SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Esercizi svolti di Antenne - Anno 004 04-1) Esercizio n 1 del 9/1/004 Si abbia un sistema di quattro dipoli hertziani inclinati, disposti uniformemente su una circonferenza di raggio s giacente su un piano orizzontale Per ciascun dipolo, il piano formato dalla componente verticale e dalla componente orizzontale della corrente é tangente alla circonferenza Sia α l angolo di inclinazione del dipolo ossia l angolo fra la direzione della corrente e la direzione della componente orizzontale L angolo α ela corrente I sono uguali per tutti i dipoli I V I α a) Determinare l espressione far field del campo elettrico irradiato dal sistema b) Se s<<, dimostrare che la polarizzazione é circolare in tutti i punti dello spazio se é soddisfatta la condizione: α 1 ks essendo k la costante di propagazione dell onda I H Il campo elettrico far field é dato dalla somma dei campi generati dai singolidipoli Ovviamente poiché la corrente in ciascun dipolo ha sia la componente orizzontale I H che quella verticale, il campo elettrico totale far field é dato dalla somma del campo elettrico prodotto dalle correnti orizzontali E H e da quello prodotto dalle correnti verticali E V E E V + E H e, per la densitá di corrente: J V J sin α, Dagli Appunti di Microonde si ha: E V (θ, φ) 05jCI V sin θ ESANT04-1 J H J cos α e jkdiê θ
SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici essendo C Zdl µ r e jkr, Z ɛ e D i s sin θ cos(ψ i φ) Il campo elettrico far field dovuto alle componenti orizzontali della correnti é: E H (θ, φ) 05jCI H e jkd i ê θ cos θ cos(φ ζ i )+ê φ sin(φ ζ i )] essendo D i s sin θ cos(ψ i φ), ζ i π + iβ e ψ i iβ Il campo elettrico totale é: E E V + E H 05jCI e jkd i sin α sin θê θ cos α cos θ cos(φ ζ i )ê θ + cos α sin(φ ζ i )ê φ ] 05jCI e i jkd ] sin α sin θ cos α cos θ cos(φ ζ i ) ê θ + cos α sin(φ ζ i )ê φ Poiché nel nostro caso β π, risulta: ζ i (i +1) π, ψ i i π e D i s sin θ cos (i π ) φ ESANT04 -
SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Ne segue: E 05jCI + cos α sin e i jkd ( sin α sin θ cos α cos θ cos φ (i +1) π )] ê θ + ( φ (i +1) π ) ê φ 05jCIe jkssin θ cos φ ( sin α sin θ cos α cos θ cos φ π )] ê θ + ( + cos α sin φ π ) ê φ + ( π ) +05jCIe jkssin θ cos φ ] sin α sin θ cos α cos θ cos (φ π) ê θ + + cos α sin (φ π) ê φ + +05jCIe jkssin θ cos (π φ) ( sin α sin θ cos α cos θ cos φ 3 ) ] π ê θ + + cos α sin (φ 3 ) π ê φ + ( ) 3 jkssin θ cos +05jCIe π φ ] sin α sin θ cos α cos θ cos (φ π) ê θ + + cos α sin (φ π) ê φ Si ha: ( π ) ( cos φ cos φ π ) sin φ cos (π ( φ) ) cos (φ π) cos φ 3 cos π φ cos (φ 3 ) π sin φ cos ((φ π) cos φ sin φ π ) cos φ sin π) sin φ sin (φ 3 ) π cos φ sin (φ π) sin φ ESANT04-3
SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Pertanto: E 05jCIe jkssin θ cos φ ] sin α sin θ cos α cos θ sin φ ê θ cos α cos φê φ + +05jCIe jkssin θ sin φ ] sin α sin θ + cos α cos θ cos φ ê θ cos α sin φê φ + +05jCIe jkssin θ cos φ ] sin α sin θ + cos α cos θ sin φ ê θ + + cos α cos φê φ + +05jCIe jkssin θ sin φ ] sin α sin θ cos α cos θ cos φ ê θ + + cos α sin φê φ Ne segue: E 05jCI sin α sin θ e jkssin θ cos φ + e jkssin θ cos φ + e jkssin θ sin φ + e jkssin θ sin φ] ê θ + + cos α cos θ sin φ + cos α cos θ cos φ e jkssin θ cos φ + e jkssin θ cos φ] ê θ + e jkssin θ sin φ e jkssin θ sin φ] ê θ + e jkssin θ cos φ + e jkssin θ cos φ] ê φ + + cos α cos φ + cos α sin φ e jkssin θ sin φ + e jkssin θ sin φ] ê φ ESANT04-4
SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici ossia: E 05jCI sin α sin θ cos (ks sin θ cos φ) + cos (ks sin θ sin φ)] ê θ + + cos α cos θ sin φ j sin (ks sin θ cos φ)] ê θ + cos α cos θ cos φ j sin (ks sin θ sin φ)] ê θ + + cos α cos φ j sin (ks sin θ cos φ)] ê φ + cos α sin φ j sin (ks sin θ sin φ)] ê φ Nell ipotesi che s<<, ossia che ks << 1, possiamo porre: cos (ks sin θ sin φ) 1 e sin (ks sin θ cos φ) ks sin θ cos φ In questo caso: E 05jCI 4 sin α sin θ jkscos α cos θ sin φ sin θ cos φ +jkscos α cos θ cos φ sin θ sin φ] ê θ + + jkscos α cos φ sin θ jkscos α sin φ sin θ ] ê φ 05jCI 4 sin α sin θ] ê θ + jkscos α sin θ] ê φ Per α 1 ks << 1 possiamo porre: cos α 1 e sin α 1 ks Pertanto il campo elettrico totale é, in questo caso: E 05jCI ks sin θ] ê θ + jkssin θ] ê φ dalla quale si evince che le componenti del campo sono sfasate di 90 0 e presentano eguali ampiezze; pertanto il campo elettromagnetico irradiato é circolarmente polarizzato ESANT04-5
SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 04-) Esercizio n del 9/01/004 Un antenna é costituita da N piccole spire circolari, ciascuna di raggio a 001 Calcolare N affinché la resistenza di radiazione sia 5 Ohm (vedi Compiti Campi elettromagnetici:es del 9/9/95, es 3 del 4/7/96, es 4 del 1/4/97 ed es 1 del 3//000) Sia N il numero di spire (che supponiamo sovrapposte) di cui é composta l antenna I campi (elettrico e magnetico) far-field generati dall antenna si ottengono moltiplicando per N i campi generati da una singola spira; si ha, cioé: E( r) ê φ ωµ 0 kinπa eikr 4πr sin θ H( r) ê θ k INπa eikr 4πr sin θ La densitá di potenza mediata in un periodo é: < S> 1 E H 1 3π r ωµ 0k 3 I N π a 4 sin θê r Moltiplicando e dividendo per k, la densitá di potenza diventa: < S> 1 3π r ωµ k 4 0 ω I N π a 4 sin θê r 1 ( ɛ 0 µ 0 3r Z 0(π a I N sin θê r avendo posto k π La potenza totale irradiata attraverso una superficie sferica é: P < S> nd r < S> r sin θdθdφ 1 ( sfera sfera 3 Z 0(π a π I N dφ 0 1 ( 3 Z 0(π) 5 a I N 4 3 1 ( 4 Z 0(π) 5 a I N La resistenza di radiazione é: R a P I 1 ( 1 Z 0(π) 5 a N che, per Z 0 377Ohm, sipuó scrivere: ( R a 3076 10 5 a N Affinché R a sia 5 Ohm occorre che: N 5 5 ( a 4 3076 10 5 3076 10 ) 5 (001 165487 da cui: N 403 spire π 0 sin 3 θdθ ESANT04-6