθοδος των βρόχων, ενώ αν υπάρχουν πηγές ρεύματος προσφέρεται η μέθοδος των κόμβων. Τέλος, στην περίπτωση μεγάλων κυκλωμάτων, πλεονεκτεί η μέθοδος των κόμβων
Μέθοδος των απλών βρόχων σε ενεργά κυκλώματα (1/2) Θεωρούμε την εξαρτημένη πηγή τάσης ως ανεξάρτητη και καταστρώνουμε τις εξισώσεις απλών βρόχων του κυκλώματος R1 R2 R3 R2 J1 Vs1 μv1 1 R R 2 2 jcω J 2 V s2 μv 1
Μέθοδος των απλών βρόχων σε ενεργά κυκλώματα (2/2) όμως: V V R I V RJ 1 s1 1 1 s1 1 1 άρα: R1 R2 R3 R2 J1 (1μ) Vs1 μr1j 1 1 R R 2 2 jcω J 2 V s2 μvs1 μr 1J1 ή
Μέθοδος των κόμβων σε ενεργά κυκλώματα Ys Yin Y f Y f E1 YsVs Y Y Y Y E μy E f o f L 2 o 1 ή Ys Yin Y f Y f E1 YsV s Y f μy o Yo Y f YL E2 0
Ερωτήσεις / Απορίες ;