Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής

Κεφάλαιο 9 ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής ẋ = f (x, µ), (9.0.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f εξαρτάται από μία παράμετρο µ και είναι αρκούντως παραγωγίσιμο σε ένα ανοιχτό υποσύνολο E του R R n. Διακλάδωση της συμπεριφοράς του δυναμικού συστήματος συμβαίνει όταν μεταβολή της παραμέτρου µ πέριξ μιας τιμής της µ 0 προκαλεί απότομη αλλαγή της συμπεριφοράς των λύσεων. Οπως θα δούμε η διακλάδωση συμβαίνει σε ένα μη υπερβολικό σημείο ισορροπίας του δυναμικού συστήματος, δηλαδή σε κάποιο σημείο (x 0, µ 0 ) για το οποίο f (x 0, µ 0 ) = 0 και ο πίνακας Jacobi Df (x 0, µ 0 ) έχει τουλάχιστον μία ιδιοτιμή με μηδενικό πραγματικό μέρος. Παράδειγμα 9.0.1. Θεωρούμε τη ΔΕ ẍ + 2µẋ + x = 0, µ R. Για µ > 0, αυτή περιγράφει αρμονικό ταλαντωτή με απόσβεση. Οπως γνωρίζουμε από το πρώτο Κεφάλαιο, λύσεις είναι x (t, µ) = e µt (A cos ωt + B sin ωt), ω = 1 µ 2. Υποθέτουμε µ < 1. Μεταβάλλοντας την παράμετρο µ από θετικές σε αρνητικές τιμές, η λύση παριστάνει (α) φθίνουσες ταλαντώσεις για µ > 0 (β) αμείωτη αρμονική ταλάντωση για µ = 0 (γ) ταλαντώσεις με εκθετικά αυξανόμενο πλάτος για µ < 0. Παρουσιάζεται λοιπόν το φαινόμενο όπου μικρή 155

156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ μεταβολή της παραμέτρου µ πέριξ μιας τιμής της µ 0 := 0 προκαλεί απότομη αλλαγή της συμπεριφοράς των λύσεων. Η διακλάδωση της συμπεριφοράς εκδηλώνεται και στο πορτραίτο φάσεων του ισοδύναμου συστήματος ẋ 0 1 x =. ẏ 1 2µ y Οι ιδιοτιμές µ ± µ 2 1 είναι μιγαδικές (για µ < 1) και έχουν ίχνος µ. Επομένως η αρχή είναι (α) ευσταθής εστία για µ > 0 (β) κέντρο για µ = 0 (γ) ασταθής εστία για µ < 0, Σχήμα 9.1. Συνεπώς όταν η παράμετρος περνάει από την τιμή µ 0 = 0 το πορτραίτο φάσεων υφίσταται μία τοπολογική μεταβολή. Σχήμα 9.1: Πορτραίτο φάσεων του αρμονικού ταλαντωτή όταν η παράμετρος παίρνει τιμές µ > 0, µ = 0, µ < 0. 9.1 Διακλαδώσεις σε μονοδιάστατα συστήματα Στην παράγραφο αυτή θεωρούμε συστήματα της μορφής ẋ = f (x, µ), (9.1.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f (μιας διάστασης) είναι αρκούντως διαφορίσιμο σε κάποιο ανοιχτό υποσύνολο του R 1 R 1, δηλαδή έχει συνεχείς παραγώγους μέχρι κάποιας τάξης και ως προς τις δύο μεταβλητές x, µ. Θα υποθέσουμε ότι το σύστημα (9.1.1) έχει ένα απομονωμένο σημείο ι- σορροπίας x 0 για μία τιμή της παραμέτρου µ 0, δηλαδή f (x 0, µ 0 ) = 0. Χωρίς

9.1. ΔΙΑΚΛΑΔ ΩΣΕΙΣ ΣΕ ΜΟΝΟΔΙ ΑΣΤΑΤΑ ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑ 157 βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι το σημείο ισορροπίας είναι η αρχή, (0, 0). Πράγματι, αν το σημείο ισορροπίας είναι κάποιο x 0 = 0 για κάποιο µ 0 = 0, τότε για τη μεταβλητή x απλώς μετακινούμε την αρχή του άξονα x στο σημείο x 0 y := x x 0, οπότε η (9.1.1) γράφεται ẏ = f (y + x 0, µ) =: g (y, µ). Ομοια για τη μεταβλητή µ θέτουμε λ = µ µ 0, οπότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται ẏ = g (y, λ + µ 0 ) =: h (y, λ). Το νέο διανυσματικό πεδίο h (y, λ) έχει σημείο ισορροπίας στην αρχή, δηλαδή h (0, 0) = 0. Διατηρώντας τα ίδια σύμβολα, δηλαδή x, f, µ, μπορούμε οσάκις χρειάζεται, να θεωρούμε ότι το (9.1.1) έχει σημείο ισορροπίας στην αρχή. Οπως θα δούμε σε όλες τις περιπτώσεις που συμβαίνει διακλάδωση, το σημείο ισορροπίας είναι μη υπερβολικό, δηλαδή f (0, 0) = 0, f (0, 0) x = 0. (9.1.2) 9.1.1 Διακλάδωση σάγματος-κόμβου Θα εξετάσουμε το σύστημα ẋ = µ x 2. Οταν µ > 0 το σύστημα έχει δύο σημεία ισορροπίας ± µ, ένα ευσταθές και ένα ασταθές, κόμβος και σάγμα αντίστοιχα, βλ. Σχήμα 9.2. Καθώς το µ Μ Μ Μ 0 Μ 0 Μ 0 Σχήμα 9.2: Διακλάδωση σάγματος-κόμβου. Καθώς η παράμετρος µ ελαττώνεται, τα δύο σημεία ισορροπίας συνενώνονται και εξαφανίζονται. πλησιάζει το μηδέν από πάνω, η παραβολή του σχήματος κατεβαίνει και τα δύο

158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ σημεία ισορροπίας πλησιάζουν το ένα το άλλο. Οταν το µ γίνει μηδέν τα δύο σημεία συνενώνονται σε ένα ασταθές σημείο ισορροπίας (σάγμα). Οταν το µ πάρει αρνητικές τιμές το σημείο ισορροπίας παύει να υπάρχει, το δυναμικό σύστημα δεν έχει σημεία ισορροπίας για µ < 0. Στο παράδειγμα αυτό η διακλάδωση συμβαίνει για µ = 0, διότι η συμπεριφορά του συστήματος για µ > 0 και µ < 0 είναι ποιοτικώς διαφορετική. Σημειώνουμε ότι στην διακλάδωση το σημείο ισορροπίας (x 0 = 0, µ 0 = 0) είναι μη υπερβολικό, δηλαδή ισχύουν οι (9.1.2). Για να αποδώσουμε γραφικά την αλλαγή της συμπεριφοράς του συστήματος χρησιμοποιούμε το διάγραμμα διακλάδωσης. Πρόκειται για το x Μ Σχήμα 9.3: Διάγραμμα διακλάδωσης κόμβου-σάγματος. Η διακεκομμένη ημιπαραβολή παριστάνει τα ασταθή σημεία ισορροπίας και η ημιπαραβολή με πλήρη γραμμή παριστάνει τα ευσταθή σημεία ισορροπίας. γράφημα της καμπύλης f (x, µ) = 0, όπου µ παίζει το ρόλο της ανεξάρτητης μεταβλητής και αποδίδεται στον οριζόντιο άξονα. Στην περίπτωση μας η καμπύλη µ x 2 = 0 είναι παραβολή, Σχήμα 9.3. Στο σχήμα φαίνεται ότι καθώς η παράμετρος µ αυξάνει από αρνητικές τιμές, ένα σημείο ισορροπίας εμφανίζεται από το πουθενά και στη συνέχεια διασπάται σε δύο σημεία ισορροπίας. Με αντίθετη μετακίνηση κατά μήκος του άξονα της παραμέτρου µ, μπορούμε να πούμε ότι δύο σημεία ισορροπίας συνενώνονται και εξαφανίζονται. Το διανυσματικό πεδίο µ x 2 είναι το πρωτότυπο που εμφανίζεται η διακλάδωση σάγματος-κόμβου, (saddle-node bifurcation). Για το λόγο αυτό λέγεται κανονική μορφή (normal form) της διακλάδωσης σάγματος-κόμβου. Ποιά μορφή πρέπει να έχει ένα διανυσματικό πεδίο f (x, µ) ούτως ώστε δύο σημεία ισορροπίας να συνενώνονται και να εξαφανίζονται καθώς μεταβάλλεται

9.1. ΔΙΑΚΛΑΔ ΩΣΕΙΣ ΣΕ ΜΟΝΟΔΙ ΑΣΤΑΤΑ ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑ 159 η παράμετρος µ; Σημεία ισορροπίας εμφανίζονται εκεί που το γράφημα της f τέμνει τον άξονα x, επομένως η f (x, µ) πρέπει να έχει παραβολική μορφή ανάμεσα σε δύο γειτονικές ρίζες της, βλ. Σχήμα 9.4. Καθώς η παράμετρος µ f x, Μ Μ Μ 0 Μ Μ 0 Σχήμα 9.4: Τυπικό γράφημα της f (x, µ) κοντά στο σημείο ισορροπίας. Οταν η παράμετρος πάρει την τιμή µ = µ 0 το γράφημα της f εφάπτεται στον άξονα x στο σημείο ισορροπίας x 0, επομένως f (x 0, µ 0 ) / x = 0. μεταβάλλεται, το γράφημα της f (x, µ) ανέρχεται, το παραβολικό τμήμα γίνεται εφαπτόμενο του άξονα x όταν µ = µ 0 και στη συνέχεια τέμνει τον άξονα x στα δύο σημεία ισορροπίας που εικονίζονται στο Σχήμα 9.4. Στο παραπάνω συμπέρασμα που καταλήξαμε γεωμετρικά μπορούμε να οδηγηθούμε και με α- ναλυτική επιχειρηματολογία. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι όταν µ = 0 το σύστημα έχει ένα σημείο ισορροπίας στο x = 0, (αν το σημείο ισορροπίας είναι x = x 0 = 0, μεταθέτουμε απλώς την αρχή των αξόνων στο x 0 ). Αναπτύσσοντας κατά Taylor την f περί το (0, 0) θα έχουμε f (x, µ) = f (0, 0) + x f (0, 0) + µ f x µ (0, 0) + 1 2 f 2 x2 x (0, 0) + O µ 2, x 3. 2 Ο πρώτος όρος είναι μηδέν διότι το x = 0 είναι σημείο ισορροπίας. Ο δεύτερος όρος είναι μηδέν διότι το γράφημα της f εφάπτεται στον άξονα x στο σημείο x = 0 επομένως f (0, 0) / x = 0. Συμπεραίνουμε ότι η f (x, µ) κοντά στο σημείο (0, 0) γράφεται ως f (x, µ) = aµ + bx 2 + O (µ µ 0 ) 2 + O µ 2, x 3, δηλαδή τοπικά έχει την κανονική μορφή του πρωτοτύπου διανυσματικού πεδίου µ x 2 της διακλάδωσης σάγματος-κόμβου.

160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 9.1.2 Υποκρίσιμη διακλάδωση Μ Μ Μ 0 Μ 0 Μ 0 Σχήμα 9.5: Υποκρίσιμη διακλάδωση (transcritical bifurcation). Πορτραίτο φάσεων για διάφορες τιμές της παραμέτρου. Θα εξετάσουμε το σύστημα ẋ = µx x 2. Το σύστημα έχει σημείο ισορροπίας στο x = 0 για κάθε τιμή της παραμέτρου µ. Οταν µ < 0 το σύστημα έχει ένα ασταθές σημείο ισορροπίας στο x = µ και ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας στο x = 0. Καθώς το µ πλησιάζει το μηδέν από κάτω, το ασταθές σημείο ισορροπίας πλησιάζει το x = 0 και συνενώνεται με αυτό όταν µ = 0. Οταν µ > 0 η αρχή x = 0 γίνεται ασταθής και το x = µ είναι ευσταθές. Επομένως συμβαίνει μία ανταλλαγή ευστάθειας μεταξύ των δύο σημείων ισορροπίας στην τιμή της διακλάδωσης µ = 0. Σημειώνουμε ότι στην διακλάδωση, το σημείο ισορροπίας (x 0 = 0, µ 0 = 0) είναι μη υπερβολικό, δηλαδή ισχύουν οι (9.1.2). x Μ Σχήμα 9.6: Υποκρίσιμη διακλάδωση. Στο διάγραμμα διακλάδωσης οι διακεκομμένες γραμμές παριστάνουν τα ασταθή σημεία ισορροπίας. Σε αντιδιαστολή με την διακλάδωση σάγματος-κόμβου τα δύο σημεία ισορροπίας δεν εξαφανίζονται, αλλά ανταλλάσσουν ευστάθεια.

9.1. ΔΙΑΚΛΑΔ ΩΣΕΙΣ ΣΕ ΜΟΝΟΔΙ ΑΣΤΑΤΑ ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑ 161 9.1.3 Διχαλωτή διακλάδωση Μ Μ Μ 0 Μ 0 Μ 0 Σχήμα 9.7: Διχαλωτή διακλάδωση. Το ευσταθές σημείο ισορροπίας x = 0 διασπάται σε τρία σημεία ισορροπίας, ενώ το x = 0 γίνεται ασταθές. x Μ Σχήμα 9.8: Διάγραμμα διακλάδωσης διχάλας. Η διακεκομμένη γραμμή παριστάνει τα ασταθή σημεία ισορροπίας. Θα εξετάσουμε το σύστημα ẋ = µx x 3. Με το μετασχηματισμό x x, η ΔΕ παραμένει αναλλοίωτη, επομένως το δυναμικό σύστημα περιγράφει φυσικά συστήματα με κάποια συμμετρία. Το σύστημα έχει σημείο ισορροπίας στο x = 0 για κάθε τιμή της παραμέτρου µ. Οταν µ < 0 η αρχή είναι το μόνο σημείο ισορροπίας (ευσταθές). Οταν µ = 0 η αρχή παραμένει ευσταθής. Τέλος όταν µ > 0 η αρχή x = 0 γίνεται ασταθής και δύο νέα ευσταθή σημεία ισορροπίας εμφανίζονται στα x = ± µ συμμετρικά ως προς την αρχή. Σημειώνουμε ότι στην διακλάδωση το σημείο ισορροπίας (x 0 = 0, µ 0 = 0) είναι μη υπερβολικό, δηλαδή ισχύουν οι (9.1.2). Το διάγραμμα διακλάδωσης (Σχήμα 9.8), δικαιολογεί τον όρο διχάλα, (pitchfork bifurcation).

162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Ενας πληθυσμός ψαριών θεωρούμενος ως δυναμικό σύστημα περιγράφεται από τη λογιστική ΔΕ. Αν θεωρήσουμε ότι αλιεύουμε με σταθερό ρυθμό αλιείας c (quota), τότε το δυναμικό σύστημα περιγράφεται από την ẋ = rx 1 x c. k Σχεδιάστε το πορτραίτο των φάσεων για χαρακτηριστικές τιμές του c και σχολιάστε την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας. Ποια είναι η μέγιστη επιτρεπτή τιμή του c; Για ποιες τιμές του c κινδυνεύει με εξαφάνιση ο πληθυσμός; 9.2 Διακλαδώσεις σε διδιάστατα συστήματα Οι διακλαδώσεις των σημείων ισορροπίας που εξετάσαμε στην προηγούμενη παράγραφο έχουν τα ανάλογά τους στις δύο ή περισσότερες διαστάσεις. Θα υποθέσουμε ότι η ευσταθής πολλαπλότητα της ροής είναι ο άξονας x και για το λόγο αυτό στα επόμενα παραδείγματα επιλέγουμε πάντα τη ΔΕ ẏ = y για την επιπλέον διάσταση. Οπως θα δούμε η διακλάδωση συμβαίνει στην αρχή που είναι ένα μη υπερβολικό σημείο ισορροπίας του δυναμικού συστήματος, δηλαδή f (0, 0) = 0 και ο πίνακας Jacobi Df (0, 0) έχει τουλάχιστον μία ιδιοτιμή με μηδενικό πραγματικό μέρος. 9.2.1 Διακλάδωση σάγματος-κόμβου Θα εξετάσουμε το σύστημα ẋ = µ x 2, ẏ = y. Εχουμε 0 0 A = Df (0, 0) =, 0 1 δηλαδή ο πίνακας A έχει μία μηδενική ιδιοτιμή, επομένως η αρχή είναι μη υπερβολικό σημείο ισορροπίας όταν η παράμετρος έχει την τιμή µ 0 = 0. Οταν µ > 0 το σύστημα έχει δύο σημεία ισορροπίας ± µ, 0, έναν ευσταθή κόμβο στο µ, 0 και ένα ασταθές (σάγμα) στο µ, 0, βλ. Σχήμα 9.9. Καθώς

9.2. ΔΙΑΚΛΑΔ ΩΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΔΙ ΑΣΤΑΤΑ ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑ 163 Μ 0 Μ 0 Μ 0 Σχήμα 9.9: Διακλάδωση σάγματος-κόμβου. Πορτραίτο φάσεων για διάφορες τιμές της παραμέτρου µ. το µ πλησιάζει το μηδέν από πάνω τα δύο σημεία ισορροπίας πλησιάζουν το ένα το άλλο, συνενώνονται όταν µ = 0 και τελικά εξαφανίζονται όταν µ < 0. Στο παράδειγμα αυτό η διακλάδωση συμβαίνει για µ = 0 και ο όρος σάγμα-κόμβος αποδίδεται στο Σχήμα 9.9. Με αντίθετη μετακίνηση κατά μήκος του άξονα της παραμέτρου µ μπορούμε να πούμε ότι καθώς η παράμετρος µ αυξάνει από αρνητικές τιμές, ένα σημείο ισορροπίας εμφανίζεται από το πουθενά και στη συνέχεια διασπάται σε δύο σημεία ισορροπίας. Το διάγραμμα διακλάδωσης είναι το ίδιο με αυτό που είδαμε στη μία διάσταση, βλ. Σχήμα 9.3. 9.2.2 Υποκρίσιμη διακλάδωση Θα εξετάσουμε το σύστημα ẋ = µx x 2, ẏ = y Το σύστημα έχει σημείο ισορροπίας στο (0, 0) για κάθε τιμή της παραμέτρου µ. Υπολογίζοντας τον πίνακα Jacobi προκύπτουν τα ακόλουθα. Οταν µ < 0 το σύστημα έχει ένα ασταθές σημείο ισορροπίας στο (µ, 0) και ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας στο (0, 0). Καθώς το µ πλησιάζει το μηδέν από κάτω το ασταθές σημείο ισορροπίας πλησιάζει το (0, 0) και συνενώνεται με αυτό όταν µ = 0. Οταν µ > 0 η αρχή (0, 0) γίνεται ασταθής και το (µ, 0) είναι ευσταθές. Επομένως συμβαίνει μία ανταλλαγή ευστάθειας μεταξύ των δύο σημείων ισορροπίας στην τιμή της διακλάδωσης µ = 0. Σημειώνουμε πάλι ότι πίνακας Jacobi στο σημείο ισορροπίας Df (0, 0) έχει μία μηδενική ιδιοτιμή, επομένως η αρχή είναι μη υπερβολικό σημείο ισορροπίας.

164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Μ 0 Μ 0 Μ 0 Σχήμα 9.10: Υποκρίσιμη διακλάδωση. Πορτραίτο φάσεων για διάφορες τιμές της παραμέτρου. Σε αντιδιαστολή με την διακλάδωση σάγματος-κόμβου τα δύο σημεία ι- σορροπίας δεν εξαφανίζονται, αλλά ανταλλάσσουν ευστάθεια. Το διάγραμμα διακλάδωσης είναι το ίδιο με αυτό που είδαμε στη μία διάσταση, βλ. Σχήμα 9.6. 9.2.3 Διχαλωτή διακλάδωση Θα εξετάσουμε το σύστημα ẋ = µx x 3, ẏ = y Το σύστημα έχει σημείο ισορροπίας στο (0, 0) για κάθε τιμή της παραμέτρου µ. Υπολογίζοντας τον πίνακα Jacobi προκύπτουν τα ακόλουθα. Οταν µ < 0 η αρχή είναι το μόνο σημείο ισορροπίας (ευσταθής κόμβος). Οταν µ = 0 η αρχή παραμένει ευσταθής. Τέλος όταν µ > 0 η αρχή (0, 0) γίνεται ασταθής και δύο νέα ευσταθή σημεία ισορροπίας εμφανίζονται στα ± µ, 0, συμμετρικά ως προς την αρχή. Σημειώνουμε πάλι ότι πίνακας Jacobi στο σημείο ισορροπίας Df (0, 0) έχει μία μηδενική ιδιοτιμή, επομένως η αρχή είναι μη υπερβολικό σημείο ισορροπίας. Το διάγραμμα διακλάδωσης είναι το ίδιο με αυτό που είδαμε στη μία διάσταση, βλ. Σχήμα 9.8. 9.2.4 Διακλάδωση Hopf Στην παράγραφο αυτή θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα σε δύο διαστάσεις, της μορφής ẋ = f (x, µ),

9.2. ΔΙΑΚΛΑΔ ΩΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΔΙ ΑΣΤΑΤΑ ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑ 165 Μ 0 Μ 0 Μ 0 Σχήμα 9.11: Διχαλωτή διακλάδωση. Το ευσταθές σημείο ισορροπίας (x = 0, y = 0) διασπάται σε τρία σημεία ισορροπίας, ενώ το (0, 0) γίνεται ασταθές. όπου στο μη υπερβολικό σημείο ισορροπίας (x 0, µ 0 ) ο πίνακας Jacobi Df (x 0, µ 0 ) έχει δύο φανταστικές ιδιοτιμές. Η οικογένεια συστημάτων που είναι εκπρόσωπος της διακλάδωσης Hopf 1 είναι ẋ = µx ωy x x 2 + y 2, ẏ = ωx + µy y x 2 + y 2, (9.2.1) με μία παραμέτρο µ R. Η τιμή του ω είναι σταθερή ω > 0 και δεν παίζει ρόλο στη διακλάδωση. Το σύστημα αυτό έχει ήδη μελετηθεί στο Παράδειγμα 6.1.2 του Κεφαλαίου 6. Το μοναδικό σημείο ισορροπίας είναι η αρχή και ο πίνακας Jacobi έχει τη μορφή Οι ιδιοτιμές είναι Df (0, µ) = µ ω ω µ. λ 1,2 (µ) = µ ± iω, (9.2.2) επομένως κατά το Θεώρημα Hartman-Grobman, για µ > 0 η αρχή είναι ασταθής εστία και για µ < 0 η αρχή είναι ευσταθής εστία. Για µ = 0 οι ιδιοτιμές είναι φανταστικές, επομένως το Θεώρημα Hartman-Grobman δεν μας δίνει πληροφορίες για το χαρακτήρα του σημείου ισορροπίας. 1 Ορθότερον: Διακλάδωση Poincaré-Andronov-Hopf. Η μελέτη αυτής της διακλάδωσης στις δύο διαστάσεις έγινε από τον Poincaré το 1892, η απόδειξη του θεωρήματος στις δύο διαστάσεις έγινε από τον Andronov το 1929, και η απόδειξη για n διαστάσεις έγινε από τον Hopf το 1942.

166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Μ 0 Μ 0 Μ 0 Σχήμα 9.12: Διακλάδωση Hopf. Το ευσταθές σημείο ισορροπίας (x = 0, y = 0) γίνεται ασταθές μόλις η παράμετρος γίνει θετική µ > 0 και ένας ευσταθής οριακός κύκλος εμφανίζεται. Δοκιμάζοντας πολικές συντεταγμένες το σύστημα μας γράφεται ṙ = r µ r 2, θ = ω. (9.2.3) Πρόκειται για μία σημαντική απλοποίηση διότι οι εξισώσεις για τις δύο μεταβλητές r και θ αποσυζεύγνυνται. Η εξίσωση θ = ω σημαίνει ότι το διάνυσμα θέσης περιστρέφεται στο επίπεδο x, y με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Για µ = 0 είναι ṙ < 0, συνεπώς η απόσταση από την αρχή r(t) ελαττώνεται, επομένως η αρχή είναι ευσταθής εστία. Ομοια για µ < 0 η αρχή είναι ευσταθής εστία, δηλαδή επιβεβαιώνεται το συμπέρασμα που προκύπτει από το Θεώρημα Hartman-Grobman. Για µ > 0 και 0 < r < µ είναι ṙ > 0, συνεπώς η απόσταση από την αρχή r(t) αυξάνει και οι τροχιές είναι σπείρες με την αρχή ως ασταθή εστία και φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού. Επιβεβαιώνεται λοιπόν πάλι το συμπέρασμα που προκύπτει από το θεώρημα της τοπικής γραμμικοποίησης. Για r > µ είναι ṙ < 0, άρα οι τροχιές είναι σπείρες με κατεύθυνση προς την αρχή. Για r = µ η τροχιά είναι ο κύκλος Γ µ, διότι πάνω στον κύκλο Γ µ είναι ṙ = 0. Επομένως στην τροχιά Γ µ έχουμε r (t) = µ για κάθε t και θ (t) = ωt + θ 0, όπου θ 0 είναι σταθερή της ολοκλήρωσης που χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορεί να θεωρηθεί μηδέν. Γράφοντας τη λύση Γ µ με τις αρχικές καρτεσιανές συντεταγμένες θα έχουμε x (t) = µ cos ωt, y (t) = µ sin ωt,

9.2. ΔΙΑΚΛΑΔ ΩΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΔΙ ΑΣΤΑΤΑ ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑ 167 δηλαδή Γ µ : γ µ (t) = µ [cos ωt, sin ωt] T. Η τροχιά Γ µ είναι ευσταθής οριακός κύκλος διότι για οποιαδήποτε αρχική συνθήκη (r 0, θ 0 ) στη γειτονιά της, η τροχιά που ξεκινά από το σημείο (r 0, θ 0 ) τείνει στον Γ µ καθώς t. Το πορτραίτο φάσεων φαίνεται στο Σχήμα 9.12. Οταν η παράμετρος µ αυξάνει από αρνητικές τιμές οι ιδιοτιμές (9.2.2) μετατοπίζονται στο μιγαδικό επίπεδο καί γίνονται αμιγώς φανταστικές καθώς τέμνουν τον φανταστικό άξονα Im λ, βλ. Σχήμα 9.13. Τότε συμβαίνει η διακλάδωση Hopf κατά την οποία, για µ > 0 ένα σημείο ισορροπίας αλλάζει ευστάθεια και ένας οριακός κύκλος εμφανίζεται. Λ 1 Im Λ Re Λ Λ 2 Σχήμα 9.13: Καθώς η παράμετρος µ αυξάνει οι ιδιοτιμές μετακινούνται προς τα δεξιά και για µ = 0 κόβουν τον φανταστικό άξονα. Το πραγματικό τους μέρος που καθορίζει την ευστάθεια αλλάζει πρόσημο. Από τις δύο παραμέτρους ω είναι η συχνότητα των ταλαντώσεων μικρού πλάτους, ουσιωδώς είναι η συχνότητα του γραμμικοποιημένου συστήματος. Η παράμετρος µ καθορίζει την ευστάθεια του σημείου ισορροπίας καθώς και το μέγεθος του οριακού κύκλου που γεννιέται. Η ακτίνα του οριακού κύκλου αυξάνει συνεχώς από το μηδέν και είναι ανάλογη του µ. Το διάγραμμα διακλάδωσης του συστήματος αποδίδεται στο Σχήμα 9.14. Παρατηρούμε ότι το διάγραμμα διακλάδωσης σε πολικές συντεταγμένες είναι τμήμα του διαγράμματος της διχαλωτής διακλάδωσης, Σχήμα 9.8, πράγμα εύλογο, αφού πρόκειται για την εξίσωση µr r 3 με τον περιορισμό r > 0. Αν αλλάξουν τα πρόσημα των κυβικών όρων του συστήματος (9.2.1) θα

168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ r y µ µ x Γ µ Σχήμα 9.14: Διάγραμμα διακλάδωσης Hopf για τις πολικές και για τις καρτεσιανές συντεταγμένες. Οταν η παράμετρος µ αυξάνει το ευσταθές σημείο ισορροπίας γίνεται ασταθές μόλις η παράμετρος γίνει θετική και για κάθε µ > 0 ένας ευσταθής οριακός κύκλος Γ µ εμφανίζεται. έχουμε το σύστημα ẋ ẏ = µ ω ω µ x y + x (x 2 + y 2 ) y (x 2 + y 2 ), (9.2.4) ή σε πολικές συντεταγμένες ṙ = r µ + r 2, θ = ω. (9.2.5) Το σύστημα υφίσταταται πάλι διακλάδωση Hopf όταν µ = 0. Σε αντιδιαστολή με το σύστημα (9.2.1) υπάρχει τώρα ένας ασταθής οριακός κύκλος που εξαφανίζεται όταν η παράμετρος µ περνά από το μηδέν αυξάνοντας από αρνητικές τιμές. Το σημείο ισορροπίας είναι πάλι ευσταθές για µ < 0, ασταθές για µ > 0, αλλά ασταθές για µ = 0. Σχεδιάστε το πορτραίτο φάσεων του συστήματος (9.2.4) και κάνετε το διάγραμμα διακλάδωσης. Παρατήρηση 9.2.1. Είδαμε ότι αναλόγως του προσήμου των κυβικών όρων έχουμε διαφορετικού τύπου διακλάδωση. Λέμε ότι το σύστημα (9.2.1) υπόκειται σε υπερκρίσιμη (supercritical) διακλάδωση Hopf, ενώ η διακλάδωση στο σύστημα (9.2.4) λέγεται υποκρίσιμη (subrcritical). Και στις δύο περιπτώσεις καθώς η παράμετρος µ αυξάνει έχουμε απώλεια της ευστάθειας όταν µ = 0.

9.2. ΔΙΑΚΛΑΔ ΩΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΔΙ ΑΣΤΑΤΑ ΣΥΣΤ ΗΜΑΤΑ 169 Στην υπερκρίσιμη διακλάδωση, το ευσταθές σημείο ισορροπίας αντικαθίσταται από ένα μικρού πλάτους ευσταθή οριακό κύκλο, επομένως το σύστημα παραμένει στη γειτονιά του σημείου ισορροπίας. Εχουμε λοιπόν μία απαλή, μη καταστροφική απώλεια ισορροπίας. Στην υποκρίσιμη διακλάδωση η κοιτίδα ελκυσμού της αρχής βρίσκεται στο εσωτερικό του ασταθούς οριακού κύκλου που συρρικνώνεται και εξαφανίζεται καθώς η παράμετρος αυξάνει. Τότε το σύστημα σπρώχνεται μακριά από την αρχή, έχουμε λοιπόν μία καταστροφική απώλεια ισορροπίας. Στην πρώτη περίπτωση (υπερκρίσιμη), αν η παράμετρος ξαναγίνει αρνητική το σύστημα επανέρχεται στο σημείο ισορροπίας. Στην δεύτερη περίπτωση (υποκρίσιμη), ακόμα και αν κάνουμε την παράμετρο αρνητική το σύστημα μπορεί να μην επανέλθει στο σημείο ισορροπίας, διότι ενδέχεται να έχει εγκαταλείψει την κοιτίδα της αρχής. Στο Σχήμα 9.15, απεικονίζονται 0.4 0.2 0.2 0.1 5 10 15 20 25 30 35 0.1 5 10 15 0.2 0.4 0.2 0.3 Σχήμα 9.15: Υπερκρίσιμη και υποκρίσιμη διακλάδωση Hopf. Αριστερά η λύση του (9.2.1) για µ = 0.2, απομακρύνεται από την κατάσταση ισορροπίας, αλλά πλησιάζει ασυμπτωτικά την περιοδική λύση (που αντιστοιχεί στον οριακό κύκλο). Δεξιά η λύση του (9.2.4) για µ = 0.2 απομακρύνεται ταχέως από την κατάσταση ισορροπίας με μη γραμμικά αυξανόμενο πλάτος. οι λύσεις που έχουν προκύψει με αριθμητική ολοκλήρωση για τις δύο περιπτώσεις. Οπως ήδη αναφέρθηκε το σύστημα (9.2.1) είναι ο τυπικός εκπρόσωπος των δυναμικών συστημάτων που εμφανίζουν διακλάδωση Hopf. Αποδεικνύεται ότι η προσθήκη όρων τέταρτης τάξης στο (9.2.1) δεν μεταβάλλει την ποιοτική συμπεριφορά του πορτραίτου των φάσεων κοντά στην αρχή, βλ. Λήμμα 3.2 στο [14], ή Θεώρημα 20.2.3 στο [9]. Η οικογένεια των δυναμικών συστημάτων που εμφανίζουν διακλάδωση Hopf είναι ακόμα ευρύτερη. Αποδεικνύεται ότι πρακτικά κάθε δυναμικό σύστημα ẋ = f (x, µ) όπου στο μη υπερβολικό σημείο

170 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ισορροπίας (0, 0) ο πίνακας Jacobi Df (0, 0) έχει δύο φανταστικές ιδιοτιμές, κοντά στην αρχή είναι ποιοτικά ισοδύναμο με ένα από τα ẋ µ 1 x = ± x 2 + y 2 x, ẏ 1 µ y y βλ. [14]. Μία απλοποιημένη μορφή του Θεωρήματος Poincaré-Andronov-Hopf χρήσιμη σε εφαρμογές είναι η ακόλουθη, βλ. π.χ. [15]. Θεώρημα 9.2.1. Εστω το σύστημα ẋ = f (x, µ), όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως τουλάχιστον C 4 στο R 2 R 1, τέτοιο ώστε να έχει σημείο ισορροπίας στην αρχή x = 0 για κάθε µ. Υποθέτουμε ακόμα ότι για μικρό µ ο πίνακας Df (x, µ) (που περιγράφει το γραμμικό τμήμα Df (x, µ) x του διανυσματικού πεδίου) έχει μιγαδικές ιδιοτιμές λ 1,2 = α (µ) ± iβ (µ) με α (0) = 0 και β (0) > 0, δηλαδή για µ = 0 οι ιδιοτιμές είναι αμιγώς φανταστικές. Υποθέτουμε ακόμα ότι το πραγματικό μέρος των ιδιοτιμών α (µ) κόβει τον φανταστικό άξονα με μη μηδενική ταχύτητα dα (0) > 0. dµ Τότε για µ > 0 αρκούντως μικρό, υπάρχει μοναδική περιοδική λύση σε μία περιοχή της αρχής. Αν επιπλέον η αρχή είναι ασυμπτωτικά ευσταθής για µ = 0, τότε (α) η αρχή είναι ευσταθής για µ < 0 με µ αρκούντως μικρό και (β) η αρχή είναι ασταθής για µ > 0 με µ αρκούντως μικρό και περιβάλλεται από έναν ευσταθή οριακό κύκλο. Κατόπιν της εξοικείωσης μας με το σύστημα (9.2.1) οι υποθέσεις φαίνονται εύλογες. Σημειώνουμε ότι οι περισσότερες αναφέρονται στο γραμμικό τμήμα του συστήματος. Η δυσκολία εφαρμογής του θεωρήματος έγκειται στο να δείξουμε ότι η αρχή είναι ασυμπτωτικά ευσταθής για µ = 0. Μία μη τετριμμένη εφαρμογή της διακλάδωσης Hopf θα δούμε στο κεφάλαιο της οικολογίας, βλ. Παράγραφο 10.3. Στην Παράγραφο 2.4 είχαμε αναφερθεί στο θεώρημα της συνεχούς ε- ξάρτησης των λύσεων ενός δυναμικού συστήματος από τις παραμέτρους. Πώς συμβιβάζεται η συνέχεια με την απότομη αλλαγή της συμπεριφοράς των λύσεων που συμβαίνει σε μία διακλάδωση;